Квадратные уравнения презентация, доклад
Квадратные
уравнения
Квадратное уравнение
Квадратным уравнением называется
уравнение вида
ах2 + bx + c = 0,
где а, b, с – числа, а ≠ 0, х – неизвестное.
3х2 — 2x + 7 = 0; -3,8х2 + 67 = 0;
18х2 = 0 .
Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным.
Коэффициенты квадратного уравнения
Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения.
ах2 + bx + c = 0,
старший второй свободный
коэффициент коэффициент член
3х2 + 4x — 8 = 0,
старший второй свободный
коэффициент коэффициент член
Неполное квадратное уравнение
-11х2 = 0;
5х2 + 13х = 0;
-24х2 +1 = 0.
Виды неполных квадратных уравнений и их корни
ах2 + c = 0, где с ≠ 0.
Тогда
Если ,то корни
.
а)
б) -х2-4 = 0 х2 = -4 нет корней.
Если ,
то корней нет .
Виды неполных квадратных уравнений и их корни
2. ах2 + bx = 0, где b ≠ 0.
Тогда x ∙ (ax +b) = 0. Корни: х1 =0 и х2 = .
а) 2х2 + 7x = 0 x ∙ (2x +7) = 0
х = 0 или 2х + 7 = 0, т.е. х = .
Ответ: 0 и -3,5.
б) -х2 + 5x = 0 -x ∙ (x — 5) = 0 х = 0 или х = 5.
Ответ: 0 и 5.
Виды неполных квадратных уравнений и их корни
3. ах2 = 0
Имеем единственный корень х = 0 .
128х2 = 0 х2 = 0 х = 0.
-3,8х2 = 0 х2 = 0 х = 0.
Метод выделения полного квадрата
Решить уравнение х2 + 14x + 24 = 0.
Решение.
х2 + 14x + 24 = (х2 + 14x + 49) – 49 + 24 =
= (х + 7)2 – 25.
(х + 7)2 – 25 = 0,
(х + 7)2 = 25.
х + 7 = -5 или х + 7 = 5.
х1 = -12; х2 = -2.
Ответ: -12; -2.
Формула корней квадратного уравнения
Корни квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0
можно найти по формуле
, где D = b2 – 4ac —
дискриминант квадратного уравнения.
Возможны 3 случая:
1. D > 0.
Тогда уравнение имеет 2 различных корня:
, .
2х2 + 7x — 4 = 0.
a = 2, b = 7, c = -4.
D = 72 – 4 ∙ 2 ∙ (-4) = 81 > 0,
,
.
Формула корней квадратного уравнения
2.
D = 0.
Тогда уравнение имеет единственный корень:
х2 — 4x + 4 = 0.
D = (-4)2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 0, .
Формула корней квадратного уравнения
3. D Тогда уравнение не имеет корней,
т. к. не существует .
3х2 — x + 7 = 0.
D = (-1)2 – 4 ∙ 3 ∙ 7 = -83 значит корней нет.
Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Если b = 2k, то корни уравнения
ах2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле
,
где .
Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Решить уравнение
1. х2 + 18x + 32 = 0.
а = 1; b = 18 k = b : 2 = 9; c = 32.
D1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 ∙ 32 = 49 > 0,
значит уравнение имеет 2 корня:
Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Решить уравнения
2.
3х2 + 2x + 1 = 0.
а = 3; b = 2 k = b : 2 = 1; c = 1.
D1 = D : 4 = 12 – 1 ∙ 3 = -2 значит корней нет.
3. 196х2 — 28x + 1 = 0.
а = 196; b = -28 k = b : 2 = -14; c = 1.
значит уравнение имеет 1 корень .
Приведенное квадратное уравнение
Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х2 + px + q = 0.
х2 + 14x + 24 = 0.
Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного на старший коэффициент.
5х2 + 3x — 2 = 0 х2 + 0,6x – 0,4 = 0.
Формула корней приведенного квадратного уравнения
х2 + px + q = 0.
х2 — x — 6 = 0.
p = -1, q = -6,
Теорема Виета
Теорема.
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q
х1 = -1; х2 = 3 – корни уравнения х2 — 2x — 3 = 0.
р = -2, q = -3.
х1 + х2 = -1 + 3 = 2 = -р,
х1 ∙ х2 = -1 ∙ 3 = q.
формулы Виета
Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида
Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения а х2 + bx + c = 0, то
х1 = 1,5; х2 = 2 – корни уравнения 2 х2 — 7x + 6 = 0.
х1 + х2 = 3,5,
х1 ∙ х2 = 3.
Теорема, обратная
теореме Виета
Теорема. Если числа х1, х2, р и q связаны условиями
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q
то х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0.
Составим квадратное уравнение по его корням
Искомое уравнение имеет вид х2 — 4x + 1 = 0.
Квадратный трехчлен
Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х2 + bx + c,
где а, b, с – числа, а ≠ 0, х – переменная.
3х2 — 2x + 7;
Корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c – это корни уравнения а х2 + bx + c = 0 .
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c, то
а х2 + bx + c = а(х — х1)(х — х2 ).
Разложить на множители 12 х2 — 5x — 2.
— корни уравнения 12 х2 — 5x – 2= 0.
Значит 12 х2 — 5x – 2 =
Неприводимый многочлен
Если квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней, то соответствующий многочлен
(со старшим коэффициентом 1)
называется неприводимым многочленом второй степени (так как его невозможно разложить на множители меньшей степени).
Квадратный трехчлен 5х2 + 3x + 2 не имеет корней.
Его невозможно разложить на множители первой степени. Можно вынести числовой коэффициент за скобки 5х2 + 3x + 2 =5(х2 + 0,6x + 0,4).
Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
Схема решения:
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить получившееся уравнение.
Исключить из его корней те числа, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
Общий знаменатель: (t + 1)(t — 2).
Умножим на него обе части уравнения:
t(t – 2) – (t +2)(t + 1) = 1∙(t + 1)(t – 2)
t2 – 2t – t2 – 3t – 2 = t2 – t – 2
t2 + 4t = 0 t(t + 4) = 0 t1 = 0, t2 = -4.
Ни одно из чисел не обращает в нуль
общий знаменатель.
Ответ: 0; -4.
Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3) .
Тогда:
2х – (х – 3) = (6 – х)(х – 3) х2 – 8х + 15 = 0
х1 = 3 – посторонний корень, так как при х = 3 общий знаменатель х(х – 3)(х + 3) = 0.
х2 = 5 – корень.
Ответ: 5.
Биквадратные уравнения
Уравнение вида ах4 + bx2 + c = 0,
где а ≠ 0, b и с — заданные числа, называется биквадратным.
Заменой х2 = t сводится к квадратному уравнению.
9t2 + 17t — 2 = 0
Ответ: .
Нет корней
или
или
Решение уравнений методом замены неизвестного
Нет корней
Ответ: 43.
Модуль
Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки х на координатной прямой.
|x| = 6 означает, что расстояние от начала отсчета до точки х равно 6.
а, если а > 0
|а| = -а, если а 0, если а = 0
6
6
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
| х2 — 2х — 39| = 24.
х2 — 2х — 39 = 24 х2 — 2х — 39 = -24
Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
9х2 — = 0.
x > 0, x 9х2 — = 0 9х2 — = 0.
x > 0, x 9х2 – 1 = 0 9х2 + 1 = 0.
нет решений
Ответ: .
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа равны или противоположны.
|8х2 — 4х + 1| = |3х2 + 9х — 7|.
8х2 — 4х + 1 = 3х2 + 9х – 7 8х2 — 4х + 1= –(3х2 + 9х – 7)
х1 = 1,6; х2 = 1 х3 = -1; х4 = 6/11.
Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.
Скачать презентацию
2-t-1=0 Tiger Algebra SolverПошаговое решение :
Шаг 1 :
Попытка факторизовать путем разделения среднего члена , t
2 его коэффициент равен 1 .
Средний член, -t , его коэффициент равен -1 .
Последний член, «константа», равен -1
Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -1 = -1
Шаг-2: Найдите два множителя -1, сумма равен коэффициенту среднего члена, который равен -1 .
| -1 | + | 1 | = | 0 |
Соблюдение: нет.
Вывод: Трехчлен нельзя разложить на множители
Уравнение в конце шага 1 :
t 2 - t - 1 = 0
Шаг 2 :
Парабола, поиск вершины :
2.1 Найти вершину y = t 2 -t-1
Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину.
Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.
Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы при 2 +Bt+C t-координата вершины задается как -B/(2A) . В нашем случае координата t равна 0,5000
Подставив в формулу параболы 0,5000 вместо t, мы можем вычислить координату y:
y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 1,0
или y = -1,250
Intercepting Parabola
Корневой график для: y = t 2 -t-1
Ось симметрии (штриховая) {t}={ 0,50}
Вершина в {t,y} = {0,50,-1,25}
t -Перехваты (корни ) :
Корень 1 при {t,y} = {-0,62, 0,00}
Корень 2 при {t,y} = {1,62, 0,00}
Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат
2.
2 Решение t 2 -t-1 = 0 путем заполнения квадрата .
Прибавьте 1 к обеим частям уравнения:
t 2 -t = 1
Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при t , равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите его в квадрат. что дает 1/4
Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения:
В правой части мы имеем:
1 + 1/4 или (1/1)+(1/4)
Общий знаменатель две дроби равны 4 Добавление (4/4)+(1/4) дает 5/4
Таким образом, прибавив к обеим сторонам, мы окончательно получим :
t 2 -t+(1/4) = 5/4
Добавление 1/4 дополнит левую часть до полного квадрата:
t 2 -t+ (1/4) =
(t-(1/2)) • (t-(1/2)) =
(t-(1/2)) 2
Вещи, равные одной и той же вещи, также равны между собой. Так как
t 2 -t+(1/4) = 5/4 и
t 2 -t+(1/4) = (t-(1/2)) 2
, то по закону транзитивности,
(t-(1/2)) 2 = 5/4
Мы будем называть это уравнение уравнением #2.
2.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из
(t-(1/2)) 2 равен
(t-(1/2)) 2/2 =
(t-(1/2)) 1 =
t-(1/2)
Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #2.2.1 получаем:
t-(1/2) = √ 5/4
Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить:
t = 1/2 + √ 5/4
Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
t 2 — t — 1 = 0
имеет два решения:
t = 1/2 + √ 5/4
или
t = 1/2 — √ 5/4
Обратите внимание, что √ 5/4 можно записать как
√ 5 / √ 4 что равно √ 5 / 2
с помощью квадратного уравнения. Формула
2.3 Решение t 2 -t-1 = 0 по квадратичной формуле .
Согласно квадратичной формуле, t , решение для В 2 +bt +c = 0, где A, B и C являются числами, часто называемыми коэффициентами, определяется:
-B ± B 2 -4AC
T = —————————————————————————————————— — —
2A
В нашем случае A = 1
B = -1
C = -1
Соответственно, B 2 -4AC =
1 -(-4) =
5
Применение квадратичной формулы:
1 ± √ 5
T = ————
2
√ 5, округленные до 4 десятичных цифр, составляет 2,2361
, так что теперь мы смотрим на:
T = (1 ± 2,2361.
) / 2
Два действительных решения:
t =(1+√5)/2= 1,618
или:
t =(1-√5)/2=-0,618
Было найдено два решения:
- t =(1-√5)/2=-0,618
- t =(1+√5)/2= 1,618 92-t+1=0 Tiger Algebra Solver
Пошаговое решение :
Шаг 1 :
Попытка факторизовать путем разделения среднего члена , t
2 его коэффициент равен 1 .
Средний член, -t , его коэффициент равен -1 .
Последний член, «константа», равен +1Шаг 1. Умножьте коэффициент первого члена на константу среднего члена, который равен -1 .
-1 + -1 = -2 1 + 1 = 2
Наблюдение : Невозможно найти два таких фактора !!
Вывод: Трехчлен нельзя разложить на множителиУравнение в конце шага 1 :
t 2 - t + 1 = 0
Шаг 2 :
Парабола, поиск вершины :
2.
1 Найдите вершину y = t 2 -t+1Параболы имеют наивысшую или низшую точку, называемую вершиной. Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.
Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы при 2 +Bt+C t-координата вершины задается как -B/(2A) .
В нашем случае координата t равна 0,5000 Подключение к формуле параболы 0,5000 для t Мы можем рассчитать y-координату:
Y = 1,0 * 0,50 * 0,50-1,0 * 0,50 + 1,0
или Y = 0,750Парабола, график вертекс и x-intercepts:
Корневой график для : y = t 2 -t+1
Ось симметрии (штриховая) {t}={ 0,50}
Вершина в {t,y} = {0,50, 0,75}
Функция не имеет действительных корнейРешите квадратное уравнение, заполнив квадрат
2.2 Решение t 2 -t+1 = 0, заполнив квадрат .
Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
t 2 -t = -1Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при t , равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите в квадрат это дает 1/4
. Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения:
В правой части мы имеем:
-1 + 1/4 или, (-1/1)+(1/4)
общий знаменатель двух дробей равен 4 Сложение (-4/4)+(1/4) дает -3/4
Таким образом, прибавив к обеим сторонам, мы окончательно получим :
t 2 -t+(1/4) = -3/4Добавление 1/4 завершит левую часть в правильный квадрат:
t 2 — t+(1/4) =
(t-(1/2)) • (t-(1/2)) =
(t-(1/2)) 2
Вещи, равные одной и той же вещи также равны между собой. Поскольку
t 2 -t+(1/4) = -3/4 и
t 2 -t+(1/4) = (t-(1/2)) 2
, то согласно закон транзитивности,
(t-(1/2)) 2 = -3/4Мы будем называть это уравнение уравнением #2.2.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из
(t-(1/2)) 2 равен
(t-(1/2)) 2/2 =
(t-(1/2)) 1 =
t-(1/2)Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #2.2.1 получаем:
t-(1/2) = √ -3/4Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить:
t = 1/2 + √ -3/4
В математике i называется мнимой единицей. Он удовлетворяет i 2 =-1. И i , и -i являются квадратными корнями из -1Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное,
t 2 — t + 1 = 0
имеет два решения:
t = 1/2 + √ 3/4 • i
или
t = 1/2 — √ 3/4 • iОбратите внимание, что √ 3/4 можно записать как
√ 3 / √ 4 , что равно √ 3 / 2 100115 900 Квадратное уравнение с использованием квадратичной формулы2.
1 Найдите вершину y = t 2 -t+1
В нашем случае координата t равна 0,5000 
Поскольку 