Таблица интегралов для студентов: Таблица интегралов, таблица основных интегралов для школьников и студентов

Содержание

Таблица интегралов — полная с формулами и примерами для студентов

Содержание:

Таблица основных интегралов
Интегралы (первообразные) от рациональных функций
Интегралы (первообразные) от трансцендентных функций
Интегралы (первообразные) от иррациональных функций
Интегралы (первообразные) от тригонометрических функций

Путь к развитию интеграла — разветвленный, где подобные открытия были сделаны одновременно разными людьми. История техники, которая в настоящее время известна как интеграция, началась с попыток найти область под кривыми.

Основания для открытия интеграла впервые были заложены Кавальери, итальянским математиком, примерно в 1635. Кавальери работы «s вокруг наблюдения, что кривая может рассматриваться как набросал движущейся точки и область, чтобы быть набросанный движущаяся линия.

Все школьники и студенты имеют проблемы с интеграцией. Мой сайт имеет собственные таблицы интегралов. В таблицах интегралов я стремилась собрать наиболее полную коллекцию выражений, чтобы помочь решить интегралы.

Интеграция является основной операцией в интегральном исчислении. В то время как у дифференцирования есть простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых компонентных функций, интеграция — нет, поэтому таблицы известных интегралов часто полезны.

Основные интегралы (14 шт)
Интегралы от рациональных функций (23 шт)
Интегралы от трансцендентных функций (15 шт)
Интегралы от иррациональных функций (27 шт)
Интегралы от тригонометрических функций (31 шт)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Таблица основных интегралов

Ниже приведены простейшие интегралы, знание которых необходимо для интегрирования более сложных выражений:

Интегралы (первообразные) от рациональных функций

Интегралы (первообразные) от трансцендентных функций

Интегралы (первообразные) от иррациональных функций

Интегралы (первообразные) от тригонометрических функций

Составление списка интегралов (Integraltafeln) и методов интегрального исчисления было опубликовано немецким математиком Мейером Хиршем [ de ] (он же Meyer Hirsch [ de ] )) в 1810 году. Эти таблицы были переизданы в Соединенном Королевстве в 1823 году. Более обширные Таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Дэвидом Беренсом де Хааном для его таблиц определений , дополненных Дополнением к дополнительным таблицам определений в ок. 1864. Новое издание было опубликовано в 1867 году под названием Nouvelles tables d’intégrales définies.,

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Интегралы для чайников

Найти неопределённый интеграл: пример решения

Производная натурального логарифма

Интеграл натурального логарифма

Эти таблицы, которые содержат в основном интегралы элементарных функций, оставались в использовании до середины 20-го века. Затем их заменили гораздо более обширные таблицы Градштейна и Рыжика . В Градштейне и Рыжике интегралы, взятые из книги Биенса де Хаана.

Не все выражения в замкнутой форме имеют антипроизводные в замкнутой форме; это исследование формирует предмет дифференциальной теории Галуа, которая была первоначально разработана Джозефом Лиувиллем в 1830-х и 1840-х годах, что привело к теореме Лиувилля, которая классифицирует, какие выражения имеют замкнутые формы против производных.

Простым примером функции без антидериватива замкнутой формы является e — x 2, антидериватив которого (с точностью до констант) является функцией ошибки.

С 1968 года существует алгоритм Риша для определения неопределенных интегралов, которые можно выразить через элементарные функции , обычно с использованием системы компьютерной алгебры . Интегралы, которые нельзя выразить с помощью элементарных функций, можно символически манипулировать с помощью общих функций, таких как G-функция Мейера.

Формулы интеграла — справочник для студентов и школьников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл является выражением вида $\ \int f(x) d x $ . {2}+12}\right|+C \)

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Формула Тейлора для разложения функции Формула Ньютона-Лейбница Формулы интегрирования функций Формулы дифференцирования функций

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

деталей и многое другое | Преподавание исчисления

Этим летом на APSI мы с участниками обсуждали «табличный метод» интегрирования по частям. Поскольку мы далеко ушли от того, что проверяется на экзаменах BC Calculus, я закончил дискуссию и сказал тем, кто заинтересован, я опубликую больше о табличном методе в этом блоге, идущем дальше, чем просто базовая настройка. Так вот.

Вот несколько предыдущих постов про интегрирование по частям и табличный метод

Интеграция по частям 1 описывает основы метода. Это все, что нужно пройти курсу Британской Колумбии.

Интеграция по частям 2 представляет табличный метод

Модифицированная табличная интеграция представляет очень быстрый и удобный способ использования табличного метода без создания таблицы. Это стоит знать.

Также здесь есть видео по интеграции по частям. Прокрутите вниз до «Антипроизводные 5: Тема BC — Интеграция по частям». Табличный метод обсуждается примерно с 15:16. Есть несколько способов сервировки стола; один показан здесь, а немного другой способ — в сообщении «Интеграция по частям 2» выше. Есть и другие.

Идем дальше с табличным методом.

Табличный метод хорошо работает, если один из множителей в исходном подынтегральном выражении является многочленом; в конце концов его производная будет равна нулю, и все готово. Они показаны в примерах в сообщениях выше и в Примере 1 ниже. Чтобы завершить тему, в этом посте будут показаны две другие вещи, которые могут произойти при использовании интегрирования по частям и табличного метода.

Сначала мы рассмотрим пример с полиномиальным множителем и научимся останавливаться на полпути. Зачем останавливаться? Потому что часто не будет конца, если вы не остановитесь. Есть способы завершить интеграцию, как показано в примерах.

Пример 1: Найти табличным методом (подробнее о том, как настроить таблицу, см. в разделе Интеграция по частям 2)

Добавление последнего столбца дает первообразную: остановиться после . Пример 2 показывает, почему вы хотите (нужно) остановиться. В примере 1 у вас будет

Подынтегральное выражение справа — это произведение последнего столбца в строке, на которой вы остановились, и первых двух столбцов в следующей строке, как показано желтым цветом выше.

Пример 2 Найти

Как видите, строки выше просто повторяются, иногда со знаком минус. Однако, если мы остановимся на третьей строке, мы можем написать:

Интеграл в конце идентичен исходному интегралу. Мы можем продолжить, добавив интеграл к обеим частям:

Наконец, мы делим на 2 и получаем первообразную, которую мы пытались найти: может появиться снова, и что делать, если это произойдет. Пока коэффициент не +1, мы можем действовать, как указано выше. То же самое происходит, если мы не используем табличный метод. (Если коэффициент равен +1, то другие члены справа добавятся к нулю, и вам нужно сделать другой выбор для у и дв .)

Формулы приведения.

Еще одно применение интегрирования по частям — получение формул для интегралов со степенями. Получается интеграл, подынтегральная функция которого имеет меньшую степень, чем исходная, но имеет ту же форму. Затем формула повторяется, чтобы постоянно уменьшать степень до тех пор, пока окончательный интеграл не будет легко интегрирован.

Пример 3 : Найти

Пусть

Это формула сокращения; второй интеграл такой же, как и первый, но меньшей степени. Вот как это используется. На каждом шаге подынтегральная функция такая же, как исходная, но на одну ступень ниже. Таким образом, формулу можно применить снова, еще три раза в этом примере.

Большинство учебников содержат краткий набор формул приведения.

Заключительные мысли .

Еще в «старые времена» до нашей эры (до появления калькуляторов) начинающие курсы математики много времени уделяли теме «Техники интегрирования». Это включало интегрирование по частям, алгебраические методы, методы, известные как триг-подстановки, и другие. У математиков и инженеров были таблицы интегралов, в которых перечислялось более тысячи форм, и студентов учили, как пользоваться таблицами и различать похожие формы в таблицах. (См. фото ниже из четырнадцатого издания таблиц CRC (c) 1965.) Современные учебники часто содержат такие разделы.

Сегодня в этом нет необходимости. Калькуляторы CAS могут найти первообразные почти любого интеграла. Такие веб-сайты, как WolframAlpha, также доступны для выполнения этой работы.

Не знаю, почему Совет колледжей недавно немного расширил список типов первообразных, проверяемых на экзаменах. Конечно, некоторые из основных типов должны быть включены в курс, но что студенты действительно должны знать, так это то, как записать интеграл, соответствующий задаче, и что означают определенные и неопределенные интегралы. Это, на мой взгляд, гораздо важнее, чем умение выдавать первообразные все более сложных выражений: пусть это делает техника — или купите себе интегральную таблицу. Просто говорю … .

Примерно так:

Нравится Загрузка…

Применение стандартного интеграла — документация Numbas 7.0 интеграция.

Планирование

Что оценивает этот вопрос?

Мы хотим установить, может ли студент распознать функцию со стандартным интегралом и вычислить соответствующий интеграл.

Это необходимый навык для более сложных методов интеграции, таких как интеграция по частям или интеграция по замене.

Что должен делать студент?

Некоторые идеи:

Покажите таблицу интегралов с некоторыми пробелами, которые студент должен заполнить.
Выберите интеграл заданной функции из списка выражений.
Покажите функцию и попросите ученика написать ее интеграл.

Мы выберем последний вариант, так как он дает ученику больше возможностей для самостоятельного поиска ответа.

Им будет показано определение функции $f(x)$. Они должны написать интеграл $F(x) = \int f(x)\, \mathrm{d}x$ с константой интегрирования $C$.

Как ученик может дать неправильный ответ?

Они могут:

дифференцироваться вместо интеграции;
забыть постоянную интегрирования;
используйте другую букву для константы интегрирования;
применить неправильный интеграл из таблицы стандартных интегралов.
5\), но если учащийся сделает ошибку с любым из терминов, ему будет трудно оценить частичный кредит. Более поздний вопрос может оценить этот тип выражения, как только мы установим, что учащийся может применять стандартные интегралы индивидуально.
Будет одна часть математического выражения с предложением написать интеграл от $f(x)$.
Мы должны решить, указывать ли ученику явно использовать $C$ в качестве константы интегрирования. Если мы это сделаем, то учащийся с меньшей вероятностью забудет это — распространенная ошибка при выполнении неопределенного интеграла. Если мы этого не сделаем, то нам придется проделать некоторую работу при маркировке, чтобы установить, какое имя переменной они использовали, и сравнить его с ожидаемым ответом. Это можно оценить в отдельном вопросе, поэтому для удобства мы скажем учащемуся использовать $C$.
Правильный ответ — интеграл, соответствующий выбранной функции, с добавленной константой $C$.

Мы добавим альтернативные ответы, соответствующие выражениям, которые мы ожидаем увидеть, если учащийся дифференцировал вместо интегрирования или забыл константу интегрирования.
В разделе советов можно показать таблицу стандартных интегралов или просто упомянуть, что эта функция есть в таблице, которую студент уже получил, а затем определить данную функцию вместе с ее интегралом. 94/4 . Эта альтернатива будет использована, если учащийся забудет включить постоянную интегрирования, но в остальном применит правильный стандартный интеграл. Если учащийся совершит эту ошибку, вы можете частично его зачесть — введите 0,5 в баллах, чтобы получить половину балла.
В сообщении обратной связи в разделе Сообщение, если используется этот вариант, напишите:
```
 Вы забыли включить константу интегрирования?
 
```
Добавить другой вариант с правильным ответом 91 = x\), что не совсем похоже на другие случаи.
Случай $k = -1$ имеет интеграл $\ln(x)$, который учащиеся обычно запоминают как отдельное правило.

Заполните поле «Значение», чтобы оно выглядело как «Случайное число между 2 и 9 (включительно) с размером шага 1 ». {k} }$. 9{к+1} + С \]

Попробуйте ответить на этот вопрос, нажав «Выполнить». Убедитесь, что все работает так, как вы ожидаете, для разных значений $k$.

Примечание

Нам пришлось заменить случайные значения в математической нотации LaTeX. Это не так просто, как вы могли бы ожидать; см. страницу Подстановка переменных в отображаемые математические данные для более подробной информации.

Мы ввели некоторую рандомизацию, но по-прежнему запрашиваем только одну запись в таблице стандартных интегралов.

9k + c_3\cos(kx) + c_4\sin(kx)\), и определим коэффициенты $c_i$ так, чтобы только один из них имел значение 1 , а остальные 0 . Упрощение удалит члены с нулевым коэффициентом, оставив только один член для интегрирования. Для этого легко настроить переменные вопроса, но вам нужно написать длинное выражение в терминах $c_i$ по всему вопросу, что затрудняет чтение как автора вопроса. Если мы хотим добавить больше опций для функций, выражение становится еще длиннее.

Второй способ заключается в использовании переменных выражения JME для представления функции и ее интеграла и случайного выбора одной из них из списка. Их проще использовать в тексте вопроса и настройках маркировки, но они требуют дополнительной работы на этапе генерации переменных.

Нам также нужно еще раз подумать об определении переменной $k$, потому что каждая из этих функций ведет себя по-разному при изменении $k$. К счастью, все эти функции ведут себя одинаково, когда $k \gt 1$, как мы уже выбрали, поэтому определение $k$ не нужно менять. 9{k+1} + {c[2]} * (1/{k}) * sin({k}x) + {c[3]} * (-1/{k}) * cos({k} Икс)

Внесите соответствующие изменения в альтернативные ответы и советы.

Чтобы добавить еще одну опцию для функции, нам пришлось бы добавить еще один ноль в список, используемый в c , и добавить еще один член к каждому вхождению длинного выражения.

Вы можете увидеть завершенный пример этого метода на numbas. mathcentre.ac.uk.

Метод 2: Подвыражения

Мы хотим случайным образом выбрать функцию из списка вариантов и подставить коэффициент 9(к*х)» ], [ «sin(k*x)», «-1/k * cos(k*x)», «k*cos(k*x)» ], [ «cos(k*x)», «1/k * sin(k*x)», «-k*sin(k*x)» ] ]

Эта переменная имеет четыре записи, каждая из которых представляет собой список, содержащий три строки кода JME.

Затем переменная сценарий выберет один из них случайным образом:

 случайный(сценарии)

Создайте подвыражение, представляющее $f(x)$, определив переменную с именем function следующим образом:

replace( ["к": к], выражение (сценарий [0]) ) 9(2x) для значения функции .

Добавьте еще две переменные, интеграл и производная , с определениями, аналогичными определению функции , но с использованием сценария [1] и сценария [2] соответственно.

Измените формулировку вопроса:

 Пусть $f(x) = \var{function}$.

Установите правильный ответ для части математического выражения:

 {интеграл} + C

Внесите соответствующие изменения в альтернативные ответы.

В качестве совета было бы полезно дать учащемуся общую форму их функции, как она будет отображаться в таблице стандартных интегралов. Для этого определите новую переменную generic_function :

 выражение (сценарий [0])

и другая переменная generic_integral :

 выражение (сценарий [1])

Наконец, перепишите совет:

 $f(x) = \var{{function} }$.
Интеграл от $\var{generic_function}$ по $x$ равен $\var{generic_integral}$.
Это неопределенный интеграл, поэтому мы добавляем произвольную постоянную интегрирования $C$.
Здесь $k = \var{k}$, поэтому
\[ \int f(x) \, \mathrm{d}x = \var{{интеграл}} + C \]