Формулы арифметического корня: Арифметический квадратный корень — урок. Алгебра, 8 класс.

alexxlab / / Разное

Математика (математика, информатика) \ КонсультантПлюс

Математика

(математика, информатика)

Математика

Числа и вычисления

Натуральные числа. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Свойства арифметических действий. Степень с натуральным показателем.

Делители и кратные числа. Признаки делимости. Простые числа. Разложение числа на простые множители.

Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части числа и числа по его части.

Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление обыкновенных дробей десятичными. Среднее арифметическое.

Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции. Пропорциональные и обратно пропорциональные величины.

Проценты. Основные задачи на проценты.

Решение текстовых задач арифметическими приемами.

Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Модуль числа. Сравнение целых чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами, свойства арифметических действий.

Рациональные числа. Изображение чисел точками на координатной прямой. Действительные числа. Иррациональные числа.

Приближенные значения. Абсолютная и относительная погрешности. Округление натуральных чисел и десятичных дробей. Прикидка и оценка результатов вычислений. Запись чисел в стандартном виде.

Квадратный корень. Десятичные приближения квадратного корня. Корень третьей степени.

Вычисления с помощью калькулятора.

Выражения и преобразования

Буквенные выражения. Числовые подстановки в буквенные выражения. Вычисления по формулам. Буквенная запись свойств арифметических действий.

Свойства степени с натуральным показателем. Многочлены. Приведение подобных слагаемых. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Разложение многочленов на множители. Квадратный трехчлен: выделение квадрата двучлена, разложение на множители.

Алгебраические дроби. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства.

Свойства арифметического квадратного корня и их применение к преобразованию выражений.

Синус, косинус, тангенс и котангенс производного угла. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

Уравнения и неравенства

Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений.

Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение простейших нелинейных систем. Графическая интерпретация решения систем уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач методом составления уравнений.

Числовые неравенства и их свойства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства с одной переменной.

Функции

Прямоугольная система координат на плоскости.

Функция. Область определения и область значений функции. График функции. Возрастание, убывание функции, сохранение знака на промежутке.

Функции: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = xE2, y = xE3, y = axE2 + bx + c, y = +- x, их свойства и графики.

Таблицы и диаграммы. Графики реальных процессов.

Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин

Представление о начальных понятиях геометрии и геометрических фигурах. Равенство фигур.

Отрезок. Длина отрезка и его свойства. Расстояние между точками.

Угол. Виды углов. Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла и ее свойства. Величина угла и ее свойства. Градусная и радианная мера угла.

Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельных и перпендикулярных прямых. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

Треугольник и его элементы. Признаки равенства треугольников. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников. Сумма углов треугольника. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника и ее свойства. Неравенство треугольников. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. Решение прямоугольных треугольников. Метрические соотношения между элементами произвольного треугольника: теорема синусов и теорема косинусов. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Площадь треугольника.

Четырехугольники. Параллелограмм. Прямоугольник, ромб, квадрат. Трапеция. Средняя линия трапеции и ее свойства. Площади четырехугольников.

Многоугольники. Правильные многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника.

Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства. Центральные и описанные углы. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Длина окружности. Длина дуги окружности. Площадь круга.

Построение циркулем и линейкой.

Осевая симметрия. Центральная симметрия.

Вектор. Угол между векторами. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов.

Многогранники: параллелепипед, призма, пирамида. Круглые тела: шар, цилиндр, конус. Формулы объемов.

Информатика

Информация и информационные процессы

Понятие информации. Информационная деятельность человека. Информационные процессы: получение, передача, преобразование и использование информации. Единство информационных процессов в живой природе, обществе и технике.

Представление информации

Язык как способ представления информации. Кодирование. Двоичная система счисления. Количество и единицы измерения информации. Хранение и передача информации и ее носители.

Величины. Переменные величины. Присваивание. Характеристики переменных: имя, вид, тип, значение. Простые и составные величины. Массивы (таблицы) как способ представления информации.

Компьютер

Основные устройства компьютера, их функции и взаимосвязь. Понятие о программном управлении работой компьютера.

Файл. Операции с файлами. Работа с дискетами. Инсталляция программ. Ввод данных. Техника безопасности в компьютерном классе.

Алгоритмы и исполнители

Понятие об алгоритме. Исполнитель алгоритмов. Система команд исполнителя. Свойства алгоритмов. Способы записи алгоритмов. Формальное исполнение алгоритмов. Основные алгоритмические

конструкции. Вспомогательные алгоритмы. Библиотеки алгоритмов.

Формализация и моделирование

Формальная и неформальная постановка задачи. Формализация. Переход от реальной задачи к информационной модели.

Информационные технологии

Технология обработки текста и графики (текстовый и графический редакторы).

Понятие текста и его обработки. Текстовый редактор. Запись и считывание файлов с диска. Вывод на принтер.

Представление изображений в компьютере. Графические примитивы. Построение изображений с помощью графических примитивов. Графический редактор.

Технология обработки числовых данных (электронные таблицы)

Структура электронных таблиц. Строка, столбец, ячейка.

Ввод чисел, формул и текста. Стандартные функции. Редактирование структуры таблицы. Печать таблицы. Построение диаграмм. Использование электронных таблиц для решения математических задач.

Технология хранения, поиска и сортировки информации (базы данных)

Типы баз данных. Представление данных в формах таблицы и картотеки. Системы управления базами данных. Ввод и редактирование записей. Сортировка и поиск записей. Вывод на печать. Изменение структуры базы данных.

Справочники. Словари. Гипертекст. Записная книжка.

Компьютерные коммуникации

Локальные и глобальные компьютерные информационные сети. Модемы, каналы связи и скорость передачи информации. Электронная почта, доски объявлений, телеконференция, распределенные базы данных.

Сеть Интернет как пример глобальной телекоммуникационной сети.

Арифметический корень натуральной степени

Урок 4. Алгебра 10 класс ФГОС

Из этого видеоурока мы узнаем, что подразумевают под понятием «арифметический корень натуральной степени». Познакомимся с корнем нечётной степени из отрицательного числа. А также рассмотрим некоторые свойства арифметического корня n-й степени.


Конспект урока «Арифметический корень натуральной степени»

С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а.

,
,
,

Аналогично определяется корень -й степени из числа а, где– произвольное натуральное число.

А теперь давайте решим такое уравнение:

Итак, это уравнение мы можем переписать в таком виде: . Или .

Тогда наше уравнение равносильно совокупности уравнений: .

Понятно, что уравнение  не имеет решения на множестве действительных чисел. Значит, остаётся решить уравнение

           

                  

Итак, наше уравнение  имеет два действительных корня 5 и –5. Их называют корнями четвёртой степени из числа 625. В свою очередь, положительный корень (число 5) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 625. Обозначают его так: . Таким образом, .

Запомните! Арифметическим корнем натуральной степени  из неотрицательного числа а называется неотрицательное число,  -я степень которого равна а.

Арифметический корень —ой степени из числа а обозначают так: . Символ  называют знаком арифметического квадратного корня или радикалом (от латинского слова «радикс» – корень), число называется показателем

корня, а число а, стоящее под знаком корня, – подкоренным выражением.

Вам хорошо известен такой частный случай арифметического корня -й степени, как корень второй степени, или квадратный корень из числа, то есть когда  

В этом случае показатель корня не пишут, а пишут просто.

Ещё одним частным случаем является мы привыкли называть его корнем кубическим.

Как правило, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне -й степени, слово «арифметический» не произносят, а говорят кратко: «корень энной степени».

Действие, посредством которого отыскивается корень -й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.

Равенство  при  верно, когда выполняются два условия:; второе —.

Например,.

Число;

.

Видим, что оба условия выполняются. Значит верно.

Из определения арифметического корня следует, что если, то.

Например,

А теперь давайте решим следующие уравнения:  и . Итак, первое уравнение

Перепишем это уравнение в виде: .

Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:

Перейдём к уравнению 2:

Перепишем это уравнение в виде: .

Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:.

Так как , то число –4 является корнем из числа –64. Однако это число не является арифметическим корнем по определению. Число называют корнем кубическим из числа и обозначают так:

Вообще, для любого нечётного натурального числа, уравнение, при  имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом.

И называют его корнем нечётной степени из отрицательного числа.

Запомните! При нечётном существует, и притом только один. Для корней нечётной степени справедливо равенство

Например,

 

Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа следующим равенством:

Например,  

Арифметический корень -й степени обладает несколькими свойствами. Перечислим их. Итак, при условии, что, , а,  и  – натуральные числа, причём, , справедливы равенства:

1.  .

2. .

3. .

4. .

5. .

Обратите внимание, что в первом свойстве число  может также быть равным ; в третьем свойстве число  может быть любым целым, если .

Докажем справедливость этих свойств. Итак, первое свойство.

1. .

По определению арифметического корня  – это такое неотрицательное число,  -я степень которого равна произведению .

;

.

2. .

;

3. .

;

.

4. .

;

.

5. .

;

.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание 1. Найдите значения выражений а) ;     б) ;     в) .

Решение.

а) ;                            б) ;               в) .

      ;                                       ;

    ;                                  ;

Задание 2. Преобразуйте выражения: а) ;     б) ;     в) ;     г) .

Решение.

а) ;

б)   ;

в) ;

г) .

Предыдущий урок 3 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Следующий урок 5 Степень с рациональным показателем


Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 10 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Квадратное уравнение и низкоточная арифметика

Что может быть интересного в непритязательной квадратичной формуле? В конце концов, это формула . Вы просто вставляете в него цифры.

Ну, есть интересная заморочка. Когда линейный коэффициент b велик по сравнению с другими коэффициентами, квадратичная формула может давать неверные результаты при использовании арифметики с плавающей запятой.

Квадратичная формула и потеря точности

Квадратичная формула говорит, что корни

задаются как

Это правда, но давайте посмотрим, что произойдет, если у нас есть a = c = 1 и b = 10 8 900.

 из математического импорта sqrt

    квадратичный по определению (а, б, с):
        r = sqrt(b**2 - 4*a*c)
        вернуть ((-b + r)/(2*a), (-b -r)/(2*a))

    печать (квадратичная (1, 1e8, 1))

Это возвращает

 (-7.450580596923828e-09, -100000000.0)

Первый корень неверный примерно на 25%, хотя второй правильный.

Что случилось? Квадратное уравнение нарушило основное правило численного анализа: избегать вычитания почти равных чисел. Чем более похожи два числа, тем большую точность вы можете потерять при их вычитании. В этом случае √( b ² – 4 ac ) почти равно b .

Если мы попросим Python оценить

 1e8 - sqrt(1e16-4)

, мы получим 1.49e-8 , тогда как правильным ответом будет 2.0e-8 .

Повышение точности формулы квадрата

Способ решения проблемы состоит в том, чтобы рационализировать числитель формулы квадрата, умножив его на 1 в виде

(символ ∓ встречается гораздо реже, чем ±. Это просто означает, что если вы берете знак + в квадратной формуле, берете знак — выше, и наоборот.)

Когда мы умножаем на выражение выше и упрощаем, мы получаем

Давайте напишем это на Python и попробуем.

 по квадратичному 2(a, b, c):
        r = sqrt(b**2 - 4*a*c)
        вернуть (2*c/(-b - r), 2*c/(-b+r))

    печать (квадратичная2 (1, 1e8, 1))

Это возвращает

 (-1e-08, -134217728. 0)

Итак, наше новое квадратное уравнение лучше? Он дает правильный ответ для первого корня с точностью до машинной точности. Но теперь второй корень неверен на 34%. Почему второй корень неправильный? Та же причина, что и раньше: мы вычли два почти равных числа!

Знакомая версия квадратной формулы правильно вычисляет больший корень, а новая версия правильно вычисляет меньший корень. Ни одна из версий в целом не лучше. Мы не будем лучше или хуже, всегда используя новую квадратичную формулу, чем старую. Каждый из них лучше, когда он позволяет избежать вычитания почти равных чисел.

Решение состоит в том, чтобы использовать обе квадратные формулы , используя соответствующую формулу для корня, который вы пытаетесь вычислить.

Арифметика низкой точности

Это практический вопрос? Да, и вот почему: все старое снова становится новым.

Возможная неточность в квадратичной формуле была серьезной до того, как арифметика с двойной точностью (64-битная с плавающей запятой) стала обычным явлением.

А когда-то инженеры, скорее всего, были знакомы с альтернативной формой квадратичной формулы. Вы все еще можете столкнуться с квадратными уравнениями, которые доставят вам проблемы даже в арифметике с двойной точностью, как в примере выше, но вероятность того, что это будет проблемой, меньше, когда в вашем распоряжении больше битов.

Теперь нас снова интересует низкоточная арифметика. Процессоры стали намного быстрее, но перемещение битов в памяти — нет. По сравнению со скоростью процессора манипуляции с памятью стали медленнее. Это означает, что нам нужно больше заботиться об управлении памятью и меньше заботиться о скорости вычислений с плавающей запятой.

Работа с памятью не только медленнее по сравнению с ЦП, но и требует больше энергии. По словам Густафсона, чтение 64 бит из DRAM требует в 65 раз больше энергии, чем комбинированное умножение-сложение с плавающей запятой, потому что это происходит вне кристалла. В таблице ниже на странице 6 книги Густафсона приведены подробности.

Использование плавающей запятой более низкой точности экономит энергию, поскольку из памяти можно считать больше чисел за то же количество битов. (Здесь pJ = пикоджоули.)

Операция  Потребляемая энергия Где
Выполнить 64-битное умножение-сложение с плавающей запятой 64 пДж встроенный
Загрузить или сохранить 64 бита данных регистра 6 пДж встроенный
Чтение 64 бит из DRAM 4200 пДж вне чипа

Таким образом, нас может заинтересовать низкоточная арифметика для экономии энергии в мобильном устройстве с батарейным питанием или для экономии тактов в серверном приложении, манипулирующем большим количеством данных. Это означает, что числовые трюки, о которых большинство людей забыло, снова актуальны.

Другие сообщения о числовых вычислениях

  • Восьмибитная плавающая точка
  • Функции математической библиотеки, которые кажутся ненужными

Среднеквадратичное значение – определение, формула, расчет, что это такое?

Среднеквадратичное значение (RMS) — это квадратный корень из среднего квадрата, который представляет собой среднее арифметическое квадратов набора значений. Это другое название квадратичного среднего. Это частный случай обобщенного среднего, показатель которого равен 2.