Таблица лапласа локальная: таблицы функций Лапласа, вероятностей распределения Пуассона

§ 2. Локальная теорема Лапласа.

Теорема. Если вероятность P появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях равно k раз приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению:

; при и и . (Таблицы значений функции приводятся).

Итак: (**),

где .

Пример 1 Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400-х испытаниях, если вероятность появления события .

Решение. ; ; ; . Используем формулу (**).

Найдем x: .

По табл.1 найдем:

.

По формуле (*) получим

Пример 2. Вероятно поражения цели стрелком при одном выстреле: . Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит цель 8 раз.

Решение. ; ; ; .

По формуле (*): ;

.

По формуле (**):

;

Получим разные значения, это связано с тем. Что n имеет малое значение. Формула Лапласа дает хорошие значения при достаточно больших значениях n.

§ 3. Интегральная теорема Лапласа.

Пусть производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна, равна p, 0 ≤ p ≤ 1. Как найти вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее и не более раз (от до раз). На этот вопрос дает ответ интегральная теорема Лапласа.

Теорема. Если вероятность события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие

А появится в n испытаниях от до раз, приблизительно равна определенному интегралу:

, (1)

где ; (2)

Формулу (1) можно записать так:

Неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому составлена таблица значений для интеграла (см. приложение 2 в учебнике Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика). В таблице даны значения для , для используется таже таблица, функция нечетная: и для можно принять: .

Чтобы можно было пользоваться таблицей функции , которую называют функций Лапласа формулу (1) преобразуют к виду:

,

где и находятся по формулам (2).

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна: . Найти вероятность того, что среди 400 отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию ; тогда ; ; ; .

По теореме Лапласа: . Найдем и .

.

Получаем:

По таблице прил. 2, находим: ; , тогда искомая вероятность:

Замечание. Пусть m число появлений события А в n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна P. Если m изменяется от до , то интегральную теорему Лапласа можно записать так:

.

Тема: Случайные величины.

§ 1. Дискретные и непрерывные случайные величины (св).

Определение 1. Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Например, при бросании игральной кости могут появиться числа:1,2,…,6. наперед определить число выпавших очков невозможно, оно зависит от многих случайных причин, которые невозможно полностью учесть. Число выпавших очков есть величина случайная, числа 1, 2,…,6 – это возможные значения этой величины. Другой пример, расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин: силы и направления ветра, температуры и т. д., которые не могут быть учтены.

Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (

a,b). Будем обозначать случайные величины прописными буквами: X, Y, Z, а их возможные значения: x, y, z.

Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x₁, x₂, x₃.

Случайные величины (СВ) бывают дискретные и непрерывные.

Определение 2. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Или дискретной называют СВ, множество значений которой конечно или счётно.

Случайная величина равная числу выпавших очков 1, 2,…,6 при бросании игральной кости является дискретной случайной величиной (ДСВ).

Другой пример. Число заболевших свиным гриппом в некотором регионе также дискретная случайная величина.

Определение 3. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Такое определение НСВ не является точным, более точное определение рассмотрим позже.

Пример – температура в комнате в течение суток.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Содержание статьи

1. Локальная теорема Лапласа

2. Интегральная теорема Лапласа

3. Свойство функции Лапласа:

Локальная теорема Лапласа

Пусть проводится $n$ испытаний Бернулли с вероятностью р появления события А в каждом из них. Пусть при этом $n$ достаточно большое число и $npq$ ≥ 10 ($n$ — большое, а $p$ — не очень маленькое) Тогда вероятность, того, что событие А произойдет ровно k раз может быть найдена по приближенной формуле:

Замечание

таблица значений функции $\varphi$$(x)$обычно приводится в задачниках Теории вероятностей.

Свойства функции $\varphi$$\left(x\right):$

1. $\varphi$$\left(x\right)>0$
2. $\varphi$$\left(-x\right)=$$\varphi$$\left(x\right)$
3. ${\mathop{lim}_{n\to \infty } (x)\ }=0,\ \ \ (\left(x\right)

Пример 1

Какова вероятность, что из 100 новорожденных ровно 40 окажутся мальчики.

\[\left. \begin{array}{c} n=100 \\ k=40 \\ p=0,5 \end{array} \right\} x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}=\frac{40-100\cdot 0,5}{\sqrt{100\cdot 40\cdot 0,5}}=-2\] \[P_{100}\left(40\right)=\frac{1}{\sqrt{100\cdot 0,5\cdot 0,5}}\varphi \left(-2\right)=\frac{1}{5}\varphi \left(-2\right)=\frac{1}{5}\varphi \left(2\right)=\frac{1}{5}\cdot 0,054=0,04\]

Интегральная теорема Лапласа

В условиях локальной теоремы Лапласа вероятность того, что событие А произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз $\left(k_1\le k\le k_2\right)$

\[P_n\left(k_1;k_2\right)=\left(x»\right)-\left(x’\right)\] \[x»=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x’=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}\]

$P\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int{e^{\frac{-t^2}{2}dt}}-$формула Лапласа

Замечание

Иногда функцией Лапласа называется выражение несколько отличающееся от написанного. 2}{2}},$ соответствующие положительным значениям аргумента x. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция $\varphi $(x) является чётной.

Пример 3

В театре, который вмещает 1000 зрителей, есть два входа, каждый из которых имеет свой гардероб. Какое должно быть минимальное количество мест в каждом гардеробе, что б с вероятностью $P\ge 0,99$ все зрители смогли раздеться в гардеробе того входа, через который они заходили? Примем во внимание, что зрители приходят парами и каждая пара независимо друг от друга выбирает один из входов с равным количеством вероятностей.

Пускай в каждом из двух гардеробов должно быть $2n$ мест. Через $2m$ обозначим число тех зрителей, которые воспользовались первым входом в театр, тогда вторым входом воспользовалось $1000-2m$ зрителей. В задаче необходимо что б выполнялось условие:

$P\left\{2m\le 2n,\ \ \ 1000-2m\le 2n\right\}\ge 0,99$ или

\[P\left\{1000-2n\le 2m\le 2n\right\}\ge 0,99; \] \[P\left\{500-n\le m\le n\right\}\ge 0,99\]

Принимая во внимания, что $n=500,$ а $p=\frac{1}{2},$ за формулой $P_n\left(k_1;;k_2\right)=\left(x^{»}\right)-\left(x’\right),\ $получим

\[P\left\{500-n\le m\le n\right\}=\left(\frac{n-500\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{500\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\right)-\left(\frac{500-n-500\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{500\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\right)=\] \[=\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)-\left(-\frac{n+250}{5\sqrt{5}}\right)=\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)+\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)=\] \[=2\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)\ge 0,99. \]

Искомое минимальное значение найдем с условия $\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)\ge 0,495.$

За таблицей которая имеется почти во всех книгах теории вероятности найдем, что $\frac{n-250}{5\sqrt{5}}=2,68.$ Откуда $n\ge 279.$

Значит, в каждом из гардеробов должно быть не меньше $279\cdot 2=558$ мест.

Пример 4

Вероятность того, что деталь не прошла контроль качества $p=0,2.$ Найти вероятность того, что среди 400 случайно выбранных деталей окажется непроверенными 70 деталей.

По условию задачи $p=0,2;\ \ q=1-0,2=0,8;\ \ \ n=400;\ \ k=70.$

Найдем

\[x_{70}=\frac{70-np}{\sqrt{npq}}=\frac{70-400\cdot 0,2}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}=-1,25.\]

За локальной теоремой Лапласа, получим

\[P_{400}\left(70\right)=\frac{1}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}\cdot \left(-1,25\right).\]

Значение $\left(-1,25\right)=\left(1,25\right)$ в таблице находим $\left(1,25\right)=0,8126. $ Тогда подставив это значение в предыдущую формулу получим $P_{400}\left(70\right)=\frac{0,1826}{8}\approx 0,023.$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 22.01.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Таблица.

Интеграл вероятности или интеграл вероятностей. Таблица значений функции Лапласа. Она же функция ошибок erf

		Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Теория вероятностей. Математическая статистика. Комбинаторика. / / Таблица. Интеграл вероятности или интеграл вероятностей. Таблица значений функции Лапласа. Она же функция ошибок erf Поделиться:    Таблица. Интеграл вероятности или интеграл вероятностей. Таблица значений функции Лапласа. Она же функция ошибок erf. Интегральная функция вероятности распределения обычно выражается через специальную функцию erf(z). z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0,0000 0011 0023 0034 0045 0056 0068 0079 0090 0102 1 0113 0124 0135 0147 0158 0169 0181 0192 0203 0214 2 0226 0237 0248 0260 0271 0282 0293 0305 0316 0327 3 0338 0350 0361 0372 0384 0395 0406 0417 0429 0553 4 0451 0462 0474 0485 0496 0507 0519 0530 0541 0553 5 0564 0575 0586 0598 0609 0620 0631 0643 0654 0665 6 0676 0688 0699 0710 0721 0732 0744 0755 0766 0777 7 0789 0800 0811 0822 0834 0845 0856 0867 0878 0890 8 0901 0912 0923 0934 0946 0957 0968 0979 0990 1002 9 1013 1024 1035 1046 1058 1069 1080 1091 1102 1113 10 1125 1136 1147 1158 1169 1180 1192 1203 1214 1225 1 1236 1247 1259 1270 1281 1292 1303 1314 1325 1386 2 1348 1359 1370 1381 1392 1403 1414 1425 1436 1448 3 1459 1470 1481 1492 1503 1514 1525 1536 1547 1558 4 1569 1581 1592 1603 1614 1625 1636 1647 1658 1669 5 1680 1691 1702 1713 1724 1735 1746 1757 1768 1779 6 1790 1801 1812 1823 1834 1845 1856 1867 1878 1889 7 1900 1911 1922 1933 1944 1955 1966 1977 1988 1998 8 2009 2020 2031 2042 2053 2064 2075 2086 2097 2108 9 2118 2129 2140 2151 2162 2173 2184 2194 2205 2216 20 2227 2238 2249 2260 2270 2281 2292 2303 2314 2324 1 2335 2346 2357 2368 2378 2389 2400 2411 2421 2432 2 2443 2454 2464 2475 2486 2497 2507 2518 2529 2540 3 2550 2561 2572 2582 2593 2604 2614 2625 2636 2646 4 2657 2668 2678 2689 2700 2710 2721 2731 2742 2753 5 2763 2774 2784 2795 2806 2816 2827 2837 2848 2858 6 2869 2880 2890 2901 2911 2922 2932 2943 2953 2964 7 2974 2985 2995 3006 3016 3027 3037 3047 3058 3068 8 3079 3089 3100 3110 3120 3131 3141 3152 3162 3276 9 3183 3193 3204 3214 3224 3235 3246 3255 3266 3276 30 3286 3297 3307 3317 3327 3338 3348 3358 3369 3379 1 3389 3399 3410 3420 3430 3440 3450 3461 3471 3481 2 3491 3501 3512 3522 3532 3542 3552 3562 3573 3583 3 3593 3603 3613 3623 3633 3643 3653 3663 3674 3684 4 3694 3704 3714 3724 8734 3744 2754 3764 3774 3784 5 3794 3804 3814 3824 3834 3844 3854 3864 3873 3883 6 3893 3903 3913 3923 3933 8943 3953 3963 3972 3982 7 3992 4002 4012 4022 4031 4041 4051 4061 4071 4080 8 4090 4100 4110 4119 4129 4189 4149 4158 4168 4178 9 4187 4197 4207 4216 4226 4236 4245 4255 4265 4274 40 4284 4294 4303 4313 4322 4332 4341 4351 4361 4370 1 4380 4389 4399 4408 4418 4427 4437 4446 4456 4465 2 4475 4484 4494 4503 4512 4522 4531 4541 4550 4559 3 4569 4578 4588 4597 4606 4616 4625 4634 4644 4653 4 4662 4672 4681 4690 4699 4709 4718 4727 4736 4746 5 4755 4764 4773 4782 4792 4801 4810 4819 4828 4837 6 4847 4856 4865 4874 4883 4892 4901 4910 4919 4928 7 4937 4946 4956 4965 4974 4983 4992 5001 5010 5019 8 5027 5036 5045 5054 5063 5072 5081 5090 5099 5108 9 5117 5126 5134 5143 5152 5161 5170 5179 5187 5196 Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

1.7: Приложения к преобразованиям Лапласа

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

17328

• Уильям Ф. Тренч
• Университет Тринити
9{2}}, \quad n=0,1, \dots.\]

---

Эта страница под названием 1.7: Приложения к преобразованиям Лапласа распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Уильямом Ф. Тренчем.

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Уильям Ф. Тренч

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   3,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

На этой странице Авторы стремятся обсудить его существование, исследуя и предоставляя функции, обладающие согласованным преобразованием Лапласа. Кроме того, представлена ​​теорема сравнения конформных несобственных интегралов для дальнейшего объяснения и обоснования существования конформного преобразования Лапласа для некоторых функций. Единственность устанавливается также для определения обратного созвучного преобразования Лапласа для функций. Кроме того, мы приводим таблицу созвучного преобразования Лапласа обычных функций. Наконец, в качестве приложения мы используем согласное преобразование Лапласа для решения некоторых дробных дифференциальных уравнений.

1. Введение

Многие исследователи пытались определить дробную производную, например, дробную производную Римана–Лиувилля и дробную производную Капуто (см. [1–7]). Большинство определений дают численное решение задач. Однако созвучная производная — это естественное определение, которое дает нам простое и легкое решение проблем. Другие приложения к конформным производным см. в [8–15].

Многие исследователи используют преобразование Лапласа, потому что это рабочий инструмент для решения многих сложных задач, таких как неоднородные дробные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и дробные начальные задачи. Решение может быть сделано с помощью следующих основных шагов. Первый шаг — упростить сложную задачу, преобразовав ее в простое уравнение. Второй шаг состоит в том, чтобы получить решение преобразованной задачи, используя теорию дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений. Последний шаг — вставить обратное дробное преобразование Лапласа в решение преобразованной задачи, чтобы получить решение данной сложной задачи.

В 2015 году Абдельжавад [9] ввел согласное преобразование Лапласа, которое помогает нам решить несколько сильных задач и дифференциальных уравнений дробного порядка. Однако нет исследований существования и единственности созвучного преобразования Лапласа. Поэтому в этой статье мы докажем некоторые результаты о существовании и единственности конформного преобразования Лапласа, а также некоторые новые идеи, касающиеся этой темы. Затем мы приводим таблицу, содержащую созвучное преобразование Лапласа для обычных функций. Наконец, в качестве приложения мы решаем неоднородное дробное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, используя согласное преобразование Лапласа. Дальнейшие результаты о конформном преобразовании Лапласа см. в [16–20].

2. Основы конформного преобразования Лапласа

В 2015 г. Абдельджавад [9] ввел конформное преобразование Лапласа.

Определение 1. Позвольте быть действительнозначной функцией и . Тогда согласное преобразование Лапласа определяется как условие существования интеграла.
Одним из хороших результатов является связь между обычным и конформным преобразованиями Лапласа, которая дается в следующих теоремах.

Теорема 1 (см. [9, 19]). Пусть функция такая, которая существует. Тогда где обычное преобразование Лапласа.

Теорема 2 (см. [9, 19]). Пусть , и пусть , , и . Затем (1) , . (2) , . (3) , . (4) , . (5) , , где и – согласное преобразование Лапласа функций и , соответственно, – произведение свертки и , – согласный интеграл.

3. Существование и единственность согласного преобразования Лапласа

Существование и единственность обычного преобразования Лапласа можно найти в [21, 22]. Когда мы вернемся к определению 1, мы заметим, что интеграл, определяющий согласное преобразование Лапласа, представляет собой несобственный интеграл. Говорят, что функция имеет согласное преобразование Лапласа, если несобственный интеграл сходится. Это заставляет нас задаться вопросом о типах функций, которые имеют созвучные преобразования Лапласа; другими словами, какой тип функций гарантирует сходящийся несобственный интеграл.

Пример 1. Нам необходимо исследовать существование согласного преобразования Лапласа следующих функций: Во-первых, используя определение 1, мы видим, что для сходимости несобственного интеграла необходимо . В этом случае, аналогично , получаем Имеем Путем интегрирования по частям получаем Снова используя Определение 1, находим Если , то так что и отсюда следует, что . Теорема сравнения несобственных интегралов (см. теорему 9 ниже) показала, что из расходимости правого интеграла следует расходимость левого интеграла. Теперь, если , то . По тем же рассуждениям интеграл слева расходится. Следовательно, функция не имеет созвучного дробного преобразования Лапласа.
Предыдущий пример приводит нас к вопросу, какой тип или типы функций имеют созвучное преобразование Лапласа. При более внимательном рассмотрении примера 1 (а) мы замечаем, что при интеграл сходится и критическим компонентом для этой сходимости является тип функции .
Чтобы быть точным, если непрерывная функция при условии, где и и являются константами, то это условие дает Поскольку непрерывно в , пуская, мы имеем С другой стороны, согласно примеру 1 (а), интеграл сходится для . По теореме сравнения созвучных несобственных интегралов (см. теорему 9ниже) интеграл слева также сходится. То есть имеет созвучное преобразование Лапласа.

Определение 2. Функция, удовлетворяющая условию (10), есть функция с созвучным экспоненциальным порядком на бесконечности. Графически это означает, что график содержится в области, ограниченной графиками и для . Обратите также внимание, что этот тип функции контролирует отрицательную экспоненту в интеграле преобразования, чтобы не допустить взрыва интеграла. Если , то говорят, что функция конформна и экспоненциально ограничена.

Теорема 3. Любая ограниченная функция для конформна и экспоненциально ограничена.

Доказательство. Поскольку ограничено для , существует положительная постоянная такая, что для всех . Но это то же самое, что (1) с и . Таким образом, является конформным и экспоненциально ограниченным.
На этом уровне можно поставить следующий вопрос: можно ли ослабить условие непрерывности функции, рассматривая следующую ситуацию?

Пример 2. Мы покажем, что прямоугольная волновая функция с графиком, показанным на рисунке 1, имеет согласное преобразование Лапласа.
Обратите внимание, что функция является периодической периода 2. Так как , мы имеем . Но интеграл справа сходится при , так что интеграл слева также сходится. То есть существует для .
Функция в предыдущем примере относится к типу функции, который мы определяем далее.

Определение 3. (см. [21, 22]). Говорят, что функция кусочно-непрерывна на интервале, если этот интервал можно разбить на конечное число подынтервалов, на которых функция непрерывна на каждом открытом подинтервале (т. е. подынтервале без его концов) и имеет конечный предел в концах (скачковые разрывы и отсутствие вертикальных асимптот) каждого подынтервала.
Заметим, что кусочно-непрерывная функция — это функция, имеющая конечное число изломов и нигде не уходящая в бесконечность. Функция, определенная для, называется кусочно-непрерывной на бесконечном интервале, если она кусочно-непрерывна на для всех .
Далее мы установим существование созвучного преобразования Лапласа для всех кусочно-непрерывных функций, имеющих созвучный экспоненциальный порядок на бесконечности. Для этого нам понадобится следующая теорема о согласии сравнения.

Теорема 4 (теорема сравнения конформных несобственных интегралов). Позвольте и быть обеми совместимыми интегрируемыми функциями для всех при условии для . Если сходится, то сходится и. С другой стороны, если расходится, то и расходится.

Доказательство. Так как созвучные несобственные интегралы задаются формулой, то проще использовать тот же метод доказательства теоремы сравнения несобственных интегралов.

Теорема 5 (существование). Позвольте быть кусочно непрерывным на и иметь конформный экспоненциальный порядок на бесконечности с для . Следовательно, созвучное преобразование Лапласа существует до тех пор, пока .

Доказательство. Интеграл в определении можно разбить на два интеграла следующим образом: Поскольку кусочно непрерывен в , он ограничен там. Положив , имеем Теперь по примеру 1 (а) интеграл сходится при . По теореме 9 интеграл слева также сходится. То есть имеет созвучное преобразование Лапласа.

Замечание 1. Два вышеуказанных условия достаточны, но не обязательны для существования.

Пример 3. Пусть функция , определена на любом интервале. Функция разрывна, так как справа предел стремится к . Однако созвучное преобразование Лапласа существует. В самом деле, явно разрывна в точке 0,
. Теперь, чтобы обосновать существование созвучного преобразования Лапласа , мы должны его вычислить.
Применяя определение 1, мы имеем изменение переменной как Следовательно, это результат, как требуется.
В дальнейшем мы будем обозначать класс всех кусочно-непрерывных функций с конформным экспоненциальным порядком на бесконечности через . Следующая теорема доказывает, что любая линейная комбинация функций из также находится в . Точно так же дело обстоит и с произведением двух функций в .

Теорема 6. Предположим, что и два элемента с (1) Для любых констант и функция также является членом . Более того, (2) Функция является элементом .

Доказательство. (1)Легко видеть, что это кусочно-непрерывная функция. Теперь пусть и . Тогда для имеем Это доказывает, что имеет конформный экспоненциальный порядок на бесконечности. С другой стороны, (2) Ясно, что это кусочно-непрерывная функция. Теперь, пуская , , и , тогда мы видим, что для , имеем Then, имеет созвучный экспоненциальный порядок на бесконечности. По теореме 5 существует для . Далее мы обсудим вопрос о том, как определить функцию, если она задана, т. е. как обратить преобразование. Следующий результат об уникальности дает возможный ответ. Этот результат устанавливает однозначное соответствие между набором и его согласованными преобразованиями Лапласа. В качестве альтернативы следующая теорема гарантирует, что согласное преобразование Лапласа члена в уникально.

Теорема 7 (единственность). Позвольте и быть два элемента в с согласованными преобразованиями Лапласа и такие, что для некоторых . Тогда для всех, где обе функции непрерывны.
Для кусочно-непрерывной функции созвучного экспоненциального порядка на бесконечности, созвучным преобразованием Лапласа которой является , мы называем обратное созвучное преобразование Лапласа и пишем . Символически

Доказательство. Стандартные методы, используемые для доказательства этой теоремы (т. е. комплексный анализ, вычисление остатков и/или интегральная теорема обращения Фурье), как правило, выходят за рамки вводного курса по дифференциальным уравнениям.
Предыдущая теорема утверждает, что если функция непрерывна и имеет согласное преобразование Лапласа , то не существует другой функции, обладающей таким же согласным преобразованием Лапласа. Чтобы найти , мы можем просмотреть таблицы соответствующих преобразований Лапласа известных функций, чтобы найти конкретную, которая дает данное .
Когда функция не является непрерывной, уникальность обратного согласного преобразования Лапласа не гарантируется. В следующем примере объясняется проблема уникальности.

Пример 4. Рассмотрим две функции и (1)Эти две функции равны для всех и, следовательно, они не идентичны. (2)У нас есть .Таким образом, обе функции и обладают одним и тем же созвучным преобразованием Лапласа, даже если они не являются идентичный. Однако они равны на интервале, где они оба непрерывны.
Обратное согласное преобразование Лапласа удовлетворяет линейному свойству, указанному в следующем результате.

Теорема 8. Для двух созвучных преобразований Лапласа и для любых констант и имеем

Доказательство. Предположим, что и .
Так как , мы имеем Мы завершаем эту работу следующей таблицей согласованных пар преобразования Лапласа (см. Таблицу 1).

4. Приложение

Для изучения решения наиболее сложных задач, таких как неоднородное дробное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами и дробные начальные задачи, мы собираемся исследовать следующие теоремы.

Теорема 9 (см. [20]). Позвольте быть непрерывной действительнозначной дифференцируемой функцией и . Затем

Теорема 10 (см. [20]). Позвольте быть непрерывной действительнозначной дифференцируемой функцией и . Затем

Пример 5. Рассмотрим следующую конформную дифференциальную задачу. Решим такую ​​задачу с помощью конформного преобразования Лапласа. Один пишет Let . Тогда уравнение (1) сводится к которому можно упростить к Так как решение уравнения (33) дается Следовательно, Так как константа во втором члене должна быть равна нулю, т.е. Применяя обратное согласное преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (38) , мы получаем Это результат, как и требовалось.

5. Заключение

Авторы в дискретных и непрерывных динамических системах ввели более общую форму преобразования Лапласа для решения дробных динамических уравнений с дробными операторами на системах функций относительно другой функции. Этот метод более эффективен, особенно в дискретных задачах, поскольку конформные преобразования Лапласа в этом случае не единственны. За более подробной информацией мы отсылаем читателей к [23–25]. Однако согласное преобразование Лапласа дает совершенное, простое и точное решение, как мы упоминали в примере 5.

Доступность данных

Данные не использовались для поддержки этого исследования.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Вклад авторов

Все авторы внесли равный вклад в данное исследование.

Литература

1. К. С. Миллер, Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения , J. Wiley Sons, New York, NY, USA, 1993.

2. Х. А. Вахаш и С. К. Панчал, «Положительные решения для обобщенных дробных дифференциальных уравнений капуто с использованием метода нижних и верхних решений», Journal of Fractional Calculus and Nonlinear Systems , vol. 1, стр. 1–12, 2020 г.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

3. А. Атангана и Д. Балеану, «Новые дробные производные с нелокальным и невырожденным ядром: теория и приложение к модели теплопередачи», Thermal Science , том. 20, нет. 2, стр. 763–769, 2016 г.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

4. А. Килбас, «Дробное исчисление типа Адамара», Журнал Корейского математического общества , том. 38, нет. 6, pp. 1191–1204, 2011.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

5. Д. А. Мурио, «Стабильная численная оценка дробных производных Грюнвальда-Летникова, применяемых к дробному IHCP», Обратные задачи в науке и технике , том. 17, нет. 2, стр. 229–243, 2009 г.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

6. М. Капуто и М. Фабрицио, «Новое определение дробной производной без сингулярного ядра», Progress in Fractional Differentiation and Applications , vol. 1, стр. 73–85, 2015.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

7. К. Олдхэм и Дж. Спаниер, Дробное исчисление, теория и приложения дифференцирования и интегрирования произвольного порядка , Academic Press, Кембридж, Массачусетс, США, 1974.

8. Р. Халил, М. Аль Хорани, А. Юсеф и М. Сабабхе, «Новое определение дробной производной», Journal of Computational and Applied Математика , вып. 264, стр. 65–70, 2014.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

9. Т. Абдельджавад, «Об исчислении согласных дробей», Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 279, стр. 57–66, 2015.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

10. М. Абу Хаммад и Р. Халил, «Дробный ряд Фурье с приложениями», Американский журнал вычислительной и прикладной математики , том. 4, стр. 187–191, 2014.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

11. Д. Р. Андерсон, Э. Камуд и Д. Дж. Улнесс, «О природе созвучной производной и ее приложениях к физике», 2019 г. , https://arxiv.org/abs/1810.02005.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

12. А. Бушнак, М. АлХорани и Р. Халил, «Техника тензорных произведений и атомарное решение дробного уравнения Бейт-Ман-Бюргера», Журнал математики и компьютерных наук , том. 11, pp. 330–336, 2021.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

13. А. Гёкдоган, Э. Юнал и Э. Челик, «Теоремы существования и единственности для последовательных линейных согласных дробных дифференциальных уравнений», Miskolc Mathematical Notes , vol. 17, нет. 1, стр. 267–279, 2016.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

14. Р. Халил, М. Аль Хорани и Д. Андерсон, «Неопределенные коэффициенты для локальных дробных дифференциальных уравнений», Journal of Mathematics and Computer Science , vol. 16, нет. 02, стр. 140–146, 2016 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

15. А. Бушенак, Р. Халил и М. Аль Хорани, «Дробный ряд Фурье с разделением переменных и его применение к дробным дифференциальным уравнениям», ВСЕАС Труды по математике , том. 20, стр. 2224–2880, 2021.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

16. М. Аята и О. Озкан, «Новое применение согласного метода разложения Лапласа для дробного уравнения Ньюэлла-Уайтхеда-Сегеля», AIMS, математика , том. 5, нет. 6, стр. 7402–7412, 2020.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

17. Ф. С. Сильва, Д. М. Морейра, М. А. Морет, «Согласное преобразование Лапласа дробных дифференциальных уравнений», Аксиомы , том. 7, нет. 55, 2018.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

18. Н. А. Хан, О. А. Раззак и М. Аяз, «Некоторые свойства и приложения согласного дробного преобразования Лапласа (CFLT)», Journal of Fractional Calculus and Applications , vol. 9, нет. 1, pp. 2090–5858, 2018.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

19. Z. Al-zhour, F. Alrawajeh, N. Al-mutairi, and R. Alkhasawneh, “Новые результаты по созвучным дробные преобразования Сумуду: теории и приложения», Международный журнал анализа и приложений , том. 17, нет. 6, стр. 1019–1033, 2019.

    Просмотр по адресу:

    Google Scholar

20. Б. Ахмед, «Обобщение дробного преобразования Лапласа для более высокого порядка и его применение», Журнал инновационной прикладной математики и вычислительных наук , том. 1, нет. 1, стр. 79–92, 2021.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

21. М. Б. Финанс, Преобразования Лапласа: теоретические проблемы и решения , Арканзасский технический университет, Расселвилл, Арканзас, США, 1974.

22. М. Б. Финанс, Математика 3243: дифференциальные уравнения I (осень 2021) , Арканзасский технический университет, Расселвилл, Арканзас, США, 2021. 9003 Ф. Джарад, Т. Абдельджавад и Т. Абдельджавад, «Обобщенные дробные производные и преобразование Лапласа», Дискретные и непрерывные динамические системы — S , том. 13, нет. 3, стр. 709–722, 2020.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Академия Google

23. Т. Абдельджавад, Дж. Алзабут и Ф. Джарад, «Обобщенное неравенство типа Ляпунова в системе согласных производных», Advances in Difference Equations , vol. 10, 2017.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

24. Т. Абдельджавад, К. М. Аль-Мдаллал и Ф. Джарад, «Дробные логистические модели в рамках дробных операторов, порожденных согласованными производными», Chaos Solitons and Fractals , vol. 119, стр. 94–101, 2019.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

Copyright

Copyright © 2022 Jihad Younis et al. Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

Paris Дизайнер Луис Лаплас оживляет комнаты Старого Света искусством

Дизайнерский прожектор

Талант аргентинского происхождения умеет помогать серьезным коллекционерам демонстрировать свои внушительные владения.

Хелен Чизлетт

26 мая 2019 года Луис Лаплас работал у архитектора Аннабель Сельдорф в своей родной Аргентине, а также в Испании и США, прежде чем открыть собственную студию в Париже. Вверху: в гостиной парижской квартиры Лапласа есть диван Elsa Gullberg, торшер Mathieu Matégot, итальянское кресло, табуреты Maison Jansen и, крайний справа, 9 часов Пола Маккарти.0032 Дерево Бранкузи, 2007 г. Все фотографии сделаны Баби Карвальо, если не указано иное

Когда дизайнер интерьеров Луис Лаплас рос в Буэнос-Айресе в 1970-х и 80-х годах, он проводил много времени в частном аэропорту, который его дед-пилот основал после Второй мировой войны. «Мой дедушка брал меня с собой в полеты к друзьям на выходные и праздники, — вспоминает он. «С ним было очень интересно путешествовать, и он понимал мое стремление заглянуть за пределы моего ближайшего окружения».

Мать Лапласа, руководившая аэропортом, также оказала значительное влияние, как и его отец, юрист, хотя они развелись, когда Лаплас был молод. «У моего отца был гораздо более традиционный и структурированный взгляд на жизнь, чем у моей матери, — говорит он. «Но он также любил свободу танца. Мы проводили с ним выходные за просмотром фильмов Фреда Астера и Джинджер Роджерс». Хотя ни один из родителей не был художником, Лаплас вырос с большим пониманием важности искусства, и его мать и отец поощряли его исследовать книги, музеи и галереи.

Карьера Лапласа в дизайне была одновременно художественной и структурированной. После окончания Университета Бельграно в 1995 году со степенью в области архитектуры и градостроительства, в 1996 году он почти сразу же был нанят Аннабель Сельдорф, основательницей Selldorf Architects. Несколько лет спустя он переехал на Майорку, Испания, где помогал в проект в течение двух лет, прежде чем присоединиться к практике Селлдорфа в Нью-Йорке. «Именно у Аннабель я действительно научился искусству внутренней архитектуры», — говорит он. «Чем старше я становлюсь, тем больше понимаю, что есть большая польза от того, чтобы один разум руководил всем от начала до конца». Он любил волнение и энергию Нью-Йорка, но переехал в Европу после 9 лет./11. «Это так расстроило меня на очень глубоком уровне, что я знал, что должен уйти». В 2004 году он открыл одноименную практику в Париже вместе со своим партнером Кристофером Комой, имеющим юридическое и финансовое образование.

Слева: в кабинете своего парижского дома дизайнер разместил торшер Hans Agne Jakobsson рядом с диваном Fritz Hansen. Выше висят работы Луизы Буржуа ( I Do, 2010) и Жана Кокто ( La mort du Toréador, 1955). Справа: итальянский диван и лакированный журнальный столик Maison Jansen в другом месте квартиры — все они принадлежат 1stdibs.

Сегодня в студии работает более 15 архитекторов, дизайнеров и специалистов по декоративно-прикладному искусству, которые работают в красивом здании 19-го века, выходящем окнами на площадь Сен-Жорж, в районе, известном как La Nouvelle Athènes. В нем также есть одно выставочное пространство, в котором представлена ​​​​коллекция Laplace Bespoke — мебель, освещение и аксессуары его собственного дизайна — наряду со старинными, винтажными и уникальными предметами, которые он лично отобрал. В этом году он открыл l’Atelier Laplace, дополнительное пространство для приема клиентов на первом этаже здания с выходом на садовую террасу. «Нам нравится принимать людей здесь, как будто они у нас дома», — говорит он о студии. «Это очень дружелюбное место с баром, лаунджами и небольшим садом. Идея состоит в том, чтобы показать, как мы работаем очень естественным образом».

В том же здании находится собственная квартира пары, которую Лаплас обставил в типично эклектичной манере, смешав предметы середины 20-го века, такие как кресла Digamma Иньяцио Гарделлы, торшер Матье Матего и красный стол Жака и Дани Рюэллана. лампа — с ключевыми деталями из его линии Bespoke.

Лаплас яростно скупает антикварные, винтажные и современные предметы коллекционирования для своих клиентов. Он признается в пристрастии к таким произведениям. В его собственной квартире, например, есть лампа Venini из муранского стекла и диван Edward Wormley, последний купленный у дилера 1stdibs MORENTZ, а в выставочном зале часто представлены такие предметы, как датская керамика и диваны Carlo Scarpa, полученные с платформы. «Если и есть что-то хорошее в глобализации, — отмечает Лаплас, — так это то, что мы можем создавать пространства из предметов со всего мира — французский стол семидесятых годов рядом с приставным столиком в стиле ар-деко из Австрии или бразильская лампа рядом с итальянский диван. Важно то, что каждый объект говорит с другим».

В мексиканском городе Морелия Лаплас отреставрировал и перепроектировал каменный особняк 18-го века Casa Michelena для коллекционера произведений искусства Алехандро Рамиреса Маганьи, генерального директора сети кинотеатров Cinépolis. В гостиной плетеные кресла Pierre Jeanneret составляют компанию итальянскому креслу 1950-х годов, а также произведениям искусства Диего Риверы ( Familia Veracruzana con trajes Papantlecas, 1957) и Карлоса Мериды ( Noviembre, 2013).

Для стен столовой в Casa Michelena Лаплас черпал вдохновение из росписи Филипа Гастона в соседней университетской библиотеке и поручил местному художнику Хосе Роберто Сото создать фреску с изображением флоры и фауны, встречающейся в районе Морелии. Стол и стулья от Alfonso Marina, а серебро от Christofle.

То, что больше всего отличает фирму Лапласа от других дизайн-студий, — это ее сосредоточенность на искусстве, о чем свидетельствуют как ее проекты для галерей и музеев, такие как проект в Сан-Себастьяне, Испания, посвященный творчеству Эдуардо Чильиды, так и частные резиденции, которые он создает для коллекционеров произведений искусства и художников, в том числе парижская квартира для Синди Шерман. «Искусство всегда присутствует в нашей работе, — говорит он. «Мы поставили себя на его службу. Мы знаем искусство, мы понимаем искусство и сопереживаем тому, как коллекционеры относятся к искусству». Это сделало его избранным дизайнером для таких выдающихся коллекционеров, как Мик Флик, Николя Каттелейн, Адриана Абаскаль, а также Иван и Мануэла Вирт.

Однако

Лаплас никогда бы не стал разрабатывать декор специально для того, чтобы «сочетаться» с произведениями искусства, которые он отображает. Он прекрасно понимает, что это может помешать творческой гибкости домовладельца. «Самое последнее, что мы будем делать, — это обить диван под картину», — объясняет он. «Мы понимаем, насколько важно, чтобы люди могли менять свое искусство без необходимости постоянного ремонта».

В то время как многие люди приходят к Лапласу с очень конкретными инструкциями о том, как их искусство должно быть представлено, другие обращаются к нему за руководством. «Мы помогаем им улучшать свои коллекции и устанавливать их наилучшим образом», — говорит он. Неудивительно, что он часто посещает с клиентами ведущие арт-ярмарки.

Парижский дизайнер Луис Лаплас оживляет свои комнаты искусством

Уроженец Аргентины, парижский дизайнер Луис Лаплас переосмыслил Casa Michelena — особняк 18-го века в Морелии, Мексика, — чтобы на верхних этажах он служил частным домом своего клиента (чей здесь виден бар), с общественными местами на уровне улицы.

Дом Микелена построен вокруг ряда дворов с колоннадами. Лаплас превратил это крытое патио в гостиную на свежем воздухе.

La Conspiración, ресторан на первом этаже Case Michelena, имеет стулья Thonet за каждым столом.

Картина Рони Хорн Untitled, No. 2, 1999, висит над камином в гостиной Durslade Farmhouse, гостиницы, спроектированной Лапласом в графстве Сомерсет в Англии. Фото Аарона Шумана

Лаплас заполнил гостиницу антиквариатом и винтажными предметами из разных источников, многие из которых местные, а также современным искусством. Фото Кевина Митчелла

Фреска Гильермо Куитки затмевает собой столовую фермерского дома Дурслейд. Фото Аарона Шумана

Одна из ванных комнат гостиницы играет дополнительными цветами, контрастируя насыщенно-фиолетовому цвету ванны с глубоким золотым оттенком стены. Фото Аарона Шумана

В настоящее время Laplace работает в основном над жилыми проектами в Англии, Испании, Германии, Франции, США, Канаде, на Балеарских островах и в Мексике, а также в других местах по всему миру. Он особенно взволнован большим домом, который он проектирует в Кариесе, на западе Мексики, новой постройкой площадью 30 000 квадратных футов, архитектуру и интерьеры которой он создал как единое целое. «Преимущество работы за пределами Европы в таком месте заключается в том, что вам разрешено делать что-то такого масштаба», — говорит он о доме с 10 спальнями. «Он высечен в скале с видом на Тихий океан, и сочетание природы, побережья и воды превосходно. Мы играем с эффектом света в разное время суток, стремясь к идеальному балансу между чистой архитектурой и интерьером». С этой целью он создал скрытые, но стратегически расположенные световые люки, чтобы привлечь непрямой солнечный свет в дом.

Табурет Бернта Петерсона стоит за столом, увенчанным вазами Daum, в кабинете студии Лапласа, которая занимает то же здание 19-го века с видом на площадь Сен-Жорж, что и его парижский дом.

Звездой портфолио Лапласа является Каса Микелена в мексиканском городе Морелия, каменный особняк мексиканского испаноязычного происхождения 18-го века, построенный вокруг ряда внутренних дворов. Владелец Алехандро Рамирес Маганья, генеральный директор сети кинотеатров Cinépolis, поручил ему переоборудовать его как вторичную частную резиденцию и включить в него общественные места, такие как ресторан, кафе/книжный магазин и пекарня. Лаплас разыскал и нанял местных мастеров, которые работают с деревом, камнем, керамикой, текстилем и медью — последнее является специальностью этого района. Он отправился к местным торговцам антиквариатом во Франции и Мексике, чтобы купить мебель в испанском стиле, столь типичную для этого региона, но также привнес европейские штрихи, такие как внушительные 19Итальянские фонари 50-х годов в столовой.

Для создания этой комнаты Лаплас черпал вдохновение из впечатляющей фрески американского художника Филипа Гастона Инквизиция, , которая выставлена ​​в библиотеке университета в Морелии, и поручил местному художнику-монументалисту Хосе Роберто Сото создать эпическую работу, изображающую флору и фауна региона. Маганья является огромным коллекционером произведений искусства таких светил, как Диего Ривера, а также местных современных талантов. Лаплас смешивал свои произведения в провокационных сопоставлениях, как в салоне, где сгоревшие картины Давиде Балулы противостоят абстракции Карлоса Мериды. «Моя цель состояла в том, чтобы позволить моему клиенту перемещать предметы искусства, когда он того пожелает, — говорит он, — и иметь в интерьере гибкость, позволяющую вносить новые работы». В декоре также прославляется местная морелианская керамика с такими предметами, как огромные в форме ананаса, которые традиционно дарят в качестве подарка на новоселье, выставленные на каминной полке в той же комнате.

Коллекция книг по искусству и дизайну и различные предметы занимают простые металлические полки в мастерской Лапласа.

Лаплас гордится своим прагматизмом, полагая, что он потерпел бы неудачу, если бы клиенты жаловались, что они не могут удобно сидеть или развлекаться должным образом. «Меня не интересует поверхностное или зрелищное, — говорит он. «Моя навязчивая идея — в первую очередь удовлетворить потребности клиента и убедиться, что все работает правильно. Из этого вытекает истинная красота». Он также считает своей работой выполнение трех разных ролей: архитектора, дизайнера интерьеров и специалиста по искусству. «Каждый из них должен выполнять свою функцию, — заключает он, — но в конце концов все должно гармонично сойтись».

---

Быстрый выбор Луиса Лапласа

Купить сейчас

Ваза René Lalique Albert, 1925 год, предложена BG Arts

«Стеклянные вазы Lalique, изготовленные еще до Второй мировой войны, всегда добавляют цвет в пространство. У этого, в частности, красивый темно-синий цвет, который, вероятно, невозможно получить сегодня».

Купить сейчас

Eva Stæhr-Nielsen Ваза Saxbo из керамогранита, 1960-е годы, предложена Helmer Design & Antik

«Датская керамика Saxbo отлично подходит для коллекционирования. Мне нравится, как их шероховатость и земляной налет сочетаются с нюансами цвета».

Купить сейчас

Диван Carlo Scarpa для Simon Cornaro, 1973 г., предложен MORENTZ

«Похожий диван мы установили в нашем новом выставочном зале в Париже. Пропорции и простой дизайн идеально подходят для гостиной в любом контексте».

Купить сейчас

Кресло для отдыха Martin Grierson, 1960 г., представлено в магазине Contemporary Showroom

«Мне нравится ретро-стиль этого изделия. Детали деревянной спинки просто невероятно графичны. Приятно установить в комнате с телевизором или в офисе».

No related posts.