Таблица логарифмов по основанию 10: Таблица-шпаргалка логарифмов: десятичных, по основанию 2

Содержание

Таблица-шпаргалка логарифмов: десятичных, по основанию 2

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

Ниже представлена таблица логарифмов (по основанию 2, 10 и числу e), которую можно использовать для выполнения быстрых расчетов, а также, проверки своих знаний.


x	log₁₀x	log₂x	log_ex
0	—	—	—
0⁺	— ∞	— ∞	— ∞
0001″ data-order=»0.0001″>0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	965784″ data-order=»-9.965784″>-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
1″ data-order=»0.1″>0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	301030″ data-order=»0.301030″>0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	098612″ data-order=»1.098612″>1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	698970″ data-order=»0.698970″>0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	791759″ data-order=»1.791759″>1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	903090″ data-order=»0.903090″>0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	197225″ data-order=»2.197225″>2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	301030″ data-order=»1.301030″>1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	401197″ data-order=»3.401197″>3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	698970″ data-order=»1.698970″>1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	094345″ data-order=»4.094345″>4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	903090″ data-order=»1.903090″>1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	499810″ data-order=»4.499810″>4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	301030″ data-order=»2.301030″>2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	703782″ data-order=»5.703782″>5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	698970″ data-order=»2.698970″>2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	396930″ data-order=»6.396930″>6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	903090″ data-order=»2.903090″>2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	802395″ data-order=»6.802395″>6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	287712″ data-order=»13.287712″>13.287712	9.210340

microexcel.ru

Смотрите также: “Функция логарифма в Excel: формула расчета”

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Таблица логарифмов по основанию для школьников и студентов

log₂2 — log₂100

log₂2 = 1. 0000
log₂3 = 1.5850
log₂4 = 2.0000
log₂5 = 2.3219
log₂6 = 2.5850
log₂7 = 2.8074
log₂8 = 3.0000
log₂9 = 3.1699
log₂10 = 3.3219
log₂11 = 3.4594
log₂12 = 3.5850
log₂13 = 3.7004
log₂14 = 3.8074
log₂15 = 3.9069
log₂16 = 4.0000
log₂17 = 4.0875
log₂18 = 4.1699
log₂19 = 4.2479
log₂20 = 4.3219
log₂21 = 4.3923
log₂22 = 4.4594
log₂23 = 4.5236
log₂24 = 4.5850
log₂25 = 4.6439
log₂26 = 4.7004
log₂27 = 4.7549
log₂28 = 4.8074

log₂29 = 4.8580
log₂30 = 4.9069
log₂31 = 4.9542
log₂32 = 5.0000
log₂33 = 5.0444
log₂34 = 5.0875
log₂35 = 5.

1293
log₂36 = 5.1699
log₂37 = 5.2095
log₂38 = 5.2479
log₂39 = 5.2854
log₂40 = 5.3219
log₂41 = 5.3576
log₂42 = 5.3923
log₂43 = 5.4263
log₂44 = 5.4594
log₂45 = 5.4919
log₂46 = 5.5236
log₂47 = 5.5546
log₂48 = 5.5850
log₂49 = 5.6147
log₂50 = 5.6439
log₂51 = 5.6724
log₂52 = 5.7004
log₂53 = 5.7279
log₂54 = 5.7549
log₂55 = 5.7814
log₂56 = 5.8074

log₂57 = 5.8329
log₂58 = 5.8580
log₂59 = 5.8826
log₂60 = 5.9069
log₂61 = 5.9307
log₂62 = 5.9542
log₂63 = 5.9773
log₂64 = 6.0000
log₂65 = 6.0224
log₂66 = 6.0444
log₂67 = 6.0661
log₂68 = 6.

0875
log₂69 = 6.1085
log₂70 = 6.1293
log₂71 = 6.1497
log₂72 = 6.1699
log₂73 = 6.1898
log₂74 = 6.2095
log₂75 = 6.2288
log₂76 = 6.2479
log₂77 = 6.2668
log₂78 = 6.2854
log₂79 = 6.3038
log₂80 = 6.3219
log₂81 = 6.3399
log₂82 = 6.3576
log₂83 = 6.3750
log₂84 = 6.3923
log₂85 = 6.4094
log₂86 = 6.4263
log₂87 = 6.4429
log₂88 = 6.4594
log₂89 = 6.4757
log₂90 = 6.4919
log₂91 = 6.5078
log₂92 = 6.5236
log₂93 = 6.5392
log₂94 = 6.5546
log₂95 = 6.5699
log₂96 = 6.5850
log₂97 = 6.5999
log₂98 = 6.6147
log₂99 = 6.6294
log₂100 = 6.6439

log₃2 — log₃100

log₃2 = 0. 6309
log₃3 = 1.0000
log₃4 = 1.2619
log₃5 = 1.4650
log₃6 = 1.6309
log₃7 = 1.7712
log₃8 = 1.8928
log₃9 = 2.0000
log₃10 = 2.0959
log₃11 = 2.1827
log₃12 = 2.2619

log₃13 = 2.3347
log₃14 = 2.4022
log₃15 = 2.4650
log₃16 = 2.5237
log₃17 = 2.5789
log₃18 = 2.6309
log₃19 = 2.6801
log₃20 = 2.7268
log₃21 = 2.7712
log₃22 = 2.8136
log₃23 = 2.8540
log₃24 = 2.8928
log₃25 = 2.9299
log₃26 = 2.9656
log₃27 = 3.0000
log₃28 = 3.0331
log₃29 = 3.0650
log₃30 = 3.0959
log₃31 = 3.1257
log₃32 = 3.1546
log₃33 = 3.1827
log₃34 = 3.2098
log₃35 = 3.

2362
log₃36 = 3.2619
log₃37 = 3.2868
log₃38 = 3.3111
log₃39 = 3.3347
log₃40 = 3.3578
log₃41 = 3.3802
log₃ 42 = 3.4022
log₃43 = 3.4236
log₃44 = 3.4445
log₃45 = 3.4650
log₃46 = 3.4850
log₃47 = 3.5046
log₃48 = 3.5237
log₃49 = 3.5425
log₃50 = 3.5609
log₃51 = 3.5789
log₃52 = 3.5966
log₃53 = 3.6139
log₃54 = 3.6309
log₃55 = 3.6476
log₃56 = 3.6640
log₃57 = 3.6801
log₃58 = 3.6960
log₃59 = 3.7115
log₃60 = 3.7268
log₃61 = 3.7419
log₃62 = 3.7567
log₃63 = 3.7712
log₃64 = 3.7856
log₃65 = 3.7997
log₃66 = 3.8136
log₃67 = 3.8273
log₃68 = 3.

8408
log₃69 = 3.8540
log₃70 = 3.8671
log₃71 = 3.8801

log₃72 = 3.8928
log₃73 = 3.9053
log₃74 = 3.9177
log₃75 = 3.9299
log₃76 = 3.9420
log₃77 = 3.9539
log₃78 = 3.9656
log₃79 = 3.9772
log₃80 = 3.9887
log₃81 = 4.0000
log₃82 = 4.0112
log₃83 = 4.0222
log₃84 = 4.0331
log₃85 = 4.0439
log₃86 = 4.0545
log₃87 = 4.0650
log₃88 = 4.0754
log₃89 = 4.0857
log₃90 = 4.0959
log₃91 = 4.1060
log₃92 = 4.1159
log₃93 = 4.1257
log₃94 = 4.1355
log₃95 = 4.1451
log₃96 = 4.1546
log₃97 = 4.1641
log₃98 = 4.1734
log₃99 = 4.1827
log₃100 = 4.1918

log₄2 — log₄100

log

42 = 0.

5000
log₄3 = 0.7925
log₄4 = 1.0000
log₄5 = 1.1610
log₄6 = 1.2925
log₄7 = 1.4037
log₄8 = 1.5000
log₄9 = 1.5850
log₄10 = 1.6610
log₄11 = 1.7297
log₄12 = 1.7925
log₄13 = 1.8502
log₄14 = 1.9037
log₄15 = 1.9534
log₄16 = 2.0000
log₄17 = 2.0437
log₄18 = 2.0850
log₄19 = 2.1240
log₄20 = 2.1610
log₄21 = 2.1962
log₄22 = 2.2297
log₄23 = 2.2618
log₄24 = 2.2925
log₄25 = 2.3219
log₄26 = 2.3502
log₄27 = 2.3774
log₄28 = 2.4037
log₄29 = 2.4290
log₄30 = 2.4534
log₄31 = 2.4771

log₄32 = 2.5000
log₄33 = 2.5222
log₄34 = 2.5437
log₄35 = 2.

5646
log₄36 = 2.5850
log₄37 = 2.6047
log₄38 = 2.6240
log₄39 = 2.6427
log₄40 = 2.6610
log₄41 = 2.6788
log₄42 = 2.6962
log₄43 = 2.7131
log₄44 = 2.7297
log₄45 = 2.7459
log₄46 = 2.7618
log₄47 = 2.7773
log₄48 = 2.7925
log₄49 = 2.8074
log₄50 = 2.8219
log₄51 = 2.8362
log₄52 = 2.8502
log₄53 = 2.8640
log₄54 = 2.8774
log₄55 = 2.8907
log₄56 = 2.9037
log₄57 = 2.9164
log₄58 = 2.9290
log₄59 = 2.9413
log₄60 = 2.9534
log₄61 = 2.9654
log₄62 = 2.9771
log₄63 = 2.9886
log₄64 = 3.0000
log₄65 = 3.0112
log₄66 = 3.0222
log₄67 = 3.0330
log₄68 = 3.

0437
log₄69 = 3.0543
log₄70 = 3.0646
log₄71 = 3.0749
log₄72 = 3.0850
log₄73 = 3.0949
log₄74 = 3.1047
log₄75 = 3.1144
log₄76 = 3.1240
log₄77 = 3.1334
log₄78 = 3.1427
log₄79 = 3.1519
log₄80 = 3.1610
log₄81 = 3.1699
log₄82 = 3.1788
log₄83 = 3.1875
log₄84 = 3.1962
log₄85 = 3.2047
log₄86 = 3.2131
log₄87 = 3.2215
log₄88 = 3.2297
log₄89 = 3.2379
log₄90 = 3.2459
log₄91 = 3.2539
log₄92 = 3.2618
log₄93 = 3.2696
log₄94 = 3.2773
log₄95 = 3.2849
log₄96 = 3.2925
log₄97 = 3.3000
log₄98 = 3.3074
log₄99 = 3.3147
log₄100 = 3.3219

log₅2 — log₅100

log₅2 = 0. 4307
log₅3 = 0.6826
log₅4 = 0.8614
log₅5 = 1.0000
log₅6 = 1.1133
log₅7 = 1.2091
log₅8 = 1.2920
log₅9 = 1.3652
log₅10 = 1.4307
log₅11 = 1.4899
log₅12 = 1.5440
log₅13 = 1.5937
log₅14 = 1.6397

log₅15 = 1.6826
log₅16 = 1.7227
log₅17 = 1.7604
log₅18 = 1.7959
log₅19 = 1.8295
log₅20 = 1.8614
log₅21 = 1.8917
log₅22 = 1.9206
log₅23 = 1.9482
log₅24 = 1.9746
log₅25 = 2.0000
log₅26 = 2.0244
log₅27 = 2.0478
log₅28 = 2.0704
log₅29 = 2.0922
log₅30 = 2.1133
log₅31 = 2.1337
log₅32 = 2.1534
log₅33 = 2.1725
log₅34 = 2.1911
log₅35 = 2.

2091
log₅36 = 2.2266
log₅37 = 2.2436
log₅38 = 2.2602
log₅39 = 2.2763
log₅40 = 2.2920
log₅41 = 2.3074
log₅42 = 2.3223
log₅43 = 2.3370
log₅44 = 2.3512
log₅45 = 2.3652
log₅46 = 2.3789
log₅47 = 2.3922
log₅48 = 2.4053
log₅49 = 2.4181
log₅50 = 2.4307
log₅51 = 2.4430
log₅52 = 2.4550
log₅53 = 2.4669
log₅54 = 2.4785
log₅55 = 2.4899
log₅56 = 2.5011
log₅57 = 2.5121
log₅58 = 2.5229
log₅59 = 2.5335
log₅60 = 2.5440
log₅61 = 2.5542
log₅62 = 2.5643
log₅63 = 2.5743
log₅64 = 2.5841
log₅65 = 2.5937
log₅66 = 2.6032
log₅67 = 2.6125
log₅68 = 2.

6217
log₅69 = 2.6308
log₅70 = 2.6397
log₅71 = 2.6486
log₅72 = 2.6572
log₅73 = 2.6658
log₅74 = 2.6743
log₅75 = 2.6826
log₅76 = 2.6908
log₅77 = 2.6990
log₅78 = 2.7070
log₅79 = 2.7149
log₅80 = 2.7227
log₅81 = 2.7304
log₅82 = 2.7380
log₅83 = 2.7456
log₅84 = 2.7530
log₅85 = 2.7604
log₅86 = 2.7676
log₅87 = 2.7748
log₅88 = 2.7819
log₅89 = 2.7889
log₅90 = 2.7959
log₅91 = 2.8028
log₅92 = 2.8095
log₅93 = 2.8163
log₅94 = 2.8229
log₅95 = 2.8295
log₅96 = 2.8360
log₅97 = 2.8424
log₅98 = 2.8488
log₅99 = 2.8551
log₅100 = 2.8614

log₆2 — log₆100

log₆2 = 0. 3869
log₆3 = 0.6131
log₆4 = 0.7737
log₆5 = 0.8982
log₆6 = 1.0000
log₆7 = 1.0860
log₆8 = 1.1606
log₆9 = 1.2263
log₆10 = 1.2851
log₆11 = 1.3383
log₆12 = 1.3869
log₆13 = 1.4315
log₆14 = 1.4729
log₆15 = 1.5114
log₆16 = 1.5474
log₆17 = 1.5812
log₆18 = 1.6131
log₆19 = 1.6433
log₆20 = 1.6720
log₆21 = 1.6992
log₆22 = 1.7251
log₆23 = 1.7500
log₆24 = 1.7737
log₆25 = 1.7965
log₆26 = 1.8184
log₆27 = 1.8394
log₆28 = 1.8597
log₆29 = 1.8793
log₆30 = 1.8982
log₆31 = 1.9165
log₆32 = 1.9343
log₆33 = 1.9514
log₆34 = 1.9681
log₆35 = 1. 9843
log₆36 = 2.0000
log₆37 = 2.0153
log₆38 = 2.0302
log₆39 = 2.0447
log₆40 = 2.0588
log₆41 = 2.0726
log₆42 = 2.0860
log₆43 = 2.0992
log₆44 = 2.1120
log₆45 = 2.1245
log₆46 = 2.1368
log₆47 = 2.1488
log₆48 = 2.1606
log₆49 = 2.1721
log₆50 = 2.1833
log₆51 = 2.1944
log₆52 = 2.2052
log₆53 = 2.2159
log₆54 = 2.2263
log₆55 = 2.2365
log₆56 = 2.2466
log₆57 = 2.2565
log₆58 = 2.2662
log₆59 = 2.2757
log₆60 = 2.2851
log₆61 = 2.2943
log₆62 = 2.3034
log₆63 = 2.3123
log₆64 = 2.3211
log₆65 = 2.3298
log₆66 = 2.3383
log₆67 = 2.3467
log₆68 = 2. 3550
log₆69 = 2.3631
log₆70 = 2.3711
log₆71 = 2.3790
log₆72 = 2.3869
log₆73 = 2.3946
log₆74 = 2.4021
log₆75 = 2.4096
log₆76 = 2.4170
log₆77 = 2.4243
log₆78 = 2.4315
log₆79 = 2.4386
log₆80 = 2.4457
log₆81 = 2.4526
log₆82 = 2.4594
log₆83 = 2.4662
log₆84 = 2.4729
log₆85 = 2.4795
log₆86 = 2.4860
log₆87 = 2.4925
log₆88 = 2.4988
log₆89 = 2.5052
log₆90 = 2.5114
log₆91 = 2.5176
log₆92 = 2.5237
log₆93 = 2.5297
log₆94 = 2.5357
log₆95 = 2.5416
log₆96 = 2.5474
log₆97 = 2.5532
log₆98 = 2.5589
log₆99 = 2.5646
log₆100 = 2.5702

log₇2 — log₇100

log₇2 = 0. 3562
log₇3 = 0.5646
log₇4 = 0.7124
log₇5 = 0.8271
log₇6 = 0.9208
log₇7 = 1.0000
log₇8 = 1.0686
log₇9 = 1.1292
log₇10 = 1.1833
log₇11 = 1.2323
log₇12 = 1.2770
log₇13 = 1.3181
log₇14 = 1.3562
log₇15 = 1.3917
log₇16 = 1.4248
log₇17 = 1.4560
log₇18 = 1.4854
log₇19 = 1.5131
log₇20 = 1.5395
log₇21 = 1.5646
log₇22 = 1.5885
log₇23 = 1.6113
log₇24 = 1.6332
log₇25 = 1.6542
log₇26 = 1.6743
log₇27 = 1.6937
log₇28 = 1.7124
log₇29 = 1.7304
log₇30 = 1.7479
log₇31 = 1.7647
log₇32 = 1.7810
log₇33 = 1.7968
log₇34 = 1.8122
log₇35 = 1. 8271
log₇36 = 1.8416
log₇37 = 1.8556
log₇38 = 1.8693
log₇39 = 1.8827
log₇40 = 1.8957
log₇41 = 1.9084
log₇42 = 1.9208
log₇43 = 1.9329
log₇44 = 1.9447
log₇45 = 1.9562
log₇46 = 1.9675
log₇47 = 1.9786
log₇48 = 1.9894
log₇49 = 2.0000
log₇50 = 2.0104
log₇51 = 2.0206
log₇52 = 2.0305
log₇53 = 2.0403
log₇54 = 2.0499
log₇55 = 2.0594
log₇56 = 2.0686
log₇57 = 2.0777
log₇58 = 2.0867
log₇59 = 2.0954
log₇60 = 2.1041
log₇61 = 2.1126
log₇62 = 2.1209
log₇63 = 2.1292
log₇64 = 2.1372
log₇65 = 2.1452
log₇66 = 2.1531
log₇67 = 2.1608
log₇68 = 2. 1684
log₇69 = 2.1759
log₇70 = 2.1833
log₇71 = 2.1906
log₇72 = 2.1978
log₇73 = 2.2049
log₇74 = 2.2119
log₇75 = 2.2187
log₇76 = 2.2256
log₇77 = 2.2323
log₇78 = 2.2389
log₇79 = 2.2455
log₇80 = 2.2519
log₇81 = 2.2583
log₇82 = 2.2646
log₇83 = 2.2708
log₇84 = 2.2770
log₇85 = 2.2831
log₇86 = 2.2891
log₇87 = 2.2950
log₇88 = 2.3009
log₇89 = 2.3067
log₇90 = 2.3124
log₇91 = 2.3181
log₇92 = 2.3237
log₇93 = 2.3293
log₇94 = 2.3348
log₇95 = 2.3402
log₇96 = 2.3456
log₇97 = 2.3509
log₇98 = 2.3562
log₇99 = 2.3614
log₇100 = 2.3666

log₈2 — log₈100

log₈2 = 0. 3333
log₈3 = 0.5283
log₈4 = 0.6667
log₈5 = 0.7740
log₈6 = 0.8617
log₈7 = 0.9358
log₈8 = 1.0000
log₈9 = 1.0566
log₈10 = 1.1073
log₈11 = 1.1531
log₈12 = 1.1950
log₈13 = 1.2335
log₈14 = 1.2691
log₈15 = 1.3023
log₈16 = 1.3333
log₈17 = 1.3625
log₈18 = 1.3900
log₈19 = 1.4160
log₈20 = 1.4406
log₈21 = 1.4641
log₈22 = 1.4865
log₈23 = 1.5079
log₈24 = 1.5283
log₈25 = 1.5480
log₈26 = 1.5668
log₈27 = 1.5850
log₈28 = 1.6025
log₈29 = 1.6193
log₈30 = 1.6356
log₈31 = 1.6514
log₈32 = 1.6667
log₈33 = 1.6815
log₈34 = 1.6958
log₈35 = 1. 7098
log₈36 = 1.7233
log₈37 = 1.7365
log₈38 = 1.7493
log₈39 = 1.7618
log₈40 = 1.7740
log₈41 = 1.7859
log₈42 = 1.7974
log₈43 = 1.8088
log₈44 = 1.8198
log₈45 = 1.8306
log₈46 = 1.8412
log₈47 = 1.8515
log₈48 = 1.8617
log₈49 = 1.8716
log₈50 = 1.8813
log₈51 = 1.8908
log₈52 = 1.9001
log₈53 = 1.9093
log₈54 = 1.9183
log₈55 = 1.9271
log₈56 = 1.9358
log₈57 = 1.9443
log₈58 = 1.9527
log₈59 = 1.9609
log₈60 = 1.9690
log₈61 = 1.9769
log₈62 = 1.9847
log₈63 = 1.9924
log₈64 = 2.0000
log₈65 = 2.0075
log₈66 = 2.0148
log₈67 = 2.0220
log₈68 = 2. 0292
log₈69 = 2.0362
log₈70 = 2.0431
log₈71 = 2.0499
log₈72 = 2.0566
log₈73 = 2.0633
log₈74 = 2.0698
log₈75 = 2.0763
log₈76 = 2.0826
log₈77 = 2.0889
log₈78 = 2.0951
log₈79 = 2.1013
log₈80 = 2.1073
log₈81 = 2.1133
log₈82 = 2.1192
log₈83 = 2.1250
log₈84 = 2.1308
log₈85 = 2.1365
log₈86 = 2.1421
log₈87 = 2.1476
log₈88 = 2.1531
log₈89 = 2.1586
log₈90 = 2.1640
log₈91 = 2.1693
log₈92 = 2.1745
log₈93 = 2.1797
log₈94 = 2.1849
log₈95 = 2.1900
log₈96 = 2.1950
log₈97 = 2.2000
log₈98 = 2.2049
log₈99 = 2.2098
log₈100 = 2.2146

log₉2 — log₉100

log₉2 = 0. 3155
log₉3 = 0.5000
log₉4 = 0.6309
log₉5 = 0.7325
log₉6 = 0.8155
log₉7 = 0.8856
log₉8 = 0.9464
log₉9 = 1.0000
log₉10 = 1.0480
log₉11 = 1.0913
log₉12 = 1.1309
log₉13 = 1.1674
log₉14 = 1.2011
log₉15 = 1.2325
log₉16 = 1.2619
log₉17 = 1.2895
log₉18 = 1.3155
log₉19 = 1.3401
log₉20 = 1.3634
log₉21 = 1.3856
log₉22 = 1.4068
log₉23 = 1.4270
log₉24 = 1.4464
log₉25 = 1.4650
log₉26 = 1.4828
log₉27 = 1.5000
log₉28 = 1.5166
log₉29 = 1.5325
log₉30 = 1.5480
log₉31 = 1.5629
log₉32 = 1.5773
log₉33 = 1.5913
log₉34 = 1.6049
log₉35 = 1. 6181
log₉36 = 1.6309
log₉37 = 1.6434
log₉38 = 1.6555
log₉39 = 1.6674
log₉40 = 1.6789
log₉41 = 1.6901
log₉42 = 1.7011
log₉43 = 1.7118
log₉44 = 1.7223
log₉45 = 1.7325
log₉46 = 1.7425
log₉47 = 1.7523
log₉48 = 1.7619
log₉49 = 1.7712
log₉50 = 1.7804
log₉51 = 1.7895
log₉52 = 1.7983
log₉53 = 1.8070
log₉54 = 1.8155
log₉55 = 1.8238
log₉56 = 1.8320
log₉57 = 1.8401
log₉58 = 1.8480
log₉59 = 1.8558
log₉60 = 1.8634
log₉61 = 1.8709
log₉62 = 1.8783
log₉63 = 1.8856
log₉64 = 1.8928
log₉65 = 1.8998
log₉66 = 1.9068
log₉67 = 1.9136
log₉68 = 1. 9204
log₉69 = 1.9270
log₉70 = 1.9336
log₉71 = 1.9400
log₉72 = 1.9464
log₉73 = 1.9527
log₉74 = 1.9589
log₉75 = 1.9650
log₉76 = 1.9710
log₉77 = 1.9770
log₉78 = 1.9828
log₉79 = 1.9886
log₉80 = 1.9943
log₉81 = 2.0000
log₉82 = 2.0056
log₉83 = 2.0111
log₉84 = 2.0166
log₉85 = 2.0219
log₉86 = 2.0273
log₉87 = 2.0325
log₉88 = 2.0377
log₉89 = 2.0429
log₉90 = 2.0480
log₉91 = 2.0530
log₉92 = 2.0580
log₉93 = 2.0629
log₉94 = 2.0677
log₉95 = 2.0726
log₉96 = 2.0773
log₉97 = 2.0820
log₉98 = 2.0867
log₉99 = 2.0913
log₉100 = 2.0959

log₁₀2 — log₁₀100

log₁₀2 = 0. 3010
log₁₀3 = 0.4771
log₁₀4 = 0.6021
log₁₀5 = 0.6990
log₁₀6 = 0.7782
log₁₀7 = 0.8451
log₁₀8 = 0.9031
log₁₀9 = 0.9542
log₁₀10 = 1.0000
log₁₀11 = 1.0414
log₁₀12 = 1.0792
log₁₀13 = 1.1139
log₁₀14 = 1.1461
log₁₀15 = 1.1761
log₁₀16 = 1.2041
log₁₀17 = 1.2304
log₁₀18 = 1.2553
log₁₀19 = 1.2788
log₁₀20 = 1.3010
log₁₀21 = 1.3222
log₁₀22 = 1.3424
log₁₀23 = 1.3617
log₁₀24 = 1.3802
log₁₀25 = 1.3979
log₁₀26 = 1.4150
log₁₀27 = 1.4314
log₁₀28 = 1.4472
log₁₀29 = 1.4624
log₁₀30 = 1.4771
log₁₀31 = 1.4914
log₁₀32 = 1.5051
log₁₀33 = 1.5185
log₁₀34 = 1. 5315
log₁₀35 = 1.5441
log₁₀36 = 1.5563
log₁₀37 = 1.5682
log₁₀38 = 1.5798
log₁₀39 = 1.5911
log₁₀40 = 1.6021
log₁₀41 = 1.6128
log₁₀42 = 1.6232
log₁₀43 = 1.6335
log₁₀44 = 1.6435
log₁₀45 = 1.6532
log₁₀46 = 1.6628
log₁₀47 = 1.6721
log₁₀48 = 1.6812
log₁₀49 = 1.6902
log₁₀50 = 1.6990
log₁₀51 = 1.7076
log₁₀52 = 1.7160
log₁₀53 = 1.7243
log₁₀54 = 1.7324
log₁₀55 = 1.7404
log₁₀56 = 1.7482
log₁₀57 = 1.7559
log₁₀58 = 1.7634
log₁₀59 = 1.7709
log₁₀60 = 1.7782
log₁₀61 = 1.7853
log₁₀62 = 1.7924
log₁₀63 = 1.7993
log₁₀64 = 1.8062
log₁₀65 = 1.8129
log₁₀66 = 1. 8195
log₁₀67 = 1.8261
log₁₀68 = 1.8325
log₁₀69 = 1.8388
log₁₀70 = 1.8451
log₁₀71 = 1.8513
log₁₀72 = 1.8573
log₁₀73 = 1.8633
log₁₀74 = 1.8692
log₁₀75 = 1.8751
log₁₀76 = 1.8808
log₁₀77 = 1.8865
log₁₀78 = 1.8921
log₁₀79 = 1.8976
log₁₀80 = 1.9031
log₁₀81 = 1.9085
log₁₀82 = 1.9138
log₁₀83 = 1.9191
log₁₀84 = 1.9243
log₁₀85 = 1.9294
log₁₀86 = 1.9345
log₁₀87 = 1.9395
log₁₀88 = 1.9445
log₁₀89 = 1.9494
log₁₀90 = 1.9542
log₁₀91 = 1.9590
log₁₀92 = 1.9638
log₁₀93 = 1.9685
log₁₀94 = 1.9731
log₁₀95 = 1.9777
log₁₀96 = 1.9823
log₁₀97 = 1.9868
log₁₀98 = 1. 9912
log₁₀99 = 1.9956
log₁₀100 = 2.0000

log₁₁2 — log₁₁100

log₁₁2 = 0.2891
log₁₁3 = 0.4582
log₁₁4 = 0.5781
log₁₁5 = 0.6712
log₁₁6 = 0.7472
log₁₁7 = 0.8115
log₁₁8 = 0.8672
log₁₁9 = 0.9163
log₁₁10 = 0.9603
log₁₁11 = 1.0000
log₁₁12 = 1.0363
log₁₁13 = 1.0697
log₁₁14 = 1.1006
log₁₁15 = 1.1293
log₁₁16 = 1.1563
log₁₁17 = 1.1815
log₁₁18 = 1.2054
log₁₁19 = 1.2279
log₁₁20 = 1.2493
log₁₁21 = 1.2697
log₁₁22 = 1.2891
log₁₁23 = 1.3076
log₁₁24 = 1.3254
log₁₁25 = 1.3424
log₁₁26 = 1.3587
log₁₁27 = 1.3745
log₁₁28 = 1. 3896
log₁₁29 = 1.4043
log₁₁30 = 1.4184
log₁₁31 = 1.4321
log₁₁32 = 1.4453
log₁₁33 = 1.4582
log₁₁34 = 1.4706
log₁₁35 = 1.4827
log₁₁36 = 1.4944
log₁₁37 = 1.5059
log₁₁38 = 1.5170
log₁₁39 = 1.5278
log₁₁40 = 1.5384
log₁₁41 = 1.5487
log₁₁42 = 1.5587
log₁₁43 = 1.5685
log₁₁44 = 1.5781
log₁₁45 = 1.5875
log₁₁46 = 1.5967
log₁₁47 = 1.6056
log₁₁48 = 1.6144
log₁₁49 = 1.6230
log₁₁50 = 1.6314
log₁₁51 = 1.6397
log₁₁52 = 1.6478
log₁₁53 = 1.6557
log₁₁54 = 1.6635
log₁₁55 = 1.6712
log₁₁56 = 1.6787
log₁₁57 = 1.6861
log₁₁58 = 1.6933
log₁₁59 = 1.7005
log₁₁60 = 1. 7075
log₁₁61 = 1.7144
log₁₁62 = 1.7211
log₁₁63 = 1.7278
log₁₁64 = 1.7344
log₁₁65 = 1.7409
log₁₁66 = 1.7472
log₁₁67 = 1.7535
log₁₁68 = 1.7597
log₁₁69 = 1.7658
log₁₁70 = 1.7718
log₁₁71 = 1.7777
log₁₁72 = 1.7835
log₁₁73 = 1.7893
log₁₁74 = 1.7949
log₁₁75 = 1.8005
log₁₁76 = 1.8061
log₁₁77 = 1.8115
log₁₁78 = 1.8169
log₁₁79 = 1.8222
log₁₁80 = 1.8274
log₁₁81 = 1.8326
log₁₁82 = 1.8377
log₁₁83 = 1.8428
log₁₁84 = 1.8478
log₁₁85 = 1.8527
log₁₁86 = 1.8576
log₁₁87 = 1.8624
log₁₁88 = 1.8672
log₁₁89 = 1.8719
log₁₁90 = 1.8766
log₁₁91 = 1.8812
log₁₁92 = 1. 8857
log₁₁93 = 1.8902
log₁₁94 = 1.8947
log₁₁95 = 1.8991
log₁₁96 = 1.9035
log₁₁97 = 1.9078
log₁₁98 = 1.9121
log₁₁99 = 1.9163
log₁₁100 = 1.9205

Таблица логарифмов — frwiki.wiki

Для одноименных статей см. Таблицу (значения) .

Таблицы логарифмов Бувара и Ратине , книжный магазин Hachette, 1957 г.

Таблица натуральных логарифмов от 0,01 до 100 с пятью десятичными знаками, «естественное чтение» (числа показаны полностью).

Таблица логарифмов является табличным представлением логарифмов , как правило , в основании 10, целых числа от 1 до N. Наиболее часто N 10000, как и в таблице Bouvart и Ratinet , весьма распространенных во Франции до появления вычислителей , или 100000 .

Достаточно знать десятичный логарифм целых чисел от 10 ⁿ до 10 ^{n + 1} , поскольку логарифм других чисел может быть легко получен; изменяется только часть перед запятой или характеристика. По этой причине в таблице чаще всего приводятся только цифры после запятой, называемые мантиссой.

Пример:

Логарифм 2 равен 0,30103…;
логарифм 20 равен 1,30103…;
логарифм 200 равен 2,30103…;
в таблице мы просто прочитаем 301 03.

Когда в таблице приведены логарифмы чисел до 10 ⁿ , мы получаем логарифмы для всех чисел, имеющих не более n значащих цифр. Логарифмы чисел с более значащими цифрами вычисляются методом линейной интерполяции . Часто таблицы содержат таблицы на полях для облегчения интерполяции.

Логарифмические таблицы помогают при вычислении произведений, частных или степеней. Однако мы также можем вычислить сумму двух чисел, логарифм которых известен, либо используя специальную таблицу аддитивных логарифмов (например, прилагаемую к таблице Хоуэля ), либо используя тригонометрию и таблицы логарифмов тригонометрических функций, которые почти всегда приводятся после таблицы. логарифмов целых чисел. Тригонометрия также позволяет составить большое количество формул, вычисляемых по логарифму .

Резюме

1 рассказ
- 1.1 Принцип
- 1.2 Иллюстрация, построение таблицы десятичного логарифма
  - 1.2.1 Первый шаг
  - 1.2.2 Второй шаг
2 Использование таблицы логарифмов
- 2.1 Чтение
- 2.2 Расчеты
3 Примечания и ссылки
4 См. Также
- 4.1 Связанные статьи
- 4.2 Внешние ссылки

История

Первые логарифмические таблицы отображаются в начале XVII — ^го века , с тем чтобы облегчить астрономические вычисления. В то время как все расчеты производятся вручную, они позволяют переводить продукты в суммы. Чтобы вычислить произведение a на b, достаточно найти логарифм a и b. Суммируя эти два логарифма, мы получаем логарифм числа ab. Затем продукт ab легко найти, прочитав таблицу вверх ногами . Именно Джон Напье (Непер) опубликовал первые логарифмические таблицы, которые представляют собой таблицы синус-логарифмов ( Mirifici Loagarithmorum Canonis Descriptio — 1614). Генри Бриггс, который работает в сотрудничестве с Непером, имеет идею связать число 10 с числом 1 и таким образом построить первую таблицу десятичного логарифма или десятичного логарифма (1615). В то же время (1603 — 1611) астроном Йост Бюрджи, который работает вместе с Кеплером, разрабатывает тригонометрические таблицы и таблицу антилогарифмов, которые будут опубликованы в 1620 году.

Эти цифровые таблицы построены по принципу, описанному ниже, с использованием только простых операций (сложения, линейной интерполяции). Полученная точность, 14 знаков после запятой, например для таблицы Бриггса, позволяет представить количество вычислений, которые необходимо было выполнить для их построения. Это является ценным инструментом как для сложности ее конструкции , чем для ее практической полезности, которая растет хорошо в XVII — ^м веке . Они широко используются в расчетах в течение более трех столетий , прежде чем свергнутый в конце XX — ^го века путем размещения на рынке мощных вычислителей.

Таблицы логарифмов, титульный лист, издан в 1792 г.

Принцип

Принцип построения состоит в соединении арифметической последовательности и геометрической последовательности, которые развиваются вместе. Непер, объясняя свой принцип, по существу говорит:

«Логарифм синуса — это число, которое также увеличивается в равные разы, в то время как синус пропорционально уменьшается. Два движения происходят одновременно и начинаются с одинаковой скоростью » .

Иллюстрация, построение таблицы десятичного логарифма

Мы можем представить упрощенную версию конструкции, представив себе, как построить последовательные степени 1.01. Расчеты выполняются вручную из основных операций (сложение, линейная интерполяция), поэтому уже требуется много времени, чтобы получить точность до трех или четырех знаков после запятой.

Первая ступень

Определяем последовательность степеней числа 1.01 до достижения числа 10 (основания): начинаем с первой степени (1.01), затем складываем число, сдвинутое вправо на две цифры (умноженное на 0,01), и получить следующую мощность:

1,01 + 0,0101 = 1,0201.

Продолжаем так, затем округляем результаты, усекая цифры после четвертого десятичного знака:

Третья степень 1,01 равна 1,0303;
4 — ^й мощность равна 1.0406; … Используя классические правила округления, например:
11 — ^й мощности 1,1155;
12 — ^й мощности затем 1,1155 + 0,0112 = 1,1267; …
Наконец, 231- ^я степень — 9 959; а 232- ^я степень — 10. 059.

Мы останавливаемся, когда превышено 10. Тогда мы получим следующую таблицу:

нет	1.01 ^п
1	1.01
2	1.0201
3	1.0303
4	1,0406
…	…
11	1,1155
12	1,1267
…	…
231	9,959
232	10,059

Вклад Непера состоит в том, чтобы учесть, что движение непрерывно, то есть мы можем заполнить пробелы. Поскольку для n = 231 мы получаем 9,959, а для n = 232 — 10,059, именно между этими двумя числами мы получим 10. Затем мы можем рассмотреть линейную интерполяцию: разность 1 в левом столбце соответствует отклонению в одну десятую в правом столбце. Чтобы получить 10 из 9,959, добавьте 0,41 десятых. Поэтому мы должны добавить 0,41 единицы в левый столбец. Таким образом, число 10 соответствует 231,41. Если вы хотите сопоставить число 10 с числом 1, вам просто нужно разделить все члены в левом столбце на 231,41. Таким образом, мы получаем приблизительные значения десятичных логарифмов всех степеней 1,01 (представлены в правом столбце таблицы ниже).

Второй шаг

Затем мы строим таблицу соответствий, которую достаточно заполнить для промежуточных значений, используя линейную интерполяцию.

нет	в	журнал (а)
1	1.01	0,00432
2	1.0201	0,00864
3	1.0303	0,01296
4	1.0406	0,01728
…	…	…
11	1,1155	0,04753
12	1,1267	0,05185
…	…	…
69	1,9867	0,29818
70	2,0066	0,30250
. ..	…	…
231	9,959	0,99827
231,4	10	1

Чтобы определить, например, десятичный логарифм числа 2, просто просмотрите таблицу степеней 1,01 и 2,00 чтения, которые находятся между 69- ^й степенью (1,9867) и 70- ^й степенью 1,01 (2,0066). При линейной интерполяции 2 получается степень 69,66, поэтому 1,01⋅ ^69,66 ≈ 2, то есть 69,66⋅log (1.01) ≈ log (2).

Чтобы определить логарифм 2 по основанию 10, остается только выполнить деление 69,66 / 231,4 ≈ 0,30104, что хорошо соответствует приблизительному значению log (2).

На самом деле таблицы логарифмов были построены вручную с большей точностью, например, начиная со степеней 1,000001. Если мы затем произвольно присвоим значение 0,000001 логарифму 1,000001, мы получим значение 1 для логарифма 2,71828, тем самым придав законность натуральному (или неперианскому) логарифму основания e .

Использование таблицы логарифмов

Чтение

Простые таблицы логарифмов с пятью десятичными знаками обычно расширяются так, что числа, образованные из первых двух цифр (от 10 до 99), образуют левый край таблицы, а последние цифры (от 0 до 9) появляются вверху таблицы. столбец.

Таблица логарифмов выглядит так:

N    0    1    2    3   …   9
10 0000 0043 0086 0128  … 0374
11 0414 0453 0492 0531  … 0756
12 0792 0828 0864 0899  … 1106
13 1139 1173 1206 1239  … 1430
14 1461 1492 1523 1553  … 1732
15 1761 1790 1818 1847  … 2014
16 2041 2068 2095 2122  … 2279
17 2304 2330 2355 2380  … 2529
18 2553 2577 2601 2625  … 2765
19 2788 2810 2833 2856  … 2989
·    ·    ·    ·    ·       ·       
·    ·    ·    ·    ·       ·
·    ·    ·    ·    ·       ·
99 9956 9957 9957 9958  … 9960

Здесь единица и десятая цифра числа N появляются в левом столбце, а сотые цифры — в первой строке. На пересечении строки и столбца читаем журнал (N).

Пример 1 : Как определить журнал (1,53)?

Переходим к строке 15 и столбцу 3 и читаем 1847. Таким образом, мы можем заключить, что

журнал (1,53) 0,1847

Пример 2 : Как определить лог (0,00153)?

Мы знаем, что характеристика этого числа — –3, а его мантисса — log (1.53).

Итак, log (0,00153) = –3 + 0,1847 ≃ –2,8153.

Пример 3 : Как определить журнал (18,27)?

Мы знаем, что его характеристика равна 1, а мантисса — log (1827). Таким образом, мы помещаем себя в строку 18 между столбцами 2 и 3. Затем необходимо выполнить линейную интерполяцию.

log (1,82) 0,2601 и log (1,83) ≃ 0,2625, то есть разница в 24 десятитысячных. Линейная интерполяция аппроксимирует логарифмы чисел от 1,82 до 1,83 следующим образом

журнал (1,821) ≃ 0,2601 + 0,00024

журнал (1,822) ≃ 0,2601 + 0,00048

…

журнал (1,827) 0,2601 + 7 × 0,00024 ≃ 0,2618

журнал (18,27) 1,2618

Пример 4 : Какое число имеет логарифм 1,208?

Мы знаем, что характеристика равна 1, и поэтому число записывается как N × 10 с log (N) = 0,208.

В таблице логарифмов 2080находится между 2068и 2095(разница 27). Число 2068находится в строке 16 и в столбце 1, поэтому 0,2068 = log (1,61). Аналогично 0,2095 = журнал (1,62). Поэтому переходим к линейной интерполяции

0,2068 + 0,00027 = 0,20707 = журнал (1,611)

0,20707 + 0,00027 = 0,20734 = лог (1,612)

…

0,2068 + 4 × 0,00027 = 0,20788 = журнал (1,614)

0,2068 + 5 × 0,00027 = 0,20815 = журнал (1,615)

0,208 ≃ лог (1,614)

10 ^1,208 ≃ 16,14

Расчеты

Примечания и ссылки

↑ ^{a и b}А. Дахан-Далмедико и Дж. Пайффер , История математики: дороги и лабиринты ,1986 г.[ подробности изданий ], стр 214

Смотрите также

Статьи по Теме

Теория приближений
Линейная интерполяция
Логарифм
Логарифмическая линейка
Мари-Анри Андойе
Гаспар де Прони , используя разделение труда в своей логарифмической фабрике в 1793 году.
Адриан Влак
Zacharias Dase
Тригонометрический стол
Цифровой стол

Внешние ссылки

LOCOMAT — Коллекция математических таблиц Loria
Таблицы логарифмов Ж. Дюпюи, 1880 г. (Галлика)
Таблицы логарифмов по Дж де — Ла — Ланде , 1841 (Галльский)

Натуральные логарифмы чисел (Таблица)

I. Таблица натуральные логарифмы чисел

¹⁾

¹⁾Натуральный логарифм числа, не содержащегося среди аргументов таблицы, находится следующим образом. Пусть ищется ln 753. Имеем: ln 753 = ln (7,53 • 10²) = ln 7,53 4- 2 ln 10. Первое слагаемое находим по таблице натуральных логарифмов, второе — по таблице III. Получаем: ln 753 = 2,0189 + 4,6052 = 6,6241. Таким же образом находим ln 0,00753 = ln (7,53 • 10″³) = 2,0189 — 6,9078 = -4,8889.

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1,0	0,0000	0,0100	0,0198	0,0296	0,0392	0,0488	0,0583	0,0677	0,0770	0,0862
1,1	0,0953	0,1044	0,1133	0,1222	0,1310	0,1398	0,1484	0,1570	0,1655	0,1740
1,2	0,1823	0,1906	0,1989	0,2070	0,2151	0,2231	0,2311	0,2390	0,2469	0,2546
1,3	0,2624	0,2700	0,2776	0,2852	0,2927	0,3001	0,3075	0,3148	0,3221	0,3293
1,4	0,3365	0,3436	0,3507	0,3577	0,3646	0,3716	0,3784	0,3853	0,3920	0,3988
1,5	0,4055	0,4121	0,4187	0,4253	0,4318	0,4383	0,4447	0,4511	0,4574	0,4637
1,6	0,4700	0,4762	0,4824	0,4886	0,4947	0,5008	0,5068	0,5128	0,5188	0,5247
1,7	0,5306	0,5365	0,5423	0,5481	0,5539	0,5596	0,5653	0,5710	0,5766	0,5822
1,8	0,5878	0,5933	0,5988	0,6043	0,6098	0,6152	0,6206	0,6259	0,6313	0,6366
1,9	0,6419	0,6471	0,6523	0,6575	0,6627	0,6678	0,6729	0,6780	0,6831	0,6881

2,0	0,6931	0,6981	0,7031	0,7080	0,7129	0,7178	0,7227	0,7275	0,7324	0,7372
2,1	0,7419	0,7467	0,7514	0,7561	0,7608	0,7655	0,7701	0,7747	0,7793	0,7839
2,2	0,7885	0,7930	0,7975	0,8020	0,8065	0,8109	0,8154	0,8198	0,8242	0,8286
2,3	0,8329	0,8372	0,8416	0,8459	0,8502	0,8544	0,8587	0,8629	0,8671	0,8713
2,4	0,8755	0,8796	0,8838	0,8879	0,8920	0,8961	0,9002	0,9042	0,9083	0,9123
2,5	0,9163	0,9203	0,9243	0,9282	0,9322	0,9361	0,9400	0,9439	0,9478	0,9517
2,6	0,9555	0,9594	0,9632	0,9670	0,9708	0,9746	0,9783	0,9821	0,9858	0,9895
2,7	0,9933	0,9969	1,0006	1,0043	1,0080	1,0116	1,0152	1,0188	1,0225	1,0260
2,8	1,0296	1,0332	1,0367	1,0403	1,0438	1,0473	1,0508	1,0543	1,0578	1,0613
2,9	1,0647	1,0682	1,0716	1,0750	1,0784	1,0818	1,0852	1,0886	1,0919	1,0953

3,0	1,0986	1,1019	1,1053	1,1086	1,1119	1,1151	1,1184	1,1217	1,1249	1,1282
3,1	1,1314	1,1346	1,1378	1,1410	1,1442	1,1474	1,1506	1,1537	1,1569	1,1600
3,2	1,1632	1,1663	1,1694	1,1725	1,1756	1,1787	1,1817	1,1848	1,1878	1,1909
3,3	1,1939	1,1969	1,2000	1,2030	1,2060	1,2090	1,2119	1,2149	1,2179	1,2208
3,4	1,2238	1,2267	1,2296	1,2326	1,2355	1,2384	1,2413	1,2442	1,2470	1,2499
3,5	1,2528	1,2556	1,2585	1,2613	1,2641	1,2669	1,2698	1,2726	1,2754	1,2782
3,6	1,2809	1,2837	1,2865	1,2892	1,2920	1,2947	1,2975	1,3002	1,3029	1,3056
3,7	1,3083	1,3110	1,3137	1,3164	1,3191	1,3218	1,3244	1,3271	1,3297	1,3324
3,8	1,3350	1,3376	1,3403	1,3429	1,3455	1,3481	1,3507	1,3533	1,3558	1,3584
3,9	1,3610	1,3635	1,3661	1,3686	1,3712	1,3737	1,3762	1,3788	1,3813	1,3838

4,0	1,3863	1,3888	1,3913	1,3938	1,3962	1,3987	1,4012	1,4036	1,4061	1,4085
4,1	1,4110	1,4134	1,4159	1,4183	1,4207	1,4231	1,4255	1,4279	1,4303	1,4327
4,2	1,4351	1,4375	1,4398	1,4422	1,4446	1,4469	1,4493	1,4516	1,4540	1,4563
4,3	1,4586	1,4609	1,4633	1,4656	1,4679	1,4702	1,4725	1,4748	1,4770	1,4793
4,4	1,4816	1,4839	1,4861	1,4884	1,4907	1,4929	1,4951	1,4974	1,4996	1,5019
4,5	1,5041	1,5063	1,5085	1,5107	1,5129	1,5151	1,5173	1,5195	1,5217	1,5239
4,6	1,5261	1,5282	1,5304	1,5326	1,5347	1,5369	1,5390	1,5412	1,5433	1,5454
4,7	1,5476	1,5497	1,5518	1,5539	1,5560	1,5581	1,5602	1,5623	1,5644	1,5665
4,8	1,5686	1,5707	1,5728	1,5748	1,5769	1,5790	1,5810	1,5831	1,5851	1,5872
4,9	1,5892	1,5913	1,5933	1,5953	1,5974	1,5994	1,6014	1,6034	1,6054	1,6074

5,0	1,6094	1,6114	1,6134	1,6154	1,6174	1,6194	1,6214	1,6233	1,6253	1,6273
5,1	1,6292	1,6312	1,6332	1,6351	1,6371	1,6390	1,6409	1,6429	1,6448	1,6467
5,2	1,6487	1,6506	1,6525	1,6544	1,6563	1,6582	1,6601	1,6620	1,6639	1,6658
5,3	1,6677	1,6696	1,6715	1,6734	1,6752	1,6771	1,6790	1,6808	1,6827	1,6845
5,4	1,6864	1,6882	1,6901	1,6919	1,6938	1,6956	1,6974	1,6993	1,7011	1,7029
5,5	1,7047	1,7066	1,7084	1,7102	1,7120	1,7138	1,7156	1,7174	1,7192	1,7210
5,6	1,7228	1,7246	1,7263	1,7281	1,7299	1,7317	1,7334	1,7352	1,7370	1,7387
5,7	1,7405	1,7422	1,7440	1,7457	1,7475	1,7492	1,7509	1,7527	1,7544	1,7561
5,8	1,7579	1,7596	1,7613	1,7630	1,7647	1,7664	1,7681	1,7699	1,7716	1,7733
5,9	1,7750	1,7766	1,7783	1,7800	1,7817	1,7834	1,7851	1,7867	1,7884	1,7901

6,0	1,7918	1,7934	1,7951	1,7967	1,7984	1,8001	1,8017	1,8034	1,8050	1,8066
6,1	1,8083	1,8099	1,8116	1,8132	1,8148	1,8165	1,8181	1,8197	1,8213	1,8229
6,2	1,8245	1,8262	1,8278	1,8294	1,8310	1,8326	1,8342	1,8358	1,8374	1,8390
6,3	1,8405	1,8421	1,8437	1,8453	1,8469	1,8485	1,8500	1,8516	1,8532	1,8547
6,4	1,8563	1,8579	1,8594	1,8610	1,8625	1,8641	1,8656	1,8672	1,8687	1,8703
6,5	1,8718	1,8733	1,8749	1,8764	1,8779	1,8795	1,8810	1,8825	1,8840	1,8856
6,6	1,8871	1,8886	1,8901	1,8916	1,8931	1,8946	1,8961	1,8976	1,8991	1,9006
6,7	1,9021	1,9036	1,9051	1,9066	1,9081	1,9095	1,9110	1,9125	1,9140	1,9155
6,8	1,9169	1,9184	1,9199	1,9213	1,9228	1,9242	1,9257	1,9272	1,9286	1,9301
6,9	1,9315	1,9330	1,9344	1,9359	1,9373	1,9387	1,9402	1,9416	1,9430	1,9445

7,0	1,9459	1,9473	1,9488	1,9502	1,9516	1,9530	1,9544	1,9559	1,9573	1,9587
7,1	1,9601	1,9615	1,9629	1,9643	1,9657	1,9671	1,9685	1,9699	1,9713	1,9727
7,2	1,9741	1,9755	1,9769	1,9782	1,9796	1,9810	1,9824	1,9838	1,9851	1,9865
7,3	1,9879	1,9892	1,9906	1,9920	1,9933	1,9947	1,9961	1,9974	1,9988	2,0001
7,4	2,0015	2,0028	2,0042	2,0055	2,0069	2,0082	2,0096	2,0109	2,0122	2,0136
7,5	2,0149	2,0162	2,0176	2,0189	2,0202	2,0215	2,0229	2,0242	2,0255	2,0268
7,6	2,0281	2,0295	2,0308	2,0321	2,0334	2,0347	2,0360	2,0373	2,0386	2,0399
7,7	2,0412	2,0425	2,0438	2,0451	2,0464	2,0477	2,0490	2,0503	2,0516	2,0528
7,8	2,0541	2,0554	2,0567	2,0580	2,0592	2,0605	2,0618	2,0631	2,0643	2,0656
7,9	2,0669	2,0681	2,0694	2,0707	2,0719	2,0732	2,0744	2,0757	2,0769	2,0782

8,0	2,0794	2,0807	2,0819	2,0832	2,0844	2,0857	2,0869	2,0882	2,0894	2,0906
8,1	2,0919	2,0931	2,0943	2,0956	2,0968	2,0980	2,0992	2,1005	2,1017	2,1029
8,2	2,1041	2,1054	2,1066	2,1078	2,1090	2,1102	2,1114	2,1126	2,1138	2,1150
8,3	2,1163	2,1175	2,1187	2,1199	2,1211	2,1223	2,1235	2,1247	2,1258	2,1270
8,4	2,1282	2,1294	2,1306	2,1318	2,1330	2,1342	2,1353	2,1365	2,1377	2,1389
8,5	2,1401	2,1412	2,1424	2,1436	2,1448	2,1459	2,1471	2,1483	2,1494	2,1506
8,6	2,1518	2,1529	2,1541	2,1552	2,1564	2,1576	2,1587	2,1599	2,1610	2,1622
8,7	2,1633	2,1645	2,1656	2,1668	2,1679	2,1691	2,1702	2,1713	2,1725	2,1736
8,8	2,1748	2,1759	2,1770	2,1782	2,1793	2,1804	2,1815	2,1827	2,1838	2,1849
8,9	2,1861	2,1872	2,1883	2,1894	2,1905	2,1917	2,1928	2,1939	2,1950	2,1961

9,0	2,1972	2,1983	2,1994	2,2006	2,2017	2,2028	2,2039	2,2050	2,2061	2,2072
9,1	2,2083	2,2094	2,2105	2,2116	2,2127	2,2138	2,2148	2,2159	2,2170	2,2181
9,2	2,2192	2,2203	2,2214	2,2225	2,2235	2,2246	2,2257	2,2268	2,2279	2,2289
9,3	2,2300	2,2311	2,2322	2,2332	2,2343	2,2354	2,2364	2,2375	2,2386	2,2396
9,4	2,2407	2,2418	2,2428	2,2439	2,2450	2,2460	2,2471	2,2481	2,2492	2,2502
9,5	2,2513	2,2523	2,2534	2,2544	2,2555	2,2565	2,2576	2,2586	2,2597	2,2607
9,6	2,2618	2,2628	2,2638	2,2649	2,2659	2,2670	2,2680	2,2690	2,2701	2,2711
9,7	2,2721	2,2732	2,2742	2,2752	2,2762	2,2773	2,2783	2,2793	2,2803	2,2814
9,8	2,2824	2,2834	2,2844	2,2854	2,2865	2,2875	2,2885	2,2895	2,2905	2,2915
9,9	2,2925	2,2935	2,2946	2,2956	2,2966	2,2976	2,2986	2,2996	2,3006	2,3016

II.

Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным

(таблица умножения на М = log е = 0,4342945…)

	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
0	0,0000	4,3430	8,6859	13,0288	17,3718	21,7147	26,0577	30,4006	34,7436	39,0865
1	0,4343	4,7772	9,1202	13,4631	17,8061	22,1490	26,4920	30,8349	35,1779	39,5208
2	0,8686	5,2115	9,5545	13,8974	18,2404	22,5833	26,9263	31,2692	35,6122	39,9551
3	1,3029	5,6458	9,9888	14,3317	18,6747	23,0176	27,3606	31,7035	36,0464	40,3894
4	1,7372	6,0801	10,4231	14,7660	19,1090	23,4519	27,7948	32,1378	36,4807	40,8237
5	2,1715	6,5144	10,8574	15,2003	19,5433	23,8862	28,2291	32,5721	36,9150	41,2580
6	2,6058	6,9487	11,2917	15,6346	19,9775	24,3205	28,6634	33,0064	37,3493	41,6923
7	3,0401	7,3830	11,7260	16,0689	20,4118	24,7548	29,0977	33,4407	37,7836	42,1266
8	3,4744	7,8173	12,1602	16,5032	20,8461	25,1891	29,5320	33,8750	38,2179	42,5609
9	3,9086	8. 2516	12,5945	16,9375	21,2804	25,6234	29,9663	34,3093	38,6522	42,9952

III. Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным

(таблица умножения на i = In 10 = 2,302585)

	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
0	0,0000	23,026	46,052	69,078	92,103	115,129	138,155	161,181	184,207	207,233
1	2,3026	25,328	48,354	71,380	94,406	117,431	140,458	163,484	186,509	209,535
2	4,6052	27,631	50,657	73,683	96,709	119,734	142,760	165,786	188,812	211,838
3	6,9078	29,934	52,959	75,985	99,011	122,037	145,062	166,089	191,115	214,140
4	9,2103	32,236	55,262	78,288	101,314	124,340	147,365	170,391	193,417	216,443
5	11,513	34,539	57,565	80,590	103,616	126,642	149,668	172,694	195,720	218,746
6	13,816	36,841	59,867	82,893	105,919	128,945	151,971	174,997	198,022	221,048
7	16,118	39,144	62,170	85,196	108,221	131,247	154,273	177,299	200,325	223,351
8	18,421	41,447	64,472	87,498	110,524	133,550	156,576	179,602	202,627	225,653
9	20,723	43,749	66,775	89,801	112,827	135,853	158,878	181,904	204,930	227,956

_______________

Источник информации: Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006.

Десятичные и натуральные логарифмы: определения, свойства и примеры

Десятичный логарифм и его свойства
Натуральный логарифм и его свойства
Примеры

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию 10 называют десятичными.
Для десятичных логарифмов принято специальное обозначение: \begin{gather*} \log_{10}x\overset{def}{=}\lg x \end{gather*}

Основание десятичных логарифмов $10\gt 1$, поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Но у десятичных логарифмов есть также целых ряд дополнительных свойств, благодаря которым в докомпьютерную эпоху они широко использовались для трудоемких вычислений. Роль калькулятора тогда выполняли логарифмическая таблица и логарифмическая линейка.

Целая часть десятичного логарифма $[\lg x]$ называется характеристикой, а дробная часть $\left\{\lg x\right\}$ – мантиссой. n\)
характеристика равна порядку числа $[\lg b]=n$, мантисса $\left\{\lg b\right\}=\lg a$

О стандартном виде числа, см. §41 справочника для 8 класса.

Например:

Число b	Стандартный вид	Характеристика	Мантисса b	Унифицированная запись	Логарифм числа $\lg b$
420	4,2·10²	2	0,623	2,623	2,623
42	4,2·10¹	1	0,623	1,623	1,623
4,2	4,2	2	0	0,623	0,623
0,42	4,2·10^–1	–1	0,623	$\overline{1},623$	–0,377
0,042	4,2·10^–2	–2	0,623	$\overline{2},623$	–1,377

$\lg 4,2\approx 0. 623$

Если использовать унифицированную запись, как в представленной таблице, то мантисса всегда лежит в промежутке $0\lt \lg a\lt 1$. У чисел, отличающихся только порядком, мантисса одинакова. Можно составить таблицы мантисс и пользоваться ими для умножения и деления, «разбавляя» их несложным сложением и вычитанием целых характеристик по необходимости.

Первые таблицы логарифмов были изданы в 1617 году оксфордским математиком Бригсом. Таблицы пересчитывались, дополнялись и переиздавались вплоть до 70-х гг. ХХ века, когда на столах стали появляться калькуляторы.
Таблицы Брадиса, которыми по традиции пользуются наши школьники с 1921 года, издаются до сих пор и постепенно перекочевывают в Интернет.

Непосредственная связь десятичных логарифмов с десятичной системой исчисления делает их удобным инструментом для оценки порядка числа и сравнения чисел.

В практике приближенных вычислений используется следующая оценочная таблица:

$\lg 1$

$\lg 2$

$\lg 3$

$\lg 4$

$\lg 5$

$\lg 8$

0,3

0,5

0,6

0,7

0,9

Относительная погрешность этих приближений (кроме $\lg 3)$ $\delta\sim 0,5\text{%}$

Например:
Сравним $\log_23$ и $log_5⁡8$
Сравнивая с помощью оценки, получаем: \begin{gather*} \log_23=\frac{\lg 3}{\lg 2}\approx\frac{0,5}{0,3}=\frac53,\ \ \log_58=\frac{\lg 8}{\lg 5}\approx\frac{0,9}{0,7}=\frac97\\ \frac{35}{21}\gt \frac{27}{21}\Rightarrow \frac53\gt \frac97\Rightarrow\log_23\gt\log_58 \end{gather*}

п.

{3} = 1000; \cdots$

Будем говорить, что эти числа представляются единицей с нулями (с последующими нулями, если $n > 0$, и с предшествующими нулями, если $n

Десятичный логарифм числа, представляемого единицей с нулями, равен числу нулей в этом числе, если оно есть единица с последующими нулями, и числу нулей с противоположным знаком, если оно есть единица с предшествующими нулями.

Например:

$lg 0,0001=-4, lg 0,01=-2, lg 1000 = 3, lg 1000000 = 6$.

Десятичный логарифм любого числа, не равного целой степени десяти, является числом дробным (вообще говоря, иррациональным).

Напомним, что всякое число (рациональное или иррациональное) однозначно разлагается на сумму своей целой части и дробней части. При этом целой частью данного числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного; дробная часть любого числа заключена между нулем и единицей:

$3,176 = 3 + 0,176; — 2,143 = — 3 + 0,857 = \overline{3},857$. {-3} \leq 0,0032 $\cdots \cdots$

Неравенства (3) показывают, что

$- l \leq lg N

т. е. характеристика логарифма $lg N$ равна $-l$.

Итак, характеристика десятичного логарифма положительного числа, меньшего единицы, равна взятому со знаком минус числу нулей в данном числе, предшествующих первой значащей цифре, включая и нуль целых.

Например:
$lg 0,3052 = \overline{1}, \cdots; lg 0,0587 = \overline{2} \cdots; lg 0,0096 = \overline{3}, \cdots$

Мы выяснили, что характеристика десятичного логарифма числа определяется непосредственно по виду самого числа, если оно целое или представлено в виде десятичной дроби. Для определения характеристики, таким образом, не нужны никакие вычисления (и таблицы). Что же касается мантиссы, то она, как правило, берется из таблиц (например, из таблиц Брадиса). При этом следует пользоваться одним замечательным свойством мантиссы: если в логарифмируемом числе перенести запятую на любое количество знаков влево или вправо, то мантисса десятичного логарифма от этого не изменится (изменится только характеристика логарифма). {4} = 4$.

Log Values От 1 до 10

В математике логарифмирование является наиболее удобным способом выражения больших чисел. Определение логарифма можно сформулировать как степень, в которую нужно возвести любое число, чтобы получить некоторые значения. Логарифмы также называют процессом, обратным возведению в степень. В этой статье; мы изучим логарифмические функции, свойства логарифмических функций, таблицу значений журнала, значения журнала от 1 до 10 для основания журнала 10, а также значения журнала от 1 до 10 для основания журнала e.

Логарифмические значения важны в математике и других связанных предметах, таких как физика. Студенты должны обратиться к значениям журнала для нахождения различных сумм, связанных с логарифмами. Значение log 1 по основанию 10 равно нулю. Значения журнала можно определить с помощью функции логарифмирования. Существуют различные типы логарифмических функций. Функции журнала полезны для поиска длинных вычислений и экономии времени. Использование логарифмической функции также упрощает решение сложной задачи. Используя логарифмические функции, учащиеся могут сократить операции от умножения до сложения и от деления до вычитания. Прочтите здесь, чтобы узнать больше о функциях логарифмирования.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная возведению в степень.

Функция логарифмов задается как

F(x) = loga x

Здесь основание логарифма равно a. Его можно прочитать как логарифмическую базу x. Наиболее часто используемые функции логарифмирования по основанию 10 и основанию e.

Правила логарифмирования

Существуют некоторые правила логарифмирования, и учащиеся должны знать эти правила для решения вопросов. Правила приведены здесь:

Логарифмическая функция с основанием 10 известна как функция десятичного логарифма. Он выражается как log10.

F(x) =log10 x

Логарифмическая функция по основанию e известна как функция натуральных логарифмов. Выражается как loge.

F(x) = loge x

Правило произведения

В правиле произведения два числа будут умножены на одно и то же основание, а затем будут добавлены степени.

Logb MN = Logb M + Logb N

Правило частного

В правиле частного два числа будут разделены по одному основанию, а затем будут вычтены степени, Logb M/N = Logb M — Logb N

Степенное правило

В степенном правиле выражения степени возводятся в степень, а затем степени умножаются.

Logb Mp = P logb M

Правила нулевого порядка

Loga = 1

Изменение базового правила

Logb (x) = in x/ In b или logb (x) = log10 x / log10 bЗначение от Log 1 до log 10 для Log Base 10 Таблица

Log Таблица от 1 до 10 для Log Base 10

91929189

Common log to a number (log10X)	Log Values
Log 1	0
Log 2	0,3010
Log 3	0. 4771
Log 4	0.6020
Log 5	0.6989
Log 6	0,7781
log 7	0,8450
Log 8	0,9030
	0,9030
	0,9030
0,9030
0,9030
0,9030
0,9030
.0083 log 9003	0,9542
log 10	1

ЗДЕСЬ. ЗДЕСЬ ПРОДОЛЖЕНИЕ ВАМАЛЕВА.

Журнал Таблица с 1 по 10 для логарифмической базы E

Обычный логарифм до числа (Loge X)	LN0002 0
ln (2)	0.6
ln (3)	1.098612
ln (4)	1.386294
ln (5)	1.609438
ln (6)	1.7
ln (7)	1.
ln (8)	2. 079442
ln (9)	2.1
ln (10)	2.302585

В соответствии с определением логарифмической функции logan=x можно записать в виде экспоненциальной функции:

Тогда ax = b

Если значение log 1 не задано, вы можете взять основание равным 10. Таким образом, вы можно выразить как log 1 как log10 1.

Теперь, согласно определению логарифма, мы знаем значение a =10 и b =1. Таким образом,

Log 10 x = 1

Мы также можем записать это как:

10x= 1

Мы уже знаем, что все, что возведено в степень 0, равно 1. Таким образом, 10, возведенное в степень 0, покажет что приведенное выше выражение верно.

Итак, 100 = 1

Это общее условие для базового значения log, и основание, возведенное в нулевую степень, даст вам значение 1.

Это доказывает, что значение журнала 1 равно 0.

Альтернативный метод поиска журнала 1 или записи по базе e?

Мы также можем найти логарифмическое значение 1

Log (b) = loge (b)

Таким образом, Ln(1) = loge(1)

Или ex = 1

∴ e0 = 1

Следовательно , Ln(1) = loge(1) = 0

Важные моменты, которые следует помнить

Учащиеся должны помнить несколько важных моментов, связанных с логарифмами. Некоторые важные моменты, которые следует помнить:
Индия была первой страной во 2 веке до нашей эры, которая использовала логарифм.
Обратный процесс логарифмирования также известен как возведение в степень
Если нужно выполнить теоретическую работу, лучше всего подойдут натуральные логарифмы. Их легко вычислить количественно.
Наиболее важным преимуществом использования логарифмов по основанию 10 является то, что их легко вычислить в уме для некоторых чисел. Например, логарифмическая база 10 из 1 00 000 равна 5, и вам нужно считать только нули.

Решенные примеры

Решите следующее для значения x для log3 x = log34 + log37, используя свойства логарифма?

Решение: log3x = log34 + log37

= log34 + log37 = log3 (4 x 7) (с использованием правила сложения)

= log3(28)

Следовательно, x = 28

10 9003 Evalue : log1 – log 0

Решение: log1 – log 0 (дано)

Значение журнала 1 = 0 и значение журнала 0 = — ∞

Следовательно, log 1+ log 0 = 0-(-∞) = ∞

Найдите значение log ₂ (64)

Решение: x =64 (Дано)

Используя 90 Базовая формула,

Log ₂ x = log ₁₀ x/ log ₁₀ 2

= log ₂ 64 = log ₁₀ 64/ log ₁₀ 2 9000 2

= 64/ log ₁₀ 2 9000 2

= 1,80416 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80416 = 1,80418 = 1,80416.

Quiz Time

1. Логарифмические функции являются обратной экспонентой

а. Стихи

б. Функции

c. Номера

д. Цифры

2. Как записать уравнение 53= 125 в логарифмической форме

a. Лог ₃ (125) =5

б. Лог ₁₂₅ (5) = 3

c. Лог ₅ (125) = 3

д. Журнал ₅ (3 = 124)

3. Чему будет равен лог 9, если лог 27 = 1,431?

а. 0,934

б. 0,945

в. 0,954

г. 0,958

Таблица десятичного логарифма

В таблице ниже перечислены десятичные логарифмы (с основанием 10) для числа от 1 до 10.

Логарифм выделен жирным шрифтом. Например, первая запись в третьем столбце означает, что общий логарифм 2,00 равен 0,3010300.

Примечание. Эта таблица довольно длинная, и ее загрузка может занять несколько секунд! Вы также можете скачать таблицу в виде электронной таблицы Excel. Печать в ландшафтном режиме на двух страницах должна дать удовлетворительные результаты.

4865″ x:fmla=»=LOG(O6)-FLOOR(LOG(O6),1)»> 0,848189172E-3″ x:fmla=»=LOG(A7)»> 0,0025979885082192319765″ x:fmla=»=LOG(Q58)-FLOOR(LOG(Q58),1)»>339193″ x:fmla=»=LOG(E11)-FLOOR(LOG(E11),1)»> 0,322219327269″ x:fmla=»=LOG(G11)-FLOOR(LOG(G11),1)»> 0,45087″ x:fmla=»=LOG(S43)-FLOOR(LOG(S43),1)»>09353″ x:fmla=»=LOG(S11)-FLOOR(LOG(S11),1)»> 0,95

165640104″ x:fmla=»=LOG(I14)-FLOOR(LOG(I14),1)»> 0,6159501807321494″ x:fmla=»=LOG(G15)-FLOOR(LOG(G15),1)»> 0,4

66780012″ x:fmla=»=LOG(O18)-FLOOR(LOG(O18),1)»> 0,8555192215391″ x:fmla=»=LOG(Q22)-FLOOR(LOG(Q22),1)»> 0,3238469081864″ x:fmla=»=LOG(M23)-FLOOR(LOG(M23),1)»> 0,747211622″ x:fmla=»=LOG(Q25)-FLOOR(LOG(Q25),1)»> 0,723″ x:fmla=»=LOG(I31)-FLOOR(LOG(I31),1)»> 0,633468507341″ x:fmla=»=LOG(Q31)-FLOOR(LOG(Q31),1)»> 0,91601711″ x:fmla=»=LOG(E34)-FLOOR(LOG(E34),1)»> 0,3673559

1.000

0,00000000

2,00

3,00

4,00

9624″ x:fmla=»=LOG(I1)-FLOOR(LOG(I1),1)»> 0,6020600

5,00

698

433601886″ x:fmla=»=LOG(K1)-FLOOR(LOG(K1),1)»> 0,6989700

6,00

0,7781513

7,00

0,8450980

8,00

164374649943″ x:fmla=»=LOG(S34)-FLOOR(LOG(S34),1)»>54″ x:fmla=»=LOG(Q1)-FLOOR(LOG(Q1),1)»> 0,

9,00

1,001

929E-4″ x:fmla=»=LOG(A2)»> 0,00043408

2,01

3,01

32″ x:fmla=»=LOG(C80)-FLOOR(LOG(C80),1)»>34″ x:fmla=»=LOG(G2)-FLOOR(LOG(G2),1)»> 0,4785665

0,6031444

5,01

0,6998377

6.01

0,7788745

7,01

8.01

9.01

82449″ x:fmla=»=LOG(M3)-FLOOR(LOG(M3),1)»>3″ x:fmla=»=LOG(S2)-FLOOR(LOG(S2),1)»> 0,

1,002

0,00086772

2,02

3,02

480006

4,02

0,6042261

5,02

0,7007037

6,02

82449″ x:fmla=»=LOG(M3)-FLOOR(LOG(M3),1)»> 0,77

7,02

0,8463371

8.02

9.02

1,003

2,03

3074

289″ x:fmla=»=LOG(E4)-FLOOR(LOG(E4),1)»> 0,3074960

3,03

0,4814426

4,03

0,6053050

5,03

6,03

0,7803173

7,03

8.03

9,03

1,004

0,00173371

2,04

6742589877″ x:fmla=»=LOG(E5)-FLOOR(LOG(E5),1)»> 0,30

3,04

0,4828736

4,04

0,6063814

5,04

0,7024305

6,04

7,04

1222″ x:fmla=»=LOG(O5)-FLOOR(LOG(O5),1)»> 0,8475727

8.04

9.04

1.005

0,00216606

2,05

31175386105575426″ x:fmla=»=LOG(E6)-FLOOR(LOG(E6),1)»> 0,3117539

3,05

8583″ x:fmla=»=LOG(G6)-FLOOR(LOG(G6),1)»> 0,4842998

4,05

0,6074550

5,05

6,05

0,7817554

7,05

8,05

9,05

001″> 1,006

719

2,06

3,06

0,4857214

4,06

0,6085260

5,06

6,06

0,7824726

7,06

0,8488047

8.06

9,06

81_{81312″ x:fmla=»=LOG(S7)-FLOOR(LOG(S7),1)»> 0,82}

1,007

536176745E-3″ x:fmla=»=LOG(A8)»> 0,00302947

2,07

3,07

0,4871384

4,07

5,07

3604″ x:fmla=»=LOG(K8)-FLOOR(LOG(K8),1)»> 0,7050080

6,07

3873768″ x:fmla=»=LOG(E14)-FLOOR(LOG(E14),1)»>25757″ x:fmla=»=LOG(M8)-FLOOR(LOG(M8),1)»> 0,7831887

7,07

84941

6721541778″ x:fmla=»=LOG(S93)-FLOOR(LOG(S93),1)»>791633″ x:fmla=»=LOG(C87)-FLOOR(LOG(C87),1)»>

45″ x:fmla=»=LOG(O8)-FLOOR(LOG(O8),1)»> 0,84

8.07

9,07

1,008

2.08

3,08

0,4885507

4,08

0,6106602

5,08

705863712283

» x:fmla=»=LOG(K9)-FLOOR(LOG(K9),1)»> 0,7058637

6,08

3491″ x:fmla=»=LOG(M9)-FLOOR(LOG(M9),1)»> 0,7839036

7,08

8.08

9,08

1,009

5E-3″ x:fmla=»=LOG(A10)»> 0,00389117

2,09

0,3201463

3,09

4,09

61172330800734176″ x:fmla=»=LOG(I10)-FLOOR(LOG(I10),1)»> 0,6117233

5,09

0,7067178

6,09

7,09

0,8506462

8,09

161227224″ x:fmla=»=LOG(Q10)-FLOOR(LOG(Q10),1)»> 0,

9,09

1,010

0,00432137

1.10

158225077E-2″ x:fmla=»=LOG(C11)-FLOOR(LOG(C11),1)»> 0,0413927

2.10

3,10

37E-3″ x:fmla=»=LOG(A21)»>6

4.10

5.10

6.10

0,7853298

7.10

0,8512583

8.10

9.10

09027

0109999999999988″ x:fmla=»=A11+0.001″> 1,011

1.11

2.11

3.11

4.11

0,6138418

5.11

0,7084209

6.11

0,7860412

7.11

8.11

0,90

1,012

1,12

2,12

144″ x:fmla=»=LOG(E13)-FLOOR(LOG(E13),1)»> 0,3263359

3,12

4.12

5,12

0516

348″ x:fmla=»=LOG(S52)-FLOOR(LOG(S52),1)»>60

073″ x:fmla=»=LOG(K13)-FLOOR(LOG(K13),1)»> 0,70

6,12

78675142214556115″ x:fmla=»=LOG(M13)-FLOOR(LOG(M13),1)»> 0,7867514

7,12

8.12

7529″ x:fmla=»=LOG(Q13)-FLOOR(LOG(Q13),1)»> 0,

9.12

1,013

602798149E-3″ x:fmla=»=LOG(A14)»> 0,00560945

1,13

0,0530784

2,13

3,13

4,13

615

5,13

0,7101174

6,13

0,7874605

7,13

8.13

9.13

1.014

1,14

0,0569049

2,14

3,14

496

4,14

0,6170003

5,14

6,14

0,7881684

7,14

0,8536982

8.14

9.14

573383144″ x:fmla=»=LOG(S15)-FLOOR(LOG(S15),1)»> 0,
62

1,015

1,15

0635361165E-2″ x:fmla=»=LOG(C16)-FLOOR(LOG(C16),1)»> 0,0606978

2,15

3,15

4,15

5,15

0,7118072

6,15

0,7888751

7,15

0,8543060

8,15

9,15

0159999999999982″ x:fmla=»=A16+0.001″> 1.016

E-3″ x:fmla=»=LOG(A17)»> 0,00689371

1,16

E-2″ x:fmla=»=LOG(C17)-FLOOR(LOG(C17),1)»> 0,0644580

2,16

0,3344538

3,16

4,16

5,16

6,16

7,16

8,16

91169015875386117″ x:fmla=»=LOG(Q17)-FLOOR(LOG(Q17),1)»> 0,

9,16

1,017

1,17

0,0681859

2,17

3,17

4,17

5,17

6,17

0,7

7,17

85551

8,17

9,17

1,018

0,00774778

1,18

0,0718820

2,18

3,18

0,5024271

4,18

0,6211763

5,18

6,18

79098847508881587″ x:fmla=»=LOG(M19)-FLOOR(LOG(M19),1)»> 0,7

7,18

0,8561244

8,18

9,18

1,019

0,00817418

1,19

2,19

0,3404441

3,19

0,5037907

4,19

622214022^{535″ x:fmla=»=LOG(I20)-FLOOR(LOG(I20),1)»> 0,6222140}

5,19

0,7151674

6,19

7,19

0,8567289

8,19

9,19

1,020

1,20

2,20

0,3424227

3,20

505149990605″ x:fmla=»=LOG(G21)-FLOOR(LOG(G21),1)»> 0,5051500

4,20

45″ x:fmla=»=LOG(I21)-FLOOR(LOG(I21),1)»> 0,6232493

5,20

0,7160033

6,20

49825389″ x:fmla=»=LOG(M21)-FLOOR(LOG(M21),1)»> 0,7

7,20

8,20

9,20

1.021

02574208690

E-3″ x:fmla=»=LOG(A22)»> 0,00

1,21

0,0827854

2,21

68511072″ x:fmla=»=LOG(E22)-FLOOR(LOG(E22),1)»> 0,3443923

3,21

0,5065050

4,21

5,21

6,21

7,21

8,21

91434315711

9,21

1,022

5958″ x:fmla=»=LOG(M57)-FLOOR(LOG(M57),1)»>4E-3″ x:fmla=»=LOG(A23)»> 0,00

1,22

0,0863598

2,22

3,22

4,22

5,22

0,7176705

6,22

7,22

8,22

181754005042″ x:fmla=»=LOG(Q23)-FLOOR(LOG(Q23),1)»> 0,

9,22

362934″ x:fmla=»=LOG(S23)-FLOOR(LOG(S23),1)»> 0,

1,023

0,00987563

1,23

31E-2″ x:fmla=»=LOG(C24)-FLOOR(LOG(C24),1)»> 0,0899051

2,23

0,3483049

3,23

3499999999999908″>2233110286″ x:fmla=»=LOG(G24)-FLOOR(LOG(G24),1)»> 0,50

4,23

0,6263404

5,23

0,7185017

6,23

7,23

8,23

983521226986″ x:fmla=»=LOG(Q24)-FLOOR(LOG(Q24),1)»> 0,

9,23

1,024

1,24

3421685162235063E-2″ x:fmla=»=LOG(C25)-FLOOR(LOG(C25),1)»> 0,0

2,24

0,3502480

3,24

0,5105450

4,24

7″ x:fmla=»=LOG(I25)-FLOOR(LOG(I25),1)»> 0,6273659

5,24

6,24

7,24

8,24

9,24

1,025

1,25

0,00

2,25

0,3521825

3,25

4,25

031049″ x:fmla=»=LOG(I26)-FLOOR(LOG(I26),1)»> 0,6283889

2499999999999902″> 5,25

6,25

7,25

0,8603380

8,25

004732038163″ x:fmla=»=LOG(Q27)-FLOOR(LOG(Q27),1)»>3

» x:fmla=»=LOG(Q26)-FLOOR(LOG(Q26),1)»> 0,

9,25

1,026

1,26

10037054511756291″ x:fmla=»=LOG(C27)-FLOOR(LOG(C27),1)»> 0,1003705

2,26

0,3541084

3,26

» x:fmla=»=LOG(G27)-FLOOR(LOG(G27),1)»> 0,5132176

4,26

9910271788″ x:fmla=»=LOG(I27)-FLOOR(LOG(I27),1)»> 0,62

5,26

0,7209857

6,26

7,26

2599999999999891″> 8,26

9,26

» x:fmla=»=LOG(S27)-FLOOR(LOG(S27),1)»> 0,

1,027

1,27

2,27

3,27

0,5145478

4,27

0,6304279

5,27

0,7218106

2699999999999898″> 6,27

7,27

0,8615344

8,27

9,27

1.028

1,28

2,28

3,28

0,5158738

2799999999999896″> 4,28

0,6314438

5,28

381142″ x:fmla=»=LOG(K29)-FLOOR(LOG(K29),1)»> 0,7226339

6,28

7,28

8,28

033678487966″ x:fmla=»=LOG(Q29)-FLOOR(LOG(Q29),1)»> 0,

9,28

1,029

0,01241537

1,29

110589

2,29

0,3598355

3,29

4,29

5,29

0,7234557

6,29

0,7986506

7,29

8,29

102378411046″ x:fmla=»=LOG(Q32)-FLOOR(LOG(Q32),1)»>45

9,29

28″ x:fmla=»=LOG(S30)-FLOOR(LOG(S30),1)»> 0,57

1.030

0,01283722

1,30

230683679″ x:fmla=»=LOG(C31)-FLOOR(LOG(C31),1)»> 0,1139434

2,30

0,3617278

3,30

788619″ x:fmla=»=LOG(G31)-FLOOR(LOG(G31),1)»> 0,5185139

4,30

63346845557

5,30

6,30

8102″ x:fmla=»=LOG(M31)-FLOOR(LOG(M31),1)»> 0,79

7,30

0,8633229

8.30

52E-2″ x:fmla=»=LOG(A34)»>80

9.30

» x:fmla=»=LOG(S31)-FLOOR(LOG(S31),1)»> 0,

0309999999999966″ x:fmla=»=A31+0.001″> 1,031

0,01325867

1,31

2,31

3,31

71742″ x:fmla=»=LOG(G32)-FLOOR(LOG(G32),1)»> 0,5198280

4,31

0,6344773

5,31

99999999802″>08146821″ x:fmla=»=LOG(K32)-FLOOR(LOG(K32),1)»> 0,7250945

6,31

3365″ x:fmla=»=LOG(M32)-FLOOR(LOG(M32),1)»> 0,8000294

3099999999999898″> 7,31

8,31

9,31

1,032

1,32

2,32

0,3654880

3,32

0,5211381

4,32

0,6354837

3199999999999896″> 5,32

6,32

0,8007171

7,32

0,8645111

8,32

9,32

1235398084″ x:fmla=»=LOG(S33)-FLOOR(LOG(S33),1)»> 0,96

1,033

1,33

2,33

367355

3,33

0,5224442

4,33

5,33

0,7267272

6,33

0,8014037

7,33

8,33

9,33

0339999999999963″ x:fmla=»=A34+0.001″> 1,034

1,34

0,1271048

2,34

3,34

0,5237465

4,34

5,34

0,7275413

6,34

7,34

86569160699″ x:fmla=»=LOG(O35)-FLOOR(LOG(O35),1)»> 0,8656961627743901595″ x:fmla=»=LOG(Q37)-FLOOR(LOG(Q37),1)»> 0,63551
869977″ x:fmla=»=LOG(Q40)-FLOOR(LOG(Q40),1)»> 0,206188114″ x:fmla=»=LOG(Q41)-FLOOR(LOG(Q41),1)»> 0,9» x:fmla=»=LOG(I46)-FLOOR(LOG(I46),1)»> 0,6483600155690604″ x:fmla=»=LOG(K63)-FLOOR(LOG(K63),1)»>7920907″ x:fmla=»=LOG(Q64)-FLOOR(LOG(Q64),1)»> 0,99869

8,34

9,34

1,035

» x:fmla=»=LOG(O84)-FLOOR(LOG(O84),1)»>

1,35

2,35

0,3710679

3,35

0,5250448

4,35

63848

» x:fmla=»=LOG(E56)-FLOOR(LOG(E56),1)»>585225671328″ x:fmla=»=LOG(Q49)-FLOOR(LOG(Q49),1)»>5463632″ x:fmla=»=LOG(I36)-FLOOR(LOG(I36),1)»> 0,6384893

5,35

0,7283538

6,35

7,35

0,8662873

8,35

9,35

1,036

651018″ x:fmla=»=LOG(E39)-FLOOR(LOG(E39),1)»>55E-2″ x:fmla=»=LOG(A37)»> 0,01535976

1,36

13353890837021754″ x:fmla=»=LOG(C37)-FLOOR(LOG(C37),1)»> 0,1335389

2,36

3,36

8984276″ x:fmla=»=LOG(G37)-FLOOR(LOG(G37),1)»> 0,5263393

4,36

8498″ x:fmla=»=LOG(I37)-FLOOR(LOG(I37),1)»> 0,63

5,36

21″ x:fmla=»=LOG(K37)-FLOOR(LOG(K37),1)»> 0,72

6,36

0,8034571

7,36

0,8668778

8,36

9,36

1,037

0,01577876

1,37

0,1367206

2,37

0,3747483

3,37

0,5276299

4,37

5,37

3699999999999903″> 6,37

3534979″ x:fmla=»=LOG(M38)-FLOOR(LOG(M38),1)»> 0,8041394

7,37

0,8674675

8,37

624″ x:fmla=»=LOG(E66)-FLOOR(LOG(E66),1)»>45″ x:fmla=»=LOG(Q38)-FLOOR(LOG(Q38),1)»> 0,

9,37

1,038

1,38

0,1398791

2,38

3799999999999901″> 3,38

0,5289167

4,38

0,6414741

5,38

0,7307823

6,38

0,8048207

7,38

0,8680564

8,38

9,38

1,039

6615547557175616E-2″ x:fmla=»=LOG(A40)»> 0,01661555

1,39

0,1430148

2,39

3,39

4,39

0,6424645

5,39

0,7315888

6,39

0,8055009

7,39

8,39

9,39

1.040

78514E-2″ x:fmla=»=LOG(A41)»> 0,01703334

1,40

0,1461280

2,40

0,3802112

3,40

0,5314789

4,40

0,6434527

5,40

636180664″ x:fmla=»=LOG(C78)-FLOOR(LOG(C78),1)»>822» x:fmla=»=LOG(K41)-FLOOR(LOG(K41),1)»> 0,7323938

3999999999999897″> 6,40

7,40

8,40

» x:fmla=»=LOG(I46)-FLOOR(LOG(I46),1)»>

9,40

1,041

1,41

14921911265537988″ x:fmla=»=LOG(C42)-FLOOR(LOG(C42),1)»> 0,14

2,41

0,3820170

3,41

4,41

5,41

6,41

7,41

8,41

91161″ x:fmla=»=LOG(Q42)-FLOOR(LOG(Q42),1)»> 0,

9,41

1,042

1,42

0,1522883

2,42

0,3838154

3,42

0,5340261

4,42

5,42

5499999999999901″>3838609″ x:fmla=»=LOG(K43)-FLOOR(LOG(K43),1)»> 0,7339993

6,42

0,8075350

7,42

0,8704039

8,42

327292″ x:fmla=»=LOG(S48)-FLOOR(LOG(S48),1)»>209149

9″ x:fmla=»=LOG(Q43)-FLOOR(LOG(Q43),1)»> 0,

9,42

1,043

0,01828431

1,43

0,1553360

4299999999999899″> 2,43

0,3856063

3,43

4,43

0,6464037

5,43

6,43

7,43

0,8709888

8,43

9,43

69968″ x:fmla=»=LOG(Q53)-FLOOR(LOG(Q53),1)»>32796″ x:fmla=»=LOG(S44)-FLOOR(LOG(S44),1)»> 0,17

1,044

0,01870050

1,44

2,44

0,3873898

3,44

0,5365584

4,44

5,44

6,44

0,8088859

4399999999999897″> 7,44

8,44

9,44

1,045

0,01

1,45

2,45

0,38

3,45

4,45

648360010980

5,45

6,45

7,45

0,8721563

8,45

6708

185″ x:fmla=»=LOG(Q46)-FLOOR(LOG(Q46),1)»> 0,

9,45

1,046

1,46

0,1643529

4599999999999902″> 2,46

3883221» x:fmla=»=LOG(S10)-FLOOR(LOG(S10),1)»>1

3,46

20070002″ x:fmla=»=LOG(O54)-FLOOR(LOG(O54),1)»>4″ x:fmla=»=LOG(G47)-FLOOR(LOG(G47),1)»> 0,53

4,46

5,46

6,46

45″ x:fmla=»=LOG(M47)-FLOOR(LOG(M47),1)»> 0,8102325

7,46

0,8727388

8,46

69968″ x:fmla=»=LOG(Q53)-FLOOR(LOG(Q53),1)»>036303902298″ x:fmla=»=LOG(Q47)-FLOOR(LOG(Q47),1)»> 0,

69968″ x:fmla=»=LOG(Q53)-FLOOR(LOG(Q53),1)»>04

9,46

1,047

1,47

0,1673173

2,47

3,47

4,47

46999999999999″> 5,47

0,7379873

6,47

0,8109043

7,47

0,8733206

8,47

9,47

1,048

0,02036128

1,48

2,48

68082621457″ x:fmla=»=LOG(E49)-FLOOR(LOG(E49),1)»> 0,3

84073323461180549″ x:fmla=»=LOG(M94)-FLOOR(LOG(M94),1)»>7

3,48

975″ x:fmla=»=LOG(G49)-FLOOR(LOG(G49),1)»> 0,5415792

4,48

0,6512780

5,48

0,7387806

6,48

0,8115750

7,48

46076″ x:fmla=»=LOG(O49)-FLOOR(LOG(O49),1)»> 0,8739016

8,48

» x:fmla=»=LOG(E56)-FLOOR(LOG(E56),1)»>585225671328″ x:fmla=»=LOG(Q49)-FLOOR(LOG(Q49),1)»> 0,

4799999999999898″> 9,48

1,049

625E-2″ x:fmla=»=LOG(A50)»> 0,02077549

1,49

0,1731863

2,49

3,49

4,49

0,6522463

5,49

6,49

812244636859″ x:fmla=»=LOG(M50)-FLOOR(LOG(M50),1)»> 0,8122447

7,49

8,49

9,49

1.050

5E-2″ x:fmla=»=LOG(A51)»> 0,02118930

1,50

0,1760913

2,50

3,50

0,5440680

4999999999999902″> 4,50

0,6532125

5,50

11″ x:fmla=»=LOG(K51)-FLOOR(LOG(K51),1)»> 0,7403627

6,50

0,8129134

7,50

0,8750613

8,50

892571429219″ x:fmla=»=LOG(Q51)-FLOOR(LOG(Q51),1)»> 0,

9,50

1,051

0,02160272

1,51

17872

43″ x:fmla=»=LOG(C52)-FLOOR(LOG(C52),1)»> 0,1789769

2,51

3,51

0,5453071

4,51

5,51

0,7411516

6,51

0,8135810

7,51

8,51

5099999999999891″> 9,51

348″ x:fmla=»=LOG(S52)-FLOOR(LOG(S52),1)»> 0,

1.052

0.02201574

1,52

254″ x:fmla=»=LOG(C53)-FLOOR(LOG(C53),1)»> 0,1818436

2,52

0,4014005

3,52

0,5465427

4,52

0,6551384

5,52

772919809″ x:fmla=»=LOG(K53)-FLOOR(LOG(K53),1)»> 0,7419391

5199999999999898″> 6,52

7,52

0,8762178

8,52

69968″ x:fmla=»=LOG(Q53)-FLOOR(LOG(Q53),1)»> 0,

9,52

1,053

0,02242837

1,53

0,1846914

2,53

0,4031205

3,53

0,5477747

5299999999999896″> 4,53

0,6560982

5,53

0,7427251

6,53

0,8149132

7,53

8,53

9,53

1,054

0,02284061

1,54

0,1875207

5399999999999898″> 2,54

» x:fmla=»=LOG(E55)-FLOOR(LOG(E55),1)»> 0,4048337

3,54

0,54

4,54

0,6570559

5,54

6,54

0,8155777

7,54

8,54

155690604″ x:fmla=»=LOG(K63)-FLOOR(LOG(K63),1)»>787068900454″ x:fmla=»=LOG(Q55)-FLOOR(LOG(Q55),1)»> 0,

9,54

1,055

1,55

0,1

2,55

3,55

0,5502284

4,55

5,55

12267544″ x:fmla=»=LOG(K56)-FLOOR(LOG(K56),1)»> 0,7442930

5499999999999901″> 6,55

0,8162413

7,55

162918768″ x:fmla=»=LOG(O56)-FLOOR(LOG(O56),1)»> 0,8779470

8,55

9,55

0,9800034

1,056

1,56

2,56

5599999999999898″> 3,56

4,56

5,56

0,7450748

6,56

7,56

8,56

9,56

0,9804579

1,057

407498730742369E-2″ x:fmla=»=LOG(A58)»> 0,02407499

1,57

2,57

3,57

0,5526682

4,57

0,6599162

5,57

6,57

7,57

5699999999999896″> 8,57

9,57

684305″ x:fmla=»=LOG(S58)-FLOOR(LOG(S58),1)»> 0,9809119

1,058

0,02448567

1,58

263″ x:fmla=»=LOG(C59)-FLOOR(LOG(C59),1)»> 0,1986571

2,58

3,58

0,5538830

4,58

0,6608655

5,58

746634198

799″ x:fmla=»=LOG(K59)-FLOOR(LOG(K59),1)»> 0,7466342

6,58

» x:fmla=»=LOG(M59)-FLOOR(LOG(M59),1)»> 0,8182259

7,58

8,58

9,58

0,9813655

1,059

1,59

2,59

5899999999999901″> 3,59

4,59

0,6618127

5,59

0,7474118

6,59

21″ x:fmla=»=LOG(M60)-FLOOR(LOG(M60),1)»> 0,8188854

7,59

8,59

9,59

0,9818186

001″> 1.060

0,02530587

1,60

0,2041200

2,60

3,60

0,5563025

4,60

0,6627578

5,60

0,7481880

6,60

7,60

0,8808136

5999999999999908″> 8,60

845124356723″ x:fmla=»=LOG(Q61)-FLOOR(LOG(Q61),1)»> 0,

9,60

1,061

0,02571538

1,61

0,2068259

2,61

0,4166405

3,61

0,5575072

4,61

5,61

748

125616063″ x:fmla=»=LOG(K62)-FLOOR(LOG(K62),1)»> 0,7489629

6,61

7,61

0,8813847

8,61

9,61

0,9827234

1,062

0,02612452

1,62

2,62

6199999999999899″> 3,62

0,5587086

4,62

5,62

6,62

7,62

8,62

9,62

0,9831751

1,063

65332645232

306757E-2″ x:fmla=»=LOG(A82)»>E-2″ x:fmla=»=LOG(A64)»> 0,02653326

1,63

2,63

3,63

0,5599066

4,63

5,63

6,63

0,8215135

7,63

6299999999999901″> 8,63

9,63

0,9836263

1,064

1,64

0,2148438

2,64

0,4216039

3,64

0,5611014

4,64

0,6665180

6399999999999899″> 5,64

0,7512791

6,64

7,64

8,64

374247889274″ x:fmla=»=LOG(Q65)-FLOOR(LOG(Q65),1)»> 0,

9,64

0,9840770

1,065

1,65

6721541778″ x:fmla=»=LOG(S93)-FLOOR(LOG(S93),1)»>390627″ x:fmla=»=LOG(C66)-FLOOR(LOG(C66),1)»> 0,2174839

6499999999999901″> 2,65

3,65

0,5622929

4,65

5,65

6,65

0,8228216

7,65

0,8836614

8,65

610746481367″ x:fmla=»=LOG(Q66)-FLOOR(LOG(Q66),1)»> 0,

9,65

98452731334379207″ x:fmla=»=LOG(S66)-FLOOR(LOG(S66),1)»> 0,9845273

1,066

0,02775720

1,66

0.2201081

2,66

0,4248816

3,66

75655″ x:fmla=»=LOG(M93)-FLOOR(LOG(M93),1)»>44″ x:fmla=»=LOG(G67)-FLOOR(LOG(G67),1)»> 0,5634811

4,66

0,6683859

5,66

0,7528164

6,66

82347422917030044″ x:fmla=»=LOG(M67)-FLOOR(LOG(M67),1)»> 0,8234742

7,66

8,66

9,66

1,067

1,67

0,2227165

2,67

0,4265113

3,67

0,5646661

6699999999999902″> 4,67

0,66

5,67

0,7535831

6,67

0,8241258

7,67

8,67

9020971″ x:fmla=»=LOG(Q68)-FLOOR(LOG(Q68),1)»> 0,

9,67

0,9854265

1,068

8571252692534566E-2″ x:fmla=»=LOG(A69)»> 0,02857125

1,68

0,2253093

2,68

3,68

0,5658478

4,68

0,6702459

5,68

0,7543483

6,68

0,8247765

7,68

0,8853612

8,68

006″ x:fmla=»=LOG(G80)-FLOOR(LOG(G80),1)»>97

9,68

0,9858754

1,069

1,69

0,2278867

2,69

3,69

0,5670264

4,69

0,6711728

6899999999999897″> 5,69

6,69

0,8254261

7,69

0,8859263

8,69

4866597″ x:fmla=»=LOG(Q70)-FLOOR(LOG(Q70),1)»> 0,939″ x:fmla=»=LOG(M88)-FLOOR(LOG(M88),1)»>863408599″ x:fmla=»=LOG(I73)-FLOOR(LOG(I73),1)»> 0,673942071833976272″ x:fmla=»=LOG(S89)-FLOOR(LOG(S89),1)»> 0,99616922182557194″ x:fmla=»=LOG(G95)-FLOOR(LOG(G95),1)»> 0,5213122968
Следствием этого является то, что если мы хотим найти частное двух чисел, мы можем сделать это без деления. Вместо этого мы вычитаем логарифм делителя из логарифма делимого и берем антилогарифм результата. В качестве примера, давайте использовать те же числа, которые мы использовали раньше, но на этот раз мы будем разделить число пятьсот сорок семь на число двести тридцать девять (547 ÷ 239).
Если вы используете программу-калькулятор, встроенную в Microsoft Windows, получите журнал по основанию десять числа пятьсот сорок семь и сохраните его в памяти калькулятора, как вы это делали раньше (убедитесь, что вы очистили память, прежде чем начать ). На этот раз мы хотим вычесть логарифм двести тридцать девять из значения, сохраненного в памяти. Еще раз очистите дисплей, а затем введите следующую последовательность клавиш:

Возьмите общий журнал 239 и вычтите его из памяти

Нажмите кнопку «Очистить» еще раз, чтобы очистить дисплей, затем нажмите кнопку «Вызов из памяти». Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:

В памяти хранится разница lg(547) и lg(239).)

Чтобы получить ответ, нам нужно только взять антилогарифм значения, которое сейчас хранится в памяти калькулятора. Убедитесь, что значение, которое вы извлекли из памяти, все еще отображается на дисплее, и нажмите кнопку «10 ^x». Теперь ваш дисплей должен выглядеть так:

Нажмите на кнопку «антилог», чтобы получить результат

Это действительно правильный ответ (547 ÷ 239= 2,289). Как и при умножении с использованием логарифмов, мы упростили процесс деления. На этот раз процесс был сокращен до одного вычитания. Итак, найдите логарифмы делимого и делителя, вычтите логарифм делителя из логарифма делимого, найдите антилогарифм, и вы получите ответ.
Этот метод работает одинаково хорошо для нескольких операций деления в одном выражении, но вы должны быть осторожны с порядком вычисления (деление, в отличие от умножения, не является ни коммутативный или ассоциативный ). Рассмотрим следующее выражение:
336 ÷ 16 ÷ 4 = 5,25
Порядок операций здесь слева направо, так как задействованы только операции деления. Два делителя можно поменять местами, не влияя на результат, но делимое (336) должно стоять в левой части выражения, а первая операция деления всегда должна выполняться перед второй. Оба приведенных ниже выражения дают результаты, отличные от приведенного выше выражения. Они также дают разные результаты друг от друга, как вы можете видеть.
336 ÷ (16 ÷ 4) = 84
336 ÷ (4 ÷ 16) = 1344
Это выражение, с другой стороны, дает нам тот же результат, что и исходное выражение:
336 ÷ 4 ÷ 16 = 5,25
Исходный расчет можно провести с помощью логарифмов следующим образом:
Журнал ₁₀ 336 — Журнал ₁₀ 16 — Журнал ₁₀ 4 = Лог ₁₀ (336 ÷ 16 ÷ 4) = Лог ₁₀ 5,25
Когда я делаю это вычисление с помощью логарифмов на калькуляторе Windows, я получаю правильный результат, как показано ниже.

Ожидаемый результат (5.25) достигнут

Третий закон логарифмов
[Вернитесь к началу страницы]
Третий закон логарифмов гласит, что логарифм числа, возведенного в степень, можно найти, умножив логарифм основания на 9. 5705 показатель степени (т.е. степень, в которую нужно возвести основание). Формально это выражается так:
бревно _б ( м ^н ) = н бревно _б ( м )
Процесс возведения в степень (возведение основания в степень) сводится к умножению. Умножаем логарифм основания на показатель степени и берем антилогарифм результата. В качестве примера, давайте воспользуемся логарифмами по основанию десяти, чтобы найти значение 9.5705 сто двадцать три в степени пять (123 ⁵ ). Если вы используете калькулятор, встроенный в Windows, получите логарифм по основанию десять из сто двадцать три и умножьте его на пять, используя следующую последовательность клавиш:

Возьмите логарифм 123 и умножьте его на 5.

Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:

Результат умножения lg(123) на 5

Чтобы получить ответ, мы просто возьмем антилогарифм значения на дисплее, нажав на кнопку «10 ^x». Теперь ваш дисплей должен выглядеть так:

Используйте кнопку «антилог», чтобы получить требуемый результат

Это действительно правильный ответ (123 ⁵ = 28 153 056 843). Третий закон логарифмов также можно применить к нахождению корней, поскольку корень — это, по сути, число, возведенное в степень, которая является рациональным (то есть дробным) числом. Это отношение можно выразить следующим образом:
ⁿ √ a   =   a ^{¹ / _n}
В переводе на слова это означает, что n -й корень из a равен a , возведенному в степень на единицу над n . Помните, однако, что третий закон логарифмов гласит, что логарифм числа, возведенного в степень, можно найти, умножив логарифма основания на показатель степени 9.5708 . Следовательно, чтобы найти логарифм n -го корня числа a , мы просто возьмем логарифм a и умножим его на ¹ / _n . Алгебраически это можно выразить так:

9,69 0,9863238
1,070 77685206513E-2″ x:fmla=»=LOG(A71)»> 0,02 8 1,70 23044892137827391″ x:fmla=»=LOG(C71)-FLOOR(LOG(C71),1)»> 0,2304489 2,70 0,4313638 3,70 0,5682017 4,70 653″ x:fmla=»=LOG(I71)-FLOOR(LOG(I71),1)»> 0,6720979 5,70 0,7558749 6,70 0,8260748 7,70 0,8864907 8,70 925261861802″ x:fmla=»=LOG(Q71)-FLOOR(LOG(Q71),1)»> 0, 89265103387729927″ x:fmla=»=LOG(O82)-FLOOR(LOG(O82),1)»>93 9,70 0,9867717
1.071 1,71 2,71 3,71 0
4353″ x:fmla=»=LOG(G72)-FLOOR(LOG(G72),1)»> 0,56 4,71 0,6730209 5,71 0,7566361 7099999999999804″> 6,71 0,8267225 7,71 8,71 815500766217″ x:fmla=»=LOG(Q72)-FLOOR(LOG(Q72),1)»> 0, 82 9,71 0,9872192
1,072 1,72 0,2355284 2,72 0,4345689 71999999999999″> 3,72 4,72 705
5,72 6,72 0,8273693 7,72 0,8876173 8,72 648493256623″ x:fmla=»=LOG(Q73)-FLOOR(LOG(Q73),1)»> 0, 65 9,72 0,9876663
072999999999992″ x:fmla=»=A73+0.001″> 1,073 1,73 0,2380461 2,73 0,4361626 3,73 0,5717088 4,73 0,6748611 5,73 6,73 7,73 7299999999999809″> 8,73 424370556874″ x:fmla=»=LOG(Q74)-FLOOR(LOG(Q74),1)»> 0, 42 9.73 0,9881128
1,074 0,03100428 1,74 0,2405492 2,74 0,4377506 3,74 0,5728716 4,74 0,6757783 5,74 758911892397» x:fmla=»=LOG(K75)-FLOOR(LOG(K75),1)»> 0,7589119 6,74 7,74 8,74 143263440207″ x:fmla=»=LOG(Q75)-FLOOR(LOG(Q75),1)»> 0, 14 9,74 1,075 0,03140846 1,75 0,2430380 2,75 6599999999999895″> 3,75 0,5740313 4,75 5,75 6,75 0,82
7,75 0,88 8,75 9,75 0,98
0759999999999916″ x:fmla=»=A76+0.001″> 1.076 0,03181227 1,76 0,2455127 2,76 0,4409091 3,76 0,5751878 4,76 5,76 0,7604225 6,76 633666730349″ x:fmla=»=LOG(Q99)-FLOOR(LOG(Q99),1)»>5 462″ x:fmla=»=LOG(M77)-FLOOR(LOG(M77),1)»> 0,8299467 7599999999999802″> 7,76 0,8898617 8,76 9,76 1,077 1,77 2,77 3,77 0,5763414 4,77 0,6785184 76999999999998″> 5,77 0,7611758 6,77 0,8305887 7,77 0,8
0 8,77 6603956″ x:fmla=»=LOG(Q78)-FLOOR(LOG(Q78),1)»> 0, 96 9,77 999999998″>71877216″ x:fmla=»=LOG(S78)-FLOOR(LOG(S78),1)»> 0,9898946
1,078 0,03261876 1,78 0,2504200 7799999999999798″> 2,78 07311″ x:fmla=»=LOG(E79)-FLOOR(LOG(E79),1)»> 0,4440448 3,78 0,5774918 4,78 10017″ x:fmla=»=LOG(K90)-FLOOR(LOG(K90),1)»> 5,78 0,7619278 6,78 06202″ x:fmla=»=LOG(M79)-FLOOR(LOG(M79),1)»> 0,8312297 7,78 8,78 451590610156″ x:fmla=»=LOG(Q79)-FLOOR(LOG(Q79),1)»> 0, 9099999999999802″>45 9,78 0,9
9
1,079 0,03302144 1,79 2,79 0,4456042 3,79 4,79 0,6803355 5,79 0,7626786 6,79 83186
8050035″ x:fmla=»=LOG(M80)-FLOOR(LOG(M80),1)»> 0,8318698 7,79 0,8 5 8,79 9,79 0,9
1,080 112936764″ x:fmla=»=LOG(K98)-FLOOR(LOG(K98),1)»>6E-2″ x:fmla=»=LOG(A81)»> 0,03342376 1,80 0,2552725 2,80 0,4471580 7999999999999798″> 3,80 4,80 0,6812412 5,80 0,7634280 6,80 0,8325089 7,80 8,80 9,80 0,9
1,081 38256 306757E-2″ x:fmla=»=LOG(A82)»> 0,03382569 1,81 0,2576786 2,81 0,4487063 3,81 4,81 0,6821451 5,81 0,7641761 6,81 0,8331471 7,81 0,8 4999999999999893″>0 8,81 590841204693″ x:fmla=»=LOG(Q82)-FLOOR(LOG(Q82),1)»> 0, 59 9,81 0
1,082 0,03422726 1,82 0,2600714 2,82 0,4502491 3,82 0,5820634 8199999999999799″> 4,82 0,6830470 5,82 0,7649230 6,82 0,8337844 7,82 0,8
8,82 9,82 0,9 1,083 0,03462846 1,83 262451082947″ x:fmla=»=LOG(C84)-FLOOR(LOG(C84),1)»> 0,2624511 2,83 0,4517864 3,83 4,83 075151037″ x:fmla=»=LOG(I84)-FLOOR(LOG(I84),1)»> 0,6839471 5,83 0,7656686 6,83 0,8344207 7,83 8 8,83 8299999999999805″> 9,83 0,9 5
1,084 0,03502928 1,84 2,84 0,4533183 3,84 0,5843312 4,84 0,6848454 5,84 0,7664128 8399999999999803″> 6,84 0,8350561 7,84 8,84 226501307211″ x:fmla=»=LOG(Q85)-FLOOR(LOG(Q85),1)»> 0, 23 9,84 1,085 1,85 0,2671717 2,85 0,4548449 8499999999999801″> 3,85 4,85 0,6857417 5,85 0,7671559 6,85 0,8356906 7,85 8,85 06
47″ x:fmla=»=LOG(Q86)-FLOOR(LOG(Q86),1)»> 0,
9,85 001″> 1,086 0,03582983 1,86 6721541778″ x:fmla=»=LOG(S93)-FLOOR(LOG(S93),1)»>791633″ x:fmla=»=LOG(C87)-FLOOR(LOG(C87),1)»> 0,26 2,86 0,4563660 3,86 0,5865873 4,86 0,6866363 5,86 6,86 0,8363241 7,86 8
54603940674″ x:fmla=»=LOG(O87)-FLOOR(LOG(O87),1)»> 0,8
5
8,86 9,86 0,9
1,087 86290713E-2″ x:fmla=»=LOG(A88)»> 0,03622954 1,87 0,2718416 2,87 3,87 4,87 8699999999999797″> 5,87 0,7686381 6,87 7,87 8,87 9,87 02851185″ x:fmla=»=LOG(I91)-FLOOR(LOG(I91),1)»>152663″ x:fmla=»=LOG(S88)-FLOOR(LOG(S88),1)»> 0,9 1,088 1,88 0,2741578 8799999999999799″> 2,88 0,45 3,88 0,5888317 4,88 0,6884198 5,88 0,76 6,88 0,8375884 7,88 8,88 9,88 9
1,089 1,89 0,2764618 2,89 3,89 4,89 0,68 5,89 6,89 0,8382192 8899999999999801″> 7,89 8,89 9,89 1,090 1,90 2,90 3,90 0,5
4,90 1 8999999999999799″> 5,90 0,7708520 6,90 0,8388491 7,90 8,90 9,90 54912″ x:fmla=»=LOG(S91)-FLOOR(LOG(S91),1)»> 0,9
2
1,091 0,03782475 1,91 0,2810334 2,91 0,4638930 9099999999999802″> 3,91 4,91 » x:fmla=»=LOG(I92)-FLOOR(LOG(I92),1)»> 0,6 5 5,91 0,7715875 6,91 7,91 8,91 9,91 1,092 8222638368714396E-2″ x:fmla=»=LOG(A93)»> 0,03822264 1,92 0,2833012 2,92 0,4653829 3,92 0,5 4,92 0971″ x:fmla=»=LOG(I35)-FLOOR(LOG(I35),1)»>1 5,92 0,7723217 6,92 7,92 4″ x:fmla=»=LOG(O93)-FLOOR(LOG(O93),1)»> 0,8987252 9199999999999804″> 8,92 9,92 1,093 1,93 0,2855573 2,93 0,4668676 3,93 0,5 4,93 0,6 5,93 0,7730547 9299999999999802″> 6,93 0,8407332 7,93 0,89 8,93 14588885455″ x:fmla=»=LOG(Q94)-FLOOR(LOG(Q94),1)»> 0, 15 9,93 84
36″ x:fmla=»=LOG(S94)-FLOOR(LOG(S94),1)»> 0,9

2
1,094 1,94 0,2878017 2,94 0,4683473 3,94 5
4,94 5,94 0,7737864 6,94 7,94 0,8998205 8,94 9,94 9999999895″ x:fmla=»=A95+0.001″> 1,095 0,03 45636603312903995″ x:fmla=»=LOG(E87)-FLOOR(LOG(E87),1)»>2 1,95 0,26 009″ x:fmla=»=LOG(E96)-FLOOR(LOG(E96),1)»> 0,4698220 0
45802″ x:fmla=»=LOG(G96)-FLOOR(LOG(G96),1)»> 0,5
1
99999999802″>2 854811″ x:fmla=»=LOG(K96)-FLOOR(LOG(K96),1)»> 0,7745170 0,8419848 0,
71
99999999797″> 8,95 99999999797″> 9,95 9999999894″ x:fmla=»=A96+0.001″> 1,096 0,03981055 1,96 0,2 0,4712917 92551008″ x:fmla=»=LOG(G97)-FLOOR(LOG(G97),1)»> 0,52 67649019577″ x:fmla=»=LOG(I97)-FLOOR(LOG(I97),1)»> 0,6 7 3498″ x:fmla=»=LOG(K97)-FLOOR(LOG(K97),1)»> 0,7752463
99999999804″> 6,96
99999999804″> 7,96 0,
8002426″ x:fmla=»=LOG(Q97)-FLOOR(LOG(Q97),1)»> 0,
80 0,9982593
0,04020663 1,97 0,2
0,4727564 0,5987905
99999999802″> 4,97 99999999802″> 5,97 99999999802″> 6,97 0,8432328 26″ x:fmla=»=LOG(O98)-FLOOR(LOG(O98),1)»> 0,
83 244304409105″ x:fmla=»=LOG(Q98)-FLOOR(LOG(Q98),1)»> 0,24 31165478″ x:fmla=»=LOG(S98)-FLOOR(LOG(S98),1)»> 0,9986952
1,098 0,04060234 1,98 97999999999998″> 2,98 0,4742163 3,98 0,5998831 4,98 5,98 0,7767012 6,98 0,8438554 7,98 0,
8,98 9,98 0,99 85612444424230028″ x:fmla=»=LOG(O19)-FLOOR(LOG(O19),1)»>
1,099 1,99 2,99 0,4756712 3,99 4,99 0,6981005 5,99 0,7774268 6,99 0,8444772 9899999999999798″> 7,99 0,
8,99 9,99 — Как использовать таблицу журнала?
Таблица журнала (таблица логарифмов) используется для выполнения больших вычислений (умножения, деления, возведения в квадрат и извлечения корня) без использования калькулятора. Логарифм числа по данному основанию — это показатель степени, на которую нужно возвести это основание, чтобы получить исходное число. Например, если log₂16 = x, то 2 ^x = 16 и x = 4 удовлетворяют этому уравнению. Итак, log₂ 16 = 4. А как насчет log₂ 15? Если мы предположим, что log₂ 15 = x, то мы получим 2 ^x = 15, и мы не можем здесь найти значение x вручную. Таблица журналов помогает нам найти значение log₂ 15.
В этой статье мы научимся пользоваться таблицей логарифмов. Давайте посмотрим, как найти логарифм числа с помощью таблицы журналов и как использовать журналы при выполнении вычислений, а также многие другие примеры.
1. Что такое таблица журнала?
2. Логарифм Таблица десятичных логарифмов
3. Как использовать таблицу журнала?
4. Использование таблицы журнала в расчетах
5. Как использовать таблицу журналов для натуральных логарифмов?
6. Часто задаваемые вопросы о таблице журнала
Что такое таблица журнала?
Таблица журнала для данного основания представляет собой таблицу логарифмов, которая используется для нахождения логарифма определенного числа по этому конкретному основанию. Существуют разные таблицы логарифмов для таких оснований, как 10, e (число Эйлера), 2 и т. д. Таблица логарифмов дает самый простой способ точно найти значение логарифма числа. Логарифмическая функция считается обратной экспоненциальной функции. В следующем разделе мы рассмотрим таблицу журнала десятичных логарифмов.
Логарифм Таблица десятичных логарифмов
Мы знаем, что логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм и может быть записан как log ₁₀ (или) просто log. Ниже приведена общая таблица журнала (т. е. для базы 10). Это означает, что он может дать значение log x (которое также записывается как log ₁₀ x) для любого x.
Таблица журнала в основном имеет 3 типа столбцов:
Первый столбец называется «основной столбец» и имеет номера от 10 до 9.9 (все двузначные числа).
Второй набор столбцов называется «столбец различий» и показывает «различия» для цифр от 0 до 9.
Третий набор столбцов называется «столбец средних различий» и показывает средние различия от 1 до 9.
Помимо этой таблицы, у нас есть таблицы журналов по основанию e (называемая таблицей натурального логарифма) и по основанию 2 (называемая таблицей двоичного логарифма).
Как использовать таблицу журналов?
Логарифм любого числа состоит из двух частей: характеристики и мантиссы . Эти две части всегда разделяются десятичной точкой. Например, log 23,78 = 1,3762, и здесь 1 называется характеристикой, а 3762 — мантиссом. т. е. в логарифме числа:
Целая часть (лежащая слева от запятой) называется характеристикой;
Десятичная (или) дробная часть (лежащая справа от запятой) называется мантисса.
Этот сценарий будет другим, если характеристика отрицательная. Давайте посмотрим, как рассчитать каждый из них.
Характеристика (положительная или отрицательная)
Характеристикой логарифма числа является показатель степени 10 в его научном представлении. Так что характеристика может быть как положительной, так и отрицательной. Вот несколько примеров, чтобы понять, что характерно.
Номер Научное обозначение Характеристика журнала номера
23,78 2,378 × 10 ¹ 1
4,572 4,572 × 10 ⁰ 0
552 5,52 × 10 ² 2
0,172 1,72 × 10 ^-1 -1
0,0172 1,72 × 10 ^-2 -2
Таким образом, характеристика логарифмирования числа не зависит от логарифмической таблицы. Вот несколько полезных советов по вычислению характеристики логарифма числа без фактического преобразования его в экспоненциальное представление.
Если число больше 1, то используют формулу: характеристика = количество знаков слева от запятой — 1.
Если число меньше 1, то используйте формулу: характеристика = — (количество нулей сразу после запятой + 1)
Посмотрим те же примеры (что и в предыдущей таблице) и рассчитаем их характеристики с помощью этих подсказок.
Если число > 1
Номер Количество цифр слева от десятичной точки Характеристика
23,78 2 2 — 1 = 1
4,572 1 1 — 1 = 0
552 (552,0) 3 3 — 1 = 2
Если число < 1
Номер Количество нулей сразу после запятой Характеристика
0,172 0 — (0 + 1) = -1
0,0172 1 — (1 + 1) = -2
Мантисса (только положительная)
Мантисса логарифма числа всегда положительна и находится с помощью таблицы журнала. Помните, что перед мантиссой всегда стоит десятичная точка. Вот шаги, чтобы найти мантиссу логарифма числа. Предположим, что мы пытаемся найти мантиссу логарифма числа 0,001724.
Шаг — 1: Найдите первую ненулевую цифру числа.
В нашем случае первая ненулевая цифра 1.
Шаг — 2: Возьмите следующие 4 цифры из числа, полученного в шаге — 1 независимо от десятичной точки.
Тогда получаем 1724.
Шаг — 3: В номере из Шаг — 2, первые две цифры вместе дают номер строки, а третья цифра дает номер столбца таблицы журнала. Определите значение из таблицы, лежащее на пересечении этой строки и столбца.
Первые две цифры — 17, а третья цифра — 2. Таким образом, мы должны увидеть пересечение строки с номером 17 и столбца с номером 2.

Тогда соответствующее число 2355.
Шаг — 4: Если в номере из Шаг — 2, нет 4 ^-й цифры, то само указанное выше число является мантиссом. Если есть цифра 4 ^-я, то мы должны искать среднюю разность (из таблицы журнала) той же строки, соответствующей 4 ^{-я цифра}.
Число из Step — 2 равно 1724, а цифра 4 ^th равна 4. Итак, ищите среднюю разницу.

Таким образом, соответствующая средняя разница равна 10,
.
Шаг — 5: Добавьте оба числа (из Шаг — 3 и Шаг — 4 ).
2355 + 10 = 2365.
Шаг — 6: Просто добавьте перед числом десятичную точку, которая дает мантиссу.
Мантисса журнала 0,001724 равна 0,2365.
Вот таблица с мантиссом из тех же чисел (что и в предыдущей таблице).
.....
Номер Четырехзначный номер Мантисса
23,78 2378 3747+15 ⇒ 0,3762
4,572 4572 6599+2 ⇒ 0,6601
552 5520 7419+0 ⇒ 0,7419
0,172 1720 2355+0 ⇒ 0,2355
0,0172 1720 2355+0 ⇒ 0,2355
Обратите внимание, что мы можем найти мантиссу, только если число из Шаг — 2 состоит либо из 4 цифр, либо менее 4 цифр. Если число из Step — 2 имеет менее 4 цифр (скажем, у нас 17), то запишем рядом с ним два нуля (запишем как 1700) и потом найдем мантиссу.
Нахождение логарифма числа по таблице логарифмов
Ниже приведены шаги для нахождения логарифма любого числа с помощью таблицы логарифмов.
Шаг — 1: Найдите его характеристику (здесь нет необходимости в таблице журнала).
Шаг — 2: Найдите его мантисса (используйте таблицу журнала).
Шаг — 3: Добавьте характеристику и мантиссу.
Вот таблица примеров (см. предыдущие таблицы, чтобы увидеть вычисления характеристики и мантиссы), чтобы понять, как найти логарифм числа, используя таблицу десятичного логарифма.
х Характеристика Мантисса журнал x
(характеристика + мантисса)
23,78 1 0,3762 1,3762
4,572 0 0,6601 0,6601
552 2 0,7419 2,7419
0,172 -1 0,2355 -0,7645
0,0172 -2 0,2355 -1,7645
Мы также можем перепроверить результаты, полученные в последнем столбце, с помощью калькулятора.
Использование таблицы журнала в расчетах
Логарифмирование любого числа используется для выполнения утомительных вычислений, включающих умножение, деление и возведение в степень. Для выполнения этих операций мы используем следующие свойства логарифмов.
log (mn) = log m + log n
log (м/n) = log m — log n
лог м ⁿ = n лог м
Давайте посмотрим, как использовать таблицу журнала в расчетах, используя следующую таблицу.
Пример: Найти (17,56 × 3 ⁷ ) / (4,75 × 2 ⁴ ) с использованием таблицы логарифмов
Решение:
Шаги для выполнения этого вычисления с использованием таблицы логарифмов следующие:
4 данного выражения, используя свойства логарифмов.
Шаг — 2: Найдите антилогарифм результата, полученного из Шаг — 1 , и это будет окончательный результат.
Использование свойств логарифмов,
log [(17.56 × 3 ⁷ ) / (4.75 × 2 ⁴ )]
= log (17.56 × 3 ⁷ ) — log (4.75 × 2 ⁴ )
= (log 17. 56 + лог 3 ⁷ ) — (лог 4,75 + лог 2 ⁴ )
= лог 17,56 + 7 лог 3 — лог 4,75 — 4 лог 2
Теперь с помощью таблицы логарифмов (вычисление характеристики, мантиссы и их сложение) ),
= 1,2445 + 7 (0,4771) — 0,6767 — 4 (0,3010)
= 2,7035
Теперь вычислите антилогарифм этого числа, используя антилогарифмическую таблицу.
Антилог (2,7035) (что равно 10 ^2,7035 ) = 505,24.
Следовательно, [(17,56 × 3 ⁷ ) / (4,75 × 2 ⁴ )] приблизительно равно 505,24.
Ответ, который мы получили с помощью таблицы логарифмов, будет очень близок к ответу из калькулятора. Попробуйте проверить.
Как использовать таблицу журнала для натуральных логарифмов?
На самом деле у нас есть отдельный набор логарифмических таблиц для натуральных логарифмов. Но если мы хотим вычислить натуральный логарифм числа (скажем, ln x), используя таблицы десятичных логарифмов, мы можем следовать следующей процедуре:0003
Мы знаем, что ln x есть не что иное, как log _e x. При изменении базового правила это можно записать как (log x) / (log e) = (log x) / (log 2,718) (поскольку e = 2,718).
Затем найдите log x и log 2,718 отдельно из таблицы десятичного логарифма и разделите результаты.
Вот пример.
Пример: Каково значение ln 5?
Решение: ln 5 = (log 5) / (log 2,718)
= (0,6990) / (0,4343)
≈ 1,6095.
Важные примечания к таблице журнала:
Таблицу журнала можно использовать для нахождения логарифма числа, если количество цифр после первой ненулевой цифры меньше или равно 4. Если количество цифр больше 4, мы просто игнорируем цифры, начиная с 5 ^й цифры и далее.
Логарифм числа состоит из двух частей: характеристики и мантиссы, а их сумма есть логарифм.
Характеристика может быть положительной или отрицательной.
Мантисса всегда должна быть положительной.
Если нам нужно найти логарифм по основанию (отличному от 10), то сначала используем изменение основания правила log _b a = (log a) / (log b) и затем используем ту же таблицу общих журналов .
☛ Связанные темы:
Калькулятор журнала
Общий калькулятор журнала
Калькулятор натурального логарифма
Калькулятор научных обозначений
Часто задаваемые вопросы о таблице журнала
Как вычислить логарифм числа с помощью таблицы журнала?
Для нахождения логарифма числа с использованием таблицы журнала :
найти характеристику
найти мантисса
просто добавьте их обоих.
Как найти характеристику и мантиссу из таблицы журнала?
Сумма характеристики и мантиссы числа дает логарифм этого числа.
Для нахождения характеристики не используйте таблицу журнала. Вместо этого запишите число в экспоненциальном представлении. Тогда показатель степени 10 будет характеристикой.
Для нахождения мантиссы запишите 4 цифры заданного числа (начиная с первой ненулевой цифры), игнорируя десятичную точку. Первые две цифры из этих четырех цифр – это номер строки, цифра 3 ^– – номер столбца, а цифра 4  – это средняя разница. Просто найдите число в таблице журнала, которое находится в точке пересечения строки и столбца, и добавьте среднюю разницу 4 ^-я-я цифра той же строки к этому номеру. Это даст мантиссу.
Как использовать таблицу журнала в расчетах?
Мы можем использовать логарифмическую таблицу для выполнения очень сложных вычислений с использованием показателей степени, умножения и деления самым простым способом. Для выполнения любых расчетов:
Применить журнал к этому расчету.
Расширьте его, используя свойства логарифмов.
Найдите логарифм каждого числа, используя таблицу журнала.
Наконец, найдите антилог полученного числа.
Люди все еще используют таблицу логарифмов?
Да, люди до сих пор используют таблицы логарифмов, особенно когда калькулятор недоступен (или) запрещен (особенно в случае экзаменов). Используя логарифмическую таблицу, расчеты по математике можно выполнять очень быстро.
Запись таблицы общего журнала от 1 до 10.
Вот таблица общего журнала (лог ₁₀ (или) просто журнал) от 1 до 10. Все ответы округлены до 4 знаков после запятой.
Логарифм Значение
журнал 1 0
журнал 2 0,3010
журнал 3 0,4771
журнал 4 0,6020
журнал 5 0,6989
журнал 6 0,7781
журнал 7 0,8450
журнал 8 0,9030
журнал 9 0,9542
журнал 10 1
Запись таблицы натурального логарифма От 1 до 10.
Вот таблица натурального логарифма (logₑ (или) просто ln) от 1 до 10. Все результаты округлены до 4 знаков после запятой.
Логарифм Значение
стр. 1 0
ряд 2 0,6931
стр. 3 1,0986
ряд 4 1,3862
стр. 5 1,6094
ряд 6 1,7917
п 7 1,9459
ряд 8 2,0794
стр. 9 2.1972
ряд 10 2,3025
Для чего нужна таблица логарифмов?
С помощью логарифмической таблицы мы можем очень легко выполнять математические вычисления со следующими операциями:
Экспоненты
Дивизион
Умножения
Таблицы журналов все еще используются?
Да, в некоторых странах есть экзамены (особенно связанные с математикой или физикой) до определенных оценок, на которых использование калькулятора запрещено. Тогда очень сложно делать какие-то большие вычисления без лог-таблицы.
Как вычислить логарифм пятизначного числа с помощью таблицы журнала?
Мантиссу логарифма числа можно найти только для четырехзначных чисел. Для более чем 4 цифр мы просто игнорируем цифры после 4-й цифры при поиске мантиссы. Но помните, что мы не игнорируем цифры при расчете характеристики. Например, чтобы найти журнал (1234.5):
Характеристика = количество цифр слева — 1 = 4 — 1 = 3.
Мантисса (см. строку с номером 12 и столбец с номером 3 в таблице журнала и добавьте среднюю разницу той же строки под номером 4) = 0,0913.
Здесь мы проигнорировали цифру 5 ^th (которая равна 5) при вычислении мантиссы.
Добавьте их обоих. Тогда log (1234,5) = 3 + 0,0913 = 3,0913. Это не точное значение журнала, а приблизительное значение, поскольку мы проигнорировали последнюю цифру.
Таблица журнала: таблица логарифмов с решенными примерами и вопросами
Автор Prince
Последнее изменение 25 июля 2022 г.
Автор Принц
Последнее изменение 25 июля 2022 г.
Таблица журнала: В математике логарифм — это операция, обратная возведению в степень. Это означает, что логарифм числа — это показатель степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить это число. В простых случаях логарифм считает повторные умножения. Чтобы найти значение логарифмической функции, учащиеся должны использовать таблицу журнала. Таблица логарифмов очень эффективна при нахождении значения логарифмической функции.
В Embibe мы предоставили бесплатный PDF-файл таблицы журнала на этой странице вместе с определением таблицы. Кроме того, мы подробно объяснили с иллюстрациями, как использовать таблицу логарифмов и процедуру использования таблицы антилогарифмов. Читайте дальше, чтобы узнать все о таблице журнала.
Прежде чем мы предоставим вам таблицу логарифмов, из которой учащиеся получат все значения, давайте разберемся с концепцией логарифмической функции. Логарифмические функции обратны экспоненциальным функциям. Функция журнала определяется следующим образом:
Для x, b > 0 и b≠1,
f(x) = log _b x, если x = b ^y
,
Логарифм Функция по основанию ‘b’. Наиболее распространенными основаниями, используемыми в функциях журнала, являются основание e и основание 10.
Десятичный логарифм [f(x) = log ₁₀ x] : Логарифм по основанию 10 (то есть b = 10) называется десятичным логарифмом и имеет множество применений в науке и технике.
Натуральный логарифм [f(x) = log _e x] : Основанием натурального логарифма является число e ( ≈ 2,718 ). Его использование широко распространено в математике и физике из-за его более простой производной.
Двоичный логарифм [f(x) = log ₂ x] : Двоичный логарифм использует основание 2 (то есть b = 2) и обычно используется в информатике.
Что такое характеристики и мантисса в логарифмической функции?
Целая часть десятичного логарифма называется характеристикой , а дробная часть называется мантисса .
Характеристика и мантисса
Примечание: Часть мантиссы логарифма числа всегда остается положительной.
Таким образом, журнал любого номера N будет иметь вид:
logN = (Характеристика)⋅(Мантисса)
N = анти логарифм (мантисса) × 10 ^{Характеристика}
Таблица журнала Основание 10: Полная таблица журнала
Здесь мы предоставили таблицу значений журнала для основания 10.

Как использовать таблицу журнала?: пошаговый процесс с примером
Чтобы найти логарифмическое значение числа с помощью логарифмической таблицы, учащиеся должны понимать процесс чтения логарифмической таблицы. Мы предоставили пошаговый процесс поиска значений на примере:
Шаг 1: Определите таблицу. Для разных баз используется разная таблица журнала. Приведенная выше таблица предназначена для 10-кратного основания. Таким образом, вы можете найти логарифмическое значение числа только по основанию 10. Чтобы найти натуральные логарифмы или двоичные логарифмы, учащиеся должны будут использовать другую таблицу.
Шаг 2: Найдите целую и десятичную части заданного числа. Предположим, мы хотим найти логарифмическое значение n = 18,25. Итак, прежде всего разделяем целое и десятичное.
Целая часть: 18
Десятичная часть: 25
Шаг 3: Подойдите к общей таблице журнала и найдите значение ячейки на следующих пересечениях:
Строка, помеченная первыми двумя цифрами n
Заголовок столбца с третьей цифрой n
⇒ В этом примере log10(18,25) → строка 18, столбец 2 → значение ячейки 2601. Таким образом, полученное значение равно 2601.
Шаг 4: Всегда используйте таблицу десятичного логарифма со средней разницей. Теперь снова перейдите к строке номер 18 и столбцу номер 5 (четвертая цифра n) в таблице разности средних.
⇒ В этом примере введите ₁₀ (18,25) → строка 18, столбец средней разницы 5 → значение ячейки 12. Запишите соответствующее значение, равное 12.
Шаг 5: Сложите оба значения, полученные на шаге 3 и шаге 4.
То есть 2601 + 12 = 2613.
Шаг 6: Найдите характеристическую часть. Методом проб и ошибок найдите целочисленное значение p такое, что ^p < n и a ^p+1 > n. Здесь а — основа, а р — характеристическая часть. Для обычных журналов (с основанием 10) просто подсчитайте количество цифр слева от десятичной дроби и вычтите единицу.
Итак, характеристическая часть = (количество знаков слева от запятой – 1).
В этом примере характеристика = 2 – 1
= 1
Шаг 7: Объедините характеристику и часть мантиссы, и учащиеся получат окончательное значение, равное 1,2613.
Итак, log ₁₀ (18,25) = 1,2613
Свойства логарифмов
Здесь мы представили все важные законы и свойства, связанные с логарифмами.
Теорема 1 : Логарифм произведения двух чисел, скажем, a и b, равен сумме логарифмов двух чисел. Основание должно быть одинаковым для обоих чисел.
Эта теорема также известна как правило произведения для логарифмов .
Теорема 2 : Деление двух чисел есть антилог разности логарифма двух чисел.
Другими словами, логарифм деления двух чисел, скажем, a и b, равен разности логарифмов этих двух чисел. Основание должно быть одинаковым для обоих чисел.
Эта теорема также называется правилом частных для логарифмов .
Теорема 3 : Логарифм числа по любому другому основанию может быть определен логарифмом того же числа по любому данному основанию.
Теорема 4 : Логарифм числа, возведенного в степень, равен индексу степени, умноженному на логарифм числа. База у обоих одинаковая.
Эта теорема также известна как правило степени для логарифмов 9.4741 .
Итак, это 4 свойства логарифма. Студенты смогут переписать логарифмическое выражение, используя правило степени, правило произведения или правило частного для логарифмов.
Таблица десятичных логарифмов от 1 до 10
Найдите общие таблицы журналов с 1 по 10 ниже:
Обычный логарифм для ряда ( log ₁₀ X) Значения журнала 0086 0
Log 2 0.3010
Log 3 0.4771
Log 4 0.6020
Log 5 0.6989
Log 6 0.7781
Log 7 0.8450
Log 8 0.9030
Log 9 0. 9542
Log 10 1

Таблица натуральных логарифмов от 1 до 10
Найдите таблицу натуральных логарифмических значений от 1 до 10 ниже:
Natural Logarithm to a Number (log _e x) Log Values 
ln (1) 0
ln (2) 0.6
пер. (3) 1.098612
пер. (4) 1.386294
ln (5) 1.609438
ln (6) 1.7
ln (7) 1.
ln (8) 2.079442
ln (9 ) 2.1
LN (10) 2,302585
Получить формлы алгебры для классов 8 до 115708
05.
Решенные примеры для таблицы формул логарифмов
Здесь мы предоставили некоторые примеры вопросов и ответов по таблицам журнала с 1 по 100:
Question 1: Find the value of log ₁₀ 8.675
Solution: The value can be obtained in the following steps:
Step 1: Целое число = 8 и десятичное число = 675
Шаг 2: Проверьте строку номер 86 (первые две цифры заданного числа) и столбец номер 7 (третья цифра заданного числа). Таким образом, полученное значение равно 9380.
Шаг 3: Проверяем значение средней разницы для строки номер 86 и среднюю разницу в столбце 5. Значение, соответствующее строке и столбцу, равно 3.
Шаг 4: Складываем значения, полученные на шагах 2 и 3, получаем 9383. Это часть мантиссы.
Шаг 5: Поскольку количество цифр слева от десятичной части равно 1. Значит характеристическая часть = (Количество цифр слева от десятичной дроби – 1)
= 0
Шаг 6: Объединить характеристика и часть мантиссы. Таким образом, становится 0,9383.
Следовательно, значение log ₁₀ 8,675 равно 0,9383.
Вопрос 2: Найдите значение log (45,67), используя таблицу журналов.
. свойство: log (a.b) = log a + log b]
= log (4,567) + 1 [∵ log (10) = 1, для обычного log]
Теперь найдем значение журнала (4,567).
Найдите стандартную таблицу журнала. Перейдите к строке № 45 (первые две цифры n) и столбцу № 6 (третья цифра n).
Запишите соответствующее значение, равное 0,6590.
Теперь снова перейдите к строке номер 45 и столбцу номер 7 (четвертая цифра n) в таблице разности средних.
Запишите соответствующее значение, равное 7.
Теперь сложите два значения. Получаем: 0,6590 + 7 = 0,6597
Это часть мантиссы.
Так как мы используем общую логарифмическую таблицу, характеристика = (Количество знаков слева от запятой – 1)
= (1 – 1) = 0
∴ Характеристика = 0
Теперь объединим обе части, получим log (4,567) = 0,6597
log (45,67) = log (4,567) + 1
= 0,6597 + 1
1,6597
Therefore, the value of log (45.67) is 1.6597
Question 3: Use a log table to evaluate the following logarithmic function:
Solution: Мы можем решить значение N за 4 шага:
Шаг 1 : Преобразуйте выражение для N в простые журналы.
Шаг 2 : Оцените эти журналы с помощью таблицы журналов.
Шаг 3 : Определите значение log N.
Шаг 4 : Вычислите значение N, используя антилогарифм log N.
Итак, logN = log(647⋅32×0,00000147 / 8,473×64) log(647⋅32) + log(0,00000147) − log(8,473) − log(64) [Используя правило произведения для логарифмов]
Используя таблицу журналов, находим следующие значения:
647,32 = 6,4732 × 10 ²
⇒ log (647,32)
= 2 + log (6,4732)
= 2 + 0,8111
= 2,8111
0,00000147 = 1,47 × 10 ^-6
3 ентал (0,000001,47). = -6 + 0,1673
8,473 = 8,473 × 10 ⁰
⇒ log (8,473) = 0,9280
64 = 6,4 × 10 ¹
⇒ log (64) = 1 + log (6,4)
⇒ (64) = 1 + log (6,4)
33333333 гг. = 2,8111 + (-6 + 0,1673) – 0,9280 – 1,8062
= –5,7558
= –5 – 0,7558
= (–5 – 1) + 1 – 0,7558 [∵ Мантисса не может быть отрицательной, мы прибавили и вычли 1, чтобы получить это положительно]
= –6 + 0,2442
Теперь у нас есть характеристика = -6 и мантисса = 0,2442.
Чтобы найти значение N, используем формулу:
N = антилогарифм (мантисса) × 10 ^{Характеристика}
= антилогарифм (0,2442) x 10 ^-6
— 7 47 x 49 49 [Используя антилогарифмическую таблицу]
⇒ N = 1,7547 × 10 ^-6
= 0,0000017547
Следовательно, значение N равно 0,0000017547. Вы можете проверить значение с помощью калькулятора.
Практические вопросы по таблице стандартных логарифмов
Здесь мы предоставили некоторые практические вопросы по таблице математического журнала для практики:
40940. 9000 9640.
0
0
В1: Найдите значения логарифмов по основанию 10 для следующих чисел, используя таблицу журналов:
(i) 7,653
(ii) 14,25
(iii) 9,281
В2: Если 4 1 3 + log 16 3 x 1 90 = 2 log ₁₀ y, найдите x через y.
Q3: Докажите, что 7 log (10/9) + 3 log (81/80) = 2log (25/24) + log 2.
Q4: Если log ₁₀ 2 = 0,30103, log ₁₀ 3 = 0,47712 и log 4 = _{108 9014 16 10 , Найдите значения}:
(i) log ₁₀ 45
(II) log ₁₀ 105
0 105
0
44444444444444440
6 90 40.
, оцените log 75 с точки зрения b и c.
Антилогарифмическая таблица по математике
Антилогарифмическая таблица иначе известна как Антилогарифмическая таблица. Антилогарифмическое число — это обратный метод поиска логарифма существующего или того же числа. Например, если а является логарифмом числа b по основанию х, то мы можем просто сказать, что b является антилогарифмом числа а по основанию х.
Если log _x b = a , тогда b = antilog a
Основание логарифма и антилогарифма равно 2,7183. Если основание логарифма и антилогарифма равно 10, их следует умножить на 2,303, чтобы получить натуральный логарифм и антилогарифм.
Ознакомьтесь с другими важными статьями по математике:
Часто задаваемые вопросы о таблице журнала
Q. 1: Как вы рассчитываете журналы?
Ответ: Степень, в которую необходимо возвести основание 10, чтобы получить число, называется десятичным логарифмом числа. Для расчета значений журнала мы используем таблицу математических логарифмов.
Q.2: Как найти логарифм числа без калькулятора?
Ответ: Логарифм числа можно найти без калькулятора, используя логарифмическую и математическую таблицы, представленные на этой странице.
Q.3: Каково значение журнала от 1 до 10?
Ответ: Лог 1 по основанию 10 равен 0.
Q.4: Как вы читаете таблицу журнала?
Ответ: Возьмите первые 2 цифры числа независимо от десятичной точки и найдите строку с этим числом. Далее ищем номер столбца, соответствующий третьей цифре числа. Вам также может понадобиться заглянуть в таблицу средних разностей, чтобы получить окончательное значение. На этой странице представлен пошаговый процесс чтения таблицы журнала.
Q.5: Каково значение журнала 0?
Ответ: Журнал 0 не определен. Это не настоящее число, потому что вы никогда не сможете получить ноль, возведя что-либо в степень чего-либо еще.
Q.6: Каково значение e в натуральном логарифме?
Ответ: e — иррациональное и трансцендентное число, приблизительно равное 2,7182.
Практические вопросы по таблице журналов с советами и решениями
Логарифмы
Обзор
[Вернитесь к началу страницы]
Логарифм числа x является показателем степени (т. е. степенью) y , на который нужно возвести другое число (известное как по основанию , b ), чтобы получить x . Используемая основа может варьироваться в зависимости от области применения. В информатике часто используется основание два , в то время как в чистой математике и многих научных приложениях используется основание, известное как e (подробнее об этом позже).
В технике и электронике часто используется основание десять , и, очевидно, оно хорошо подходит для использования с десятичной системой счисления. Например, логарифм по основанию десять числа одна тысяча будет равен три , потому что одна тысяча — это десять , возведенное в третью степень. Связь можно ясно увидеть, изучив следующие выражения:
10 ³ = 1000
журнал ₁₀ 1000 = 3
Это соотношение может быть выражено алгебраически следующим образом:
б ^х = у
log _б у = х
В приведенных выше выражениях значение основания b фиксировано в соответствии с областью применения, как мы уже упоминали, хотя возможно преобразование логарифмических выражений из одного основания в другое. В первом выражении x — это показатель степени (или индекс или степень ), который определяет, сколько экземпляров b будет перемножено вместе, чтобы получить результат y .
Во втором выражении x является логарифмом по основанию b числа y . Ясно, что логарифм — это просто показатель степени, как мы уже сказали. Однако для заданного основания логарифмы позволяют очень кратко выразить очень большие значения. Чтобы проиллюстрировать этот момент, вот некоторые значения по основанию десяти, представленные в виде логарифмов:
Значения по основанию 10 в виде логарифмов
Значение Как 10 в степени Лог в основании 10
1 10 ^{9084 0}
10 10 ¹ 1
100 10 ² 2
1000 10 ³ 3
10 000 10 ⁴ 4
100 000 10 ⁵ 5
1 000 000 10 ⁶ 6
10 000 000 10 ⁷ 7
100 000 000 10 ⁸ 8
1 000 000 000 10 ⁹ 9
Как видно из приведенной выше таблицы, увеличение логарифмического значения (по основанию десяти) всего лишь на представляет собой десятикратное увеличение представленного значения. Как мы увидим, это может быть очень полезной характеристикой, когда нам приходится иметь дело со значениями, которые могут простираться в очень большом диапазоне. Однако из таблицы также должно быть очевидно, что для заданного диапазона чисел (например, диапазона 9от 5705 один до десять ) потенциально бесконечное количество логарифмических значений потребуется для представления каждого возможного действительного числового значения в этом диапазоне.
В действительности количество логарифмических значений, опубликованных в так называемых таблицах журнала , ограничено из-за практических ограничений. Это ограничение будет определять точность , с которой логарифмы могут использоваться для выполнения вычислений. Страница из книги логарифмических таблиц, написанной Джорджем Уильямом Джонсом и опубликованной в США примерно в 1889 году.воспроизводится ниже. Всю публикацию (всего около восьмидесяти страниц) можно загрузить в формате PDF из Калифорнийской цифровой библиотеки по адресу:
http://www. archive.org/details/logarithmictable00jonerich

Страница из книги логарифмических таблиц около 1889 г.

Основополагающие принципы логарифмов были сформулированы сотни лет назад в результате исследований ряда математиков в течение длительного периода времени. Однако большая заслуга в привлечении внимания широкой аудитории к этим принципам принадлежит шотландскому математику Джону Нейпиру.
Нейпир опубликовал свою работу о логарифмах в 1614 году и, таким образом, способствовал их широкому использованию для упрощения математических вычислений. Логарифмические значения были опубликованы в книгах, содержащих исчерпывающие таблицы, и простое механическое устройство, называемое логарифмической линейкой , можно было использовать для выполнения вычислений с использованием свойств логарифмов.
Логарифмическая линейка была основана на различных устройствах скользящей шкалы, разработанных в начале 17 века, а ее изобретение в 1622 году приписывают английскому математику Уильяму Отреду. Действительно, логарифмическая линейка продолжала использоваться инженерами и учеными для выполнения расчетов вплоть до XIX века.70-х годов, когда он окончательно устарел с изобретением электронного калькулятора.
Как и в случае с логарифмическими таблицами (которые также устарели из-за калькулятора), точность результатов, полученных с помощью логарифмической линейки, ограничивалась тем фактом, что относительно большие диапазоны чисел были представлены с использованием относительно небольшого количества делений, отмеченных на скользящих шкалах. Добавьте к этому ограничению мастерство и точность, с которой оператор мог позиционировать весы и считывать показания. Действительно, компромисс между использованием логарифмических таблиц или логарифмической линейки и выполнением несколько более строгого процесса расчета заключался в том, что приходилось жертвовать некоторой степенью точности в обмен на гораздо более быстрый метод расчета.

Логарифмическая линейка может ускорить сложные вычисления

Сегодня у нас есть калькуляторы и компьютеры, которые могут выполнять сложные вычисления быстро и точно. Однако логарифмы по-прежнему полезны, и практические знания о том, как они используются, необходимы для работы или учебы во многих областях, включая почти все отрасли науки и техники.
Вы уже много раз сталкивались со значениями, выраженными в логарифмических единицах, даже если не осознавали этого факта. Один слишком знакомый пример — Шкала Рихтера , которая представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, используемую для измерения силы землетрясений (или, если быть точным, амплитуды сейсмических волн , которые они производят).
Амплитуда волн, вызванных землетрясением силой 5,0 балла по шкале Рихтера, составляет в десять раз амплитуд волн, вызванных землетрясением силой всего 4,0 балла, а для землетрясения силой 6,0 балла амплитуда снова в десять раз больше!
В области машиностроения и электроники мы обычно имеем дело с логарифмами по основанию десяти. Фактически, логарифмы по основанию десять настолько широко используются, что их часто называют десятичными логарифмами (в отличие от логарифмов по основанию e , которые называются натуральными логарифмами ). Вы можете увидеть выражение «записать десятичное число x », которое явно дает десятичное основание.
Иногда вы увидите, что это написано просто как «журнал x «, или еще более кратко как «log x «. Обычно это означает, что вы должны взять логарифм по основанию десять от x , хотя, если вы не уверены, вы должны проверить, какое основание требуется. Международные стандарты Организация определила стандартную запись логарифмов следующим образом:
log ₂ ( x ) = lb ( x )   (двоичный логарифм)
log _e ( x ) = ln ( x )   (натуральный логарифм)
log ₁₀ ( x ) = lg ( x )   (десятичный логарифм)
Большинство научных калькуляторов в наши дни имеют кнопку для вычисления логарифмов по основанию 10 (обычно помеченную как «log») и для вычисления логарифмов по основанию e (обычно помеченную как «ln»). Чтобы получить логарифм по основанию десяти числа сто двадцать три (123) с помощью встроенной в Microsoft Windows программы-калькулятора (вам нужно будет установить его на Scientific с помощью меню приложения View ), введите с помощью мыши следующую последовательность клавиш:

Последовательность клавиш для поиска журнала ₁₀ (123)

Мы знаем, что логарифм по основанию десять от сто равен два , потому что два — это степень, в которую мы должны возвести десять, чтобы получить сто (100 = 10 ²). Мы также знаем, что логарифм по основанию десяти числа одна тысяча — это три , потому что три — это степень, в которую мы должны возвести десять, чтобы получить одну тысячу (1000 = 10 ³).
Поэтому логично ожидать, что логарифм числа сто двадцать три будет находиться где-то между два и три , а поскольку сто двадцать три значительно ближе к сто двадцать три , чем на самом деле. к одна тысяча , мы могли бы ожидать, что его десятичный логарифм будет лишь незначительно больше двух.
Ответ, который мы получаем, подтверждает эту теорию, как вы можете видеть на скриншоте ниже. Из этого мы также можем сделать вывод, что логарифм по основанию десяти действительного числа с n цифрами, предшествующими десятичной запятой, будет иметь значение, которое находится где-то между n-1 и n .

Журнал ₁₀ (123)

Законы логарифмов
[Вернитесь к началу страницы]
Хотя на самом деле мы больше не используем логарифмические таблицы, было бы полезно выяснить, почему они были так полезны в дни, когда не было современных калькуляторов. Для этого нам нужно знать о некоторых законах логарифмов (иногда называемых логарифмическими тождествами ).
Законы логарифмов существенно помогают нам понять взаимосвязь между логарифмическими функциями и степенными функциями . Вы помните, если вы заглянули на страницу, озаглавленную «Полномочия и корни», что существует ряд законов индексов . Надеюсь, по мере нашего продвижения вы сможете увидеть, что эти законы тесно связаны с законами логарифмов. Однако, прежде чем мы пойдем дальше, мы должны объяснить, что мы подразумеваем под логарифмические и степенные функции . Степенная функция может иметь вид:
ƒ( х ) = б ^х
Действие функции ƒ состоит в том, чтобы возвести основание b в степень x . Связь между логарифмическими функциями и степенными функциями такова, что логарифмическая функция является обратной степенной функции. Что мы подразумеваем под этим? Определение обратной функции состоит в том, что она отменяет действие функции. Это означает, что если функция ƒ( x ) выдает результат b ^x , то обратная функция выдаст результат x при применении к b ^x . Обобщая, можно сказать, что функции ƒ( x ) и g( x ) обратны друг другу, если они удовлетворяют следующим условиям:
ƒ(g( x )) = x    и    g(ƒ( х )) = х
Логарифмическая функция имеет вид:
ƒ( x ) = логарифм _b ( x )
Таким образом, если логарифмическая функция g( x ) = log _b ( x ) действительно является обратной степенной функцией ƒ( x ) = b ^x , мы должны быть в состоянии докажите это на примере. Давайте предположим для целей этого упражнения, что мы используем десятичную систему счисления, так как это означает, что мы можем использовать запись десятичного логарифма (lg), и что наше начальное значение x — это пять.
10 ^lg(5) = 10 ^0,699 = 5   и   lg (10 ⁵ ) = lg (100 000) = 5
Поэтому кажется, что функции ƒ( x ) = b ^x и g( x ) = log _b ( x ) действительно являются обратными друг другу, но, может быть, вы следует попробовать это с различными значениями x , чтобы убедиться, что это действительно так. Возвращаясь к законам логарифмов, есть три важных закона, которые вместе с тем отвечают на вопрос, который мы задали себе в начале этого раздела, почему логарифмы были так полезны до эпохи электронных калькуляторов.
Первый закон логарифмов
[Вернитесь к началу страницы]
Первый закон логарифмов гласит, что логарифм произведения двух чисел (то есть результата умножения двух чисел вместе) можно найти, сложив их отдельные логарифмы. Формально это выражается так:
бревно _б ( м × н ) = бревно _б ( м ) + бревно _б ( н )
Следствием этого является то, что если мы хотим найти произведение двух чисел, мы можем сделать это без выполнения умножения. Вместо этого мы складываем отдельные логарифмы двух чисел и берем антилогарифм результата. Термин антилогарифм не относится к какой-то субатомной частице, которая, как считается, существует в другой вселенной. По сути, это означает, что вместо того, чтобы искать логарифм для определенного числа, мы обращаем процесс и ищем число, к которому относится конкретный логарифм.
Пример поможет продемонстрировать, как можно выполнить такой расчет с помощью встроенного калькулятора Microsoft Windows (или любого подходящего научного калькулятора). Оставаясь пока с числами по основанию десяти и десятичными логарифмами, давайте умножим пятьсот сорок семь на двести тридцать девять (547 × 239). Если вы используете программу-калькулятор, встроенную в Microsoft Windows, получите журнал с основанием десять пятьсот сорок семь и сохраните его в памяти калькулятора, введя с помощью мыши следующую последовательность клавиш:

Возьмите общий журнал 547 и сохраните его в памяти.

Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:

Значение lg(547) сохранено в памяти

Прежде чем продолжить, нажмите кнопку «Очистить» (обозначена буквой «С»), чтобы очистить дисплей. Теперь получите журнал по основанию десять из двести тридцать девять и сохраните его в памяти калькулятора, введя следующую последовательность клавиш:

Возьмите общий журнал 239 и добавьте его в память

Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:

Значение lg(239) добавлено в память

Нажмите кнопку «Очистить» еще раз, чтобы очистить дисплей, затем нажмите кнопку «Вызов из памяти» (она помечена как «MR»). Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:

Память содержит сумму lg(547) и lg(239)

Пока не очищайте дисплей. Теперь у нас есть сумма двух логарифмов, но как мы возьмем антилогарифм этого значения, чтобы получить произведение пятьсот сорок семь и двести тридцать девять ? Если подумать, у нас есть логарифм по основанию десяти нужного нам числа, а это значит, что если мы возведем десять в степень этого числа, мы должны получить правильный ответ.
Как мы уже говорили ранее, логарифм — это просто показатель степени (или степень или индекс , в зависимости от того, какой термин вы предпочитаете). По определению, логарифм по основанию десяти любого числа — это степень, в которую мы должны возвести десять, чтобы получить это число. Если вы посмотрите на свой калькулятор Windows, вы увидите кнопку с надписью «10 ^x» (в моей версии она находится посередине нижнего ряда кнопок).
Эта кнопка возводит десять в степень того значения, которое в данный момент отображается на дисплее. Если хотите, это antilog кнопка для десятичных логарифмов (т.е. логарифмов по основанию десять). Если вы используете свой собственный научный калькулятор, вы можете проверить, какая клавиша или последовательность клавиш выполняет эквивалентное действие. Убедитесь, что значение, которое вы извлекли из памяти, все еще отображается на дисплее, и нажмите кнопку «10 ^x». Теперь ваш дисплей должен выглядеть так:

Кнопка «антилог» дает нужный результат

Это действительно правильный ответ (547 × 239 = 130 733). Еще в 17 веке калькуляторов не было, поэтому логарифмы (и антилогарифмы) приходилось искать в таблицах. Даже в этом случае процесс умножения можно было бы свести к процессу сложения. Просто найдите логарифмы чисел, которые вы хотите умножить, сложите их вместе, найдите антилогарифм, и вы получите ответ.
Этот метод одинаково хорошо работает для умножения более двух чисел. Просто сложите логарифмы всех чисел, которые нужно умножить, и найдите антилогарифм. Основным недостатком такого использования журнальных таблиц было то, что точность, с которой можно было получить ответ, ограничивалась точностью самих значений журнальной таблицы, но результаты были достаточно точными для большинства целей.
Второй закон логарифмов
[Вернитесь к началу страницы]
Второй закон логарифмов гласит, что логарифм частного двух чисел (то есть результат деления одного числа на другое) можно найти, вычитая логарифм делителя (число, на которое мы делим) из логарифм делимого (число, которое мы хотим разделить). Формально это выражается так:
лог _б ( м ÷ н ) = лог _б ( м ) — лог _{б 90 708}

log _b ⁿ √ a   =  log _b a ^{¹ / _n}   =  log _b a × 1   =   log _b a
n n
Как и прежде, пример должен служить для демонстрации принципа. Допустим, мы хотим найти кубический корень из девятьсот семьдесят пять (³ √975). Используя калькулятор, возьмите журнал девятьсот семьдесят пять и разделите его на три. Теперь возьмем антилогарифм результата. Используя калькулятор Windows, я получаю результат, показанный ниже:

Антилогарифм дает нам кубический корень из 975.

В калькуляторе Windows есть кнопка для нахождения значения x в степени три (как удобно!), поэтому нажатие на эту кнопку сейчас должно вернуть нас к девятьсот семьдесят пять :

Кубический корень возвращает нас к 975.

Мы можем немного расширить принцип, чтобы найти логарифм рациональных степеней, в котором числитель м может быть больше единицы. В переводе на слова это означает, что a в степени m возводится в степень единиц над n . Обратите внимание, что m может быть любым положительным целым числом, включая и . Поскольку мы уже знаем, что логарифм числа, возведенного в степень, можно найти, умножив логарифм числа на показатель степени, мы можем изменить предыдущее алгебраическое выражение, сделав его немного более общим, следующим образом:
log _b a ^{^m / _n}   =   m log _b a ÷ n
Третий закон логарифмов одинаково хорошо работает для чисел, возведенных в степень, имеющую рациональную составляющую. Рассмотрим следующий пример:
х = 8,75 ^4,76
Этот расчет достаточно прост с современным калькулятором, но был бы сложным в те дни, когда калькуляторы не были доступны без помощи логарифмических таблиц или логарифмической линейки. Мы можем выполнить расчет с использованием логарифмов следующим образом:
логарифм ₁₀ ^х = 4,76 × логарифм ₁₀ 8,75 = 4,483. . .
Затем возьмем антилогарифм результата. Вот что получается при вычислении на калькуляторе Windows:

Нахождение 8,75 в степени 4,76 с помощью логарифмов

Другие логарифмические тождества
[Вернитесь к началу страницы]
В дополнение к законам логарифмов, изложенным выше, есть несколько других логарифмических тождеств и отношений, о которых вам следует знать. Они могут быть определены по отношению к любому основанию b таким образом, что:
log _b ( b ⁿ )  =   n
b ¹   =   b   ∴  log _b b   =  log _b b ¹   =  1
b ⁰   =  1  ∴  log _b 1  =  log _b b ⁰   =  0
log _{0
Изменение основания логарифма}
[Вернитесь к началу страницы]
Законы логарифмов применимы независимо от того, какое основание мы используем, и большинство расчетов, которые мы проводили до сих пор, можно было бы так же легко выполнить с использованием натуральных логарифмов (логарифмов по основанию и ), если бы у нас был калькулятор, который мог бы взять войти в базу и числа, а также получить антилог в базу и .
Однако иногда мы можем получить логарифм числа по основанию (скажем) десятичного, но хотим преобразовать его в логарифм по основанию два этого числа (то есть двоичный логарифм). На самом деле мы можем преобразовать логарифм по определенному основанию 9.5705 n на другую базу m , потому что значения пропорциональны. Для любой пары оснований m и n можно показать, что:

log _m x   =   log _n x
log _n m

Это означает, что если бы мы хотели найти логарифм по основанию два определенного значения, мы могли бы использовать либо десятичные логарифмы (логарифмирование по основанию 10), либо натуральные логарифмы (логарифмирование по основанию 9).5705 e ) в правой части уравнения. Допустим, мы хотели найти лог по основанию два из тысяч . Расчет будет следующим:

log ₂ 1000 =	log ₁₀ 1000
	log ₁₀ 2

5 Если вы используете калькулятор, встроенный в Windows, введите следующую последовательность клавиш:

Введите эту последовательность клавиш, чтобы найти журнал по основанию два из 1000.

Вот результат:

Журнал по основанию два из 1000

Решение исходных уравнений

[Вернитесь к началу страницы]

Решение уравнений заключается в нахождении неизвестного в данный момент значения одного или нескольких членов уравнения. Иногда неизвестное значение, которое мы ищем в уравнении, это индекс возведения в степень (т.е. степень , до которой было возведено число). Поскольку логарифмы по сути являются показателями степени, мы можем использовать то, что знаем о логарифмах, для решения таких уравнений. Рассмотрим следующее выражение:

9,57 ^х = 78,36

Здесь мы пытаемся найти степень x , в которую нужно возвести девять целых пять десятых семь (9,57), чтобы получить результат семьдесят восемь целых три десятых шесть (78,36). Поскольку значения в обеих частях уравнения должны быть равны, мы можем начать с логарифмирования обеих частей следующим образом:

логарифм ₁₀ 9,57 ^x = логарифм ₁₀ 78,36

Хотя здесь мы использовали логарифм по основанию десять, логарифмирование по любому другому основанию будет работать одинаково хорошо. Из третьего закона логарифмов мы знаем, что логарифм числа, возведенного в степень, можно найти, умножив логарифм по основанию на 9.5705 показатель степени (т.е. степень, в которую необходимо возвести основание), поэтому мы можем переписать приведенное выше выражение как:

x логарифм ₁₀ 9,57 = логарифм ₁₀ 78,36

Теперь мы можем выделить x в левой части уравнения, что означает, что мы можем решить для x следующим образом (ответ здесь дается с точностью до трех знаков после запятой):

6 Вы можете проверить ответ на своем калькуляторе, рассчитав значение девять целых пять десятых семь в степени одна целая девять целых три десятых (9,57 ^1,931 ).

Натуральные логарифмы

[Вернитесь к началу страницы]

Натуральные логарифмы — это логарифмы по основанию e . Буква e была введена швейцарским математиком 17-го века Леонардом Эйлером для обозначения математической константы, также известной как число Эйлера , которое имеет приблизительное значение 2,7182818284. Точное значение e вычислить невозможно — это иррациональное число , что означает, что его десятичное расширение не заканчивается и нет повторяющегося шаблона.

Значение e таково, что если мы нарисуем график функции ƒ( x ) = e ^x (известной как экспоненциальная функция ), наклон касательной (известный как производная ) равно e ^x в любой точке графика и, следовательно, равно единице , когда x равно нулю . На рисунке ниже показан график функции ƒ( x ) = e ^x и производная в точке x = 0. Константа e часто используется в вычислениях из-за ее уникальных свойств, и она часто встречается в мире природы.

График экспоненциальной функции, показывающий производную при x = 1

Показательные функции e ^x и e ^{— x} представляют интерес для инженеров, поскольку их можно использовать для представления роста и распада (например, распада электрического заряда, хранящегося в конденсаторе, через постоянное сопротивление нагрузки). Чтобы получить натуральный логарифм числа (т. е. логарифм для base e ) на калькуляторе найдите кнопку с пометкой «ln». Например, чтобы найти натуральный логарифм числа пятьсот семьдесят восемь (578) на калькуляторе Windows, используйте следующую последовательность клавиш:

Введите эту последовательность клавиш, чтобы найти натуральный логарифм 578.

Вот вывод из калькулятора Windows:

Натуральный логарифм 578

Нахождение антилогарифма натурального логарифма не так просто на калькуляторе Windows, потому что кнопки, необходимые для различных обратных функций, по умолчанию скрыты. Прежде чем мы продемонстрируем, как это сделать, стоит еще раз подчеркнуть, что логарифмическая функция по любому основанию является обратной степенной функцией, и наоборот.
Таким образом, обратной функцией логарифмической функции ƒ( x ) = log _e x является экспоненциальная функция ƒ( x ) = e ^x. В любом случае, если у вас все еще есть натуральный логарифм пятьсот семьдесят восемь в окне дисплея калькулятора, вот последовательность клавиш для нахождения антилогарифма:

Введите эту последовательность клавиш, чтобы найти антилогарифм

Не утруждайте себя поиском кнопки «e ^x» перед тем, как начать — она не появится до тех пор, пока после вы не нажмете кнопку «Inv», после чего ее можно будет найти сразу в справа от кнопки «Inv». Кнопка «Inv» переключает между различными функциями и их (обратными) аналогами, предположительно из-за того, что в окне приложения (которое нельзя изменить) недостаточно места для одновременного отображения всех кнопок. Вот вывод калькулятора после того, как мы нажали на эти клавиши:

Антилогарифм ln(578) дает 578

Для анализа электрических цепей e часто используется в уравнениях для нахождения переходного значения напряжения или тока в цепях, где напряжение и ток непрерывно изменяются во времени. Рассмотрим случай, когда конденсатор емкостью С двадцать мкФ (20×10 ^-6 Фарад) включен последовательно с резистором сопротивлением R из десять кОм (10 × 10 ³ Ом) и источник питания постоянного тока (dc), обеспечивающий начальное питающее напряжение В из двести вольт (200 вольт).
Для тех, кто не знаком с электрическими принципами, конденсатор представляет собой компонент схемы, который может удерживать ограниченное количество электрического заряда. Источник питания обеспечивает ток, который заряжает конденсатор, но поступление тока в конденсатор замедляется по мере того, как конденсатор приближается к полностью заряженному состоянию, потому что разность потенциалов на конденсаторе увеличится и будет сопротивляться протеканию тока.
Если резистор включен последовательно между источником питания и конденсатором, процесс зарядки занимает больше времени, потому что резистор снижает скорость, с которой может протекать ток в цепи. Для наших целей здесь нас интересует время t (в секундах), которое должно пройти между моментом, когда мы подключаем резистор и (первоначально незаряженный) конденсатор к источнику питания, и точкой, в которой переходное напряжение на конденсатор достигает ста вольт.
Все, что вам действительно нужно понять, это уравнение, используемое для определения переходного напряжения v в любой заданный момент времени, которое использует экспоненциальную функцию и может быть сформулировано как:
v = V ( 1 — e ^{^{— t} / _CR} )
Мы можем подставить известные значения в уравнение, чтобы получить:
100 = 200 × (1 — E ^{^{— T} /_{0,0002 × 10 000}}) = 200 × (1 — E ^{^{— T} /_0,2)))}
)3
е ^-5t = 1 — 0,5 = 0,5
Теперь мы можем представить уравнение в логарифмической форме:
log _e 0,5 = -5 t
Теперь мы можем изменить уравнение еще раз, чтобы получить t в левой части уравнения, что также даст нам выражение, которое мы можем легко ввести в калькулятор:

x =

логарифм ₁₀ 78,36

= 1,931

логарифм ₁₀ 9,57

9899999999999798″> T /_0,2)

T /_0,26)

Мы можем изменить и упростить это уравнение следующим образом:

100 ÷ 200 = 1 — e ^{^{— t} / _0,2}

0,5 = 1 — e ^{^{-5 t}}

t = —	бревно _e 0,5
	5

Вот последовательность клавиш на калькуляторе Windows:

Последовательность клавиш для log по основанию e от 0,5 до 5, инвертированная

И вот результат отображения калькулятора:

Прошедшее время составляет 0,139 секунды до трех значащих цифр.

Таким образом, из вышеизложенного мы можем определить, что для описанной схемы переходная разность потенциалов на конденсаторе достигнет значения в сто вольт по истечении времени (с точностью до трех значащих цифр) ноль-целая-один-три. -девять секунд (0,139 секунды) после подключения схемы к источнику питания.
Такой вид расчетов часто требуется для анализа цепей, включающих последовательно соединенные резисторы и конденсаторы, а также для других видов цепей, встречающихся в электрических и электронных системах. Поскольку такие схемы используются почти во всех типах электронных устройств, о которых вы только можете подумать, возможность манипулировать уравнениями с использованием натуральных логарифмов бесценна.
Приложения логарифмов
[Вернитесь к началу страницы]
Мы уже видели, как скорость нарастания или спада тока или напряжения в электрической цепи может быть выражена с помощью экспоненциальной функции. Использование логарифмических шкал для выражения значений, которые имеют тенденцию к экспоненциальному росту или убыванию, встречается во многих приложениях, некоторые из которых вам знакомы. Ранее мы упоминали Шкала Рихтера , которая используется для выражения магнитуды сейсмических волн, создаваемых землетрясениями.
Еще одна известная единица измерения, основанная на логарифмических шкалах, — децибел (дБ). Практически каждый, кто не провел всю свою жизнь в пещере с очень небольшим контактом с внешним миром, слышал как минимум децибел (без каламбура). Большинство людей будут ассоциировать децибелы с уровнем звука, который они воспринимают, хотя они могут не полностью понимать последствия увеличения уровня звука на один децибел.
Дело в том, что в отношении звука человек воспринимает увеличение уровня звука логарифмически. Это означает, что когда вы или я воспринимаем, что звук (т.е. шум соседей по соседству или громкость громкоговорителя) стал вдвое громче , величина звукового давления (т. е. волна давления созданный источником звука) мог увеличиться в гораздо большей степени.
9Шкала уровня звукового давления 5705 определяет уровень звука с точки зрения среднего изменения давления в среде, такой как воздух. Он определяет амплитуду звука как меру среднего изменения давления, измеряемую в Паскалях (Па). Звуки, с которыми мы сталкиваемся ежедневно, по своей сути сложны и часто включают в себя очень широкий диапазон частот.
качество звука также весьма субъективно с человеческой точки зрения. Тем не менее, мы можем выразить громкость звука с точки зрения его вероятного воздействия на слуховую систему человека, выраженная либо в паскалях, либо в децибелах. Наименьшая амплитуда, создающая какое-либо ощущение, составляет примерно плюс-минус двадцать микроПаскалей (± 20 мкПа). Этот уровень представляет собой порог слышимости (т. е. наименьший звук, который мы можем услышать в идеальных условиях) и используется в качестве нулевого эталонного уровня на шкале уровня звукового давления (т. е. 0 дБ).
Логарифмическая шкала используется потому, что человеческое ухо гораздо более чувствительно к изменениям звука в нижней части шкалы. Действительно, на уровне около плюс-минус двести Паскалей (± 200 Па) звук может вызвать физическое повреждение слуховой системы человека (это иногда называют болевой порог слуха ). Поскольку каждый интервал в двадцать децибел на шкале уровня звукового давления представляет собой десятикратное увеличение изменения давления, это ставит порог слуховой боли примерно на уровне сто сорок децибел (140 дБ = ± 200 Па).
Чтобы представить это в какой-то перспективе, звук дробовика может регистрироваться на уровне между сто пятьдесят и сто шестьдесят децибел (150-160 дБ), человеческие барабанные перепонки могут разорваться в пределах сто девяносто и сто девяносто пять децибел (190-195 дБ), а звуковой удар, производимый космическим челноком на скорости двадцать махов во время захода на посадку, был измерен примерно в двести. и двадцать децибел (220 дБ).
Некоторые из самых громких звуков, когда-либо зарегистрированных (на самом деле, даже громче, чем ядерные взрывы), были созданы сильными извержениями вулканов. Уровень звука при извержении Кракатау в 1883 году, по оценкам, составил около 9 баллов.5705 триста десять децибел (310 дБ = 63 245 553 203,36 Па).
Из приведенных выше примеров ясно видно, что использование логарифмической шкалы часто дает нам более осмысленный способ представления значений, которые могут быть очень малы на одном конце шкалы и почти невообразимо велики на другом конце. Точно так же, как логарифмы уменьшают сложность операции на один уровень (т.е. умножение становится сложением, а возведение в степень становится умножением), использование логарифмов также позволяет нам превратить экспоненциальную шкалу значений в более линейную.
Другие примеры использования логарифмических шкал включают их использование в телекоммуникациях для представления потери мощности сигнала в системах передачи и в астрономии для представления относительной светимости звезд и других небесных объектов. На самом деле, в любой области, в которой можно видеть, что значения изменяются по экспоненциальной шкале, мы, вероятно, обнаружим, что для их представления используются логарифмические шкалы.
[Вернитесь к началу страницы]

Рецепт таблицы десятичного логарифма
Cedron Dawg●29 апреля 2017 г.Tweet
Введение
Эта статья является отступлением от попытки лучше понять дискретное преобразование Фурье (ДПФ).
Метод построения таблицы логарифмов по основанию 10, также известный как логарифмы с основанием 10, основан на использовании математики, которую можно выполнить с помощью бумаги и карандаша. Предполагается, что читатель немного знаком с логарифмическими функциями. Этот материал не зависит от материала в моих предыдущих статьях в блоге.
Если вам когда-нибудь было интересно, как таблицы логарифмов могли быть составлены до компьютеров или калькуляторов, продолжайте читать, эта статья предлагает одно объяснение.
Логарифмические шкалы
Поскольку мы используем систему счисления по основанию 10, логарифм по основанию 10 обычно изучается первым и используется чаще всего. Удобно то, что для получения полного диапазона значений в таблице нужно указать только логарифмы от 1 до 10. Логарифм по основанию 10 известен как обычный логарифм из-за его распространенности. Другой главный логарифм, известный как натуральный логарифм, имеет основание $ e $. Использование десятичного логарифма в сравнении с натуральным логарифмом в некоторой степени аналогично использованию градусов в сравнении с радианами при измерении углов. Одна шкала удобна в числовом отношении, а другая наиболее очевидна в математике. 9\frac{1}{12}$. Хотя обе шкалы являются логарифмическими и поэтому теоретически взаимозаменяемы, их никогда не смешивают. Вы вряд ли услышите, что децибел равен интервалу в четыре полутона.
Условные обозначения
Логарифмы по разным основаниям обычно обозначаются как «$\log_{base}$». В этой статье будет принято соглашение, что «$ \lg $» будет обозначать логарифм с основанием 10. Слово «лог» будет использоваться для «логарифма» вообще. База журнала будет известна из контекста, но обычно она равна 10. $$ \lg(x) = \log_{10}(x) \tag {1} $$ Аббревиатура «$\ln$» будет использоваться для натуральных бревен. $$ \ln(x) = \log_{e}(x) \tag {2} $$ Это соглашение отличается от имен функций в языках программирования. В C/C++ имена функций «log10» для десятичных логарифмов и «log» для натуральных логарифмов. 9{ \lg(e) \cdot \ln(x) } \tag {5} $$ Взяв бревно левой и правой стороны: $$ \lg(x) = \lg(e) \cdot \ln(x) \tag {6} $$ Это дает уравнение для преобразования натуральных логарифмических значений в обычные логарифмические значения. Коэффициент пересчета $\lg(e)$ имеет фиксированное значение, которое будет рассчитываться в процессе.
Нужная серия
Рецепт в этой статье потребует иметь значение $e$. Это можно найти, используя ряд Тейлора для $e^x$. 5}{5} + … \тег {8} $$
Двойной логарифм числа 1
Логарифм 1 по любому основанию равен 0. Это следует непосредственно из (3). $$ \lg( 1 ) = \lg( 1 \cdot 1) = \lg(1) + \lg(1) \tag {9} $$ Вычитание $ \lg(1) $ с обеих сторон и их изменение дает: $$ \lg(1) = 0 \тег {10} $$
десятичный логарифм числа 2
Это немного сложнее и требует некоторой работы. Можно было бы вычислить $ \ln(2) = \ln( 1 + 1 ) $, используя решение в виде ряда, но оно сходилось бы ужасно медленно, что потребовало бы многих вычислений. После этого $\lg(e)$ по-прежнему потребуется для преобразования его в $\lg(2)$. 9{10}) = \lg(1000) + \lg(1 + .024) \tag {12} $$ Упростите и приведите к вычислимому виду, используя правила логарифмирования. $$ 10 \cdot \lg(2) = 3 + \lg(e) \cdot \ln( 1 + .024 ) \tag {13} $$ Чтобы упростить дальнейшие уравнения, естественное логарифмическое выражение получит замещающее имя. $$ S_2 = \ln( 1 + .024 ) \тег {14} $$ Значение $S_2$ может быть вычислено с любой желаемой степенью точности с помощью (8).
$\lg(2)$ можно найти, разделив обе части (13) на 10. $$ \lg(2) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \cdot \lg(e) \cdot S_2 \tag {15} $$ Так как $\lg(e)$ остается неизвестным, значение $\lg(2)$ еще не может быть вычислено. 94) =\lg(80) + \lg \left( 1 + \frac{1}{80} \right) \tag {17} $$ $$ 4 \cdot \lg(3) = 1 + 3 \cdot \lg(2) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{80} \right) \tag { 18} $$ $$ S_3 = \ln \left( 1 + \frac{1}{80} \right) \tag {19} $$ $$ \lg(3) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \lg(2) + \frac{1}{4} \cdot \lg(e) \cdot S_3 \тег {20} $$ Сумма ряда $S_3$ может быть вычислена с любой необходимой степенью точности. $\lg(e)$ остается неизвестным, как и $\lg(2)$. Последнее можно заменить первым с помощью (15), оставив $\lg(e)$ единственным неизвестным. $$ \lg(3) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \left[ \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \cdot \ lg(e) \cdot S_2 \right] + \frac{1}{4} \cdot \lg(e) \cdot S_3 \tag {21} $$ $$ \lg(3) = \frac{1}{4} + \frac{9}{40} + \frac{3}{40} \cdot \lg(e) \cdot S_2 + \frac{1}{4} \cdot \lg(e) \cdot S_3 \tag {22} $$ $$ \lg(3) = \frac{19}{40} + \lg(e) \cdot \left( \frac{3}{40} \cdot S_2 + \frac{1}{4} \cdot S_3 \справа) \tag {23} $$
Десятичный логарифм $e$
Наконец, пришло время вычислить значение $ \lg(e) $. 3 / 10 долларов: $$ \lg(e) = -1 + 3 \cdot \lg(3) + \lg(e) \cdot S_e \tag {31} $$ Формулу для неизвестного значения $\lg(3)$ можно подставить. $$ \lg(e) = -1 + 3 \cdot \left[ \frac{19}{40} + \lg(e) \cdot \left( \frac{3}{40} \cdot S_2 + \frac{1}{4} \cdot S_3 \right) \right] + \lg(e) \cdot S_e \tag {32} $$ $$ \lg(e) = -1 + \frac{57}{40} + \lg(e) \cdot \left( \frac{9}{40} \cdot S_2 + \frac{3}{4} \cdot S_3 \right) + \lg(e) \cdot S_e \tag {33} $$ $$ \lg(e) = \frac{17}{40} + \lg(e) \cdot \left( \frac{9}{40} \cdot S_2 + \frac{3}{4} \cdot S_3 + S_e \right) \tag {34} $$ Теперь идет поворот, который завершает начальную загрузку. Единственное оставшееся неизвестное — это $\lg(e)$, и его можно решить. $$ \lg(e) \cdot \left( 1 — \frac{9}{40} \cdot S_2 — \frac{3}{4} \cdot S_3 — S_e \right) = \frac{17}{40} \tag {35} $$ $$ \lg(e) = \frac{17}{40} \cdot \frac{1}{1 — \frac{9}{40} \cdot S_2 — \frac{3}{4} \cdot S_3 — S_e } \tag {36} $$ $$ \lg(e) = \frac{17}{ 40 — 9 \cdot S_2 — 30 \cdot S_3 — 40 \cdot S_e } \tag {37} $$ В последней правой части только целые числа и результаты суммирования рядов. 4 = 2401 = 2400 \cdot \left( 1 + \frac{1}{2400} \right) \tag {41} $$ $$ 4 \cdot \lg(7) = 2 + 3 \cdot \lg(2) + \lg(3) + \lg \left( 1 + \frac{1}{2400} \right) \tag {42 } $$ $$ \lg(7) = \frac{1}{4} \cdot \left[ 2 + 3 \cdot \lg(2) + \lg(3) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{2400} \right) \right] \tag {43} $$ Дойти до десяти тоже легко. $$ \lg(8) = 3 \cdot \lg(2) \tag {44} $$ $$ \lg(92-1} \справа) \справа] \тег {49} $$ Значение журнала основано на значениях журнала его соседей $N-1$ и $N+1$. Это будет использоваться только для простых чисел в алгоритме. Все логи составных чисел можно рассчитать, сложив логи двух факторов.
Преимущество этого метода перед методом, основанным только на использовании $ N — 1 $, состоит в том, что результирующий $ \ln( 1 + x ) $ сходится намного быстрее.
Алгоритм
С этого момента расчеты выполняются алгоритмическим способом. Числа не будут обрабатываться в строгом порядке. Всякий раз, когда встречается простое число, сначала должно быть обработано следующее число (которое будет четным). 92-1)))]/2 Конец, если Конец, если
Двойные логарифмы от 11 и выше
Продолжить расчеты по алгоритму: $$ \lg(12) = \lg(2) + \lg(6) \tag {50} $$ $$ \lg(11) = \frac{1}{2} \cdot \left[ 1 + \lg(12) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{120 } \right) \right] \tag {51} $$ $$ \lg(14) = \lg(2) + \lg(7) \tag {52} $$ $$ \lg(13) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lg(12) + \lg(14) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{ 1}{168} \right) \right] \tag {53} $$ $$ \lg(15) = \lg(3) + \lg(5) \tag {54} $$ $$ \lg(16) = \lg(2) + \lg(8) \tag {55} $$ $$ \lg(18) = \lg(2) + \lg(9) \тег {56} $$ $$ \lg(17) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lg(16) + \lg(18) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{ 1}{288} \right) \right] \tag {57} $$ $$ \lg(20) = 1 + \lg(2) \tag {58} $$ $$ \lg(19) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lg(18) + \lg(20) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{ 1}{360} \right) \right] \tag {59} $$ $$ \lg(21) = \lg(3) + \lg(7) \tag {60} $$ $$ \lg(22) = \lg(2) + \lg(11) \tag {61} $$ $$ \lg(24) = \lg(2) + \lg(12) \tag {62} $$ $$ \lg(23) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lg(22) + \lg(24) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{ 1}{528} \right) \right] \tag {63} $$ $$ \lg(25) = \lg(5) + \lg(5) \tag {64} $$ и так далее. ….
Чем больше N, тем ниже частота простых чисел и ряды $ln(1 + x)$ сходятся быстрее.
Создание таблицы поиска
Когда список достигает 99, можно создать следующую таблицу:
.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709 6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
Используя значения записей от 10 до 99, удалите ведущую «1». Это экономит много ширины отображения в таблице. Для четырех цифр, как в этом примере, значения должны были быть рассчитаны до шести значащих цифр, а затем округлены. Удаление ведущего равносильно вычитанию единицы. Для обычной логарифмической шкалы это то же самое, что деление на 10. Теперь это делает список значений логарифмическим от 1,0 до 9..9 с шагом .1.
Когда список достигает 999, можно составить более подробную таблицу:
.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 1,0 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 1.1 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 1.2 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 1,3 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 1,4 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 1,5 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 1,6 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 1,7 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 1,8 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 1,9 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 2,0 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 . . .
В этом случае значения списка от 100 до 999 имеют ведущую цифру «2». раздели, сделав эффективный домен с 1. 00 до 9.99. Эта таблица имеет достаточно высокое разрешение, чтобы линейная интерполяция работала достаточно хорошо.
Опубликованные таблицы логарифмов обычно имеют некоторые параметры интерполяции справа от основной части чисел. Проверьте ключ, чтобы увидеть, что они собой представляют и как их использовать.
Очень точная интерполяция
Предположим, что список из 1000 логарифмических значений был рассчитан с точностью до двадцати знаков после запятой. Можно ли получить интерполированное значение с точностью до двадцати знаков после запятой?
Ответ положительный. Метод аналогичен тому, что уже неоднократно делалось. Предположим, что $v$ — это значение, для которого ищется логарифмическое значение. Пусть $x$ будет ближайшей записью в таблице журнала. Их разницу можно назвать $d$. $$ d = v — x \tag {65} $$ Небольшая перестановка и взятие журнала приводит к интерполяционному уравнению. $$ \begin{выровнено} \lg(v) &= \lg(x + d) \\ &= \lg \left[ x \cdot \left(1 + \frac{d}{x} \right) \right] \\ &= \lg(x) + \lg\left(1 + \frac{d}{x} \right) \\ &= \lg(x) + \lg(e) \cdot \ln \left(1 + \frac{d}{x} \right) \end{выровнено} \tag {66} $$ Значение $d$ всегда будет меньше или равно половине размера шага таблицы. s \tag {69г \тег {71} $$ Значение $x+d$ можно найти произведением $x$ на сумму ряда $z$ в (7). $$ z = \left[ y — \lg(x) \right] \cdot \ln(10) \tag {72} $$ Абсолютное значение $z$ должно быть намного меньше единицы, поэтому оценка ряда будет сходиться намного быстрее, чем вычисление $e$ в (28).
Значение $\ln(10)$ можно найти с помощью (25) и (37). $$ \ln(10) =\frac{1}{ \lg(e) } = \frac{ 40 — 9 \cdot S_2 — 30 \cdot S_3 — 40 \cdot S_e }{17} \tag {73} $ $ Числитель в правой части уже известен из вычисления (37). Поэтому правую часть гораздо легче выполнить вручную, так как требуется только деление на двузначное число. 9z$, затем умножьте результат на $x$.
Заключение
Таблицу десятичных логарифмов можно составить с нуля с помощью вычислений, которые можно выполнить вручную. Единственными ингредиентами были несколько правил логарифмирования и пара определений рядов. К счастью, вычисление квадратных корней вручную не потребовалось.
Таблицу логарифмов также можно использовать для нахождения обратных логарифмов.
Понимание того, как работают десятичные логарифмы, является необходимым условием для понимания того, как работает логарифмическая линейка.
Отказ от ответственности: ни одно из отображаемых значений в этой статье не было рассчитано вручную.
Приложение A. Значения журнала
lg(1) = 0,000000000000000 = 0 lg(2) = 0,3010299_{981 ~=~ 3/10 = 0,3
lg(3) = 0,477121254719662 ~=~ 19/40 = 0,475
lg(4) = 0,6020599}

962 = 2 * lg(2) ~=~ 0,6 lg(5) = 0,698

4336019 = 1 - lg(2) ~=~ .7 lg(6) = 0,778151250383644 = lg(2) + lg(3) ~=~ 0,775 lg(7) = 0,845098040014257 ~=~ [2+3*lg(2)+lg(3)]/4 ~=~ 0,84375 lg(8) = 0,

= 3 * lg(2) ~=~ 0,9 lg(9) = 0,

250

25 = 2 * lg(3) ~=~ 0,95 лг(е) = 0,4342

Приложение B.

Таблица-шпаргалка логарифмов: десятичных, по основанию 2

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица логарифмов по основанию для школьников и студентов

Таблица логарифмов — frwiki.wiki

Резюме

История

Принцип

Иллюстрация, построение таблицы десятичного логарифма

Первая ступень

Второй шаг

Использование таблицы логарифмов

Чтение

Расчеты

Примечания и ссылки

Смотрите также

Статьи по Теме

Внешние ссылки

Натуральные логарифмы чисел (Таблица)

I. Таблица натуральные логарифмы чисел

II.

III. Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным

Десятичные и натуральные логарифмы: определения, свойства и примеры

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

п.

Log Values ​​От 1 до 10

Логарифмическая функция

Правила логарифмирования

Log Таблица от 1 до 10 для Log Base 10

Журнал Таблица с 1 по 10 для логарифмической базы E

Альтернативный метод поиска журнала 1 или записи по базе e?

Важные моменты, которые следует помнить

Решенные примеры

10 9003 Evalue : log1 – log 0

Quiz Time

Таблица десятичного логарифма

Таблица десятичного логарифма

91161″ x:fmla=»=LOG(Q42)-FLOOR(LOG(Q42),1)»> 0,

9

47″ x:fmla=»=LOG(Q86)-FLOOR(LOG(Q86),1)»> 0,

36″ x:fmla=»=LOG(S94)-FLOOR(LOG(S94),1)»> 0,9

Что такое таблица журнала?

Логарифм Таблица десятичных логарифмов

Как использовать таблицу журналов?

Характеристика (положительная или отрицательная)

Мантисса (только положительная)

Нахождение логарифма числа по таблице логарифмов

Использование таблицы журнала в расчетах

Как использовать таблицу журнала для натуральных логарифмов?

Часто задаваемые вопросы о таблице журнала

Как вычислить логарифм числа с помощью таблицы журнала?

Как найти характеристику и мантиссу из таблицы журнала?

Как использовать таблицу журнала в расчетах?

Люди все еще используют таблицу логарифмов?

Запись таблицы общего журнала от 1 до 10.

Запись таблицы натурального логарифма От 1 до 10.

Для чего нужна таблица логарифмов?

Таблицы журналов все еще используются?

Как вычислить логарифм пятизначного числа с помощью таблицы журнала?

Таблица журнала: таблица логарифмов с решенными примерами и вопросами

Что такое характеристики и мантисса в логарифмической функции?

Таблица журнала Основание 10: Полная таблица журнала

Свойства логарифмов

Таблица десятичных логарифмов от 1 до 10

Решенные примеры для таблицы формул логарифмов

Практические вопросы по таблице стандартных логарифмов

Антилогарифмическая таблица по математике

Часто задаваемые вопросы о таблице журнала

Логарифмы

Обзор

Законы логарифмов

Первый закон логарифмов

Второй закон логарифмов

Третий закон логарифмов

Другие логарифмические тождества

Решение исходных уравнений

Натуральные логарифмы

Приложения логарифмов

Рецепт таблицы десятичного логарифма

Добавить комментарий Отменить ответ

Log Values От 1 до 10