Таблица логарифмов по основанию 10: Таблица-шпаргалка логарифмов: десятичных, по основанию 2

Содержание

Таблица-шпаргалка логарифмов: десятичных, по основанию 2

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

Ниже представлена таблица логарифмов (по основанию 2, 10 и числу e), которую можно использовать для выполнения быстрых расчетов, а также, проверки своих знаний.

xlog10xlog2xlogex
0
0+— ∞— ∞— ∞
-4-13.287712-9.210340
0.001-3-6.907755
0.01-2-6.643856-4.605170
-1-3.321928-2.302585
1000
210.693147
30.4771211.58496340.60206021.386294
52.3219281.609438
60.7781512.58496370.8450982.8073551.945910
832.079442
90.9542433.1699251013.3219282.302585
204.3219282.995732
301.4771214.906891401.6020605.3219283.688879
505.6438563.912023
601.7781515.906991701.8450986.1292834.248495
806.3219284.382027
901.9542436.49185310026.6438564.605170
2007.6438565.298317
3002.4771218.2288194002.6020608.6438565.991465
5008.9657846.214608
6002.7781519.2288197002.8450989.4512116.551080
8009.6438566.684612
9002.9542439.813781100039.9657846.907755
1000049.210340

microexcel.ru

Смотрите также: “Функция логарифма в Excel: формула расчета”

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Таблица логарифмов по основанию для школьников и студентов

log22 — log2100

log22 = 1. 0000
log23 = 1.5850
log24 = 2.0000
log25 = 2.3219
log26 = 2.5850
log27 = 2.8074
log28 = 3.0000
log29 = 3.1699
log210 = 3.3219
log211 = 3.4594
log212 = 3.5850
log213 = 3.7004
log214 = 3.8074
log215 = 3.9069
log216 = 4.0000
log217 = 4.0875
log218 = 4.1699
log219 = 4.2479
log220 = 4.3219
log221 = 4.3923
log222 = 4.4594
log223 = 4.5236
log224 = 4.5850
log225 = 4.6439
log226 = 4.7004
log227 = 4.7549
log228 = 4.8074

log229 = 4.8580
log230 = 4.9069
log231 = 4.9542
log232 = 5.0000
log233 = 5.0444
log234 = 5.0875
log235 = 5. 1293
log236 = 5.1699
log237 = 5.2095
log238 = 5.2479
log239 = 5.2854
log240 = 5.3219
log241 = 5.3576
log242 = 5.3923
log243 = 5.4263
log244 = 5.4594
log245 = 5.4919
log246 = 5.5236
log247 = 5.5546
log248 = 5.5850
log249 = 5.6147
log250 = 5.6439
log251 = 5.6724
log252 = 5.7004
log253 = 5.7279
log254 = 5.7549
log255 = 5.7814
log256 = 5.8074
log257 = 5.8329
log258 = 5.8580
log259 = 5.8826
log260 = 5.9069
log261 = 5.9307
log262 = 5.9542
log263 = 5.9773
log264 = 6.0000
log265 = 6.0224
log266 = 6.0444
log267 = 6.0661
log268 = 6. 0875
log269 = 6.1085
log270 = 6.1293
log271 = 6.1497
log272 = 6.1699
log273 = 6.1898
log274 = 6.2095
log275 = 6.2288
log276 = 6.2479
log277 = 6.2668
log278 = 6.2854
log279 = 6.3038
log280 = 6.3219
log281 = 6.3399
log282 = 6.3576
log283 = 6.3750
log284 = 6.3923
log285 = 6.4094
log286 = 6.4263
log287 = 6.4429
log288 = 6.4594
log289 = 6.4757
log290 = 6.4919
log291 = 6.5078
log292 = 6.5236
log293 = 6.5392
log294 = 6.5546
log295 = 6.5699
log296 = 6.5850
log297 = 6.5999
log298 = 6.6147
log299 = 6.6294
log2100 = 6.6439

log32 — log3100

log32 = 0. 6309
log33 = 1.0000
log34 = 1.2619
log35 = 1.4650
log36 = 1.6309
log37 = 1.7712
log38 = 1.8928
log39 = 2.0000
log310 = 2.0959
log311 = 2.1827
log312 = 2.2619

log313 = 2.3347
log314 = 2.4022
log315 = 2.4650
log316 = 2.5237
log317 = 2.5789
log318 = 2.6309
log319 = 2.6801
log320 = 2.7268
log321 = 2.7712
log322 = 2.8136
log323 = 2.8540
log324 = 2.8928
log325 = 2.9299
log326 = 2.9656
log327 = 3.0000
log328 = 3.0331
log329 = 3.0650
log330 = 3.0959
log331 = 3.1257
log332 = 3.1546
log333 = 3.1827
log334 = 3.2098
log335 = 3. 2362
log336 = 3.2619
log337 = 3.2868
log338 = 3.3111
log339 = 3.3347
log340 = 3.3578
log341 = 3.3802
log3
42 = 3.4022
log343 = 3.4236
log344 = 3.4445
log345 = 3.4650
log346 = 3.4850
log347 = 3.5046
log348 = 3.5237
log349 = 3.5425
log350 = 3.5609
log351 = 3.5789
log352 = 3.5966
log353 = 3.6139
log354 = 3.6309
log355 = 3.6476
log356 = 3.6640
log357 = 3.6801
log358 = 3.6960
log359 = 3.7115
log360 = 3.7268
log361 = 3.7419
log362 = 3.7567
log363 = 3.7712
log364 = 3.7856
log365 = 3.7997
log366 = 3.8136
log367 = 3.8273
log368 = 3. 8408
log369 = 3.8540
log370 = 3.8671
log371 = 3.8801
log372 = 3.8928
log373 = 3.9053
log374 = 3.9177
log375 = 3.9299
log376 = 3.9420
log377 = 3.9539
log378 = 3.9656
log379 = 3.9772
log380 = 3.9887
log381 = 4.0000
log382 = 4.0112
log383 = 4.0222
log384 = 4.0331
log385 = 4.0439
log386 = 4.0545
log387 = 4.0650
log388 = 4.0754
log389 = 4.0857
log390 = 4.0959
log391 = 4.1060
log392 = 4.1159
log393 = 4.1257
log394 = 4.1355
log395 = 4.1451
log396 = 4.1546
log397 = 4.1641
log398 = 4.1734
log399 = 4.1827
log3100 = 4.1918

log42 — log4100

log

42 = 0. 5000
log43 = 0.7925
log44 = 1.0000
log45 = 1.1610
log46 = 1.2925
log47 = 1.4037
log48 = 1.5000
log49 = 1.5850
log410 = 1.6610
log411 = 1.7297
log412 = 1.7925
log413 = 1.8502
log414 = 1.9037
log415 = 1.9534
log416 = 2.0000
log417 = 2.0437
log418 = 2.0850
log419 = 2.1240
log420 = 2.1610
log421 = 2.1962
log422 = 2.2297
log423 = 2.2618
log424 = 2.2925
log425 = 2.3219
log426 = 2.3502
log427 = 2.3774
log428 = 2.4037
log429 = 2.4290
log430 = 2.4534
log431 = 2.4771
log432 = 2.5000
log433 = 2.5222
log434 = 2.5437
log435 = 2. 5646
log436 = 2.5850
log437 = 2.6047
log438 = 2.6240
log439 = 2.6427
log440 = 2.6610
log441 = 2.6788
log442 = 2.6962
log443 = 2.7131
log444 = 2.7297
log445 = 2.7459
log446 = 2.7618
log447 = 2.7773
log448 = 2.7925
log449 = 2.8074
log450 = 2.8219
log451 = 2.8362
log452 = 2.8502
log453 = 2.8640
log454 = 2.8774
log455 = 2.8907
log456 = 2.9037
log457 = 2.9164
log458 = 2.9290
log459 = 2.9413
log460 = 2.9534
log461 = 2.9654
log462 = 2.9771
log463 = 2.9886
log464 = 3.0000
log465 = 3.0112
log466 = 3.0222
log467 = 3.0330
log468 = 3. 0437
log469 = 3.0543
log470 = 3.0646
log471 = 3.0749
log472 = 3.0850
log473 = 3.0949
log474 = 3.1047
log475 = 3.1144
log476 = 3.1240
log477 = 3.1334
log478 = 3.1427
log479 = 3.1519
log480 = 3.1610
log481 = 3.1699
log482 = 3.1788
log483 = 3.1875
log484 = 3.1962
log485 = 3.2047
log486 = 3.2131
log487 = 3.2215
log
4
88 = 3.2297
log489 = 3.2379
log490 = 3.2459
log491 = 3.2539
log492 = 3.2618
log493 = 3.2696
log494 = 3.2773
log495 = 3.2849
log496 = 3.2925
log497 = 3.3000
log498 = 3.3074
log499 = 3.3147
log4100 = 3.3219

log52 — log5100

log52 = 0. 4307
log53 = 0.6826
log54 = 0.8614
log55 = 1.0000
log56 = 1.1133
log57 = 1.2091
log58 = 1.2920
log59 = 1.3652
log510 = 1.4307
log511 = 1.4899
log512 = 1.5440
log513 = 1.5937
log514 = 1.6397

log515 = 1.6826
log516 = 1.7227
log517 = 1.7604
log518 = 1.7959
log519 = 1.8295
log520 = 1.8614
log521 = 1.8917
log522 = 1.9206
log523 = 1.9482
log524 = 1.9746
log525 = 2.0000
log526 = 2.0244
log527 = 2.0478
log528 = 2.0704
log529 = 2.0922
log530 = 2.1133
log531 = 2.1337
log532 = 2.1534
log533 = 2.1725
log534 = 2.1911
log535 = 2. 2091
log536 = 2.2266
log537 = 2.2436
log538 = 2.2602
log539 = 2.2763
log540 = 2.2920
log541 = 2.3074
log542 = 2.3223
log543 = 2.3370
log544 = 2.3512
log545 = 2.3652
log546 = 2.3789
log547 = 2.3922
log548 = 2.4053
log549 = 2.4181
log550 = 2.4307
log551 = 2.4430
log552 = 2.4550
log553 = 2.4669
log554 = 2.4785
log555 = 2.4899
log556 = 2.5011
log557 = 2.5121
log558 = 2.5229
log559 = 2.5335
log560 = 2.5440
log561 = 2.5542
log562 = 2.5643
log563 = 2.5743
log564 = 2.5841
log565 = 2.5937
log566 = 2.6032
log567 = 2.6125
log568 = 2. 6217
log569 = 2.6308
log570 = 2.6397
log571 = 2.6486
log572 = 2.6572
log573 = 2.6658
log574 = 2.6743
log575 = 2.6826
log576 = 2.6908
log577 = 2.6990
log578 = 2.7070
log579 = 2.7149
log580 = 2.7227
log581 = 2.7304
log582 = 2.7380
log583 = 2.7456
log584 = 2.7530
log585 = 2.7604
log586 = 2.7676
log587 = 2.7748
log588 = 2.7819
log589 = 2.7889
log590 = 2.7959
log591 = 2.8028
log592 = 2.8095
log593 = 2.8163
log594 = 2.8229
log595 = 2.8295
log596 = 2.8360
log597 = 2.8424
log598 = 2.8488
log599 = 2.8551
log5100 = 2.8614

log62 — log6100

log62 = 0. 3869
log63 = 0.6131
log64 = 0.7737
log65 = 0.8982
log66 = 1.0000
log67 = 1.0860
log68 = 1.1606
log69 = 1.2263
log610 = 1.2851
log611 = 1.3383
log612 = 1.3869
log613 = 1.4315
log614 = 1.4729
log615 = 1.5114
log616 = 1.5474
log617 = 1.5812
log618 = 1.6131
log619 = 1.6433
log620 = 1.6720
log621 = 1.6992
log622 = 1.7251
log623 = 1.7500
log624 = 1.7737
log625 = 1.7965
log626 = 1.8184
log627 = 1.8394
log628 = 1.8597
log629 = 1.8793
log630 = 1.8982
log631 = 1.9165
log632 = 1.9343
log633 = 1.9514
log634 = 1.9681
log635 = 1. 9843
log636 = 2.0000
log637 = 2.0153
log638 = 2.0302
log639 = 2.0447
log640 = 2.0588
log641 = 2.0726
log642 = 2.0860
log643 = 2.0992
log644 = 2.1120
log645 = 2.1245
log646 = 2.1368
log647 = 2.1488
log648 = 2.1606
log649 = 2.1721
log650 = 2.1833
log651 = 2.1944
log652 = 2.2052
log653 = 2.2159
log654 = 2.2263
log655 = 2.2365
log656 = 2.2466
log657 = 2.2565
log658 = 2.2662
log659 = 2.2757
log660 = 2.2851
log661 = 2.2943
log662 = 2.3034
log663 = 2.3123
log664 = 2.3211
log665 = 2.3298
log666 = 2.3383
log667 = 2.3467
log668 = 2. 3550
log669 = 2.3631
log670 = 2.3711
log671 = 2.3790
log672 = 2.3869
log673 = 2.3946
log674 = 2.4021
log675 = 2.4096
log676 = 2.4170
log677 = 2.4243
log678 = 2.4315
log679 = 2.4386
log680 = 2.4457
log681 = 2.4526
log682 = 2.4594
log683 = 2.4662
log684 = 2.4729
log685 = 2.4795
log686 = 2.4860
log687 = 2.4925
log688 = 2.4988
log689 = 2.5052
log690 = 2.5114
log691 = 2.5176
log692 = 2.5237
log693 = 2.5297
log694 = 2.5357
log695 = 2.5416
log696 = 2.5474
log697 = 2.5532
log698 = 2.5589
log699 = 2.5646
log6100 = 2.5702

log72 — log7100

log72 = 0. 3562
log73 = 0.5646
log74 = 0.7124
log75 = 0.8271
log76 = 0.9208
log77 = 1.0000
log78 = 1.0686
log79 = 1.1292
log710 = 1.1833
log711 = 1.2323
log712 = 1.2770
log713 = 1.3181
log714 = 1.3562
log715 = 1.3917
log716 = 1.4248
log717 = 1.4560
log718 = 1.4854
log719 = 1.5131
log720 = 1.5395
log721 = 1.5646
log722 = 1.5885
log723 = 1.6113
log724 = 1.6332
log725 = 1.6542
log726 = 1.6743
log727 = 1.6937
log728 = 1.7124
log729 = 1.7304
log730 = 1.7479
log731 = 1.7647
log732 = 1.7810
log733 = 1.7968
log734 = 1.8122
log735 = 1. 8271
log736 = 1.8416
log737 = 1.8556
log738 = 1.8693
log739 = 1.8827
log740 = 1.8957
log741 = 1.9084
log742 = 1.9208
log743 = 1.9329
log744 = 1.9447
log745 = 1.9562
log746 = 1.9675
log747 = 1.9786
log748 = 1.9894
log749 = 2.0000
log750 = 2.0104
log751 = 2.0206
log752 = 2.0305
log753 = 2.0403
log754 = 2.0499
log755 = 2.0594
log756 = 2.0686
log757 = 2.0777
log758 = 2.0867
log759 = 2.0954
log760 = 2.1041
log761 = 2.1126
log762 = 2.1209
log763 = 2.1292
log764 = 2.1372
log765 = 2.1452
log766 = 2.1531
log767 = 2.1608
log768 = 2. 1684
log769 = 2.1759
log770 = 2.1833
log771 = 2.1906
log772 = 2.1978
log773 = 2.2049
log774 = 2.2119
log775 = 2.2187
log776 = 2.2256
log777 = 2.2323
log778 = 2.2389
log779 = 2.2455
log780 = 2.2519
log781 = 2.2583
log782 = 2.2646
log783 = 2.2708
log784 = 2.2770
log785 = 2.2831
log786 = 2.2891
log787 = 2.2950
log788 = 2.3009
log789 = 2.3067
log790 = 2.3124
log791 = 2.3181
log792 = 2.3237
log793 = 2.3293
log794 = 2.3348
log795 = 2.3402
log796 = 2.3456
log797 = 2.3509
log798 = 2.3562
log799 = 2.3614
log7100 = 2.3666

log82 — log8100

log82 = 0. 3333
log83 = 0.5283
log84 = 0.6667
log85 = 0.7740
log86 = 0.8617
log87 = 0.9358
log88 = 1.0000
log89 = 1.0566
log810 = 1.1073
log811 = 1.1531
log812 = 1.1950
log813 = 1.2335
log814 = 1.2691
log815 = 1.3023
log816 = 1.3333
log817 = 1.3625
log818 = 1.3900
log819 = 1.4160
log820 = 1.4406
log821 = 1.4641
log822 = 1.4865
log823 = 1.5079
log824 = 1.5283
log825 = 1.5480
log826 = 1.5668
log827 = 1.5850
log828 = 1.6025
log829 = 1.6193
log830 = 1.6356
log831 = 1.6514
log832 = 1.6667
log833 = 1.6815
log834 = 1.6958
log835 = 1. 7098
log836 = 1.7233
log837 = 1.7365
log838 = 1.7493
log839 = 1.7618
log840 = 1.7740
log841 = 1.7859
log842 = 1.7974
log843 = 1.8088
log844 = 1.8198
log845 = 1.8306
log846 = 1.8412
log847 = 1.8515
log848 = 1.8617
log849 = 1.8716
log850 = 1.8813
log851 = 1.8908
log852 = 1.9001
log853 = 1.9093
log854 = 1.9183
log855 = 1.9271
log856 = 1.9358
log857 = 1.9443
log858 = 1.9527
log859 = 1.9609
log860 = 1.9690
log861 = 1.9769
log862 = 1.9847
log863 = 1.9924
log864 = 2.0000
log865 = 2.0075
log866 = 2.0148
log867 = 2.0220
log868 = 2. 0292
log869 = 2.0362
log870 = 2.0431
log871 = 2.0499
log872 = 2.0566
log873 = 2.0633
log874 = 2.0698
log875 = 2.0763
log876 = 2.0826
log877 = 2.0889
log878 = 2.0951
log879 = 2.1013
log880 = 2.1073
log881 = 2.1133
log882 = 2.1192
log883 = 2.1250
log884 = 2.1308
log885 = 2.1365
log886 = 2.1421
log887 = 2.1476
log888 = 2.1531
log889 = 2.1586
log890 = 2.1640
log891 = 2.1693
log892 = 2.1745
log893 = 2.1797
log894 = 2.1849
log895 = 2.1900
log896 = 2.1950
log897 = 2.2000
log898 = 2.2049
log899 = 2.2098
log8100 = 2.2146

log92 — log9100

log92 = 0. 3155
log93 = 0.5000
log94 = 0.6309
log95 = 0.7325
log96 = 0.8155
log97 = 0.8856
log98 = 0.9464
log99 = 1.0000
log910 = 1.0480
log911 = 1.0913
log912 = 1.1309
log913 = 1.1674
log914 = 1.2011
log915 = 1.2325
log916 = 1.2619
log917 = 1.2895
log918 = 1.3155
log919 = 1.3401
log920 = 1.3634
log921 = 1.3856
log922 = 1.4068
log923 = 1.4270
log924 = 1.4464
log925 = 1.4650
log926 = 1.4828
log927 = 1.5000
log928 = 1.5166
log929 = 1.5325
log930 = 1.5480
log931 = 1.5629
log932 = 1.5773
log933 = 1.5913
log934 = 1.6049
log935 = 1. 6181
log936 = 1.6309
log937 = 1.6434
log938 = 1.6555
log939 = 1.6674
log940 = 1.6789
log941 = 1.6901
log942 = 1.7011
log943 = 1.7118
log944 = 1.7223
log945 = 1.7325
log946 = 1.7425
log947 = 1.7523
log948 = 1.7619
log949 = 1.7712
log950 = 1.7804
log951 = 1.7895
log952 = 1.7983
log953 = 1.8070
log954 = 1.8155
log955 = 1.8238
log956 = 1.8320
log957 = 1.8401
log958 = 1.8480
log959 = 1.8558
log960 = 1.8634
log961 = 1.8709
log962 = 1.8783
log963 = 1.8856
log964 = 1.8928
log965 = 1.8998
log966 = 1.9068
log967 = 1.9136
log968 = 1. 9204
log969 = 1.9270
log970 = 1.9336
log971 = 1.9400
log972 = 1.9464
log973 = 1.9527
log974 = 1.9589
log975 = 1.9650
log976 = 1.9710
log977 = 1.9770
log978 = 1.9828
log979 = 1.9886
log980 = 1.9943
log981 = 2.0000
log982 = 2.0056
log983 = 2.0111
log984 = 2.0166
log985 = 2.0219
log986 = 2.0273
log987 = 2.0325
log988 = 2.0377
log989 = 2.0429
log990 = 2.0480
log991 = 2.0530
log992 = 2.0580
log993 = 2.0629
log994 = 2.0677
log995 = 2.0726
log996 = 2.0773
log997 = 2.0820
log998 = 2.0867
log999 = 2.0913
log9100 = 2.0959

log102 — log10100

log102 = 0. 3010
log103 = 0.4771
log104 = 0.6021
log105 = 0.6990
log106 = 0.7782
log107 = 0.8451
log108 = 0.9031
log109 = 0.9542
log1010 = 1.0000
log1011 = 1.0414
log1012 = 1.0792
log1013 = 1.1139
log1014 = 1.1461
log1015 = 1.1761
log1016 = 1.2041
log1017 = 1.2304
log1018 = 1.2553
log1019 = 1.2788
log1020 = 1.3010
log1021 = 1.3222
log1022 = 1.3424
log1023 = 1.3617
log1024 = 1.3802
log1025 = 1.3979
log1026 = 1.4150
log1027 = 1.4314
log1028 = 1.4472
log1029 = 1.4624
log1030 = 1.4771
log1031 = 1.4914
log1032 = 1.5051
log1033 = 1.5185
log1034 = 1. 5315
log1035 = 1.5441
log1036 = 1.5563
log1037 = 1.5682
log1038 = 1.5798
log1039 = 1.5911
log1040 = 1.6021
log1041 = 1.6128
log1042 = 1.6232
log1043 = 1.6335
log1044 = 1.6435
log1045 = 1.6532
log1046 = 1.6628
log1047 = 1.6721
log1048 = 1.6812
log1049 = 1.6902
log1050 = 1.6990
log1051 = 1.7076
log1052 = 1.7160
log1053 = 1.7243
log1054 = 1.7324
log1055 = 1.7404
log1056 = 1.7482
log1057 = 1.7559
log1058 = 1.7634
log1059 = 1.7709
log1060 = 1.7782
log1061 = 1.7853
log1062 = 1.7924
log1063 = 1.7993
log1064 = 1.8062
log1065 = 1.8129
log1066 = 1. 8195
log1067 = 1.8261
log1068 = 1.8325
log1069 = 1.8388
log1070 = 1.8451
log1071 = 1.8513
log1072 = 1.8573
log1073 = 1.8633
log1074 = 1.8692
log1075 = 1.8751
log1076 = 1.8808
log1077 = 1.8865
log1078 = 1.8921
log1079 = 1.8976
log1080 = 1.9031
log1081 = 1.9085
log1082 = 1.9138
log1083 = 1.9191
log1084 = 1.9243
log1085 = 1.9294
log1086 = 1.9345
log1087 = 1.9395
log1088 = 1.9445
log1089 = 1.9494
log1090 = 1.9542
log1091 = 1.9590
log1092 = 1.9638
log1093 = 1.9685
log1094 = 1.9731
log1095 = 1.9777
log1096 = 1.9823
log1097 = 1.9868
log1098 = 1. 9912
log1099 = 1.9956
log10100 = 2.0000

log112 — log11100

log112 = 0.2891
log113 = 0.4582
log114 = 0.5781
log115 = 0.6712
log116 = 0.7472
log117 = 0.8115
log118 = 0.8672
log119 = 0.9163
log1110 = 0.9603
log1111 = 1.0000
log1112 = 1.0363
log1113 = 1.0697
log1114 = 1.1006
log1115 = 1.1293
log1116 = 1.1563
log1117 = 1.1815
log1118 = 1.2054
log1119 = 1.2279
log1120 = 1.2493
log1121 = 1.2697
log1122 = 1.2891
log1123 = 1.3076
log1124 = 1.3254
log1125 = 1.3424
log1126 = 1.3587
log1127 = 1.3745
log1128 = 1. 3896
log1129 = 1.4043
log1130 = 1.4184
log1131 = 1.4321
log1132 = 1.4453
log1133 = 1.4582
log1134 = 1.4706
log1135 = 1.4827
log1136 = 1.4944
log1137 = 1.5059
log1138 = 1.5170
log1139 = 1.5278
log1140 = 1.5384
log1141 = 1.5487
log1142 = 1.5587
log1143 = 1.5685
log1144 = 1.5781
log1145 = 1.5875
log1146 = 1.5967
log1147 = 1.6056
log1148 = 1.6144
log1149 = 1.6230
log1150 = 1.6314
log1151 = 1.6397
log1152 = 1.6478
log1153 = 1.6557
log1154 = 1.6635
log1155 = 1.6712
log1156 = 1.6787
log1157 = 1.6861
log1158 = 1.6933
log1159 = 1.7005
log1160 = 1. 7075
log1161 = 1.7144
log1162 = 1.7211
log1163 = 1.7278
log1164 = 1.7344
log1165 = 1.7409
log1166 = 1.7472
log1167 = 1.7535
log1168 = 1.7597
log1169 = 1.7658
log1170 = 1.7718
log1171 = 1.7777
log1172 = 1.7835
log1173 = 1.7893
log1174 = 1.7949
log1175 = 1.8005
log1176 = 1.8061
log1177 = 1.8115
log1178 = 1.8169
log1179 = 1.8222
log1180 = 1.8274
log1181 = 1.8326
log1182 = 1.8377
log1183 = 1.8428
log1184 = 1.8478
log1185 = 1.8527
log1186 = 1.8576
log1187 = 1.8624
log1188 = 1.8672
log1189 = 1.8719
log1190 = 1.8766
log1191 = 1.8812
log1192 = 1. 8857
log1193 = 1.8902
log1194 = 1.8947
log1195 = 1.8991
log1196 = 1.9035
log1197 = 1.9078
log1198 = 1.9121
log1199 = 1.9163
log11100 = 1.9205

Таблица логарифмов — frwiki.wiki

Для одноименных статей см. Таблицу (значения) .

Таблицы логарифмов Бувара и Ратине , книжный магазин Hachette, 1957 г.

Таблица натуральных логарифмов от 0,01 до 100 с пятью десятичными знаками, «естественное чтение» (числа показаны полностью).

Таблица логарифмов является табличным представлением логарифмов , как правило , в основании 10, целых числа от 1 до N. Наиболее часто N 10000, как и в таблице Bouvart и Ratinet , весьма распространенных во Франции до появления вычислителей , или 100000 .

Достаточно знать десятичный логарифм целых чисел от 10 n до 10 n + 1 , поскольку логарифм других чисел может быть легко получен; изменяется только часть перед запятой или характеристика. По этой причине в таблице чаще всего приводятся только цифры после запятой, называемые мантиссой.

Пример:

  • Логарифм 2 равен 0,30103…;
  • логарифм 20 равен 1,30103…;
  • логарифм 200 равен 2,30103…;
  • в таблице мы просто прочитаем 301 03.

Когда в таблице приведены логарифмы чисел до 10 n , мы получаем логарифмы для всех чисел, имеющих не более n значащих цифр. Логарифмы чисел с более значащими цифрами вычисляются методом линейной интерполяции . Часто таблицы содержат таблицы на полях для облегчения интерполяции.

Логарифмические таблицы помогают при вычислении произведений, частных или степеней. Однако мы также можем вычислить сумму двух чисел, логарифм которых известен, либо используя специальную таблицу аддитивных логарифмов (например, прилагаемую к таблице Хоуэля ), либо используя тригонометрию и таблицы логарифмов тригонометрических функций, которые почти всегда приводятся после таблицы. логарифмов целых чисел. Тригонометрия также позволяет составить большое количество формул, вычисляемых по логарифму .

Резюме

  • 1 рассказ
    • 1.1 Принцип
    • 1.2 Иллюстрация, построение таблицы десятичного логарифма
      • 1.2.1 Первый шаг
      • 1.2.2 Второй шаг
  • 2 Использование таблицы логарифмов
    • 2.1 Чтение
    • 2.2 Расчеты
  • 3 Примечания и ссылки
  • 4 См. Также
    • 4.1 Связанные статьи
    • 4.2 Внешние ссылки

История

Первые логарифмические таблицы отображаются в начале XVII — го  века , с тем чтобы облегчить астрономические вычисления. В то время как все расчеты производятся вручную, они позволяют переводить продукты в суммы. Чтобы вычислить произведение a на b, достаточно найти логарифм a и b. Суммируя эти два логарифма, мы получаем логарифм числа ab. Затем продукт ab легко найти, прочитав таблицу вверх ногами . Именно Джон Напье (Непер) опубликовал первые логарифмические таблицы, которые представляют собой таблицы синус-логарифмов ( Mirifici Loagarithmorum Canonis Descriptio — 1614). Генри Бриггс, который работает в сотрудничестве с Непером, имеет идею связать число 10 с числом 1 и таким образом построить первую таблицу десятичного логарифма или десятичного логарифма (1615). В то же время (1603 — 1611) астроном Йост Бюрджи, который работает вместе с Кеплером, разрабатывает тригонометрические таблицы и таблицу антилогарифмов, которые будут опубликованы в 1620 году.

Эти цифровые таблицы построены по принципу, описанному ниже, с использованием только простых операций (сложения, линейной интерполяции). Полученная точность, 14 знаков после запятой, например для таблицы Бриггса, позволяет представить количество вычислений, которые необходимо было выполнить для их построения. Это является ценным инструментом как для сложности ее конструкции , чем для ее практической полезности, которая растет хорошо в XVII — м  веке . Они широко используются в расчетах в течение более трех столетий , прежде чем свергнутый в конце XX — го  века путем размещения на рынке мощных вычислителей.

Таблицы логарифмов, титульный лист, издан в 1792 г.

Принцип

Принцип построения состоит в соединении арифметической последовательности и геометрической последовательности, которые развиваются вместе. Непер, объясняя свой принцип, по существу говорит:

«Логарифм синуса — это число, которое также увеличивается в равные разы, в то время как синус пропорционально уменьшается. Два движения происходят одновременно и начинаются с одинаковой скоростью » .

Иллюстрация, построение таблицы десятичного логарифма

Мы можем представить упрощенную версию конструкции, представив себе, как построить последовательные степени 1.01. Расчеты выполняются вручную из основных операций (сложение, линейная интерполяция), поэтому уже требуется много времени, чтобы получить точность до трех или четырех знаков после запятой.

Первая ступень

Определяем последовательность степеней числа 1.01 до достижения числа 10 (основания): начинаем с первой степени (1.01), затем складываем число, сдвинутое вправо на две цифры (умноженное на 0,01), и получить следующую мощность:

  • 1,01 + 0,0101 = 1,0201.

Продолжаем так, затем округляем результаты, усекая цифры после четвертого десятичного знака:

  • Третья степень 1,01 равна 1,0303;
  • 4 — й  мощность равна 1.0406; … Используя классические правила округления, например:
  • 11 — й  мощности 1,1155;
  • 12 — й  мощности затем 1,1155 + 0,0112 = 1,1267; …
  • Наконец, 231- я  степень — 9 959; а 232- я  степень — 10. 059.

Мы останавливаемся, когда превышено 10. Тогда мы получим следующую таблицу:

нет 1.01 п
1 1.01
2 1.0201
3 1.0303
4 1,0406
11 1,1155
12 1,1267
231 9,959
232 10,059

Вклад Непера состоит в том, чтобы учесть, что движение непрерывно, то есть мы можем заполнить пробелы. Поскольку для n = 231 мы получаем 9,959, а для n = 232 — 10,059, именно между этими двумя числами мы получим 10. Затем мы можем рассмотреть линейную интерполяцию: разность 1 в левом столбце соответствует отклонению в одну десятую в правом столбце. Чтобы получить 10 из 9,959, добавьте 0,41 десятых. Поэтому мы должны добавить 0,41 единицы в левый столбец. Таким образом, число 10 соответствует 231,41. Если вы хотите сопоставить число 10 с числом 1, вам просто нужно разделить все члены в левом столбце на 231,41. Таким образом, мы получаем приблизительные значения десятичных логарифмов всех степеней 1,01 (представлены в правом столбце таблицы ниже).

Второй шаг

Затем мы строим таблицу соответствий, которую достаточно заполнить для промежуточных значений, используя линейную интерполяцию.

нет в журнал (а)
1 1.01 0,00432
2 1.0201 0,00864
3 1.0303 0,01296
4 1.0406 0,01728
11 1,1155 0,04753
12 1,1267 0,05185
69 1,9867 0,29818
70 2,0066 0,30250
. ..
231 9,959 0,99827
231,4 10 1

Чтобы определить, например, десятичный логарифм числа 2, просто просмотрите таблицу степеней 1,01 и 2,00 чтения, которые находятся между 69- й  степенью (1,9867) и 70- й  степенью 1,01 (2,0066). При линейной интерполяции 2 получается степень 69,66, поэтому 1,01⋅ 69,66 ≈ 2, то есть 69,66⋅log (1.01) ≈ log (2).

Чтобы определить логарифм 2 по основанию 10, остается только выполнить деление 69,66 / 231,4 ≈ 0,30104, что хорошо соответствует приблизительному значению log (2).

На самом деле таблицы логарифмов были построены вручную с большей точностью, например, начиная со степеней 1,000001. Если мы затем произвольно присвоим значение 0,000001 логарифму 1,000001, мы получим значение 1 для логарифма 2,71828, тем самым придав законность натуральному (или неперианскому) логарифму основания e .

Использование таблицы логарифмов

Чтение

Простые таблицы логарифмов с пятью десятичными знаками обычно расширяются так, что числа, образованные из первых двух цифр (от 10 до 99), образуют левый край таблицы, а последние цифры (от 0 до 9) появляются вверху таблицы. столбец.

Таблица логарифмов выглядит так:

N    0    1    2    3   …   9
10 0000 0043 0086 0128  … 0374
11 0414 0453 0492 0531  … 0756
12 0792 0828 0864 0899  … 1106
13 1139 1173 1206 1239  … 1430
14 1461 1492 1523 1553  … 1732
15 1761 1790 1818 1847  … 2014
16 2041 2068 2095 2122  … 2279
17 2304 2330 2355 2380  … 2529
18 2553 2577 2601 2625  … 2765
19 2788 2810 2833 2856  … 2989
·    ·    ·    ·    ·       ·       
·    ·    ·    ·    ·       ·
·    ·    ·    ·    ·       ·
99 9956 9957 9957 9958  … 9960

Здесь единица и десятая цифра числа N появляются в левом столбце, а сотые цифры — в первой строке. На пересечении строки и столбца читаем журнал (N).

Пример 1  : Как определить журнал (1,53)?

Переходим к строке 15 и столбцу 3 и читаем 1847. Таким образом, мы можем заключить, что
журнал (1,53) 0,1847

Пример 2  : Как определить лог (0,00153)?

Мы знаем, что характеристика этого числа — –3, а его мантисса — log (1.53).
Итак, log (0,00153) = –3 + 0,1847 ≃ –2,8153.

Пример 3  : Как определить журнал (18,27)?

Мы знаем, что его характеристика равна 1, а мантисса — log (1827). Таким образом, мы помещаем себя в строку 18 между столбцами 2 и 3. Затем необходимо выполнить линейную интерполяцию.
log (1,82) 0,2601 и log (1,83) ≃ 0,2625, то есть разница в 24 десятитысячных. Линейная интерполяция аппроксимирует логарифмы чисел от 1,82 до 1,83 следующим образом
журнал (1,821) ≃ 0,2601 + 0,00024
журнал (1,822) ≃ 0,2601 + 0,00048
журнал (1,827) 0,2601 + 7 × 0,00024 ≃ 0,2618
журнал (18,27) 1,2618

Пример 4  : Какое число имеет логарифм 1,208?

Мы знаем, что характеристика равна 1, и поэтому число записывается как N × 10 с log (N) = 0,208.
В таблице логарифмов 2080находится между 2068и 2095(разница 27). Число 2068находится в строке 16 и в столбце 1, поэтому 0,2068 = log (1,61). Аналогично 0,2095 = журнал (1,62). Поэтому переходим к линейной интерполяции
0,2068 + 0,00027 = 0,20707 = журнал (1,611)
0,20707 + 0,00027 = 0,20734 = лог (1,612)
0,2068 + 4 × 0,00027 = 0,20788 = журнал (1,614)
0,2068 + 5 × 0,00027 = 0,20815 = журнал (1,615)
0,208 ≃ лог (1,614)
10 1,208 ≃ 16,14

Расчеты

Примечания и ссылки

  1. a и b А. Дахан-Далмедико и Дж. Пайффер , История математики: дороги и лабиринты ,[ подробности изданий ], стр 214

Смотрите также

Статьи по Теме

  • Теория приближений
  • Линейная интерполяция
  • Логарифм
  • Логарифмическая линейка
  • Мари-Анри Андойе
  • Гаспар де Прони , используя разделение труда в своей логарифмической фабрике в 1793 году.
  • Адриан Влак
  • Zacharias Dase
  • Тригонометрический стол
  • Цифровой стол

Внешние ссылки

  • LOCOMAT — Коллекция математических таблиц Loria
  • Таблицы логарифмов Ж. Дюпюи, 1880 г. (Галлика)
  • Таблицы логарифмов по Дж де — Ла — Ланде , 1841 (Галльский)

<img src=»//fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>

Натуральные логарифмы чисел (Таблица)

I. Таблица натуральные логарифмы чисел

1)

1)Натуральный логарифм числа, не содержащегося среди аргументов таблицы, находится следующим образом. Пусть ищется ln 753. Имеем: ln 753 = ln (7,53 • 102) = ln 7,53 4- 2 ln 10. Первое слагаемое находим по таблице натуральных логарифмов, второе — по таблице III. Получаем: ln 753 = 2,0189 + 4,6052 = 6,6241. Таким же образом находим ln 0,00753 = ln (7,53 • 10″3) = 2,0189 — 6,9078 = -4,8889.

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,0 0,0000 0,0100 0,0198 0,0296 0,0392 0,0488 0,0583 0,0677 0,0770 0,0862
1,1 0,0953 0,1044 0,1133 0,1222 0,1310 0,1398 0,1484 0,1570 0,1655 0,1740
1,2 0,1823 0,1906 0,1989 0,2070 0,2151 0,2231 0,2311 0,2390 0,2469 0,2546
1,3 0,2624 0,2700 0,2776 0,2852 0,2927 0,3001 0,3075 0,3148 0,3221 0,3293
1,4 0,3365 0,3436 0,3507 0,3577 0,3646 0,3716 0,3784 0,3853 0,3920 0,3988
1,5 0,4055 0,4121 0,4187 0,4253 0,4318 0,4383 0,4447 0,4511 0,4574 0,4637
1,6 0,4700 0,4762 0,4824 0,4886 0,4947 0,5008 0,5068 0,5128 0,5188 0,5247
1,7 0,5306 0,5365 0,5423 0,5481 0,5539 0,5596 0,5653 0,5710 0,5766 0,5822
1,8 0,5878 0,5933 0,5988 0,6043 0,6098 0,6152 0,6206 0,6259 0,6313 0,6366
1,9 0,6419 0,6471 0,6523 0,6575 0,6627 0,6678 0,6729 0,6780 0,6831 0,6881
                     
2,0 0,6931 0,6981 0,7031 0,7080 0,7129 0,7178 0,7227 0,7275 0,7324 0,7372
2,1 0,7419 0,7467 0,7514 0,7561 0,7608 0,7655 0,7701 0,7747 0,7793 0,7839
2,2 0,7885 0,7930 0,7975 0,8020 0,8065 0,8109 0,8154 0,8198 0,8242 0,8286
2,3 0,8329 0,8372 0,8416 0,8459 0,8502 0,8544 0,8587 0,8629 0,8671 0,8713
2,4 0,8755 0,8796 0,8838 0,8879 0,8920 0,8961 0,9002 0,9042 0,9083 0,9123
2,5 0,9163 0,9203 0,9243 0,9282 0,9322 0,9361 0,9400 0,9439 0,9478 0,9517
2,6 0,9555 0,9594 0,9632 0,9670 0,9708 0,9746 0,9783 0,9821 0,9858 0,9895
2,7 0,9933 0,9969 1,0006 1,0043 1,0080 1,0116 1,0152 1,0188 1,0225 1,0260
2,8 1,0296 1,0332 1,0367 1,0403 1,0438 1,0473 1,0508 1,0543 1,0578 1,0613
2,9 1,0647 1,0682 1,0716 1,0750 1,0784 1,0818 1,0852 1,0886 1,0919 1,0953
                     
3,0 1,0986 1,1019 1,1053 1,1086 1,1119 1,1151 1,1184 1,1217 1,1249 1,1282
3,1 1,1314 1,1346 1,1378 1,1410 1,1442 1,1474 1,1506 1,1537 1,1569 1,1600
3,2 1,1632 1,1663 1,1694 1,1725 1,1756 1,1787 1,1817 1,1848 1,1878 1,1909
3,3 1,1939 1,1969 1,2000 1,2030 1,2060 1,2090 1,2119 1,2149 1,2179 1,2208
3,4 1,2238 1,2267 1,2296 1,2326 1,2355 1,2384 1,2413 1,2442 1,2470 1,2499
3,5 1,2528 1,2556 1,2585 1,2613 1,2641 1,2669 1,2698 1,2726 1,2754 1,2782
3,6 1,2809 1,2837 1,2865 1,2892 1,2920 1,2947 1,2975 1,3002 1,3029 1,3056
3,7 1,3083 1,3110 1,3137 1,3164 1,3191 1,3218 1,3244 1,3271 1,3297 1,3324
3,8 1,3350 1,3376 1,3403 1,3429 1,3455 1,3481 1,3507 1,3533 1,3558 1,3584
3,9 1,3610 1,3635 1,3661 1,3686 1,3712 1,3737 1,3762 1,3788 1,3813 1,3838
                     
4,0 1,3863 1,3888 1,3913 1,3938 1,3962 1,3987 1,4012 1,4036 1,4061 1,4085
4,1 1,4110 1,4134 1,4159 1,4183 1,4207 1,4231 1,4255 1,4279 1,4303 1,4327
4,2 1,4351 1,4375 1,4398 1,4422 1,4446 1,4469 1,4493 1,4516 1,4540 1,4563
4,3 1,4586 1,4609 1,4633 1,4656 1,4679 1,4702 1,4725 1,4748 1,4770 1,4793
4,4 1,4816 1,4839 1,4861 1,4884 1,4907 1,4929 1,4951 1,4974 1,4996 1,5019
4,5 1,5041 1,5063 1,5085 1,5107 1,5129 1,5151 1,5173 1,5195 1,5217 1,5239
4,6 1,5261 1,5282 1,5304 1,5326 1,5347 1,5369 1,5390 1,5412 1,5433 1,5454
4,7 1,5476 1,5497 1,5518 1,5539 1,5560 1,5581 1,5602 1,5623 1,5644 1,5665
4,8 1,5686 1,5707 1,5728 1,5748 1,5769 1,5790 1,5810 1,5831 1,5851 1,5872
4,9 1,5892 1,5913 1,5933 1,5953 1,5974 1,5994 1,6014 1,6034 1,6054 1,6074
                     
5,0 1,6094 1,6114 1,6134 1,6154 1,6174 1,6194 1,6214 1,6233 1,6253 1,6273
5,1 1,6292 1,6312 1,6332 1,6351 1,6371 1,6390 1,6409 1,6429 1,6448 1,6467
5,2 1,6487 1,6506 1,6525 1,6544 1,6563 1,6582 1,6601 1,6620 1,6639 1,6658
5,3 1,6677 1,6696 1,6715 1,6734 1,6752 1,6771 1,6790 1,6808 1,6827 1,6845
5,4 1,6864 1,6882 1,6901 1,6919 1,6938 1,6956 1,6974 1,6993 1,7011 1,7029
5,5 1,7047 1,7066 1,7084 1,7102 1,7120 1,7138 1,7156 1,7174 1,7192 1,7210
5,6 1,7228 1,7246 1,7263 1,7281 1,7299 1,7317 1,7334 1,7352 1,7370 1,7387
5,7 1,7405 1,7422 1,7440 1,7457 1,7475 1,7492 1,7509 1,7527 1,7544 1,7561
5,8 1,7579 1,7596 1,7613 1,7630 1,7647 1,7664 1,7681 1,7699 1,7716 1,7733
5,9 1,7750 1,7766 1,7783 1,7800 1,7817 1,7834 1,7851 1,7867 1,7884 1,7901
                     
6,0 1,7918 1,7934 1,7951 1,7967 1,7984 1,8001 1,8017 1,8034 1,8050 1,8066
6,1 1,8083 1,8099 1,8116 1,8132 1,8148 1,8165 1,8181 1,8197 1,8213 1,8229
6,2 1,8245 1,8262 1,8278 1,8294 1,8310 1,8326 1,8342 1,8358 1,8374 1,8390
6,3 1,8405 1,8421 1,8437 1,8453 1,8469 1,8485 1,8500 1,8516 1,8532 1,8547
6,4 1,8563 1,8579 1,8594 1,8610 1,8625 1,8641 1,8656 1,8672 1,8687 1,8703
6,5 1,8718 1,8733 1,8749 1,8764 1,8779 1,8795 1,8810 1,8825 1,8840 1,8856
6,6 1,8871 1,8886 1,8901 1,8916 1,8931 1,8946 1,8961 1,8976 1,8991 1,9006
6,7 1,9021 1,9036 1,9051 1,9066 1,9081 1,9095 1,9110 1,9125 1,9140 1,9155
6,8 1,9169 1,9184 1,9199 1,9213 1,9228 1,9242 1,9257 1,9272 1,9286 1,9301
6,9 1,9315 1,9330 1,9344 1,9359 1,9373 1,9387 1,9402 1,9416 1,9430 1,9445
                     
7,0 1,9459 1,9473 1,9488 1,9502 1,9516 1,9530 1,9544 1,9559 1,9573 1,9587
7,1 1,9601 1,9615 1,9629 1,9643 1,9657 1,9671 1,9685 1,9699 1,9713 1,9727
7,2 1,9741 1,9755 1,9769 1,9782 1,9796 1,9810 1,9824 1,9838 1,9851 1,9865
7,3 1,9879 1,9892 1,9906 1,9920 1,9933 1,9947 1,9961 1,9974 1,9988 2,0001
7,4 2,0015 2,0028 2,0042 2,0055 2,0069 2,0082 2,0096 2,0109 2,0122 2,0136
7,5 2,0149 2,0162 2,0176 2,0189 2,0202 2,0215 2,0229 2,0242 2,0255 2,0268
7,6 2,0281 2,0295 2,0308 2,0321 2,0334 2,0347 2,0360 2,0373 2,0386 2,0399
7,7 2,0412 2,0425 2,0438 2,0451 2,0464 2,0477 2,0490 2,0503 2,0516 2,0528
7,8 2,0541 2,0554 2,0567 2,0580 2,0592 2,0605 2,0618 2,0631 2,0643 2,0656
7,9 2,0669 2,0681 2,0694 2,0707 2,0719 2,0732 2,0744 2,0757 2,0769 2,0782
                     
8,0 2,0794 2,0807 2,0819 2,0832 2,0844 2,0857 2,0869 2,0882 2,0894 2,0906
8,1 2,0919 2,0931 2,0943 2,0956 2,0968 2,0980 2,0992 2,1005 2,1017 2,1029
8,2 2,1041 2,1054 2,1066 2,1078 2,1090 2,1102 2,1114 2,1126 2,1138 2,1150
8,3 2,1163 2,1175 2,1187 2,1199 2,1211 2,1223 2,1235 2,1247 2,1258 2,1270
8,4 2,1282 2,1294 2,1306 2,1318 2,1330 2,1342 2,1353 2,1365 2,1377 2,1389
8,5 2,1401 2,1412 2,1424 2,1436 2,1448 2,1459 2,1471 2,1483 2,1494 2,1506
8,6 2,1518 2,1529 2,1541 2,1552 2,1564 2,1576 2,1587 2,1599 2,1610 2,1622
8,7 2,1633 2,1645 2,1656 2,1668 2,1679 2,1691 2,1702 2,1713 2,1725 2,1736
8,8 2,1748 2,1759 2,1770 2,1782 2,1793 2,1804 2,1815 2,1827 2,1838 2,1849
8,9 2,1861 2,1872 2,1883 2,1894 2,1905 2,1917 2,1928 2,1939 2,1950 2,1961
                     
9,0 2,1972 2,1983 2,1994 2,2006 2,2017 2,2028 2,2039 2,2050 2,2061 2,2072
9,1 2,2083 2,2094 2,2105 2,2116 2,2127 2,2138 2,2148 2,2159 2,2170 2,2181
9,2 2,2192 2,2203 2,2214 2,2225 2,2235 2,2246 2,2257 2,2268 2,2279 2,2289
9,3 2,2300 2,2311 2,2322 2,2332 2,2343 2,2354 2,2364 2,2375 2,2386 2,2396
9,4 2,2407 2,2418 2,2428 2,2439 2,2450 2,2460 2,2471 2,2481 2,2492 2,2502
9,5 2,2513 2,2523 2,2534 2,2544 2,2555 2,2565 2,2576 2,2586 2,2597 2,2607
9,6 2,2618 2,2628 2,2638 2,2649 2,2659 2,2670 2,2680 2,2690 2,2701 2,2711
9,7 2,2721 2,2732 2,2742 2,2752 2,2762 2,2773 2,2783 2,2793 2,2803 2,2814
9,8 2,2824 2,2834 2,2844 2,2854 2,2865 2,2875 2,2885 2,2895 2,2905 2,2915
9,9 2,2925 2,2935 2,2946 2,2956 2,2966 2,2976 2,2986 2,2996 2,3006 2,3016

 

II.

Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным 

(таблица умножения на М = log е = 0,4342945…)

  0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 0,0000 4,3430 8,6859 13,0288 17,3718 21,7147 26,0577 30,4006 34,7436 39,0865
1 0,4343 4,7772 9,1202 13,4631 17,8061 22,1490 26,4920 30,8349 35,1779 39,5208
2 0,8686 5,2115 9,5545 13,8974 18,2404 22,5833 26,9263 31,2692 35,6122 39,9551
3 1,3029 5,6458 9,9888 14,3317 18,6747 23,0176 27,3606 31,7035 36,0464 40,3894
4 1,7372 6,0801 10,4231 14,7660 19,1090 23,4519 27,7948 32,1378 36,4807 40,8237
5 2,1715 6,5144 10,8574 15,2003 19,5433 23,8862 28,2291 32,5721 36,9150 41,2580
6 2,6058 6,9487 11,2917 15,6346 19,9775 24,3205 28,6634 33,0064 37,3493 41,6923
7 3,0401 7,3830 11,7260 16,0689 20,4118 24,7548 29,0977 33,4407 37,7836 42,1266
8 3,4744 7,8173 12,1602 16,5032 20,8461 25,1891 29,5320 33,8750 38,2179 42,5609
9 3,9086 8. 2516 12,5945 16,9375 21,2804 25,6234 29,9663 34,3093 38,6522 42,9952

 

III. Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным

(таблица умножения на i = In 10 = 2,302585)

  0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 0,0000 23,026 46,052 69,078 92,103 115,129 138,155 161,181 184,207 207,233
1 2,3026 25,328 48,354 71,380 94,406 117,431 140,458 163,484 186,509 209,535
2 4,6052 27,631 50,657 73,683 96,709 119,734 142,760 165,786 188,812 211,838
3 6,9078 29,934 52,959 75,985 99,011 122,037 145,062 166,089 191,115 214,140
4 9,2103 32,236 55,262 78,288 101,314 124,340 147,365 170,391 193,417 216,443
5 11,513 34,539 57,565 80,590 103,616 126,642 149,668 172,694 195,720 218,746
6 13,816 36,841 59,867 82,893 105,919 128,945 151,971 174,997 198,022 221,048
7 16,118 39,144 62,170 85,196 108,221 131,247 154,273 177,299 200,325 223,351
8 18,421 41,447 64,472 87,498 110,524 133,550 156,576 179,602 202,627 225,653
9 20,723 43,749 66,775 89,801 112,827 135,853 158,878 181,904 204,930 227,956

_______________

Источник информации: Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006.

Десятичные и натуральные логарифмы: определения, свойства и примеры

  1. Десятичный логарифм и его свойства
  2. Натуральный логарифм и его свойства
  3. Примеры

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию 10 называют десятичными.
Для десятичных логарифмов принято специальное обозначение: \begin{gather*} \log_{10}x\overset{def}{=}\lg x \end{gather*}

Основание десятичных логарифмов \(10\gt 1\), поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Но у десятичных логарифмов есть также целых ряд дополнительных свойств, благодаря которым в докомпьютерную эпоху они широко использовались для трудоемких вычислений. Роль калькулятора тогда выполняли логарифмическая таблица и логарифмическая линейка.

Целая часть десятичного логарифма \([\lg x]\) называется характеристикой, а дробная часть \(\left\{\lg x\right\}\) – мантиссой. n\)
характеристика равна порядку числа \([\lg b]=n\), мантисса \(\left\{\lg b\right\}=\lg a\)

О стандартном виде числа, см. §41 справочника для 8 класса.

Например:

Число
b
Стандартный
вид
Характеристика Мантисса
b
Унифицированная
запись
Логарифм
числа
\(\lg b\)
420 4,2·102 2 0,623 2,623 2,623
42 4,2·101 1 0,623 1,623 1,623
4,2 4,2 2 0 0,623 0,623
0,42 4,2·10–1 –1 0,623 \(\overline{1},623\) –0,377
0,042 4,2·10–2 –2 0,623 \(\overline{2},623\) –1,377

\(\lg 4,2\approx 0. 623\)

Если использовать унифицированную запись, как в представленной таблице, то мантисса всегда лежит в промежутке \(0\lt \lg a\lt 1\). У чисел, отличающихся только порядком, мантисса одинакова. Можно составить таблицы мантисс и пользоваться ими для умножения и деления, «разбавляя» их несложным сложением и вычитанием целых характеристик по необходимости.

Первые таблицы логарифмов были изданы в 1617 году оксфордским математиком Бригсом. Таблицы пересчитывались, дополнялись и переиздавались вплоть до 70-х гг. ХХ века, когда на столах стали появляться калькуляторы.
Таблицы Брадиса, которыми по традиции пользуются наши школьники с 1921 года, издаются до сих пор и постепенно перекочевывают в Интернет.

Непосредственная связь десятичных логарифмов с десятичной системой исчисления делает их удобным инструментом для оценки порядка числа и сравнения чисел.

В практике приближенных вычислений используется следующая оценочная таблица:

\(\lg 1\)

\(\lg 2\)

\(\lg 3\)

\(\lg 4\)

\(\lg 5\)

\(\lg 8\)

0

0,3

0,5

0,6

0,7

0,9

Относительная погрешность этих приближений (кроме \(\lg 3)\) \(\delta\sim 0,5\text{%}\)

Например:
Сравним \(\log_23\) и \(log_5⁡8\)
Сравнивая с помощью оценки, получаем: \begin{gather*} \log_23=\frac{\lg 3}{\lg 2}\approx\frac{0,5}{0,3}=\frac53,\ \ \log_58=\frac{\lg 8}{\lg 5}\approx\frac{0,9}{0,7}=\frac97\\ \frac{35}{21}\gt \frac{27}{21}\Rightarrow \frac53\gt \frac97\Rightarrow\log_23\gt\log_58 \end{gather*}

п.

{3} = 1000; \cdots$

Будем говорить, что эти числа представляются единицей с нулями (с последующими нулями, если $n > 0$, и с предшествующими нулями, если $n

Десятичный логарифм числа, представляемого единицей с нулями, равен числу нулей в этом числе, если оно есть единица с последующими нулями, и числу нулей с противоположным знаком, если оно есть единица с предшествующими нулями.

Например:

$lg 0,0001=-4, lg 0,01=-2, lg 1000 = 3, lg 1000000 = 6$.

Десятичный логарифм любого числа, не равного целой степени десяти, является числом дробным (вообще говоря, иррациональным).

Напомним, что всякое число (рациональное или иррациональное) однозначно разлагается на сумму своей целой части и дробней части. При этом целой частью данного числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного; дробная часть любого числа заключена между нулем и единицей:

$3,176 = 3 + 0,176; — 2,143 = — 3 + 0,857 = \overline{3},857$. {-3} \leq 0,0032 $\cdots \cdots$

Неравенства (3) показывают, что

$- l \leq lg N

т. е. характеристика логарифма $lg N$ равна $-l$.

Итак, характеристика десятичного логарифма положительного числа, меньшего единицы, равна взятому со знаком минус числу нулей в данном числе, предшествующих первой значащей цифре, включая и нуль целых.

Например:
$lg 0,3052 = \overline{1}, \cdots; lg 0,0587 = \overline{2} \cdots; lg 0,0096 = \overline{3}, \cdots$

Мы выяснили, что характеристика десятичного логарифма числа определяется непосредственно по виду самого числа, если оно целое или представлено в виде десятичной дроби. Для определения характеристики, таким образом, не нужны никакие вычисления (и таблицы). Что же касается мантиссы, то она, как правило, берется из таблиц (например, из таблиц Брадиса). При этом следует пользоваться одним замечательным свойством мантиссы: если в логарифмируемом числе перенести запятую на любое количество знаков влево или вправо, то мантисса десятичного логарифма от этого не изменится (изменится только характеристика логарифма). {4} = 4$.

Log Values ​​От 1 до 10

В математике логарифмирование является наиболее удобным способом выражения больших чисел. Определение логарифма можно сформулировать как степень, в которую нужно возвести любое число, чтобы получить некоторые значения. Логарифмы также называют процессом, обратным возведению в степень. В этой статье; мы изучим логарифмические функции, свойства логарифмических функций, таблицу значений журнала, значения журнала от 1 до 10 для основания журнала 10, а также значения журнала от 1 до 10 для основания журнала e.

Логарифмические значения важны в математике и других связанных предметах, таких как физика. Студенты должны обратиться к значениям журнала для нахождения различных сумм, связанных с логарифмами. Значение log 1 по основанию 10 равно нулю. Значения журнала можно определить с помощью функции логарифмирования. Существуют различные типы логарифмических функций. Функции журнала полезны для поиска длинных вычислений и экономии времени. Использование логарифмической функции также упрощает решение сложной задачи. Используя логарифмические функции, учащиеся могут сократить операции от умножения до сложения и от деления до вычитания. Прочтите здесь, чтобы узнать больше о функциях логарифмирования.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная возведению в степень.

Функция логарифмов задается как

F(x) = loga x

Здесь основание логарифма равно a. Его можно прочитать как логарифмическую базу x. Наиболее часто используемые функции логарифмирования по основанию 10 и основанию e.

 

Правила логарифмирования

Существуют некоторые правила логарифмирования, и учащиеся должны знать эти правила для решения вопросов. Правила приведены здесь:

Логарифмическая функция с основанием 10 известна как функция десятичного логарифма. Он выражается как log10.

F(x) =log10 x

Логарифмическая функция по основанию e известна как функция натуральных логарифмов. Выражается как loge.

F(x) = loge x

  • Правило произведения

В правиле произведения два числа будут умножены на одно и то же основание, а затем будут добавлены степени.

Logb MN = Logb M + Logb N

  • Правило частного

В правиле частного два числа будут разделены по одному основанию, а затем будут вычтены степени, Logb M/N = Logb M — Logb N 

  • Степенное правило

В степенном правиле выражения степени возводятся в степень, а затем степени умножаются.

Logb Mp = P logb M

  • Правила нулевого порядка

Loga = 1

  • Изменение базового правила

Logb (x) = in x/ In b или logb (x) = log10 x / log10 bЗначение от Log 1 до log 10 для Log Base 10 Таблица

Log Таблица от 1 до 10 для Log Base 10

9192 9189

Common log to a number (log10X)

Log Values ​​

Log 1

0

Log 2

0,3010

Log 3

0. 4771

Log 4

0.6020

Log 5

0.6989

Log 6

0,7781

log 7

0,8450

Log 8

0,9030

0,9030

0,9030

0,9030

0,9030

0,9030

0,9030

.0083

log 9003

0,9542

log 10

1

ЗДЕСЬ. ЗДЕСЬ ПРОДОЛЖЕНИЕ ВАМАЛЕВА.

Журнал Таблица с 1 по 10 для логарифмической базы E

Обычный логарифм до числа (Loge X)

LN0002 0

ln (2)

0.6

ln (3)

1.098612

ln (4)

1.386294

ln (5)

1.609438

ln (6)

1.7

ln (7)

1.

ln (8)

2. 079442

ln (9)

2.1

ln (10)

2.302585

В соответствии с определением логарифмической функции logan=x можно записать в виде экспоненциальной функции:

Тогда ax = b

Если значение log 1 не задано, вы можете взять основание равным 10. Таким образом, вы можно выразить как log 1 как log10 1.

Теперь, согласно определению логарифма, мы знаем значение a =10 и b =1. Таким образом,

Log 10 x = 1

Мы также можем записать это как:

10x= 1

Мы уже знаем, что все, что возведено в степень 0, равно 1. Таким образом, 10, возведенное в степень 0, покажет что приведенное выше выражение верно.

Итак, 100 = 1

Это общее условие для базового значения log, и основание, возведенное в нулевую степень, даст вам значение 1.  

Это доказывает, что значение журнала 1 равно 0. 

 

Альтернативный метод поиска журнала 1 или записи по базе e?

Мы также можем найти логарифмическое значение 1

Log (b) = loge (b)

Таким образом, Ln(1) = loge(1)

Или ex = 1

∴ e0 = 1

Следовательно , Ln(1) = loge(1) = 0

 

Важные моменты, которые следует помнить

  • Учащиеся должны помнить несколько важных моментов, связанных с логарифмами. Некоторые важные моменты, которые следует помнить:

  • Индия была первой страной во 2 веке до нашей эры, которая использовала логарифм.

  • Обратный процесс логарифмирования также известен как возведение в степень

  • Если нужно выполнить теоретическую работу, лучше всего подойдут натуральные логарифмы. Их легко вычислить количественно.

  • Наиболее важным преимуществом использования логарифмов по основанию 10 является то, что их легко вычислить в уме для некоторых чисел. Например, логарифмическая база 10 из 1 00 000 равна 5, и вам нужно считать только нули.

Решенные примеры

  1. Решите следующее для значения x для log3 x = log34 + log37, используя свойства логарифма?

Решение: log3x = log34 + log37

= log34 + log37 = log3 (4 x 7) (с использованием правила сложения)

= log3(28)

Следовательно, x = 28

10 9003 Evalue : log1 – log 0

Решение: log1 – log 0 (дано)

Значение журнала 1 = 0 и значение журнала 0 = — ∞

Следовательно, log 1+ log 0 = 0-(-∞) = ∞

  1. Найдите значение log 2 (64)

Решение: x =64 (Дано)

Используя 90 Базовая формула,

Log 2 x = log 10 x/ log 10 2

= log 2 64 = log 10 64/ log 10 2 9000 2

= 64/ log 10 2 9000 2

= 1,80416 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80418 = 1,80416 = 1,80418 = 1,80416.

Quiz Time

1. Логарифмические функции являются обратной экспонентой

а. Стихи

б. Функции

c. Номера

д. Цифры

2. Как записать уравнение 53= 125 в логарифмической форме

a. Лог 3 (125) =5

б. Лог 125 (5) = 3

c. Лог 5 (125) = 3

д. Журнал 5 (3 = 124)

3. Чему будет равен лог 9, если лог 27 = 1,431?

а. 0,934

б. 0,945

в. 0,954

г. 0,958

Таблица десятичного логарифма

Таблица десятичного логарифма

Таблица десятичного логарифма



В таблице ниже перечислены десятичные логарифмы (с основанием 10) для числа от 1 до 10.

Логарифм выделен жирным шрифтом. Например, первая запись в третьем столбце означает, что общий логарифм 2,00 равен 0,3010300.

Примечание. Эта таблица довольно длинная, и ее загрузка может занять несколько секунд! Вы также можете скачать таблицу в виде электронной таблицы Excel. Печать в ландшафтном режиме на двух страницах должна дать удовлетворительные результаты.

48 65″ x:fmla=»=LOG(O6)-FLOOR(LOG(O6),1)»> 0,8481891 72E-3″ x:fmla=»=LOG(A7)»> 0,00259798 85 082192319765″ x:fmla=»=LOG(Q58)-FLOOR(LOG(Q58),1)»>339193″ x:fmla=»=LOG(E11)-FLOOR(LOG(E11),1)»> 0,3222193 27269″ x:fmla=»=LOG(G11)-FLOOR(LOG(G11),1)»> 0,450 87″ x:fmla=»=LOG(S43)-FLOOR(LOG(S43),1)»>09353″ x:fmla=»=LOG(S11)-FLOOR(LOG(S11),1)»> 0,95

21 39 07341″ x:fmla=»=LOG(Q31)-FLOOR(LOG(Q31),1)»> 0,9155 6188114″ x:fmla=»=LOG(Q41)-FLOOR(LOG(Q41),1)»> 0,9 08 20907″ x:fmla=»=LOG(Q64)-FLOOR(LOG(Q64),1)»> 0,99869
1.000 0,00000000     2,00 3,00 4,00 9624″ x:fmla=»=LOG(I1)-FLOOR(LOG(I1),1)»> 0,6020600 5,00 6,00 0,7781513 7,00 0,8450980 8,00 164374649943″ x:fmla=»=LOG(S34)-FLOOR(LOG(S34),1)»>54″ x:fmla=»=LOG(Q1)-FLOOR(LOG(Q1),1)»> 0,00 9,00 1,001 929E-4″ x:fmla=»=LOG(A2)»> 0,00043408     2,01 3,01 32″ x:fmla=»=LOG(C80)-FLOOR(LOG(C80),1)»>34″ x:fmla=»=LOG(G2)-FLOOR(LOG(G2),1)»> 0,4785665 4. 01 0,6031444 5,01 0,6998377 6.01 0,7788745 7,01 8.01 0,
  • 25
  • 9.01 82449″ x:fmla=»=LOG(M3)-FLOOR(LOG(M3),1)»>3″ x:fmla=»=LOG(S2)-FLOOR(LOG(S2),1)»> 0,
    1,002 0,00086772     2,02 3,02 291548″ x:fmla=»=LOG(S90)-FLOOR(LOG(S90),1)»>715063″ x:fmla=»=LOG(G3)-FLOOR(LOG(G3),1)»> 0,4800069 4,02 0,6042261 5,02 0,7007037 6,02 82449″ x:fmla=»=LOG(M3)-FLOOR(LOG(M3),1)»> 0,77 7,02 0,8463371 8.02 0,

    44
    9.02 1,003 2,03 289″ x:fmla=»=LOG(E4)-FLOOR(LOG(E4),1)»> 0,3074960 3,03 0,4814426 4,03 0,6053050 5,03 6,03 0,7803173 7,03 8.03 0,

    55
    9,03 1,004 0,00173371     2,04 3,04 0,4828736 4,04 0,6063814 5,04 0,7024305 6,04 7,04 1222″ x:fmla=»=LOG(O5)-FLOOR(LOG(O5),1)»> 0,8475727 8.04 0,60 9.04 1.005 0,00216606     2,05 3,05 8583″ x:fmla=»=LOG(G6)-FLOOR(LOG(G6),1)»> 0,4842998 4,05 0,6074550 5,05 6,05 0,7817554 7,05 8,05 59 9,05 719     2,06 3,06 0,4857214 4,06 0,6085260 5,06 6,06 0,7824726 7,06 0,8488047 8.06 0,50 9,06 1,007 536176745E-3″ x:fmla=»=LOG(A8)»> 0,00302947     2,07 3,07 0,4871384 4,07 5,07 3604″ x:fmla=»=LOG(K8)-FLOOR(LOG(K8),1)»> 0,7050080 6,07 3873768″ x:fmla=»=LOG(E14)-FLOOR(LOG(E14),1)»>25757″ x:fmla=»=LOG(M8)-FLOOR(LOG(M8),1)»> 0,7831887 7,07 8.07 0,35 9,07 1,008 2.08 3,08 0,4885507 4,08 0,6106602 5,08 » x:fmla=»=LOG(K9)-FLOOR(LOG(K9),1)»> 0,7058637 6,08 3491″ x:fmla=»=LOG(M9)-FLOOR(LOG(M9),1)»> 0,7839036 7,08 8.08 0,14 9,08 1,009 5E-3″ x:fmla=»=LOG(A10)»> 0,00389117     2,09 0,3201463 3,09 4,09 5,09 0,7067178 6,09 7,09 0,8506462 8,09 161227224″ x:fmla=»=LOG(Q10)-FLOOR(LOG(Q10),1)»> 0, 9,09 1,010 0,00432137 1.10 158225077E-2″ x:fmla=»=LOG(C11)-FLOOR(LOG(C11),1)»> 0,0413927 2.10 3,10 37E-3″ x:fmla=»=LOG(A21)»>6 4.10 5.10 6.10 0,7853298 7.10 0,8512583 8.10 0, 9.10 09027
    5427E-3″ x:fmla=»=LOG(A12)»> 0,00475116 1.11 2.11 3.11 4.11 0,6138418 5.11 0,7084209 6.11 0,7860412 7.11 8.11 0,90 9. 11 1,012 1,12 2,12 144″ x:fmla=»=LOG(E13)-FLOOR(LOG(E13),1)»> 0,3263359 3,12 4.12 5,12 0516348″ x:fmla=»=LOG(S52)-FLOOR(LOG(S52),1)»>60

    073″ x:fmla=»=LOG(K13)-FLOOR(LOG(K13),1)»> 0,70
    6,12 7,12 8.12 7529″ x:fmla=»=LOG(Q13)-FLOOR(LOG(Q13),1)»> 0,60 9.12 1,013 602798149E-3″ x:fmla=»=LOG(A14)»> 0,00560945 1,13 0,0530784 2,13 3,13 4,13 5,13 0,7101174 6,13 0,7874605 7,13 8.13 05 9.13 1.014 1,14 0,0569049 2,14 3,14 4,14 0,6170003 5,14 6,14 0,7881684 7,14 0,8536982 8.14 9.14 573383144″ x:fmla=»=LOG(S15)-FLOOR(LOG(S15),1)»> 0,
    62
    1,015 1,15 2,15 3,15 4,15 5,15 0,7118072 6,15 0,7888751 7,15 0,8543060 8,15 76 9,15 0159999999999982″ x:fmla=»=A16+0.001″> 1.016

    E-3″ x:fmla=»=LOG(A17)»> 0,00689371

    1,16 E-2″ x:fmla=»=LOG(C17)-FLOOR(LOG(C17),1)»> 0,0644580 2,16 0,3344538 3,16 4,16 5,16 6,16 7,16 8,16 02 9,16 1,017 1,17 0,0681859 2,17 3,17 4,17 5,17 6,17 0,72 7,17 8,17 0, 9,17 1,018 0,00774778 1,18 0,0718820 2,18 3,18 0,5024271 4,18 0,6211763 5,18 6,18 7,18 0,8561244 8,18 0,33 9,18 1,019 0,00817418 1,19 2,19 0,3404441 3,19 0,5037907 4,19 5,19 0,7151674 6,19 7,19 0,8567289 8,19 0, 9,19 1,020 1,20 2,20 0,3424227 3,20 4,20

    45″ x:fmla=»=LOG(I21)-FLOOR(LOG(I21),1)»> 0,6232493

    5,20 0,7160033 6,20 49825389″ x:fmla=»=LOG(M21)-FLOOR(LOG(M21),1)»> 0,77 7,20 8,20 0,39 9,20 1.021 E-3″ x:fmla=»=LOG(A22)»> 0,00

    4
    1,21 0,0827854 2,21 68511072″ x:fmla=»=LOG(E22)-FLOOR(LOG(E22),1)»> 0,3443923 3,21 0,5065050 4,21 5,21 6,21 6 7,21 8,21 9,21 1,022 5958″ x:fmla=»=LOG(M57)-FLOOR(LOG(M57),1)»>4E-3″ x:fmla=»=LOG(A23)»> 0,00 1,22 0,0863598 2,22 3,22 4,22 5,22 0,7176705 6,22 7,22 8,22 181754005042″ x:fmla=»=LOG(Q23)-FLOOR(LOG(Q23),1)»> 0,18 9,22 362934″ x:fmla=»=LOG(S23)-FLOOR(LOG(S23),1)»> 0,09
    1,023 0,00987563 1,23 31E-2″ x:fmla=»=LOG(C24)-FLOOR(LOG(C24),1)»> 0,0899051 2,23 0,3483049 3,23 3499999999999908″>2233110286″ x:fmla=»=LOG(G24)-FLOOR(LOG(G24),1)»> 0,50 4,23 0,6263404 5,23 0,7185017 6,23 7,23 8,23 983521226986″ x:fmla=»=LOG(Q24)-FLOOR(LOG(Q24),1)»> 0,98 9,23 1,024 1,24 7 2,24 0,3502480 3,24 0,5105450 4,24 7″ x:fmla=»=LOG(I25)-FLOOR(LOG(I25),1)»> 0,6273659 5,24 6,24 7,24 8,24 9,24 1,025 1,25 0,00 2,25 0,3521825 3,25 4,25 031049″ x:fmla=»=LOG(I26)-FLOOR(LOG(I26),1)»> 0,6283889 05

    » x:fmla=»=LOG(K26)-FLOOR(LOG(K26),1)»> 0,7201593
    6,25 7,25 0,8603380 8,25 004732038163″ x:fmla=»=LOG(Q27)-FLOOR(LOG(Q27),1)»>39» x:fmla=»=LOG(Q26)-FLOOR(LOG(Q26),1)»> 0, 9,25 1,026 1,26 2,26 0,3541084 3,26 » x:fmla=»=LOG(G27)-FLOOR(LOG(G27),1)»> 0,5132176 4,26 9910271788″ x:fmla=»=LOG(I27)-FLOOR(LOG(I27),1)»> 0,62 5,26 0,7209857 6,26 7,26 2599999999999891″> 8,26 9,26 » x:fmla=»=LOG(S27)-FLOOR(LOG(S27),1)»> 0,

    10

    1,027 1,27 2,27 3,27 0,5145478 4,27 0,6304279 5,27 0,7218106 54083071572″ x:fmla=»=LOG(M28)-FLOOR(LOG(M28),1)»> 0,75 7,27 0,8615344 8,27 9,27 1.028 1,28 2,28 3,28 0,5158738 0,6314438 5,28 381142″ x:fmla=»=LOG(K29)-FLOOR(LOG(K29),1)»> 0,7226339 6,28 7,28 8,28 033678487966″ x:fmla=»=LOG(Q29)-FLOOR(LOG(Q29),1)»> 0,03 9,28 1,029 0,01241537 1,29 113640179226″ x:fmla=»=LOG(S47)-FLOOR(LOG(S47),1)»>8″ x:fmla=»=LOG(C30)-FLOOR(LOG(C30),1)»> 0,1105897 2,29 0,3598355 3,29 4,29 5,29 0,7234557 6,29 0,7986506 7,29 8,29 102378411046″ x:fmla=»=LOG(Q32)-FLOOR(LOG(Q32),1)»>453055027303″ x:fmla=»=LOG(Q30)-FLOOR(LOG(Q30),1)»> 0, 9,29 28″ x:fmla=»=LOG(S30)-FLOOR(LOG(S30),1)»> 0,57
    1.030 0,01283722 1,30 230683679″ x:fmla=»=LOG(C31)-FLOOR(LOG(C31),1)»> 0,1139434 2,30 0,3617278 3,30 788619″ x:fmla=»=LOG(G31)-FLOOR(LOG(G31),1)»> 0,5185139 4,30 5,30 6,30 48102″ x:fmla=»=LOG(M31)-FLOOR(LOG(M31),1)»> 0,79 7,30 0,8633229 8.30 52E-2″ x:fmla=»=LOG(A34)»>80 9.30 » x:fmla=»=LOG(S31)-FLOOR(LOG(S31),1)»> 0,

    29

    0,01325867 1,31 2,31 3,31 71742″ x:fmla=»=LOG(G32)-FLOOR(LOG(G32),1)»> 0,5198280 4,31 0,6344773 5,31 99999999802″>08146821″ x:fmla=»=LOG(K32)-FLOOR(LOG(K32),1)»> 0,7250945 6,31 3365″ x:fmla=»=LOG(M32)-FLOOR(LOG(M32),1)»> 0,8000294 986″ x:fmla=»=LOG(O32)-FLOOR(LOG(O32),1)»> 0,8639174 8,31 9,31 1,032 1,32 2,32 0,3654880 3,32 0,5211381 4,32 0,6354837 29″ x:fmla=»=LOG(K33)-FLOOR(LOG(K33),1)»> 0,7259116 6,32 0,8007171 7,32 0,8645111 8,32 9,32 1235398084″ x:fmla=»=LOG(S33)-FLOOR(LOG(S33),1)»> 0,96
    1,033 1,33 2,33 3,33 0,5224442 4,33 5,33 0,7267272 6,33 0,8014037 7,33 8,33 9,33 0339999999999963″ x:fmla=»=A34+0.001″> 1,034 1,34 0,1271048 2,34 3,34 0,5237465 4,34 5,34 0,7275413 6,34 7,34 8,34 9,34 1,035 » x:fmla=»=LOG(O84)-FLOOR(LOG(O84),1)»> 1,35 2,35 0,3710679 3,35 0,5250448 4,35 5,35 0,7283538 6,35 7,35 0,8662873 8,35 9,35 1,036 651018″ x:fmla=»=LOG(E39)-FLOOR(LOG(E39),1)»>55E-2″ x:fmla=»=LOG(A37)»> 0,01535976 1,36 2,36 3,36 8984276″ x:fmla=»=LOG(G37)-FLOOR(LOG(G37),1)»> 0,5263393 4,36 8498″ x:fmla=»=LOG(I37)-FLOOR(LOG(I37),1)»> 0,63 5,36 21″ x:fmla=»=LOG(K37)-FLOOR(LOG(K37),1)»> 0,72 6,36 0,8034571 7,36 0,8668778 8,36 9,36 1,037 0,01577876 1,37 0,1367206 2,37 0,3747483 3,37 0,5276299 4,37 5,37 3699999999999903″> 6,37 3534979″ x:fmla=»=LOG(M38)-FLOOR(LOG(M38),1)»> 0,8041394 7,37 0,8674675 8,37 624″ x:fmla=»=LOG(E66)-FLOOR(LOG(E66),1)»>45″ x:fmla=»=LOG(Q38)-FLOOR(LOG(Q38),1)»> 0, 9,37 1,038 1,38 0,1398791 2,38 3799999999999901″> 3,38 0,5289167 4,38 0,6414741 5,38 0,7307823 6,38 0,8048207 7,38 0,8680564 8,38 9,38 1,039 1,39 0,1430148 2,39 3,39 4,39 0,6424645 5,39 0,7315888 6,39 0,8055009 7,39 8,39 9,39 1.040 78514E-2″ x:fmla=»=LOG(A41)»> 0,01703334 1,40 0,1461280 2,40 0,3802112 3,40 0,5314789 4,40 0,6434527 5,40 636180664″ x:fmla=»=LOG(C78)-FLOOR(LOG(C78),1)»>822» x:fmla=»=LOG(K41)-FLOOR(LOG(K41),1)»> 0,7323938 388652″ x:fmla=»=LOG(M41)-FLOOR(LOG(M41),1)»> 0,8061800 7,40 8,40 » x:fmla=»=LOG(I46)-FLOOR(LOG(I46),1)»> 9,40 1,041 1,41 1
    869977″ x:fmla=»=LOG(Q40)-FLOOR(LOG(Q40),1)»>
    2,41 0,3820170 3,41 4,41 5,41 6,41 7,41 8,41 59

    91161″ x:fmla=»=LOG(Q42)-FLOOR(LOG(Q42),1)»> 0,

    60 9,41 1,042 1,42 0,1522883 2,42 0,3838154 3,42 0,5340261 4,42 5,42 5499999999999901″>3838609″ x:fmla=»=LOG(K43)-FLOOR(LOG(K43),1)»> 0,7339993 6,42 0,8075350 7,42 0,8704039 8,42 9

    327292″ x:fmla=»=LOG(S48)-FLOOR(LOG(S48),1)»>209149

    9″ x:fmla=»=LOG(Q43)-FLOOR(LOG(Q43),1)»> 0, 9,42 1,043 0,01828431 1,43 0,1553360 0,3856063 3,43 4,43 0,6464037 5,43 6,43 7,43 0,8709888 8,43 9,43 9569968″ x:fmla=»=LOG(Q53)-FLOOR(LOG(Q53),1)»>32796″ x:fmla=»=LOG(S44)-FLOOR(LOG(S44),1)»> 0,17
    1,044 0,01870050 1,44 2,44 0,3873898 3,44 0,5365584 4,44 5,44 6,44 0,8088859 587811″ x:fmla=»=LOG(O45)-FLOOR(LOG(O45),1)»> 0,8715729 8,44 9,44 1,045 0,01 1,45 2,45 0,38 3,45 4,45 5,45 6,45 7,45 0,8721563 8,45 6708185″ x:fmla=»=LOG(Q46)-FLOOR(LOG(Q46),1)»> 0,67 9,45 1,046 1,46 0,1643529 710337742″ x:fmla=»=LOG(E47)-FLOOR(LOG(E47),1)»> 0,3 3,46 20070002″ x:fmla=»=LOG(O54)-FLOOR(LOG(O54),1)»>4″ x:fmla=»=LOG(G47)-FLOOR(LOG(G47),1)»> 0,53 4,46 5,46 6,46 45″ x:fmla=»=LOG(M47)-FLOOR(LOG(M47),1)»> 0,8102325 7,46 0,8727388 8,46 9569968″ x:fmla=»=LOG(Q53)-FLOOR(LOG(Q53),1)»>036303902298″ x:fmla=»=LOG(Q47)-FLOOR(LOG(Q47),1)»> 0,9569968″ x:fmla=»=LOG(Q53)-FLOOR(LOG(Q53),1)»>04 9,46 1,047 1,47 0,1673173 2,47 0 3,47 4,47 46999999999999″> 5,47 0,7379873 6,47 0,8109043 7,47 0,8733206 8,47 9,47 1,048 0,02036128 1,48 2,48 68082621457″ x:fmla=»=LOG(E49)-FLOOR(LOG(E49),1)»> 0,3 3,48 975″ x:fmla=»=LOG(G49)-FLOOR(LOG(G49),1)»> 0,5415792 4,48 0,6512780 5,48 0,7387806 6,48 0,8115750 7,48 46076″ x:fmla=»=LOG(O49)-FLOOR(LOG(O49),1)»> 0,8739016 8,48 » x:fmla=»=LOG(E56)-FLOOR(LOG(E56),1)»>585225671328″ x:fmla=»=LOG(Q49)-FLOOR(LOG(Q49),1)»> 0, 4799999999999898″> 9,48 1,049 625E-2″ x:fmla=»=LOG(A50)»> 0,02077549 1,49 0,1731863 2,49 3,49 4,49 0,6522463 5,49 6,49 7,49 8,49 9,49 1.050 5E-2″ x:fmla=»=LOG(A51)»> 0,02118930 1,50 0,1760913 2,50 3,50 0,5440680 0,6532125 5,50 11″ x:fmla=»=LOG(K51)-FLOOR(LOG(K51),1)»> 0,7403627 6,50 0,8129134 7,50 0,8750613 8,50 892571429219″ x:fmla=»=LOG(Q51)-FLOOR(LOG(Q51),1)»> 0,89 9,50 1,051 0,02160272 1,51 43″ x:fmla=»=LOG(C52)-FLOOR(LOG(C52),1)»> 0,1789769 2,51 3,51 0,5453071 4,51 5,51 0,7411516 6,51 0,8135810 7,51 8,51 5099999999999891″> 9,51 348″ x:fmla=»=LOG(S52)-FLOOR(LOG(S52),1)»> 0,

    05
    1.052 0.02201574 1,52 254″ x:fmla=»=LOG(C53)-FLOOR(LOG(C53),1)»> 0,1818436 2,52 0,4014005 3,52 0,5465427 4,52 0,6551384 5,52 772919809″ x:fmla=»=LOG(K53)-FLOOR(LOG(K53),1)»> 0,7419391 91952″ x:fmla=»=LOG(M53)-FLOOR(LOG(M53),1)»> 0,8142476 7,52 0,8762178 8,52 9569968″ x:fmla=»=LOG(Q53)-FLOOR(LOG(Q53),1)»> 0,96 9,52 1,053 0,02242837 1,53 0,1846914 2,53 0,4031205 3,53 0,5477747 0,6560982 5,53 0,7427251 6,53 0,8149132 7,53 8,53 9,53
    1,054 0,02284061 1,54 0,1875207 » x:fmla=»=LOG(E55)-FLOOR(LOG(E55),1)»> 0,4048337 3,54 0,54

    4,54 0,6570559 5,54 6,54 0,8155777 7,54 8,54 155690604″ x:fmla=»=LOG(K63)-FLOOR(LOG(K63),1)»>787068900454″ x:fmla=»=LOG(Q55)-FLOOR(LOG(Q55),1)»> 0, 9,54 1,055 1,55 0,1

    7
    2,55 3,55 0,5502284 4,55 5,55 12267544″ x:fmla=»=LOG(K56)-FLOOR(LOG(K56),1)»> 0,7442930 0,8162413 7,55 162918768″ x:fmla=»=LOG(O56)-FLOOR(LOG(O56),1)»> 0,8779470 8,55 9,55 0,9800034
    1,056 1,56 2,56 5599999999999898″> 3,56 4,56 5,56 0,7450748 6,56 7,56 8,56 9,56 0,9804579
    1,057 1,57 2,57 3,57 0,5526682 4,57 0,6599162 5,57 6,57 7,57 082192319765″ x:fmla=»=LOG(Q58)-FLOOR(LOG(Q58),1)»> 0, 9,57 684305″ x:fmla=»=LOG(S58)-FLOOR(LOG(S58),1)»> 0,9809119
    1,058 0,02448567 1,58 263″ x:fmla=»=LOG(C59)-FLOOR(LOG(C59),1)»> 0,1986571 2,58 3,58 0,5538830 4,58 0,6608655 5,58 799″ x:fmla=»=LOG(K59)-FLOOR(LOG(K59),1)»> 0,7466342 6,58 » x:fmla=»=LOG(M59)-FLOOR(LOG(M59),1)»> 0,8182259 7,58 8,58 9,58 0,9813655
    1,059 1,59 2,59 5899999999999901″> 3,59 4,59 0,6618127 5,59 0,7474118 6,59 21″ x:fmla=»=LOG(M60)-FLOOR(LOG(M60),1)»> 0,8188854 7,59 8,59 32 9,59 0,9818186
    0,02530587 1,60 0,2041200 2,60 3,60 0,5563025 4,60 0,6627578 5,60 0,7481880 6,60 7,60 0,8808136 845124356723″ x:fmla=»=LOG(Q61)-FLOOR(LOG(Q61),1)»> 0,85 9,60 1,061 0,02571538 1,61 0,2068259 2,61 0,4166405 3,61 0,5575072 4,61 5,61 6,61 7,61 0,8813847 8,61 9,61 0,9827234
    1,062 0,02612452 1,62 2,62 6199999999999899″> 3,62 0,5587086 4,62 5,62 6,62 7,62 8,62 9,62 0,9831751
    1,063 306757E-2″ x:fmla=»=LOG(A82)»>E-2″ x:fmla=»=LOG(A64)»> 0,02653326 1,63 2,63 3,63 0,5599066 4,63 5,63 6,63 0,8215135 7,63 6299999999999901″> 8,63 07
    08 9,63 0,9836263
    1,064 1,64 0,2148438 2,64 0,4216039 3,64 0,5611014 4,64 0,6665180 0,7512791 6,64 7,64 8,64 374247889274″ x:fmla=»=LOG(Q65)-FLOOR(LOG(Q65),1)»> 0,37 9,64 0,9840770
    1,065 1,65 6721541778″ x:fmla=»=LOG(S93)-FLOOR(LOG(S93),1)»>390627″ x:fmla=»=LOG(C66)-FLOOR(LOG(C66),1)»> 0,2174839 624″ x:fmla=»=LOG(E66)-FLOOR(LOG(E66),1)»> 0,4232459 3,65 0,5622929 4,65 5,65 6,65 0,8228216 7,65 0,8836614 8,65 610746481367″ x:fmla=»=LOG(Q66)-FLOOR(LOG(Q66),1)»> 0,61 9,65 1,066 0,02775720 1,66 0.2201081 2,66 0,4248816 3,66 75655″ x:fmla=»=LOG(M93)-FLOOR(LOG(M93),1)»>44″ x:fmla=»=LOG(G67)-FLOOR(LOG(G67),1)»> 0,5634811 4,66 0,6683859 5,66 0,7528164 6,66 7,66 8,66 9,66 1,067 1,67 0,2227165 2,67 0,4265113 3,67 0,5646661 0,66 5,67 0,7535831 6,67 0,8241258 7,67 8,67 9020971″ x:fmla=»=LOG(Q68)-FLOOR(LOG(Q68),1)»> 0,91 9,67 0,9854265
    1,068 1,68 0,2253093 2,68 3,68 0,5658478 4,68 0,6702459 5,68 0,7543483 6,68 0,8247765 7,68 0,8853612 8,68 006″ x:fmla=»=LOG(G80)-FLOOR(LOG(G80),1)»>

    764914″ x:fmla=»=LOG(Q69)-FLOOR(LOG(Q69),1)»> 0,

    9,68 0,9858754
    1,069 1,69 0,2278867 2,69 3,69 0,5670264 4,69 0,6711728 34″ x:fmla=»=LOG(K70)-FLOOR(LOG(K70),1)»> 0,7551123 6,69 0,8254261 7,69 0,8859263 8,69 4866597″ x:fmla=»=LOG(Q70)-FLOOR(LOG(Q70),1)»> 0,939″ x:fmla=»=LOG(M88)-FLOOR(LOG(M88),1)»>863408599″ x:fmla=»=LOG(I73)-FLOOR(LOG(I73),1)»> 0,6739420 7 1 8 33 9 6 8 1 6 9 1 31 2 29 68

    Следствием этого является то, что если мы хотим найти частное двух чисел, мы можем сделать это без деления. Вместо этого мы вычитаем логарифм делителя из логарифма делимого и берем антилогарифм результата. В качестве примера, давайте использовать те же числа, которые мы использовали раньше, но на этот раз мы будем разделить число пятьсот сорок семь на число двести тридцать девять (547 ÷ 239).

    Если вы используете программу-калькулятор, встроенную в Microsoft Windows, получите журнал по основанию десять числа пятьсот сорок семь и сохраните его в памяти калькулятора, как вы это делали раньше (убедитесь, что вы очистили память, прежде чем начать ). На этот раз мы хотим вычесть логарифм двести тридцать девять из значения, сохраненного в памяти. Еще раз очистите дисплей, а затем введите следующую последовательность клавиш:


    Возьмите общий журнал 239 и вычтите его из памяти


    Нажмите кнопку «Очистить» еще раз, чтобы очистить дисплей, затем нажмите кнопку «Вызов из памяти». Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:


    В памяти хранится разница lg(547) и lg(239).)


    Чтобы получить ответ, нам нужно только взять антилогарифм значения, которое сейчас хранится в памяти калькулятора. Убедитесь, что значение, которое вы извлекли из памяти, все еще отображается на дисплее, и нажмите кнопку «10 x ». Теперь ваш дисплей должен выглядеть так:


    Нажмите на кнопку «антилог», чтобы получить результат


    Это действительно правильный ответ (547 ÷ 239= 2,289). Как и при умножении с использованием логарифмов, мы упростили процесс деления. На этот раз процесс был сокращен до одного вычитания. Итак, найдите логарифмы делимого и делителя, вычтите логарифм делителя из логарифма делимого, найдите антилогарифм, и вы получите ответ.

    Этот метод работает одинаково хорошо для нескольких операций деления в одном выражении, но вы должны быть осторожны с порядком вычисления (деление, в отличие от умножения, не является ни коммутативный или ассоциативный ). Рассмотрим следующее выражение:

    336 ÷ 16 ÷ 4 = 5,25

    Порядок операций здесь слева направо, так как задействованы только операции деления. Два делителя можно поменять местами, не влияя на результат, но делимое (336) должно стоять в левой части выражения, а первая операция деления всегда должна выполняться перед второй. Оба приведенных ниже выражения дают результаты, отличные от приведенного выше выражения. Они также дают разные результаты друг от друга, как вы можете видеть.

    336 ÷ (16 ÷ 4) = 84

    336 ÷ (4 ÷ 16) = 1344

    Это выражение, с другой стороны, дает нам тот же результат, что и исходное выражение:

    336 ÷ 4 ÷ 16 = 5,25

    Исходный расчет можно провести с помощью логарифмов следующим образом:

    Журнал 10 336 — Журнал 10 16 — Журнал 10 4 = Лог 10 (336 ÷ 16 ÷ 4) = Лог 10 5,25

    Когда я делаю это вычисление с помощью логарифмов на калькуляторе Windows, я получаю правильный результат, как показано ниже.


    Ожидаемый результат (5.25) достигнут


    Третий закон логарифмов

    [Вернитесь к началу страницы]

    Третий закон логарифмов гласит, что логарифм числа, возведенного в степень, можно найти, умножив логарифм основания на 9. 5705 показатель степени (т.е. степень, в которую нужно возвести основание). Формально это выражается так:

    бревно б ( м н ) = н бревно б ( м )

    Процесс возведения в степень (возведение основания в степень) сводится к умножению. Умножаем логарифм основания на показатель степени и берем антилогарифм результата. В качестве примера, давайте воспользуемся логарифмами по основанию десяти, чтобы найти значение 9.5705 сто двадцать три в степени пять (123 5 ). Если вы используете калькулятор, встроенный в Windows, получите логарифм по основанию десять из сто двадцать три и умножьте его на пять, используя следующую последовательность клавиш:


    Возьмите логарифм 123 и умножьте его на 5.


    Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:


    Результат умножения lg(123) на 5


    Чтобы получить ответ, мы просто возьмем антилогарифм значения на дисплее, нажав на кнопку «10 x ». Теперь ваш дисплей должен выглядеть так:


    Используйте кнопку «антилог», чтобы получить требуемый результат


    Это действительно правильный ответ (123 5 = 28 153 056 843). Третий закон логарифмов также можно применить к нахождению корней, поскольку корень — это, по сути, число, возведенное в степень, которая является рациональным (то есть дробным) числом. Это отношение можно выразить следующим образом:

    n a   =   a 1 / n

    В переводе на слова это означает, что n -й корень из a равен a , возведенному в степень на единицу над n . Помните, однако, что третий закон логарифмов гласит, что логарифм числа, возведенного в степень, можно найти, умножив логарифма основания на показатель степени 9.5708 . Следовательно, чтобы найти логарифм n -го корня числа a , мы просто возьмем логарифм a и умножим его на  1 / n . Алгебраически это можно выразить так:


    9,69 0,9863238
    1,070 77685206513E-2″ x:fmla=»=LOG(A71)»> 0,028 1,70 2,70 0,4313638 3,70 0,5682017 4,70 653″ x:fmla=»=LOG(I71)-FLOOR(LOG(I71),1)»> 0,6720979 5,70 0,7558749 6,70 0,8260748 7,70 0,8864907 8,70 925261861802″ x:fmla=»=LOG(Q71)-FLOOR(LOG(Q71),1)»> 0, 9,70 0,9867717
    1.071 1,71 2,71 3,71 0
    4353″ x:fmla=»=LOG(G72)-FLOOR(LOG(G72),1)»> 0,56
    4,71 0,6730209 5,71 0,7566361 0,8267225 7,71 8,71 815500766217″ x:fmla=»=LOG(Q72)-FLOOR(LOG(Q72),1)»> 0,82 9,71 0,9872192
    1,072 1,72 0,2355284 2,72 0,4345689 18963″ x:fmla=»=LOG(G73)-FLOOR(LOG(G73),1)»> 0,5705429 4,72 705
    5,72 6,72 0,8273693 7,72 0,8876173 8,72 648493256623″ x:fmla=»=LOG(Q73)-FLOOR(LOG(Q73),1)»> 0,65 9,72 0,9876663
    659E-2″ x:fmla=»=LOG(A74)»> 0,03059972 1,73 0,2380461 2,73 0,4361626 3,73 0,5717088 4,73 0,6748611 5,73 6,73 7,73 7299999999999809″> 8,73 424370556874″ x:fmla=»=LOG(Q74)-FLOOR(LOG(Q74),1)»> 0,42 9.73 0,9881128
    1,074 0,03100428 1,74 0,2405492 2,74 0,4377506 3,74 0,5728716 4,74 0,6757783 5,74 6,74 7,74 8,74 143263440207″ x:fmla=»=LOG(Q75)-FLOOR(LOG(Q75),1)»> 0,14 9,74 1,075 0,03140846 1,75 0,2430380 2,75 6599999999999895″> 3,75 0,5740313 4,75 5,75 6,75 0,82
    7,75 0,88 8,75 9,75 0,98

    0,03181227 1,76 0,2455127 2,76 0,4409091 3,76 0,5751878 4,76 5,76 0,7604225 6,76 633666730349″ x:fmla=»=LOG(Q99)-FLOOR(LOG(Q99),1)»>5462″ x:fmla=»=LOG(M77)-FLOOR(LOG(M77),1)»> 0,8299467 0,8898617 8,76 9,76 1,077 1,77 2,77 3,77 0,5763414 4,77 0,6785184 0,7611758 6,77 0,8305887 7,77 0,8

    0
    8,77 6603956″ x:fmla=»=LOG(Q78)-FLOOR(LOG(Q78),1)»> 0,96 9,77 999999998″>71877216″ x:fmla=»=LOG(S78)-FLOOR(LOG(S78),1)»> 0,9898946
    1,078 0,03261876 1,78 0,2504200 07311″ x:fmla=»=LOG(E79)-FLOOR(LOG(E79),1)»> 0,4440448 3,78 0,5774918 4,78 10017″ x:fmla=»=LOG(K90)-FLOOR(LOG(K90),1)»> 5,78 0,7619278 6,78 06202″ x:fmla=»=LOG(M79)-FLOOR(LOG(M79),1)»> 0,8312297 7,78 8,78 451590610156″ x:fmla=»=LOG(Q79)-FLOOR(LOG(Q79),1)»> 0, 9,78 0,9

    9

    1,079 0,03302144 1,79 2,79 0,4456042 3,79 4,79 0,6803355 5,79 0,7626786 6,79 7,79 0,85 8,79 9,79 0,9
    1,080 112936764″ x:fmla=»=LOG(K98)-FLOOR(LOG(K98),1)»>6E-2″ x:fmla=»=LOG(A81)»> 0,03342376 1,80 0,2552725 2,80 0,4471580 80789″ x:fmla=»=LOG(G81)-FLOOR(LOG(G81),1)»> 0,57

    4,80 0,6812412 5,80 0,7634280 6,80 0,8325089 7,80 8,80 9,80 0,9
    1,081 306757E-2″ x:fmla=»=LOG(A82)»> 0,03382569 1,81 0,2576786 2,81 0,4487063 3,81 4,81 0,6821451 5,81 0,7641761 6,81 0,8331471 7,81 0,8 8,81 590841204693″ x:fmla=»=LOG(Q82)-FLOOR(LOG(Q82),1)»> 0,59 9,81 0
    1,082 0,03422726 1,82 0,2600714 2,82 0,4502491 3,82 0,5820634 0,6830470 5,82 0,7649230 6,82 0,8337844 7,82 0,8
    8,82 9,82 0,9 1,083 0,03462846 1,83 2,83 0,4517864 3,83 4,83 075151037″ x:fmla=»=LOG(I84)-FLOOR(LOG(I84),1)»> 0,6839471 5,83 0,7656686 6,83 0,8344207 7,83 8 8,83 8299999999999805″> 9,83 0,95
    1,084 0,03502928 1,84 2,84 0,4533183 3,84 0,5843312 4,84 0,6848454 5,84 0,7664128 0,8350561 7,84 8,84 226501307211″ x:fmla=»=LOG(Q85)-FLOOR(LOG(Q85),1)»> 0,23 9,84 1,085 1,85 0,2671717 2,85 0,4548449 9848″ x:fmla=»=LOG(G86)-FLOOR(LOG(G86),1)»> 0,5854607 4,85 0,6857417 5,85 0,7671559 6,85 0,8356906 7,85 8,85 06

    47″ x:fmla=»=LOG(Q86)-FLOOR(LOG(Q86),1)»> 0,

    9,85 0,03582983 1,86 6721541778″ x:fmla=»=LOG(S93)-FLOOR(LOG(S93),1)»>791633″ x:fmla=»=LOG(C87)-FLOOR(LOG(C87),1)»> 0,26 2,86 0,4563660 3,86 0,5865873 4,86 ​​ 0,6866363 5,86 6,86 0,8363241 7,86 8,86 9,86 0,9
    1,087 86290713E-2″ x:fmla=»=LOG(A88)»> 0,03622954 1,87 0,2718416 2,87 3,87 4,87 8699999999999797″> 5,87 0,7686381 6,87 7,87 8,87 9,87 02851185″ x:fmla=»=LOG(I91)-FLOOR(LOG(I91),1)»>152663″ x:fmla=»=LOG(S88)-FLOOR(LOG(S88),1)»> 0,9 1,088 1,88 0,2741578 0,45 3,88 0,5888317 4,88 0,6884198 5,88 0,76 6,88 0,8375884 7,88 8,88 9,88 1,089 1,89 0,2764618 2,89 3,89 4,89 0,68 5,89 6,89 0,8382192 00320941919″ x:fmla=»=LOG(O90)-FLOOR(LOG(O90),1)»> 0,80 8,89 9,89 1,090 1,90 2,90 3,90 0,5
    4,90 1 0,7708520 6,90 0,8388491 7,90 8,90 9,90 54912″ x:fmla=»=LOG(S91)-FLOOR(LOG(S91),1)»> 0,9

    2
    1,091 0,03782475 1,91 0,2810334 2,91 0,4638930 62″ x:fmla=»=LOG(G92)-FLOOR(LOG(G92),1)»> 0,5 4,91 » x:fmla=»=LOG(I92)-FLOOR(LOG(I92),1)»> 0,6 5 5,91 0,7715875 6,91 7,91 8,91 9,91 1,092 1,92 0,2833012 2,92 0,4653829 3,92 0,5 4,92 0971″ x:fmla=»=LOG(I35)-FLOOR(LOG(I35),1)»>1 5,92 0,7723217 6,92 7,92 4″ x:fmla=»=LOG(O93)-FLOOR(LOG(O93),1)»> 0,8987252 485437612206″ x:fmla=»=LOG(Q93)-FLOOR(LOG(Q93),1)»> 0,49 9,92 1,093 1,93 0,2855573 2,93 0,4668676 3,93 0,5 4,93 0,6 5,93 0,7730547 0,8407332 7,93 0,89 8,93 14588885455″ x:fmla=»=LOG(Q94)-FLOOR(LOG(Q94),1)»> 0,15 9,93 84

    36″ x:fmla=»=LOG(S94)-FLOOR(LOG(S94),1)»> 0,9


    2
    1,094 1,94 0,2878017 2,94 0,4683473 3,94 4,94 5,94 0,7737864 6,94 7,94 0,8998205 8,94 9,94 9999999895″ x:fmla=»=A95+0.001″> 1,095 0,03 1,95 0,26 009″ x:fmla=»=LOG(E96)-FLOOR(LOG(E96),1)»> 0,4698220 0
      45802″ x:fmla=»=LOG(G96)-FLOOR(LOG(G96),1)»> 0,5

      1
    99999999802″>2 854811″ x:fmla=»=LOG(K96)-FLOOR(LOG(K96),1)»> 0,7745170 0,8419848 0,

    71

    303531591095″ x:fmla=»=LOG(Q96)-FLOOR(LOG(Q96),1)»> 0,30 08074572457″ x:fmla=»=LOG(S96)-FLOOR(LOG(S96),1)»> 0,9
    1
    0,03981055 1,96 0,2 0,4712917 92551008″ x:fmla=»=LOG(G97)-FLOOR(LOG(G97),1)»> 0,52 67649019577″ x:fmla=»=LOG(I97)-FLOOR(LOG(I97),1)»> 0,67 3498″ x:fmla=»=LOG(K97)-FLOOR(LOG(K97),1)»> 0,7752463 6089″ x:fmla=»=LOG(M97)-FLOOR(LOG(M97),1)»> 0,8426092 0,
    8002426″ x:fmla=»=LOG(Q97)-FLOOR(LOG(Q97),1)»> 0,

    80
    0,9982593
    0,04020663 1,97 0,2
    0,4727564 0,5987905 38873333039″ x:fmla=»=LOG(I98)-FLOOR(LOG(I98),1)»> 0,64 112936764″ x:fmla=»=LOG(K98)-FLOOR(LOG(K98),1)»> 0,7759743 0,8432328 26″ x:fmla=»=LOG(O98)-FLOOR(LOG(O98),1)»> 0,

    83
    244304409105″ x:fmla=»=LOG(Q98)-FLOOR(LOG(Q98),1)»> 0,24 31165478″ x:fmla=»=LOG(S98)-FLOOR(LOG(S98),1)»> 0,9986952
    1,098 0,04060234 1,98 97999999999998″> 2,98 0,4742163 3,98 0,5998831 4,98 5,98 0,7767012 6,98 0,8438554 7,98 0,
    8,98 9,98 0,99 1,099 1,99 2,99 0,4756712 3,99 4,99 0,6981005 5,99 0,7774268 6,99 0,8444772 0,
    8,99 9,99 — Как использовать таблицу журнала?

    Таблица журнала (таблица логарифмов) используется для выполнения больших вычислений (умножения, деления, возведения в квадрат и извлечения корня) без использования калькулятора. Логарифм числа по данному основанию — это показатель степени, на которую нужно возвести это основание, чтобы получить исходное число. Например, если log₂16 = x, то 2 x = 16 и x = 4 удовлетворяют этому уравнению. Итак, log₂ 16 = 4. А как насчет log₂ 15? Если мы предположим, что log₂ 15 = x, то мы получим 2 x = 15, и мы не можем здесь найти значение x вручную. Таблица журналов помогает нам найти значение log₂ 15.

    В этой статье мы научимся пользоваться таблицей логарифмов. Давайте посмотрим, как найти логарифм числа с помощью таблицы журналов и как использовать журналы при выполнении вычислений, а также многие другие примеры.

    1. Что такое таблица журнала?
    2. Логарифм Таблица десятичных логарифмов
    3. Как использовать таблицу журнала?
    4. Использование таблицы журнала в расчетах
    5. Как использовать таблицу журналов для натуральных логарифмов?
    6. Часто задаваемые вопросы о таблице журнала

    Что такое таблица журнала?

    Таблица журнала для данного основания представляет собой таблицу логарифмов, которая используется для нахождения логарифма определенного числа по этому конкретному основанию. Существуют разные таблицы логарифмов для таких оснований, как 10, e (число Эйлера), 2 и т. д. Таблица логарифмов дает самый простой способ точно найти значение логарифма числа. Логарифмическая функция считается обратной экспоненциальной функции. В следующем разделе мы рассмотрим таблицу журнала десятичных логарифмов.

    Логарифм Таблица десятичных логарифмов

    Мы знаем, что логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм и может быть записан как log 10 (или) просто log. Ниже приведена общая таблица журнала (т. е. для базы 10). Это означает, что он может дать значение log x (которое также записывается как log 10 x) для любого x.

    Таблица журнала в основном имеет 3 типа столбцов:

    • Первый столбец называется «основной столбец» и имеет номера от 10 до 9.9 (все двузначные числа).
    • Второй набор столбцов называется «столбец различий» и показывает «различия» для цифр от 0 до 9.
    • Третий набор столбцов называется «столбец средних различий» и показывает средние различия от 1 до 9.

    Помимо этой таблицы, у нас есть таблицы журналов по основанию e (называемая таблицей натурального логарифма) и по основанию 2 (называемая таблицей двоичного логарифма).

    Как использовать таблицу журналов?

    Логарифм любого числа состоит из двух частей: характеристики и мантиссы . Эти две части всегда разделяются десятичной точкой. Например, log 23,78 = 1,3762, и здесь 1 называется характеристикой, а 3762 — мантиссом. т. е. в логарифме числа:

    • Целая часть (лежащая слева от запятой) называется характеристикой;
    • Десятичная (или) дробная часть (лежащая справа от запятой) называется мантисса.

    Этот сценарий будет другим, если характеристика отрицательная. Давайте посмотрим, как рассчитать каждый из них.

    Характеристика (положительная или отрицательная)

    Характеристикой логарифма числа является показатель степени 10 в его научном представлении. Так что характеристика может быть как положительной, так и отрицательной. Вот несколько примеров, чтобы понять, что характерно.

    Номер Научное обозначение Характеристика журнала номера
    23,78 2,378 × 10 1 1
    4,572 4,572 × 10 0 0
    552 5,52 × 10 2 2
    0,172 1,72 × 10 -1 -1
    0,0172 1,72 × 10 -2 -2

    Таким образом, характеристика логарифмирования числа не зависит от логарифмической таблицы. Вот несколько полезных советов по вычислению характеристики логарифма числа без фактического преобразования его в экспоненциальное представление.

    • Если число больше 1, то используют формулу: характеристика = количество знаков слева от запятой — 1.
    • Если число меньше 1, то используйте формулу: характеристика = — (количество нулей сразу после запятой + 1)

    Посмотрим те же примеры (что и в предыдущей таблице) и рассчитаем их характеристики с помощью этих подсказок.

    Если число > 1
    Номер Количество цифр слева от десятичной точки Характеристика
    23,78 2 2 — 1 = 1
    4,572 1 1 — 1 = 0
    552 (552,0) 3 3 — 1 = 2
    Если число < 1
    Номер Количество нулей сразу после запятой Характеристика
    0,172 0 — (0 + 1) = -1
    0,0172 1 — (1 + 1) = -2

    Мантисса (только положительная)

    Мантисса логарифма числа всегда положительна и находится с помощью таблицы журнала. Помните, что перед мантиссой всегда стоит десятичная точка. Вот шаги, чтобы найти мантиссу логарифма числа. Предположим, что мы пытаемся найти мантиссу логарифма числа 0,001724.

    • Шаг — 1: Найдите первую ненулевую цифру числа.
      В нашем случае первая ненулевая цифра 1.
    • Шаг — 2: Возьмите следующие 4 цифры из числа, полученного в шаге — 1 независимо от десятичной точки.
      Тогда получаем 1724.
    • Шаг — 3: В номере из Шаг — 2, первые две цифры вместе дают номер строки, а третья цифра дает номер столбца таблицы журнала. Определите значение из таблицы, лежащее на пересечении этой строки и столбца.
      Первые две цифры — 17, а третья цифра — 2. Таким образом, мы должны увидеть пересечение строки с номером 17 и столбца с номером 2.

      Тогда соответствующее число 2355.
    • Шаг — 4: Если в номере из Шаг — 2, нет 4 цифры, то само указанное выше число является мантиссом. Если есть цифра 4 , то мы должны искать среднюю разность (из таблицы журнала) той же строки, соответствующей 4 -я цифра .
      Число из Step — 2 равно 1724, а цифра 4 th равна 4. Итак, ищите среднюю разницу.

      Таким образом, соответствующая средняя разница равна 10,
    • .
    • Шаг — 5: Добавьте оба числа (из Шаг — 3 и Шаг — 4 ).
      2355 + 10 = 2365.
    • Шаг — 6: Просто добавьте перед числом десятичную точку, которая дает мантиссу.
      Мантисса журнала 0,001724 равна 0,2365.

    Вот таблица с мантиссом из тех же чисел (что и в предыдущей таблице).

    . .. . .
    Номер Четырехзначный номер Мантисса
    23,78 2378 3747+15 ⇒ 0,3762
    4,572 4572 6599+2 ⇒ 0,6601
    552 5520 7419+0 ⇒ 0,7419
    0,172 1720 2355+0 ⇒ 0,2355
    0,0172 1720 2355+0 ⇒ 0,2355

    Обратите внимание, что мы можем найти мантиссу, только если число из Шаг — 2 состоит либо из 4 цифр, либо менее 4 цифр. Если число из Step — 2 имеет менее 4 цифр (скажем, у нас 17), то запишем рядом с ним два нуля (запишем как 1700) и потом найдем мантиссу.

    Нахождение логарифма числа по таблице логарифмов

    Ниже приведены шаги для нахождения логарифма любого числа с помощью таблицы логарифмов.

    • Шаг — 1: Найдите его характеристику (здесь нет необходимости в таблице журнала).
    • Шаг — 2: Найдите его мантисса (используйте таблицу журнала).
    • Шаг — 3: Добавьте характеристику и мантиссу.

    Вот таблица примеров (см. предыдущие таблицы, чтобы увидеть вычисления характеристики и мантиссы), чтобы понять, как найти логарифм числа, используя таблицу десятичного логарифма.

    х Характеристика Мантисса журнал x
    (характеристика + мантисса)
    23,78 1 0,3762 1,3762
    4,572 0 0,6601 0,6601
    552 2 0,7419 2,7419
    0,172 -1 0,2355 -0,7645
    0,0172 -2 0,2355 -1,7645

    Мы также можем перепроверить результаты, полученные в последнем столбце, с помощью калькулятора.

    Использование таблицы журнала в расчетах

    Логарифмирование любого числа используется для выполнения утомительных вычислений, включающих умножение, деление и возведение в степень. Для выполнения этих операций мы используем следующие свойства логарифмов.

    • log (mn) = log m + log n
    • log (м/n) = log m — log n
    • лог м n = n лог м

    Давайте посмотрим, как использовать таблицу журнала в расчетах, используя следующую таблицу.

    Пример: Найти (17,56 × 3 7 ) / (4,75 × 2 4 ) с использованием таблицы логарифмов

    Решение:

    Шаги для выполнения этого вычисления с использованием таблицы логарифмов следующие:

    • 4 данного выражения, используя свойства логарифмов.
    • Шаг — 2: Найдите антилогарифм результата, полученного из Шаг — 1 , и это будет окончательный результат.

    Использование свойств логарифмов,

    log [(17.56 × 3 7 ) / (4.75 × 2 4 )]

    = log (17.56 × 3 7 ) — log (4.75 × 2 4 )

    = (log 17. 56 + лог 3 7 ) — (лог 4,75 + лог 2 4 )

    = лог 17,56 + 7 лог 3 — лог 4,75 — 4 лог 2

    Теперь с помощью таблицы логарифмов (вычисление характеристики, мантиссы и их сложение) ),

    = 1,2445 + 7 (0,4771) — 0,6767 — 4 (0,3010)

    = 2,7035

    Теперь вычислите антилогарифм этого числа, используя антилогарифмическую таблицу.

    Антилог (2,7035) (что равно 10 2,7035 ) = 505,24.

    Следовательно, [(17,56 × 3 7 ) / (4,75 × 2 4 )] приблизительно равно 505,24.

    Ответ, который мы получили с помощью таблицы логарифмов, будет очень близок к ответу из калькулятора. Попробуйте проверить.

    Как использовать таблицу журнала для натуральных логарифмов?

    На самом деле у нас есть отдельный набор логарифмических таблиц для натуральных логарифмов. Но если мы хотим вычислить натуральный логарифм числа (скажем, ln x), используя таблицы десятичных логарифмов, мы можем следовать следующей процедуре:0003

    • Мы знаем, что ln x есть не что иное, как log e  x. При изменении базового правила это можно записать как (log x) / (log e) = (log x) / (log 2,718) (поскольку e = 2,718).
    • Затем найдите log x и log 2,718 отдельно из таблицы десятичного логарифма и разделите результаты.

    Вот пример.

    Пример:  Каково значение ln 5?

    Решение: ln 5 = (log 5) / (log 2,718)

    = (0,6990) / (0,4343)

    ≈ 1,6095.

    Важные примечания к таблице журнала:

    • Таблицу журнала можно использовать для нахождения логарифма числа, если количество цифр после первой ненулевой цифры меньше или равно 4. Если количество цифр больше 4, мы просто игнорируем цифры, начиная с 5 й цифры и далее.
    • Логарифм числа состоит из двух частей: характеристики и мантиссы, а их сумма есть логарифм.
    • Характеристика может быть положительной или отрицательной.
    • Мантисса всегда должна быть положительной.
    • Если нам нужно найти логарифм по основанию (отличному от 10), то сначала используем изменение основания правила log b a = (log a) / (log b) и затем используем ту же таблицу общих журналов .

    Связанные темы:

    • Калькулятор журнала
    • Общий калькулятор журнала
    • Калькулятор натурального логарифма
    • Калькулятор научных обозначений

    Часто задаваемые вопросы о таблице журнала

    Как вычислить логарифм числа с помощью таблицы журнала?

    Для нахождения логарифма числа с использованием таблицы журнала :

    • найти характеристику
    • найти мантисса
    • просто добавьте их обоих.

    Как найти характеристику и мантиссу из таблицы журнала?

    Сумма характеристики и мантиссы числа дает логарифм этого числа.

    • Для нахождения характеристики не используйте таблицу журнала. Вместо этого запишите число в экспоненциальном представлении. Тогда показатель степени 10 будет характеристикой.
    • Для нахождения мантиссы запишите 4 цифры заданного числа (начиная с первой ненулевой цифры), игнорируя десятичную точку. Первые две цифры из этих четырех цифр – это номер строки, цифра 3  –  – номер столбца, а цифра 4   – это средняя разница. Просто найдите число в таблице журнала, которое находится в точке пересечения строки и столбца, и добавьте среднюю разницу 4 -я цифра той же строки к этому номеру. Это даст мантиссу.

    Как использовать таблицу журнала в расчетах?

    Мы можем использовать логарифмическую таблицу для выполнения очень сложных вычислений с использованием показателей степени, умножения и деления самым простым способом. Для выполнения любых расчетов:

    • Применить журнал к этому расчету.
    • Расширьте его, используя свойства логарифмов.
    • Найдите логарифм каждого числа, используя таблицу журнала.
    • Наконец, найдите антилог полученного числа.

    Люди все еще используют таблицу логарифмов?

    Да, люди до сих пор используют таблицы логарифмов, особенно когда калькулятор недоступен (или) запрещен (особенно в случае экзаменов). Используя логарифмическую таблицу, расчеты по математике можно выполнять очень быстро.

    Запись таблицы общего журнала от 1 до 10.

    Вот таблица общего журнала (лог 10 (или) просто журнал) от 1 до 10. Все ответы округлены до 4 знаков после запятой.

    Логарифм Значение
    журнал 1 0
    журнал 2 0,3010
    журнал 3 0,4771
    журнал 4 0,6020
    журнал 5 0,6989
    журнал 6 0,7781
    журнал 7 0,8450
    журнал 8 0,9030
    журнал 9 0,9542
    журнал 10 1

    Запись таблицы натурального логарифма От 1 до 10.

    Вот таблица натурального логарифма (logₑ (или) просто ln) от 1 до 10. Все результаты округлены до 4 знаков после запятой.

    Логарифм Значение
    стр. 1 0
    ряд 2 0,6931
    стр. 3 1,0986
    ряд 4 1,3862
    стр. 5 1,6094
    ряд 6 1,7917
    п 7 1,9459
    ряд 8 2,0794
    стр. 9 2.1972
    ряд 10 2,3025

    Для чего нужна таблица логарифмов?

    С помощью логарифмической таблицы мы можем очень легко выполнять математические вычисления со следующими операциями:

    • Экспоненты
    • Дивизион
    • Умножения

    Таблицы журналов все еще используются?

    Да, в некоторых странах есть экзамены (особенно связанные с математикой или физикой) до определенных оценок, на которых использование калькулятора запрещено. Тогда очень сложно делать какие-то большие вычисления без лог-таблицы.

    Как вычислить логарифм пятизначного числа с помощью таблицы журнала?

    Мантиссу логарифма числа можно найти только для четырехзначных чисел. Для более чем 4 цифр мы просто игнорируем цифры после 4-й цифры при поиске мантиссы. Но помните, что мы не игнорируем цифры при расчете характеристики. Например, чтобы найти журнал (1234.5):

    • Характеристика = количество цифр слева — 1 = 4 — 1 = 3.
    • Мантисса (см. строку с номером 12 и столбец с номером 3 в таблице журнала и добавьте среднюю разницу той же строки под номером 4) = 0,0913.
      Здесь мы проигнорировали цифру 5 th (которая равна 5) при вычислении мантиссы.
    • Добавьте их обоих. Тогда log (1234,5) = 3 + 0,0913 = 3,0913. Это не точное значение журнала, а приблизительное значение, поскольку мы проигнорировали последнюю цифру.

    Таблица журнала: таблица логарифмов с решенными примерами и вопросами

    • Автор Prince
    • Последнее изменение 25 июля 2022 г.
    • Автор Принц
    • Последнее изменение 25 июля 2022 г.

    Таблица журнала: В математике логарифм — это операция, обратная возведению в степень. Это означает, что логарифм числа — это показатель степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить это число. В простых случаях логарифм считает повторные умножения. Чтобы найти значение логарифмической функции, учащиеся должны использовать таблицу журнала. Таблица логарифмов очень эффективна при нахождении значения логарифмической функции.

    В Embibe мы предоставили бесплатный PDF-файл таблицы журнала на этой странице вместе с определением таблицы. Кроме того, мы подробно объяснили с иллюстрациями, как использовать таблицу логарифмов и процедуру использования таблицы антилогарифмов. Читайте дальше, чтобы узнать все о таблице журнала.

    Прежде чем мы предоставим вам таблицу логарифмов, из которой учащиеся получат все значения, давайте разберемся с концепцией логарифмической функции. Логарифмические функции обратны экспоненциальным функциям. Функция журнала определяется следующим образом:

    Для x, b > 0 и b≠1,
    f(x) = log b x, если x = b y
    ,

    Логарифм Функция по основанию ‘b’. Наиболее распространенными основаниями, используемыми в функциях журнала, являются основание e и основание 10.

    Десятичный логарифм [f(x) = log 10 x] : Логарифм по основанию 10 (то есть b = 10) называется десятичным логарифмом и имеет множество применений в науке и технике.

    Натуральный логарифм [f(x) = log e x] : Основанием натурального логарифма является число e ( ≈ 2,718 ). Его использование широко распространено в математике и физике из-за его более простой производной.

    Двоичный логарифм [f(x) = log 2 x] : Двоичный логарифм использует основание 2 (то есть b = 2) и обычно используется в информатике.

    Что такое характеристики и мантисса в логарифмической функции?

    Целая часть десятичного логарифма называется характеристикой , а дробная часть называется мантисса .

    Характеристика и мантисса

    Примечание: Часть мантиссы логарифма числа всегда остается положительной.

    Таким образом, журнал любого номера N будет иметь вид:

    logN = (Характеристика)⋅(Мантисса)
    N =
    анти логарифм (мантисса) × 10 Характеристика

    Таблица журнала Основание 10: Полная таблица журнала

    Здесь мы предоставили таблицу значений журнала для основания 10.


    Как использовать таблицу журнала?: пошаговый процесс с примером

    Чтобы найти логарифмическое значение числа с помощью логарифмической таблицы, учащиеся должны понимать процесс чтения логарифмической таблицы. Мы предоставили пошаговый процесс поиска значений на примере:

    Шаг 1: Определите таблицу. Для разных баз используется разная таблица журнала. Приведенная выше таблица предназначена для 10-кратного основания. Таким образом, вы можете найти логарифмическое значение числа только по основанию 10. Чтобы найти натуральные логарифмы или двоичные логарифмы, учащиеся должны будут использовать другую таблицу.

    Шаг 2: Найдите целую и десятичную части заданного числа. Предположим, мы хотим найти логарифмическое значение n = 18,25. Итак, прежде всего разделяем целое и десятичное.
    Целая часть: 18
    Десятичная часть: 25

    Шаг 3: Подойдите к общей таблице журнала и найдите значение ячейки на следующих пересечениях:
    Строка, помеченная первыми двумя цифрами n
    Заголовок столбца с третьей цифрой n

    ⇒ В этом примере log10(18,25) → строка 18, столбец 2 → значение ячейки 2601. Таким образом, полученное значение равно 2601.

    Шаг 4: Всегда используйте таблицу десятичного логарифма со средней разницей. Теперь снова перейдите к строке номер 18 и столбцу номер 5 (четвертая цифра n) в таблице разности средних.

    ⇒ В этом примере введите 10 (18,25) → строка 18, столбец средней разницы 5 → значение ячейки 12. Запишите соответствующее значение, равное 12.

    Шаг 5: Сложите оба значения, полученные на шаге 3 и шаге 4.
    То есть 2601 + 12 = 2613.

    Шаг 6: Найдите характеристическую часть. Методом проб и ошибок найдите целочисленное значение p такое, что p < n и a p+1 > n. Здесь а — основа, а р — характеристическая часть. Для обычных журналов (с основанием 10) просто подсчитайте количество цифр слева от десятичной дроби и вычтите единицу.

    Итак, характеристическая часть = (количество знаков слева от запятой – 1).
    В этом примере характеристика = 2 – 1
    = 1

    Шаг 7: Объедините характеристику и часть мантиссы, и учащиеся получат окончательное значение, равное 1,2613.

    Итак, log 10  (18,25) = 1,2613

    Свойства логарифмов

    Здесь мы представили все важные законы и свойства, связанные с логарифмами.

    Теорема 1 : Логарифм произведения двух чисел, скажем, a и b, равен сумме логарифмов двух чисел. Основание должно быть одинаковым для обоих чисел.

    Эта теорема также известна как правило произведения для логарифмов .

    Теорема 2 : Деление двух чисел есть антилог разности логарифма двух чисел.
    Другими словами, логарифм деления двух чисел, скажем, a и b, равен разности логарифмов этих двух чисел. Основание должно быть одинаковым для обоих чисел.

    Эта теорема также называется правилом частных для логарифмов .

    Теорема 3 : Логарифм числа по любому другому основанию может быть определен логарифмом того же числа по любому данному основанию.

      Теорема 4 : Логарифм числа, возведенного в степень, равен индексу степени, умноженному на логарифм числа. База у обоих одинаковая.

    Эта теорема также известна как правило степени для логарифмов 9.4741 .

    Итак, это 4 свойства логарифма. Студенты смогут переписать логарифмическое выражение, используя правило степени, правило произведения или правило частного для логарифмов.

    Таблица десятичных логарифмов от 1 до 10

    Найдите общие таблицы журналов с 1 по 10 ниже:

    Обычный логарифм для ряда ( log 10 X) Значения журнала 0086 0
    Log 2 0.3010
    Log 3 0.4771
    Log 4 0.6020
    Log 5 0.6989
    Log 6 0.7781
    Log 7 0.8450
    Log 8 0.9030
    Log 9 0. 9542
    Log 10 1


    Таблица натуральных логарифмов от 1 до 10

    Найдите таблицу натуральных логарифмических значений от 1 до 10 ниже:

    Natural Logarithm to a Number (log e x) Log Values ​​
    ln (1) 0
    ln (2) 0.6
    пер. (3) 1.098612
    пер. (4) 1.386294
    ln (5) 1.609438
    ln (6) 1.7
    ln (7) 1.
    ln (8) 2.079442
    ln (9 ) 2.1

    LN (10) 2,302585

    Получить формлы алгебры для классов 8 до 115708

    05.

    Решенные примеры для таблицы формул логарифмов

    Здесь мы предоставили некоторые примеры вопросов и ответов по таблицам журнала с 1 по 100:

    Question 1: Find the value of log 10  8.675
    Solution: The value can be obtained in the following steps:
    Step 1: Целое число = 8 и десятичное число = 675
    Шаг 2: Проверьте строку номер 86 ​​(первые две цифры заданного числа) и столбец номер 7 (третья цифра заданного числа). Таким образом, полученное значение равно 9380.
    Шаг 3: Проверяем значение средней разницы для строки номер 86 ​​и среднюю разницу в столбце 5. Значение, соответствующее строке и столбцу, равно 3.
    Шаг 4: Складываем значения, полученные на шагах 2 и 3, получаем 9383. Это часть мантиссы.
    Шаг 5: Поскольку количество цифр слева от десятичной части равно 1. Значит характеристическая часть = (Количество цифр слева от десятичной дроби – 1)
    = 0
    Шаг 6: Объединить характеристика и часть мантиссы. Таким образом, становится 0,9383.
    Следовательно, значение log 10  8,675 равно 0,9383.
    Вопрос 2: Найдите значение log (45,67), используя таблицу журналов.
    . свойство: log (a.b) = log a + log b]

    = log (4,567) + 1 [∵ log (10) = 1, для обычного log]

    Теперь найдем значение журнала (4,567).
    Найдите стандартную таблицу журнала. Перейдите к строке № 45 (первые две цифры n) и столбцу № 6 (третья цифра n).
    Запишите соответствующее значение, равное 0,6590.
    Теперь снова перейдите к строке номер 45 и столбцу номер 7 (четвертая цифра n) в таблице разности средних.
    Запишите соответствующее значение, равное 7.
    Теперь сложите два значения. Получаем: 0,6590 + 7 = 0,6597
    Это часть мантиссы.
    Так как мы используем общую логарифмическую таблицу, характеристика = (Количество знаков слева от запятой – 1)
    = (1 – 1) = 0
    ∴ Характеристика = 0
    Теперь объединим обе части, получим log (4,567) = 0,6597
    log (45,67) = log (4,567) + 1
    = 0,6597 + 1
    1,6597
    Therefore, the value of log (45.67) is 1.6597

    Question 3: Use a log table to evaluate the following logarithmic function:
    Solution: Мы можем решить значение N за 4 шага:
    Шаг 1 : Преобразуйте выражение для N в простые журналы.
    Шаг 2 : Оцените эти журналы с помощью таблицы журналов.
    Шаг 3 : Определите значение log N.
    Шаг 4 : Вычислите значение N, используя антилогарифм log N.
    Итак, logN = log(647⋅32×0,00000147 / 8,473×64) log(647⋅32) + log(0,00000147) − log(8,473) − log(64) [Используя правило произведения для логарифмов]

    Используя таблицу журналов, находим следующие значения:
    647,32 = 6,4732 × 10 2
    ⇒ log (647,32)
    = 2 + log (6,4732)
    = 2 + 0,8111
    = 2,8111
    0,00000147 = 1,47 × 10 -6
    3 ентал (0,000001,47). = -6 + 0,1673
    8,473 = 8,473 × 10 0
    ⇒ log (8,473) = 0,9280
    64 = 6,4 × 10 1
    ⇒ log (64) = 1 + log (6,4)
    ⇒ (64) = 1 + log (6,4)
    33333333 гг. = 2,8111 + (-6 + 0,1673) – 0,9280 – 1,8062
    = –5,7558
    = –5 – 0,7558
    = (–5 – 1) + 1 – 0,7558 [∵ Мантисса не может быть отрицательной, мы прибавили и вычли 1, чтобы получить это положительно]

    = –6 + 0,2442
    Теперь у нас есть характеристика = -6 и мантисса = 0,2442.
    Чтобы найти значение N, используем формулу:
    N = антилогарифм (мантисса) × 10 Характеристика
    = антилогарифм (0,2442) x 10 -6
    — 7 47 x 49 49 [Используя антилогарифмическую таблицу]

    ⇒ N = 1,7547 × 10 -6
    = 0,0000017547
    Следовательно, значение N равно 0,0000017547. Вы можете проверить значение с помощью калькулятора.

    Практические вопросы по таблице стандартных логарифмов

    Здесь мы предоставили некоторые практические вопросы по таблице математического журнала для практики:

    40940. 9000 9640 .

    0

    0
    В1: Найдите значения логарифмов по основанию 10 для следующих чисел, используя таблицу журналов:
    (i) 7,653
    (ii) 14,25
    (iii) 9,281

    В2: Если 4 1 3 + log 16 3 x 1 90 = 2 log 10  y, найдите x через y.

    Q3: Докажите, что 7 log (10/9) + 3 log (81/80) = 2log (25/24) + log 2.

    Q4: Если log 10  2 = 0,30103, log 10  3 = 0,47712 и log 4 = 108 9014 16 10 , Найдите значения :
    (i) log 10 45
    (II) log
    10 105

    0 105

    0

    44444444444444440

    6
    90 40.
    , оцените log 75 с точки зрения b и c.

    Антилогарифмическая таблица по математике

    Антилогарифмическая таблица иначе известна как Антилогарифмическая таблица. Антилогарифмическое число — это обратный метод поиска логарифма существующего или того же числа. Например, если а является логарифмом числа b по основанию х, то мы можем просто сказать, что b является антилогарифмом числа а по основанию х.

    Если log x  b = a                           , тогда b = antilog a

    Основание логарифма и антилогарифма равно 2,7183. Если основание логарифма и антилогарифма равно 10, их следует умножить на 2,303, чтобы получить натуральный логарифм и антилогарифм.

    Ознакомьтесь с другими важными статьями по математике:

    Часто задаваемые вопросы о таблице журнала

    Q. 1: Как вы рассчитываете журналы?
    Ответ:
    Степень, в которую необходимо возвести основание 10, чтобы получить число, называется десятичным логарифмом числа. Для расчета значений журнала мы используем таблицу математических логарифмов.

    Q.2: Как найти логарифм числа без калькулятора?
    Ответ: Логарифм числа можно найти без калькулятора, используя логарифмическую и математическую таблицы, представленные на этой странице.

    Q.3: Каково значение журнала от 1 до 10?
    Ответ: Лог 1 по основанию 10 равен 0.

    Q.4: Как вы читаете таблицу журнала?
    Ответ: Возьмите первые 2 цифры числа независимо от десятичной точки и найдите строку с этим числом. Далее ищем номер столбца, соответствующий третьей цифре числа. Вам также может понадобиться заглянуть в таблицу средних разностей, чтобы получить окончательное значение. На этой странице представлен пошаговый процесс чтения таблицы журнала.

    Q.5: Каково значение журнала 0?
    Ответ: Журнал 0 не определен. Это не настоящее число, потому что вы никогда не сможете получить ноль, возведя что-либо в степень чего-либо еще.

    Q.6: Каково значение e в натуральном логарифме?
    Ответ:
    e — иррациональное и трансцендентное число, приблизительно равное 2,7182.

    Практические вопросы по таблице журналов с советами и решениями

    Логарифмы

    Обзор

    [Вернитесь к началу страницы]

    Логарифм числа x является показателем степени (т. е. степенью) y , на который нужно возвести другое число (известное как по основанию , b ), чтобы получить x . Используемая основа может варьироваться в зависимости от области применения. В информатике часто используется основание два , в то время как в чистой математике и многих научных приложениях используется основание, известное как e (подробнее об этом позже).

    В технике и электронике часто используется основание десять , и, очевидно, оно хорошо подходит для использования с десятичной системой счисления. Например, логарифм по основанию десять числа одна тысяча будет равен три , потому что одна тысяча — это десять , возведенное в третью степень. Связь можно ясно увидеть, изучив следующие выражения:

    10 3 = 1000

    журнал 10 1000 = 3

    Это соотношение может быть выражено алгебраически следующим образом:

    б х = у

    log б у = х

    В приведенных выше выражениях значение основания b фиксировано в соответствии с областью применения, как мы уже упоминали, хотя возможно преобразование логарифмических выражений из одного основания в другое. В первом выражении x — это показатель степени (или индекс или степень ), который определяет, сколько экземпляров b будет перемножено вместе, чтобы получить результат y .

    Во втором выражении x является логарифмом по основанию b числа y . Ясно, что логарифм — это просто показатель степени, как мы уже сказали. Однако для заданного основания логарифмы позволяют очень кратко выразить очень большие значения. Чтобы проиллюстрировать этот момент, вот некоторые значения по основанию десяти, представленные в виде логарифмов:

    Значения по основанию 10 в виде логарифмов
    Значение Как 10 в степени Лог в основании 10
    1 10 9084  0
    10 10  1 1
    100 10  2 2
    1000 10  3 3
    10 000 10  4 4
    100 000 10  5 5
    1 000 000 10  6 6
    10 000 000 10  7 7
    100 000 000 10  8 8
    1 000 000 000 10  9 9

    Как видно из приведенной выше таблицы, увеличение логарифмического значения (по основанию десяти) всего лишь на представляет собой десятикратное увеличение представленного значения. Как мы увидим, это может быть очень полезной характеристикой, когда нам приходится иметь дело со значениями, которые могут простираться в очень большом диапазоне. Однако из таблицы также должно быть очевидно, что для заданного диапазона чисел (например, диапазона 9от 5705 один до десять ) потенциально бесконечное количество логарифмических значений потребуется для представления каждого возможного действительного числового значения в этом диапазоне.

    В действительности количество логарифмических значений, опубликованных в так называемых таблицах журнала , ограничено из-за практических ограничений. Это ограничение будет определять точность , с которой логарифмы могут использоваться для выполнения вычислений. Страница из книги логарифмических таблиц, написанной Джорджем Уильямом Джонсом и опубликованной в США примерно в 1889 году.воспроизводится ниже. Всю публикацию (всего около восьмидесяти страниц) можно загрузить в формате PDF из Калифорнийской цифровой библиотеки по адресу:

    http://www. archive.org/details/logarithmictable00jonerich


    Страница из книги логарифмических таблиц около 1889 г.


    Основополагающие принципы логарифмов были сформулированы сотни лет назад в результате исследований ряда математиков в течение длительного периода времени. Однако большая заслуга в привлечении внимания широкой аудитории к этим принципам принадлежит шотландскому математику Джону Нейпиру.

    Нейпир опубликовал свою работу о логарифмах в 1614 году и, таким образом, способствовал их широкому использованию для упрощения математических вычислений. Логарифмические значения были опубликованы в книгах, содержащих исчерпывающие таблицы, и простое механическое устройство, называемое логарифмической линейкой , можно было использовать для выполнения вычислений с использованием свойств логарифмов.

    Логарифмическая линейка была основана на различных устройствах скользящей шкалы, разработанных в начале 17 века, а ее изобретение в 1622 году приписывают английскому математику Уильяму Отреду. Действительно, логарифмическая линейка продолжала использоваться инженерами и учеными для выполнения расчетов вплоть до XIX века.70-х годов, когда он окончательно устарел с изобретением электронного калькулятора.

    Как и в случае с логарифмическими таблицами (которые также устарели из-за калькулятора), точность результатов, полученных с помощью логарифмической линейки, ограничивалась тем фактом, что относительно большие диапазоны чисел были представлены с использованием относительно небольшого количества делений, отмеченных на скользящих шкалах. Добавьте к этому ограничению мастерство и точность, с которой оператор мог позиционировать весы и считывать показания. Действительно, компромисс между использованием логарифмических таблиц или логарифмической линейки и выполнением несколько более строгого процесса расчета заключался в том, что приходилось жертвовать некоторой степенью точности в обмен на гораздо более быстрый метод расчета.


    Логарифмическая линейка может ускорить сложные вычисления


    Сегодня у нас есть калькуляторы и компьютеры, которые могут выполнять сложные вычисления быстро и точно. Однако логарифмы по-прежнему полезны, и практические знания о том, как они используются, необходимы для работы или учебы во многих областях, включая почти все отрасли науки и техники.

    Вы уже много раз сталкивались со значениями, выраженными в логарифмических единицах, даже если не осознавали этого факта. Один слишком знакомый пример — Шкала Рихтера , которая представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, используемую для измерения силы землетрясений (или, если быть точным, амплитуды сейсмических волн , которые они производят).

    Амплитуда волн, вызванных землетрясением силой 5,0 балла по шкале Рихтера, составляет в десять раз амплитуд волн, вызванных землетрясением силой всего 4,0 балла, а для землетрясения силой 6,0 балла амплитуда снова в десять раз больше!

    В области машиностроения и электроники мы обычно имеем дело с логарифмами по основанию десяти. Фактически, логарифмы по основанию десять настолько широко используются, что их часто называют десятичными логарифмами (в отличие от логарифмов по основанию e , которые называются натуральными логарифмами ). Вы можете увидеть выражение «записать десятичное число x », которое явно дает десятичное основание.

    Иногда вы увидите, что это написано просто как «журнал x «, или еще более кратко как «log x «. Обычно это означает, что вы должны взять логарифм по основанию десять от x , хотя, если вы не уверены, вы должны проверить, какое основание требуется. Международные стандарты Организация определила стандартную запись логарифмов следующим образом:

    log 2 ( x ) = lb ( x )   (двоичный логарифм)

    log e ( x ) = ln ( x )   (натуральный логарифм)

    log 10 ( x ) = lg ( x )   (десятичный логарифм)

    Большинство научных калькуляторов в наши дни имеют кнопку для вычисления логарифмов по основанию 10 (обычно помеченную как «log») и для вычисления логарифмов по основанию e (обычно помеченную как «ln»). Чтобы получить логарифм по основанию десяти числа сто двадцать три (123) с помощью встроенной в Microsoft Windows программы-калькулятора (вам нужно будет установить его на Scientific с помощью меню приложения View ), введите с помощью мыши следующую последовательность клавиш:


    Последовательность клавиш для поиска журнала 10 (123)


    Мы знаем, что логарифм по основанию десять от сто равен два , потому что два — это степень, в которую мы должны возвести десять, чтобы получить сто (100 = 10 2 ). Мы также знаем, что логарифм по основанию десяти числа одна тысяча — это три , потому что три — это степень, в которую мы должны возвести десять, чтобы получить одну тысячу (1000 = 10 3 ).

    Поэтому логично ожидать, что логарифм числа сто двадцать три будет находиться где-то между два и три , а поскольку сто двадцать три значительно ближе к сто двадцать три , чем на самом деле. к одна тысяча , мы могли бы ожидать, что его десятичный логарифм будет лишь незначительно больше двух.

    Ответ, который мы получаем, подтверждает эту теорию, как вы можете видеть на скриншоте ниже. Из этого мы также можем сделать вывод, что логарифм по основанию десяти действительного числа с n цифрами, предшествующими десятичной запятой, будет иметь значение, которое находится где-то между n-1 и n .


    Журнал 10 (123)


    Законы логарифмов

    [Вернитесь к началу страницы]

    Хотя на самом деле мы больше не используем логарифмические таблицы, было бы полезно выяснить, почему они были так полезны в дни, когда не было современных калькуляторов. Для этого нам нужно знать о некоторых законах логарифмов (иногда называемых логарифмическими тождествами ).

    Законы логарифмов существенно помогают нам понять взаимосвязь между логарифмическими функциями и степенными функциями . Вы помните, если вы заглянули на страницу, озаглавленную «Полномочия и корни», что существует ряд законов индексов . Надеюсь, по мере нашего продвижения вы сможете увидеть, что эти законы тесно связаны с законами логарифмов. Однако, прежде чем мы пойдем дальше, мы должны объяснить, что мы подразумеваем под логарифмические и степенные функции . Степенная функция может иметь вид:

    ƒ( х ) = б х

    Действие функции ƒ состоит в том, чтобы возвести основание b в степень x . Связь между логарифмическими функциями и степенными функциями такова, что логарифмическая функция является обратной степенной функции. Что мы подразумеваем под этим? Определение обратной функции состоит в том, что она отменяет действие функции. Это означает, что если функция ƒ( x ) выдает результат b x , то обратная функция выдаст результат x при применении к b x . Обобщая, можно сказать, что функции ƒ( x ) и g( x ) обратны друг другу, если они удовлетворяют следующим условиям:

    ƒ(g( x )) = x    и    g(ƒ( х )) = х

    Логарифмическая функция имеет вид:

    ƒ( x ) = логарифм b ( x )

    Таким образом, если логарифмическая функция g( x ) = log b ( x ) действительно является обратной степенной функцией ƒ( x ) = b x , мы должны быть в состоянии докажите это на примере. Давайте предположим для целей этого упражнения, что мы используем десятичную систему счисления, так как это означает, что мы можем использовать запись десятичного логарифма (lg), и что наше начальное значение x — это пять.

    10 lg(5) = 10 0,699 = 5   и   lg (10 5 ) = lg (100 000) = 5

    Поэтому кажется, что функции ƒ( x ) = b x и g( x ) = log b ( x ) действительно являются обратными друг другу, но, может быть, вы следует попробовать это с различными значениями x , чтобы убедиться, что это действительно так. Возвращаясь к законам логарифмов, есть три важных закона, которые вместе с тем отвечают на вопрос, который мы задали себе в начале этого раздела, почему логарифмы были так полезны до эпохи электронных калькуляторов.

    Первый закон логарифмов

    [Вернитесь к началу страницы]

    Первый закон логарифмов гласит, что логарифм произведения двух чисел (то есть результата умножения двух чисел вместе) можно найти, сложив их отдельные логарифмы. Формально это выражается так:

    бревно б ( м × н ) = бревно б ( м ) + бревно б ( н )

    Следствием этого является то, что если мы хотим найти произведение двух чисел, мы можем сделать это без выполнения умножения. Вместо этого мы складываем отдельные логарифмы двух чисел и берем антилогарифм результата. Термин антилогарифм не относится к какой-то субатомной частице, которая, как считается, существует в другой вселенной. По сути, это означает, что вместо того, чтобы искать логарифм для определенного числа, мы обращаем процесс и ищем число, к которому относится конкретный логарифм.

    Пример поможет продемонстрировать, как можно выполнить такой расчет с помощью встроенного калькулятора Microsoft Windows (или любого подходящего научного калькулятора). Оставаясь пока с числами по основанию десяти и десятичными логарифмами, давайте умножим пятьсот сорок семь на двести тридцать девять (547 × 239). Если вы используете программу-калькулятор, встроенную в Microsoft Windows, получите журнал с основанием десять пятьсот сорок семь и сохраните его в памяти калькулятора, введя с помощью мыши следующую последовательность клавиш:


    Возьмите общий журнал 547 и сохраните его в памяти.


    Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:


    Значение lg(547) сохранено в памяти


    Прежде чем продолжить, нажмите кнопку «Очистить» (обозначена буквой «С»), чтобы очистить дисплей. Теперь получите журнал по основанию десять из двести тридцать девять и сохраните его в памяти калькулятора, введя следующую последовательность клавиш:


    Возьмите общий журнал 239 и добавьте его в память


    Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:


    Значение lg(239) добавлено в память


    Нажмите кнопку «Очистить» еще раз, чтобы очистить дисплей, затем нажмите кнопку «Вызов из памяти» (она помечена как «MR»). Теперь окно вашего калькулятора должно выглядеть так:


    Память содержит сумму lg(547) и lg(239)


    Пока не очищайте дисплей. Теперь у нас есть сумма двух логарифмов, но как мы возьмем антилогарифм этого значения, чтобы получить произведение пятьсот сорок семь и двести тридцать девять ? Если подумать, у нас есть логарифм по основанию десяти нужного нам числа, а это значит, что если мы возведем десять в степень этого числа, мы должны получить правильный ответ.

    Как мы уже говорили ранее, логарифм — это просто показатель степени (или степень или индекс , в зависимости от того, какой термин вы предпочитаете). По определению, логарифм по основанию десяти любого числа — это степень, в которую мы должны возвести десять, чтобы получить это число. Если вы посмотрите на свой калькулятор Windows, вы увидите кнопку с надписью «10 x » (в моей версии она находится посередине нижнего ряда кнопок).

    Эта кнопка возводит десять в степень того значения, которое в данный момент отображается на дисплее. Если хотите, это antilog кнопка для десятичных логарифмов (т.е. логарифмов по основанию десять). Если вы используете свой собственный научный калькулятор, вы можете проверить, какая клавиша или последовательность клавиш выполняет эквивалентное действие. Убедитесь, что значение, которое вы извлекли из памяти, все еще отображается на дисплее, и нажмите кнопку «10 x ». Теперь ваш дисплей должен выглядеть так:


    Кнопка «антилог» дает нужный результат


    Это действительно правильный ответ (547 × 239 = 130 733). Еще в 17 веке калькуляторов не было, поэтому логарифмы (и антилогарифмы) приходилось искать в таблицах. Даже в этом случае процесс умножения можно было бы свести к процессу сложения. Просто найдите логарифмы чисел, которые вы хотите умножить, сложите их вместе, найдите антилогарифм, и вы получите ответ.

    Этот метод одинаково хорошо работает для умножения более двух чисел. Просто сложите логарифмы всех чисел, которые нужно умножить, и найдите антилогарифм. Основным недостатком такого использования журнальных таблиц было то, что точность, с которой можно было получить ответ, ограничивалась точностью самих значений журнальной таблицы, но результаты были достаточно точными для большинства целей.

    Второй закон логарифмов

    [Вернитесь к началу страницы]

    Второй закон логарифмов гласит, что логарифм частного двух чисел (то есть результат деления одного числа на другое) можно найти, вычитая логарифм делителя (число, на которое мы делим) из логарифм делимого (число, которое мы хотим разделить). Формально это выражается так:

    лог б ( м ÷ н ) = лог б ( м ) — лог б 90 708

    log b n a   =  log b a 1 / n   =  log b a × 1   =   log b a
    n n

    Как и прежде, пример должен служить для демонстрации принципа. Допустим, мы хотим найти кубический корень из девятьсот семьдесят пять ( 3 √975). Используя калькулятор, возьмите журнал девятьсот семьдесят пять и разделите его на три. Теперь возьмем антилогарифм результата. Используя калькулятор Windows, я получаю результат, показанный ниже:


    Антилогарифм дает нам кубический корень из 975.


    В калькуляторе Windows есть кнопка для нахождения значения x в степени три (как удобно!), поэтому нажатие на эту кнопку сейчас должно вернуть нас к девятьсот семьдесят пять :


    Кубический корень возвращает нас к 975.


    Мы можем немного расширить принцип, чтобы найти логарифм рациональных степеней, в котором числитель м может быть больше единицы. В переводе на слова это означает, что a в степени m возводится в степень единиц над n . Обратите внимание, что m может быть любым положительным целым числом, включая и . Поскольку мы уже знаем, что логарифм числа, возведенного в степень, можно найти, умножив логарифм числа на показатель степени, мы можем изменить предыдущее алгебраическое выражение, сделав его немного более общим, следующим образом:

    log b a m / n   =   m log b a ÷ n

    Третий закон логарифмов одинаково хорошо работает для чисел, возведенных в степень, имеющую рациональную составляющую. Рассмотрим следующий пример:

    х = 8,75 4,76

    Этот расчет достаточно прост с современным калькулятором, но был бы сложным в те дни, когда калькуляторы не были доступны без помощи логарифмических таблиц или логарифмической линейки. Мы можем выполнить расчет с использованием логарифмов следующим образом:

    логарифм 10 х = 4,76 × логарифм 10 8,75 = 4,483. . .

    Затем возьмем антилогарифм результата. Вот что получается при вычислении на калькуляторе Windows:


    Нахождение 8,75 в степени 4,76 с помощью логарифмов


    Другие логарифмические тождества

    [Вернитесь к началу страницы]

    В дополнение к законам логарифмов, изложенным выше, есть несколько других логарифмических тождеств и отношений, о которых вам следует знать. Они могут быть определены по отношению к любому основанию b таким образом, что:

    log b ( b n )  =   n

    b 1   =   b   ∴  log b b   =  log b b 1   =  1

    b 0   =  1  ∴  log b 1  =  log b b 0   =  0

    log 0 Изменение основания логарифма

    [Вернитесь к началу страницы]

    Законы логарифмов применимы независимо от того, какое основание мы используем, и большинство расчетов, которые мы проводили до сих пор, можно было бы так же легко выполнить с использованием натуральных логарифмов (логарифмов по основанию и ), если бы у нас был калькулятор, который мог бы взять войти в базу и числа, а также получить антилог в базу и .

    Однако иногда мы можем получить логарифм числа по основанию (скажем) десятичного, но хотим преобразовать его в логарифм по основанию два этого числа (то есть двоичный логарифм). На самом деле мы можем преобразовать логарифм по определенному основанию 9.5705 n на другую базу m , потому что значения пропорциональны. Для любой пары оснований m и n можно показать, что:


    log m x   =   log n x
    log n m

    Это означает, что если бы мы хотели найти логарифм по основанию два определенного значения, мы могли бы использовать либо десятичные логарифмы (логарифмирование по основанию 10), либо натуральные логарифмы (логарифмирование по основанию 9).5705 e ) в правой части уравнения. Допустим, мы хотели найти лог по основанию два из тысяч . Расчет будет следующим:


    log 2 1000 = log 10 1000
    log 10 2

    5 Если вы используете калькулятор, встроенный в Windows, введите следующую последовательность клавиш:


    Введите эту последовательность клавиш, чтобы найти журнал по основанию два из 1000.


    Вот результат:


    Журнал по основанию два из 1000


    Решение исходных уравнений

    [Вернитесь к началу страницы]

    Решение уравнений заключается в нахождении неизвестного в данный момент значения одного или нескольких членов уравнения. Иногда неизвестное значение, которое мы ищем в уравнении, это индекс возведения в степень (т.е. степень , до которой было возведено число). Поскольку логарифмы по сути являются показателями степени, мы можем использовать то, что знаем о логарифмах, для решения таких уравнений. Рассмотрим следующее выражение:

    9,57 х = 78,36

    Здесь мы пытаемся найти степень x , в которую нужно возвести девять целых пять десятых семь (9,57), чтобы получить результат семьдесят восемь целых три десятых шесть (78,36). Поскольку значения в обеих частях уравнения должны быть равны, мы можем начать с логарифмирования обеих частей следующим образом:

    логарифм 10 9,57 x = логарифм 10 78,36

    Хотя здесь мы использовали логарифм по основанию десять, логарифмирование по любому другому основанию будет работать одинаково хорошо. Из третьего закона логарифмов мы знаем, что логарифм числа, возведенного в степень, можно найти, умножив логарифм по основанию на 9.5705 показатель степени (т.е. степень, в которую необходимо возвести основание), поэтому мы можем переписать приведенное выше выражение как:

    x логарифм 10 9,57 = логарифм 10 78,36

    Теперь мы можем выделить x в левой части уравнения, что означает, что мы можем решить для x следующим образом (ответ здесь дается с точностью до трех знаков после запятой):


    3

    6 Вы можете проверить ответ на своем калькуляторе, рассчитав значение девять целых пять десятых семь в степени одна целая девять целых три десятых (9,57 1,931 ).

    Натуральные логарифмы

    [Вернитесь к началу страницы]

    Натуральные логарифмы — это логарифмы по основанию e . Буква e была введена швейцарским математиком 17-го века Леонардом Эйлером для обозначения математической константы, также известной как число Эйлера , которое имеет приблизительное значение 2,7182818284. Точное значение e вычислить невозможно — это иррациональное число , что означает, что его десятичное расширение не заканчивается и нет повторяющегося шаблона.

    Значение e таково, что если мы нарисуем график функции ƒ( x ) = e x (известной как экспоненциальная функция ), наклон касательной (известный как производная ) равно e x в любой точке графика и, следовательно, равно единице , когда x равно нулю . На рисунке ниже показан график функции ƒ( x ) = e x и производная в точке x = 0. Константа e часто используется в вычислениях из-за ее уникальных свойств, и она часто встречается в мире природы.


    График экспоненциальной функции, показывающий производную при x = 1


    Показательные функции e x и e x представляют интерес для инженеров, поскольку их можно использовать для представления роста и распада (например, распада электрического заряда, хранящегося в конденсаторе, через постоянное сопротивление нагрузки). Чтобы получить натуральный логарифм числа (т. е. логарифм для base e ) на калькуляторе найдите кнопку с пометкой «ln». Например, чтобы найти натуральный логарифм числа пятьсот семьдесят восемь (578) на калькуляторе Windows, используйте следующую последовательность клавиш:


    Введите эту последовательность клавиш, чтобы найти натуральный логарифм 578.


    Вот вывод из калькулятора Windows:


    Натуральный логарифм 578


    Нахождение антилогарифма натурального логарифма не так просто на калькуляторе Windows, потому что кнопки, необходимые для различных обратных функций, по умолчанию скрыты. Прежде чем мы продемонстрируем, как это сделать, стоит еще раз подчеркнуть, что логарифмическая функция по любому основанию является обратной степенной функцией, и наоборот.

    Таким образом, обратной функцией логарифмической функции ƒ( x ) = log e x является экспоненциальная функция ƒ( x ) = e x . В любом случае, если у вас все еще есть натуральный логарифм пятьсот семьдесят восемь в окне дисплея калькулятора, вот последовательность клавиш для нахождения антилогарифма:


    Введите эту последовательность клавиш, чтобы найти антилогарифм


    Не утруждайте себя поиском кнопки «e x » перед тем, как начать — она ​​не появится до тех пор, пока после вы не нажмете кнопку «Inv», после чего ее можно будет найти сразу в справа от кнопки «Inv». Кнопка «Inv» переключает между различными функциями и их (обратными) аналогами, предположительно из-за того, что в окне приложения (которое нельзя изменить) недостаточно места для одновременного отображения всех кнопок. Вот вывод калькулятора после того, как мы нажали на эти клавиши:


    Антилогарифм ln(578) дает 578


    Для анализа электрических цепей e часто используется в уравнениях для нахождения переходного значения напряжения или тока в цепях, где напряжение и ток непрерывно изменяются во времени. Рассмотрим случай, когда конденсатор емкостью С двадцать мкФ (20×10 -6 Фарад) включен последовательно с резистором сопротивлением R из десять кОм (10 × 10 3 Ом) и источник питания постоянного тока (dc), обеспечивающий начальное питающее напряжение В из двести вольт (200 вольт).

    Для тех, кто не знаком с электрическими принципами, конденсатор представляет собой компонент схемы, который может удерживать ограниченное количество электрического заряда. Источник питания обеспечивает ток, который заряжает конденсатор, но поступление тока в конденсатор замедляется по мере того, как конденсатор приближается к полностью заряженному состоянию, потому что разность потенциалов на конденсаторе увеличится и будет сопротивляться протеканию тока.

    Если резистор включен последовательно между источником питания и конденсатором, процесс зарядки занимает больше времени, потому что резистор снижает скорость, с которой может протекать ток в цепи. Для наших целей здесь нас интересует время t (в секундах), которое должно пройти между моментом, когда мы подключаем резистор и (первоначально незаряженный) конденсатор к источнику питания, и точкой, в которой переходное напряжение на конденсатор достигает ста вольт.

    Все, что вам действительно нужно понять, это уравнение, используемое для определения переходного напряжения v в любой заданный момент времени, которое использует экспоненциальную функцию и может быть сформулировано как:

    v = V ( 1 — e t / CR )

    Мы можем подставить известные значения в уравнение, чтобы получить:

    100 = 200 × (1 — E T / 0,0002 × 10 000 ) = 200 × (1 — E T / 0,2 ) ) )

    3

    е -5t = 1 — 0,5 = 0,5

    Теперь мы можем представить уравнение в логарифмической форме:

    log e 0,5 = -5 t

    Теперь мы можем изменить уравнение еще раз, чтобы получить t в левой части уравнения, что также даст нам выражение, которое мы можем легко ввести в калькулятор:


    x   =   логарифм 10 78,36   =  1,931
    логарифм 10 9,57 T / 0,2 6)

    Мы можем изменить и упростить это уравнение следующим образом:

    100 ÷ 200 = 1 — e t / 0,2

    0,5 = 1 — e -5 t

      8
    t = — бревно e 0,5
    5

    Вот последовательность клавиш на калькуляторе Windows:


    Последовательность клавиш для log по основанию e от 0,5 до 5, инвертированная


    И вот результат отображения калькулятора:


    Прошедшее время составляет 0,139 секунды до трех значащих цифр.


    Таким образом, из вышеизложенного мы можем определить, что для описанной схемы переходная разность потенциалов на конденсаторе достигнет значения в сто вольт по истечении времени (с точностью до трех значащих цифр) ноль-целая-один-три. -девять секунд (0,139 секунды) после подключения схемы к источнику питания.

    Такой вид расчетов часто требуется для анализа цепей, включающих последовательно соединенные резисторы и конденсаторы, а также для других видов цепей, встречающихся в электрических и электронных системах. Поскольку такие схемы используются почти во всех типах электронных устройств, о которых вы только можете подумать, возможность манипулировать уравнениями с использованием натуральных логарифмов бесценна.

    Приложения логарифмов

    [Вернитесь к началу страницы]

    Мы уже видели, как скорость нарастания или спада тока или напряжения в электрической цепи может быть выражена с помощью экспоненциальной функции. Использование логарифмических шкал для выражения значений, которые имеют тенденцию к экспоненциальному росту или убыванию, встречается во многих приложениях, некоторые из которых вам знакомы. Ранее мы упоминали Шкала Рихтера , которая используется для выражения магнитуды сейсмических волн, создаваемых землетрясениями.

    Еще одна известная единица измерения, основанная на логарифмических шкалах, — децибел (дБ). Практически каждый, кто не провел всю свою жизнь в пещере с очень небольшим контактом с внешним миром, слышал как минимум децибел (без каламбура). Большинство людей будут ассоциировать децибелы с уровнем звука, который они воспринимают, хотя они могут не полностью понимать последствия увеличения уровня звука на один децибел.

    Дело в том, что в отношении звука человек воспринимает увеличение уровня звука логарифмически. Это означает, что когда вы или я воспринимаем, что звук (т.е. шум соседей по соседству или громкость громкоговорителя) стал вдвое громче , величина звукового давления (т. е. волна давления созданный источником звука) мог увеличиться в гораздо большей степени.

    9Шкала уровня звукового давления 5705 определяет уровень звука с точки зрения среднего изменения давления в среде, такой как воздух. Он определяет амплитуду звука как меру среднего изменения давления, измеряемую в Паскалях (Па). Звуки, с которыми мы сталкиваемся ежедневно, по своей сути сложны и часто включают в себя очень широкий диапазон частот.

    качество звука также весьма субъективно с человеческой точки зрения. Тем не менее, мы можем выразить громкость звука с точки зрения его вероятного воздействия на слуховую систему человека, выраженная либо в паскалях, либо в децибелах. Наименьшая амплитуда, создающая какое-либо ощущение, составляет примерно плюс-минус двадцать микроПаскалей (± 20 мкПа). Этот уровень представляет собой порог слышимости (т. е. наименьший звук, который мы можем услышать в идеальных условиях) и используется в качестве нулевого эталонного уровня на шкале уровня звукового давления (т. е. 0 дБ).

    Логарифмическая шкала используется потому, что человеческое ухо гораздо более чувствительно к изменениям звука в нижней части шкалы. Действительно, на уровне около плюс-минус двести Паскалей (± 200 Па) звук может вызвать физическое повреждение слуховой системы человека (это иногда называют болевой порог слуха ). Поскольку каждый интервал в двадцать децибел на шкале уровня звукового давления представляет собой десятикратное увеличение изменения давления, это ставит порог слуховой боли примерно на уровне сто сорок децибел (140 дБ = ± 200 Па).

    Чтобы представить это в какой-то перспективе, звук дробовика может регистрироваться на уровне между сто пятьдесят и сто шестьдесят децибел (150-160 дБ), человеческие барабанные перепонки могут разорваться в пределах сто девяносто и сто девяносто пять децибел (190-195 дБ), а звуковой удар, производимый космическим челноком на скорости двадцать махов во время захода на посадку, был измерен примерно в двести. и двадцать децибел (220 дБ).

    Некоторые из самых громких звуков, когда-либо зарегистрированных (на самом деле, даже громче, чем ядерные взрывы), были созданы сильными извержениями вулканов. Уровень звука при извержении Кракатау в 1883 году, по оценкам, составил около 9 баллов.5705 триста десять децибел (310 дБ = 63 245 553 203,36 Па).

    Из приведенных выше примеров ясно видно, что использование логарифмической шкалы часто дает нам более осмысленный способ представления значений, которые могут быть очень малы на одном конце шкалы и почти невообразимо велики на другом конце. Точно так же, как логарифмы уменьшают сложность операции на один уровень (т.е. умножение становится сложением, а возведение в степень становится умножением), использование логарифмов также позволяет нам превратить экспоненциальную шкалу значений в более линейную.

    Другие примеры использования логарифмических шкал включают их использование в телекоммуникациях для представления потери мощности сигнала в системах передачи и в астрономии для представления относительной светимости звезд и других небесных объектов. На самом деле, в любой области, в которой можно видеть, что значения изменяются по экспоненциальной шкале, мы, вероятно, обнаружим, что для их представления используются логарифмические шкалы.

    [Вернитесь к началу страницы]


    Рецепт таблицы десятичного логарифма

    Cedron Dawg●29 апреля 2017 г.Tweet

    Введение

    Эта статья является отступлением от попытки лучше понять дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

    Метод построения таблицы логарифмов по основанию 10, также известный как логарифмы с основанием 10, основан на использовании математики, которую можно выполнить с помощью бумаги и карандаша. Предполагается, что читатель немного знаком с логарифмическими функциями. Этот материал не зависит от материала в моих предыдущих статьях в блоге.

    Если вам когда-нибудь было интересно, как таблицы логарифмов могли быть составлены до компьютеров или калькуляторов, продолжайте читать, эта статья предлагает одно объяснение.

    Логарифмические шкалы

    Поскольку мы используем систему счисления по основанию 10, логарифм по основанию 10 обычно изучается первым и используется чаще всего. Удобно то, что для получения полного диапазона значений в таблице нужно указать только логарифмы от 1 до 10. Логарифм по основанию 10 известен как обычный логарифм из-за его распространенности. Другой главный логарифм, известный как натуральный логарифм, имеет основание $ e $. Использование десятичного логарифма в сравнении с натуральным логарифмом в некоторой степени аналогично использованию градусов в сравнении с радианами при измерении углов. Одна шкала удобна в числовом отношении, а другая наиболее очевидна в математике. 9\frac{1}{12}$. Хотя обе шкалы являются логарифмическими и поэтому теоретически взаимозаменяемы, их никогда не смешивают. Вы вряд ли услышите, что децибел равен интервалу в четыре полутона.

    Условные обозначения

    Логарифмы по разным основаниям обычно обозначаются как «$\log_{base}$». В этой статье будет принято соглашение, что «$ \lg $» будет обозначать логарифм с основанием 10. Слово «лог» будет использоваться для «логарифма» вообще. База журнала будет известна из контекста, но обычно она равна 10. $$ \lg(x) = \log_{10}(x) \tag {1} $$ Аббревиатура «$\ln$» будет использоваться для натуральных бревен. $$ \ln(x) = \log_{e}(x) \tag {2} $$ Это соглашение отличается от имен функций в языках программирования. В C/C++ имена функций «log10» для десятичных логарифмов и «log» для натуральных логарифмов. 9{ \lg(e) \cdot \ln(x) } \tag {5} $$ Взяв бревно левой и правой стороны: $$ \lg(x) = \lg(e) \cdot \ln(x) \tag {6} $$ Это дает уравнение для преобразования натуральных логарифмических значений в обычные логарифмические значения. Коэффициент пересчета $\lg(e)$ имеет фиксированное значение, которое будет рассчитываться в процессе.

    Нужная серия

    Рецепт в этой статье потребует иметь значение $e$. Это можно найти, используя ряд Тейлора для $e^x$. 5}{5} + … \тег {8} $$

    Двойной логарифм числа 1

    Логарифм 1 по любому основанию равен 0. Это следует непосредственно из (3). $$ \lg( 1 ) = \lg( 1 \cdot 1) = \lg(1) + \lg(1) \tag {9} $$ Вычитание $ \lg(1) $ с обеих сторон и их изменение дает: $$ \lg(1) = 0 \тег {10} $$

    десятичный логарифм числа 2

    Это немного сложнее и требует некоторой работы. Можно было бы вычислить $ \ln(2) = \ln( 1 + 1 ) $, используя решение в виде ряда, но оно сходилось бы ужасно медленно, что потребовало бы многих вычислений. После этого $\lg(e)$ по-прежнему потребуется для преобразования его в $\lg(2)$. 9{10}) = \lg(1000) + \lg(1 + .024) \tag {12} $$ Упростите и приведите к вычислимому виду, используя правила логарифмирования. $$ 10 \cdot \lg(2) = 3 + \lg(e) \cdot \ln( 1 + .024 ) \tag {13} $$ Чтобы упростить дальнейшие уравнения, естественное логарифмическое выражение получит замещающее имя. $$ S_2 = \ln( 1 + .024 ) \тег {14} $$ Значение $S_2$ может быть вычислено с любой желаемой степенью точности с помощью (8).

    $\lg(2)$ можно найти, разделив обе части (13) на 10. $$ \lg(2) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \cdot \lg(e) \cdot S_2 \tag {15} $$ Так как $\lg(e)$ остается неизвестным, значение $\lg(2)$ еще не может быть вычислено. 94) =\lg(80) + \lg \left( 1 + \frac{1}{80} \right) \tag {17} $$ $$ 4 \cdot \lg(3) = 1 + 3 \cdot \lg(2) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{80} \right) \tag { 18} $$ $$ S_3 = \ln \left( 1 + \frac{1}{80} \right) \tag {19} $$ $$ \lg(3) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \lg(2) + \frac{1}{4} \cdot \lg(e) \cdot S_3 \тег {20} $$ Сумма ряда $S_3$ может быть вычислена с любой необходимой степенью точности. $\lg(e)$ остается неизвестным, как и $\lg(2)$. Последнее можно заменить первым с помощью (15), оставив $\lg(e)$ единственным неизвестным. $$ \lg(3) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \left[ \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \cdot \ lg(e) \cdot S_2 \right] + \frac{1}{4} \cdot \lg(e) \cdot S_3 \tag {21} $$ $$ \lg(3) = \frac{1}{4} + \frac{9}{40} + \frac{3}{40} \cdot \lg(e) \cdot S_2 + \frac{1}{4} \cdot \lg(e) \cdot S_3 \tag {22} $$ $$ \lg(3) = \frac{19}{40} + \lg(e) \cdot \left( \frac{3}{40} \cdot S_2 + \frac{1}{4} \cdot S_3 \справа) \tag {23} $$

    Десятичный логарифм $e$

    Наконец, пришло время вычислить значение $ \lg(e) $. 3 / 10 долларов: $$ \lg(e) = -1 + 3 \cdot \lg(3) + \lg(e) \cdot S_e \tag {31} $$ Формулу для неизвестного значения $\lg(3)$ можно подставить. $$ \lg(e) = -1 + 3 \cdot \left[ \frac{19}{40} + \lg(e) \cdot \left( \frac{3}{40} \cdot S_2 + \frac{1}{4} \cdot S_3 \right) \right] + \lg(e) \cdot S_e \tag {32} $$ $$ \lg(e) = -1 + \frac{57}{40} + \lg(e) \cdot \left( \frac{9}{40} \cdot S_2 + \frac{3}{4} \cdot S_3 \right) + \lg(e) \cdot S_e \tag {33} $$ $$ \lg(e) = \frac{17}{40} + \lg(e) \cdot \left( \frac{9}{40} \cdot S_2 + \frac{3}{4} \cdot S_3 + S_e \right) \tag {34} $$ Теперь идет поворот, который завершает начальную загрузку. Единственное оставшееся неизвестное — это $\lg(e)$, и его можно решить. $$ \lg(e) \cdot \left( 1 — \frac{9}{40} \cdot S_2 — \frac{3}{4} \cdot S_3 — S_e \right) = \frac{17}{40} \tag {35} $$ $$ \lg(e) = \frac{17}{40} \cdot \frac{1}{1 — \frac{9}{40} \cdot S_2 — \frac{3}{4} \cdot S_3 — S_e } \tag {36} $$ $$ \lg(e) = \frac{17}{ 40 — 9 \cdot S_2 — 30 \cdot S_3 — 40 \cdot S_e } \tag {37} $$ В последней правой части только целые числа и результаты суммирования рядов. 4 = 2401 = 2400 \cdot \left( 1 + \frac{1}{2400} \right) \tag {41} $$ $$ 4 \cdot \lg(7) = 2 + 3 \cdot \lg(2) + \lg(3) + \lg \left( 1 + \frac{1}{2400} \right) \tag {42 } $$ $$ \lg(7) = \frac{1}{4} \cdot \left[ 2 + 3 \cdot \lg(2) + \lg(3) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{2400} \right) \right] \tag {43} $$ Дойти до десяти тоже легко. $$ \lg(8) = 3 \cdot \lg(2) \tag {44} $$ $$ \lg(92-1} \справа) \справа] \тег {49} $$ Значение журнала основано на значениях журнала его соседей $N-1$ и $N+1$. Это будет использоваться только для простых чисел в алгоритме. Все логи составных чисел можно рассчитать, сложив логи двух факторов.

    Преимущество этого метода перед методом, основанным только на использовании $ N — 1 $, состоит в том, что результирующий $ \ln( 1 + x ) $ сходится намного быстрее.

    Алгоритм

    С этого момента расчеты выполняются алгоритмическим способом. Числа не будут обрабатываться в строгом порядке. Всякий раз, когда встречается простое число, сначала должно быть обработано следующее число (которое будет четным). 92-1)))]/2 Конец, если Конец, если

    Двойные логарифмы от 11 и выше

    Продолжить расчеты по алгоритму: $$ \lg(12) = \lg(2) + \lg(6) \tag {50} $$ $$ \lg(11) = \frac{1}{2} \cdot \left[ 1 + \lg(12) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{120 } \right) \right] \tag {51} $$ $$ \lg(14) = \lg(2) + \lg(7) \tag {52} $$ $$ \lg(13) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lg(12) + \lg(14) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{ 1}{168} \right) \right] \tag {53} $$ $$ \lg(15) = \lg(3) + \lg(5) \tag {54} $$ $$ \lg(16) = \lg(2) + \lg(8) \tag {55} $$ $$ \lg(18) = \lg(2) + \lg(9) \тег {56} $$ $$ \lg(17) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lg(16) + \lg(18) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{ 1}{288} \right) \right] \tag {57} $$ $$ \lg(20) = 1 + \lg(2) \tag {58} $$ $$ \lg(19) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lg(18) + \lg(20) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{ 1}{360} \right) \right] \tag {59} $$ $$ \lg(21) = \lg(3) + \lg(7) \tag {60} $$ $$ \lg(22) = \lg(2) + \lg(11) \tag {61} $$ $$ \lg(24) = \lg(2) + \lg(12) \tag {62} $$ $$ \lg(23) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lg(22) + \lg(24) + \lg(e) \cdot \ln \left( 1 + \frac{ 1}{528} \right) \right] \tag {63} $$ $$ \lg(25) = \lg(5) + \lg(5) \tag {64} $$ и так далее. ….

    Чем больше N, тем ниже частота простых чисел и ряды $ln(1 + x)$ сходятся быстрее.

    Создание таблицы поиска

    Когда список достигает 99, можно создать следующую таблицу:

     .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9
      1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788
      2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624
      3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911
      4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902
      5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709
      6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388
      7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976
      8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494
      9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
     

    Используя значения записей от 10 до 99, удалите ведущую «1». Это экономит много ширины отображения в таблице. Для четырех цифр, как в этом примере, значения должны были быть рассчитаны до шести значащих цифр, а затем округлены. Удаление ведущего равносильно вычитанию единицы. Для обычной логарифмической шкалы это то же самое, что деление на 10. Теперь это делает список значений логарифмическим от 1,0 до 9..9 с шагом .1.

    Когда список достигает 999, можно составить более подробную таблицу:

     .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
    1,0 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
    1.1 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
    1.2 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
    1,3 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430
    1,4 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732
    1,5 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
    1,6 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279
    1,7 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529
    1,8 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765
    1,9 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989
    2,0 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
    .
    .
    .
     

    В этом случае значения списка от 100 до 999 имеют ведущую цифру «2». раздели, сделав эффективный домен с 1. 00 до 9.99. Эта таблица имеет достаточно высокое разрешение, чтобы линейная интерполяция работала достаточно хорошо.

    Опубликованные таблицы логарифмов обычно имеют некоторые параметры интерполяции справа от основной части чисел. Проверьте ключ, чтобы увидеть, что они собой представляют и как их использовать.

    Очень точная интерполяция

    Предположим, что список из 1000 логарифмических значений был рассчитан с точностью до двадцати знаков после запятой. Можно ли получить интерполированное значение с точностью до двадцати знаков после запятой?

    Ответ положительный. Метод аналогичен тому, что уже неоднократно делалось. Предположим, что $v$ — это значение, для которого ищется логарифмическое значение. Пусть $x$ будет ближайшей записью в таблице журнала. Их разницу можно назвать $d$. $$ d = v — x \tag {65} $$ Небольшая перестановка и взятие журнала приводит к интерполяционному уравнению. $$ \begin{выровнено} \lg(v) &= \lg(x + d) \\ &= \lg \left[ x \cdot \left(1 + \frac{d}{x} \right) \right] \\ &= \lg(x) + \lg\left(1 + \frac{d}{x} \right) \\ &= \lg(x) + \lg(e) \cdot \ln \left(1 + \frac{d}{x} \right) \end{выровнено} \tag {66} $$ Значение $d$ всегда будет меньше или равно половине размера шага таблицы. s \tag {69г \тег {71} $$ Значение $x+d$ можно найти произведением $x$ на сумму ряда $z$ в (7). $$ z = \left[ y — \lg(x) \right] \cdot \ln(10) \tag {72} $$ Абсолютное значение $z$ должно быть намного меньше единицы, поэтому оценка ряда будет сходиться намного быстрее, чем вычисление $e$ в (28).

    Значение $\ln(10)$ можно найти с помощью (25) и (37). $$ \ln(10) =\frac{1}{ \lg(e) } = \frac{ 40 — 9 \cdot S_2 — 30 \cdot S_3 — 40 \cdot S_e }{17} \tag {73} $ $ Числитель в правой части уже известен из вычисления (37). Поэтому правую часть гораздо легче выполнить вручную, так как требуется только деление на двузначное число. 9z$, затем умножьте результат на $x$.

    Заключение

    Таблицу десятичных логарифмов можно составить с нуля с помощью вычислений, которые можно выполнить вручную. Единственными ингредиентами были несколько правил логарифмирования и пара определений рядов. К счастью, вычисление квадратных корней вручную не потребовалось.

    Таблицу логарифмов также можно использовать для нахождения обратных логарифмов.

    Понимание того, как работают десятичные логарифмы, является необходимым условием для понимания того, как работает логарифмическая линейка.

    Отказ от ответственности: ни одно из отображаемых значений в этой статье не было рассчитано вручную.

    Приложение A. Значения журнала
     lg(1) = 0,000000000000000 = 0
    lg(2) = 0,3010299981 ~=~ 3/10 = 0,3
    lg(3) = 0,477121254719662 ~=~ 19/40 = 0,475
    lg(4) = 0,6020599
    962 = 2 * lg(2) ~=~ 0,6 lg(5) = 0,698

    4336019 = 1 - lg(2) ~=~ .7 lg(6) = 0,778151250383644 = lg(2) + lg(3) ~=~ 0,775 lg(7) = 0,845098040014257 ~=~ [2+3*lg(2)+lg(3)]/4 ~=~ 0,84375 lg(8) = 0,

    = 3 * lg(2) ~=~ 0,9 lg(9) = 0,
  • 250
  • 25 = 2 * lg(3) ~=~ 0,95 лг(е) = 0,4342

    2

    Приложение B.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта