Таблица интегралов: первообразная, неопределенный интеграл
Для быстрого интегрального исчисления нужно знать, как искать производные простой и сложной функции. Ведь нахождение интеграла и производных являются взаимно обратные операции. Для интегрирования потребуются: таблица интегралов полная и также формулы интегралов таблица основных свойств, таблица производных и интегралов.
У многих возникает сложность в изучении и понимании неопределенных интегралов. Если производные обладают всего лишь 5 правилами дифференцирования, четким алгоритм, таблицей производных, то при интегрировании совсем иначе. Используются десятки приемов и способов интегрирования. При неверном выборе способа интегрирования и различного метода интеграл вычислять можно долго, так как он представляет собой некий ребус.
Определение первообразной
Определение
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)׳=f(x). Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла
Определение
Совокупность функций первообразной для данной функции y=f(x), которая имеет место на некотором отрезке [a;b], называют неопределенным интегралом y=f(x).
Неопределенный интеграл имеет обозначение: \[\int f(x) d x=F(x)+C, c=\text { const }\].
Определение интегрирования
Определение
Операция нахождения интеграла называется интегрированием.
Дифференциал с интегральным выражением являются взаимно обратными действиями. У любой непрерывной на интервале функции есть какой-либо неопределенный интеграл.
Кратко о терминах и обозначениях:
Таблица интегралов:
Таблица производных не включает формулы, которые соответствуют формулам из 10,13,14 таблицы. Чтобы проверить справедливость формул, необходимо произвести дифференцирование над ними.
Формулы интегралов, полная таблица основных свойств:
Расшифровка свойств интегралов:
- Неопределенный интеграл при интегрировании функции является равным предоставляемой функции.
- Производная от интегрального выражения будет равна подынтегральной функции, а дифференциал будет равен подынтегральному выражению.
- Множитель в виде числа можно выносить за интеграл.
- Интегральное выражение от суммы функций имеет такое же значение, как сумма интегральных выражений.
- Подынтегральное выражение с множителями внутри равен подынтегральному выражению с выносимой константой.
C помощью них можно упростить выражение интеграла и вычислить элементарными действиями. {\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=\operatorname{ctg} x \]
Производная получилось такая же, как и подынтегральная функция. Поэтому формула является верной.
Вычислить интеграл:
\[ \int(\cos (3 x+2)+5 x) d x \]
Решение:
Используем одно из основных свойств:
\[ \int(\cos (3 x+2)+5 x) d x=\int(\cos (3 x+2)) d x+\int 5 x d x \]
Используем свойство о вынесении множителя за интеграл:
\[ \int(\cos (3 x+2)) d x+\int 5 x d x=\int(\cos (3 x+2)) d x+5 \int x d x \]
С помощью таблицы:
При вычислении воспользуемся 5 свойством:\[ \int(\cos (3 x+2)) d x=\frac{1}{3} \sin (3 x+2)+C_{1} \]
Найдем ответ:
При этом C1+C2 являются частями C. Если отдельно решается 2 и более интегралов, то к каждому члену ставится C с определенным индексом.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
чем отличаются, свойства и примеры решения
Содержание:
- Что такое первообразная функция и неопределенный интеграл
- Сущность первообразной функции
- Свойства неопределенного интеграла
- Таблица первообразных и неопределенных интегралов
- Примеры решения
Содержание
- Что такое первообразная функция и неопределенный интеграл
- Сущность первообразной функции
- Свойства неопределенного интеграла
- Таблица первообразных и неопределенных интегралов
- Примеры решения
Что такое первообразная функция и неопределенный интеграл
Функция F(x) может считаться первообразной для y=f(x), если первая функция дифференцируема в каждой точке промежутка (a;b) и ее производная удовлетворяет уравнению F'(x)=f(x).
Определение
Неопределенный интеграл — это сумма всех первообразных функции у=f(x).
Таким образом, представленные выше понятия связаны друг с другом как часть и целое.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Сущность первообразной функции
Понятие первообразной имеет еще одно определение.
Определение
Первообразная функция — это функция, производная которой равна данной.
Когда говорят о первообразной, упоминают также об интегрировании. Дело в том, что, чтобы отыскать значения всех рассматриваемых функций, пользуются интегрированием. При этом немаловажную роль играет признак постоянства функции.
Определение
Признак постоянства функции: если F'(x)=0, то функция F постоянна на заданном промежутке. Формула первообразной носит название общего вида первообразных для функции f.
Перечислим свойства рассматриваемого понятия:
- Любую первообразную можно записать как F(x)+C, где последний компонент означает произвольную постоянную.
- Первообразная для f на промежутке I получится в любом случае, какое бы мы не подставили туда число.
- Всегда возможно подобрать такое число С, что для всех х из выбранного промежутка будет справедливо уравнение Ф(х)=F(x)+C, какое бы значение для первообразной мы не подобрали.
Выделяют несколько основных правил для вычисления рассматриваемого понятия.
- Если F — это первообразная для одной функции, а G — для другой, то сумма первых будет равна сумме вторых, то есть \((F+G)’=F’+G’=f+g\), где последние две переменные есть функции.
- Если F — первообразная, а k — постоянная, тогда произведение данных понятий будет равняться первообразной для функции k, умноженное на f. То есть \((k×F)’=k×F’=k×f\).
- Если F(x) — это первообразная, а k и b — постоянные, не равные нулю, тогда \(\frac1k\times F\times\left(k\times x+b\right)\) станет первообразной для функции\( f(k×x+b)\). То есть\( \left(\left(\frac1k\right)\times F\times\left(k\times x+b\right)\right)’=\left(\frac1k\right)\times F’\left(k\times x+b\right)\times k=f\left(k\times x+b\right)\).
Свойства неопределенного интеграла
Свойства НИ в виде выражений:
- \(\int\lbrack f\left(x\right)+g\left(x\right)\rbrack dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx.\)
- \(\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx.\)
- \(\int f\left(ax\right)dx=\frac1aF\left(ax\right)+C.\)
- \(\int f\left(ax+b\right)dx=\frac1aF\left(ax+b\right)+C.\)
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
Приведем простейшие табличные значения первообразных:
Теперь представим таблицу неопределенных интегралов:
Примеры решения
Чтобы точнее разобраться с рассматриваемыми терминами, приведем несколько примеров решения задач.
2}=\frac4{\sqrt6}arc\tan\frac{\sqrt3x}{\sqrt2}+C.\)Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Поиск по содержимому
Таблица интегралов. Расчет, том 1
Основные интегралы
1. ∫undu=un+1n+1+C,n≠−1∫undu=un+1n+1+C,n≠−1
2. ∫duu=ln|u|+C∫duu=ln|u|+C
3. ∫eudu=eu+C∫eudu=eu+C
4. ∫audu=аулна+C∫audu=аулна+C
5. ∫sinudu=-cosu+C∫sinudu=-cosu+C
6. ∫cosudu=сину+C∫cosudu=сину+C
7. ∫sec2udu=тану+C∫sec2udu=тану+C
8. ∫csc2udu=-cotu+C∫csc2udu=-cotu+C
9. ∫secutanudu=secu+C∫secutanudu=secu+C
10. ∫cscucotudu=-cscu+C∫cscucotudu=-cscu+C
11. ∫tanudu=ln|secu|+C∫tanudu=ln|secu|+C
12. ∫котуду=ln|сину|+C∫котуду=ln|сину|+C
13. ∫secudu=ln|secu+tanu|+C∫secudu=ln|secu+tanu|+C
14.
15. ∫dua2−u2=sin−1ua+C∫dua2−u2=sin−1ua+C
16. ∫dua2+u2=1atan−1ua+C∫dua2+u2=1atan−1ua+C
17. ∫duuu2−a2=1asec−1ua+C∫duuu2−a2=1asec−1ua+C
Тригонометрические интегралы
18. ∫sin2udu=12u−14sin2u+C∫sin2udu=12u−14sin2u+C
19. ∫cos2udu=12u+14sin2u+C∫cos2udu=12u+14sin2u+C
20. ∫tan2udu=tanu-u+C∫tan2udu=tanu-u+C
21. ∫cot2udu=-cotu-u+C∫cot2udu=-cotu-u+C
22. ∫sin3udu=−13(2+sin2u)cosu+C∫sin3udu=−13(2+sin2u)cosu+C
23. ∫cos3udu=13(2+cos2u)sinu+C∫cos3udu=13(2+cos2u)sinu+C
24. ∫tan3udu=12tan2u+ln|cosu|+C∫tan3udu=12tan2u+ln|cosu|+C
25. ∫cot3udu=-12cot2u-ln|sinu|+C∫cot3udu=-12cot2u-ln|sinu|+C
26. ∫sec3udu=12secutanu+12ln|secu+tanu|+C∫sec3udu=12secutanu+12ln|secu+tanu|+C
27. ∫csc3udu=-12cscucotu+12ln|cscu-cotu|+C∫csc3udu=-12cscucotu+12ln|cscu-cotu|+C
28. ∫sinnudu=−1nsinn−1ucosu+n−1n∫sinn−2udu∫sinnudu=−1nsinn−1ucosu+n−1n∫sinn−2udu
29. ∫cosnudu=1ncosn−1usinu+n−1n∫cosn−2udu∫cosnudu=1ncosn−1usinu+n−1n∫cosn−2udu
30. ∫tannudu=1n−1tann−1u−∫tann−2udu∫tannudu=1n−1tann−1u−∫tann−2udu
31. ∫cotnudu=-1n-1cotn-1u-∫cotn-2udu∫cotnudu=-1n-1cotn-1u-∫cotn-2udu
32. ∫secnudu=1n−1tanusecn−2u+n−2n−1∫secn−2udu∫secnudu=1n−1tanusecn−2u+n−2n−1∫secn−2udu
33. ∫cscnudu=−1n−1cotucscn−2u+n−2n−1∫cscn−2udu∫cscnudu=−1n−1cotucscn−2u+n−2n−1∫cscn−2udu
34. ∫sinausinbudu=sin(a−b)u2(a−b)−sin(a+b)u2(a+b)+C∫sinausinbudu=sin(a−b)u2(a−b)−sin (а+б)и2(а+б)+С
35. ∫cosaucosbudu=sin(a−b)u2(a−b)+sin(a+b)u2(a+b)+C∫cosaucosbudu=sin(a−b)u2(a−b)+sin (а+б)и2(а+б)+С
36. ∫sinaucosbudu=−cos(a−b)u2(a−b)−cos(a+b)u2(a+b)+C∫sinaucosbudu=−cos(a−b)u2(a−b) −cos(a+b)u2(a+b)+C
37. ∫usinudu=sinu-ucosu+C∫usinudu=sinu-ucosu+C
38. ∫ucosudu=cosu+usinu+C∫ucosudu=cosu+usinu+C
39. ∫unsinudu=-uncosu+n∫un-1cosudu∫unsinudu=-uncosu+n∫un-1cosudu
40. ∫ункосуду=унсину-н∫ун-1синуду∫ункосуду=унсину-н∫ун-1синуду
41. 1un+m+n−1n+m∫sinn−2ucosmudu=sinn+1ucosm−1un+m+m−1n+m∫sinnucosm−2udu
Экспоненциальные и логарифмические интегралы
42. ∫ueaudu=1a2(au-1)eau+C∫ueaudu=1a2(au-1)eau+C
43. ∫uneaudu=1auneau-na∫un-1eaudu∫uneaudu=1auneau-na∫un-1eaudu
44. ∫eausinbudu=eaua2+b2(asinbu−bcosbu)+C∫eausinbudu=eaua2+b2(asinbu−bcosbu)+C
45. ∫eaucosbudu=eaua2+b2(acosbu+bsinbu)+C∫eaucosbudu=eaua2+b2(acosbu+bsinbu)+C
46. ∫lnudu=ulnu-u+C∫lnudu=ulnu-u+C
47. ∫unlnudu=un+1(n+1)2[(n+1)lnu−1]+C∫unlnudu=un+1(n+1)2[(n+1)lnu−1]+ С
48. ∫1ulnudu=ln|lnu|+C∫1ulnudu=ln|lnu|+C
Гиперболические интегралы
49. ∫синхуду=кошу+К∫синхуду=кошу+К
50. ∫кошуду=синху+К∫кошуду=синху+К
51. ∫танхуду=инкошу+К∫танхуду=инкошу+К
52. ∫cothudu=ln|sinhu|+C∫cothudu=ln|sinhu|+C
53. ∫sechudu=tan−1|sinhu|+C∫sechudu=tan−1|sinhu|+C
54. ∫cschudu=ln|tanh22u|+C∫cschudu=ln|tanh22u|+C
55. ∫sech3udu=танху+C∫sech3udu=танху+C
56. ∫csch3udu=−cothu+C∫csch3udu=−cothu+C
57. ∫sechutanhudu=-sechu+C∫sechutanhudu=-sechu+C
58. ∫cschucothudu=-cschu+C∫cschucothudu=-cschu+C
Обратные тригонометрические интегралы
59. ∫sin-1udu=usin-1u+1-u2+C∫sin-1udu=usin-1u+1-u2+C
60. ∫cos-1udu=ucos-1u-1-u2+C∫cos-1udu=ucos-1u-1-u2+C
61. ∫tan−1udu=utan−1u−12ln(1+u2)+C∫tan−1udu=utan−1u−12ln(1+u2)+C
62. ∫usin-1udu=2u2-14sin-1u+u1-u24+C∫usin-1udu=2u2-14sin-1u+u1-u24+C
63. ∫ucos-1udu=2u2-14cos-1u-u1-u24+C∫ucos-1udu=2u2-14cos-1u-u1-u24+C
64. ∫utan−1udu=u2+12tan−1u−u2+C∫utan−1udu=u2+12tan−1u−u2+C
65. ∫unsin−1udu=1n+1[un+1sin−1u−∫un+1du1−u2],n≠−1∫unsin−1udu=1n+1[un+1sin−1u−∫un+1du1− u2],n≠−1
66. ∫uncos−1udu=1n+1[un+1cos−1u+∫un+1du1−u2],n≠−1∫uncos−1udu=1n+1[un+1cos−1u+∫un+1du1−u2] ,n≠−1
67. ∫untan−1udu=1n+1[un+1tan−1u−∫un+1du1+u2],n≠−1∫untan−1udu=1n+1[un+1tan−1u−∫un+1du1+ u2],n≠−1
Интегралы с участием
a 2 + u 2 , a > 068. ∫a2+u2du=u2a2+u2+a22ln(u+a2+u2)+C∫a2+u2du=u2a2+u2+a22ln(u+a2+u2)+C
69. ∫u2a2+u2du=u8(a2+2u2)a2+u2−a48ln(u+a2+u2)+C∫u2a2+u2du=u8(a2+2u2)a2+u2−a48ln(u+a2+u2 )+С
70. ∫a2+u2udu=a2+u2−aln|a+a2+u2u|+C∫a2+u2udu=a2+u2−aln|a+a2+u2u|+C
71. ∫a2+u2u2du=−a2+u2u+ln(u+a2+u2)+C∫a2+u2u2du=−a2+u2u+ln(u+a2+u2)+C
72. ∫dua2+u2=ln(u+a2+u2)+C∫dua2+u2=ln(u+a2+u2)+C
73. ∫u2dua2+u2=u2(a2+u2)−a22ln(u+a2+u2)+C∫u2dua2+u2=u2(a2+u2)−a22ln(u+a2+u2)+C
74. ∫duua2+u2=−1aln|a2+u2+au|+C∫duua2+u2=−1aln|a2+u2+au|+C
75. ∫duu2a2+u2=−a2+u2a2u+C∫duu2a2+u2=−a2+u2a2u+C
76. ∫du(a2+u2)3/2=ua2a2+u2+C∫du(a2+u2)3/2=ua2a2+u2+C
Интегралы с участием
u 2 − a 2 , a > 077. ∫u2−a2du=u2u2−a2−a22ln|u+u2−a2|+C∫u2−a2du=u2u2−a2−a22ln|u+u2−a2|+C
78. ∫u2u2−a2du=u8(2u2−a2)u2−a2−a48ln|u+u2−a2|+C∫u2u2−a2du=u8(2u2−a2)u2−a2−a48ln|u+u2−a2 |+С
79. ∫u2−a2udu=u2−a2−acos−1a|u|+C∫u2−a2udu=u2−a2−acos−1a|u|+C
80. ∫u2−a2u2du=−u2−a2u+ln|u+u2−a2|+C∫u2−a2u2du=−u2−a2u+ln|u+u2−a2|+C
81. ∫duu2−a2=ln|u+u2−a2|+C∫duu2−a2=ln|u+u2−a2|+C
82. ∫u2duu2−a2=u2u2−a2+a22ln|u+u2−a2|+C∫u2duu2−a2=u2u2−a2+a22ln|u+u2−a2|+C
83. ∫duu2u2−a2=u2−a2a2u+C∫duu2u2−a2=u2−a2a2u+C
84а. ∫du(u2−a2)3/2=−ua2u2−a2+C∫du(u2−a2)3/2=−ua2u2−a2+C
84б. ∫duu2-a2=12alnu-au+a+C∫duu2-a2=12alnu-au+a+C
Интегралы с участием
a 2 − u 2 , и > 085. ∫a2−u2du=u2a2−u2+a22sin−1ua+C∫a2−u2du=u2a2−u2+a22sin−1ua+C
86. ∫u2a2−u2du=u8(2u2−a2)a2−u2+a48sin−1ua+C∫u2a2−u2du=u8(2u2−a2)a2−u2+a48sin−1ua+C
87. ∫a2−u2udu=a2−u2−aln|a+a2−u2u|+C∫a2−u2udu=a2−u2−aln|a+a2−u2u|+C
88. ∫a2−u2u2du=−1ua2−u2−sin−1ua+C∫a2−u2u2du=−1ua2−u2−sin−1ua+C
89. ∫u2dua2−u2=−u2a2−u2+a22sin−1ua+C∫u2dua2−u2=−u2a2−u2+a22sin−1ua+C
90. ∫duua2−u2=−1aln|a+a2−u2u|+C∫duua2−u2=−1aln|a+a2−u2u|+C
91. ∫duu2a2−u2=−1a2ua2−u2+C∫duu2a2−u2=−1a2ua2−u2+C
92. ∫(a2−u2)3/2du=−u8(2u2−5a2)a2−u2+3a48sin−1ua+C∫(a2−u2)3/2du=−u8(2u2−5a2)a2−u2+ 3a48sin−1ua+C
93а. ∫du(a2−u2)3/2=ua2a2−u2+C∫du(a2−u2)3/2=ua2a2−u2+C
93б. ∫dua2-u2=12alnu+au-a+C∫dua2-u2=12alnu+au-a+C
Интегралы с участием 2
au − u 2 , a > 094. ∫2au-u2du=u-a22au-u2+a22cos-1(a-ua)+C∫2au-u2du=u-a22au-u2+a22cos-1(a-ua)+C
95. ∫du2au-u2=cos-1(a-ua)+C∫du2au-u2=cos-1(a-ua)+C
96. ∫u2au-u2du=2u2-au-3a262au-u2+a32cos-1(a-ua)+C∫u2au-u2du=2u2-au-3a262au-u2+a32cos-1(a-ua)+C
97. ∫duu2au-u2=-2au-u2au+C∫duu2au-u2=-2au-u2au+C
Интегралы с участием
a + bu , a ≠ 098. ∫udua+bu=1b2(a+bu-aln|a+bu|)+C∫udua+bu=1b2(a+bu-aln|a+bu|)+C
99. ∫u2dua+bu=12b3[(a+bu)2−4a(a+bu)+2a2ln|a+bu|]+C∫u2dua+bu=12b3[(a+bu)2−4a(a +bu)+2a2ln|a+bu|]+C
100. ∫duu(a+bu)=1aln|ua+bu|+C∫duu(a+bu)=1aln|ua+bu|+C
101. ∫duu2(a+bu)=−1au+ba2ln|a+buu|+C∫duu2(a+bu)=−1au+ba2ln|a+buu|+C
102. ∫udu(a+bu)2=ab2(a+bu)+1b2ln|a+bu|+C∫udu(a+bu)2=ab2(a+bu)+1b2ln|a+bu|+ С
103. ∫uduu(a+bu)2=1a(a+bu)−1a2ln|a+buu|+C∫uduu(a+bu)2=1a(a+bu)−1a2ln|a+buu|+ С
104. ∫u2du(a+bu)2=1b3(a+bu−a2a+bu−2aln|a+bu|)+C∫u2du(a+bu)2=1b3(a+bu−a2a+bu− 2aln|a+bu|)+C
105. ∫ua+budu=215b2(3bu−2a)(a+bu)3/2+C∫ua+budu=215b2(3bu−2a)(a+bu)3/2+C
106. ∫udua+bu=23b2(bu−2a)a+bu+C∫udua+bu=23b2(bu−2a)a+bu+C
107. ∫u2dua+bu=215b3(8a2+3b2u2−4abu)a+bu+C∫u2dua+bu=215b3(8a2+3b2u2−4abu)a+bu+C
108. ∫duua+bu=1aln|a+bu−aa+bu+a|+C,ifa>0=2−atan−1a+bu−a+C,ifa<0∫duua+bu=1aln|a +bu-aa+bu+a|+C,ifa>0=2-atan-1a+bu-a+C,ifa<0
109. ∫a+buudu=2a+bu+a∫duua+bu∫a+buudu=2a+bu+a∫duua+bu
110. ∫a+buu2du=−a+buu+b2∫duua+bu∫a+buu2du=−a+buu+b2∫duua+bu
111. ∫una+budu=2b(2n+3)[un(a+bu)3/2−na∫un−1a+budu]∫una+budu=2b(2n+3)[un(a+bu) )3/2−na∫un−1a+budu]
112. ∫undua+bu=2una+bub(2n+1)−2nab(2n+1)∫un−1dua+bu∫undua+bu=2una+bub(2n+1)−2nab(2n+1)∫ ип-1дуа+бу
113. ∫duuna+bu=−a+bua(n−1)un−1−b(2n−3)2a(n−1)∫duun−1a+bu∫duuna+bu=−a+bua(n −1)un−1−b(2n−3)2a(n−1)∫duun−1a+bu
Mathwords: интегральная таблица
Mathwords: интегральная таблица
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|