Таблица с синусами и косинусами: Таблица тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы. Таблица углов. Формулы приведения

Факт 1.
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:

 

Факт 2.
\(\bullet\) Знаки синуса, косинуса:

Так как \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) и \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), то тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны во \(II\) и \(IV\) четвертях.  

Факт 3.
Формулы приведения.
\(\bullet\) Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\). \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\).
Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится.

Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.   \(\bullet\) Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm\alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\). \[\cos\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\).
Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\).

 

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).
Алгоритм применения формул приведения для тангенса и котангенса полностью аналогичен.  

Пример 1. Найти \(\cos \dfrac{13\pi}{3}\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{12\pi+\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\cos \dfrac{13\pi}{3}=\cos \left(4\pi+\dfrac{\pi}3\right)=\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12\)

 

Пример 2. Найти \(\sin \dfrac{17\pi}{6}\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{17\pi}{6}=\dfrac{18\pi-\pi}{6}=3\pi-\dfrac{\pi}6\), следовательно, \(\sin \dfrac{17\pi}{6}=\sin \left(3\pi-\dfrac{\pi}6\right)=\sin\dfrac{\pi}6=\dfrac12\)

 

Пример 3. Найти \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{15\pi}4=\dfrac{16\pi-\pi}4=4\pi-\dfrac{\pi}4\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4=\mathrm{tg}\left(4\pi-\dfrac{\pi}4\right)= -\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}4=-1\)

 

Пример 4. Найти \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{19\pi}3=\dfrac{18\pi+\pi}3=6\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3=\mathrm{ctg}\left(6\pi+\dfrac{\pi}3\right)= \mathrm{ctg}\,\dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}3\)

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов.

Класс 9 Дата Предмет алгебра Подпись проверяющего — Урок № 56

Тема урока: Глава 3. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов.

Цели урока:

Оценка: определяют результаты своей работы на уроке Синтез: используют значения тригонометрических функций в решении задач Анализ: изучают значения тригонометрических функций, работают с таблицей Применение: демонстрируют применение значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла Понимание: обсуждают значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла Знание: рассказывают значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла

Учебно-воспитательные задачи: Образовательная:

Познакомиться со значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, обеспечить усвоение новых знаний по данной теме, сформировать навыки применения знаний по данной теме

Развивающая: развитие способности выражать мысли, познавательных способностей, формирование алгоритмического мышления, расширение кругозора

Воспитательная: способствовать выявлению, раскрытию способностей учащихся, возбуждать интерес к предмету, побуждать учащихся к применению полученных знаний

Результаты обучения: Учащиеся знают значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла

Учащиеся умеют: применять значения тригонометрических функций в решении задач, ясно выражать мысли, участвовать в дискуссии, умеют слушать и слышать

Тип урока: сообщение новых знаний

Форма проведения урока: беседа

Методы обучения:

По источнику получения знаний: словесные, наглядные, практические.

По способу организации познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративные, репродуктивные.

Методы воспитания: Организация деятельности, формирование мировоззрения, стимулирование деятельности, осуществление контроля, взаимоконтроля, самоконтроля.

Формы обучения: коллективные, индивидуальные, групповые

Основные понятия темы:

Задание на дом: №368, 372

Оборудование, ресурсы, наглядные пособия: учебник, раздаточный материал

Учитель: Шуринова Е.К.

Ход урока

Этапы урока	Содержание этапа
Оргмомент. Задачи: обеспечить нормальную внешнюю обстановку на уроке, психологически подготовить детей к общению	Приветствие Проверка подготовленности к уроку Организация внимания школьников Ознакомление с планом проведения урока
Проверка домашнего задания. Задачи: установить правильность, полноту и осознанность выполнения всеми учащимися домашнего задания, выявить пробелы в знаниях, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы	Выявление степени усвоения заданного учебного материала Ликвидация обнаруженных недостатков. Проверка выполнения домашнего задания у доски
Вызов. Задачи: обеспечить включение школьников в совместную деятельность по определению целей учебного занятия.	Сообщение темы урока Формулируют цели: сформировать навыки применения знаний по данной теме
Актуализация знаний и умений Задачи: психологическая подготовка ученика: сосредоточение внимания, осознание значимости предстоящей деятельности, возбуждение интереса к уроку; учащиеся воспроизводят известные им знания, осознают их, обобщают факты, связывают старые знания с новыми условиями, с новыми данными и т. д.	У доски игра «крестики-нолики» sin 30° cos 45° tg 0° тg 90° sin 60° cos 0° сos 60° tg 180° sin 0° tg π/3 sin π/4 tg π/6 sin π/2 cos π/6 tg π/4 cos π/2 cos π sin π Переведите:60°, 120°, 270°, в радианную меру. Переведите:90°, 135°, 360°, в радианную меру. Переведите: π/2, π/4, 3π/4, в градусную меру. Переведите: π, π/6, 5 π/6, в градусную меру.
Осмысление Изучение нового материала. Задачи: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание изучаемого материала, осознание своих способов проработки учебной информации	Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенсапозволяют указать значения тригонометрических функций для углов 0 и 90градусов:  , а котангенс нуля градусов не определен, и , а тангенс 90 градусов не определен. В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30, 60 и 90 градусов, а также 45, 45 и 90 градусов находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов: Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60 и90 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300,315, 330 и 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид. Опираясь на свойство периодичности синуса, косинуса, тангенса и котангенса, таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже. Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть
Закрепления новых знаний и умений. Задачи: обеспечить повышение уровня осмысления учащимися изученного материала, глубины его усвоения	tg π/4*cos π/6+2sin45° 4cos60°-3sinπ/2+1/2tg45° 6sin π/2-1,5tg180°-√3cos π/6 √2cos π/4+√3tg30°+1,5cosπ
Проверка новых знаний Задачи: установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления	Работа с учебником №369-372 Уровень В № 375,376
Коррекция знаний. Задачи: скорректировать выявленные проблемы	Организация деятельности учащихся по коррекции выявленных недостатков Индивидуальное задание. Повторное разъяснение учителя.
Подведение итогов. Рефлексия. Задачи: инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, дать оценку работе отдельных учащихся и всего класса	Мобилизация учащихся на рефлексию В занятии для меня было: Самым полезным_________________________________________________ Самым приятным __________________________________________________ самым интересным ______________________________________________ .Выставление оценок.

Рефлексия учителя о проведенном уроке:

Интерполяция синусов и косинусов

В предыдущем посте показано, как можно использовать линейную интерполяцию для заполнения пробелов в таблице логарифмов. Вы можете сделать то же самое для таблицы синусов и косинусов, но есть способ получше. Как и прежде, мы предполагаем, что вы работаете вручную, используя только карандаш, бумагу и справочник таблиц.

Линейная интерполяция

Предположим, вы хотите найти синус 12,3456° и у вас есть таблица синусов для углов с шагом 0,1°. В Таблице 4.10 A&S мы находим

sin 12,3° = 0,21303 03862 74977
sin 12,4° = 0,21473 53271  67063

Если бы мы использовали линейную интерполяцию, мы бы оценили

sin 12,5° 12,6 дюйма + 0,3456°3 = sin 12,5° 3456°3. 4° – sin 12,3° ) = 0,21380 78393 21768

с точностью до шести знаков после запятой.

Лучший подход

Другим подходом может быть использование тождества

sin(θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ

вместо линейной интерполяции, установив θ = 12,3° и φ = 0,0456°. Мы можем найти синус и косинус θ в нашей таблице, но как нам найти синус и косинус φ?

Косинус вычислить легко: установите его равным 1. Для небольшого угла x (в радианах) косинус x приблизительно равен 1 с погрешностью менее x ²/2. В радианах

φ = 0,0456 π/180 = 0,00079 58701 38909

, поэтому ошибка усечения при аппроксимации cos φ с 1 составляет около 3×10 ^-7 .

Вычислить синус φ несложно, но для этого нужно преобразовать φ в радианы. Вы, вероятно, могли бы найти коэффициент преобразования в своем справочнике, например. в Таблице 1.1 A&S.

0,0456° = 0,0456 × 0,01745 32925 19943

Когда φ выражено в радианах, sin φ = φ с погрешностью менее φ³/6 (см. здесь).

Соединяя части вместе, мы получаем

sin(θ + φ) = sin 12,3° × 1 + cos 12,3° × φ

, что, используя приведенные выше числа, дает нам 0,2138078524

76, что примерно на 6×10 ^-8 .

Больше точности

Если мы хотим еще больше точности, нам нужно найти самое слабое звено в наших расчетах. Ошибка аппроксимации sin φ как φ порядка φ³, а ошибка аппроксимации cos φ как 1 порядка φ², поэтому последний является самым большим источником ошибки.

Если мы аппроксимируем cos φ как 1 – φ²/2, ошибка будет порядка φ ⁴ , а самым слабым звеном будет синусоидальная аппроксимация с ошибкой порядка φ³, которая все еще довольно мала. Общая ошибка при вычислении sin 12,3456° будет меньше 10 ^-10 , если мы используем это приближение более высокого порядка для косинуса φ.

Сравните и сопоставьте

Вернемся к аппроксимации косинуса малого угла на 1 и сравним два приведенных выше подхода аппроксимации.

Линейная интерполяция:

sin 12,3456° = sin 12,3° + 0,456(sin 12,4° – sin 12,3°)

Формула сложения:

sin 12,3456° = sin 12,3° + 0,01801 (π2/s 0,01801) )

Вторые члены в двух подходах равны

0,0456(sin 12,4° – sin 12,3°)/0,1

и

0,0456 (π/180) (cos 12,3°).

Эти два числа похожи, потому что

(sin 12,4° – sin 12,3°)/0,1 ≈ (π/180) (cos 12,3°).

Член слева представляет собой разностный коэффициент для синуса при 12,3° с шагом ч = 0,1, а член справа представляет собой производную синуса при 12,3°.

Подожди, а производная от синуса не просто косинус? Это когда вы работаете в радианах , поэтому в исчислении почти всегда используются радианы, но когда вы работаете в градусах, производная синуса равна π/180, умноженной на косинус.

Это показывает, что если вы аппроксимируете косинусы малых углов как 1, формула суммы сводится к одночленной аппроксимации Тейлора.

Таблица интегралов синуса и косинуса для аргументов от 10 до 100

Эта система будет проходить техническое обслуживание 27 апреля с 8:00 до 12:00 по центральному поясному времени.

Один из 8 отчетов в ряд: На этом сайте доступна серия статей по прикладной математике (Вашингтон, округ Колумбия).

Показаны 1-4 из 204 страницы в этом отчете.

PDF-версия также доступна для скачивания.

Описание

Отчет, содержащий таблицы и интегралы синуса и косинуса для различных волн.

Физическое описание

xv, 187 стр. : диаг. ; 27 см.

Информация о создании

Соединенные Штаты. Национальное бюро стандартов. Вычислительная лаборатория. 1954.

Контекст

Этот отчет входит в состав сборника под названием: Архив технических отчетов и библиотека изображений и предоставлено отделом государственных документов библиотек ЕНТ к Электронная библиотека ЕНТ, цифровой репозиторий, размещенный на Библиотеки ЕНТ.

Его просмотрели 27135 раз, из них 643 — за последний месяц. Более подробную информацию об этом отчете можно посмотреть ниже.

Поиск
Открытый доступ

ВОЗ

Люди и организации, связанные либо с созданием этого отчета, либо с его содержанием.

Автор

• Соединенные Штаты. Национальное бюро стандартов. Вычислительная лаборатория.

Издатель

• Соединенные Штаты. Государственная типография.
  Место публикации: Вашингтон, округ Колумбия

Аудитории

Мы определили это отчет как первоисточник в наших коллекциях.

Исследователи, преподаватели и студенты могут найти этот отчет полезным в своей работе.

Предоставлено

Библиотеки ЕНТ Отдел государственных документов

Являясь одновременно федеральной и государственной депозитарной библиотекой, отдел государственных документов библиотек ЕНТ хранит миллионы единиц хранения в различных форматах. Департамент является членом Программы партнерства по контенту FDLP и Аффилированного архива Национального архива.

О | Просмотрите этого партнера

Свяжитесь с нами

Исправления и проблемы Вопросы

Что

Описательная информация, помогающая идентифицировать этот отчет. Перейдите по ссылкам ниже, чтобы найти похожие элементы в электронной библиотеке.

Титулы

• Основное название: Таблица синусоидальных и косинусных интегралов для аргументов от 10 до 100
• Название серии: Серия прикладной математики (Вашингтон, округ Колумбия)
• Добавлен заголовок: Соединенные Штаты. Национальное бюро стандартов. Серия «Прикладная математика», 32
• Название серии: Отчеты Национального бюро стандартов
• Добавлен заголовок: Серия «Прикладная математика», бюллетень 32

Описание

Отчет, содержащий таблицы и интегралы синуса и косинуса для различных волн.

Физическое описание

xv, 187 стр. : диаг. ; 27 см.

Предметы

Тематические рубрики Библиотеки Конгресса

• Тригонометрические функции.
• Тригонометрия — Таблицы.

Язык

• Английский

Тип вещи

• Отчет

Идентификатор

Уникальные идентификационные номера для этого отчета в электронной библиотеке или других системах.

• ОСЛК : 852744
• Архивный ресурсный ключ : ковчег:/67531/metadc40300

Коллекции

Этот отчет является частью следующего сборника связанных материалов.

Архив технических отчетов и библиотека изображений

Эта подборка материалов из Архива технических отчетов и библиотеки изображений (TRAIL) включает труднодоступные отчеты, опубликованные различными государственными учреждениями. Технические публикации содержат отчеты, изображения и технические описания исследований, выполненных для правительственных учреждений США. Темы варьируются от добычи полезных ископаемых, опреснения и радиации до более широких исследований в области физики, биологии и химии. Некоторые отчеты включают карты, раскладки, чертежи и другие материалы большого размера.

О | Просмотрите эту коллекцию

Какие обязанности у меня есть при использовании этого отчета?

Цифровые файлы

• 204 файлы изображений доступны в нескольких размерах
• 1 файл (. pdf)
• API метаданных: описательные и загружаемые метаданные, доступные в других форматах

Когда

Даты и периоды времени, связанные с этим отчетом.

Дата создания

• 1954 г.

Добавлено в цифровую библиотеку ЕНТ

• 2 сентября 2011 г., 22:21

Описание Последнее обновление

• 3 апреля 2019 г. , 12:58

Статистика использования

Когда последний раз использовался этот отчет?

Вчера: 0

Последние 30 дней: 643

Всего использовано: 27 135

Дополнительная статистика

Взаимодействие с этим отчетом

Вот несколько советов, что делать дальше.

Поиск внутри

Поиск

Начать чтение

PDF-версия также доступна для скачивания.

• Все форматы

Цитаты, права, повторное использование

• Ссылаясь на этот отчет
• Обязанности использования
• Лицензирование и разрешения
• Связывание и встраивание
• Копии и репродукции

Международная структура взаимодействия изображений

Мы поддерживаем IIIF Презентация API

Распечатать/поделиться

Полезные ссылки в машиночитаемом формате.

Архивный ресурсный ключ (ARK)

• ERC Запись: /арк:/67531/metadc40300/?
• Заявление о стойкости: /ark:/67531/metadc40300/??

Международная структура совместимости изображений (IIIF)

• IIIF Манифест: /арк:/67531/metadc40300/манифест/

Форматы метаданных

• UNTL Формат: /ark:/67531/metadc40300/metadata. untl.xml
• DC РДФ: /ark:/67531/metadc40300/metadata.dc.rdf
• DC XML: /ark:/67531/metadc40300/metadata.dc.xml
• OAI_DC : /oai/?verb=GetRecord&metadataPrefix=oai_dc&identifier=info:ark/67531/metadc40300
• МЕТС : /ark:/67531/metadc40300/metadata. mets.xml
• Документ OpenSearch: /ark:/67531/metadc40300/opensearch.xml

Изображений

• Миниатюра: /ark:/67531/metadc40300/миниатюра/
• Маленькое изображение: /ковчег:/67531/metadc40300/маленький/

URL-адреса

• В текст: /ark:/67531/metadc40300/urls.

  No related posts.