Темы линейная алгебра: темы, основы, методы, применение, примеры

темы, основы, методы, применение, примеры

Линейная алгебра – это раздел математики, в рамках которого изучаются самые разнообразные объекты линейной природы. В числу таких объектов относят линейные уравнения и пространства, отображения и т.д.

Основным объектом линейной алгебры является линейное пространство — понятие, обобщающее:

• множество V₃ векторов в пространстве и
• множество M_mn(R) матриц одного типа с линейными операциями, заданными на этих множествах.

Элементы линейного пространства называют векторами, обобщая термин из векторной алгебры. Само линейное пространство часто называют векторным.

Линейные пространства — один из самых распространенных математических объектов, и применение линейной алгебры далеко не исчерпывает векторной и матричной алгебрами.

В линейном пространстве действуют две операции:

• сложение векторов и
• умножение вектора на число, которые подчиняются аксиомам линейного пространства.

Однако могут вводиться и другие операции и соответственно дополнительные аксиомы. Эти операции задают дополнительные отношения в линейном пространстве, которые тоже изучаются в линейной алгебре и часто используются в различных приложениях.

Среди базовых инструментов линейной алгебры можно назвать матрицы и  определители, а также сопряжение. В разделе «Линейная алгебра» на нашем сайте можно найти основные определения, кроме того, примеры с подробным решением, а также видеоуроки. Если не нашли нужную тему, или есть трудности с решением каких-то типовых задач — пишите об этом в комментариях.

Перечень тем курса линейной алгебры

Линейная алгебра

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Обозначается ранг матрицы: r(A) или rang(A). Методы нахождения ранга матрицы Суще…

Линейная алгебра

Общая формула вычисления определителя матрицы 3 на 3 довольно громоздка. Поэтому для вычисления определителя 3 порядка существует метод под названием — пр. ..

Линейная алгебра

Этот метод заключается в следующем: расширенную матрицу системы путем элементарных преобразований нужно привести к ступенчатому виду. К элементарным преобразова…

Линейная алгебра

Решение методом Крамера

Линейная алгебра

Запишем систему линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) в матричном виде: AX = B где А — матрица системы, составленная из коэффициентов, стоящих перед не…

Линейная алгебра

Как находить обратную матрицу? Рассмотрим несколько примеров по нахождению обратной матрицы.     Видеоурок на тему — обратная матрица

Линейная алгебра

Определитель 4 порядка на видео

Линейная алгебра

Сформулируем основные свойства определителей матрицы. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами. Величина определителя от перестановки двух л…

Линейная алгебра

Видеоурок на тему: определитель 3 порядка

Линейная алгебра

Определение: Алгебраическое дополнение Aij элемента aij называется число: Aij=(-1)i+jMij, где Mij — минор элемента aij Как найти алгебраическое дополнение. ..

Факультет экономических наук – Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Мероприятия

Информационный бюллетень

Полезные ресурсы

О факультете

Факультет экономических наук (ранее — факультет экономики) является ведущим факультетом НИУ ВШЭ, с которого в 1992 году началась история университета. Сегодня это крупнейшее образовательное и научно-исследовательское подразделение Высшей школы экономики. Факультет соединяет организационные и финансовые возможности ключевых образовательных и исследовательских центров, интеллектуальный капитал и профессионализм лучших в своей области научных коллективов, сложившиеся за многие годы уникальные связи с ведущими университетами мира и лидирующими на рынке работодателями — российскими и транснациональными корпорациями.

С 22 апреля организаторы «Социального лифта» запускают серию очных встреч и вебинаров для абитуриентов, желающих принять участие в проекте. На мероприятиях они узнают больше о программе и получат ответы на свои вопросы. «Вышка.Главное» рассказывает, где и когда можно встретиться с организаторами и как «Социальный лифт» помог участникам прошлого года поступить в Вышку.

На факультете экономических наук прошла весенняя смена математического лагеря для абитуриентов магистратуры факультета экономических наук. По итогам работы математического лагеря самые активно и правильно решающие домашние задания получили сертификаты участника, которые дают преимущества для поступающих в магистратуру НИУ ВШЭ по портфолио. Участники и организаторы делятся впечатлениями

В финальных соревнованиях между факультетами ФЭН занял призовое 3 место, поднявшись на одну ступеньку по сравнению с прошлым годом. Ура победителям!

В большинстве венчурных инвестиционных компаний решение вложить средства в проект принимается не одним человеком, а инвестиционным комитетом.

Здесь должно работать правило большинства. Но на деле нередко энтузиазм одного человека перевешивает пессимизм остальных. Исследования показывают, что в основе и такого подхода лежит рационализм. Об алгоритмах принятия инвестиционных решений в рамках XXIV Ясинской (Апрельской) международной научной конференции рассказал адъюнкт-профессор финансов Школы бизнеса Мичиганского университета Андрей Маленко.

Охват российской молодежи 18-29 программами подготовки специалистов среднего звена составляет 42,8%, превосходя величину охвата высшим образованием (35%). Но только каждый пятый работник до 29 лет на рынке труда имеет диплом об окончании программы подготовки квалифицированных рабочих. Заработная плата выпускников колледжей и техникумов на 30% выше заработной платы выпускников 11-х классов, вышедших на рынок труда, и на 55% — выпускников 9-х классов, но на 60 % ниже чем у выпускников с высшим образования.

Все новости

Учебный план | линейная алгебра | Математика

« Предыдущая | Далее »

Видео-введение профессора Стрэнга

Введение в курс линейной алгебры

Обзор курса

Этот курс охватывает теорию матриц и линейную алгебру, уделяя особое внимание темам, полезным в других дисциплинах. Линейная алгебра — раздел математики, изучающий системы линейных уравнений и свойства матриц. Понятия линейной алгебры чрезвычайно полезны в физике, экономике и социальных науках, естественных науках и технике. Благодаря широкому спектру приложений линейная алгебра является одним из наиболее широко изучаемых предметов в математике на уровне колледжа (и все чаще в средней школе).

Предпосылки

18.02 Многомерное исчисление является формальным предварительным условием для студентов Массачусетского технологического института, желающих записаться на курс 18.06 Linear Algebra, но для изучения этого предмета знание исчисления не требуется.

Чтобы преуспеть в этом курсе, вы должны хорошо разбираться в векторах, матрицах и трехмерных системах координат. Этот материал представлен в нескольких первых лекциях 18.02 Multivariable Calculus и снова здесь.

Основные операции линейной алгебры — это те, которые вы изучали в начальной школе — сложение и умножение для получения «линейных комбинаций». Но с векторами мы перемещаемся в четырехмерное пространство и n-мерное пространство!

Цели курса

После успешного завершения курса вы будете хорошо разбираться в следующих темах и их применении:

• Системы линейных уравнений
• Сокращение рядов и ступенчатые формы
• Операции с матрицами, включая обратные
• Блочные матрицы
• Линейная зависимость и независимость
• Подпространства, основания и размеры
• Ортогональные основания и ортогональные проекции
• Процесс Грама-Шмидта
• Линейные модели и задачи наименьших квадратов
• Детерминанты и их свойства
• Правило Крамера
• Собственные значения и собственные векторы
• Диагонализация матрицы
• Симметричные матрицы
• Положительно определенные матрицы
• Аналогичные матрицы
• Линейные преобразования
• Разложение по сингулярным числам

Формат

Этот курс, предназначенный для самостоятельного изучения, организован в соответствии с последовательностью тем, изучаемых в курсе MIT по линейной алгебре. Содержание организовано в три основных блока:

• Ax = b и четыре подпространства
• Метод наименьших квадратов, определители и собственные значения
• Положительные определенные матрицы и приложения

Каждый модуль был далее разделен на последовательность сеансов, которые охватывают сумму, которую вы, возможно, ожидаете выполнить за один присест. На каждом занятии есть видеолекция по теме, сопровождаемая конспектом лекции. Для дальнейшего изучения предлагается литература в учебнике профессора Стрэнга (как 4-е, так и 5-е издание):

Странг, Гилберт. Введение в линейную алгебру. 4-е изд. Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press, февраль 2009 г. ISBN: 9780980232714

Странг, Гилберт. Введение в линейную алгебру. 5-е изд. Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press, февраль 2016 г. ISBN: 9780980232776

Нажмите на навигационные ссылки в левом столбце, чтобы отобразить сеансы в трех модулях.

Чтобы помочь вам в обучении, вы увидите, как решение задач преподается опытным инструктором по чтению MIT (шесть видео по решению проблем также доступны на китайском языке).

Наконец, в каждом разделе вам будут представлены наборы задач в стратегических точках, чтобы вы могли проверить свое понимание материала.

Массачусетский технологический институт ожидает, что его студенты потратят около 150 часов на этот курс. Больше половины этого времени уходит на подготовку к уроку и выполнение заданий. Трудно оценить, сколько времени вам потребуется, чтобы пройти курс, но вы, вероятно, можете рассчитывать на то, что проработаете каждый отдельный сеанс в течение часа или больше.

Познакомьтесь с командой

Этот курс OCW Scholar был разработан:

• Гилберт Странг, профессор математики Массачусетского технологического института

С технической и письменной помощью:

• Доктор математики, «Профессор математики и компьютерных наук, Государственный университет Бриджуотер

Видеоролики Help Session были разработаны:

• Мартина Балагович
• Линан Чен
• Бенджамин Харрис
• Ана Рита Пирес
• Давид Широкофф
• Никола Камбуров

Чтобы узнать больше о каждом из ТА, посетите раздел Знакомство с ТА.

« Предыдущая | Далее »

Линейная алгебра — определения, темы, формулы, примеры

Линейная алгебра — это раздел математики, который занимается линейными уравнениями и их представлением в векторном пространстве с помощью матриц. Другими словами, линейная алгебра — это изучение линейных функций и векторов. Это одна из центральных тем математики. Большинство современных геометрических концепций основаны на линейной алгебре.

Линейная алгебра облегчает моделирование многих природных явлений и, следовательно, является неотъемлемой частью техники и физики. Линейные уравнения, матрицы и векторные пространства являются наиболее важными компонентами этого предмета. В этой статье мы узнаем больше о линейной алгебре и различных связанных с ней темах.

1.	Что такое линейная алгебра?
2.	Разделы линейной алгебры
3.	Темы по линейной алгебре
4.	Формула линейной алгебры
5.	Линейная алгебра и ее приложения
6.	Часто задаваемые вопросы по линейной алгебре

Что такое линейная алгебра?

Линейную алгебру можно определить как раздел математики, который занимается изучением линейных функций в векторных пространствах. Когда информация, относящаяся к линейным функциям, представлена ​​в организованной форме, она приводит к матрице. Таким образом, линейная алгебра имеет дело с векторными пространствами, векторами, линейными функциями, системой линейных уравнений и матрицами. Эти концепции являются необходимым условием для родственных тем, таких как геометрия и функциональный анализ.

Линейная алгебра Определение

Раздел математики, который занимается векторами, матрицами, конечными или бесконечными измерениями, а также линейным отображением между такими пространствами, определяется как линейная алгебра. Он используется как в чистой, так и в прикладной математике, а также в различных технических областях, таких как физика, инженерия, естественные науки и т. д.

Разделы линейной алгебры

Линейную алгебру можно разделить на три ветви в зависимости от уровня сложности и вида тем, охватываемых каждой из них. Это элементарная, продвинутая и прикладная линейная алгебра. Каждая ветвь охватывает различные аспекты матриц, векторов и линейных функций.

Элементарная линейная алгебра

Элементарная линейная алгебра знакомит учащихся с основами линейной алгебры. Это включает в себя простые матричные операции, различные вычисления, которые могут быть выполнены в системе линейных уравнений, и некоторые аспекты векторов. Некоторые важные термины, связанные с элементарной линейной алгеброй, приведены ниже:

Скаляры — Скаляр — это величина, которая имеет только величину, но не направление. Это элемент, который используется для определения векторного пространства. В линейной алгебре скаляры обычно представляют собой действительные числа.

Векторы — Вектор — это элемент векторного пространства. Это количество, которое может описать как направление, так и величину элемента.

Векторное пространство — Векторное пространство состоит из векторов, которые можно складывать и умножать на скаляры.

Матрица — Матрица представляет собой прямоугольный массив, в котором информация организована в виде строк и столбцов. Большинство свойств линейной алгебры можно выразить в терминах матрицы.

Операции с матрицами — это простые арифметические операции, такие как сложение, вычитание и умножение, которые можно выполнять над матрицами.

Расширенная линейная алгебра

После того, как учащиеся познакомятся с основами линейной алгебры, основное внимание будет уделено более сложным понятиям, связанным с линейными уравнениями, векторами и матрицами. Вот некоторые важные термины, которые используются в продвинутой линейной алгебре:

Линейные преобразования — Преобразование функции из одного векторного пространства в другое с сохранением линейной структуры каждого векторного пространства.

Обратная матрица — Когда обратная матрица умножается на заданную исходную матрицу, результатом будет единичная матрица. Таким образом, A ^-1 A = I.

Собственный вектор — Собственный вектор — это ненулевой вектор, который изменяется на скалярный коэффициент (собственное значение) при применении к нему линейного преобразования.

Линейная карта — это тип отображения, который сохраняет векторное сложение и векторное умножение.

Прикладная линейная алгебра

Прикладная линейная алгебра обычно вводится студентам на уровне выпускников в области прикладной математики, инженерии и физики. Эта ветвь алгебры направлена ​​на объединение концепций элементарной и продвинутой линейной алгебры с их практическими последствиями. Такие темы, как норма вектора, QR-факторизация, дополнение Шура к матрице и т. Д., Подпадают под эту ветвь линейной алгебры.

Темы по линейной алгебре

Темы, относящиеся к линейной алгебре, можно разделить на три широкие категории. Это линейные уравнения, матрицы и векторы. Все эти три категории взаимосвязаны, и их необходимо хорошо понимать, чтобы овладеть линейной алгеброй. Темы, подпадающие под каждую категорию, приведены ниже.

Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение стандартной формы \(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + … + a_{n}x_{n}\ ). Это фундаментальный компонент линейной алгебры. Темы, охватываемые линейными уравнениями, следующие:

• Линейные уравнения с одной переменной
• Линейные уравнения с двумя переменными
• Одновременные линейные уравнения
• Решение линейных уравнений
• Решения линейного уравнения
• Графики линейных уравнений
• Применение линейных уравнений
• Прямая линия

Векторы

В линейной алгебре над векторами можно выполнять несколько операций, таких как умножение, сложение и т. д. Векторы можно использовать для описания таких величин, как скорость движущихся объектов. Вот некоторые важные темы, охватываемые векторами:

• Типы векторов
• Скалярный продукт
• Перекрестное произведение
• Добавление векторов

Матрицы

Матрица используется для организации данных в форме прямоугольного массива. Его можно представить как \(A_{m\times n}\). Здесь m представляет количество строк, а n обозначает количество столбцов в матрице. В линейной алгебре матрица может использоваться для более компактного выражения линейных уравнений. Темы, которые охватываются матрицами, следующие:

• Операции с матрицами
• Определитель
• Транспонирование матрицы
• Типы матрицы

Формула линейной алгебры

Формулы составляют важную часть линейной алгебры, поскольку они помогают упростить вычисления. Ключом к решению любой задачи линейной алгебры является понимание формул и связанных с ними понятий, а не их запоминание. Важные формулы линейной алгебры можно разделить на 3 категории, а именно линейные уравнения, векторы и матрицы.

Линейные уравнения: Основные формулы линейных уравнений перечислены ниже:

• Общая форма: ax + by = c
• Форма пересечения наклона: y = mx + b
• а + б = б + а
• а + 0 = 0 + а = а

Векторы: Если есть два вектора \(\overrightarrow{u}\) = (\(u_{1}\), \(u_{2}\), \(u_{3}\)) и \(\overrightarrow{v}\) = (\(v_{1}\), \(v_{2}\), \(v_{3}\)) тогда важные векторные формулы, связанные с линейной алгеброй, приведены ниже . 9{2}}\)

\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}\)

\(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} = (u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1}-u_{1}v_{ 3}, и_{1}в_{2}-и_{2}в_{1})\)

Матрица: Если есть две квадратные матрицы, заданные A и B, где элементами являются \(a_{ij}\) и \(b_{ij}\) соответственно, то в линейной алгебре используются следующие важные формулы :

9{n}a_{ik}b_{kj}\)

Линейная алгебра и ее приложения

Линейная алгебра используется почти во всех областях. Простые алгоритмы также используют темы линейной алгебры, такие как матрицы. Ниже приведены некоторые приложения линейной алгебры:

• Обработка сигналов . Линейная алгебра используется для кодирования и обработки сигналов, таких как аудио- и видеосигналы. Кроме того, это требуется при анализе таких сигналов.
• Линейное программирование — это метод оптимизации, который используется для определения наилучшего результата линейной функции.
• Информатика — Специалисты по данным используют несколько алгоритмов линейной алгебры для решения сложных задач.
• Алгоритмы прогнозирования — Алгоритмы прогнозирования используют линейные модели, разработанные с использованием концепций линейной алгебры.

Связанные статьи:

• Введение в графику
• Линейные уравнения и неравенства с одной переменной
• Разложение вектора на компоненты

Важные замечания по линейной алгебре

• Линейная алгебра занимается изучением трех широких подтем — линейных функций, векторов и матриц
• Линейную алгебру можно разделить на 3 категории. Это элементарная, продвинутая и прикладная линейная алгебра.
• Элементарная линейная алгебра посвящена введению в линейную алгебру. Расширенная линейная алгебра основана на этих концепциях. Прикладная линейная алгебра применяет эти концепции к реальным ситуациям.

Часто задаваемые вопросы по линейной алгебре

Что означает линейная алгебра?

Линейная алгебра — это раздел математики, который занимается изучением линейных функций, векторов, матриц и других связанных аспектов.

Линейная алгебра — это сложно?

Линейная алгебра — очень обширный раздел математики. Однако при регулярной практике и привитии прочной концептуальной основы решать вопросы будет очень легко.

Каковы предпосылки линейной алгебры?

Прежде чем приступить к линейной алгебре, необходимо иметь прочную базу знаний о свойствах чисел и способах выполнения вычислений.

Что такое подпространство в линейной алгебре?

Векторное пространство, полностью содержащееся в другом векторном пространстве, известно как подпространство в линейной алгебре.