Теорема полной вероятности: теория и примеры решения задач

=.

Это равенство хорошо иллюстрируется рис. 1.19. Из теоремы сложения следует. Но по теореме умножения справедливо равенст-во при любом i, 1 ≤ i ≤ n. Следовательно, фор-мула полной вероятности (1.14) справедлива. Теорема доказана.

Замечание. Вероятности событий (гипотез) H₁, H₂, … , H_n, которые входят в формулу (1.14) при решении конкретных задач или заданы или же они должны быть вычислены в процессе решения. В последнем случае правильность вычисления р(H_i) (i

При решении задач на применении формулы полной вероятности удобно придерживаться следующей методики.

Методика применения формулы полной вероятности

а). Ввести в рассмотрение событие (обозначим его А), вероятность которого необходимо определить по условию задачи.

б). Ввести в рассмотрение события (гипотезы) H₁, H₂, … , H_n, которые образуют полную группу.

в). Выписать или вычислить вероятности гипотез р(H₁), р(H₂), … , р(H_n). Контроль правильности вычисления р(H_i) проверяется по условию В большем числе задач вероятности

г). Вычислить искомую вероятность р(А) по формуле (1.14).

Пример. Экономист рассчитал, что вероятность роста стоимости акции его компании в следующем году составит 0,75, если экономика страны будет на подъёме, и 0,30, если будет финансовый кризис. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании в следующем году поднимутся в цене.

Решение. В начале условие задачи формализуется по вероятности. Пусть

p(А) = p(H₁) ∙ p(А/H₁) + p(H₂) ∙ p(А/H₂) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Формула полной вероятности. Вероятность гипотез / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

Формула полной вероятности

Теорема Вероятность события $A$, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий $B_1 ,B_2 ,\ldots B_n $, образующих полную группу равна сумме произведений вероятности каждого из событий на соответствующую условную вероятность. \begin{equation} \label { eq5 } P( A )=P( { B_1 } )\cdot P_ { B_1 } ( A )+P( { B_2 } )\cdot P_ { B_2 } ( A )+\ldots +P( { B_n } )\cdot P_ { B_n } ( A ) \qquad (5) \end{equation} Формула полной вероятности.

Вероятность полной группы несовместных событий $ P( { B_1 } )+P( { B_2 } )+\ldots +P( { B_n } )=1 $

Пример. Имеется два набора ламп. Вероятность того, что лампа 1-го набора стандартна, равна 0,8, второго — 0,7. Найти вероятность того, что взятая наудачу лампа { из наудачу взятого набора } — стандартна.

Решение } : пусть событие $A=$ { извлеченная лампа стандартна }

$B_1 =$ { лампа извлечена из 1-го набора }

$B_2 =$ { лампа извлечена из 2-го набора }

эти события попарно — несовместны.

Вероятность того, что лампа вынута из 1-го набора $P( { B_1 } )=\frac { 1 } { 2 } =0,5$.

Вероятность того, что лампа вынута из 2-го $P( { B_2 } )=\frac { 1 } { 2 } =0,5$.

Вероятность полной группы несовместных событий $\sum\limits_i { P( { B_i } )=0,5+0,5=1 } $.

Вероятность того, что вынутая из 1-го набора лампа является стандартной, есть условная вероятность $P_ { B_1 } ( A )=0,8$

Вероятность того, что вынутая из 2-го набора лампа является стандартной, есть условная вероятность $P_ { B_2 } ( A )=0,7$

Искомая вероятность того, что вынутая наудачу лампа является стандартной, есть $ P( A )=P( { B_1 } )\cdot P_ { B_1 } ( A )+P( { B_2 } )\cdot P_ { B_2 } ( A )=\frac { 1 } { 2 } \cdot 0,8+\frac { 1 } { 2 } \cdot 0,7=\frac { 1 } { 2 } \cdot 1,5=0,75 $

Вероятность гипотез. Формула Байеса

При рассмотрении формулы полной вероятности событие $A$наступает при условии появления одного из несовместных событий $B_i $, следовательно, события $A$ и $B_i$ — зависимы. Поскольку заранее неизвестно какое из событий наступит, то будем события $B_i$ называть гипотезами.

Допустим теперь, что событие $A$ — наступило. Этот факт изменит вероятность гипотез $P_A ( { B_1 } )\ldots P_A ( { B_n } )$

Найдем условные вероятности в предположении, что событие $A$ наступило т.е. $P_A ( { B_1 } )\,,\,P_A ( { B_2 } )\ldots $ { переоценка гипотезы }

Для этого используем теорему умножения.

$P(AB_1)=P(A)\cdot P_A(B_1)=P(B_1)\cdot P_ { B_ { 1 } } (A)$

$P_A ( { B_1 } )=\frac { P( { B_1 } )\cdot P_ { B_1 } ( A ) } { P( A ) } $, Формула Байеса

где $P( A )$ находится по формуле полной вероятности.

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как событие $A$ произошло.

В формуле Байеса есть контроль $ \sum\limits_i { P( { B_i } )=1 } $

Пример. Сверла попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что сверло попало к первому контролеру, равна 0,6. Ко второму — 0,4. Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером, равна 0,95 — вторым 0,97. Готовое сверло было признано стандартным. Найти вероятность того, что это сверло проверил 1-й контролер.

Решение. Через $A$, обозначим событие, которое произошло. $A=$ { готовое сверло признано стандартным }

Сделаем два предположения, две гипотезы:

$B_1 =$ { сверло проверил 1 -й контролер } , $P(B_1 )=0,6$,

$B_2 =$ { сверло проверил 2 -й контролер } , $P(B_2 )=0,4$,

Контроль $\sum\limits_i { P( { B_i } )=0,6+0,4=1 } $

Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером $P_ { B_1 } (A)=0,95$,

Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером $P_ { B_2 } (A)=0,97$,

Искомую вероятность, т.е. вероятность того, что стандартное сверло проверил } 1-й контролер, $P_A ( { B_1 } )$ найдем по формуле Байеса, $P( A )$ — находится по формуле полной вероятности.

$ P_A ( { B_1 } )=\frac { P( { B_1 } )\cdot P_ { B_1 } ( A ) } { P( A ) } =\frac { P( { B_1 } )\cdot P_ { B_1 } ( A ) } { P( { B_1 } )\cdot P_ { B_1 } ( A )+P( { B_2 } )\cdot P_ { B_2 } ( A ) } =\frac { 0,6\cdot 0,95 } { 0,6\cdot 0,95+0,4\cdot 0,97 } =\frac { 0,57 } { 0,57+0,388 } =\frac { 0,57 } { 0,958 } \approx 0,595$

До испытания вероятность гипотезы $B_1 $ равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы { т.е. условная вероятность } изменилась и стала 0,595.

Далее:

27 сентября 2016, 21:34    проектирование км, кмд, кж Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] 0    7385 0

Теорема о полной вероятности

Вероятность — это понятие, используемое в математике, особенно в статистике, для предсказания вероятности возникновения события. Вероятность дает представление о том, произойдет событие или нет, и если прогнозируется, что событие произойдет, насколько мы можем полагаться на его возникновение. Вероятность события — безразмерная величина. Это может быть любое числовое значение в диапазоне от нуля до единицы. Если вероятность события равна 1, то событие обязательно произойдет и, следовательно, называется достоверным событием или определенным событием. Если вероятность события равна «0», событие вообще не произойдет и, следовательно, называется невозможным событием. Теорема о полной вероятности — это теорема, которая связывает условную вероятность с предельной вероятностью.

Теорема об общей вероятности:

Рассмотрим два события A и B, как показано на диаграмме Венна, показанной на рисунке 1. Предположим, что эти два события связаны с одним и тем же пространством выборки, представленным как «S». Все пространство выборки можно разделить на следующие части, обозначающие подмножества пространства выборки «S»: (A ⋂ B’), (A’ ⋂ B’), (A ⋂ B) и (A’ ⋂ B). Эти подмножества являются взаимно непересекающимися множествами, потому что они не пересекаются попарно. Для любых парных комбинаций четырех наборов они остаются непересекающимися. Однако вероятность возникновения любого из этих событий зависит от возникновения других событий в пространстве выборки. В тех случаях, когда вероятность события зависит от вероятности других событий в том же пространстве выборки, для определения вероятности события используется теорема о полной вероятности. 9{n}\] P(Ai).P(E | Ai)

Доказательство теоремы о полной вероятности:

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Рассмотрим примерное пространство, показанное на рисунке выше, такое, что C1, C2, C3 ………… Cn — это разбиения выборочного пространства ‘S’ такие, что Cp ⋂ Cq = ∅ (нулевое множество). т. е. разбиения не пересекаются, когда p ≠ q, где p и q = 1, 2, 3, 4…. н. Также верно, что P (Cm) ≠ 0, т. е. ни одно событие в пространстве выборки не имеет ненулевой вероятности. Пространство выборки можно представить в виде:

S = C1 U C2 U C3 U ………… U Cn → (1)

Для любого события «A» в выборочном пространстве S событие «A» может быть обозначено как:

A = A ⋂ S

Подставляя (1) в приведенное выше уравнение, оно дает

A = A ⋂ (C1 U C2 U C3 U ………… U Cn)

A = (A ⋂ C1) U (A ⋂ C2) U (A ⋂ C3) U ……… U (A ⋂ Cn)

It ясно, что A ⋂ Cp и A ⋂ Cq являются подмножествами Cp и Cq соответственно. Следовательно, верно, что

A ⋂ Cp и A ⋂ Cq также не пересекаются при p ≠ q. Итак, вероятность события «А» можно рассчитать как:

P(A) = P [(A ⋂ C1) U (A ⋂ C2) U (A ⋂ C3) U ……… U (A ⋂ Cn)]

P(A) = P (A ⋂ C1) + P (A ⋂ C2) + P (A ⋂ C3) + ……… + P (A ⋂ Cn) → (3)

Однако правило умножения вероятности утверждает, что

P (A ⋂ Cp) = Р (Ср). P (A | Cp)  → (4) 

Подставляя (3) в (4), получаем

P (A) =  P (C1) . Р (А | С1) + Р (С2) . Р (А | С2) + Р (С3) . Р(А|С3)+…. + P (Cn) . P (A | Cn)

Приведенное выше уравнение может быть кратко записано как: 9{n}\] P(Ci).P(A | Ci)

Теорема полной вероятности Примеры: 

1. У Шэрон есть три мешка по 100 шариков в каждом. В первом мешке 25 синих и 75 красных шариков, во втором мешке 40 синих и 60 красных шариков, а в третьем мешке 55 синих и 45 красных шариков. Из одного из мешков случайным образом выбирается шарик. Какова вероятность того, что это красный шарик? (Подсказка: рассмотрите это как пример теоремы о полной вероятности)

Решение:

Пусть «A» представляет событие выбора красного шарика, а Ci представляет событие выбора мешка. Из приведенных данных мы можем сделать следующий вывод.

Вероятность выбора красного шарика из мешка 1 равна

P (A | C1) = 75 / 100 = 0,75

Вероятность выбора красного шарика из мешка 2 равна

P (A | C2) = 60 / 100 = 0,6

Вероятность выбора красного шарика из мешка 3 равна

P (A | C3) = 45 / 100 = 0,45

Вероятность выбора одного из трех мешков остается прежней.

P (Ci) = ⅓ 

Формула, представляющая доказательство теоремы о полной вероятности  9{3}\] P(Ci).P(A | Ci)

P(A) = P(C1).P(A | C1) + P(C2).P(A | C2) + P(C3 ).P(A | C3)

P(A) = ⅓(0,75) + ⅓(0,6) + ⅓(0,45) = 0,25 + 0,2 + 0,15 = 0,6

Следовательно, вероятность выбора красного шара на случайное из одного из трех мешков равно 0,6

Забавные факты об общей вероятности Доказательство теоремы:

В теории вероятностей условная вероятность рассчитывается, когда наступление одного события возможно только тогда, когда другое событие уже произошло.

Предельная вероятность рассчитывается, когда события в выборочном пространстве независимы друг от друга. События не зависят друг от друга в случае предельной вероятности.

Доказательство теоремы о полной вероятности устанавливает связь между условной вероятностью и предельной вероятностью и определяет вероятность события как сумму вероятностей других событий в пространстве выборки.

Дерево решений — это простой и легкий способ взглянуть на проблемы с помощью полной стратегии закона вероятности. Дерево решений последовательно показывает все возможные события. С помощью дерева решений можно быстро определить отношения между событиями и рассчитать условные вероятности.

Чтобы понять, как можно использовать дерево решений для расчета полного потенциала, рассмотрим следующий пример:

• Рассматриваемый человек — фондовый аналитик из ABC Corp. Он обнаружил, что компания планировала запустить новый проект, который может повлиять на цену акций компании. Определите следующие вероятности:

• Вероятность начала нового проекта составляет 60%.

• Когда компания запускает проект, вероятность того, что ее акции вырастут, составляет 75%.

• Если компания не начинает проект, то вероятность того, что ее акции вырастут, составляет 30%.

Тогда шансы на то, что вторая карта станет королем или нет, будут представлены законом полных вероятностей, например:

P (E) = P (A) P (E | A) + P (B) P (E | B)

Там,

• P (E) вероятность того, что вторая карта будет королем,

• P (A) вероятность того, что первая карта будет королем,

• P (E | A) — вероятность того, что вторая карта — король, при условии, что первая карта — король,

• P (B) — вероятность того, что первая карта не король, | B) вероятность того, что вторая карта будет королем, а первая выпущенная карта не будет королем.

Объяснение теоремы полной вероятности на следующих примерах:

• Врач обращается к пациенту за лечением, пользуется разными видами транспорта, и его шансы прибыть вовремя равны уменьшению его или ее шансы прибыть вовремя из разных видов транспорта.

• Учащийся должен представлять школу на внешнем конкурсе. Шансы выбрать ученика на конкурсе такие же, как и сократить шансы выбрать этого ученика в разных классах школы.

• Шансы найти некачественный манго уменьшаются.

Основой теоремы Байеса является теорема о полной вероятности, которая помогает учащимся вывести обратную вероятность того, что событие происходит из частей выборки S. Расчет наступления события из-за разделение определенного пространства выполняется с помощью теоремы о полной вероятности , а обратная вероятность от конкретного раздела выборочного пространства S из-за данной вероятности события может быть установлена ​​с помощью Теорема Байеса. Следовательно, это завершается выводом теоремы о полной вероятности.

Закон полной вероятности | Superprof

Что такое вероятность?

Мы знаем, что вероятность в статистике относится к вероятности возникновения события. Если событие достоверно , то его вероятность равна 1 . Вероятность невозможного события равна нулю .

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Закон полной вероятности

В теории вероятностей есть основное правило, связанное с предельной и условной вероятностями. Это правило известно как закон полной вероятности. С помощью этого закона мы можем узнать общую вероятность событий из множества различных событий.

Закон полной вероятности также известен как правило полной вероятности . Он разбивает вычисления вероятностей на разные части. Он используется для расчета вероятности события A, когда информации о вероятностях A недостаточно для прямого расчета. Вместо того, чтобы пытаться вычислить вероятность события A напрямую, мы берем вероятность связанного события B и используем ее для вычисления вероятности события A.

Вероятность события A может быть записана как совокупность событий B. Если , , и …. являются разбиением выборочного пространства S, то для любого события A правило полной вероятности определяется как:

В следующем разделе мы вычислим вероятности, используя правило полной вероятности.

Пример 1

В трех коробках разное количество лампочек. В первом ящике 12 лампочек, из них 5 мертвых. Во втором ящике восемь лампочек, из которых 3 перегорели. В третьем ящике девять лампочек, из них две нерабочие. Найти вероятность случайного выбора мертвой лампочки из одного из трех ящиков.

Решение

Общее количество ящиков = 3

Количество ящиков, из которых будут выбраны лампочки = 1

Вероятность = P (B_i) =

Общее количество лампочки в первом ящике = 12

Число мертвых луковиц = 5

Вероятность выбора мертвой луковицы из первого ящика =

Общее количество луковиц во втором ящике = 8

Количество мертвых луковиц = 3

Вероятность выбора мертвой луковицы из второго ящика коробка =

Общее количество луковиц в третьем ящике = 9

Количество мертвых луковиц = 2

Вероятность выбора мертвой луковицы из третьего ящика =

Будет рассчитана вероятность выбора мертвой луковицы из одного из трех ящиков используя правило полной вероятности.

P (умерший) =

Пример 2

Сэм хочет поехать в другой город. Вероятности поехать в другой город в заранее определенный день с дождем или без него равны 0,36 и 0,80 соответственно. Если вероятность дождя в этот день равна 0,30, то определите вероятность того, что Сэм в этот день поедет в другой город?

Решение

Предположим, что A — событие, когда Сэм поедет в другой город в этот день, а B — событие, когда идет дождь. Имеем

P(B) = 0,30

P(нет дождя) = P(B′) = 1 − P(B) = 1 − 0,30 = 0,70

Условные вероятности этих событий будут:

P(A|B) = 0,36

P(A|B’) = 0,80

Поскольку события B и B’ образуют разбиение выборочного пространства S, следовательно, по теореме полной вероятности, мы вычислим такая вероятность:

P(A) = P(B) P(A|B) + P(B′) P(A|B′)

= 0,30 x 0,36 + 0,70 x 0,80

= 0,108 + 0,56

= 0,668

Следовательно, вероятность того, что в этот день будет дождь и Сэм поедет в другой город, равна 0,668 или 66,8%.

Пример 3

В классе три группы. Каждая группа состоит из разного количества студентов. В первой группе 15 учащихся, из них 8 девушек. Во второй группе 9 учеников, из них 4 девочки. В третьей группе 12 учеников, из них 7 девочек. Найти вероятность случайного выбора девушки из одной из трех групп.

Решение

Общее количество групп = 3

Количество групп, из которых будет выбрана девочка = 1

Вероятность = P(B_i) =

Общее количество учеников в первой группе = 15

Число девушек = 8

Вероятность выбора девушки из первой группы =

Всего учащихся во второй группе = 9

Количество девушек в этой группе = 4

Вероятность выбора девушки из второй группы =

Общее количество студентов в третьей группе = 12

Количество девушек в третьей группе = 7

Вероятность выбора девушки из третьей группы =

Вероятность выбора девушки из одной из трех групп будет вычислить по правилу полной вероятности.

P (девушка) =

Пример 4

Есть четыре сумки. В каждом мешочке по 50 мячей. В первом мешке 30 синих шаров, во втором 45 синих шаров, в третьем мешке 35 синих шаров, в четвертом мешке 15 синих шаров. Найти вероятность случайного выбора синего шара из одного из четырех мешков.

Решение

Общее количество мешков = 4

Количество выбранных мешков = 1

Вероятность выбора мешка =

Общее количество шаров в первом мешке = 50

Количество синих шаров = 30

Вероятность 9017 выбора синего шара из первого мешка =

Общее количество шаров во втором мешке = 50

Количество синих шаров во втором мешке = 45

Вероятность выбора синего шара из второго мешка =

Общее количество шаров в третьем мешке = 50

Количество синих шаров в третьем мешке = 35

Вероятность выбора синего шара из третьего мешка =

Общее количество шаров в четвертом мешке = 50

Количество синих шаров в четвертом мешке = 15

Вероятность выбора синего шара из четвертого мешка =

Вероятность выбора синего шара из одного из четырех мешков случайным образом будет рассчитана с использованием правила полной вероятности.