Tg через cos: Основные тригонометрические тождества sin, cos, tg, ctg

Выражение одних тригонометрических функций напрямую через другие. Sin (x) через cos(x) через tg(x) через cot(x)=ctg(x) через sec(x) через csc(x) и наоборот.

		Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg. …Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.  / / Выражение одних тригонометрических функций напрямую через другие. Sin (x) через cos(x) через tg(x) через cot(x)=ctg(x) через sec(x) через csc(x) и наоборот. Поделиться:    Выражение одних тригонометрических функций напрямую через другие. Sin (x) через cos(x) через tg(x) через cot(x)=ctg(x) через sec(x) через csc(x) и наоборот. Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге. Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге. Функция / четверть I II III IV sin α + + – – cos α + – – + tg α + – + – ctg α + – + – Источник — в основном, но не только: 84th Edition of the CRC Handbook of Chemistry and Physics 2004 Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Tg | это… Что такое Tg?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции

 — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Содержание 1 Способы определения 1. 1 Геометрическое определение 1.1.1 Определение тригонометрических функций для острых углов 1.2 Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений 1.3 Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений 1.4 Определение тригонометрических функций через ряды 2 Значения тригонометрических функций для некоторых углов 2.1 Значения тригонометрических функций нестандартных углов 3 Свойства тригонометрических функций 3.1 Простейшие тождества 3.2 Чётность 3.3 Периодичность 3.4 Формулы приведения 3.5 Формулы сложения 3.6 Однопараметрическое представление 4 Производные и интегралы 5 История 6 См. также 7 Ссылки

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса

R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

• Синусом называется отношение
• Косинусом называется отношение
• Тангенс определяется как
• Котангенс определяется как
• Секанс определяется как
• Косеканс определяется как

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y

B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

• Гиперболические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Редко используемые тригонометрические функции
• Эллиптические функции
• Теорема косинусов
• Теорема синусов
• Тригонометрические формулы
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Ссылки

• GonioLab: Проясненная Единичная Окружность, Тригонометрические и Гиперболические функции (Java Web Start)
• Weisstein, Eric W. Тригонометрические функции на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций

Математическая задача: Sin cos tan

Если cos y = 0,8, 0° ≤ y ≤ 90°, найдите значение (4 tan ⁡y) / (cos⁡ y-sin ⁡y)

Правильный ответ:

a = 15

Пошаговое объяснение:

c=cosy c=0,8 sin2 y+cos2 y=1 s2+c2=1 s=1−c2

​=1−0,82

​=53​ =0,6  tanα=sinα:cosα  t=cs​=c53​=0,80,6​=43​=0,75 a=c-s4⋅ t​=c-53​4⋅ 43​=0,8-0,64⋅ 0,75​ =15

Нашли ошибку или неточность? Смело звоните по номеру

пишите нам

. Благодарю вас!

Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

Нужна помощь в вычислении суммы, упрощении или умножении дробей? Попробуйте наш калькулятор дробей.
См. также наш калькулятор прямоугольного треугольника.
См. также наш калькулятор тригонометрического треугольника.

Для решения этой словесной задачи по математике необходимо знать следующие знания:

• алгебра
• выражение переменной из формулы
• арифметика
• square root
• planimetrics
• Pythagorean theorem
• right triangle
• circle
• triangle
• numbers
• fractions
• goniometry and trigonometry
• sine
• cosine
• tangent
• арккосинус

Единицы физических величин:

• угол

Степень словесной задачи:

• средняя школа

 

Мы рекомендуем вам посмотреть это обучающее видео по этой математической задаче: video1   video2

• Котангенс
  Если угол α острый, а котанг α = 1/3. Определите значение sin α, cos α и tan α.
• Sin cos tan
  В треугольнике ABC с прямым углом в B. Стороны /AB/=7см, /BC/=5см, /AC/=8,6см. Найдите два десятичных знака. A. Синус C B. Косинус C C. Тангенс C.
• Движение 2
  Найдите кубические корни числа 125 (cos 288° + i sin 288°).
• Тригонометрия
  Если вы знаете, что cos(γ) = sin (806°), чему равен угол γ?
• Тригонометрические функции
  В прямоугольном треугольнике: tg α= frac(2) 1 Найдите значение s и c: sin α= (s)/(√ 5) cos α= (c)/(√ 5)
• (тангенс) 21633
  Исходя из того, что вам известны значения sin и cos данного угла и известно, что тангенс (тангенс) есть их отношение, определите г) тангенс 120° д) тангенс 330°
• Метод подстановки
  Решить гониометрическое уравнение: sin 9х/4у, если х = 0,5 и у = 2,25.
• Найдите 10
  Найдите значение t, если 2tx+5y-6=0 и 5x-4y+8=0 перпендикулярны и параллельны. Какой угол образует каждая из прямых с осью абсцисс, и найдите угол между этими прямыми?
• Сегмент окружности
  Вычислите площадь S сегмента окружности и длину дуги окружности l.

  No related posts.