Тригонометрический круг синус и косинус тангенс и котангенс: Тригонометрические функции на единичной окружности. Синус и косинус — урок. Алгебра, 10 класс.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Тригонометрические функции числового аргумента. — Тангенс и котангенс.

Комментарии преподавателя

Тан­генс и ко­тан­генс

На преды­ду­щем уроке мы вспом­ни­ли опре­де­ле­ние си­ну­са и ко­си­ну­са. Дадим опре­де­ле­ние тан­ген­са и ко­тан­ген­са.

Рас­смот­рим чис­ло­вую окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти. Дано про­из­воль­ное число  Ему со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка на окруж­но­сти. У точки есть две ко­ор­ди­на­ты (рис. 1).

 

Ко­ор­ди­на­ту  на­зва­ли ко­си­ну­сом числа  ко­ор­ди­на­ту  си­ну­сом числа 

Тан­ген­сом числа  на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние си­ну­са  к ко­си­ну­су Ко­тан­ген­сом  на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние ко­си­ну­са к си­ну­су .

Опре­де­лим связь между тан­ген­сом и ко­тан­ген­сом.

 

Линии си­ну­сов и ко­си­ну­сов – это ко­ор­ди­нат­ные оси. Ли­ни­ей тан­ген­сов яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ная к окруж­но­сти в точке A, па­рал­лель­ная оси y, ли­ни­ей ко­тан­ген­сов – ка­са­тель­ная в точке B, па­рал­лель­ная оси 

x (рис. 2). 

Вы­чис­лим тан­ген­сы и ко­тан­ген­сы ос­нов­ных углов. 

			1
			1		0

 

Зна­че­ния тан­ген­са и ко­тан­ген­са угла  най­дем из пря­мо­уголь­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка (рис. 3):

  

Изоб­ра­зим по­лу­чен­ные зна­че­ния тан­ген­сов на чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 4).

При­мер 1.  Найти 

Ре­ше­ние (рис. 5).

При­мер 2. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

Най­дем на линии тан­ген­сов точку  про­ве­дём пря­мую через эту точку и на­ча­ло ко­ор­ди­нат и по­лу­чим две точки пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью –  (рис. 6).

Ответ:  

При­мер 3. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние (рис. 7).

 

Ответ: 

Мы рас­смот­ре­ли функ­ции тан­ген­са и ко­тан­ген­са, стан­дарт­ные за­да­чи, со­ста­ви­ли таб­ли­цу зна­че­ний тан­ген­са и ко­тан­ген­са, ре­ши­ли про­стей­шие три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/tangens-i-kotangens-2

http://www. uchportal.ru/load/0-0-0-30453-20

http://uslide.ru/images/22/28466/960/img5.jpg

http://cs403029.vk.me/v403029067/698e/VNFMdw7VrfI.jpg

 

ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ — Без Сменки

30 июня, 2022

1 мин

Многие выражения, содержащие синусы и косинусы становятся значительно проще, если пользоваться надежным инструментом — тригонометрическим кругом. А для этого нужно три простых шага и запомнить их: один раз сделал, запомнил и заслуженная пара баллов в кармане.

💁🏼‍♀ Разделим тригонометрический круг на 4 четверти, или квадранта. Первая четверть соответствует интервалу углов 0<α<90, вторая четверть соответствует углам 90<α<180, третья четверть лежит в интервале 180<α<270, и, наконец, четвертая четверть находится в интервале 270<α<360.

✅ Знаки тригонометрических функций зависят от того, в какой четверти находится угол. Синус положительный в первой и второй, косинус в первой и четвертой, а тангенс и котангенс одинаково положительны в первой и третьей. На картинке указаны знаки тригонометрических функций, которые смело можно сохранять.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Редакция Без Сменки

Честно. Понятно. С душой.

40 подписчиков

+ Подписаться

Редакция Без Сменки

07 июня, 2022

1 мин

Био 🦠

Типы нервных систем

Эволюция шла вперёд полным ходом и нервная система постоянно видоизменялась в пользу большей. ..

Редакция Без Сменки

06 июня, 2022

1 мин

Англ 🇬🇧

Разница между quick и fast

Англичане, остановитесь!!! Хватит придумывать слова с одинаковым значением и потом говорить, что…

Редакция Без Сменки

10 июня, 2022

1 мин

Био 🦠

Проводящая система сердца

Возможно, вы не слышали такого словосочетания, но точно знаете из прошлого шага, что сердце…

Редакция Без Сменки

03 октября, 2022

1 мин

Химические запоминалки

Химические термины можно учить не только методом зубрёжки, но и с помощью специальных фраз. …

Редакция Без Сменки

16 марта, 2022

1 мин

Ист 🤴

Расселение восточных славян (карта)

Выделяют западных (поляки, чехи, словаки), южных (болгары, сербы, хорваты) и восточных славян….

---

ФУНКЦИИ ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА – ТРИГОНОМЕТРИЯ

функция тангенса

---

В тригонометрии прямоугольного треугольника (только для острых углов) тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Определение единичной окружности: tanθ=y/x или tanθ=sinθ/cosθ. Функция

тангенса  отрицательна, когда синус или косинус, но не оба, отрицательны: второй и четвертый квадранты. Тангенс также равен наклону стороны терминала.

Функция тангенса — это старая математическая функция. Он был упомянут в 1583 году Томасом Финке, который ввел слово « tangens » на латыни. Эдмунд Гюнтер (1624 г.) использовал обозначение « tan », а Иоганн Генрих Ламберт (1770 г.) открыл представление этой функции в виде непрерывной дроби.

Функция тангенса используется в математике, точных науках и технике.

• Домен:   все действительные числа, кроме π/2 + kπ, k ∈ Z.
• Диапазон:  все действительные числа (R)
• Период:  π
• x-отрезки:  x = kπ, k ∈ Z.
• y-отрезки:  y = 0
• Симметрия:  поскольку tan(-x) = – tanx, то tan x является нечетной функцией, и ее график симметричен относительно начала координат.
• Интервалы:  за один период и от -π/2 до π/2, тангенс х увеличивается.
• Вертикальные асимптоты:  x = π/2 + kπ, k ∈ Z.

Касательная функция соответствует y-координатам точек на касательной оси.

Пример: Найдите домен и диапазон ƒ (x)  = tan 3x + 4.

Решение: Домен: 3x ≠ π/2 + kπ дает нам x ≠ π/6 kπ/3, k ∈ Z.
Итак, область определения равна {x | x ∈ R, x ≠ π/6 + kπ/3, k ∈ Z}.
Диапазон: tan 3x ∈ R, поэтому диапазон равен (-∞, ∞).

функция котангенса

---

В прямоугольном треугольнике котангенс угла равен длине прилежащей стороны, деленной на длину противолежащей стороны. В формуле это сокращается до просто «

кроватка ». Поскольку он редко используется, его можно заменить производными от более распространенных трех: sin, cos и tan.
Котангенс можно получить двумя способами: cot x = 1/tan x и cot x = cos x / sinx. Функция котангенса  является обратной функцией функция тангенса .

Как и другие тригонометрические функции, котангенс может быть представлен в виде отрезка, связанного с единичной окружностью . На диаграмме показан котангенс угла поворота θ от сорока пяти градусов (измерен против часовой стрелки от положительной оси x ). Отрезок линии AF  (показан красным) является котангенсом и лежит на прямой, касательной к окружности в точке A . Отрезок PF является продолжением отрезка OP (и, кстати, также является секансом ). Помните, что точка P – это точка на окружности единичного круга, чьи координаты

x и  y  представляют значения cos ( θ  ) и sin ( θ  ) соответственно (отрезки, представляющие синус и косинус). также показаны). Помните, что одним из определений функции тангенса является частное  из  функций синуса и косинуса . Нажмите здесь  , чтобы увидеть интерактивную демонстрацию, в которой используется единичный круг, чтобы показать, как функции синуса, косинуса и котангенса связаны друг с другом

• Домен:  все действительные числа, кроме kπ, k ∈ Z.
• Диапазон:  все действительные числа
• Период:   π
• точки пересечения x:   x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
• Симметрия:  так как cot(-x) = – cot(x), то cot x является нечетной функцией и ее график симметричен относительно начала координат.
• Интервалы:  за один период и от 0 до π, cot x уменьшается.
• Вертикальные асимптоты:  x = kπ, k ∈ Z.

Функция котангенса соответствует x-координатам точек на оси котангенса.

Так:

Нравится Загрузка…

6.1.1 Тригонометрические функции

Исчисление одной действительной переменной автора Pheng Kim Ving Глава 6: Тригонометрические функции и их обратные значения Раздел 6.1.1: Тригонометрические функции

6. 1.1 Тригонометрические функции

 

Возврат К содержанию
Перейти к проблемам и решениям

 

1. Тригонометрические отношения

 

 

 

словесный знак. Аналогично соотношения:

 

 

Три отношения синуса, косинуса и тангенс — это первичных тригонометрических отношений . Есть также три других отношения.
Это котангенс , секанс и косеканс , обозначаемые cot , сек и csc соответственно. Они определяются как обратные числа
тангенс, косинус и синус соответственно, и, таким образом, называются обратными тригонометрические соотношения .

 

 

 

Слово тригонометрия происходит от греческого слова: три , что означает три, гоно , что означает угол, и метрия ,
что означает измерение.

 

Произвольные треугольники

 

 

Рис. 1.3   Тригонометрические соотношения в произвольном треугольнике.

 

Рис. 1.4   Тригонометрические соотношения в произвольном треугольнике.

 

 

Перейти Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

 

2. Радианная мера

 

Степень

 

Рассмотрим окружность радиусом r с центром в начале координат 0 оси x и пересекающую ее положительную сторону 9 A 9026 . См. рис. 2.1.
Разделим окружность круга на 360 равных частей или дуг, начиная с А . Рассмотрим угол, вершина

 

 

находится в центре круга и который пересекает одну из дуг. Ясно, что длина дуги зависит от значение r ,
но размер угла нет. Величина этого угла составляет единицу измерение углов и называется
степень. Итак, степень , обозначаемый градусом или ^или , определяется как быть равным одной 360-й части окружности круг.

 

Предположим, что угол пересекает дуга окружности с центром в ее вершине такая, что длина дуги r 360
длина окружности, где r — неотрицательное настоящий номер. Тогда мера этого угла равна r ^o . Вот почему
угол, соединяющий любую окружность, равен 360 ^o , что перехват любого полукруг имеет размеры 180 ^o , а прямой угол
меры 90 ^o .

 

Град

 

Аналогично, если мы разделим окружность окружности на 400 равных дуг, то получим еще одну единицу измерения
углы, называемые град . Таким образом, град определяется как одна 400-я часть окружность круга.

 

Радиан

 

 

Рис. 2.2

 

 

 

 

 

Conversion From Degree To Radian And Vice Versa

 

 

Example 2.

1

 

 

Solution

EOS

 

Omission Of Единица радианы Запись

 

 

Примечание 2.1

 

Единицы измерения углов определяются с использованием не обычных единиц длины, таких как метр, а элементов из
круг как одна 360-я часть окружности для степени или радиуса для радиан. См. также Проблема и решение 1.

 

Перейти Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

 

3. Единичный круг

 

 

 

 

Перейти Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

 

4. Углы и единичная окружность

 

 

Для единичного круга радиан мера центрального угла равна длине дуги, на которую опирается.   Любое действительное число можно рассматривать как радианную меру угол со знаком.

 

 

Линия ОА называется начальным плечом и линией OP концевой рычаг уголка x . Мы говорим что x заканчивается в
квадрант, где находится конечное плечо; например, если конечное плечо находится в 3-м квадрант, то мы говорим, что x заканчивается в
3-й квадрант.

 

Размеры уголков

 

 

 

 

Углы:

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к началу Страница

 

5. Тригонометрические функции

 

В части 1 мы определили синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс острых углов, используя прямоугольный треугольник,
и они называются тригонометрическими отношениями. Теперь мы собираемся расширить их до все углы, используя единичный круг, и
они называются тригонометрическими функциями . Для остальной части этого разделе, каждая окружность представляет собой единичную окружность с центром в начале координат
система координат uv , A это точка (1, 0), а B является точкой (0, 1), если не указано иное.

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к началу Страница

 

6. Функции синуса и косинуса

 

Пусть x будет острым угол, OP его концевое плечо и ( u , v ) координаты Р . См. рис. 6.1. У нас есть грех x = UP / OP =
v /1 = v and cos x = OU / OP = u /1 = u . Продолжим синус и косинус на все углы следующим образом. Пусть x будет любым углом ,
OP его конечным плечом и ( u , v ) координаты P . Тогда синус и косинус числа x определены следующим образом:

 

sin x = v , cos х = u .

 

Обратите внимание, что синус отложен по вертикальной оси v , а косинус — по горизонтальной оси u .

 

 

Каждому вещественному числу x соответствует уникальное значение v = грех х . Следовательно, это отображение является функцией. Это называется синус
функция . Его домен R . Его диапазон равен [1, 1], потому что v -координата P всегда попадает в [1, 1] независимо от того, какое значение

 

 

x имеет. Точно так же у = cos x определяет функция косинуса , домен которой равен R , а диапазон также равен [1, 1].

 

Обоснование Расширения

 

 

 

 

 

Мы только что обосновали распространение синуса на все углы, положительный или 0 или отрицательный. Обоснование расширения
косинус аналогичен.

 

Пример 6.1

 

Покажите, что:

Рис. 6.4

 

 

EOS

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к началу Страница

 

7. Функции тангенса и котангенса

 

Пусть x будет любым угол. Расширенная функция тангенса и функция котангенса являются определяется тангенсом x = (sin х )/(поскольку х )
и детская кроватка x = 1/(загар x ) = (cos x )/(sin х ) соответственно.

 

оставлен как проблема и решение 3. Случаи для остальные два квадранта подобны ему. У нас есть:

 

 

 

Обратите внимание, что касательная проходит по вертикальной оси z и котангенс находится на горизонтальной оси w .

 

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к началу Страница

 

8. Функции секанса и косеканса

 

Пусть x быть любой угол . Расширенная функция секанса и функция косеканса определяются как sec x = 1/(cos x ) и
csc x = 1/(sin x ) соответственно.

 

остается как Проблема и Решение 4. Случаи ибо оставшиеся два квадранта подобны ему. У нас есть:

 

 

Рис. 8.1

 

Обратите внимание, что секанс (= 1/косинус) находится на горизонтальной оси u (такой же, как косинус) и косеканс (= 1/синус) находится на вертикали
v -ось (то же, что и синус).

 

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к началу Страница

 

9. Тригонометрические или круговые функции

 

Тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс определяются с помощью окружности.
По этой причине их также называют 9.0025 круговые функции . Они определены используя единичный круг, как показано на рис. 9.1.

 

Рис. 9.1

 

Вернуться к началу страницы

 

Проблемы и решения

 

1. Объяснить почему длины дуг окружностей в нормальных единицах длины, таких как метр, не могут использоваться в качестве меры
углов, если только единичный круг (окружность радиуса 1) принимается к использованию. См. также замечание 2.1.

Раствор

Вернуться на вершину страницы

0012

Решение

Возвращение на вершину страницы

3. Предположим угла x . заканчивается во 2-м квадранте. См. рисунок ниже. Покажи этот загар х = z и кроватка х = х . Также
см. обсуждение после уравнения. [7.1] и [7.2].

 

 

Решение

 

Прямоугольные треугольники OPU и ОЗА являются похожий.