У х 2 3х 4: Постройте график функции y=3x+4

Продолжая работу с сайтом, вы даете согласие на использование сайтом cookies и обработку персональных данных в целях функционирования сайта, проведения ретаргетинга, статистических исследований, улучшения сервиса и предоставления релевантной рекламной информации на основе ваших предпочтений и интересов.

Показательные уравнения — как решать? Примеры, свойства и определение

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

138.3K

Тех, кто умеет решать квадратные уравнения, не испугает, если одну из переменных нужно будет возвести в степень. Если же искомый x находится не в основании степени, а в ее показателе — значит, нам встретились показательные уравнения. Узнаем о них подробнее и рассмотрим примеры с решениями за 10 класс — они пригодятся на ЕГЭ.

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Простейшее уравнение такого вида: a^х = b, где a > 0, a ≠ 1 и a^x = a^y.

Для решения даже простейших показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс тему «Свойства степенной функции» — советуем повторить ее перед тем, как читать дальнейший материал.

Показательной функцией называют такую: y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a < 1 (но больше 0) — непрерывно убывает. Это хорошо видно на рисунке ниже.

Важно знать

Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = a^x при а ≤ 0 корней не имеет.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут решать сложные показательные уравнения.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Методы решения показательных уравнений

Самые короткие и простые показательные уравнения решаются легко при помощи свойств степеней. Например:

4^х = 64.

Требуется найти, в какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 64.

4 · 4 · 4 = 64

4³ = 64

4^x = 4³

Х = 3

Но как решать показательные уравнения вот такого вида: ? Нужно немного повозиться с преобразованием этого выражения. Например, сделать так, чтобы либо основания, либо степенные показатели стали одинаковы. Для этого мы можем разложить 128 и 4. Вы ведь заметили, что у них есть общий множитель? Правильно, это 2.

Теперь в нашем уравнении появились одинаковые основания, а значит, мы можем приравнять и степени.

В данном случае мы используем один из алгоритмов решения показательных уравнений — привели обе части равенства к одинаковым основаниям. Дальше рассмотрим и другие методы.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Приведение к одинаковому основанию

Весомую часть уравнений вида а^х = b (при а и b 0) можно решить, превратив b в определенную степень числа a. Именно это мы сделали в примере выше, получив одинаковые основания. Главная трудность в том, чтобы найти у этих чисел общее основание.

Если у нас есть одинаковые основания, но разные показатели степени, то при умножении чисел степени складываются, а при делении — вычитаются.

Пример 1

Рассмотрим еще одно показательное уравнение с корнем.

Мы знаем, что 64 и 8 являются степенями 2. Попробуем использовать это, и тогда 64² = 2¹², а 8 = 2³.

Ответ: .

Пример 2

В этом примере показательного уравнения нужно будет отдельно преобразовать каждую составляющую.

(0,5)^х2 · 4^х+1 = 64^-1

Найдем общее основание показательных функций:

0,5 = 1/2 = 2⁻¹

4 = 2²

64 = 2⁶

(2⁻¹)^х2 · (2²)^х+1 = (2⁶)⁻¹

2^−х2 · 2^2х+2 = 2⁻⁶

2^−х2+2х+2 = 2⁻⁶

−х² + 2х + 2 = −6

х²− 2х − 8 = 0

Ответ: x = −2; 4.

Приведение к одинаковой степени

Не все показательные уравнения с разными основаниями можно решить предыдущим способом. Иногда проще преобразовать не основания, а показатели степени. Правда, пользоваться этим методом есть смысл только в том случае, когда мы имеем дело с умножением или делением.

При умножении чисел с разными основаниями, но одинаковыми степенными показателями можно перемножить только основания (степень останется прежней):

Пример

5^2х−4 = 49^2−х

Общих множителей у левой и правой части уравнения нет и привести их к одинаковому основанию достаточно трудно. Поэтому стоит поработать с показателями степеней:

5^2х−4 = 49^2−х

5^2х−4 = 7^4−2х

5^2х−4 = (1/7)^2х−4

35^2х−4 = 1

2х − 4 = 0

х = 2

Пример 2

2^х−2 = 5^2−х

Нам нужно привести обе части уравнения к одинаковым степенным показателям, и для этого вначале попробуем преобразовать правую часть, используя свойство степенных функций.

2^х−2 = 1/5^х−2

Теперь умножим обе части на 5^2−х и придем к уравнению:

2^х−2 × 5^2−х = 1

10^х−2 = 1

10^х−2 = 10⁰

х − 2 = 0

х = 2

Замена переменной

Суть этого способа решения показательных уравнений проста: мы заменяем «трудную» переменную на более простую и решаем уравнение, а после производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную стоит заменить.

Пример

4^x— 2^x+1— 8 = 0

Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4^х = 2^2х, а 2^х+1 = 2 × 2^х.

2^2х — 2 × 2^х — 8 = 0

Если 2^х = y, y > 0, то получается: у²— 2у — 8 = 0.

У такого уравнения есть два корня: у₁ = 4, у₂ = -2.

Проведем обратную замену: 2^х = 4 (подходит по ограничениям).

х = 2.

Ответ: х = 2.

Пример 2

25^х — 6 × 5^х + 5 = 0

Если присмотреться к этому выражению, становится понятно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную: 5^х = у, y > 0.

Корни такого уравнения: 1 и 5.

Выполним обратную замену:

5^х = 1, значит х = 0.

5^х = 5, значит х = 1.

Ответ: x = 0; 1.

Вынесение общего множителя

В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить.

Общий множитель — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение.

Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.

Пример 1

3^х+1 + 3^х — 3^х-2 = 35

Вынесем 3^3-x за скобки и получим:

3^х-2(3³ + 3² — 1) = 35

3^х-2 × 35 = 35

3^х-2 = 1

Поскольку 1 равно любое число в нулевой степени, мы можем записать:

3^х-2 = 3⁰

х — 2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2

5 × 3^-3х+1 + 3^-3х+2 = 24

Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3^-3х+2 = 3^-3х+1+1 = 3 · 3^-3х+1.

Теперь у нас есть общий множитель 3^-3х+1, который можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:

3^-3х+1(5+3) = 24

8 · 3^-3х+1 = 24

3^-3х+1 = 3¹

-3х + 1 = 1

х = 0

Ответ: х = 0.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Яна Кононенко

К предыдущей статье

Показательные неравенства

К следующей статье

Параллельность прямых

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-y-4\right)}}{2}

Square 3.

x=\frac{-3±\sqrt{9 +4y+16}}{2}

Умножить -4 раза -4-y.

x=\frac{-3±\sqrt{4y+25}}{2}

Прибавьте 9 к 16+4y.

x=\frac{\sqrt{4y+25}-3}{2}

Теперь решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{4y+25}}{2}, когда ± равно плюсу. Добавьте -3 к \sqrt{25+4y}.

x=\frac{-\sqrt{4y+25}-3}{2}

Теперь решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{4y+25}}{2}, когда ± минус . Вычтите \sqrt{25+4y} из -3. 9{ 2 } — 4 x — 5 = 0

Тригонометрия

4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta

Линейное уравнение

y = 3x + 4

Арифметика 9 0 3 0 9 0 9 9 0 0 2 6 0 3

Матрица

\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{массив} \right]

Одновременное уравнение

\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right. 9(2)+3x-4=0.

• Курс
  • NCERT
    • Класс 12
    • Класс 11
    • Класс 10
    • Класс 9
    • Класс 8
  • 4 Класс 4 0144
• IIT JEE

• Экзамен
  • JEE MAINS
  • JEE ADVANCED
  • X BOARDS
  • XII BOARDS
  • NEET
    • Neet Предыдущий год (по годам)
    • Физика Предыдущий год
    • Химия0144
    • Биология Предыдущий год
    • Новый Все образцы работ
    • Образцы работ по биологии
    • Образцы работ по физике
    • Образцы работ по химии

• Класс 12
• Класс 11
• Класс 10
• Класс 9
• Класс 8
• Класс 7
• Класс 6

• Экзаменационный уголок

• Онлайн класс
• 0138
• Викторина

• Задать вопрос в Whatsapp

• Поиск Doubtnut

• Английский словарь

• Toppers 4 Talk 138
• Блог

• О нас

• Карьера

• Скачать

• Получить приложение

Вопрос

Обновлено: 05. 11.2020

ПУБЛИКАЦИЯ СУРЫ-АЛГЕБРА-ИСПОЛНЕНИЕ 3.15

РЕКЛАМА

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Про и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!

Похожие видео

Нарисуйте график уравнения: 3x−2y=4 и x+y−3=0

23905

05:12

Нарисуй график уравнения y=3x−x31−3×2 и, следовательно, график y=tan−1.3x−x31−3×2.

35782275

Текстовое решение

Решить x4−3×2+2=0.

153284858

02:23

Нарисуйте график y=x2−4 и, следовательно, решите x2−x−12=0.

159832111

06:53

Нарисуйте график y=x2+3x+2 и используйте его для решения x2+2x+1=0.

159832113

06:40

Нарисуйте график y=2×2−3x−5 и, следовательно, реши 2×2−4x−6=0.

159832116

08:16

Нарисуйте график y=x2+x−2 и, следовательно, решите x2+x−2=0.

159832214

07:19

Решите : x4−3×2−4=0

320223758

02:08

மட௮டட−4ட3x−4 ம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x2+3x−4=0 தீர்க்கவும்.