Умножение и сложение матрицы: Действия с матрицами

Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл

• Умножение матрицы на число: теория и примеры
• Свойства умножения матрицы на число
• Экономический смысл умножения матрицы на число

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

Это был совсем простой пример умножения матрицы на число с целыми числами. Впереди также простые примеры, но уже такие, где среди множителей и элементов матриц — дроби, переменные (буквенные обозначения), ведь законы умножения действуют не только для целых чисел, так что никогда не вредно их повторить.

Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не забывая, что при умножении дробей числитель первой дроби умножается на числитель первой дроби и произведение записывается в числитель, а знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби и произведение записывается в знаменатель. При получении второго элемента первой строки новой матрицы полученную дробь сократили на 2, это надо делать обязательно. Если возникают сложности, можно освежить в памяти действия с дробями. Получаем

Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не путаясь в буквенных обозначениях, не забыв оставить минус перед вторым элементом второй строки новой матрицы, и помня, что результат умножения числа на обратное ему число есть единица (первый элемент третьей строки).

Получаем

.

Пример 4. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени показатели степеней складываются. Можно, кстати, повторить действия со степенями и корнями из элементарной математики. Получаем

.

Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением постоянного множителя перед матрицей.

В сочетании со сложением и вычитанием матриц операция умножения матрицы на число может образовывать различные матричные выражения, например, 5

A − 3B, 4A + 2B.

Пример 5. Даны матрицы и . Вычислить 4A + 2B.

Посмотреть правильное решение и ответ.

(здесь A, B — матрицы, — числа, 1 — число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где — количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года. Если же в течение следующего года продажа каждого вида продукции увеличилась на 20%, то для любых i, j верно равенство . В этом случае отчёт за следующий год получается как Y = 1,2X, т. е. умножением исходной матрицы A на число 1,2.

---

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Начало темы «Матрицы»

Понятие матрицы

Продолжение темы «Матрицы»

Произведение матриц

Сложение матриц

Обратная матрица

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Решение матричных уравнений

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений

Лекции по алгебре

Лекции по алгебре

Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА § 1. Теория делимости целых чисел 2. Деление с остатком. 3. Наибольший общий делитель. 4. Алгоритм Евклида. 5. Взаимно простые числа. 6. Простые числа. § 2. Теория сравнений 2. Действия над классами. 3. Приведенная система вычетов и примитивные классы. § 3. Некоторые общие понятия алгебры 2. Кольца и поля. 3. Изоморфизм. ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Обоснование комплексных чисел 3. Свойства действий. 4. Возвращение к обычной форме записи. 5. Вычитание и деление комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексного числа 2. Модуль и аргумент комплексного числа. 3. Тригонометрическая запись комплексного числа. 4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел. 5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. 6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. 7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. § 3. Извлечение корня из комплексного числа 2. Исследование формулы извлечения корня. 3. Извлечение квадратного корня. § 4. Корни из единицы § 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ § 1. Полиномы от одной буквы 2. Высший член и степень полинома. 3. Степени элемента в ассоциативном кольце. 4. Значение полинома. 5. Схема Хорнера и теорема Безу. 6. Число корней полинома в коммутативной области целостности. 7. Теорема о тождестве. § 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени 2. Исследование формулы Кардано. 3. Решение уравнений четвертой степени. § 3. Полиномы от нескольких букв 3. Теорема о тождестве. 4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств. ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. Матрицы и действия над ними 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. 3. Умножение матриц. 4. Транспонирование матриц. 5. Обзор действий над матрицами. § 2. Теория определителей 2. Элементарные сведения теории перестановок. 3. Определитель порядка n. Определение. 4. Свойства определителя. 5. Алгебраические дополнения и миноры. 6. Вычисление определителей. 7. Определитель Вандермонда. 9. Некоторые следствия из теоремы Крамера. § 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) 2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками. 3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций. 4. Базис и ранг совокупности строк. 5. Линейно эквивалентные совокупности строк. 6. Ранг матрицы. 7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы. 8. Ранг матрицы в терминах определителей. 9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. § 4. Системы линейных уравнений общего вида § 5. Дальнейшие свойства определителей 2. Умножение матриц, разбитых на клетки. 3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). 4. Определитель произведения двух квадратных матриц. 5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей. 6. Теорема Бине — Коши. § 6. Обращение квадратных матриц § 7. Характеристический полином матрицы 2. Теорема Кэли—Гамильтона. ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв § 2. Закон инерции квадратичных форм 2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы. 3. Закон инерции квадратичных форм. § 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду 2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы. 3. Построение ортогональных матриц. 4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду. 5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы. 6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду. § 4. Эрмитовы формы 2. Свойства эрмитовых форм. ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ § 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы § 2. Производная 2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена. 3. Разделение множителей различной кратности. § 3. Рациональные дроби 2. Поле частных. 3. Правильные рациональные дроби. 4. Разложение рациональной дроби на простейшие. 5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел. 6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел. 7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители. § 4. Интерполяция 2. Интерполяционная формула Лагранжа. 3. Способ интерполяции Ньютона. 4. Приближенная интерполяция. ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ § 1. Сравнения в кольце полиномов над полем § 2. Расширение полей 2. Конструирование простых расширений. ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ § 1. Полиномы с целыми коэффициентами § 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА § 1. Существование корней в С § 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной 2. Принцип аргумента. 3. Теорема Руше. 4. Непрерывность корней полинома. § 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами 2. Теорема Штурма. 3. Построение ряда Штурма. § 4. Обобщенная теорема Штурма § 5. Приближенное вычисление корней полинома 2. Метод непрерывных дробей. ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП § 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы § 3. Гомоморфизм § 4. Прямое произведение групп § 5. Группы преобразований 2. Классы сопряженных элементов. 3. Строение однородных пространств. 4. К теории подстановок. 5. Примеры из геометрии. 6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы. 7. Центр p-группы. 8. Преобразования. 9. Автоморфизмы группы. § 6. Свободная группа § 7. Свободные произведения групп § 8. Конечные абелевы группы § 9. Конечно порожденные абелевы группы ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ § 1. Выражение симметрических пэлииов через основные § 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома 2. Степенные суммы. 3. Дискриминант полинома. 4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов. § 3. Результант 2. Другой способ построения результанта. 3. Линейное представление результанта. 4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. 5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной. ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость. 3. Координаты вектора. 4. Замена базиса и преобразование координат. § 2. Подпространства 3. Прямая сумма подпространств. 4. Относительная линейная независимость и относительный базис. 5. Факторпространство. § 3. Линейные функции § 4. Линейные отображения векторных пространств § 5. Линейные операторы в векторном пространстве 2. Действия над операторами. 3. Инвариантные подпространства. 4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора. 5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином. 6. Минимальный полином оператора. 7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств. 8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств. 9. Модули над кольцом главных идеалов. 10. Некоторые следствия. 11. Каноническая форма матрицы оператора. 12. Оператор проектирования. 13. Полуобратные линейные отображения. § 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел 2. Корневые векторы. 3. Нильпотентный оператор. 4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора. 5. Пример. § 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Скалярное произведение. § 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства § 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами § 4. Операторы в унитарном пространстве § 5. Операторы в евклидовом пространстве § 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду § 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное § 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ § 2. Действия над тензорами § 3. Симметричные и антисимметричные тензоры § 4. Тензорные произведения векторных пространств ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ 1. Определение и простейшие свойства алгебр. 2. Структурные константы алгебры. 3. Некоторые классы алгебр. 4. Идеалы алгебры. 5. Присоединение единицы. 6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц. § 2. Алгебра кватернионов § 3. Внешняя алгебра СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Сложение и вычитание матриц и умножение матрицы на константу

При умножении матрицы на скаляр (константу или число) или сложении и вычитании матриц операции выполняются поэлементно. Давайте рассмотрим каждую операцию отдельно, чтобы увидеть, как это работает.

Содержание

1. Добавление матриц
2. Вычитание матриц
3. Умножение матрицы на константу (скалярное умножение)
4. Сочетание сложения, вычитания и скалярного умножения

[adsenseWide]

Добавление матриц

Чтобы добавить две матрицы, добавьте соответствующие записи, как показано ниже. Обратите внимание, что вам нужно, чтобы матрицы были одинакового размера, чтобы это имело смысл.

Если матрицы разного размера, сложение не определено.

Вычитание матриц

Вычитание матриц работает таким же образом. Вы можете вычесть запись за записью.

Как и в случае сложения, это было бы неопределенным, если бы матрицы были разных размеров. В этой ситуации ваш ответ будет просто «неопределенный».

Умножение матрицы на константу (скалярное умножение)

Умножение матрицы на константу или число (иногда называемое скаляром) всегда определено, независимо от размера матрицы. Вам просто нужно убедиться, что каждая запись в матрице умножается на число.

Комбинирование операций

В некоторых вопросах вас могут попросить объединить сложение, вычитание и умножение на константу. Здесь мы рассмотрим пару примеров, чтобы убедиться, что вы знаете, как к ним подходить.

Пример

Найдите \(-2A + B\) для:

\(A= \left[\begin{array}{cc} -4 & 1\\ 2 & -2\\ \end{array}\right]\) и \(B= \left[\begin{array}{cc} 9 & -4\\ 0 & 8\\ \end{array}\right]\)

Не забывайте умножать каждую запись на константу и работать с записью за записью при добавлении.

\(\begin{align} -2A + B &= 2\left[\begin{array}{cc} -4 & 1\\ 2 & -2\\ \end{array}\right] + \left[\ begin{array}{cc} 9 & -4\\ 0 & 8\\ \end{array}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} -2 \times -4 & -2 \times 1\\ -2 \times 2 & -2 \times -2\\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 9& -4\\ 0 & 8\\ \end{массив}\right]\\ &= \left[\begin{массив}{cc} 8 & -2\\ -4 & 4\\ \end{массив} \right] + \left[\begin{array}{cc} 9 & -4\\ 0 & 8\\ \end{array}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 8 + 9 & -2 + (-4) \\ -4 + 0 & 4 + 8\\ \end{массив}\right]\\ &= \boxed{\left[\begin{array}{cc} 17 & -6 \\ -4 & 12\\ \end{массив}\right]}\end{align}\)

Это также работает, когда у вас более двух матриц, как показано в следующем примере.

Пример

Найдите \(A – 3B + 2C\) для:

\(A= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{array}\right]\) , \(B= \left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 4\\ \end{array}\right]\) и \(C= \left[\begin{array}{ cc} 5 & 2\\ 3 & 0\\ \end{массив}\right]\)

\(\begin{align} A — 3B + 2C &= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{array}\right] — 3\left[\begin {массив}{cc} 2 и 1\\ 1 и 4\\ \end{массив}\right] + 2\left[\begin{массив}{cc} 5 и ​​2\\ 3 & 0\\ \end{ array}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{array}\right] – \left[\begin{array}{cc} 3\times2 & 3\times1\\ 3\times1 & 3\times4\\ \end{массив}\right] + \left[\begin{array}{cc} 2\times5 & 2\times2\\ 2\times3 & 2\times0\\ \end{массив}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{массив}\right] – \left [\begin{array}{cc} 6 & 3\\ 3 & 12\\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 10 & 4\\ 6 & 0\\ \ end{массив}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 1 – 6 + 10 & 1 – 3 + 4\\ 0 – 3 + 6 & 0 – 12 + 0\\ \end {массив}\right]\\ &= \boxed{\left[\begin{array}{cc} 5 & 2\\ 3 & – 12\\ \end{массив}\right]}\end{align}\ )

Сводка

Помните следующее для операций с матрицами:

• Чтобы сложить или вычесть, идите запись за записью.
• Сложение и вычитание определены, только если матрицы имеют одинаковый размер.
• Скалярное умножение всегда определено — просто умножьте каждый элемент матрицы на скаляр.

[adsenseLargeRectangle]

Продолжить изучение матричных операций

Далее: Умножение матриц

M.2 Матричная арифметика | СТАТ ОНЛАЙН 9T \]

Чтобы выполнить сложение матрицы с , две матрицы должны иметь одинаковые размеры. Это означает, что они должны иметь одинаковое количество строк и столбцов. В этом случае просто добавьте каждый отдельный компонент, как показано ниже.

Например

\[A + B = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & -3 & -4 \\ 4 & -2 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 8 & -5 — 3 & 4 — 4 \\ 2 + 4 & 5 -2 & 3 + 9Т \]

Матричное скалярное умножение Раздел

 

Чтобы умножить матрицу на скаляр, также известное как скалярное умножение , умножьте каждый элемент матрицы на скаляр.

Например…

\[ 6*A = 6 * \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4\\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 * 1 & 6 * -5 & 6 * 4\\ 6 * 2 и 6 *5 и 6 * 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -30 & 24 \\ 12 & 30 & 18 \end{pmatrix}\]

Чтобы умножить два вектора одинаковой длины, нужно взять скалярное произведение , также называемое внутренним произведением . Это делается путем умножения каждой записи в двух векторах вместе, а затем сложения всех продуктов.

Например, для векторов x и y скалярное произведение рассчитывается ниже

\[ x \cdot y = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \end{pmatrix} = 1*4 + (-5 )*(-2) + 4*5 = 4+10+20 = 34\]

Умножение матриц Раздел

 

Чтобы выполнить умножение матриц , первая матрица должна иметь такое же количество столбцов, сколько строк во второй матрице. Количество строк полученной матрицы равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов полученной матрицы равно количеству столбцов второй матрицы. Таким образом, матрицу 3 × 5 можно умножить на матрицу 5 × 7, получив матрицу 3 × 7, но нельзя умножить матрицу 2 × 8 на матрицу 4 × 2. Чтобы найти элементы в результирующей матрице, просто возьмите скалярное произведение соответствующей строки первой матрицы и соответствующего столбца второй матрицы.

Например,

\[ C*D = \begin{pmatrix} 3 & -9 & -8\\ 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 7 & -3\\ -2 & 3\\ 6 & 2 \end{pmatrix} \]

\[ C*D = \begin{pmatrix} 3*7 + (-9)*(-2) + (-8)*6 & 3* (-3) + (-9)*3 + (-8)*2 \\ 2*7 + 4*(-2) + 3*6 и 2*(-3) + 4*3 + 3*2 \ end{pmatrix}\]

\[ C*D = \begin{pmatrix} 21 + 18 — 48 & — 9 — 27 — 16 \\14 — 8 + 18 & — 6 + 12 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & — 52\\ 24 & 12 \end{pmatrix} \]

Умножение матриц имеет некоторые из тех же свойств, что и «нормальное» умножение, например

\[ A(BC) = (AB)C\]

\[A(B + C) = AB + AC\]

\[(A + B)C = AC + BC\]

Однако умножение матриц не является коммуникативным.