Калькулятор вынесение за скобки общего множителя: Вынести общий множитель за скобки · Калькулятор Онлайн

Вынесение множителя за скобки

• Вынесение множителя за скобки: основы
• Способ группировки при вынесении множителя за скобки
• Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть решения

Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители. Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей. Например, в мночлене у каждого слагаемого есть общий множитель . Поэтому этот мночлен можно представить так:

.

Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых общий множитель , а второй — сумма , которая заключается в скобки:

.

Таким образом, общий множитель был вынесен за скобки и в результате этого тождественного преобразования первоначальное выражение представлено в виде другого, тождественного ему:

.

Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах.

Пример 1. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является 7a. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 2. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является −5a. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 3. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является 3ax. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 4. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является x. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 5. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

.

Общим множителем является a. Выносим его за скобки и получаем:

.

Пример 6. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. Чтобы во вторых скобках получить a−c, умножаем y на −1 и получим

.

Общим множителем является x−y. Выносим его за скобки и получаем:

.

Законы сложения позволяют группировать слагаемые в выражении любым способом. Иногда удается получить такую группировку, которая позволяет вынести за скобки общие множители.

Пример 7. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. Произведем группировку следующим образом:

.

В первой группе вынесем за скобку общий множитель , во второй — множитель 5. Получим:

.

Теперь многочлен x−3 как общий множитель вынесем за скобку. Итак:

.

Пример 8. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Решение. Здесь никакая группировка не приведёт к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какое-то слагаемое в виде некоторой суммы, после чего удается сделать удачную группировку. В нашем примере целесообразно представить −5x в виде суммы −2x−3x и разнести её слагаемые по разным скобкам:

.

В каждой скобке можно заметить общий множитель x−2:

.

Выносим его за скобки и получаем

.

Пример 9. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Пример 10. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Правильные решения примеров 9 и 10.

Пример 11. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Пример 12. Вынести множитель за скобки в выражении

.

Правильные решения примеров 11 и 12.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия со степенями и корнями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5·3 и 5·4, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5.

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5·3 и 5·4 и получим 5(3+4). Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5.

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a·(b+c)=a·b+a·c. Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Определение 1

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Пример 1

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3·7+3·2−3·5, которое является суммой трех слагаемых 3·7, 3·2 и общего множителя 3. Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3·(7+2−5). Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3·7+3·2−3·5=3·(7+2−5).

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3·x−7·x+2 можно вынести переменную x и получить

3·x−7·x+2=x·(3−7)+2, в выражении (x2+y)·x·y−(x2+y)·x3  – общий множитель (x2+y) и получить в итоге (x2+y)·(x·y−x3).

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Пример 2

Так, к примеру, в выражении 6·x+4·y можно вынести общий множитель 2, не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2·3, а четыре как 2·2. То есть 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y). Или в выражении x3+x2+3·x можно вынести за скобки общий множитель x, который обнаруживается после замены x3 на x·x2. Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x·(x2+x+3).

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение

−5−12·x+4·x·y. Перепишем выражение как (−1) ·5+(−1) ·12·x−(−1) ·4·x·y, чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим −(5+12·x−4·x·y). На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Калькулятор общего коэффициента

Автор Komal Rafay

Отзыв Стивена Вудинга

Последнее обновление: 02 марта 2023 г.

Часто задаваемые вопросы

Калькулятор общего коэффициента — это простой в использовании инструмент, позволяющий сэкономить время. Он быстро определяет общие делители любых двух недесятичных чисел . Чего еще желать любителю математики? И это еще не все; мы также обсудим некоторые важные темы в этой статье.

• Как найти общий делитель?
• Каково использование наибольшего общего делителя?

И многое другое!

Калькулятор общего множителя

Калькулятор общего общего множителя представляет собой интуитивно понятный инструмент, позволяющий вычислить общие множители любых двух чисел .

Все, что вам нужно сделать, это ввести два числа , для которых вы хотите определить общие множители. У вас будет список факторов как для чисел, так и для тех, которые являются общими между ними.
Вот и все; это не может быть проще, чем это.

Например, вы вводите 545454 и 727272. Сразу же инструмент отображает общие множители как 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 181,2,3,6,9. ,18. Но это еще не все. Также отображается список факторов для обоих чисел.

Использование общих множителей

Общие множители важны в математике, потому что они помогают упростить уравнения и выражения . Они также используются для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) из двух или более чисел, что является наибольшим числом, которое делится без остатка на каждое из чисел. Общие множители также можно использовать для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух или более чисел, наименьшего числа, кратного всем числам.

💡 Как только вы оцените наибольший общий делитель среди общих делителей чисел, решить, как разделить семейное наследство между братьями и сестрами, станет проще, чем вы могли ожидать. Это также помогает разделить пиццу между группой людей и рассчитать сумму денег, которую каждый член семьи должен внести на общие расходы.

Подробнее об общих факторах в Omni!

Общие множители — это один из аспектов универсальной области делителей и множителей.

Ознакомьтесь со многими другими инструментами, которые у нас есть для вас.

• Калькулятор делителей;
• Калькулятор коэффициентов; и
Калькулятор GCF
• .

Часто задаваемые вопросы

Каковы общие делители 8 и 32?

Общие делители чисел 8 и 32 равны 1, 2, 4 и 8.

Список делителей каждого из них:

• 8 = 1, 2, 4, 8 .
• 32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32 .

Как найти общие делители чисел 12 и 24?

Чтобы определить общие делители чисел 12 и 24, выполните следующие действия:

1. Перечислите делители числа 12.
2. Перечислите делители числа 24.
3. Выделите общие факторы между ними.

Следовательно:

12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
CFS = 1, 2, 3, 4, 6, 12

Komal Rafay

Введите одно или два числа:

Первое число

Второе число

Проверьте 67 АРИТМЕТИЧЕСКИХ Калькуляторов ➗

Absolute Changeabolute. и вычитание дробей… Еще 64

Налоговая система Германии и налоги в Германии

Независимо от того, являетесь ли вы гражданином Германии или эмигрантом, по закону вы обязаны платить налоги, если вы зарабатываете деньги, живя или работая в Германии.

Налоги взимаются федеральным правительством ( Bundesregierung ), федеральными землями ( Bundesländer) и муниципалитетами ( Gemeinden) . Налоговое администрирование осуществляется двумя налоговыми органами: Федеральным центральным налоговым управлением ( Bundeszentralamt für Steuern ) и примерно 650 региональными налоговыми управлениями ( Finanzämter ).

Налоговые поступления, полученные от подоходного налога, НДС, корпоративного налога и различных других потоков, распределяются между федеральным правительством, штатами и муниципалитетами.

Подоходный налог в Германии

Если вы зарабатываете деньги в Германии, вы обязаны платить налог со своего дохода. Налоговая система Германии использует прогрессивную налоговую ставку, при которой налоговая ставка увеличивается с налогооблагаемым доходом. Большинство людей будут платить подоходный налог за счет отчислений из заработной платы своим работодателем. Если у вас несколько профессий, вы ведете собственный бизнес или работаете не по найму в Германии, вам необходимо будет подавать ежегодную налоговую декларацию для расчета подоходного налога (см. ниже).

Ставки налога на прибыль в Германии 2023

Налог на прибыль на 2023 год следующий:

Доход	Налоговая ставка
Менее 10 908 евро	0%
10.909 — 62.809 евро	от 14% до 42%
62.810 — 277.825 евро	42%
Более 277 826 евро	45%

Ставки налога на прибыль за предыдущие годы

Ставки налога на прибыль за предыдущие годы:

Ставки налога на прибыль 2022

Доход	Налоговая ставка
Менее 9,984 евро	0%
9. 985 — 58.596 евро	от 14% до 42%
58,597 — 277,825 евро	42%
Более 277 826 евро	45%

Ставки налога на прибыль 2021

Доход	Налоговая ставка
Менее 9,744 евро	0%
9,744 — 57,918 евро	от 14% до 42%
57,919 — 274,612 евро	42%
Более 274 613 евро	45%

Ставки налога на прибыль 2020

Доход	Налоговая ставка
Менее 9 408 евро	0%
9.408 — 57.051 евро	от 14% до 42%
57.051 — 270.500 евро	42%
Более 270 500 евро	45%

Ставки налога на прибыль 2019

Доход	Налоговая ставка
Менее 9 169 евро	0%
9. 169 — 14.255	от 14% до 24%
14,256 — 55,960	от 24% до 42%
55,961 — 265,236 евро	42%
Более 265 327 евро	45%

Удерживаемый налог (

Lohnsteuer )

Удерживаемый налог или налог на заработную плату — это подоходный налог и другие взносы, которые ваш работодатель удерживает из вашей зарплаты. Это относится к подавляющему большинству эмигрантов в Германии и означает, что ваша ставка подоходного налога уже рассчитана и уплачена за вас. Если это ваш единственный источник дохода, вы не обязаны подавать налоговую декларацию.

Удерживаемый налог взимается с вашей зарплаты каждый месяц. При обсуждении заработной платы и условий трудового договора на новой работе важно помнить об этом вычете. Существует большая разница между вашей брутто-зарплатой и чистой зарплатой после уплаты налогов.

Налоговый сбор включает налог на вашу заработную плату ( Lohnsteuer ), взносы в национальное страхование, налоги на «натуральные пособия», надбавку за солидарность и церковный налог:

Социальные выплаты (

Krankenversicherung, Rentenversicherung, Pflegeversicherung и Arbeitlosenversicherung )

Любой доход от работы, полученный в Германии, облагается обязательными взносами на социальное обеспечение, покрывающими следующие области:

• Медицинское страхование ( Krankenversicherung
  71)
• Пенсионное страхование ( Rentenversicherung )
• Страхование на случай длительного ухода ( Plegeversicherung )
• Страхование от безработицы ( Arbeitlosenversicherung)

Эти платежи обычно распределяются между вами и вашим работодателем, при этом ваш работодатель обычно вносит 50%. Ваша доля взносов будет удерживаться из вашей зарплаты и перечисляться соответствующим организациям. Общий взнос на социальное обеспечение обычно составляет около 20–22% от вашей зарплаты до определенного максимального предела.

Льготы в натуральной форме (

geldwerter Vorteil )

Вы также можете быть обязаны платить налог на все, что считается «льготой в натуральной форме», то есть льготы или преимущества, которые вы получаете от своего работодателя, например, использование автомобиля . Автомобили компании облагаются налогом в размере 1% от прейскурантной цены автомобиля, включая НДС. Акции, предоставляемые в качестве привилегий или бонусов, также облагаются налогом.

Надбавка за солидарность (

Solidaritätzuschlag )

Часто называемая для краткости « Soli », эта надбавка в размере 5,5% взимается с подоходного налога, налога на прирост капитала и корпоративного налога. Первоначально он был введен в 1991 году для покрытия расходов на воссоединение Германии, например, для выплаты пенсий и долгов бывшего правительства Восточной Германии.

По состоянию на январь 2021 года «порог Soli » для подоходного налога был резко повышен, что фактически отменило надбавку за 90 процентов налогоплательщиков. Одинокие люди будут платить его только в том случае, если их валовой годовой доход составляет 62 603 евро или более.

Церковный налог (

Kirchensteuer )

Когда вы регистрируетесь в Германии, вас просят объявить религию. Если вы объявляете себя протестантом, католиком или евреем, вы обязаны платить церковный налог, который налоговая служба собирает от имени религиозных организаций в Германии. В настоящее время он составляет 8% в Баварии и Баден-Вюртемберге и 9% во всех других федеральных землях. Если у вас нет заявленной религии, вы не будете платить церковный налог.

Налоговые вычеты

Налоговая система Германии допускает относительно широкий спектр вычетов, которые могут уменьшить ваши налоговые обязательства. Вы также можете претендовать на налоговые льготы, такие как детские пособия. Налоговые вычеты возможны по следующим видам выплат:

• Расходы на оплату труда (если они уже не возмещаются работодателем)
• Расходы на переезд
• Выплата алиментов разведенным или проживающим отдельно партнерам
• Благотворительные взносы в немецкие благотворительные организации
• Стоимость услуг по уходу за детьми, таких как детский сад или няня
• Расходы на образование или школьное обучение
• Взносы на социальное обеспечение
• Церковный налог
• Процентные платежи по ипотечным кредитам (только ипотечные кредиты, выкупаемые с целью сдачи в аренду)

Чтобы воспользоваться налоговыми вычетами, вам необходимо заполнить годовую налоговую декларацию. Многие работники в Германии подают его, даже если они не обязаны это делать, чтобы убедиться, что они не переплачивают налог.

Немецкий налоговый калькулятор

Если вы изо всех сил пытаетесь представить, как все это влияет на ваш доход, немецкий налоговый калькулятор может дать вам хорошее представление о том, сколько денег вы на самом деле будете получать домой каждый месяц. Чтобы получить представление о том, сколько подоходного налога вам придется заплатить, вы можете использовать этот калькулятор подоходного налога.

Годовая налоговая декларация (

Steuererklärung )

В конце финансового года (который в Германии длится с января по декабрь) вы можете подать налоговую декларацию в Федеральное центральное налоговое управление, чтобы убедиться, что вы платите правильный размер налога. На основании данных, предоставленных вами и вашим работодателем, заявленных вами вычетов и суммы подоходного налога, уплаченного вами в предыдущем году, налоговая инспекция определит, имеете ли вы право на возмещение (или вам нужно платить больше) . Вы можете заполнить формы на бумаге и отправить их в налоговую инспекцию или сделать это с помощью онлайн-системы налоговой инспекции ELSTER ( Elektronische Steuererklärung ).

Чтобы узнать, обязаны ли вы подавать ежегодную налоговую декларацию, какие вычеты вы можете сделать, чтобы сэкономить деньги, и как работает процесс подачи заявления, посетите нашу страницу Годовая налоговая декларация .

Налоги на бизнес в Германии

Наряду с обычным подоходным налогом Федеральная центральная налоговая служба также взимает налоги с доходов от бизнеса. Платите ли вы НДС и корпоративный налог, а также сумма, которую вы платите, зависит от размера вашего бизнеса и вашего годового оборота.

Если вы подумываете о том, чтобы начать свой собственный бизнес в Германии, вам необходим хороший бухгалтер или финансовый консультант, чтобы убедиться, что вы платите правильные налоги. На нашей странице «Налоги на бизнес» вы можете найти обзор различных типов налогов, которые вам, возможно, придется платить как предпринимателю.

Другие налоги в Германии

Вы столкнетесь со многими другими формами прямого и косвенного налогообложения, будучи эмигрантом в Германии. Это может включать: 

Лицензионный сбор (

Rundfunkbeitrag )

С 2013 года каждая семья в Германии обязана платить лицензионный сбор на телевидение и радио ( Rundfunkbeitrag ), независимо от того, владеете ли вы телевизором или радио. Обоснование этого заключается в том, что в современном мире вы все еще можете получить доступ к контенту через компьютер или телефон. Как только вы зарегистрируете свой адрес в Германии, вы, скорее всего, получите письмо от Beitragsservice с требованием оплаты. Это стоит 18,36 евро на домохозяйство в месяц (по состоянию на 2022 год), независимо от того, сколько людей там живет. Вы можете иметь право на льготные выплаты или освобождение от них, если вы получаете льготы, являетесь инвалидом или являетесь студентом.

Налог на транспортные средства (

Kraftfahrzeugsteuer )

Этот вид налога применяется к вам, если вы являетесь владельцем автомобиля. Налог зависит от типа топлива и объема двигателя. Транспортные средства, впервые зарегистрированные до 30 июня 2009 г., облагаются налогом в соответствии с их классом выбросов. Транспортные средства, зарегистрированные после этой даты, облагаются налогом в зависимости от выбросов углекислого газа. Вы можете узнать больше на нашей странице Налогообложение автомобиля в Германии.

Налог на собаку (

Hundesteuer )

Если у вас есть собака в Германии, по закону вы обязаны зарегистрировать ее в местной налоговой инспекции, где она получит бирку ( Hundemarke ), подтверждая оплату лицензии. Обычно это стоит от 90 до 150 евро в год за первую собаку. Налог выше для любых дополнительных собак, чтобы удержать владельцев от слишком большого количества домашних животных. Служебные собаки, такие как собаки-поводыри, освобождены от уплаты налога, как и другие домашние животные.

Налог с продажи недвижимости (

Grunderwerbssteuer )

Если вы покупаете дом в Германии, вам придется заплатить налог с продажи недвижимости. Этот разовый налог применяется, когда имущество стоимостью более 2500 евро переходит от одного владельца к другому. Ставка варьируется в зависимости от федеральных земель, от 3,5 до 6,5% от стоимости недвижимости.

Налог на капитал и прирост капитала (

Abgeltungsteuer )

Этот вид налога применяется к доходам от капитала, таким как дивиденды, проценты, доходы от инвестиционных фондов, а также к приросту частного капитала, таким как продажа акций или долей в компаниях. Налог на прирост капитала в Германии в настоящее время составляет 25%.

Налог на наследство и дарение (

Erbschafts — und Schenkungssteuer )

Если вы являетесь налогоплательщиком в Германии или бенефициаром немецкого налогоплательщика, вы будете облагаться налогом на любые активы, которые вы можете получить. Ставка налога варьируется от 7% до 50%, в зависимости от стоимости наследства.

Налог на недвижимость (

Grundsteuer )

Этот налог взимается муниципалитетами с недвижимости в Германии. Сумма налога к уплате рассчитывается на основе стоимости имущества и местной налоговой ставки (которая варьируется от 0,26% до 1%)

Соглашения об избежании двойного налогообложения

Соглашения об избежании двойного налогообложения гарантируют, что никто не должен платить доход дважды. Технически кто-то может быть обязан платить налоги в двух странах — например, если вы путешествуете через границу.

Германия имеет соглашения об избежании двойного налогообложения со многими странами мира.

No related posts.