Решить систему уравнений методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

alexxlab / / Разное

Содержание

Mathway | Популярные задачи

Популярные задачи

Элемент. математикаОсновы алгебрыАлгебраТригонометрияОсновы мат. анализаМатематический анализКонечная математикаЛинейная алгебраХимияPhysics

РейтингТемаЗадачаФорматированная задача
1Решить, используя обратную матрицуx+2y=1 , 4x+5y=13 ,
2Перемножить матрицы[[1/( квадратный корень из 17),-4/( квадратный корень из 17)]][[1/( квадратный корень из 17)],[-4/( квадратный корень из 17)]]
3Найти область определенияx+y=3
4Найти область определенияx-y=3
5Найти область определенияy=-2x+3
6Найти область определенияy=2x+1
7Записать в виде векторного равенстваx=x^2+9x+3 , x=x+2 ,
8Найти область определенияy=2x
9Найти область определенияy=-3x
10Найти область определенияy=3x-2
11Найти область определенияy=4x
12Найти область определения3x+2y=6
13Trovare la 5×5 Matrice Identità5
14Trovare la 6×6 Matrice Identità6
15Trovare la 4×4 Matrice Identità4
16Решить, используя обратную матрицу2x+y=-2 , x+2y=2 ,
17Решить, используя обратную матрицу4x+4=y , y=6x ,
18Решить, используя обратную матрицу4x+2=5y-3 , y=3x-1 ,
19Найти степенное множество(3,4)
20Вычислитькубический корень из 216
21Найти степенное множество (1,3)
22Найти область определения3x-2y=12
23Найти область определенияy=5x+2
24Найти область определенияy=2x-3
25Найти область определенияy=2x-4
26Найти область определенияy=2x+5
27Найти область определенияy=1/2x
28Найти область определенияy=1/2x-3
29Найти область определенияy=2/3x-2
30Найти область определенияx=2y
31Найти область определенияx-2y=2
32Найти область определенияx-2y=6
33Найти область определения2y+x
34Найти область определения2x+y=0
35Найти область определенияy=5x+6
36Найти область определенияy=x+3
37Solve Using a Matrix by Eliminationy=4x+3x-2 , y=6 ,
38Проверить линейную зависимостьB={[[-10,2],[5,-2. 5]]}
39Сложение[[2,4],[6,-4]]+[[-3,-7],[20,10]]
40Проверить линейную зависимостьB={[[-1,2],[0,-2.5]]}
41Перемножить матрицы[[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]][[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]]
42Найти область определенияy=5x
43Найти область определенияy=7x
44Найти область определенияy=-x-2
45Найти область определенияy=x-2
46Найти область определенияy=x-3
47Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[4,-3,1,0],[1,0,-2,0],[-2,1,1,0]]
48Записать в виде векторного равенстваx+y+z=2 , 4x+5y+z=12 , 2x=-4 , ,
49Найти определитель[[0,-1,a],[3,-a,1],[1,-2,3]]
50Найти область определенияy=-x+2
51Найти определитель[[2,5,0],[1,0,-3],[2,-1,2]]
52Найти определитель[[7,5,0],[4,5,8],[0,-1,5]]
53Найти обратный элемент[[1,-3,0,-2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3]]
54Найти обратный элемент[[1,2,3],[2,5,7],[3,7,9]]
55Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[0,1,5,-4],[1,4,3,-2],[2,7,1,-2]]
56Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[1,1,0],[1,0,1],[1,0,1],[2,1,0],[2,1,0]]
57Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
58Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[7,8]]
59Найти область определения2x+y=1
60Записать в виде векторного равенства2x+y=-2 , x+2y=2 ,
61Найти область определенияx-2y=4
62Найти область определенияx-y=-1
63Найти область определенияx+y=5
64Найти область определенияx=-3y-8
65Найти область определенияx=-2y-8
66Найти область определенияx+y=6
67Найти область определенияx+y=4
68
Найти область определения		x+2y=4
69Найти область определенияx+y
70Найти область определенияy=7x+9
71Найти область определенияy=1/2x-5
72Найти область определенияy=1/2x+2
73Найти область определенияy=1/2x+3
74Найти область определенияx-y=-3
75Найти область определения x-y=4
76Найти область определенияy=-2x
77Найти область определенияy=-2x+1
78Найти область определенияy=2^(x+9)
79Найти область определенияy=10-x^2
80Найти область определенияy=2x-6
81Найти область определенияy=-2x-3
82Найти область определенияy=3x-8
83Найти область определенияy=3x
84Найти область определенияy=-3x+1
85Найти область определенияy=4x+3
86Найти область определенияy=3x-4
87Найти область определенияy=4x-2
88Найти область определенияy=-6x
89Найти область определенияy=x-4
90Найти область определения7 корень четвертой степени из 567y^4
91Найти область определенияc=5/9*(f-32)
92Найти область определенияf=9/5c+32
93Вычислитьквадратный корень из 4
94Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[-6,7],[2,6],[-4,1]]
95Найти собственные значения[[2,1],[3,2]]
96Найти собственные значения[[4,0,1],[2,3,2],[49,0,4]]
97Найти степенное множествоA=(2,3,4,5)
98Найти мощность(2,1)
99Решить, используя обратную матрицу-3x-4y=2 , 8y=-6x-4 ,
100Решить, используя обратную матрицу2x-5y=4 , 3x-2y=-5 ,

Решающие системы с исключением Гаусса – Дифференциальное исчисление

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
  • Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
  • Выполнение операций со строками над матрицей.
  • Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
Рис. 1. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих. Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.

Впервые мы столкнулись с методом исключения Гаусса в книге «Системы линейных уравнений: две переменные». В этом разделе мы вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством для представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.

Например, рассмотрим следующую систему уравнений.

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

Мы также можем записать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, такая как

, имеет матрицу коэффициентов

и представлена ​​расширенной матрицей

Обратите внимание, что матрица записана таким образом, что переменные располагаются в своих столбцах: x -термины идут в первом столбце, y — термины во втором столбце, а z — термины в третьем столбце. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0.

Как

Учитывая систему уравнений, напишите расширенную матрицу.

  1. Запишите коэффициенты членов x в виде чисел в первом столбце.
  2. Напишите коэффициенты y -термы как числа во втором столбце.
  3. Если имеется z -членов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
  4. Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.

Запись расширенной матрицы для системы уравнений

Запись расширенной матрицы для заданной системы уравнений.

Показать решение

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

Попробуйте

Напишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

Показать решение

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы для решения систем уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Написание системы уравнений из формы расширенной матрицы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

Показать решение

Когда столбцы представляют переменные и

Попробуйте

Напишите систему уравнений из дополненной матрицы.

Показать решение

Выполнение операций над строками над матрицей

Теперь, когда мы можем записывать системы уравнений в расширенной матричной форме, мы рассмотрим различные операции над строками, которые можно выполнять над матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение операций со строками над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Для того, чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в строчно-ступенчатую форму, в которой единицы по главной диагонали от левого верхнего угла до нижнего правого угла, и нули в каждой позиции ниже главной диагонали как показано.

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы ряд-эшелон.

  1. В любой ненулевой строке первое ненулевое число равно 1. Оно называется ведущим 1.
  2. Любые строки со всеми нулями помещаются внизу матрицы.
  3. Любой интерлиньяж 1 ниже и правее предыдущего интерлиньяжа 1.
  4. Любой столбец, содержащий первую единицу, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в ступенчатую форму и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

  1. Поменять местами ряды. (Обозначение: )
  2. Умножить строку на константу. (Обозначение: )
  3. Добавить произведение строки, умноженной на константу, к другой строке. (Обозначение:

Каждая из операций строки соответствует операциям, которые мы уже изучили для решения систем уравнений с тремя переменными. С этими операциями есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели записи матрицы в форме строки-эшелона. Чтобы получить матрицу в форме строки-эшелона для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк.

Исключение по Гауссу

Метод исключения по Гауссу относится к стратегии, используемой для получения ступенчато-строковой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу с числом 1 в качестве элемента вниз по главной диагонали и со всеми нулями ниже.

Первый шаг стратегии Гаусса включает в себя получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже.

Как сделать

Для заданной расширенной матрицы выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

  1. В первом уравнении старший коэффициент должен быть равен 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
  2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце после первой записи 1.
  3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
  4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули вниз по столбцу 2, ниже записи 1.
  5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
  6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока не будет 1 в каждом элементе вниз по главной диагонали, а ниже не останутся только нули.
  7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решение системы методом исключения Гаусса

Решение данной системы методом исключения Гаусса.

Показать решение

Во-первых, мы запишем это как расширенную матрицу.

Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.

Теперь у нас есть 1 в качестве первой записи в строке 1, столбце 1. Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Этого можно добиться, умножив строку 1 на и затем прибавив результат к строке 2.

Остался только один шаг, чтобы умножить строку 2 на

.

Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет собой обратную подстановку в первое уравнение.

Решение — точка

Попробуйте

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Показать решение

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Использование исключения Гаусса для решения заданной
системы уравнений.

Показать решение

Запишите систему в виде расширенной матрицы.

Получите 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, умножив первую строку на

.

Далее нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножьте строку 1 на и добавьте строку 1 к строке 2.

Вторая строка представляет уравнение Следовательно, система несовместна и не имеет решения.

Решение зависимой системы

Решить систему уравнений.

Показать решение

Выполните операции над строками на расширенной матрице, чтобы попытаться получить эшелонированную форму строк.

Матрица заканчивается со всеми нулями в последней строке: Таким образом, существует бесконечное число решений, и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и найдите

.

Таким образом, решение этой системы:

Выполнение операций над строками над расширенной матрицей 3×3 для получения формы строк-эшелонов

Выполнение операций над строками данной матрицы для получения формы строк-эшелонов.

Показать решение

В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом является умножение строки 1 на и добавление к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.

Далее получить ноль в строке 3 столбца 1.

Далее получить ноль в строке 3 столбца 2.

Последний шаг — получить 1 в строке 3 столбца 3.

Попробуй

Запиши систему уравнений в строчно-эшелонной форме.

Показать решение

Решение системы линейных уравнений с помощью матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку, чтобы получить ступенчатую форму. Теперь мы сделаем еще один шаг вперед, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для решения других переменных.

Решение системы линейных уравнений с помощью матриц

Решение системы линейных уравнений с помощью матриц.

Показать решение

Сначала запишем расширенную матрицу.

Далее мы выполняем операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — поменять местами и

Затем

Последняя матрица представляет эквивалентную систему.

Используя обратную подстановку, мы получаем решение в виде

Решение зависимой системы линейных уравнений с помощью матриц

Решите следующую систему линейных уравнений с помощью матриц.

Показать решение

Написать расширенную матрицу.

Сначала умножьте строку 1 на, чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

Последняя матрица представляет следующую систему.

По тождеству мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем находим универсальное решение. Решая второе уравнение для и подставляя его в первое уравнение, мы можем решить для с точки зрения

Теперь подставим выражение для во второе уравнение для решения относительно

Общее решение:

Попробуйте

Решите систему с помощью матриц.

Показать решение

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Как сделать

Дана система уравнений, решите ее с помощью матриц с помощью калькулятора.

  1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную
  2. Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

Показать решение

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

На странице матрицы калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве переменной матрицы

Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызвав матричную переменную

Оценить.

Используя обратную замену, решение:

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролин инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых приносит 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Показать решение

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть сумма, вложенная в 10,5% годовых, и сумма, вложенная в 12% годовых.

В качестве матрицы имеем

Умножить строку 1 на и добавить результат к строке 2.

Затем

Так

Таким образом, 5000 долларов были вложены под 12% годовых, а 7000 долларов — под 10,5%.

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов США в три счета, на один из которых выплачивается 5%, на другой — 8%, а на третий — 9%. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма инвестиций в 9% вдвое превышала сумму, вложенную в 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Показать решение

У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Пусть будет сумма, вложенная под 5% годовых, пусть будет сумма, вложенная под 8% годовых, и пусть будет сумма, вложенная под 9% годовых. Таким образом,

В качестве матрицы имеем

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелона.

Третья строка сообщает нам, таким образом,

Вторая строка говорит нам Подставляя мы получаем

Первая строка говорит нам о замене, и мы получаем

.

Ответ: 3000 долларов инвестировано под 5%, 1000 долларов инвестировано под 8% и 6000 долларов инвестировано под 9%.

Попробуй

Небольшая обувная компания взяла кредит в размере 1 500 000 долларов, чтобы расширить свой ассортимент. Часть денег была взята в долг под 7%, часть – под 8%, а часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовой процент по всем трем кредитам составлял 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

Show Solution

150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения систем линейных уравнений с использованием исключения Гаусса.

  • Решение системы двух уравнений с помощью расширенной матрицы
  • Решение системы трех уравнений с помощью расширенной матрицы
  • Расширенные матрицы на калькуляторе

Ключевые понятия

  • Расширенная матрица — это матрица, содержащая коэффициенты и константы системы уравнений. См. (Рисунок).
  • Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​в виде исходной системы уравнений. См. (Рисунок).
  • Операции со строками включают умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и перестановку строк.
  • Мы можем использовать исключение Гаусса для решения системы уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Операции со строками выполняются над матрицами для получения ступенчатой ​​формы. См. (Рисунок).
  • Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в расширенной матричной форме. Выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона. Обратно заменить, чтобы найти решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. (Рисунок).
  • Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Раздел Упражнения

Вербальные

1. Можно ли любую систему линейных уравнений записать в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту расширенную матрицу.

Показать решение

Да. Для каждой строки коэффициенты при переменных записываются поперек соответствующей строки и ставится вертикальная черта; то константы располагаются справа от вертикальной черты.

2. Можно ли любую матрицу представить в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту систему уравнений.

3. Существует ли только один правильный метод использования строковых операций над матрицей? Попробуйте объяснить две разные операции над строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы

Покажите решение

Нет, существует множество правильных методов использования операций над строками в матрице. Два возможных способа: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Затем (2) Затем разделить строку 1 на 9..

4. Можно ли решить матрицу, диагональный элемент которой равен 0? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

5. Может ли матрица, состоящая из 0 элементов для всей строки, иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

Показать решение

Нет. Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

Алгебраический

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

6.

7.

Показать решение

8.

9.

Показать решение

10.

 

Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.

11.

Показать решение

12.

13.

Показать решение

14.

15.

Показать решение

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

16.

17.

Показать решение

Нет решений

18.

19.

Показать раствор

20.

21.

Показать раствор

22.

23.

Показать решение

24.

25.

Показать решение

26.

27.

Показать решение

28.

29.

Показать решение

30.

31.

Показать раствор

32.

33.

Показать решение

34.

35.

Показать решение

36.

37.

Показать решение

38.

39.

Показать решение

40.

41.

Показать решение

42.

43.

Показать решение

44.

45.

Показать Решение

46.

Extensions

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

47.

Показать решение

48.

49.

Показать решение

50.

51.

Показать решение

Решений не существует.

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

52. Каждый день в магазине кексов продается 5000 кексов с шоколадным и ванильным вкусом. Если шоколадный вкус в 3 раза популярнее ванильного, сколько каждого кекса продается в день?

53. В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы «Красный бархат» — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, продаваемых в день, равно 2200, сколько каждого вкуса продается каждый день?

Show Solution

860 красный бархат, 1340 шоколадный

54. Вы вложили 10 000 долларов на два счета: один с простой процентной ставкой 3%, другой с процентной ставкой 2,5%. Если ваш общий процентный платеж через год составил 283,50 доллара, сколько было на каждом счете по прошествии года?

55. Вы вложили 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2. Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим, простые процентные ставки.

Показать решение

4% для счета 1, 6% для счета 2

56. Bikes’R’Us производит велосипеды, которые продаются по цене 250 долларов. Это обходится производителю в 180 долларов за велосипед плюс первоначальный взнос в размере 3500 долларов. Через какое количество проданных велосипедов производитель станет безубыточным?

57. Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, а стоимость доставки составит 9200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько он должен брать за пылесосы?

Показать решение

$126

58. Три самых популярных вкуса мороженого – шоколадное, клубничное и ванильное, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ванильное мороженое продается на 1% больше, чем клубничное, более чем в два раза, а шоколадное — на 11% больше, чем ванильное, то какую долю от общего потребления мороженого составляют ароматы ванили, шоколада и клубники?

59. В магазине мороженого растет спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и каменистое мороженое составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году те же три мороженого составили 16,9% от продаж мороженого. Продажи каменистой дороги увеличились вдвое, продажи бананов выросли на 50%, а продажи тыквы выросли на 20%. Если мороженое «Каменная дорога» имеет на один процент продаж меньше, чем банановое мороженое, выясните процент продаж каждого отдельного мороженого в прошлом году.

Show Solution

Банан 3%, тыква 7%, каменистая дорога 2%

60. Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Всего в пакете 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Орехи кешью весят 3 г, фисташки — 4 г, а миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида находится в мешке.

61. Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в мешке было 900 орехов. 30 % миндаля, 20 % кешью и 10 % фисташек были съедены, и теперь в мешке осталось 770 орехов. Изначально орехов кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала подсчитайте, сколько орехов каждого типа было в пакете.

Show Solution

100 миндальных орехов, 200 орехов кешью, 600 фисташек

Глоссарий

дополненная матрица
матрица коэффициентов, присоединенная к столбцу констант, разделенному вертикальной чертой в скобках матрицы
матрица коэффициентов
матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений
Исключение Гаусса
с помощью элементарных операций со строками для получения матрицы в виде эшелона строк
главная диагональ
элементов из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы
рядно-эшелонная форма
после выполнения операций со строками, матричная форма, содержащая единицы вниз по главной диагонали и нули на каждом месте ниже диагонали
эквивалент строки
две матрицы и эквивалентны по строкам, если одна может быть получена из другой путем выполнения основных операций со строками
рядные операции
добавление одной строки к другой строке, умножение строки на константу, перестановка строк и т. д. с целью достижения ступенчато-строковой формы
Метод исключения

по Гауссу | Superprof

Метод исключения Гаусса — еще один метод поиска решения системы. Он выполняется на расширенной матрице, и мы используем операции со строками, чтобы найти решение конкретной системы. Система должна содержать линейные уравнения, иначе метод исключения Гаусса будет пустой тратой времени и усилий. Другое название этого метода — «сокращение строк». В этом методе есть две стадии: одна — прямое исключение, а другая — обратная замена.

Оба метода различны. Многие студенты думают, что они отличаются операциями, но это неправда, они отличаются результатами. Это означает, что они дают разные результаты. Прямое исключение фокусируется на сокращении строк, чтобы преобразовать расширенную матрицу в эшелонированную форму. Самая большая цель прямого исключения — выяснить, есть ли у системы решения или нет? В случае, если система не имеет решения, то нет смысла уменьшать матрицу на следующем этапе.

Однако, если система выглядит многообещающе, то выполняется обратная замена, чтобы найти результат решения. Это также последний шаг метода исключения Гаусса, и он найдет результат матрицы.

Система трех уравнений с тремя неизвестными

Метод Гаусса заключается в использовании метода исключения таким образом, чтобы в каждом уравнении было на одно неизвестное меньше, чем в предыдущем уравнении.

1.Подставьте уравнение с коэффициентом x : 1 или -1 , как первое уравнение. Если невозможно с x, сделайте с y или z и измените порядок неизвестных:

устранить член х в 2-м уравнении . Затем во второе уравнение подставьте результат операции:

После сложения обоих уравнений:

3. Сделайте то же самое с 1 -й и 3 -е уравнение до . метод со 2-м и 3-м уравнениями:

Складывая оба уравнения:

5. Получаем другую эквивалентную систему:

6. Решаем систему:

 

Examples

Q.1

Adding both equations:

 

Adding both equations:

 

Сложим оба уравнения:0004

 

Q.2

Adding both equations:

 

Adding both equations:

Если сложить оба уравнения, получится:0004

Лучшие преподаватели по математике, доступные

Let’s Go

Проблемы с словесными и 12 литров оливкового масла.

Рассчитайте цену каждой позиции, зная, что 1 литр масла стоит в три раза дороже 1 литра молока, а 1 кг ветчины стоит столько же, сколько 4 литра масла и 4 литра молока.

молоко х

ham y

olive oil z

Placing :

 

 

milk 1 dollars

ham 16 dollars

оливковое масло 3 доллара

 

Q.2 Видеомагазин специализируется на фильмах трех жанров: детский, вестерн и ужасы. Известно, что:

60% детских фильмов плюс 50% вестернов составляют 30% всех фильмов.

20% детских, 60% вестернов и 60% фильмов ужасов составляют половину всех фильмов в видеомагазине.

Западных фильмов на 100 больше, чем детских фильмов.

Найдите количество фильмов каждого жанра.

дети x

вестерн y

ужасы z

 

Поместим уравнение 3 в оба уравнения:

Adding both equations:

 

 

children 500 movies

western 600 movies

horror 900 movies

 

Q.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *