Умножение скобок на скобки: Как правильно раскрывать скобки?

Содержание

как перемножить две, три, примеры

Содержание:

Как умножать выражения в скобках
Как вынести общий множитель за скобки
Примеры вынесения общего множителя за скобки
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Содержание

Как умножать выражения в скобках
Как вынести общий множитель за скобки
Примеры вынесения общего множителя за скобки

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Как умножать выражения в скобках

Умножение — операция над аргументами в математике: множимым и множителем. 2\end{array}.\)

Если выражение в скобках содержит сумму или разность переменных, то такое выражение называют многочленом. Каждый компонент многочлена является одночленом. Число перед одночленом — коэффициент. Если перед одночленом не указано число, то подразумевают один или минус один — зависит от знака.

Как вынести общий множитель за скобки

Общий множитель — наибольший общий делитель.

Операцию вынесения общего множителя за скобки используют при разложении многочлена на множители. Разложение многочлена на множители подразумевает его преобразование в равное этому многочлену произведение.

Правило вынесения общего множителя за скобки:

Чтобы вынести общий множитель, записывают исходное выражение в виде произведения общего множителя и суммы, заключенной в скобки, без общего множителя.

Для вынесения общего множителя за скобки используют распределительный закон или распределительное свойство умножения справа налево:

Формула

$ab\pm ac=a(b\pm c)$ — сумма преобразуется в произведение.

Алгоритм нахождения общего множителя для членов многочлена:

Найти для каждого коэффициента делители.
Выбрать делитель, на который делится каждый коэффициент одночленов в многочлене.

Вынести этот делитель за скобки.
Найти переменные, которые встречаются в каждом члене многочлена.
Вынести за скобки эти переменные в наименьшей степени из встречающихся.
Разделить каждый член многочлена на полученный за скобками одночлен.

В многочлене в скобках должно остаться столько членов, сколько было в исходном.

Метод вынесения общего множителя за скобки на примере числового выражения:

Пример 1

$5\times{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}+{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}\times8={\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}(5+8)$.

В этом выражении выносят за скобки общий множитель 3. Исходное выражение записывается как произведение общего множителя и суммы всех исходных слагаемых, кроме

общего множителя.

Дано числовое выражение $5\ast2-4\ast2+2\ast3$. Это сумма трех слагаемых.

Есть общий множитель 2. По правилу получают: $2\ast(5-4+3)$.

Полная запись решения: $5\ast2-4\ast2+2\ast3=2\ast(5-4+3)$.

Примеры вынесения общего множителя за скобки

Пример 2

Вынести общий множитель: $abc-ab$.

Алгоритм:

Раскладываем каждый одночлен на множители:

$abc=a\times b\times c; ab=a\times b$.

Находим одинаковые множители: $ abc+ab=a\times b\times c+a\times b=\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b$.
Одинаковые множители выносим за скобку и перемножаем, а каждый компонент в скобках делим на это произведение:$ \boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c}{\boldsymbol a\boldsymbol b}+\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b}{\boldsymbol a\boldsymbol b}). {\mathit2}.$
Пример 7
Решите уравнение: $3(x-4x)=0$.
Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни или доказать, что корней нет.
Корень уравнения — значение переменной, при которой получается верное равенство.
Объяснение решения.
1. Раскрываем скобки: умножаем 3 на каждый компонент в скобках.
$\begin{array}{l}3(x-4x)=0\\3\ast x-3\ast4x=0\\\end{array}.$
1. Перемножаем:$ \begin{array}{l}3\ast x-3\ast4x=0\\3x-12x=0\\\end{array}.$
2. В выражении есть подобные слагаемые$ ‒ 3x и (-12x)$.
3. Упрощаем:$ \begin{array}{l}3x-12x=0\\-9x=0\\\end{array}.$
4. Осталось найти икс:
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:

$\begin{array}{l}x=0\div(-9)\\x=0\end{array}.$
1. Выполняем проверку. Для этого найденное значение подставляем в исходное выражение и сравниваем правую и левую части: $\begin{array}{l}3(0-4\ast0)=0\\0=0\end{array}. $
2. Получаем верное равенство, значит, $x=0$ — корень уравнения.
3. Записываем ответ: 0.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 4.00 (Голосов: 1)

Поиск по содержимому

Раскрытия скобок стоит знак. Раскрытие скобок
«Раскрытие скобок» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)
Краткое описание:

В этом разделе Вы будете учиться раскрывать скобки в примерах. Для чего это нужно? Все для того же, что и раньше – чтобы Вам было легшее и проще считать, чтобы допускать меньше ошибок, а в идеале (мечта Вашего учителя математики) для того, чтобы вообще все решать без ошибок.

Вы уже знаете, что скобки в математической записи ставятся, если подряд идут два математических знака, если мы хотим показать объединение чисел, их перегруппировку. Раскрыть скобки означает избавиться от лишних знаков. Например: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. А помните распределительное свойство умножения относительно сложения? Ведь в том примере мы также избавлялись от скобок для упрощения вычислений. Названное свойство умножения также можно применять для четырех, трех, пяти и более слагаемых. Для примера: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Вы заметили, что при раскрытии скобок числа, находящиеся в них не меняют знака, если стоящее перед скобками число положительное? Ведь пятнадцать – положительное число. А если решить такой пример: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+(-120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. У нас перед скобками стояло отрицательное число минус пятнадцать, когда мы раскрыли скобки все числа стали менять свой знак на другой — противоположный – с плюса на минус.
Исходя из вышеуказанных примеров, можно озвучить два основных правила раскрытия скобок:
1. Если у Вас перед скобками стоит положительное число, то после раскрытия скобок все знаки чисел, стоявших в скобках, не изменяются, а остаются точно такими же как и были.
2. Если у Вас перед скобками стоит отрицательное число, то после раскрытия скобок знак минуса больше не пишется, а знаки всех абсолютно чисел, стоявших в скобках, резко меняются на противоположные.
Для примера: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Немного усложним наши примеры: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Вы заметили, что раскрывая вторые скобки, мы умножали на 2, но знаки оставались теми же как и были. А вот такой пример: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, в этом примере число два — отрицательное, оно перед скобками стоит со знаком минус, поэтому раскрывая их, мы меняли знаки чисел на противоположные (девять было с плюсом, стало с минусом, восемь было с минусом, стало с плюсом).

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Что называется раскрытием скобок?
Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · (3 + 4) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1
Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:
- знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
- произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.
Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + (− 3) − (− 7) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.
Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a + b) · (c + d) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d .
Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.
Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin (b) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin (b) .
Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − (5 − 7) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .
Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Правила раскрытия скобок, примеры
Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.
У одиночных чисел в скобках
Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (− 4) и 3 + (− 4) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.
Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, + (а) на + а, — (а) на – а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5 , выражение 3 + (5) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + (5) заменяется на + 5 , а выражение 3 + (− 5) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + (− 5) заменяется на − 5 .
Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.
Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + (− a) мы заменяем на − a , − (− a) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа (− a) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (− a) остается − a .
Приведем примеры: (− 5) можно записать как − 5 , (− 3) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) превращается в 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − (− 4) и − (− 3) заменяется на + 4 и + 3 .
Следует понимать, что записать выражение 3 · (− 5) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.
Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.
Согласно правилу разность a − b равна a + (− b) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + (− b) — это разность a − b .
Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − (− ((− (5)))) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.
К примеру, после раскрытия скобок выражение − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − (− 2 · x) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − (x 2) = − x 2 , + (− 1 x) = − 1 x и − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z .
В произведениях двух чисел
Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.
Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида (− a) · (− b) мы можем заменить на (a · b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (− a) · b и a · (− b) заменить на (− a · b) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.
Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида (- 2) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .
А если мы возьмем частное отрицательных чисел (− 4) : (− 2) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4: 2
На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.
Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .
Выражение (− 3) · 2 можно преобразовать в выражение (− 3 · 2) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .
2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5
Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 и 2 3 4: (- 3 , 5) = — 2 3 4: 3 , 5 = — 2 3 4: 3 , 5 .
Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.
1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3
sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = — sin (x) · x 2
В произведениях трех и большего количества чисел
Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.
Пример 2
Для примера, возьмем выражение 5 · (− 3) · (− 2) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как (5 · 3 · 2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .
В произведении (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 , 5 · 3: 2 · 4: 1 , 25: 1) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1 .
Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на (− 1) · a .
Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.
Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3: (- 2) · 4: — 6 7 выглядела бы следующим образом:
2 3: (- 2) · 4: — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6
Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x — 3: 2 .
Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x: 1 x · x — 3: 2 .
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +
Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.
Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.
Пример 3
Для примера приведем выражение (12 − 3 , 5) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .
Пример 4
Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x
Вот еще один пример раскрытия скобок:
Пример 5
2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + (- 1 + x — x 2) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2
Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус
Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
Пример 6
К примеру:
1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — (- x 2) = x 2
Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:
X + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,
получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку
Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) или b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.
Пример 7
Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3 − 7) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .
Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .
Умножение скобки на скобку
Рассмотрим произведение двух скобок вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.
Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b 1 + b 2) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на (b 1 + b 2) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2
Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.
Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.
Формула будет иметь вид:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Проведем раскрытие скобок в выражении (1 + x) · (x 2 + x + 6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6
Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) . Теперь мы можем применить правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений
При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
В выражении содержится сразу три множителя (2 + 4) , 3 и (5 + 7 · 8) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) .
В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) .
Умножаем скобку на скобку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .
Скобка в натуральной степени
Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.
Рассмотрим процесс преобразования выражения (a + b + c) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок (a + b + c) · (a + b + c) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .
Разберем еще один пример:
Пример 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2
Деление скобки на число и скобки на скобку
Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x 2 — x) : 4 = x 2: 4 — x: 4 .
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножим скобку на число (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Вот еще один пример деления на скобку:
Пример 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .
Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Порядок раскрытия скобок
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.
Порядок выполнения действий:
- первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
- на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
- заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Намнем преобразование с выражений 3 · (− 2) : (− 4) и 6 · (− 7) , которые должны принять вид (3 · 2: 4) и (− 6 · 7) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .
Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.
Тема: Решение уравнений
Урок: Раскрытие скобок
Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.
Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.
Слева от знака равно выражение со скобками, а справа — выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.
Пример 2.
Пример 3.
Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:
Замечание.
Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».
Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.
Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.
Иллюстрирующий пример и правило.
Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.
С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.
Сформулируем правило:
Пример 1.
Пример 2.
Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.
Пример 3.
Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.
Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.
Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую — на 3.
Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные
Список литературы
1. Виленкин Н. Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.
1. Онлайн тесты по математике ().
2. Можно скачать указанные в п. 1.2. книги ().
Домашнее задание
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
2. Домашнее задание: № 1254, № 1255, № 1256 (б,г)
3. Другие задания: № 1258(в), № 1248
Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.
Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.
Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.
И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении или в скобках первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение (5+x) – знайте, что и перед скобкой стоит плюс, который не пишут, и перед пятеркой стоит плюс +(+5+x).
Правило раскрытия скобок при сложении
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.
Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, значит знаки перед числами в скобках не меняем.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Правило раскрытия скобок при вычитании
Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.
Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)
Перед скобками стоит минус, значит нужно поменять знаки перед числами из скобок. В скобках перед цифрой 7 знака нет, это значит, что семерка положительная, считается, что перед ней знак +.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Раскрытие скобок при умножении
Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.
Таким образом, сскобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.
Пример. 2 · (9 — 7) = 2 · 9 — 2 · 7
При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
На самом деле, нет необходимости запоминать все правила, достаточно помнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получится правило (a−b)=a−b. А если подставить минус единицу, получим правило −(a−b)=−a+b. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.
Раскрываем скобки при делении
Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок, и наоборот.
Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Как раскрыть вложенные скобки
Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальные скобки, просто переписывая их как есть.
Пример. 12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b
Число, математика и статистика — набор академических навыков
Раскрытие скобок и факторизация (экономика)
Главное меню ContentsToggle 1 Правила раскрытия скобок 2 Примеры работы 3 Факторизация 4 Примеры видео 5 Рабочая тетрадь 6 Проверка себя 7 Внешние ресурсы
Правила раскрытия Скобки
Раскрытие скобок или , умножение , включает в себя умножение каждого члена внутри скобки на член снаружи, а затем сбор подобных членов с целью удаления набора скобок. Раскрытие скобок часто является важным шагом в решении уравнений и представляет собой процесс, противоположный факторизации.
Формула раскрытия одинарной скобки: \[a(b+c) = ab + ac\]
Формула раскрытия двойной скобки: \[(a+b)(c+d) = a(c +d)+b(c+d)=ac + ad + bc + bd\]
Эта последняя формула произведения часто упоминается как метод FOIL : Умножьте F первые члены, O внешние термины, I нбоковые термины, L аст термины. $a$ и $c$ — первые члены, $a$ и $d$ — внешние члены, $b$ и $c$ — внутренние члены, а $b$ и $d$ — последние члены. 92-32 \end{align}
Факторизация
Факторизация включает запись выражения в виде произведения факторов. Это обратный процесс раскрытия скобок. Таким образом, хороший способ проверить, правильно ли вы разложили выражение на множители, — раскрыть скобки.
Пример 1
Factorise Следующее, где это возможно:
A) $ 2x+4y $
B) $ 2x+4xy $
C) $ -4a+19abc $
D $ -4a+19abc $
D. ) $16xyz+x+8xy$
Решение
а) Оба члена в этом выражении имеют общий делитель $2$. Таким образом, мы можем вывести этот множитель за скобки следующим образом: \[2x+4xy=2(x+2xy)\]
b) Оба слагаемых в этом выражении имеют общий множитель $2x$, поэтому мы можем разложить на множители это как: \[2x+4xy=2x(1+2y)\]
c) Члены в этом выражении имеют общий делитель $a$, поэтому мы имеем: \[-4a+19abc=a(19bc -4)\]
c) Все слагаемые в этом выражении имеют общий множитель $x$, поэтому имеем: \[16xyz+x+8xy=x(16yz+1+8y)\]
Примеры видео
Пример 1
Профессор Робин Джонсон расширяет выражение $x(2x-1)(2-x)$.

Пример 2
Профессор Робин Джонсон расширяет выражение $(x-y)(x+y)$ и говорит о разности двух квадратов , которая используется при разложении на множители.

Рабочая тетрадь
Эта рабочая тетрадь, созданная HELM, является хорошим пособием по повторению, содержащим ключевые моменты для исправления и множество рабочих примеров.
- Упрощение и факторизация
Проверь себя
Проверь себя: тест Numbas по раскрытию скобок
Проверь себя: тест Numbas по алгебраическим манипуляциям
Внешние ресурсы
- Рабочая тетрадь по раскрытию и удалению скобок в mathcentre.
- Быстрая рабочая тетрадь «Раскрывающие скобки» в mathcenter.
- Факторизация ресурсов простых выражений в mathcentre.
Скобки в математике: они имеют большой вес
Каждый символ, каждая строка, каждая точка с запятой имеет значение, когда речь идет о математике. Одна точка в неправильном месте может изменить смысл математического предложения и, следовательно, всего решения задачи.
Сколько раз учащиеся теряют баллы по математике просто потому, что пропускают знак минус или неправильно возводят число в квадрат, или из-за того, что неправильно соблюдают порядок действий или… забывают о скобках там, где они необходимы. Однако скобки в математике важны, и их нельзя упускать из виду.
Кронштейны. Давайте обсудим их важность в математике и то, как помочь учащимся запомнить наиболее распространенные случаи, когда скобки абсолютно необходимы.
Порядок операций
Учащиеся начинают по-настоящему понимать важность квадратных скобок в математике, когда начинают изучать порядок операций. Откуда же взялся порядок действий и кто его придумал? Многие современные математики согласны с тем, что она была разработана одновременно с открытием и введением алгебраических обозначений, то есть в 1600-х годах. Однако даже во времена символической алгебры большинству было ясно, что умножение должно предшествовать сложению, чтобы получить правильное решение.
Сегодня мы изучаем и в конечном итоге используем порядок операций довольно естественно. В 20 веке была создана аббревиатура для обозначения порядка операций — BEDMAS: скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание.
Как мы видим, всякий раз, когда алгебраическое выражение содержит скобки, операция в скобках должна выполняться до любых других операций. Это, конечно, если операция в скобках возможна. Например, в выражении 2 + (2x – 1) хотя и есть скобки и внутри них есть операция, мы не можем ее реально выполнить, так как добавляемые термы не похожи на термы, так как содержат переменную и другой — просто константа. Таким образом, в этом выражении можно «опустить» скобки и тогда упростить:
2x + 2 – 1 = 2x + 1.
Очень важно практиковаться и действительно хорошо разбираться в BEDMAS, поскольку он служит основой для многих-многих других понятий, как простых, так и сложных.
Скобки и отрицательные числа
Скобки очень важны при выполнении операций с отрицательными числами.
Одна из самых распространенных ошибок, которую допускают учащиеся, заключается в том, что они забывают поставить отрицательное число в скобки при возведении его в степень четного числа .
Вот почему это так важно:
(-2) ⁵ означает, что (-2) было умножено на себя 5 раз
(-2) × (-2) × (-2) × (- 2) × (-2), что равно +32
, тогда как
-2 ⁵ означает -(2 ⁵ ), поэтому только 2 (без отрицательного значения) было умножено само на себя 5 раз, и тогда результат умножить на (-1)
– (2 × 2 × 2 × 2 × 2), что равно -31
Другая ситуация, когда важно поставить в скобках отрицательное число, — это когда стоит двойной знак минус. Например, такие выражения, как 242-(-12), означают, что мы вычитаем отрицательное значение 12 (что означает добавление 12) из произведения 24 и 2.
После вычисления этого выражения ответ будет 48 + 12 = 60.
Ситуация, описанная выше, очень распространена при умножении, делении, сложении и вычитании положительных и отрицательных целых чисел, дробей и десятичных дробей. Он также применяется к ситуациям, когда отрицательный знак распределяется по выражению в скобках, например: (3x+1) = -3x – 1
Распределительное свойство умножения
Скобки несут еще одно важное значение, когда учащиеся начинают работать с алгебраическими выражениями и уравнениями с переменными.
Фермер строит забор вокруг прямоугольного поля. Длина забора на 100 м больше ширины. Общая площадь поля составляет 600 квадратных метров. Каковы фактические размеры поля и сколько всего необходимо ограждения?
Мы не знаем, какова ширина или длина поля, но мы можем использовать переменную для представления ширины, и тогда выражение, представляющее длину, будет еще на 100 метров (дополнение).
Пусть х будет шириной, тогда длина будет (х+10) — обратите внимание, как все выражение представляет длину, поэтому мы поместили его в скобки, чтобы показать, что все это одно измерение.
Теперь, если мы применим площадь прямоугольника к A = lw
Итак, используя имеющуюся информацию, наше уравнение будет выглядеть так:
600 = x(x+100)
большая разница в том, как устроено это уравнение и как мы в конечном итоге придем к решению.
No related posts.