Краткий курс высшей математики
Краткий курс высшей математики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа  Расстояние между двумя точками на прямой§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. Расстояние между двумя точками в пространстве § 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 2. Полярные координаты 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 2. Понятие функции 3. График функции 4. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Сложные функции. Элементарные функции 7. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Периодические функции § 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 2. Поворот осей координат ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМАЯ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4.  Общее уравнение прямой и его частные случаи5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8. Пучок прямых 9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 10. Расстояние от точки до прямой § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность 3. Эллипс 4. Гипербола 5. Парабола 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат 9. График дробно-линейной функции 10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2. Определитель третьего порядка 3.  Понятие об определителях высших порядков§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными § 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Скалярное произведение 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов 10. Косинус угла между двумя векторами 11. Векторное произведение 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов 13. Смешанное произведение трех векторов 14. Геометрический смысл смешанного произведения 15. Условие компланарности трех векторов § 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 2.  Равенство матриц. Действия над матрицами3. Обратная матрица 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Преобразование координат 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ПЛОСКОСТЬ 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4. Построение плоскости по ее уравнению 5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей § 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Общие уравнения прямой 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых § 3.  Прямая и плоскость в пространстве2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Пучок плоскостей § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности 4. Поверхность вращения 6. Гиперболоиды 7. Параболоиды ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. Предел функции при х -> -оо 3. Предел функции при х->х0 4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Предел функции при x -> 0 8. Последовательность. Число e 9. Натуральные логарифмы 10. Сравнение бесконечно малых функций § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7.  Понятие о гиперболических функцияхГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4. Определение производной и ее механический смысл 6. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции 10. Производные обратных тригонометрических функций 11. Производная сложной функции § 12. Производные гиперболических функций 13. Производная степенной функции с любым показателем 14. Сводная таблица формул дифференцирования 15. Неявные функции и их дифференцирование 16. Уравнения касательной а нормали к кривой 17. Графическое дифференцирование § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Нахождение производных высших порядков 2.  Механический смысл второй производной§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 6. Дифференциалы высших порядков § 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента § 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Теорема Ролля 3. Теорема Лагранжа 4. Правило Лопиталя § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ 2. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной 4.  Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 7. Асимптоты графика функции 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика § 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 2. Геометрический смысл неопределенного интеграла 3. Таблица основных интегралов 4. Основные свойства неопределенного интеграла § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование методом замены переменной 3. Интегрирование по частям § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5.  Метод неопределенных коэффициентов6. Интегрирование рациональных дробей § 4. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Интегралы вида § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Интеграл вида 3. Интегралы видов 4. Интегралы вида § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 2. Задача о работе переменной силы § 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Формула Ньютона—Лейбница 5. Замена переменной в определенном интеграле 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 3.  Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Дифференциал дуги 7. Площадь поверхности вращения 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2. Вычисление кривизны 3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны 4. Эволюта и эвольвента § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Признаки сходимости несобственных интегралов § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2. Метод трапеций 3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона) ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. График функции двух переменных 3. Функции трех и большего числа переменных § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва 2. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Понятие области 4.  Точки разрыва5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Частные производные высших порядков § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Полный дифференциал функции 3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Дифференцирование неявных функций § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 2. Производная по направлению 3. Градиент 4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных § 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Двойной интеграл. Теорема существования 3. Свойства двойного интеграла 4.  Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Приложения двойного интеграла § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5. Приложения тройного интеграла § 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл 3. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7. Криволинейный интеграл по длине дуги ГЛАВА XI. РЯДЫ § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2. Геометрическая прогрессия 3. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Знакопеременные ряды 7. Остаток ряда и его оценка § 2.  ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 2. Приближенное вычисление интегралов § 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 2. Числовые ряды с комплексными членами 3. Степенные ряды в комплексной области § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Ряд Фурье 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения 6. Уравнение в полных дифференциалах 7.  Особые решения8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Метод вариации произвольных постоянных § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 6.  ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ§ 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ |
ГДЗ(дүж) решения для учебника Геометрия Солтан 9 класс 2020 KZGDZ.COM
Авторы: Солтан Г., Солтан А., Жумадилова А.
Издательство: Келешек-2030
Год: 2020
Электронный учебник
К 9 классу ученик должен знать и уметь разбираться в геометрических фигурах, их свойствах. В новом курсе предмета Геометрия девятиклассника ждут такие темы как: векторы, преобразование плоскости, решение треугольников, окружность и многоугольники. Чтобы не попасть впросак при разборе трудных упражнений, предлагаем воспользоваться решебником для учебника от автора Солтан Г., тут разобраны все задания дисциплины, приведены правильные ответы с пояснениями.
Осваивать теоремы станет намного проще даже самым отстающим ребятам. С ГДЗ знания приобретают осмысленный характер, их можно применять для более сложных задач, интегрировать в смежные науки.
Повторение курса геометрии 8 класса.
Упражнение
6789101112131415171920212223242526272829
I. Векторы
1. Понятие вектора. Коллинеарные векторы
Упражнение
3334353637383941
2. Сложение и вычитание векторов
Упражнение
4345464950515253545556
3. Умножение вектора на число. Критерий коллинеарности двух векторов
Упражнение
6162636466676869707172
4. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
Упражнение
737475767778798081828384
5. Координаты вектора.
Упражнение
87889093949596979899100101
6.
Угол между векторами. Скалярное произведение двух векторов.Упражнение
103104105
106107108109110112113114115116117118119120
7. Применение векторов при решении задач
Упражнение
121122124126127128
8. Упражнения на повторение раздела «Векторы»
Упражнение
129131132133134135136138139140141142144145
Проверь себя!
Упражнение
148 3B148 4B148 5C
II. Преобразования плоскости.
9. Преобразование плоскости. Движение и его виды
Упражнение
149150151153154155157
10. Применение движений к решению задач
Упражнение
158159160161164165
11. Преобразования гомотетии и подобия, их свойства
Упражнение
166167168169170171172
12.
Подобные треугольникиУпражнение
174175176177178179180181182183184185186187188189190
13. Подобные многоугольники
Упражнение
192193194195196197
198199200
14. Применение гомотетии и подобия при решении задач.
Упражнение
202203204205206207208
15. Упражнения на повторение раздела «Преобразования плоскости»
Упражнение
209210211212213214215216217218219220221222223224
Проверь себя!
Упражнение
225 4B225 5С
III. Решение треугольников.
16. Теорема синусов
Упражнение
226227228229230231232233234235
17. Теорема косинусов
Упражнение
236237238239240241242243244245246
18. Решение треугольников
Упражнение
247248249250251253254255256257258259
19.
Углы, вписанные в окружность, и их свойстваУпражнение
260262263264265266267268269
20. Свойства касательной и секущей, пересекающихся хорд окружности
Упражнение
270271272273274275276277278279
21. Применение тригонометрии к выводу формул площадей треугольника и решению задач
Упражнение
280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303
22. Упражнения на повторение раздела «Решение треугольников»
Упражнение
304305306307308309310311312313
Проверь себя!
Упражнение
314 4В
IV. Окружность. Многоугольники
23. Вписанные в окружность четырехугольники
Упражнение
316317318319320321
24. Описанные около окружности четырехугольники
Упражнение
322323324325326327328329330331332333334
25.
Правильные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в негоУпражнение
336337338339340341342
26. Нахождение длин сторон и площадей правильных многоугольников.
Упражнение
343344345346347348349
27. Длина окружности и ее дуги
Упражнение
351352353354355356357358359360361362
363364365366367368
28. Площадь круга, его сектора и сегмента
Упражнение
370371372373374375376377378379380381382383384385
29. Упражнения на повторение раздела «Окружность. Многоугольники»
Упражнение
386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409
Повторение курса геометрии 9 класса
Упражнение
411412413414415416417418419420421422423424425426427428430431433434435436437438439440441442443444445446
447448449450451452
К 9 классу ученик должен знать и уметь разбираться в геометрических фигурах, их свойствах.
В новом курсе предмета Геометрия девятиклассника ждут такие темы как: векторы, преобразование плоскости, решение треугольников, окружность и многоугольники. Чтобы не попасть впросак при разборе трудных упражнений, предлагаем воспользоваться решебником для учебника от автора Солтан Г., тут разобраны все задания дисциплины, приведены правильные ответы с пояснениями. Осваивать теоремы станет намного проще даже самым отстающим ребятам. С ГДЗ знания приобретают осмысленный характер, их можно применять для более сложных задач, интегрировать в смежные науки.
линейная алгебра. Почему скалярное произведение вектора и само по себе равно длине вектора в квадрате?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 1 год, 10 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
Итак, интуитивно понятно, что скалярное произведение двух векторов показывает, насколько один вектор движется в направлении другого.
Следуя этой логике, можно было бы подумать, что скалярное произведение вектора а и самого себя будет равно длине заданного вектора, поскольку вектор движется полностью в своем собственном направлении, но это не похоже на то, что случай.
Кто-нибудь, пожалуйста, объясните ошибку в моей логике, и, пожалуйста, не используйте алгебраические доказательства, потому что их трудно понять интуитивно. Я благодарю вас заранее! 92$, длина в квадрате. В $2$-мерном случае мы снова получаем квадрат длины по теореме Пифагора. Каждый раз, когда размерность увеличивается на $1$, это остается верным, опять же по теореме Пифагора. Например, если $x$ является трехмерным вектором, его можно рассматривать как самую длинную диагональ прямоугольного треугольника и, следовательно, как гипотенузу прямоугольного треугольника, две другие стороны которого являются ребром и гипотенузой прямоугольного треугольника. еще один прямоугольный треугольник.
Интуитивная причина, по которой длина возводится в квадрат, заключается в том, что $x\cdot x$ является произведением двух $x$s и имеет единицы длины, возведенные в квадрат.
У него может быть не больше единиц длины, чем у площади основания и высоты прямоугольника. Еще один способ понять это: если $x$ удваивается, $x\cdot x$ становится $$(2x)\cdot(2x)=4x\cdot x.$$Удвоение вектора увеличивает его квадрат вчетверо, а не сама длина.
Как заметил @Joe, проекция $x$ на $y$ имеет длину $\frac{x\cdot y}{\Vert y\Vert}$ и равна $\frac{x\cdot y}{\ Vert y\Vert}\frac{y}{\Vert y\Vert}=\frac{x\cdot y}{y\cdot y}y$, поэтому проекция $x$ на себя равна $\frac{x \cdot x}{x\cdot x}x=x$. Обратите внимание, что $x\cdot x$ здесь не имеет значения.
$\endgroup$
$\begingroup$
Здесь может быть полезно различать три разные вещи:
Скалярное произведение $A$ и $B$ равно $A\cdot B = |A||B| \cos\тета$.
векторная проекция $B$ на $A$ равна $|B| \cos \theta \cdot \frac{A}{|A|} = |B| \cos\theta\cdot\hat A$.
Скалярная проекция $B$ на $A$ равна $|B| \cos\тета$.