Упрощение логарифмических выражений: Упрощение выражений, содержащих логарифмы.

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

3.

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Комментарий. Для выполнения заданий этой группы требуется хорошо знать свойства логарифмов и уметь их применять. Эта работа очень полезна для подготовки к решению логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Рассмотрим далее задания, связанные с упрощением показательных и логарифмических выражений.

Формулы для справок

Вспомним основные свойства логарифмов.

1. .

   Комментарий. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Для того, чтобы убедиться в истинности данной формулы, достаточно вспомнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

2. .

   Комментарий. Логарифм равен единице в случае равенства чисел (выражений) — основания логарифма и выражения, стоящего под логарифмом.

3. .

   Комментарий. Представленная формула является одним из вариантов записи определения логарифма.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

   Комментарий.

   Данная формула называемая формулой перехода к новому основанию, имеет два важных следствия. Приравняем в формуле , тогда . Рассмотрим числитель полученной дроби. Поставим вопрос: в какую степень следует возвести число b, чтобы получить число b. Ответ — в первую степень, т.е. числитель рассматриваемой дроби равен единице. Таким образом, . В ряде задач полезно бывает полученную формулу записать в преобразованном виде: .

9. .

   Комментарий. Предполагается, что во всех представленных формулах параметры принимают допустимые значения.

Пример 3. 1

Вычислить

Решение

Представим в виде степени числа 5, тогда

Далее воспользуемся правилом умножения степеней одинаковым основанием (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):

.

Преобразуем полученную в процессе решения разность логарифмов (по одному основанию) и применим определение логарифма (зададим вопрос: В какую степень следует возвести основание логарифма 3, чтобы получить число, стоящее под логарифмом — 9?):

Ответ: 25.

Пример 3.2.

Упростить выражение

Решение

Упростим показатель степени подкоренного выражения:

Тогда

Ответ: 27.

Пример 3.3.

Упростить выражение:

Решение

Вначале упростим логарифмируемое выражение. Если Вы уже занимались упрощением алгебраических выражений, то вид первого множителя в знаменателе вызовет предположение, что перед нами полный квадрат. Действительно, Тогда:

Следовательно,

Ответ: 1/2.

Пример 3. 4.

Найти значение выражения

Решение

Разделим на знаменатель каждое слагаемое числителя по отдельности:

Переходя далее в каждом слагаемом к новому основанию 18, получаем, что:

Преобразуем далее сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения и используем определение логарифма:

Ответ: 1.

Пример 3.5.

Вычислить

Решение

Для преобразования данного выражения перейдем во всех логарифмах к основанию 4:

.

Тогда выражение принимает вид:

Далее разложим на множители логарифмируемые выражения, выделяя в каждом из них множитель вида 4ⁿ :

28 = 4 ∙ 7, 112 = 16 ∙ 7 = 4²  ∙ 7, 448 = 64 ∙ 7 = 4

3  ∙ 7.

Продолжим преобразование выражения, используя свойства логарифмов:

Ответ: 2.

Пример 3.6.

Вычислить

Решение

Представим числа 2 и 1 в виде: Тогда

Ответ: 2.

Пример 3.7.

Найти если

Решение

Обратим внимание на то, что в каждом логарифме (либо в основании, либо в аргументе) присутствует множитель 7. Поэтому перейдем к основанию 7 во всех логарифмах:

Обратим внимание, что , тогда:

Следовательно, для вычисления этого логарифма нужно знать значения и Воспользуемся формулами перехода к новому основанию:

Подставим далее найденные значения в преобразованное исходное выражение:

Ответ: 

Пример 3.8.

Известно, что лежит между числами 8 и 13, а принимает целые значения. Найти количество этих значений.

Решение

Перейдем в обоих логарифмах к основанию b.

Для этого воспользуемся сначала формулой «логарифм частного»: . Обратим далее внимание, что .

Получаем, что

Решим методом интервалов неравенство: .

Для этого перейдем к систем нестрогих неравенств: .

Рассматривая каждое из записанных неравенств отдельно и впоследствии находя решение как пересечение множеств (решений первого и второго неравенств), получаем:

Выполним преобразования полученного двойного неравенства. 2}\).

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Текстовое решение задач:

1B	2B	3B	4B	5B	6B	7B	8B	9B	10B
11B	12B	13B	14B

Реклама

Поддержать нас

сокращенных выражений журнала | Purplemath

Basic RulesExpandingTrick Q’sChange-of-Base

Purplemath

Правила журналов работают «наоборот», поэтому вы можете сжимать («сжимать»?) строки выражений журнала в один журнал со сложным аргументом. Когда они говорят вам «упростить» выражение журнала, это обычно означает, что они дали вам множество терминов журнала, каждый из которых содержит простой аргумент, и они хотят, чтобы вы объединили все в один журнал со сложным аргументом. «Упрощение» в этом контексте обычно означает противоположность «расширению».

В данном контексте не существует стандартного определения термина «упрощение». Вы должны использовать свой собственный здравый смысл. Если вам дают большую сложную вещь и просят «упростить», то почти наверняка имеют в виду «расширить». Если они дают вам строку терминов журнала и просят вас «упростить», то они почти наверняка имеют в виду «уплотнить».

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Правила логарифмирования

Давайте посмотрим, как работает сокращение выражений журнала.

Так как эти бревна имеют одинаковую основу, сложение снаружи можно превратить в умножение внутри:

log ₂ ( x ) + log ₂ ( Y ) = log ₂ ( XY )

Затем ответ:

Log ₂ (

33333..

---

Поскольку эти бревна имеют одинаковое основание, вычитание снаружи можно превратить в деление внутри:

бревно ₃ (4) − бревно ₃ (5) = бревно ₃ ( ⁴ / ₅ )

Тогда мой ответ:

log ₃ ( ⁴ / ₅ )

---

• Упростить 2log

  ₃ ( x ).

спереди множителя может быть взят внутри в качестве показателя:

2 · log

3 ( x ) = log ₃ ( x ² )

Затем мой окончательный ответ:

6) log ₃ ( x ² )

---

Я избавлюсь от множителей, переместив их внутрь как степени:

3log ₂ ( x ) — 4log ₂ ( x + 3) + log ₂ ( y )

= log ₂ ( x 492 3

). ₂ (( x + 3) ⁴ ) + log ₂ ( y )

Затем я соберу добавленные термины вместе, переместив один «минус» термин в конец строки :

логарифм ₂ ( x ³ ) − логарифм ₂ (( x + 3) ⁴ ) + log ₂ ( y )

= log ₂ ( x ³ ) + log ₂ ( y ) − log ₂ (( x + 3) ⁴ )

.

.. и преобразовать добавление снаружи в умножение внутри:

log ₂ ( x ³ ) + log ₂ ( Y ) — Log ₂ ( Y ) — Log ₂ ( Y ) — Log ₂ ( Y ) — Log ₂ ( Y ) — Log ₂ ( Y ) — Log ₂ ( x + 3) ⁴ )

= логарифм ₂ ( x ³ y ) − log ₂ (( x + 3) ⁴ )

Затем я учту вычитаемый член, объединив его внутри с делением:

3 _{log 2 900 x ³ Y ) — log 2 ( x + 3) ⁴ ) = log 2 [( x ³ Y )/( + ³ Y )/( + x + x + y )/( + ³ Y}

)/( + ³ Y )/( 3 Y )/ 3) ⁴ )]

Тогда мой окончательный ответ:

---

Обратите особое внимание на то, как я сгруппировал термины журнала по знаку. Это может быть очень важно, и именно здесь многие студенты теряются, а затем теряют баллы. Не пытайтесь преобразовать внешнее сложение во внутреннее умножение или внешнее вычитание в внутреннее деление, пока не убедитесь, что все «плюсовые» члены стоят вместе впереди, а за ними следуют все «минусовые» члены. Затем вы можете комбинировать путем умножения внутри каждого набора, а затем закончить преобразованием большого «минуса», вычитаемого из большого «плюса», в одно большое деление внутри одного бревна.

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении логарифмического выражения. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок).

(Нажав «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответов виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

---

---

URL: https://www. purplemath.com/modules/logrules3.htm

Страница 1Страница 2Страница 4Страница 5

Логарифмы расширения и сжатия | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Разложите логарифм, используя комбинацию правил логарифмирования.
• Преобразовать логарифмическое выражение в один логарифм.

Раскрывающиеся логарифмы

В совокупности правило произведения, правило частного и правило степени часто называют «свойствами журналов». Иногда мы применяем более одного правила, чтобы расширить выражение. Например:

[латекс]\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{b}\left(\frac{6x}{y}\right)\hfill & ={\mathrm{log}}_ {b}\left (6x\right) — {\ mathrm {log}} _ {b} y \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} 6+{\ mathrm {log} }_{b}x-{\mathrm{log}}_{b}y\hfill \end{array}[/latex]

Мы можем использовать правило степени для расширения логарифмических выражений, включающих отрицательные и дробные показатели степени. Вот альтернативное доказательство правила отношения для логарифмов, использующее тот факт, что обратная величина является отрицательной степенью:

[латекс]\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{b}\left(\ frac {A} {C} \ right) \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (A {C} ^ {- 1} \ right) \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm{log}}_{b}\left(A\right)+{\mathrm{log}}_{b}\left({C}^{-1}\right)\hfill \\ \hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} A + \ left (-1 \ right) {\ mathrm {log}} _ {b} C \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b }A-{\mathrm{log}}_{b}C\hfill\end{массив}[/latex]

Мы также можем применить правило произведения, чтобы выразить сумму или разность логарифмов как логарифм произведения.

Потренировавшись, мы можем посмотреть на логарифмическое выражение и мысленно расширить его, а затем просто написать окончательный ответ. Помните, однако, что мы можем делать это только с произведениями, частными, степенями и корнями — никогда со сложением или вычитанием внутри аргумента логарифма.

Пример: использование комбинации правил логарифмирования для расширения логарифма 9{2}-9\справа)}\справа)[/латекс].

Показать решение

Сокращение логарифмов

Мы можем использовать правила логарифмирования, которые мы только что изучили, чтобы уплотнять суммы, разности и произведения с тем же основанием, что и одиночный логарифм. Важно помнить, что логарифмы должны иметь одинаковое основание для объединения. Позже мы узнаем, как изменить основание любого логарифма перед сжатием.

Как: Для суммы, разности или произведения логарифмов с одинаковым основанием записать эквивалентное выражение в виде одинарного логарифма

1. Сначала примените свойство питания. Определите термины, которые являются произведениями факторов и логарифмов, и запишите каждый из них как логарифм степени.
2. Слева направо примените свойства произведения и частного. Перепишите суммы логарифмов как логарифмы произведения, а разности логарифмов как логарифмы частного.

 

Пример: использование степенного правила в обратном порядке

Используйте степенное правило для журналов, чтобы переписать [latex]4\mathrm{ln}\left(x\right)[/latex] как единичный логарифм со старшим коэффициентом 1.

Показать решение

Попробуйте

Используйте правило степени для журналов, чтобы переписать [latex]2{\mathrm{log}}_{3}4[/latex] как одинарный логарифм со старшим коэффициентом, равным 1.

Показать решение

В следующих нескольких примерах мы будем использовать комбинацию правил логарифмирования для сжатия логарифмов.

Пример: использование правил произведения и частного для комбинирования логарифмов влево (8 \ вправо) — {\ mathrm {log}} _ {3} \ влево (2 \ вправо) [/ латекс] как одиночный логарифм.

9{2}\справа)[/латекс].

Показать решение

Пример: преобразование в виде единичного логарифма

Переписать [латекс]2\mathrm{log}x — 4\mathrm{log}\left(x+5\right)+\frac{1}{x}\mathrm{ log}\left(3x+5\right)[/latex] как одинарный логарифм.

Показать решение

Попробуйте

Перепишите [латекс]\mathrm{log}\left(5\right)+0.5\mathrm{log}\left(x\right)-\mathrm{log}\left(7x — 1\right) )+3\mathrm{log}\left(x — 1\right)[/latex] как единичный логарифм.

Показать решение

 

Конденсировать [латекс]4\left(3\mathrm{log}\left(x\right)+\mathrm{log}\left(x+5\right)-\mathrm{log}\left(2x +3\вправо)\вправо)[/латекс].

Показать решение

Применение свойств логарифмов

В химии рН является мерой того, насколько кислой или щелочной является жидкость. По сути, это мера концентрации ионов водорода в растворе.

No related posts.