Уравнение окружности общее: Уравнение окружности и прямой — урок. Геометрия, 9 класс.

16. Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности.

Определение.Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки С.

Число R – называется радиусом окружности, точкаС–центром.

Воспользуемся определением окружности для вывода ее уравнения.

Пусть точка– центр окружности. Точка M(x;y)– произвольная точка окружности, а радиус этой окружности равен R. По определению, тогда, используя формулу вычисления длины вектора, имеем, тогда

. Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда уравнение окружности с центром в точке и радиусом R имеет вид:

каноническое уравнение окружности

В частности, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид: .

Опр: Эллипс – геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояния от которых до двух заданных точек в плоскости есть величина постоянная.

Заданные точки – фокусы Эллипса.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:

                                   .                                     (4)

   Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на эллипсе удовлетворяют уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (4) дает координаты точки, лежащей на эллипсе. Отсюда будет следовать, что уравнению (4) удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на эллипсе. Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4) является уравнением эллипса.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:

                                   .

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками накоординатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

                 .

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

                     .

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

                      .

Возводим в квадрат

               .

Раскрываем скобки и сокращаем на :

                  ,

откуда получаем:

                .

Используя равенство (2), получаем:

                                .

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

   Тогда из (4) следует:

                               .

Подставляем это равенство в выражение для фокальных радиусов точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Таким образом, . Аналогично, .

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

 или  и т. к. , то отсюда следует неравенство:

                              .

Отсюда, в свою очередь, следует, что

 или  и

                               , .                          (5)

Из равенств (5) следует, что , т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса, ч.т.д.

Теорема доказана.

С/a= Е(эпсилон) — эксцентриситет Эллипса. Всегда <1, равен нулю когда фокусы совпадают.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Определение. Канонические для эллипса оси координат называются главными осями эллипса.

Определение. Начало канонической для эллипса системы координатназывается центром эллипса.

Свойства эллипса.

Теорема. (Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

    точки эллипса находятся в прямоугольнике

                                , .

2.Точки  лежат на

    эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

    своих главных осей.

4. Центр эллипса является его центром симметрии.

   Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения эллипса.

3, 4) Пусть М(х, у) – произвольная точка эллипса. Тогда ее координатыудовлетворяют уравнению (4). Но тогда координаты точек  также удовлетворяют уравнению (4), и, следовательно, являются точками эллипса, откуда и следуют утверждения теоремы.

Теорема доказана

Определение формулы касательной к окружности

Полином Чебышева с свободным членом Создать вектор(диофант) по матрице Египетские дроби. Часть вторая Египетские (аликвотные) дроби По сегменту определить радиус окружности Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами Деление треугольника на равные площади параллельными Определение основных параметров целого числа Свойства обратных тригонометрических функций Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ Аутотрофные и миксотрофные организмы Рассечение круга прямыми на равные площади Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений. Представить дробь, как сумму её множителей Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений Расчет основных параметров четырехполюсника Цепочка остатков от деления в кольце целого числа Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн Уравнение пятой степени. Частное решение. Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными Онлайн разложение дробно рациональной функции Корни характеристического уравнения

Коэффициенты окружности Точка на окружности, через которую надо провести касательную Общая формула окружности Уравнение касательной в указанной точке Касательная к окружности Если не использовать понятие производной, и взять объяснение из учебников середины прошлого века, то «Касательная к окружности — это прямая пересекающая окружность в двух совпадающих точках» Окружность на  плоскости может быть представлена  в виде нескольких исходных данных 1. В виде  координат центра окружности (x0,y0) и её радиуса R. 2. В виде общего уравнения    В виде параметрического вида и в полярных координатах мы рассматривать не будем, так как там формулы тоже на базируются на  координатах центра окружности и радиусе.  Наша задача, зная параметры  окружности  и точку принадлежащую этой окружности вычислить параметры касательной к этой окружности. Эта задача, является частным решением более общего калькулятор касательная к кривой второго порядка Итак, если окружность выражена формулой Уравнение касательной к окружности  если нам известны параметры общего уравнения  таково: Таким  образом, зная все коэффициенты,   мы очень легко найдем уравнение касательной в заданной точке. ВАЖНО: При указании точки, она должна быть обязательно(!!) принадлежать окружности, и не быть точкой в какой либо стороне. В противном случае, уравнение касательной будет неверным. Примеры Вычислить уравнение касательной в точке (13.8, 0) к окружности выраженной формулой Запишем коэффиценты этой кривой, взглянув на общую формулу       Общая формула окружности Уравнение касательной в указанной точке   Второй пример: Через окружность с центром (8.71, -4) и радиусом 7 проходит касательная и касается в точке (4,-4) Найти уравнение этой прямой. Раз у нас заданы радиус и коордианты центтра то уравнение имеет вид раскроем скобки, получим  Общая формула окружности Уравнение касательной в указанной точке Отрисовав, полученные линии в GeoGebra мы убедимся что расчет произведен верно. Формально, используя вышеупомянутую программу, касательную можно провести там проще и быстрее. Смотрите где и как проще. Удачных расчетов!   Определить формулу окружности по трем точкам >> Поиск по сайту

Русский и английский алфавит в одну строку Часовая и минутная стрелка онлайн.Угол между ними. Массовая доля химического вещества онлайн Декoдировать текст \u0xxx онлайн Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн Перемешать буквы в тексте онлайн Частотный анализ текста онлайн Поворот точек на произвольный угол онлайн Обратный и дополнительный код числа онлайн Площадь многоугольника по координатам онлайн Остаток числа в степени по модулю Расчет пропорций и соотношений Как перевести градусы в минуты и секунды Расчет процентов онлайн Растворимость металлов в различных жидкостях Поиск объекта по географическим координатам DameWare Mini Control. Настройка. Время восхода и захода Солнца и Луны для местности Калькулятор географических координат Расчет значения функции Эйлера Теория графов. Матрица смежности онлайн Перевод числа в код Грея и обратно Произвольный треугольник по заданным параметрам НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) Географические координаты любых городов мира Площадь пересечения окружностей на плоскости Непрерывные, цепные дроби онлайн Сообщество животных. Кто как называется? Онлайн определение эквивалентного сопротивления Проекция точки на плоскость онлайн Из показательной в алгебраическую. Подробно Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней Система комплексных линейных уравнений Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление Расчет понижающего конденсатора Месторождения золота и его спутники Построить ненаправленный граф по матрице Определение формулы касательной к окружности Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам Онлайн расчеты Подписаться письмом

Общая форма уравнения окружности Калькулятор

Создано Rijk de Wet

Отредактировано Стивеном Вудингом

Последнее обновление: 19 января 2023 г.

Содержание:

• Что такое уравнение окружности в общем виде?
• Как привести общее уравнение окружности к стандартной форме?
• Как преобразовать общее уравнение окружности в параметрическую форму?
• Как использовать общую форму уравнения окружности калькулятора?
• Связанные калькуляторы
• Часто задаваемые вопросы

Добро пожаловать в калькулятор общей формы уравнения окружности , который может помочь вам преобразовать уравнение окружности из общей формы в стандартную и параметрическую форму или наоборот. Здесь мы узнаем:

• Как выглядит уравнение окружности в общем виде ;
• Как написать уравнение окружности в общем виде ; и
• Как преобразовать общую форму уравнения окружности в другие формы .

Что такое уравнение окружности в общем виде?

Общая форма уравнения окружности задается как x² + y² + Dx + Ey + F = 0 с параметрами D, E и F , определяющими свойства окружности, такие как радиус и центр.

Как привести общее уравнение окружности к стандартной форме?

Стандартная форма уравнения окружности (x−A)² + (y−B)² = C . Мы можем записать общую форму уравнения окружности в стандартную форму, вычислив неизвестные A, B и C из параметров общего уравнения D, E и F .

К счастью, эта математика проста!

1. А = -D/2;
2. В = -Е/2; и
3. С = А² + В² — F.

Как преобразовать общее уравнение окружности в параметрическую форму?

Параметрическая форма уравнения окружности x = A + r cos(α) и y = B + r sin(α) . Чтобы записать общую форму уравнения окружности в параметрическое уравнение, мы вычисляем неизвестные A, B и r :

1. A = −D/2;
2. В = -Е/2; и
3. г = √(А² + В² — F).

Как использовать общую форму уравнения окружности калькулятора?

Общая форма уравнения окружности калькулятор проста в использовании! Вот как:

1. Введите уравнение вашего круга в общем виде вверху калькулятора.
2. Найдите свой круг, переписанный в стандартной и параметрической формах ниже.
3. Также найдите свойства круга , такие как центр, радиус и площадь в самом низу.

В маловероятном случае, если общая форма калькулятора уравнения окружности не соответствует вашим потребностям, рассмотрите один из наших других калькуляторов окружности :

• Калькулятор уравнения окружности;
• Вычислитель центра окружности;
• Калькулятор стандартного уравнения окружности;
• Общая к стандартной форме кругового калькулятора; и
• Стандартная форма к общей форме кругового калькулятора.

Часто задаваемые вопросы

Какова общая форма уравнения (x−3)² + (y+2)² = 25?

Общий вид: x² + y² — 6x + 4y — 12 = 0 . Преобразование из стандартной формы (x — A)² + (y — B)² = C (с параметрами A = 3, B = -2 и C = 25) в x² + y² + Dx + Ey + F = 0 , вычисляем:

1. D = −2A = −6;
2. Е = -2В = 4; и
3. Ф = А² + В² — С = -12.

Каково общее уравнение окружности с (x−6)² + (y−6)² = 49?

Общая форма этого круга: x² + y² — 12x — 12y + 23 = 0 . У нас есть A = 6, B = 6 и C = 49 в стандартной форме (x−A)² + (y−B)² = C . Итак, чтобы перевести в x² + y² + Dx + Ey + F = 0 , мы вычисляем:

1. Д = -2А = -12;
2. Е = -2В = -12; и
3. F = А² + В² — С = 23.

Какова общая форма уравнения окружности с (x+3)² + (y−5)² = 49?

Общий вид: x² + y² + 6x — 10y — 15 = 0 . Преобразование из стандартной формы (x−A)² + (y−B)² = C (с параметрами A = −3, B = 5 и C = 49) в x² + y² + Dx + Ey + F = 0 , вычисляем:

1. D = −2A = 6;
2. Е = -2В = -10; и
3. F = А² + В² — С = -15.

Rijk de Wet

Введите общее уравнение вашего круга ниже, и мы покажем вам стандартные и параметрические эквиваленты и центр круга и его свойства ниже.

Общее уравнение: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Стандартное уравнение: (x − A)² + (y − B)² = C

Параметрическое уравнение: x = A + r cos(α) , y = B + r sin(α)

Координаты центра

координата x

координата y

свойства окружности

радиус

диаметр

длина окружности

проверить 11 похожих калькуляторов окружности ⭕

дуга длинаПлощадь кругаРассчитать окружность: найти c, d, a, r… 8 подробнее

Уравнения окружности | Стандартная и общая форма (видео и примеры)

Автор:

Malcolm McKinsey

16 января 2023 г.

Факт проверено

Пол Маццола

Круг на графике

Круги повсюду, и каждый круг можно математически описать одной из двух формул. Первый использует теорему Пифагора. Вторая формула применяет стандартную или общую форму уравнения. Мы рассмотрим обе формулы.

Когда вы рассматриваете круг на координатном графике как набор всех точек, равноудаленных от центральной точки, вы можете видеть, что эти точки могут быть описаны как  (x, y) значение на графике. Переместите вправо или влево определенное количество полей (это значение x), а затем переместитесь вверх или вниз до значения  y  .

С центральной точкой круга также значением (x, y)  , вы можете создать прямоугольный треугольник с двумя сторонами x  прямоугольниками слева или справа от этой центральной точки и y  коробки вверх или вниз от той же центральной точки.

Радиус, r , круга — расстояние от центральной точки до самого круга — теперь становится 9{2}a2+b2=c2

Как найти уравнение окружности

Представьте себе круговую орбиту спутника вокруг Марса.

Мы никогда не хотим, чтобы спутник врезался в Марс, но мы хотим быть достаточно близко, чтобы «видеть» марсианские особенности с помощью радаров, камер, магнитометров и лазеров.

Чтобы оставаться на одном месте над гипотетически сферическим Марсом (геостационарная орбита), радиус орбиты должен составлять 20 428 километров.

Уравнение формулы окружности

Если центр Марса — ядро ​​планеты — равен 9{2}x2+y2=r2.

Вы можете изолировать значение x или y , чтобы найти другое. Подстановка любого конкретного значения для x вернет значение для y и всех ( x , 90 186 y )  значения попадут на орбиту спутника путь.

Допустим, вы инженер орбитальной механики. Вы знаете свой c значение, ваша гипотенуза, 20 428 км . Вы хотите увидеть значение длинного участка (значение y ) для значения короткого участка (значение x ) 10 000 км :

Уравнение стандартной формы окружности

Орбиты одна вещь; круги, центр которых не находится в точке (0, 0)  , – еще один. Что мы делаем, если, скажем, центральная точка круга на графике находится в (4, 7) вместо (0, 0) ?

Уравнение стандартной формы окружности

Нам нужно компенсировать эту окружность, которая «ускользнула» из (0, 0) , поэтому мы вычтем  значение x и значение y из нашей исходной формулы:

Это будет работать, даже если координаты ( x , y )  отрицательны:

Стандартная форма  окружности — это выражение, которое мы только что получили из теоремы Пифагора! Мы не можем использовать ( x , y ) для всех точек графика, поэтому мы используем другие буквы для обозначения координат центра круга, в данном случае 9 0185  ( а ,  b ) :

Из стандартной формы у вас есть  ( a 9 0240 ,  b )  значение, чтобы найти центральную точку.