Уравнение с двумя неизвестными как решать: Линейное уравнение с двумя переменными и его график — урок. Алгебра, 7 класс.

Конспект урока по математике «Линейные уравнения с двумя неизвестными»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Лицей народной дипломатии» г. Сыктывкар

Методическая разработка урока

алгебры в 7 классе

«Линейные уравнения с двумя переменными»

Подготовила: Филатова Н.И.,

учитель математики

	Предмет	Алгебра
	Класс	7
	Тема и номер урока в теме	Линейные уравнения с двумя переменными (1 урок)
	Базовый учебник	УМК по алгеебре учебник 7 класс Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Цель урока: Сформировать умение решать линейные уравнения с двумя переменными с помощью выражения одной переменной через другую, умение решать линейные уравнения с двумя переменными графическим способом.

1. Задачи:

— образовательные (формирование познавательных УУД):

• Умение устанавливать причинно-следственные связи;

• Умение вычленять из всего материала нужное;

• Умение решать линейные уравнения с двумя переменными.

— воспитательные (формирование коммуникативных УУД):

• Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

• Умение слушать и понимать речь других.

— развивающие (формирование регулятивных УУД)

• Умение устанавливать причинно следственные связи;

• Умение вычленять из всего материала нужное;

• Овладевать умением прогнозировать;

• Осуществлять самоконтроль;

• Выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала.

1. Тип урока: урок открытия нового знания

2. Формы работы учащихся: фронтальная работа, индивидуальная.

3. Необходимое техническое оборудование: Учебник, заранее подготовленные записи на доске, карточки для индивидуальной работы.

4. Средства: учебник, карточки.

5. Структура и ход урока

Таблица 1.

Структура и ход урока

№	Этап урока	Время (в мин.)	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Формируемые УУД
					Познавательные	Регулятивные	Коммуникативные,личностные
1	Организаци онный	2-3	Приветствие, проверка подготовленности, организация внимания, создание условий для включения учащихся в работу.	Ребята рассаживаются по местам, внимательно слушают учителя, отвечают на поставленные вопросы, проверка готовности к уроку.		Осуществлять самоконтроль.	Слушать и понимать речь других; уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли
2	Актуализа ция знаний	5-7	Проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания. Возможные вопросы учителя: Что это за равенства? Верно, а что называется уравнением? Верно, а чем отличаются друг от друга уравнения на доске? Создание проблемной ситуации: А почему мы с вами не можем решить такие уравнения? А при решении каких жизненных ситуаций мы можем встретить такие уравнения? Предлагаю вам жизненную ситуацию: Вы собрались классом в поход. Сколько двухместных и трехместных палаток нужно взять, чтобы все разместились, и не оставалось свободных мест. Мы знаем, как решить эту задачу? Как вы думаете, что мы будем сегодня изучать и какова цель нашего урока?	Отвечают на задаваемые учителем вопросы; высказывают свое мнение; проверяют, на сколько хорошо ими усвоен материал предыдущей темы. Возможные ответы учащихся: Равенство, содержащее переменную. Некоторые из них квадратные, некоторые кубические, в некоторых из них присутствуют две неизвестных. Мы умеем решать только уравнения с одной неизвестной. Высказывают предположения. Нет На сегодняшнем уроке мы будем изучать уравнения с двумя неизвестными, а цель — научиться решать уравнения с двумя переменными.	Уметь вычленять из всего материала нужное.	Осуществлять самоконтроль; овладевать умением прогнозировать.	Слушать и понимать речь других; уметь с достаточной точностью выражать свои мысли; владеть диалогической формой речи.
3	Открытие нового знания	15-20	Учитель с помощью наводящих вопросов помогает учащимся выстроить цепочку логических умозаключений; задаёт вопросы; слушает ответы; организует обсуждение материала; комментирует ответы; объясняет новый материал; поощряет работу учащихся. Возможные вопросы учителя: Как вы думаете, что это за уравнения? Давайте вспомним, что называется степенью многочлена? А что значит стандартный вид многочлена? Что называется степенью уравнения? Для начала давайте вспомним, что значит решить уравнение? а что является решением уравнения? что будет решением уравнения с двумя переменными? Как вы думаете, что является графиком уравнения с двумя переменными?	Воспринимают и анализируют информацию; рассуждают вместе с учителем Возможные ответы учащихся: Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов; Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. В многочлене каждый член является одночленом стандартного вида, причем среди них нет подобных членов. Наибольший показатель степени в которую возводится переменная. Решить уравнение – значит найти множество его корней. Решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Значения х и у обращающие уравнение в верное равенство. Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решением данного уравнения.	Знать определение уравнения, что значит решить уравнение, что является решением уравнения; уметь применять имеющиеся знания в новой ситуации; овладевать умением поиска и выделения необходимой информации.	Выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала; осуществлять самоконтроль.	Слушать и понимать речь других; уметь точно выражать свои мысли; владеть диалогической формой речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.
4	Закрепление нового материала	7-10	Учитель контролирует работу учащихся; следит за правильностью оформления записей; при необходимости помогает учащимся, задает наводящие вопросы. Приложение 1.	Учащиеся анализируют изученный материал; обсуждают идеи решения; следят за правильностью оформления записей, за правильностью решенных на доске заданий.	Уметь решать линейные уравнения с двумя переменными; уметь анализировать линейные уравнения с двумя переменными.	Осуществлять самоконтроль.	Слушать и понимать речь других; умение точно выражать свои мысли.
5	Подведение итогов урока	2	Подводит итоги урока; задет вопросы о том, что было изучено на уроке, какая цель стояла, что было повторено; Примерные вопросы к ученикам: Чему был посвящен урок? Какая цель на сегодняшнем уроке перед нами стояла? Достигли ли мы поставленной цели? Что повторили и что узнали нового? благодарит учеников за проявленную активность; отвечает на заданные вопросы; подводит итоги урока.	Задаю вопросы, которые остались не понятны после изучения нового материала; отмечать свои успехи и трудности; оценивают свою работу. Возможные ответы учащихся: Линейным уравнениям с двумя переменными. Научиться решать уравнения с двумя переменными. Да Повторили: что такое уравнение, степень многочлена, что значит привести многочлен к стандартному виду, что значит решить уравнение, что называется решением уравнения, свойства уравнений с одной переменной. Узнали: что такое уравнение с двумя переменными, как определить степень уравнения, что является решением уравнения с двумя переменным, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.	Уметь оценивать свои успехи и трудности; оценивать свою работу.	Выделять и осознавать то, что уже усвоено и что нужно еще усвоить.	Устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

СОДЕРЖАНИЕ УРОКА

Подробное описание деятельности учителя и учащихся в соответствии с технологической (монологическая речь учителя, вопросы, примерные ответы учащихся, оформление доски, задачи с решением и оформлением и др. ). Возможно оформление в виде таблицы.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный этап Здравствуйте ребята, садитесь. Посмотрите, на доске написано несколько выражений, то есть равенств, содержащих переменные. Актуализация знаний Что это за равенства? Верно, а что называется уравнением? Верно, а чем отличаются друг от друга уравнения на доске? Правильно. С одними из них мы уже очень часто сталкивались и умеем хорошо решать, а с другими, если и сталкивались, то достаточно редко. А при решении каких жизненных ситуаций мы можем встретить такие уравнения? Предлагаю вам жизненную ситуацию: Вы собрались классом в поход. Сколько двухместных и трехместных палаток нужно взять, чтобы все разместились, и не оставалось свободных мест. Реальна в жизни такая ситуация? Мы знаем, как решить эту задачу? Тогда, как вы думаете, что мы с вами будем изучать на сегодняшнем уроке и какова наша цель? Верно, на сегодняшнем уроке мы с вам рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными. Откроем тетради, запишем сегодняшнее число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными». Открытие нового знания Как вы думаете, что это за уравнения? Хорошо, запишем определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида: ax+by=c, где x и y – переменные, a,b и с – некоторые числа. Выберите из предложенных уравнения с двумя переменными. Примеры линейных уравнений с двумя неизвестными: 5х+2у=10 2х+3у=8 -7х+у=5 х — у=5 8х+3у=1 х – 5у= -3 Запишите себе несколько примеров в тетради. Заметим, что если в уравнении ах+ву=с; а≠0, в≠0, то его называют уравнением первой степени с двумя переменными. А как вы думаете, что вообще такое степень уравнения и как ее определить? Чтобы узнать, как определить степень уравнения нам поможет многочлен. Давайте вспомним, что называется степенью многочлена? А что значит стандартный вид многочлена? Верно, тогда вернемся к нашим уравнениям и кто мне скажет, что называется степенью уравнения? Таким образом, степень уравнения – это наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Запишем определение. Чтобы определить степень уравнения, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения. Давайте с вами вместе определим степень следующих уравнений. ху – х2 – у2 = 2 (х2+у2 — ху)2 = ху2 (х2 — у)3 = х2у3 + 1 Хорошо, степень уравнения определять мы научились. А как вы думаете, что является решением уравнения с двумя переменными? Для начала давайте вспомним, что значит решить уравнение? Хорошо, а что является решением уравнения? Все правильно, тогда, вернемся к нашим уравнениям с двумя переменными и кто мне скажет, что будет решением уравнения с двумя переменными? Хорошо, решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. При каких значениях х и у уравнение 3х – у = 13 обращается в верное равенство? Верно, значит пара (0; -13) является решение данного уравнения. Обратите внимание, что на первом месте пишется значение переменной х, а на втором месте значение переменной у. А будет ли решение нашего уравнения являться также решением следующего уравнения: у = 3х – 13 Может кто-то знает, как называются такие уравнения? Значит уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Также заметим, что уравнения с двумя переменными обладают теми же свойствами, что и уравнения с одной переменной. Кто назовет мне эти свойства? Итак, каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с двумя переменными изображается в координатной плоскости точкой с координатами (х; у), где х – абсцисса, у – ордината. Как вы думаете, что является графиком уравнения с двумя переменными? Верно, графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решением этого уравнения. Выясним, что представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными. Рассмотрим следующее уравнение: 3х + 2у = 6. Что для начала мы можем сделать? Правильно, давайте так и поступим: 2у = 6 – 3х; у = . Найдем несколько решений полученного уравнения: Х 0 1 2 -1 -2 У 3 1,5 0 4,5 6 Отметим эти точки на координатной плоскости. Соединим их и получим график данного уравнения. Итак, графиком линейного уравнения является прямая, значит нам достаточно найти только два решения линейного уравнения с двумя переменными. Запишем алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными: 1. Выразить из данного уравнения одну переменную, через другую. 2. Найти любые два решения уравнения. 3. Записать координаты точек, через которые проходит график. 4. Изобразить найденные точки в системе координат и провести прямую. Рассмотрим еще несколько примеров: 0,5х +0у = — 1,5. Выразим х: х = — 3, у – произвольное число. Графиком уравнения является прямая, проходящая через точку с координатами (-3;0). 0х – 2у = 6. Выразим у: 2у = 6; у = Графиком уравнения является прямая, проходящая через точку с координатами (0; 3). Закрепление нового материала Теперь рассмотрим задания на карточках. Приложение 1. Подведение итогов урока Итак, мы рас­смот­ре­ли ли­ней­ное урав­не­ние с двумя неиз­вест­ны­ми. Давайте подведем итоги урока. Чему был посвящен урок? Какая цель на сегодняшнем уроке перед нами стояла? Достигли ли мы поставленной цели? Что повторили и что узнали нового? Запишите домашнее задание: №1190, 1192, 1206(б, г, е) Надеюсь наш сеголняшний урок прошел познавательно. Спасибо за внимание.

Уравнения Равенство, содержащее переменную Некоторые из них квадратные, некоторые кубические, в некоторых из них присутствуют две неизвестных. Высказывают предположения. Да! Нет На сегодняшнем уроке мы будем изучать уравнения с двумя неизвестными, а цель — научиться решать уравнения с двумя переменными. Уравнение, содержащее две неизвестные. Выбирают из представленных на доске уравнений уравнения с двумя переменными, называют их. Записывают примеры линейных уравнений с двумя переменными. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов; Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. В многочлене каждый член является одночленом стандартного вида, причем среди них нет подобных членов. Наибольший показатель степени в которую возводится переменная. 2 степень 4 степень 6 степень Решить уравнение – значит найти множество его корней. Решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Значения х и у обращающие уравнение в верное равенство. Например, пара значений (8;3) Да Равносильные Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решением данного уравнения. Выразить переменную у через х. Ученики работают устно, около доски и делают записи в тетрадях. Линейным уравнениям с двумя переменными. Научиться решать уравнения с двумя переменными. Да Повторили: что такое уравнение, степень многочлена, что значит привести многочлен к стандартному виду, что значит решить уравнение, что называется решением уравнения, свойства уравнений с одной переменной. Узнали: что такое уравнение с двумя переменными, как определить степень уравнения, что является решением уравнения с двумя переменным, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

Список используемой литературы:

1. Макарычев Ю.Н. Алгебра 7 класс / Миндюк Н. Г., Нешков К.И., Феоктистов Е.И. М.: «Мнемозина» 2011 г. – 337 с.

Приложение 1.

«Уравнения с двумя переменными»

1. Какие из перечисленных уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными?

1. x² – 2y = 3

2. 3x – y = 17

3. xy + 2x = 9

4. 13x + 6y = 0

1. Является ли пара чисел х=5 и у= — 2 решением уравнения: 5х – 2у = 10? Ответ обоснуйте.

2. Найти два решения для следующих уравнений:

1. 2x + y = 7

2. 2x – 3y = 10

1. Найти пару одинаковых чисел, которые являются решением уравнения х + 3у = 36.

2. Заменить звездочки числами так, чтобы пары: (1; *), (2; *), (*; 2), (*; 0) удовлетворяли уравнению: х + 3у = 10.

3. Найти значение коэффициента в уравнении ах + 5у = 1, если пара х = 3, у = — 4 является решением этого уравнения.

4. Из линейного уравнения 4х – 3у =12 выразите:

1. у через х;

2. х через у

1. Принадлежат ли точки A (4;1), B (1;3), C (-6; -7,5) графику уравнения 3х +4у = 16?

2. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел: х = 2; у = 4,5.

3. Постройте график уравнения: 3у – 2х = 10.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

 

 

 

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

 

( ПРОФИЛЬНЫЙ КУРС. 11 КЛАСС)

 

 

                                                       выполнил:

                                                                                 учитель математики

                                                                        Грибанова Т. И.

 

 

 

 

 

                                  

                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цели урока: показать теорию решения линейного уравнения с двумя переменными;

                     научить решать неопределенные уравнения первой степени;

                     увлечь, заинтересовать учащихся математикой посредством решения таких

                     уравнений.

 

 

Тип урока: урок изучения новой темы.

 

Оборудование: карточки с домашним заданием, слайды, карточки с алгоритмом.

 

 

1.  Изучение новой темы.

Учитель: сегодня на уроке мы познакомимся с линейными уравнениями с двумя переменными.

 

1.1.          повторить определения: что такое уравнение? Что значит решить уравнение? Что такое корень уравнения? Какое уравнение называется линейным? Сколько корней может иметь линейное уравнение с одной переменной и от чего это зависти?

Повторение провести с использованием мультимедийного проектора.

 

Слайд:

 

                                            Линейные уравнения?

 

2х+5=0                    4х²-7х=4                      4-7=-3                  ах-2,5=9         4/х=х

 

                                             решение линейного уравнения ах=в?

 

А=0 и в=о                                       а=0  в=0                   а=0   в=0

 

Нет решений                одно решение                    много решений.

 

1.2.          ввести определение неопределенного уравнения.

 

 Определение1. уравнение,  в котором число неизвестных более одного, называется неопределенным.

 

Определение 2. уравнения, в котором ищут только целые решения, называются диофантовыми.

 

Приведем примеры неопределенных уравнений, имеющих бесконечное множество целочисленных решений.

 

            x²+y³=z⁷             

x²-7y²=1             11x+13y=300     x+y+z=6

 

 

 

 

1.3.          Историческая справка. ( рассказ ученика)

 

Диофант Александрийский  —  греческий математик. Его личность, пожалуй, самая малоизвестная в истории математики. Согласно эпитафии на его могиле, он прожил 84 года, был женат и имел сына, который умер раньше его. Однако неизвестна дата его рождения. Говорят, что он жил и творил в 3 веке нашей эры. Из 13 книг Диофанта до нас дошло лишь 6. но вопросы, затронутые в них, породили в современной математике две самостоятельные ветви: диофантовы уравнения и диофантовы приближения. Содержание пяти книг посвящено решению уравнений на множестве положительных чисел. Отрицательные решения Диофантом никогда не приводились. Однако, когда современник говорит о диофантовом  решении уравнения или системы уравнений, он подразумевает лишь целочисленные решения.

 

Учитель: сегодня на уроке мы рассмотрим теорию линейного уравнения с двумя переменными не только в смысле Диофанта, но и на множестве натуральных чисел, что бывает наиболее актуально.

 

1.4.          ввести определение линейного уравнения с двумя переменными.

 

Определение 3. линейным неопределенным уравнением с двумя переменными назовем уравнение вида ах+ву=с, где а,в,с – некоторые действительные числа, причем ни а, ни в не равны 0.

 

Слайд: 

                                      Линейное неопределенное уравнение

                                               с двумя переменными

                                                             ах+ву=с

                                                            

 

   примеры уравнений: 2х+4у=7;  6,7х-5у=0

 

упражнение: из п. 1.2 выбрать из приведенных примеров линейные уравнения с комментарием.

 

 

1.5.          формулировка некоторых теорем и их доказательство.

 

Теорема 1. линейное неопределенное уравнение ах+ву=с всегда имеет бесчислен-ное множество действительных решений вида x=t, y=(c-at)/d., где tR.

 

Доказательство на слайде.

 

 

 

 

 

 

 

Слайд:

 

ДАНО: линейное неопределенное уравнение  ах+ву=с

 

ДОКАЗАТЬ: х= t, у=( с-ах)/в – решения уравнения.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: перепишем уравнение в виде  ву=с-ах, у= ( с-ах)/в.

                                          Если х= t, где tR., то   у= ( с-ах)/в.   Ч.т.д.

 

Пример.  Уравнение х√3-у√2=√5 имеет бесчисленное множество решений решенией  вида х= t и у= (t√3-√5)/ √2, где tR.

Пусть t=1, тогда х=1, у=(√3-√5)/ √2 и т.д.

 

Теорема 2. линейное неопределенное уравнение ах+ву=с с рациональными коэффициентами всегда можно привести к виду Ах+Ву=С, где А – натуральное число, а ВиС – целые числа, причем В≠0.

 

Пример:  -6,7х+1,5у=7 | (-10).  Получим уравнение  67х-15у=-70.

 

1.6.          решение неопределенных уравнений в натуральных числах.

 

Задача из учебника Киселева.

 

Для настилки пола шириной в 3 метра имеются доски шириной в 11 см и 13 см. сколько нужно взять досок того и другого размера?.

 

Решение. Очевидно, что если х — число досок шириной в 11 см, а у – количество досок шириной 13 см, то нам надо решить уравнение 11х+13у=300 в натуральных числах. Попробуем сначала это уравнение  решить в целых числах, а затем уже в натуральных. Можно подобрать решение, но где гарантия того, что решение это – единственное?

Итак, х, у – целые числа.

13у=300-11х, у=300\13-11х\13,  у=23+(1-11)/\13.

Т.к. у-целое число, то и (1-11х_\13 – целое число.

Пусть (1-11х)\13=к₁, 11х=1-13к₁, х=(1-2к₁)\11-к₁. к₁- целое число, значит и

 (1-2к₁)/11 – целое число.

Пусть (1-2к₁)/11=к₂, где  к₂— целое. Тогда 1-2к₁=11к_2,  к₁=(1-к₂)/2-5к₂.

Пусть остаток (1-к₂)/2=к, тогда к₂=1-2к, где к – любое целое число.

Подставим в формулу к₁ вместо к₂ его значение, получим к

1=11к-5.

Теперь выразим х через к х=6-13к.

Зная х, найдем  у   у=18+11к.

6-13к>0, 18+11к>0. решим систему этих неравенств, получим  к=-1, к=0.

Найдем значения х, у , подставив вместо к сначала -1, а затем 0.

Получим х=19, у=7  или х=6, у=18.

Вывод: для застилки пола нужно взять 6 досок шириной в 11 см и 18 досок шириной 13 см. первое решение не подходит, так как здесь нужно взять 26 досок.

Ответ: 6 и 18 досок.

 

 

Вывод по первой части урока.

 

Мы овладели практикой нахождения целочисленных решений линейного уравнения с двумя неизвестными, руководствуясь следующим алгоритмом:

    Слайд:                                           Алгоритм

1.     данное уравнение разрешают относительно переменной с наибольшим коэффициентом по модулю.

2.     в полученном уравнении выделяют целую часть, а дробную часть обозначают за новую переменную, в результате получается новое неопределенное уравнение.

3.     последнее уравнение решают, руководствуясь пунктами 1 и 2 до тех пор, пока один из коэффициентов при переменных не будет равен 1.

4.     поочередно выражаем все переменные через последнюю неизвестную, пока не сформируем ответ.

 

Карточки с алгоритмом раздать каждому ученику.

 

2.  Закрепление.

 

1.     решите в целых числах уравнение  7х+11у=75.

2.     фунт чая одного сорта стоит 3½ р, а другого 2½ р. Сколько можно купить фунтов чая того и другого сорта на 37 рур.50 к.?

 

3.  Подведение итогов урока.

1.     опросить учащихся по изученной теории.

2.     выставить оценки.

3.     дать домашнее задание.

 

Домашнее задание состоит из 2 частей:

·        выучить теорию.

·        Выполнить задание из карточки.

 

Выриант1.

 

1.     решить уравнение в целых числах  5х+63у=-1.

2.     определите целые положительные значения коэффициентов а и в в уравнении ах+ву=58, при которых х=5, у=4.

 

Вариант 2.

1.     решить уравнение в целых числах 9х+4у=43.

2.     разложите число 100 на 2 части так, чтоб одна делилась на 7 без остатка, а другая – на 13 без остатка.

 

На следующий урок задачи из этих карточек рассматривают  всем классом.

 

линейная алгебра — Решение одного уравнения с двумя неизвестными

спросил 10 лет, 3 месяца назад

Изменено 10 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Я думал о том, как решить проблему с банкоматом, который выдает $50 и $20 , найдите все комбинации выданных банкнот, которые будут действительны для данной суммы.

Скажем, для $160 это может быть 8 $20 или 2 $50 и 3 $20 .

Теперь я могу сделать это в уме достаточно легко (для небольших чисел и только 2 переменных), но я хочу узнать, как это правильно решить.

Насколько я могу судить, это формула Ax + By = C, где A = 20, B = 50, C = 160.

Поскольку речь идет о выдаче реальных бумажных банкнот, A и B должны быть целыми числами >= 0.

Я могу подключить это к Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/ ?i=%2850*x+%2B+20*y%29+%3D+160%3B+x+%3E%3D+0%3B+y+%3E%3D+0

Таким образом, очевидно, что компьютер может определить результат.

Но из моих смутных воспоминаний о школьной математике, чтобы решить что-то подобное, нужно подставить 2 уравнения.

Или мое условие «целые числа >= 0» является другим уравнением?

Также может быть более 1 ответа (или 0 ответов) для разных значений.

Это делается путем перебора чисел в цикле или есть уравнение, которое можно использовать для решения этой проблемы?

Я заглянул в матрицы, но большая часть этого вышла из головы, и я не мог понять, что мне нужно было вставить в матрицу, чтобы получить результат, и применимо ли это вообще к моей ситуации.

• линейная алгебра

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вы ищете целые числа $x,y$, удовлетворяющие условию $50x+20y = d$ и $x, y \geq 0$.

Прежде всего обратите внимание, что поскольку $\gcd(50,20) = 10$, у вас должно быть $10 \mid d$. Поэтому вместо этого мы ищем решения $5 x + 2 y = \frac{d}{10}$ (удобно, чтобы 2 и 5 были взаимно простыми).

Заметим, что $5 — 2\cdot 2 = 1$, поэтому мы можем легко найти решение (игнорируя на данный момент ограничение неотрицательности) по $x_0= \frac{d}{10}, y_0 = — \ frac{2d}{10}$, поскольку $5 x_0 + 2 y_0 = \frac{d}{10}$.

Теперь предположим, что $(x_1, y_1)$ и $(x_2,y_2)$ — два решения (возможно, отрицательные; мы займемся этим чуть позже), тогда у нас есть $5 (x_1-x_2) + 2(y_1- у_2) = 0$. Отсюда следует, что $5 \mid (y_1-y_2)$, следовательно, $(y_1-y_2) = 5k$ для некоторого целого числа $k$. Отсюда следует, что $x_1-x_2 = -2 k$.

Это говорит нам о том, что все решений задаются как $(\frac{d}{10}-2k, — \frac{2d}{10} + 5k)$, где $k \in \mathbb{Z} $.

Теперь мы можем разобраться с ограничением неотрицательности. Чтобы удовлетворить ограничения положительности, нам нужно $\frac{d}{10}-2k \geq 0$ и $-\frac{2d}{10} + 5k \geq 0$, или, другими словами, $k \ geq \frac{2d}{50} = \frac{d}{25}$ и $k \leq \frac{d}{20}$. Это дает все неотрицательные решения.

Чтобы проиллюстрировать ваш пример, пусть $d = 160$. Тогда решения:

$k = 7, (x, y) = (2, 3), 50x+20y = 160$

$k = 8, (x, y) = (0, 8), 50x +20г = 160$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Это полный ответ только для $50x+20y=m$. Ясно, что $m$ должно быть кратно $10$, скажем, $m=10n$. Итак, мы хотим найти количество неотрицательных решений $5x+2y=n$. Ясно, что их нет, если только $n \ge 0$. Итак, теперь предположим, что $n \ge 0$.

Легко видеть, что $x_0=n$, $y_0=-2n$ является решением уравнения $5x+2y=n$. К сожалению, за исключением случаев, когда $n=0$, одно из значений $x_0$ или $y_0$ отрицательно.

Однако нетрудно показать, что целые решения уравнения $5x+2y=n$ задаются формулой $$x=n-2t,\qquad y=-2n+5t,\tag{$1$}$$ где $t$ находится в диапазоне целых чисел, положительных, отрицательных или $0$.

Имеем $x\ge 0$ и $y\ge 0$ тогда и только тогда, когда $t\le \frac{n}{2}$ и $t \ge \frac{2n}{5}$. Таким образом, условие на $t$ можно обобщить неравенствами $$\frac{2n}{5}\le t \le \frac{n}{2}.$$ Это дает явный способ генерации всех неотрицательных решений. Мы также можем получить явную формулу для номер неотрицательных решений. Неформально это количество целых чисел в интервале $2n/5 \le t \le n/2$.

Мы можем использовать более сложные символы. Целочисленный параметр $t$ перемещается из $\left\lceil \frac{2n}{5}\right\rceil$ в $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$, где $\lceil x\rceil$ — наименьшее целое число $\ge x$, а $\lfloor x\rfloor$ — наибольшее целое число, равное $\le x$. Таким образом, количество неотрицательных решений равно $$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-\left\lceil \frac{2n}{5}\right\rceil +1.$$

Примечание: Все сказанное можно обобщить. Предположим, что числа $a$ и $b$ положительны, а их наибольший общий делитель равен $1$. (Случай, когда наибольший общий делитель равен $\gt 1$, можно решить с помощью того же трюка, который привел нас от $50$ и $20$ к $5$ и $2$.)

Предположим, что мы нашли решение $( x_0,y_0)$ $ax+by=1$. Тогда одно целочисленное решение уравнения $ax+by=n$ равно $(nx_0,ny_0)$. Оказывается, все целочисленные решения задаются как $x=nx_0-bt$, $y=ny_0+at$, где $t$ колеблется в пределах целых чисел.

Чтобы заставить решения быть неотрицательными, получаем неравенства того же характера, что и в случае $a=5$, $b=2$.

Теперь кратко упомянем часто трудную часть, нахождение одного решения $ax+by=1$. Для небольших чисел мы можем найти решение экспериментальным путем. Для больших $a$ и $b$ мы используем расширенный алгоритм Евклида .

Обратите внимание, что мы обсудили только проблему двух видов «счетов». задачу для $k$ видов купюр можно решить, используя генерирующие функции . Но общий случай намного сложнее, чем рассмотренный выше случай $k=2$, и ответы несколько менее удовлетворительны.

$\endgroup$

элементарная теория чисел — Как решить уравнение с двумя переменными, если дано только одно уравнение?

спросил 3 года, 3 месяца назад

Изменено 3 года, 3 месяца назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Я рассматривал следующую задачу:

Сначала я пытался использовать уравнение одновременно, но без реального прогресса. Я решаю сдаться и проверить ответ:

Теперь я понимаю это решение, за исключением строки, где оно гласит:

‘Единственными положительными целыми решениями этого уравнения являются $w=2, d= 10$ и $w=5, d=3$’

Это, безусловно, самая большая проблема с этой проблемой, и все же они замалчивают ее в ответе. Итак, мой вопрос заключается в следующем: как вы собираетесь вычислять эти значения без использования метода проб и ошибок, и если вам все же придется использовать метод проб и ошибок, как мы можем быть уверены, что это единственные решения?

• теория элементарных чисел
• диофантовы уравнения
• решение задач

$\endgroup$

1

$\begingroup$

$7w+3d=44 \подразумевается d = \dfrac{44-7w}{3}=\dfrac{42-6w}{3}+\dfrac{2-w}{3} =14-2w+\dfrac{2-w}{3}$

Целочисленные решения имеют вид $w=3x+2$.

Полагая $w=3x+2$, получаем $d = 10-7x$

$x < 0$ делает $w$ отрицательным. $x>1$ делает $d$ отрицательным.

$x=0$ дает $(w,d)=(2,10)$, а $x=1$ дает $(w,d)=(5, 3)$.

Ответ на комментарий.

Я выбрал $d = \dfrac{44-7w}{3}$, потому что вам нужно только попробовать $w=0,1,2$, чтобы найти значение $d$, которое делает $w$ целым числом. Если вам захотелось написать

$$w=\dfrac{44-3d}{7}= 6 — \dfrac{3d-2}{7}$$, тогда $d=3$ дает нам $w=5$.

Для небольших чисел это работает просто отлично. Если вам нужно, лучше всего использовать модульную арифметику.

Например, чтобы найти начальное значение $d$,

\begin{align} 7р+3д=44 &\ подразумевает 3d \equiv 44 \pmod 7 \\ &\ подразумевает 3d \equiv 2 \pmod 7 \\ &\ подразумевает 5 \cdot 3d \equiv 5 \cdot 2 \pmod 7 \\ & \подразумевает d \equiv 3 \pmod 7 \end{align}

Затем вы можете использовать $d=3+7t$, и вы получите все целочисленные значения для $w$ и $d$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Если $7w+3d=44$, то $7w+3d-44$ делится на $3$,

, поэтому $7w+3d-44-3(2w+d-14)=w-2 $ равно,

, поэтому $w\in\{2,5,8,11,14,17,. ..\}$,

, но в этом наборе только $2$ и $5$ можно умножить на $7$, чтобы получить результат не более $44$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Если $w$ и $d$ — положительные целые числа, вам нужно $7 w < 44$, поэтому $w < 44/7 < 7$. Так что вы только нужно попробовать $w = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Уравнения, имеющие только целочисленные решения (или, в данном случае, положительно целочисленные решения), называются диофантовыми уравнениями. Линейное диофантово уравнение типа $7w+3d=44$ относительно легко решить примерно на четверти пути по вводному курсу теории чисел. Так что я немного помашу руками здесь, в основных понятиях, и вы знаете, где вы можете изучить более глубоко, если хотите.

Итак, сначала мы собираемся найти все решения в целых числах, хотя это не имеет смысла в контексте задачи со словами. Начнем с того, что заметим, что $7(1)+3(-2)=1$. Таким образом, мы можем умножить обе части на 44, чтобы получить $7(44)+3(-88)=44$. Итак, $w=44, d=-88$ — целочисленное решение.

Наш следующий шаг — найти все целочисленные решения. Очевидно, $7(-3)+3(7)=0$, так что если у нас есть конкретное решение для $w$ и $d$, то вычитание $3$ из $w$ и прибавление $7$ к $w$ даст в другом решении общего уравнения. Оказывается, это единственный способ генерировать новые решения, поэтому все решения имеют вид $w=44-3t$ и $d=7t-88$, где $t$ колеблется в пределах множества целых чисел.

Наконец, нам нужно связать это с контекстом задачи, где $w$ и $d$ — положительные целые числа, а $w>d$. Мы можем сделать это, решив одновременные неравенства $44-3t>0$ и $7t-88>0$, которые имеют множество решений $12