Уравнения 4 степени решение онлайн: Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени

2-4\cdot2\cdot1=-4\]

\[x_3= \frac{-2+ \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} +i\]

\[x_4= \frac{-2- \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} -i\]

В результате, исходное уравнение имеет четыре комплексных корня:

\[x=\frac{1}{2}\pm i\]

\[x=-\frac{1}{2}\pm i\]

Где можно решить уравнения 4 степени онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

онлайн решение уравнения 4 степени

Вы искали онлайн решение уравнения 4 степени? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решение онлайн уравнений 4 степени онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «онлайн решение уравнения 4 степени».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как онлайн решение уравнения 4 степени,решение онлайн уравнений 4 степени онлайн,решить уравнение 4 степени онлайн,уравнение 4 степени онлайн,уравнение четвертой степени онлайн,уравнения 4 степени решение онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и онлайн решение уравнения 4 степени. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, решить уравнение 4 степени онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же онлайн решение уравнения 4 степени Онлайн?

Решить задачу онлайн решение уравнения 4 степени вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

Определение 1

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Пример 1

Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:

4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

Второго:

2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x=12±i и x=-12±i.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Определение 2

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0

Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Пример 2

Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0

Проведем группировку:

2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0

Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

Решим полученное квадратное уравнение:

D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

Пример 3

Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.

Решение

Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

Следовательно, x2=12 или x2=-3.

Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

Ответ: x=±12 и x=±i·3.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 4

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.

Решение

Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Пример 5

Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.

Решение

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Двучленные уравнения четвертой степени решение примеров онлайн

Двучленными уравнениями четвертой степени называются уравнения вида:  

 или

где — любые действительные числа, но , x – неизвестная искомая переменная.

Корнем двучленного уравнения четвертой степени называется такое значение переменной , при подстановке которого двучлен  или  обращается в ноль.

Решить  уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.

 

При решении двучленного уравнения вида необходимо придерживаться следующей схемы:

1)      Вынести за скобки общий множитель , преобразовав тем самым заданное уравнение к виду

2)      Решить полученное уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:

 

Пример 1: Решить уравнение

Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.

Вынесем за скобки общий множитель :

Поэтому либо , либо

Ответ:

 

Пример 2: Решить уравнение

Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.

Вынесем за скобки общий множитель :

Поэтому либо , либо  а данное уравнение решений не имеет (См. «Решение квадратных уравнений»)

Таким образом, заданное уравнение имеет одно решение

Ответ:

 

 

При решении двучленного уравнения вида необходимо придерживаться следующей схемы:

1)      Привести уравнение к виду

2)      Решить полученное уравнение:

Пример 3: Решить уравнение

Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.

Решим данное уравнение по вышеприведенной формуле:

Таким образом, заданное уравнение имеет одно решение

Ответ:

 

Пример 4: Решить уравнение

Данное уравнение является двучленным уравнением четвертой степени.

Решим данное уравнение по вышеприведенной формуле:

Таким образом, заданное уравнение не имеет решений, так как  значение переменной в четной степени не может быть отрицательным.

Ответ: Решений нет.

 

Примечание: Уравнения примеров 2 и 4 не имеют решений только для курса школьной математики. (См. «Решение двучленных уравнений четвертой степени. Курс высшей школы»).

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

В этой главе речь пойдёт о приближённом нахождении корней уравнения . Дело в том, что решить это уравнение «точно», то есть выразить его корни через известные постоянные (целые числа, числа , и другие им подобные) с помощью элементарных функций от этих постоянных, удаётся далеко не всегда. Уже корни многочленов степени выше 4 не всегда выражаются «в радикалах», а общей формулы для уравнения степени выше 4, которая годилась бы при любых коэффициентах уравнения, вообще не существует. Да и в случае, когда такая формула существует, бывает, что от неё мало практического толку ввиду сложности получающихся выражений. Например, для решения уравнений третьей степени имеется формула Кардано, позволяющая найти корни в зависимости от коэффициентов уравнения. Для уравнения

формула Кардано²⁵ даёт значение корня

Велика ли польза непосредственно от этого результата? Пока выражение не вычислено, мы не можем сказать даже, лежит ли корень на отрезке, скажем, . Вычислить же это выражение²⁶ — работа, вполне сравнимая по трудоёмкости с той, что требуется для приближённого решения уравнения одним из тех методов, которые мы опишем ниже. Результат же всё равно в обоих случаях получится приближённый, поскольку вычислять дроби и корни в решении, данном формулой Кардано, также придётся приближённо.

---

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

X2 0 решение. Уравнения онлайн. Тождественные преобразования уравнений

Цели:

1. Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
2. Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
3. Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование: графопроектор.

Наглядность: таблица «Теорема Виета».

Ход урока

1. Устный счет

а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + … + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?

б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?

в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?

г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2

2. Самостоятельная работа (в группах)

Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»

1 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Составить уравнение:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

е=1(-2)(-3)6=36

х 4 — 2 х 3 — 23х 2 — 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера

р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36

р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2

р 2 (x) = х 2 -3х -18=0

х 3 =-3, х 4 =6

Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)

2 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5

Составить уравнение:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20

р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5

Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)

3 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3

Составить уравнение:

В=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х 4 — х 3 — 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

р 4 (1)=1-1-7+1+6=0

р 3 (x) = х 3 — 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3

Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)

4 группа

Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3

Составить уравнение:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36

р = ±1;±2;±3…

р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0

р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4

Составить уравнение

х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Составить уравнение

B=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

х 4 — 7х 3 — 13х 2 + 43 x — 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.

р 4 (1)=1-7-13+43-24=0

р 3 (1)=1-6-19+24=0

р 2 (x)= х 2 -5x — 24 = 0

х 3 =-3, х 4 =8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0

х 3 + 3х 2 -13х — 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х 1 = — 1; Д=1+15=16

Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0

х 2 =-1-4 = -5;

х 3 =-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х 3 — 3х 2 + ах — 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)

Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х 2 -6) = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.n} \)

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m , если 0

В практике часто используются функции вида y = a x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \(a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \(a \neq 1\), не имеет корней, если \(b \leq 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = a x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \(a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \(a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.{x-2} = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \(3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или

ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a (t 2 – 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 ,

, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

4) Уравнение вида (x – a )(x – b )(x – c )(x – d ) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2 )(x +3 )(x + 8 )(x + 12 ) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:

Имеем (t + 14)(t + 11) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен P n (x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + …+a 1 x + a 0 , где a n ≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a n = 1 , то целые корни уравнения P n (x ) = 0 находятся среди делителей свободного члена a 0 . Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P 4 (1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P 4 (x ) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P 4 (x ) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Аналогично, P 3 (1) = 0, тогда P 4 (x ) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P 4 (x) = 0 имеет корни x 1 = x 2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

значит, x 1 = 1 значит, x 2 = 1.

Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

x = –1

Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Методы решения уравнений: замены, подстановки, примеры, тесты

Тестирование онлайн

Потерянные и посторонние корни

К потере корней может привести сокращение обеих частей уравнения на общий множитель.

Посторонние корни могут появится при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное.

При возведении обеих частей уравнения в квадрат (или любую четную степень) могут появляться посторонние корни.

Посторонние корни могут появляться при решении иррационального уравнения, поэтому лучше выполнять проверку.

Метод замены переменной

В ряде случаев решение уравнения можно упростить введением новой переменной (нового неизвестного).

Например, уравнение вида

где a, b, c — числа, называется биквадратным. Решается введением замены x²=t

Метод замены используют не только при решении биквадратных уравнений.

Сложные замены переменной

Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

Очень сложные замены переменной

Графический способ решения уравнений

Графический способ решения уравнений f(x)=g(x) заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы точек пересечения графиков. Абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями уравнения.

Преобразуем выражение a⁴+b⁴=(a+b)⁴:

При решении уравнения f(x)=g(x) можно исследовать функции y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если одна из этих функций на промежутке монотонно убывает, а другая функция монотонно возрастает, то уравнение или имеет один корень, или вообще не имеет корней. Корень уравнения можно найти методом подбора или графическим методом.

Если функция y=f(x) возрастает, а y=g(x) убывает на промежутке , и при этом f(a)>g(a), то корней нет.

Примеры уравнений вида f(f(x))=x, где f(x) — некоторая функция:

1. Любой корень уравнения f(x)=x является корнем уравнения f(f(x))=x;
2. Если функция f(x) возрастает на некотором множестве и значения x и значения функции f(x) принадлежат этому множеству, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны на этом множестве.

Для убывающей функции f(x) правило 2 применить нельзя.

Суть метода состоит в замене переменной х тригонометрической функцией, например . Решение исходного уравнения сводится к решению тригонометрического уравнения. Но тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное множество решений, а исходное — конечное.

Неравенство Коши.

Неравенство Бернулли.

Равенство достигается при x=0 или n=1.

Неравенство Коши-Буняковского.

Равенство достигается в том и только в том случае, когда существует положительная константа a такая, что x₁=ay₁, x₂=ay₂,…,x_n=ay_n.

Калькулятор уравнений четвертой степени | Калькулятор уравнений четвертой степени

Калькулятор уравнений четвертой степени, также известный как калькулятор уравнений четвертой степени, позволяет вычислять корни уравнения четвертой степени. Эта страница включает в себя онлайн-калькулятор уравнений 4-й степени, который вы можете использовать со своего мобильного телефона, устройства, настольного компьютера или планшета, а также включает вспомогательное руководство и инструкции по использованию калькулятора.

Результаты калькулятора по уравнениям Quartic

x 1 :		+		i
x 2 :		+		i
x			+		i
x 4 :		+		i

Если вы нашли Калькулятор Quartic Equation Calculator полезным, было бы здорово, если бы вы любезно предоставили оценку для калькулятор и, если у вас есть время, поделитесь в своей любимой социальной сети netowrk.Это помогает нам сосредоточить наши ресурсы и поддерживать текущие калькуляторы, а также разрабатывать дополнительные математические калькуляторы для поддержки нашего глобального сообщества.

★ ★ ★ ★ ★ [3 Голоса]

Чем мне полезен этот калькулятор?

Калькулятор уравнения четвертой степени Это математический онлайн-калькулятор, разработанный калькулятором для поддержки развития ваших математических знаний. Вы можете использовать его, чтобы проверять домашние задания и помогать при расчетах уравнений четвертой степени.Это особенно полезно, если вы плохо знакомы с уравнениями четвертой степени или вам нужно освежить свои математические знания, поскольку калькулятор уравнений четвертой степени точно вычислит вычисления, так что вы можете проверить свои собственные математические вычисления вручную.

Как рассчитать корень четвертой степени?

Вы можете вычислить корень четвертой степени вручную, используя уравнение четвертой степени, приведенное ниже, или вы можете использовать калькулятор уравнений четвертой степени и сэкономить время и нервы, связанные с вычислением математики вручную.Вы также можете использовать калькулятор, чтобы проверить свои собственные математические вычисления, сделанные вручную, чтобы убедиться, что ваши вычисления верны, и чтобы вы могли проверить любые ошибки в вычислениях уравнений четвертой степени.

Формула уравнения четвертой степени:

ax ₄ + bx ₃ + cx ₂ + dx + e = 0
p = sqrt (y1)
q = sqrt (y3) 7
r = — g / ( 8pq)
s = b / (4a)
x1 = p + q + r — s
x2 = p — q — r — s
x3 = -p + q — r — s
x4 = -p — q + r — s

Как вычислить корень четвертой степени с помощью калькулятора уравнений четвертой степени?

Для тех, кто уже знает, как рассчитать уравнение четвертой степени и хочет сэкономить время или проверить свои результаты, вы можете использовать калькулятор уравнения четвертой степени, выполнив следующие шаги:

1. Введите значение для ax ⁴
2. Введите a значение для xb ³
3. Введите значение для cx ²
4. Введите значение для dx
5. Введите значение для e
6. Калькулятор уравнения 4-й степени вычислит корни введенного вами уравнения 4-й степени

История уравнения 4-й степени

Формула уравнения четвертой степени была впервые открыта Лодовико Феррари в 1540 году, хотя утверждалось, что в 1486 году испанский математик якобы сказал Томас де Торквемада, главный инквизитор испанской инквизиции, что «это было волей бога, чтобы такое решение было недоступно человеческому разумению», в результате чего математик был сожжен на костре.

Несмотря на то, что Лодовико обнаружил решение квартики в 1540 году, оно не было опубликовано до 1545 года, поскольку решение также требовало решения кубики, которая была обнаружена и опубликована вместе с решением четвертой степени наставником Лодовико Джероламо Кардано в книге Ars Magna.

Как эта формула применима в жизни?

Уравнения четвертой степени на самом деле довольно распространены в вычислительной геометрии, они используются в таких областях, как компьютерная графика, оптика, дизайн и производство.Они также могут быть полезны для расчета соотношений.

Например, при автоматизированном производстве концевых фрез, если они часто связаны с формой тора, требуется решение четвертой степени для расчета его положения относительно триангулированной поверхности.

Математические калькуляторы

Вам также могут пригодиться следующие математические калькуляторы.

Калькулятор полиномиального дискриминанта — онлайн-вычислитель дельты Δ

Поиск инструмента

Дискриминант многочлена

Инструмент для вычисления дискриминанта полинома. 2-4ac $$

Знание значения дискриминанта позволяет легче решить уравнение с помощью формул (используя этот дискриминант ).2 = \ Delta $$

$$ x_1 = \ frac {-b + \ delta} {2a} \\ x_2 = \ frac {-b — \ delta} {2a} $$

Для уравнений более высоких степеней вычисления намного сложнее, но важно знать детерминанты.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Дискриминант полинома». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любого алгоритма, апплета или фрагмента «Дискриминант полинома» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой другой Дискриминант полиномиальной функции (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанную на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Дискриминанта полинома» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

дискриминант, многочлен, дельта, корень, квадратичный, уравнение, калькулятор

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/polynomial-discriminant

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote

Типы задач, поддерживаемые Math Assistant

При использовании Math Assistant в OneNote вы заметите, что раскрывающийся список Выберите действие под уравнением изменяется в зависимости от выбранного уравнения.Вот некоторые из типов задач, которые поддерживаются в зависимости от уравнения, которое вы пытаетесь решить.

Массивы	Для списка действительных чисел поддерживаются все перечисленные ниже.
Выражения	Для любого выражения доступны следующие действия: Оценить Проверить Развернуть (если применимо) Коэффициент (если применимо) График в 2D (доступен только при наличии переменной) Дифференцировать (доступно только при наличии переменной) Интегрировать (доступно только при наличии переменной)
Уравнения и неравенства	Для уравнений и неравенств доступны следующие действия: Решите для {вашей переменной} Обе стороны графика в 2D — Каждая из сторон равенства или неравенства изображена на графике как отдельная функция. График в 2D — график решений уравнения или неравенства Graph Inequality — отмечает область решения на графике
Системы	Важно иметь равное количество уравнений и переменных, чтобы обеспечить доступность правильных функций.Системы можно записать двумя способами: Один под другим, с большой скобкой перед ними или без нее В одну строку разделить запятой
Производные и интегралы	Производные могут быть записаны либо с d / dx перед функцией, либо со штрихом. Действия, доступные для производных и интегралов:
Матрицы	Матрицы можно записывать в квадратных или круглых скобках. Для матриц поддерживаются следующие действия: Оценить Вычислить определитель Инвертировать матрицу Вычислить трассировку Матрица транспонирования Размер матрицы Уменьшить матрицу Матричные уравнения в настоящее время не поддерживаются.
Построение графиков в полярных координатах	Чтобы построить график функции в полярных координатах, необходимо выразить r как функцию от тета.
Комплексный режим	Примечание: Выберите Настройки , чтобы переключаться между действительными и комплексными числами. Для сложных выражений и чисел, содержащих мнимую единицу i, , доступны следующие действия.

Узнать больше

Создайте математический тест в Microsoft Forms

Создайте практическую викторину по математике с помощью Math Assistant в OneNote

Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote

4.Корни полиномиального уравнения

Вот три важные теоремы, касающиеся корней полиномиального уравнения:

(a) Многочлен n -й степени можно разложить на линейные множители n .

(b) Полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней.

(c) Если `(x — r)` представляет собой коэффициент полинома , то `x = r` представляет собой корень соответствующего полиномиального уравнения.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, что это означает.

Пример 1

Кубический многочлен f ( x ) = 4 x ³ -3 x ² -25 x -6 имеет степень `3` (так как максимальная степень x — это «3»).

Мы обсуждали этот пример в разделе 3. Как разложить многочлены на множители и нашли, что множители будут следующими:

4 x ³ — 3 x ² -25 x — 6 = ( x — 3) (4 x + 1) ( x + 2)

Напомним, что многочлен 3-й степени имеет 3 корня.

Соответствующее полиномиальное уравнение формируется путем установки полинома равным нулю:

f ( x ) = 4 x ³ — 3 x ² -25 x — 6 = 0

В факторизованной форме это:

`(x — 3) (4x + 1) (x + 2) = 0`

Из выражений в скобках и использования третьей теоремы сверху видно, что существует 3 корня: `x = 3`,` x = -1 / 4` и `x = −2`.

В этом примере все 3 корня нашего полиномиального уравнения степени 3 действительны.

Поскольку `(x — 3)` является множителем, то `x = 3` является корнем.

Поскольку `(4x + 1)` является множителем, то `x = -1 / 4` является корнем.

Поскольку `(x + 2)` является множителем, то `x = −2` является корнем.

Вот график нашего полинома, показывающий x -перехватывания , которые являются корнями:

График f ( x ) = 4 x ³ — 3 x ² — 25 x — 6

Пример 2

Уравнение x ⁵ — 4 x ⁴ — 7 x ³ + 14 x ² — 44 x + 120 = 0 можно разложить на множители (с использованием Wolfram | Alpha) и записывается как

( x — 2) ( x — 5) ( x + 3) ( x ² + 4) = 0

Мы видим, что имеется 3 действительных корней `x = 2, 5, -3,` и 2 комплексных корней `x = ± 2j`, (где` j = sqrt (-1) `).

Итак, у нашего уравнения 5-й степени всего 5 корней, как и ожидалось.

На графике мы видим только три настоящих корня:

График y = x ⁵ — 4 x ⁴ — 7 x ³ + 14 x ² — 44 x + 120

[Вам нужна доработка комплексных чисел? Перейти к комплексным числам.]

Пример 3

В предыдущем разделе 2.2− 5x — 6 = 0`.

Чтобы проверить это, подставьте в полином `x = -1`. Если это корень, то при подстановке вы должны получить значение «0».

Другой способ увидеть, что происходит, — это построить график полинома.

График y = x ³ + 2 x ² — 5 x — 6

График показывает нам два других корня, −3 и 2.

Пример 4

Следующее полиномиальное уравнение было бы довольно сложно решить с помощью теорем об остатке и множителях.Решим с помощью Wolfram | Alpha:

x ⁴ + 0,4 x ³ — 6,49 x ² + 7,244 x — 2,112 = 0

Ответ

Wolfram | Результат Alpha:

Решить: x ⁴ + 0,4 x ³ — 6,49 x ² + 7,244 x — 2,112 = 0,

Решение: {`x = -3.2`}, {` x = 1.2`}, {`x = 0.5`}, {`x = 1.1`}

Вот график:

График y = x ⁴ + 0,4 x ³ — 6,49 x ² + 7,244 x — 2,112

Трудно увидеть три положительных корня. Вот эта часть снова, увеличенная для более четкого обзора:

График y = x ⁴ + 0,4 x ³ — 6,49 x ² + 7.244 х — 2,112

Примечание: Полиномиальные уравнения не всегда имеют «хорошие» решения! (Под «хорошими решениями» я подразумеваю решения, которые являются целыми числами или простыми дробями.) Вот почему я считаю, что теоремы об остатках и факторах следует рассматривать как исторический подход, потому что вы можете использовать их только в том случае, если хотя бы некоторые из решений являются целыми числами. или простые дроби.

Если вы используете систему компьютерной алгебры (например, Wolfram | Alpha для решения этих проблем, вы можете сделать это за секунды и перейти к чему-то более значимому, например к приложениям.

Пример 5

Решите следующее полиномиальное уравнение с помощью системы компьютерной алгебры:

3 x ³ — x ² — x + 4 = 0.

Ответ

3 x ³ — x ² — x + 4, Решение: {`x = -1,0914`,` x≈0,71237 — 0,84509 i`, `x≈0,71237 + 0,84509 i` }

Мы видим, что есть одно реальное решение и 2 комплексных решения.

Проверив это графически, имеем:

График y = 3 x ³ — x ² — x + 4

Мы видим, что существует только один (реальный) корень, близкий к `x = -1`, как и ожидалось.

Использование системы компьютерной алгебры для поиска корней

Мы использовали технологии, чтобы найти большинство вышеперечисленных корней. Это лучше, чем пытаться угадывать решения и затем делить многочлены. Используя компьютер, мы можем быстро найти корни либо графически, либо с помощью встроенного средства поиска корней, если оно доступно.

Используя график, мы можем легко найти корни полиномиальных уравнений, у которых нет «хороших» корней, например, следующее:

x ⁵ + 8,5 x ⁴ + 10 x ³ — 37,5 x ² — 36 x + 54 = 0.

Корни уравнения — это просто перехваты x (т.е. где функция имеет значение «0»). Вот график функции:

График y = x ⁵ + 8.5 x ⁴ + 10 x ³ — 37,5 x ² — 36 x + 54.

Мы можем видеть решения: `x = -6`,` x = -3`, `x = -2`,` x = 1` и `x = 1.5`. (Увеличение масштаба близко к этим корням на графике подтверждает эти значения.)

Сложные корни

Относительно комплексных корней применима следующая теорема:

Если коэффициенты уравнения `f (x) = 0` действительны и` a + bj` является комплексным корнем, то сопряженное ему `a — bj` также является корнем.

Подробнее о комплексных числах см .: Комплексные числа

Пример 6

В примере (2) выше у нас было 3 действительных корня и 2 комплексных корня. Эти сложные корни образуют комплексно-сопряженную пару,

x = 0-2 j и x = 0 + 2 j

Пример 7

Коэффициенты полинома x ³ + 7 x ² + 17 x + 15 находятся с использованием системы компьютерной алгебры следующим образом:

x ³ + 7 x ² + 17 x + 15 = ( x + 3) ( x + 2- j ) ( x + 2 + j )

Итак, корни

`x = −3`

`x = −2 + j` и

`x = −2 — j`

Имеется один действительный корень, а оставшиеся 2 корня образуют комплексно сопряженную пару.

Калькуляторы алгебры

Уровень образования Средняя школа, Высшая школа и колледж Цель программы Предлагайте пошаговые решения ваших проблем с помощью онлайн-калькуляторов (онлайн-решателей) Источник проблемы Ваш учебник и т. Д. 1.2) -8 (x + 1 / x) + 14 = 0` 9. Решите линейное уравнение с двумя переменными с помощью (например, решите `7y + 2x-11 = 0` и` 3x-y-5 = 0`, используя метод подстановки) 1. Метод замещения 2. Метод исключения 3. Метод перекрестного умножения 4. Метод сложения-вычитания 5. Метод обратной матрицы 6. Метод правила Крамера 7. Графический метод 10. Решите линейное уравнение с любым количеством переменных (одновременные уравнения) с помощью 1. Метод обратной матрицы 2. Метод правила Крамера 3. Метод исключения Гаусса-Жордана. 4. Метод обратной замены методом исключения Гаусса 5. Метод Гаусса Зейделя. 6. Метод Гаусса Якоби. 7. Метод исключения 8. Метод разложения LU / метод Краута. 9. Метод разложения Холецкого. 10. Метод SOR (последовательная избыточная релаксация). 11.2 = 29` и `xy + yz + zx = -14`, затем найдите` x + y + z` 13. Обозначение интервалов и обозначение построителя наборов например. (1) `3 14. Теория множеств например. `A = {x 1. Union например. `A uu (B uu C) = (A uu B) uu C` 2. Перекресток например. `A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C)` 3. Дополнение например. `(A uu B) ‘= A’ nn B » 4. Силовой набор (правильный набор) например. `P (A)` 5. Разница например. (1) `A-B`, (2)` A- (B uu C) = (A-B) nn (A-C) ` 6. Симметричная разность например. (1) `A Delta B`, (2)` B Delta C`, (3) `A Delta C` 7. Перекрестное произведение например. `A xx B` 8. Докажите, что любые два выражения равны или нет например. `A- (B uu C) = (A-B) nn (A-C)` 9. Мощность набора например. `п (А)` 10. Принадлежит к набору например. `2inB`? 11. — подмножество набора например. `AsubB`? 12. — это два набора Равно или нет например. `A = B`? 15. Функции 1.х`. Найдите `f (2) -f (0)` 4. Проверка, инвертируют ли две функции друг друга например. 1. `f (x) = x + 3, g (x) = x-3`, 2.` f (x) = 4x-3, g (x) = (x + 3) / 4`, 3. `f (x) = x / (x-1), g (x) = (2x) / (2x-1)` 16. Функции 1. Область функции 2. Диапазон функции 3. Обратная функция 4. Свойства функции 5. Вершина функции 6. Симметрия функции 7.2) / (ab + bc + ca) ` 2. Если `a: b = 2: 3, b: c = 4: 5`, то найдите` a: b: c` 3. Если `a / b = c / d = e / f`, то докажите, что` (2a + 3c-4e) / (2b + 3d-4f) = (5a-4c + 3e) / (5b- 4d + 3f) ` 4. Если `x / (y + z) = y / (z + x) = z / (x + y)`, тогда докажите, что значение каждого отношения равно «1/2» или «-1». 5. Среднее геометрическое 6. Соотношения (двойные, тройные) и пропорциональные (среднее, третье, четвертое) 6,1 Коэффициент дублирования 6,2 Соотношение в трех экземплярах 6.2-х-2) ` 20. Логарифмические уравнения например. `журнал (20) + журнал (30) -1 / 2log (36)` 21. Простой процент 22. Сложные проценты 23. Процент 24. Арифметическая прогрессия 25. Геометрическая прогрессия 26. Многочлен 1. Многочлен в порядке возрастания 2. Полином в порядке убывания 3. Степень полинома 4. Главный член многочлена 5. Старший коэффициент многочлена 6. Определить, является ли выражение полиномом или нет 7. Нули полинома

Решатель: Калькулятор квадратного уравнения

Чтобы найти корни (нули) функции второй степени, начните с преобразования этой функции в каноническую форму (максимально упрощая) и приравняв ее к нулю. После этого шага у вас будет уравнение второй степени, в котором второй член равен нулю.2 + bx + c = 0`. В то время как в неполном `b` или` c` отсутствует или оба. Затем введите коэффициенты членов уравнения в соответствующие поля калькулятора. Таким образом, вы можете не только узнать нули, но и шаг за шагом просмотреть разрешение. Если это полное уравнение, используется общая формула полных уравнений второй степени. Если он неполный, первым шагом в решении этого типа уравнений является построение общего множителя, поскольку в обоих членах повторяется «x».Наконец, у нас есть два фактора, результат которых равен нулю, поэтому один из двух должен быть 0.

×

ПРИМЕЧАНИЕ

Если вы хотите выполнить вычисления, в которых коэффициент является дробью, вы должны ввести число в десятичной форме. Например, вместо «1/4» вы должны ввести «0,25».

Решите (полное) квадратное уравнение

Пошаговое разрешение (полного) квадратного уравнения

Решите неполное уравнение второй степени (независимый член отсутствует)

Пошаговое разрешение (неполного) квадратного уравнения

Решите неполное уравнение второй степени (член первой степени отсутствует)

Пошаговое разрешение (неполного) квадратного уравнения

Любое квадратное уравнение может иметь: 2 решения , если дискриминант (число внутри корня) больше нуля; одно решение , если дискриминант равен нулю; нет решения , если дискриминант отрицательный.Если мы работаем во вселенной комплексных чисел, то уравнение второй степени всегда имеет хотя бы одно решение.

4.9: Метод Ньютона — Математика LibreTexts

Во многих областях чистой и прикладной математики мы заинтересованы в поиске решений уравнения вида \ (f (x) = 0. \) Однако для большинства функций это трудно — если не невозможно — вычислить их нули в явном виде. В этом разделе мы рассмотрим метод, который обеспечивает очень эффективный способ аппроксимации нулей функций .3−2x − 7. \ Nonumber \]

Не существует формулы, позволяющей найти решения \ (f (x) = 0. \) Аналогичные трудности существуют для неполиномиальных функций. Например, рассмотрим задачу поиска решений \ (tan (x) −x = 0. \) Для решений этого уравнения не существует простой формулы. В таких случаях мы можем использовать метод Ньютона для аппроксимации корней.

Метод Ньютона использует следующую идею для аппроксимации решений \ (f (x) = 0. \) Нарисовав график \ (f \), мы можем оценить корень \ (f (x) = 0 \).Назовем эту оценку \ (x_0 \). Затем мы проводим касательную к \ (f \) в точке \ (x_0 \). Если \ (f ′ (x_0) ≠ 0 \), эта касательная линия пересекает \ (x \) — ось в некоторой точке \ ((x_1,0) \). Теперь пусть \ (x_1 \) будет следующим приближением к действительному корню. Обычно \ (x_1 \) ближе, чем \ (x_0 \) к фактическому корню. Затем мы проводим касательную к \ (f \) в точке \ (x_1 \). Если \ (f ′ (x_1) ≠ 0 \), эта касательная линия также пересекает ось \ (x \), производя другое приближение, \ (x_2 \). Продолжаем таким же образом, выводя список приближений: \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,….* \). Приближения получаются путем рассмотрения касательных линий к графику \ (f \).

Теперь давайте посмотрим, как вычислить приближения \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,…. \) Если \ (x_0 \) — наше первое приближение, приближение \ (x_1 \) определяется, позволяя \ ((x_1,0) \) будет \ (x \) — точкой пересечения касательной к \ (f \) в точке \ (x_0 \). Уравнение этой касательной задается формулой

.

\ [y = f (x_0) + f ′ (x_0) (x − x_0). 3−3x + 1.2−3 \). Используя уравнение \ ref {Newton} с \ (n = 1 \) (и калькулятор, отображающий \ (10 ​​\) цифры), мы получаем

\ [x_1 = x_0− \ frac {f (x_0)} {f ‘(x_0)} = 2− \ frac {f (2)} {f’ (2)} = 2− \ frac {3} {9 } ≈1.666666667. \ Nonumber \]

Чтобы найти следующее приближение, \ (x_2 \), мы используем уравнение с \ (n = 2 \) и значением \ (x_1 \), хранящимся в калькуляторе. Находим, что

\ [x_2 = x_1- \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)} ≈1,548611111. \ Nonumber \]

Продолжая таким образом, получаем следующие результаты:

• \ (x_1≈1.3−3x + 1 \) на интервале \ ([0,1] \) путем вычисления \ (x_1 \) и \ (x_2 \).

  Подсказка

  Используйте уравнение \ ref {Newton}.

  Ответ

  \ (x_1≈0,33333333 \)
  \ (x_2≈0,347222222 \)

  Метод Ньютона также можно использовать для аппроксимации квадратных корней. Здесь мы покажем, как аппроксимировать \ (\ sqrt {2} \). Этот метод можно изменить, чтобы вычислить квадратный корень из любого положительного числа.2_ {n − 1} −2} {2x_ {n − 1}} \\ [4pt]
  & = \ frac {1} {2} x_ {n − 1} + \ frac {1} {x_ {n− 1}} \\ [4pt]
  & = \ frac {1} {2} \ left (x_ {n − 1} + \ frac {2} {x_ {n − 1}} \ right). \ End {align *} \]

  Следовательно,

  \ (x_1 = \ frac {1} {2} \ left (x_0 + \ frac {2} {x_0} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (2+ \ frac {2} {2} \ справа) = 1,5 \)

  \ (x_2 = \ frac {1} {2} \ left (x_1 + \ frac {2} {x_1} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (1.5+ \ frac {2} {1.5} \ справа) ≈1.416666667. \)

  Продолжая таким образом, находим, что

  \ (x_1 = 1,5 \)

  \ (x_2≈1.2−3 \), уравнение \ ref {Newton} сводится к \ (x_n = \ frac {x_ {n − 1}} {2} + \ frac {3} {2x_ {n − 1}}} \).

  Ответ

  \ (x_1 = 2 \)
  \ (x_2 = 1,75 \)

  При использовании метода Ньютона каждое приближение после первоначального предположения определяется в терминах предыдущего приближения с использованием той же формулы. В частности, определяя функцию \ (F (x) = x− \ left [\ frac {f (x)} {f ′ (x)} \ right] \), мы можем переписать уравнение \ ref {Newton} как \ (x_n = F (x_ {n − 1}) \).Этот тип процесса, где каждый \ (x_n \) определяется в терминах \ (x_ {n − 1} \) путем повторения одной и той же функции, является примером итеративного процесса. Вскоре мы рассмотрим другие итерационные процессы. Во-первых, давайте рассмотрим причины, по которым метод Ньютона не смог найти корень.

  Неудачи метода Ньютона

  Обычно метод Ньютона используется для довольно быстрого поиска корней. Однако что-то может пойти не так. Вот некоторые причины, по которым метод Ньютона может потерпеть неудачу:

  1. В одном из приближений \ (x_n \) производная \ (f ′ \) равна нулю в \ (x_n \), но \ (f (x_n) ≠ 0 \).В результате касательная к \ (f \) в точке \ (x_n \) не пересекает ось \ (x \). Следовательно, мы не можем продолжать итерационный процесс.
  2. Аппроксимации \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,… \) могут приближаться к другому корню. 3−2x + 2 \).2−2 \). Следовательно,

     \ [x_1 = x_0− \ frac {f (x_0)} {f ′ (x_0)} = 0− \ frac {f (0)} {f ′ (0)} = — \ frac {2} {- 2 } = 1. \ nonumber \]

     На следующем этапе

     \ [x_2 = x_1− \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)} = 1− \ frac {f (1)} {f ′ (1)} = 1− \ frac {1} {1 } = 0. \ nonumber \]

     Следовательно, числа \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,… \) продолжают метаться взад и вперед между \ (0 \) и \ (1 \) и никогда не приближаются к корню \ ( f \), который находится на интервале \ ([- 2, −1] \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). К счастью, если мы выберем начальное приближение \ (x_0 \) ближе к фактическому корню, мы сможем избежать этой ситуации.3−2x + 2, \) пусть \ (x_0 = −1,5 \) и найдем \ (x_1 \) и \ (x_2 \).

     Подсказка

     Используйте уравнение \ ref {Newton}.

     Ответ

     \ (x_1≈ − 1,842105263 \)
     \ (x_2≈ − 1,772826920 \)

     Из примера \ (\ PageIndex {3} \) мы видим, что метод Ньютона не всегда работает. Однако, когда это действительно работает, последовательность приближений очень быстро приближается к корню.Обсуждения того, как быстро последовательность приближений приближается к корню, найденному с помощью метода Ньютона, включены в тексты по численному анализу.

     Другие итерационные процессы

     Как упоминалось ранее, метод Ньютона — это разновидность итеративного процесса. Теперь рассмотрим пример итеративного процесса другого типа.

     Рассмотрим функцию \ (F \) и начальное число \ (x_0 \). Определим последующие числа \ (x_n \) по формуле \ (x_n = F (x_ {n − 1}) \). Этот процесс представляет собой итеративный процесс, который создает список чисел \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,…, \, x_n, \,….* \) по мере увеличения \ (n \), а может и нет. В примере \ (\ PageIndex {4} \) мы видим пример функции \ (F \) и начального предположения \ (x_0 \), так что результирующий список чисел приближается к конечному значению.

     Пример \ (\ PageIndex {4} \): поиск предела для итеративного процесса

     Пусть \ (F (x) = \ frac {1} {2} x + 4 \) и пусть \ (x_0 = 0 \). Для всех \ (n≥1 \) пусть \ (x_n = F (x_ {n − 1}) \). Найдите значения \ (x_1, \, x_2, \, x_3, \, x_4, \, x_5 \). Сделайте предположение о том, что происходит с этим списком чисел \ (x_1, \, x_2, \, x_3, \,…, \, x_n, \,… \) при \ (n → ∞ \).* \) называется неподвижной точкой \ (F \).

     Раствор

     Если \ (x_0 = 0 \), то

     • \ (x_1 = \ frac {1} {2} (0) + 4 = 4 \)
     • \ (x_2 = \ frac {1} {2} (4) + 4 = 6 \)
     • \ (x_3 = \ frac {1} {2} (6) + 4 = 7 \)
     • \ (x_4 = \ frac {1} {2} (7) + 4 = 7,5 \)
     • \ (x_5 = \ frac {1} {2} (7,5) + 4 = 7,75 \)
     • \ (x_6 = \ frac {1} {2} (7,75) + 4 = 7,875 \)
     • \ (x_7 = \ frac {1} {2} (7,875) + 4 = 7,9375 \)
     • \ (x_8 = \ frac {1} {2} (7,9375) + 4 = 7,96875 \)
     • \ (x _9 = \ frac {1} {2} (7.96875) + 4 = 7,984375. \)

     Из этого списка мы предполагаем, что значения \ (x_n \) приближаются к \ (8 \).

     Рисунок \ (\ PageIndex {6} \) предоставляет графический аргумент, что значения приближаются к \ (8 \) при \ (n → ∞ \). Начиная с точки \ ((x_0, x_0) \), проводим вертикальную линию до точки \ ((x_0, F (x_0)) \). Следующее число в нашем списке — \ (x_1 = F (x_0) \). Мы используем \ (x_1 \) для вычисления \ (x_2 \). Поэтому мы проводим горизонтальную линию, соединяющую \ ((x_0, x_1) \) с точкой \ ((x_1, x_1) \) на прямой \ (y = x \), а затем проводим вертикальную линию, соединяющую \ (( x_1, x_1) \) в точку \ ((x_1, F (x_1)) \).Выход \ (F (x_1) \) становится \ (x_2 \). Продолжая таким образом, мы могли бы создать бесконечное количество отрезков линии. Эти отрезки находятся между линиями \ (F (x) = \ frac {x} {2} +4 \) и \ (y = x \). Сегменты линии приближаются к точке пересечения этих двух линий, что происходит, когда \ (x = F (x) \). Решая уравнение \ (x = \ frac {x} {2} +4, \), мы заключаем, что они пересекаются в точке \ (x = 8 \). Следовательно, наше графическое свидетельство согласуется с нашим числовым свидетельством того, что список чисел \ (x_0, \, x_1, \, x_2, \,… \) приближается к \ (x * = 8 \) при \ (n → ∞ \).

     Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Этот итерационный процесс приближается к значению \ (x * = 8. \)

     Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

     Рассмотрим функцию \ (F (x) = \ frac {1} {3} x + 6 \). Пусть \ (x_0 = 0 \) и \ (x_n = F (x_ {n − 1}) \) для \ (n≥2 \). Найдите \ (x_1, \, x_2, \, x_3, \, x_4, \, x_5 \). Сделайте предположение о том, что происходит со списком чисел \ (x_1, \, x_2, \, x_3, \,… \, x_n, \,… \) при \ (n → ∞. \)

     Подсказка

     Рассмотрим точку пересечения прямых \ (y = x \) и \ (y = F (x) \).* = 9 \)

     Итерационные процессы и хаос

     Итерационные процессы могут давать очень интересное поведение. В этом разделе мы видели несколько примеров итерационных процессов, которые сходятся к фиксированной точке. Мы также видели в примере \ (\ PageIndex {4} \), что итерационный процесс колеблется между двумя значениями. Мы называем такое поведение двухцикловым. Итерационные процессы могут сходиться в циклы с различной периодичностью, например, 2 цикла, 4 цикла (где итерационный процесс повторяет последовательность из четырех значений), 8 циклов и так далее.

     Некоторые итерационные процессы приводят к тому, что математики называют хаосом. В этом случае итерационный процесс перескакивает от значения к значению, казалось бы, случайным образом и никогда не сходится или не превращается в цикл. Хотя полное исследование chaos выходит за рамки этого текста, в этом проекте мы рассмотрим одно из ключевых свойств хаотического итеративного процесса: чувствительную зависимость от начальных условий. Это свойство относится к концепции, согласно которой небольшие изменения начальных условий могут привести к совершенно иному поведению в итеративном процессе.

     Вероятно, самым известным примером хаоса является множество Мандельброта (см. Рисунок), названное в честь Бенуа Мандельброта (1924–2010), который исследовал его свойства и помог популяризировать область теории хаоса. Набор Мандельброта обычно создается с помощью компьютера и демонстрирует увлекательные детали увеличения, включая самовоспроизведение набора. Несколько цветных версий набора были показаны в музеях, их можно найти в Интернете и в популярных книгах по этой теме.

     Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Набор Мандельброта — хорошо известный пример набора точек, порожденных итеративным хаотическим поведением относительно простой функции.

     В этом проекте мы используем логистическую карту

     \ [f (x) = rx (1 − x) \]

     , где \ (x∈ [0,1] \) и \ (r> 0 \)

     как функция в нашем итеративном процессе. Логистическая карта — это обманчиво простая функция; но, в зависимости от значения \ (r \), результирующий итерационный процесс демонстрирует очень интересное поведение. Это может привести к фиксированным точкам, циклам и даже хаосу.

     Для визуализации долгосрочного поведения итеративного процесса, связанного с логистической картой, мы будем использовать инструмент, называемый диаграммой паутины.Как мы делали с итерационным процессом, который мы рассмотрели ранее в этом разделе, мы сначала рисуем вертикальную линию от точки \ ((x_0,0) \) до точки \ ((x_0, f (x_0)) = (x_0, x_1 ) \). Затем мы проводим горизонтальную линию от этой точки до точки \ ((x_1, x_1), \), затем проводим вертикальную линию до \ ((x_1, f (x_1)) = (x_1, x_2) \) и продолжаем процесс до тех пор, пока не станет очевидным долгосрочное поведение системы. На рисунке показано долгосрочное поведение логистической карты при \ (r = 3,55 \) и \ (x_0 = 0,2 \). (Первые \ (100 \) итераций не отображаются.) Долгосрочное поведение этого итерационного процесса представляет собой \ (8 \) — цикл.

     Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): здесь представлена ​​паутинная диаграмма для \ (f (x) = 3.55x (1 − x) \). Последовательность значений дает 8-цикл.
     1. Пусть \ (r = 0,5 \) и выберите \ (x_0 = 0,2 \). Либо вручную, либо с помощью компьютера вычислите первые значения \ (10 ​​\) в последовательности. Кажется, что последовательность сходится? Если да, то в какую ценность? Это приводит к циклу? Если да, то какой цикл (например, \ (2 \) — цикл, \ (4 \) — цикл.)?
     2. Что происходит, когда \ (r = 2 \)?
     3. Для \ (r = 3,2 \) и \ (r = 3,5 \) вычислить первые значения последовательности \ (100 \).

        No related posts.