Уравнения дробные примеры: Дробные рациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Внеклассный урок — Целые и дробные рациональные уравнения

Целые и дробные рациональные уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями.

(Напомним: рациональными выражениями называют целые и дробные выражения без радикалов, включающие действия сложения, вычитания, умножения или деления — например: 6x;  (m – n)²; x/3y и т.п.)

 

Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную.

Примеры целого рационального уравнения:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
— = 2x – 10
4

Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным.

Пример дробного рационального уравнения:

      15
x + — = 5x – 17
       x

Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:

1) находят общий знаменатель дробей и умножают на него обе части уравнения; 2) решают получившееся целое уравнение; 3) исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей.

 

Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений.

Пример 1. Решим целое уравнение

x – 1      2x        5x
—— + —— = ——.
   2         3           6

Решение:

Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному:

3(x – 1) + 4x          5х
—————— = ——
            6                 6

Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно опустить. Тогда у нас получится более простое уравнение:

3(x – 1) + 4x = 5х.

Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены:

3х – 3 + 4х = 5х

3х + 4х – 5х = 3

2х = 3

х = 3:2

x = 1,5.

Пример решен.

 

Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение

x – 3     1        x + 5
—— + — = ———.
x – 5     x       x(x – 5)

Решение:

Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак:

 x² – 3х         x – 5            x + 5
———   +  ———    =  ———
 x(x – 5)      x(x – 5)         x(x – 5)

Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

x² – 3x + x – 5 = x + 5

x² – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x² – 3x – 10 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5.

Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения.

При  x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.

При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: x = –2

 

Дробные рациональные уравнения 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 7: Квадратные уравнения

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения) — это уравнения c одной переменной вида
fx=g(x),

где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь с переменной в знаменателе.

В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:

1. Все слагаемые переносим в одну сторону.

2. Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).

3. После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю».

В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

Решить дробно-рациональные уравнения:

1. 4x-2-3x+4=1

   Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   4\(x+4)x-2-3\(x-2)x+4-1\(x-2)(x+4)=0

   4x+4-3x-2-(x-2)(x+4)(x-2)(x+4)=0

   4x+16-3x+6-(x2+4x-2x-8)(x-2)(x+4)=0

   x+22-x2-4x+2x+8(x-2)(x+4)=0

   Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю». Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

   -x2-x+30(x-2)(x+4)=0 ⇔ -x2-x+30=0(x-2)(x+4)≠0

   Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

   (x-2)(x+4)≠0

   x-2≠0; x+4≠0

   x≠2; x≠-4

   Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

   -x2-x+30=0 |∙(-1)

   x2+x-30=0

   Это — квадратное уравнение. Его корни x1=5; x2=-6.

   Оба корня удовлетворяют условиям x≠2; x≠-4.

   Ответ: 5; -6.

2. x+2×2-2x-xx-2=3x

   Замечаем, что знаменатель первой дроби раскладывается на удобные множители: x2-2x=x(x-2).

   Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   x+2\1x(x-2)-x\xx-2-3\(x-2)x=0

   x+2-x2-3(x-2)x(x-2)=0

   x+2-x2-3x+6x(x-2)=0

   -x2-2x+8x(x-2)=0 ⇔ -x2-2x+8=0x(x-2)≠0

   x(x-2)≠0

   x≠0; x≠2 — при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

   -x2-2x+8=0 |∙(-1)

   Из двух корней квадратного уравнения

   x2+2x-8=0

   x1=-4; x2=2 — второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

   Ответ: -4.

3. x2-x-6x-3=x+2

   Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

   x2-x-6\1x-3-x\(x-3)-2\(x-3)=0

   x2-x-6-xx-3-2(x-3)x-3=0

   x2-x-6-x2+3x-2x-6x-3=0

   0xx-3=0 ⇔ 0x=0x-3≠0

   Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ: x≠3.

   Уравнение 0x=0 — частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, которое не входит в множество решений данного уравнения — 3.

   Ответ: x — любое число, кроме 3.

4. 5x-2-3x+2=20×2-4

   Замечаем в знаменателе третьей дроби формулу сокращённого умножения и пользуемся ей для разложения на множители. Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   5\(x+2)x-2-3\(x-2)x+2-20\1x-2x+2=0

   5x+2-3x-2-20(x-2)(x+2)=0

   5x+10-3x+6-20(x-2)(x+2)=0

   2x-4(x-2)(x+2)=0 ⇔ 2x-4=0(x-2)(x+2)≠0

   (x-2)(x+2)≠0

   x≠2; x≠-2 — при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

   2x-4=0

   x=2

   Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.

   Ответ: корней нет.

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

1.5 Решение уравнений, содержащих дроби

РАЗДЕЛ 1.5 Цели обучения

1.5: Решение уравнений, содержащих дроби

• Использование свойств равенства для решения одношаговых уравнений, содержащих дроби
• Очистить дроби в уравнении, а затем решить уравнение
• Решение многошаговых уравнений, содержащих дроби
• Решите основное рациональное уравнение

 

ПОДУМАЙТЕ ОБ ЭТОМ

Можете ли вы определить что бы вы сделали по-другому, если бы вас попросили решить подобные уравнения?

Решите [латекс]\фракция{1}{4} + у = 3[/латекс]. Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы решили это уравнение с дробью.

Показать решение

Использовать свойства равенства для решения одношаговых уравнений, содержащих дроби

Вспомнить свойство сложения равенства из предыдущего раздела

Аддитивное свойство равенства

Для всех действительных чисел a , b и c : Если [латекс]а=b[/латекс], то [латекс]а+с=b+с[/ латекс].

Если два выражения равны друг другу, и вы добавляете одно и то же значение к обеим частям уравнения, уравнение останется равным.

В следующем видео показано, как использовать свойство сложения равенства для решения уравнений с дробями.

 

Выполняя шаги по решению уравнения, вы пытаетесь изолировать переменную. Переменная — это величина, которую мы еще не знаем. У вас есть решение, когда вы получаете уравнение x = некоторое значение.

Вызов свойства равенства умножения из предыдущего раздела

Свойство равенства умножения

Для всех действительных чисел a , b и c : Если a = b , a\cdot{c}=b\cdot{c}[/latex] (или ab = ac ).

Если два выражения равны друг другу и вы умножаете обе части на одно и то же число, полученные выражения также будут эквивалентны.

В следующем примере нас просят решить [латекс]-\frac{7}{2}=\frac{k}{10}[/latex] для k . Мы решим это одношаговое уравнение, используя свойство равенства умножения. Вы увидите, что переменная является частью дроби в данном уравнении, и использование свойства равенства умножения позволяет нам удалить переменную из дроби. Помните, что дроби подразумевают деление, поэтому вы можете думать о [latex]\frac{k}{10}[/latex] как о переменной k делится на 10. Чтобы «отменить» деление, вы можете использовать умножение, чтобы изолировать k . Наконец, обратите внимание, что в уравнении есть отрицательный член, поэтому будет важно подумать о знаке каждого члена, когда вы будете решать задачу. Останавливайтесь после каждого шага, чтобы убедиться, что все термины имеют правильный знак.

Очистить дроби в уравнении, а затем решить уравнение

Иногда вы столкнетесь с многошаговым уравнением с дробями. Если вы предпочитаете не работать с дробями, вы можете использовать свойство равенства умножения, чтобы умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей в уравнении. Это удалит все дроби из уравнения.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель , нужно найти «наименьшее общее кратное» (НОК). Если вам нужен обзор того, как найти LCM, посмотрите видео ниже:

Теперь давайте посмотрим на пример ниже и посмотрим, как мы используем общий знаменатель для очистки дробей перед решением уравнения.

Конечно, если вам нравится работать с дробями, вы можете просто применить свои знания операций с дробями и решить.

Решение многошаговых уравнений, содержащих дроби

В следующем видео мы покажем, как решить многошаговое уравнение с дробями.

Если уравнение содержит скобки, сначала распределите коэффициент перед скобками, а затем очистите дроби. В следующем видео мы покажем пример.

Пример 3

Решите уравнение [латекс]\frac{3}{2}(\frac{5}{9}x + \frac{4}{27})=\frac{32}{9 }[/latex]

Показать ответ

Вот несколько шагов, которые необходимо выполнить при решении многошаговых уравнений.

Этапы решения многошаговых уравнений

1. Упростите каждую часть, удалив круглые скобки и объединив одинаковые члены.

2. (Необязательно) Умножьте, чтобы очистить все дроби или десятичные числа.

3. Добавьте или вычтите, чтобы изолировать переменный термин — возможно, вам придется переместить термин вместе с переменной.

4. Умножьте или разделите, чтобы изолировать переменную.

5. Проверьте решение.

Решение основного рационального уравнения

Рациональные уравнения

Уравнения, содержащие дробные выражения, иногда называются рациональные уравнения . Например, [латекс] \frac{2x+1}{4}=\frac{x}{3}[/latex] является рациональным уравнением. Рациональные уравнения могут быть полезны для представления ситуаций из реальной жизни и для поиска ответов на реальные проблемы. В частности, они неплохо подходят для описания различных пропорциональных отношений.

Разница между линейным уравнением и рациональным уравнением заключается в том, что рациональные уравнения могут иметь многочлены в числителе и знаменателе дробей. В следующих примерах мы очистим знаменатели рационального уравнения от члена, имеющего полином в числителе. Примечание. Мы обсудим многочлены более подробно в следующем модуле. В следующем примере [латекс]{х+5}[/латекс] — полином, о котором идет речь.

В следующем примере мы покажем, как решить рациональное уравнение с переменными в обеих частях уравнения.

Урок 13: Уравнения дробей — Алгебра II 2011-2012

Цели К концу этого урока учащийся должен уметь: решать уравнения и неравенства с дробными коэффициентами решать дробные уравнения   Уравнения и неравенства с дробными коэффициентами Последние несколько разделов мы потратили на сложение, вычитание, умножение. и разделительные выражения. Здесь мы собираем все это вместе, чтобы решить уравнения. Вы можете быть немного напуганы перспективой работы проблемы, которые вытекают из нескольких уроков, но верят в то, что вы научился пока. По мере решения задач вы вспомните знакомые такие стратегии, как умножение на знаменатель для удаления дробей, умножение на -1, чтобы избавиться от отрицательного ведущего члена и т. д. Рассмотрим несколько примеров задач с дробными коэффициентами. Помните, чтобы решить эти проблемы, вы должны сначала найти ЖК-дисплей (как минимум общий знаменатель). Пример 1:   Решить: х 2 — 5x = 2 4 6 3 Нам нужно найти ЖКИ, делящиеся на 4, 6 и 3. ЖКИ 12, значит умножаем все уравнение на 12: 3x 2 — 10x = 8 Теперь решаем, приравняв одну сторону к нулю и разложив на множители: 3x 2 — 10x — 8 = 0 (3x + 2)(x — 4) = 0 х = (-2/3) или х = 4 Пример 2: Решить: х 2 — 2 > 5x 2 6 Здесь мы делаем то же самое, что и раньше, умножая на 6 (ЖК-дисплей) на исключить дроби: 3x 2 — 12 > 5x Установить одну сторону равной нулю и коэффициент: 3x 2 — 5x — 12 > 0 (3x + 4)(x — 3) > 0 х = (-4/3) и х = 3 Теперь нам нужно проверить точку из каждого из трех интервалов (менее чем (-4/3), между (-4/3) и 3 и больше 3) и определить где выражение положительное. Если мы подставим -2, мы получим два отрицательных множителя, поэтому выражение положительный. Если мы подставим 1, мы получим один положительный и один отрицательный множитель, поэтому выражение отрицательное. Если мы подставим 4, мы получим два положительных множителя, поэтому выражение положительный. Итак, наше решение x < (-4/3) ИЛИ x > 3. Теперь давайте рассмотрим некоторые текстовые задачи. Пример 3: Найдите число, если 20% от 75% числа равно 30. Если число равно х, то 20% от 75% от х = 30. .2(0,75x) = 30 .15x = 30 х = 200 Пример 4: Один маляр может покрасить дом за 24 часа. Другой художник может рисовать это за 16 часов. За какое время они покрасят дом, если работать вместе? Если разбить скорость на доли окрашенного дома за час, мы можем составить уравнение, используя t, общее время (в часов), необходимых для покраски дома. Маляр 1 покрасит (1/24) дома за час, а маляр 2 покрасит (1/16) дома за час. Таким образом, ставки, по которым они краска будет (1/24)t и (1/16)t соответственно. Теперь числа (1/24) и (1/16) обозначают количество домов окрашены в то время т.к. Так как они красят 1 дом, мы устанавливаем уравнение, равное 1: (1/24)t + (1/16)t = 1 Теперь мы можем умножить на LCD (48), чтобы избавиться от дробей: 2т + 3т = 48 5т = 48 т = (48/5) часов Итак, у маляров ушло бы 9 и (3/5) часов. Если мы думаем об этом, это значение имеет смысл, потому что если есть два маляра, они должны рисовать более чем в два раза быстрее, чем более медленный рисовальщик (12 часов) но медленнее, чем в два раза быстрее, чем быстрый художник (8 часов). Наш ответ падает между 8ч и 12ч. Пример 5: Сколько 80% спиртового раствора нужно добавить к 300 мл 20% спирта? спиртовой раствор, чтобы сделать окончательный раствор 40% спирта. (Примечание: 20% спиртовой раствор означает, что раствор содержит 20 % спирта и 80 % воды). Примем за «a» количество использованного 80% раствора. Мы знаем, что мы есть 300 мл 20% раствора. Мы также знаем, что полное решение равно 300 мл + а, а количество спирта в этом растворе составляет 0,40 (300 + а). Теперь мы можем составить уравнение: 0,80а + 0,20(300) = 0,40(300 + а) Теперь находим: 0,80а + 60 = 120 + 0,40а .40а + 60 = 120 .40а = 60 а = 150 мл Практическая задача 1: Решить: х 2 + х — 1 = 0 9 10 Практическая задача 2: Решить: г 2 + 4 + у + 1 < 3 6 3 2 Практическая задача 3: Кайл ехал со скоростью 75 км/ч, пока у него не сломалась коробка передач, и ему пришлось оставшуюся часть пути ехать со скоростью 45 км/ч. Если общий путь составил 150 км и 2 часа 40 минут, какое расстояние он проехал на каждой скорости? Практическая задача 4: Химик хочет получить 1,8 л 10% раствора кислоты путем смешивания 7,5% и 12% раствор. Какое количество каждого раствора нужно использовать?   Дробные уравнения Дробные уравнения — это те, которые содержат переменную в знаменатель. Мы упростили выражения, подобные этим в предыдущем уроки, так что здесь мы просто сделаем еще один шаг, чтобы решить уравнения и проблемы со словами. Опять же, ключом к решению этих уравнений является избавление от дроби. В этих задачах мы умножаем обе части уравнения на любые знаменатели. Кроме того, не забывайте обращать внимание на невозможные значения (например, те, которые делают знаменатель равным нулю). давайте посмотрим на некоторые Примеры. Пример 6: Решить: х + 1 = х — 1 2x 2x — 1 Прежде всего, обратите внимание, что x ¹ 0 или (1/2), потому что любое из этих значений поставило бы нуль в знаменатель. Умножьте обе части уравнения на 2x: х + 1 = 2x(x — 1) 2x — 1 Теперь умножьте на второй знаменатель: (2x -1)(x + 1) = 2x(x — 1) Умножить, объединить одинаковые члены и найти x: 2x 2 + x -1 = 2x 2 — 2x 3x — 1 = 0 3x = 1 х = (1/3) Пример 7: Упрощение: 2 = 2 — х х 2 + 3х — 4 3x + 12 х — 1 Сначала разложим на множители первый знаменатель, чтобы найти любой невозможные значения для x. 2 = 2 — х (х + 4)(х — 1) 3x + 12 х — 1 Теперь мы видим, что x ¹ -4 или 1. Теперь давайте умножим на каждый знаменатель, чтобы избавиться от дробей. Сначала умножьте на (x — 1): 2 = 2(х — 1) — х (х + 4) 3(х + 4) Умножить на 3(х + 4): 6 = 2(х — 1) — 3х(х + 4) Умножить и объединить одинаковые члены: 6 = 2x — 2 — 3x 2 — 12x 6 = -2 — 3x 2 — 10x Установить одну сторону равной нулю и переставить: 0 = -8 — 3x 2 — 10x 0 = -3x 2 — 10x — 8 Умножьте на -1, чтобы удалить отрицательный знак из ведущего члена: 0 = 3x 2 + 10x + 8 Фактор и решение для x: (3x + 4)(x + 2) = 0 х = -2, (-4/3) Пример 8: Лодка движется против течения 60 км в водоворот со скоростью 5 км/ч. ток и обратно через 5 часов. Какова скорость лодки в неподвижном состоянии вода? Лодка движется с фиксированной скоростью, которую мы назовем с. Если лодка движется против течения, течение работает против скорости лодки, что делает его s — 5. Если лодка движется вниз по течению, течение работает со скоростью лодки, то есть s + 5. Помните, что расстояние равно скорость умножить на время: d = s · t Мы можем решить эта формула для времени: t= d ÷ с Общее время 5 часов, т.е. В первом случае d = 60 и с = (с — 5). Во втором случае d = 60 и s = (s + 5). Наша формула выглядит так: 60 + 60 = 5 (с — 5) (с + 5) Умножить на оба знаменателя: 60(с + 5) + 60(с — 5) = 5(с + 5)(с — 5) Умножить и объединить одинаковые члены: 60 с + 300 + 60 с — 300 = 5 с 2 — 125 120 с = 5 с 2 -125 Установить одну сторону равной нулю: 5 с 2 — 120 с — 125 = 0 Разделить обе части на 5: с 2 — 24 с — 25 = 0 Фактор и решение: (с — 25) (с + 1) = 0 с = -1 или 25 Поскольку у нас не может быть отрицательной скорости, s = 25 км/ч. Практическая задача 5: Решить: х = х + 2 х — 1 х Практическая задача 6: Упрощение: 3 — 1 = 1 х + 1 х — 2 х 2 — х — 2 Чтобы решить практическую задачу 7, вам нужно будет использовать следующую информацию о неравенствах. Помните, что на меньше 9. 0036 б тогда и только тогда, когда б — а положительный. Это записывается в следующем виде. а < б Кроме того, необходимо использовать следующий факт. Если a < b и аб > 0, затем 1  > 1   и б   Утверждение ab > 0 указывает, что a и b оба имеют один и тот же знак. Они либо оба положительные, либо оба отрицательный. Практическая задача 7: Найдите два положительных числа, которые отличаются на 8 и чьи обратные числа отличаются на (1/6). Практическая задача 8: Маляр может вручную покрасить дом за 60 часов. У другого художника распылитель. Вместе два маляра могут покрасить дом за 15 часов. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт