«Решение линейных уравнений, содержащих формулы сокращенного умножения»
Цели урока:
- Обработка рациональных приёмов решения уравнений.
- Выработка умения решения задач.
- Развитие элементов творческой деятельности учащихся и умения контролировать свои действия.
- Повторение решения уравнений.
Оборудование: печатные бланки, таблица.
Тип урока: урок- семинар комплексного применения знаний, умений и навыков.
План урока.
1.Организационный момент. Сообщается план
семинара.
2.Сообщение по теме « Уравнение»
3. Решение линейных уравнений.
4.Сообщение о формулах сокращённого умножения.
(Работа у доски и по карточкам.)
а) Решение уравнений, содержащих квадрат суммы.
б) Решение уравнений, содержащих квадрат
разности.
в) Решение квадратных уравнений, содержащих
разность квадрата.
г) Решение уравнений, содержащих несколько формул.
5. Решение задачи.
6. Творческая работа учащихся.
7. Подведение итогов урока.
Ход урока.
1.Вступительное слово учителя.
Один начинающий волшебник, герой шуточной
песенки, неумело обращался с заклинаниями, в
результате вместо грозы у него получилась коза, а
вместо утюга слон. Чтобы решить уравнение, тоже
нужно совершить ряд превращений (алгебраических
преобразований) и делать их нужно очень
осмотрительно. Сегодня мы ещё раз увидим, какая
удивительная сила заключена в формулах
сокращённого умножения и как ловко они работают
при решении уравнений.
Прежде всего, нужно чётко понимать, чем вы
занимаетесь, когда решаете уравнение. Что,
значит, решить уравнение и нужно знать, что
главная задача при решении любого уравнения -
свести его к простейшему.
2. Сообщение по теме «Уравнение»
3. Решение линейных уравнений у доски (учащиеся класса записывают решения в тетрадях)
| а) 2-3(x+2)=5-2x; 2-3x-6=5-2x, -3x+2x=5-2+6 -x =9 x=-9 Ответ:-9. |
б) 20+4(2x-5)=14x+12 20+8x-20=14x+12, 8x-14x=12, -6x=12, x=-2, Ответ: -2. |
Решение уравнений по карточкам.
в) 4(2-3x)+7(6x+1)-9(9x+4)=30
г) 3-5(x+1)=6-4x.
Сообщение №2.
Слово о формулах.
4. Решение уравнений, содержащих квадрат суммы и квадрат разности.
а) x+(5x+2)2 =25(1+x2).
б) (x-6)2-x(x+8)=2.
Решение уравнений по карточкам.
г) x(x-1)-(x-5)2=2.
5. Решение уравнений, в которых содержится
формула разности квадратов.
Работа у доски.
8x(1+2x)-(4x+3)(4x-3)=2x.
8x+16×2-(16×2-9)=2x,
8x+16×2-(16×2-9)=2x,
8x+16×2-16×2+9=2x,
8x-2x=-9,
6x=-9,
x=-1,5
Ответ: -1,5
Решение задачи.
Сторона первого квадрата на 2см. больше стороны
второго, а площадь первого на 12 см больше площади
второго. Найдите периметры этих квадратов.
Пусть x см сторона второго квадрата. Тогда(x+2) см
сторона первого квадрата. Площадь первого (x+2)2см2,а
площадь второго x2.
Составляем уравнение:
(x+2)2-x2=12
x2+4x+4-x2=12,
4x=12-8,
4x=8,
x=2.
Если x=2,то 4x=4*2=8
Если x=2, то 4(x+2)=4(2+2)=16.
6. Решение разных уравнений, содержащих формулы сокращённого умножения.
а) (2х+3)2-4(х-1)(х+1)=49
б) (x-4)(x+4)+(3x-4)(x+2)=(2x+3)2
7. Творческая работа учащихся. Заполнение
таблицы.
Узнайте фамилию величайшего математика XVII
века. Для этого зачеркните
буквы, не связанные с найденными ответами.
(Декарт)
| -9 | 8,2 | -2 | 3,4 | 1 | 3,1 | 1,7 | 15 | -1,5 | 17 | 11 | 3 |
| Д | П | Е | Ф | К | С | А | И | Р | Г | Ш | Т |
Приложение к уроку.
Решение линейных уравнений.
| 4(2-3x)+7(6x+1)-9(9x+4)=30 8-12x+42x+7-81-36=30, 51x-21=30, 51x=51 x=1 Ответ: 1. |
3-5(x+1)=6-4x, 3-5x-5=6-4x, -5x+4x=6-3+5, -x=8x= -8. Ответ:-8. |
Решение уравнений, содержащих квадрат суммы и квадрат разности.
| x+(5x+2)2=25(1+x2) x+(25x2+20+4)=25(1+x2) x+25x2+20x+4=25+25x2, 21x+25x2-25x2=25-4, 21x=21 x=1 Ответ:1. |
(x -6)2-x(x+8)=2 x2-12x+36-x2-8x=2 -20x=2-36, -20x=-34, x=1,7 Ответ: 1,7. |
Работа по карточкам.
| (2-x)2-x(x+1,5)=4,
4-4x+x2-x2-1,5x=4, -4x-1,5x=4-4, -5,5 x=0 Ответ:0. |
x(x-1)-(x-5)2=2 x2-x-(x2-10x+25)=2, x2-x-x2+10x-25=2 9x=27 x=3 Ответ: 3. |
Решение разных уравнений содержащих несколько формул сокращённого умножения.
| (x-4x)+(x+4)+(3x-4)(x+2)=(2x+3) x2-16+3x2+6x-4x-8=4x2+12x+9 -10x=33 x=-3,3 Ответ:3,3. |
( 2x+3)2-4(x-1)(x+1)=49 4x2+12x+9-4(x2-1)=49 4x2+12x+9-4x2+4=49 12x+13=49 12x=36 X=3 Ответ: 3. |
8. Подведение итогов урока.
Приложение.
Контрольная работа.
УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Паритов А. А. 1
1
Москвитина Т.Л. 1
1МКОУ «СОШ №32» г. Нальчика
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
В школьном курсе алгебры решаются уравнения второго порядка, а также биквадратные уравнения. Некоторые уравнения решаются способом замены переменной или целого выражения, входящего в уравнение. Однако существуют уравнения высших порядков, к которым эти способы не применимы. Появилась гипотеза: существует способырешения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям, которые расширят множество способов, изучаемых в школьной программе.
Объект исследования — алгебра, предмет исследования – методы решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям.
Цель: убедиться в том, что существуют способы решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям, основанные на законах алгебры.
Задачи:
-
-
Убедить в том, чтознание формул сокращенного умножения позволяет решить уравнения, приведением их к виду квадратных уравнений.
-
При возможности решить уравнение несколькими способами и сравнить эти способы.
-
Распространить приобретенный опыт в решении уравнений с помощью формул сокращённого умножения среди учащихся среднего и старшего звена лицея.
ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Некоторые уравнения удаётся решить, используя метод введения новой переменной. Уравнение вида называют биквадратными. Биквадратное уравнение можно решить, используя подстановку . Подсказкой для такой подстановки является само уравнение.
В некоторых других случаях уравнения также удаётся решить с помощью введения новой переменной, но найти подстановку бывает сложнее.
Решим уравнение
Если записать его в стандартном виде, то получится уравнение: для которого трудно найти какой-либо способ решения.
Поступим иначе. Заменим многочленом произведение первого и четвертого множителей, а также второго и третьего. Получим:
В левой части дважды встречается выражение , причём переменная ни в какое другое выражение не входит. Введём новую переменную . Тогда уравнение сводится к уравнению с переменной :
Упростив его, получим:
Решив это уравнение, найдём
Подставив найденные значения в равенство :
или
Уравнение не имеет корней, а уравнение имеет два корня: -3,5 и 1,5.
Ответ: -3,5; 1,5.
ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнения, которые решаются с помощью «достраивания» до квадрата двучлена.
Пример 1. Решить уравнение
Решение.
1 способ.2 способ.
Пусть
Тогда получаем уравнение:
Возвращаясь к подстановке, решая уравнения
Получаем решения исходного уравнения:
Ответ:
Первый способ решения является рациональным.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Ответ:
Пример 3. Решить уравнение
Решение. ОДЗ:
Ответ:
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 5. Решить уравнение
Решение.
1 способ.
2 способ.
Пусть
Тогда
Значит,
Ответ:
Последнее уравнение можно было привести к квадратному уравнению относительно второго множителя. Стоит отметить, что второй способ, рассматриваемый в школьном учебнике более рационален.
Пример 6. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Рассмотрим уравнения, которые решаются путём деления обеих частей уравнения на степень, при этом учитывается ОДЗ:
Пример 7. Решить уравнение
Решение.
После умножения крайних скобок и внутренних скобок, поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Пример 8. Решить уравнение
Решение.
Поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Пример 9. Решить уравнение
Решение.
Поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Пример 10. Решить уравнение
Решение.
Поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Пример 11. Решить уравнение
Решение.
Поделим обе части уравнения на одночлен
Ответ:
Рассмотрим уравнения, решаемые с помощью формулы сокращенного умножения разность/сумма кубов и разложения на множители.
Пример 12. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 13. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Далее уравнения будут решены с помощью формулы разность квадратов двух выражений.
Пример 14. Решить уравнение
Решение.
Ответ: .
Пример 15. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 16. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Уравнения будут решены с помощью приведения к сумме квадратов выражений.
Пример 17. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 18. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 19. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Алгоритм решения квадратных уравнений прост и понятен и используется практически во многих примерах и задачах. Однако, трудно об этом говорить, имея уравнения третьей, четвертой и более высоких степеней. В тех из них, где можно привести к виду квадратного уравнения следует тщательно потрудиться. Во многих случаях это приводит к нахождению решения уравнения.
Уравнения были решены с помощью формул сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы/разности двух выражений, сумма/разность кубов двух выражений, а также в отдельных случаях применялась сумма квадратов и деление обеих частей уравнения на одночлен
Из рассмотренных в работе уравнений только два удалось решить двумя способами, причем в одном случае рациональным оказался способ с применением формулы сокращенного умножения, а во втором — традиционный способ замены переменной. Еще раз убеждаемся в том, что знание формул сокращенного умножения позволяет решать многие разнообразные по виду уравнения, содержащие и радикалы, и знак модуля и степени переменной выше второй.
В ходе учебного занятия кружка 8 класса «Решение уравнений» после представления наработанного материала были предложены для решения следующие уравнения:
1 уравнение выбрали и решили вышеуказанным способом 26% респондентов (33 учащихся, возраст 14-17 лет), 2 – выбрали 30%, но пришли к верному ответу 12%, последнее уравнение решили правильно 34% оставшихся учащихся. Стоит отметить, что учащиеся 10 класса (12 учащихся) решали третье уравнение D-методом, который изучали на элективном курсе.
Занятие показало актуальность выбранной темы исследования, так как уравнения решаются не только на уроках математики, но и на уроках других предметов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра, 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк., К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов – Москва: Мнемозина, 2010. – 384 с.
Просмотров работы: 3570
Умножить столбец чисел на одно и то же число
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel для Windows Phone 10 Дополнительно…Меньше
Предположим, вы хотите умножить столбец чисел на то же число в другой ячейке. Хитрость умножения столбца чисел на одно число заключается в добавлении символов $ к адресу ячейки этого числа в формуле перед копированием формулы.
В приведенном ниже примере таблицы мы хотим умножить все числа в столбце A на число 3 в ячейке C2. Формула =A2*C2 даст правильный результат (4500) в ячейке B2. Но копирование формулы вниз по столбцу B не сработает, потому что ссылка на ячейку C2 изменится на C3, C4 и так далее. Поскольку в этих ячейках нет данных, результат в ячейках с B3 по B6 будет равен нулю.
Чтобы умножить все числа в столбце A на ячейку C2, добавьте символы $ к ссылке на ячейку следующим образом: $C$2 , что вы можете увидеть в примере ниже.
Использование символов $ сообщает Excel, что ссылка на C2 является «абсолютной», поэтому при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку C2. Чтобы создать формулу:
В ячейке B2 введите знак равенства (=).
Щелкните ячейку A2, чтобы ввести ячейку в формулу.
Щелкните ячейку C2, чтобы ввести ячейку в формулу.
Теперь введите символ $ перед C и символ $ перед 2: $C$2 .
Нажмите Enter.
Введите звездочку (*).
Совет: Вместо того, чтобы вводить символ $, вы можете поместить точку вставки до или после ссылки на ячейку, которую вы хотите сделать «абсолютной», и нажать клавишу F4, чтобы добавить символы $.
Теперь вернемся немного назад, чтобы увидеть простой способ скопировать формулу вниз по столбцу после того, как вы нажмете Enter в ячейке B2.
Выберите ячейку B2.
Дважды щелкните маленький зеленый квадратик в правом нижнем углу ячейки.
Формула автоматически копируется вниз по ячейке B6.
И с скопированной формулой столбец B возвращает правильные ответы.
Excel XP: Создание сложных формул
Урок 6: Создание сложных формул
/en/excelxp/creating-simple-formulas/content/
Введение
К концу этого урока вы должны уметь:
- Создание сложных формул
- Ввод формулы в другую ячейку
- Копирование и вставка формулы в другую ячейку
- Изменение формулы
- Создание абсолютной ссылки
Сложные формулы определены
Простые математические формулы имеют одну. Сложные формулы включают более одной математической операции.
Порядок математических операций важен. Если вы вводите формулу, содержащую несколько операций, таких как сложение, вычитание и деление, Excel XP выполняет эти операции в определенном порядке. Порядок операций:
- Операции, заключенные в скобки
- Экспоненциальные вычисления (в степени)
- Умножение и деление, в зависимости от того, что наступит раньше
- Сложение и вычитание, в зависимости от того, что наступит раньше
Используя этот порядок, посмотрим, как формула 120 /(8-5)*4-2 вычисляется на следующем рисунке:
Рассмотрим другой пример:
2*(6-4) =?
Ответ 8 или 4? Если вы проигнорируете круглые скобки и подсчитаете в порядке появления чисел, 2*6-4, вы получите неправильный ответ, 8. Вы должны следовать порядку операций, чтобы получить правильный ответ.
Чтобы вычислить правильный ответ:
- Вычислите операцию в скобках (6-4), где ответ равен 2.
- Умножьте ответ, полученный на шаге 1, т.е. 2, на число 2*, которое открыло уравнение. Другими словами, умножьте 2*2.
- Ответ: 4.
При использовании формул со ссылками на ячейки результаты меняются каждый раз, когда редактируются числа .
В Excel никогда не занимайтесь математикой в уме и не вводите ответ в ячейку, где вы ожидаете, что формула вычислит ответ.
Определены сложные формулы
Прежде чем двигаться дальше, давайте рассмотрим еще несколько формул, чтобы убедиться, что вы понимаете порядок операций, с помощью которых Excel вычисляет ответ.
| 5*3/2 | Умножьте 5*3 перед выполнением операции деления, поскольку знак умножения стоит перед знаком деления. Ответ: 7,5 . |
| 5/3*2 | Разделите 5/3 перед выполнением операции умножения, потому что знак деления стоит перед знаком умножения. Ответ 3.333333 . |
| 5/(3*2) | Сначала выполните операцию в скобках (3*2) и разделите 5 на этот результат. Ответ: 0,833333 . |
| 5+3-2 | Добавьте 5+3 перед выполнением операции вычитания, потому что знак сложения стоит перед знаком вычитания. Ответ: 6 . |
| 5-2+3 | Вычтите 5-2 перед выполнением операции сложения, поскольку знак вычитания стоит перед знаком сложения. Ответ 6 . |
| 5-2*3 | Умножьте 2*3 перед выполнением операции вычитания, поскольку знак умножения имеет более высокий порядок, чем знак вычитания. Ответ: -1 . |
| (5-2)*3 | Сначала выполните операцию в скобках (5-2), а затем умножьте на 3. Ответ: 9 . |
Создание сложных формул
Excel XP автоматически следует стандартному порядку операций в сложной формуле. Если вы хотите, чтобы определенная часть формулы вычислялась первой, поместите ее в круглые скобки.
Если бы мы хотели, например, сложить содержимое ячеек B2 и B3, затем взять этот ответ и умножить его на данные в ячейке A4, нам нужно было бы определить следующую формулу: =(B2+B3)* А4 .
- Введите числа, которые вы хотите рассчитать.
- Щелкните ячейку, в которой вы хотите, чтобы формула отображала результат .
- Введите знак равенства (=), чтобы Excel знал, что формула определяется.
- Введите открывающую скобку или (.
- Щелкните первую ячейку , которая будет включена в формулу (например, ячейка B2).
- Введите знак добавления (+) , чтобы Excel знал, что необходимо выполнить операцию добавления.
- Щелкните вторую ячейку в формуле. Эталон B3 отображается там, где вы хотите получить результат.
- Завершите операцию B2+B3, добавив закрывающую скобку или ).
- Введите следующий математический оператор или символ умножения (*) , чтобы Excel знал, что должна быть выполнена операция умножения.
- Щелкните третью ячейку , которая будет включена в формулу, ячейка A4.
- Нажмите Введите или нажмите кнопку Ввод в строке формул, чтобы завершить формулу.
Попробуйте изменить одно из значений в формуле и посмотрите, как изменится ответ на формулу.
Excel не всегда будет сообщать вам , если ваша формула содержит ошибку, поэтому вы должны проверить все свои формулы. Чтобы узнать, как это сделать, прочитайте урок «Перепроверьте свои формулы» из нашего учебника по формулам Excel.
Заполнение формулами других ячеек
Иногда вы пишете формулу, которая используется в различных местах рабочего листа. Например, электронная таблица может содержать несколько столбцов чисел. Каждый столбец будет содержать формулу, которая складывает все числа в нем. Вы можете написать формулу несколько раз, по одному разу в каждом столбце, или скопировать и вставить ее в каждый столбец. Метод заполнения формулы позволяет копировать формулу и заполнять ею множество разных ячеек одновременно.
При наведении указателя мыши на маркер заполнения или квадратную рамку в правом нижнем углу ячейки указатель мыши принимает вид черного перекрестия.
Чтобы использовать маркер заполнения для копирования формулы в соседнюю ячейку:
- Щелкните ячейку, содержащую формулу, которую необходимо скопировать.
- Наведите указатель мыши на маркер заполнения.
- Нажмите и удерживайте левую кнопку мыши, затем перетащите содержимое в ячейку, которая получит формулу заполнения.
- Отпустите кнопку мыши.
- Выберите параметр Копировать ячейки в раскрывающемся меню формулы заполнения.
Ссылки на ячейки в формуле автоматически обновляются, когда формула копируется в другие ячейки электронной таблицы.
Вы также можете копировать и вставлять формулы в другие ячейки. Это обсуждается на следующей странице.
Копирование и вставка формул
Процесс копирования и вставки формулы идентичен процессу копирования и вставки текста.
Чтобы скопировать и вставить формулу:
- Выберите ячейку, содержащую формулу, которую вы хотите скопировать.
- Нажмите кнопку Копировать . Марширующие муравьи появляются вокруг скопированных ячеек.
- Выберите ячейку, в которую будет вставлена скопированная формула.
- Нажмите клавишу Enter . Формула копируется в новое место.
Проверка формул
Вы можете пересмотреть любую формулу, которая ранее была записана на листе.
Чтобы изменить формулу с помощью клавиатуры:
- Дважды щелкните ячейку, содержащую формулу, которую вы хотите изменить.
- Теперь курсор может перемещаться влево и вправо между значениями формулы в ячейке B5.
- Внесите необходимые изменения в формулу.
- Нажмите клавишу Enter или нажмите кнопку Enter, чтобы принять новую формулу.
Создание абсолютной ссылки
В предыдущих уроках мы видели, как ссылки на ячейки в формулах автоматически адаптируются к новым местоположениям, когда формула вставляется в другие ячейки.
Иногда при копировании и вставке формулы вы не хотите изменять одну или несколько ссылок на ячейки. Абсолютные ссылки решают эту проблему. Абсолютные ссылки на ячейки в формуле всегда относятся к одной и той же ячейке или диапазону ячеек в формуле. Если формула копируется в другое место, абсолютная ссылка остается прежней.
Абсолютная ссылка обозначается в формуле добавлением знака доллара ($). Он может предшествовать ссылке на столбец, ссылке на строку или и той, и другой. Примеры абсолютной ссылки включают:
| $A$2 | Столбец и строка не изменяются при копировании. |
| A$2 | Строка не изменяется при копировании. |
| $A2 | Столбец не изменяется при копировании. |
Чтобы создать абсолютную ссылку:
- Введите числа, которые вы хотите рассчитать (например, 34 567 в ячейке B2 и 1 234 в ячейке B3).
- Создайте простую формулу (=B2+B3).
- Чтобы создать абсолютную ссылку в формуле, вставьте значение $ перед B (ссылка на столбец) и 2 (ссылка на строку) в ссылке на B2, чтобы новая формула читалась как =$B$2+B3 .
- Скопируйте и вставьте формулу в соседнюю ячейку. Формула теперь включает абсолютную ссылку на B2: =$B$2+D3.
Вызов
- Введите следующую информацию:
В ячейке A1 введите 12345 .
В ячейке A2 введите 15865 .
В ячейке B1 введите 9347 .