Уравнения с переменной: Уравнения с одной переменной

5) Это задача с одной переменной, которую можно решить одним из двух способов: либо сначала распределить, а затем решить, либо решить без распределения. Здесь мы пройдем оба пути.

Решить с распределением:

$9(x — 9) = -11$

Сначала распределите число 9 по выражению $(x — 9)$

$9(x) — 9(9) = -11$

$9x — 81 = -11$

Теперь, как обычно, изолируйте свой переменный член.

$9x — 81 + 81 = -11 + 81$

$9x = 70$

И, наконец, изолируйте свою переменную.

$9x = 70$

${9x}/9 = 70/9$

Итак, наш окончательный ответ: E , 70/9.

В качестве альтернативы вы можете решить эту проблему без необходимости распределять свои 9через выражение (x — 9)

Решить без распределения:

$9(x — 9) = -11$

Разделить каждую сторону на 9

${9(x — 9)}/9 = — 11/9$

$x — 9 = -11/9$

Теперь мы должны добавить 9 к каждой стороне.

$x — 9 + 9 = -11/9 + 9$

$x = -11/9 + 9$

Чтобы сложить $-11/9$ и 9, мы должны привести их к общему знаменателю . Опять же, ознакомьтесь с руководством по дробям и отношениям, если этот процесс вам незнаком.

$x = -11/9 + 9/1(9/9)$

$x = -11/9 + 81/9$

$x = 70/9$

Итак, снова наш ответ Е , 70/9.

Фу! Я думаю, это требует десерта.

Выводы

Отдельные вариации составляют основу многих других задач ACT. Зная, как работать с такими выражениями, вы сможете использовать эти методы для решения гораздо более сложных задач и уравнений.

Не забывайте всегда выполнять одно и то же действие с каждой частью уравнения и сохраняйте изоляцию вашей переменной напоследок. Теперь возьмите свое знание одной переменной и покорите остальные наши математические руководства. У вас есть это.

Что дальше?

Вы построили свою математическую базу и теперь хотите браться за новые. Прежде чем приступить к другому руководству по математике ACT, убедитесь, что у вас есть хорошее представление обо всех темах, затронутых в математике ACT.

Думаете, вам может понадобиться репетитор? Ознакомьтесь с лучшими способами поиска репетитора, который соответствует вашим потребностям, онлайн или лично.

Сдали пробный тест и не знаете, как поступить в школу? Убедитесь, что у вас есть четкое представление о том, каким на самом деле является ваш идеальный результат.

И если вы чувствуете, что разбираетесь в самой математике, но испытываете затруднения со временем , обязательно ознакомьтесь с нашей статьей о том, как остановить нехватку времени на ACT.

Хотите улучшить свой результат ACT на 4 балла?

Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к ACT. Мы гарантируем возврат ваших денег если вы не улучшите свой балл ACT на 4 балла или более.

Наша программа полностью онлайн, и она настраивает то, что вы изучаете, в соответствии с вашими сильными и слабыми сторонами. Если вам понравился этот урок математики, вам понравится и наша программа.  Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по отдельным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую программу, чтобы вы никогда не запутались в том, что изучать дальше.

Ознакомьтесь с нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

У вас есть друзья, которым также нужна помощь в подготовке к экзаменам? Поделись этой статьей!

Кортни Монтгомери

Об авторе

Кортни набрала 99-й процентиль по SAT в старшей школе и закончила Стэнфордский университет со степенью в области культурной и социальной антропологии. Она увлечена тем, чтобы предоставить образование и инструменты для достижения успеха учащимся из всех слоев общества и слоев общества, поскольку она считает, что открытое образование является одним из величайших социальных уравнителей. Имеет многолетний опыт репетиторства, в свободное время пишет творческие работы.

Переменные, выражения и уравнения

Обзор

[Вернитесь к началу страницы]

Алгебра — это решение математических задач с использованием уравнений . Уравнение (в контексте алгебры) — это утверждение, в котором говорится, что два выражения равны друг другу по значению. Выражение (за исключением, очевидно, того, что оно является половиной уравнения) представляет собой математическую строку, которая может состоять из одного числа или переменной, или набора чисел, переменных и математических операторов, расположенных таким образом, что ее можно оценивается для получения некоторого результата. А переменная — это то, что используется для представления неизвестной величины в уравнении. Если смотреть с несколько иной точки зрения, числа, переменные и операторы являются основными строительными блоками, из которых строятся алгебраические выражения и, следовательно, уравнения. В следующих разделах каждый из этих терминов объясняется немного подробнее, а также приводится несколько примеров, которые, как мы надеемся, прояснят их значение.

Переменные

[Вернитесь к началу страницы]

Переменная — это заполнитель , представляющий число или величину, значение которой изначально неизвестно. В алгебре буквы x и y обычно используются в качестве имен переменных, хотя могут использоваться любые буквы или символы. Имя, выбранное для переменной, часто зависит от типа решаемой задачи. Например, в уравнении, описывающем процесс, происходящий в течение некоторого (неизвестного) периода времени, мы могли бы использовать букву 9.0016 t для представления значения прошедшего времени в секундах. В более сложных уравнениях вполне может быть две или более переменных одного типа. Мы могли бы, например, захотеть найти время, прошедшее в течение двух отдельных стадий одного и того же процесса. В этой ситуации мы могли бы использовать имена переменных t ₁ и t ₂ для представления двух периодов времени (обратите внимание на использование номеров с индексами).

Имя переменная подразумевает, что неизвестная величина, к которой относится переменная, может изменяться. Хотя это часто верно (например, для координат x и y , которые описывают точки на графике), существует множество примеров уравнений, в которых значение неизвестной величины не изменяется независимо от других задействованных значений. . В этом отношении переменная фактически может рассматриваться как константа (количество, имеющее постоянное значение). Мы используем термин переменная здесь больше для обозначения того факта, что мы можем присвоить переменной разные значения, хотя уравнение фактически будет истинным только для одного из этих значений (или в некоторых случаях для двух, но мы вернемся к этому в другом месте). Термин константа обычно зарезервирован для хорошо известных постоянных значений, таких как Pi. Эта греческая буква, представленная символом «π», используется для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру и имеет приблизительное значение 3,14159.(до пяти знаков после запятой).

Рассмотрим следующие простые уравнения:

5 х + 3 = 28

у = х + 2

В первом из этих уравнений числа пять , три и двадцать восемь (5, 3 и 28) являются константами, и существует только одно возможное значение для x (= 5), которое делает уравнение истинно. Подставьте любое другое значение в уравнение для x и уравнение просто не будет верным. Однако во втором уравнении у нас есть две переменные: x и y . Это означает, что потенциально существует неопределенное количество возможных значений для x и y , которые удовлетворяют уравнению (то есть делают его истинным), хотя для любого данного значения x может быть только одно значение y и наоборот. На приведенном ниже графике показаны значения x и y , нанесенные на график для значений x в диапазоне от минус десяти до плюс десяти (от -10 до +10). Обратите внимание, что значения падают на прямую линию, которую можно бесконечно продолжать в любом направлении («До бесконечности и дальше!», как сказал бы Базз Лайтер!).

График у = х + 2

Другой способ выразить отношение между x и y состоит в том, чтобы сказать, что y является выходом функции ƒ( x ) = x + 2. Другими словами, функция ƒ имеет x в качестве входных данных , а ее выход ( y ) всегда будет равен x + 2. Идея функция будет выбрана снова в другом месте. Пока достаточно понять, что термин переменная при использовании в контексте алгебры может использоваться для обозначения как статических значений (как в первом примере выше), так и значений, которые могут изменяться динамически (как во втором примере). ).

Выражения

[Вернитесь к началу страницы]

Выражение может состоять из одного постоянного значения (т.е. числа или символьной константы) или переменной, но чаще состоит из двух или более переменных и/или постоянных значений плюс арифметические операторы (например, операторы, обозначающие сложение , вычитание , умножение , деление и т.д.), индексы и радикалы . Выражение может дополнительно включать синтаксические элементы, такие как круглых скобок (квадратных скобок). Некоторые примеры алгебраических выражений приведены ниже.

2π r

2 x + y

x ² + 3 x — 17

Значение выражения будет зависеть от значения переменных и констант, которые оно содержит ( условия ), так и на операции, которые над ними осуществляются. Вычисление алгебраического выражения подчиняется тем же правилам, касающимся порядка операций, которые применяются к вычислению арифметических выражений (см. страницу «BODMAS» в разделе арифметики, если вы не знакомы с этой концепцией). Выражения появляются внутри уравнений и часто перестраиваются или упрощаются в процессе решения уравнения (это будет вскоре обсуждаться в контексте уравнений).

Обратите внимание, что термины в алгебраических выражениях обычно рассматриваются как элементы, разделенные операторами плюс («+») или минус («-«). В приведенных выше выражениях термы состоят из 2π r , 2 x , y , x ² , 3 x и 17. можно рассматривать как выражение, состоящее из трех отдельных терминов, каждый из которых множимое в выражении. Обратите также внимание, что из-за частого использования буквы x для представления неизвестного значения в алгебраических уравнениях оператор умножения («×») либо полностью опускается, либо заменяется средней точкой или межточкой (« ·»). Первый из показанных выше терминов, 2π r , может быть записан в риторической форме как «два, умноженные на Pi, умноженные на r», или в более традиционной математической записи как «2 × π × 9».0016 r ». Для целей этих страниц мы будем, по возможности, обозначать умножение в алгебраических выражениях, используя простое сопоставление значений (т.е. записывая их рядом друг с другом, без пробела между ними).

Довольно часто от нас требуется составить алгебраическое выражение на основе текстового описания решаемой задачи. Обычно это не слишком сложно, хотя может потребоваться немного практики, чтобы сделать это правильно. В качестве примера того, что обычно встречается на экзаменах, представьте себе ситуацию, в которой автомобиль движется по дороге с заданной скоростью. Ожидается, что мы получим выражение для расстояния, которое транспортное средство проедет через несколько часов, ч при движении с постоянной скоростью (скажем) сорок пять миль в час. Поскольку расстояние равно скорости, умноженной на время, выражение, которое мы можем получить, может быть таким:

45 ч

С таким же успехом мы могли бы написать «45 × ч », но сопоставление значений для обозначения умножения чаще используется в алгебраической записи, чтобы избежать путаницы. Персонаж х часто используется в качестве имени переменной в алгебраических выражениях, и его можно спутать с оператором умножения («×»). Если ответом, который мы ищем, является не расстояние, а время (в часах), которое пройдет после того, как транспортное средство проедет расстояние d , тогда (поскольку время равно расстоянию по скорости) выражение может быть:

Обратите внимание, что мы могли бы также записать это как « d ÷ 45», но оператор деления («÷») лишь изредка используется в алгебраических выражениях. Аналогичным образом предположим, что у нас есть топливный бак на заправочной станции, вмещающий тысячу галлонов топлива. Танкер начинает заполнять бак со скоростью двести галлонов в минуту. Нас могут попросить найти выражение для количества топлива в галлонах, которое будет в баке после м минут. Это, конечно, будет число прошедших минут ( м ), умноженное на скорость, с которой мы наполняем бак (двести галлонов в минуту), плюс топлива, уже находящегося в баке (тысяча галлонов). ). Мы могли бы записать это как:

200 м + 1000

Когда у нас есть значения для всех переменных, используемых в выражении, мы можем оценить выражение, заменив переменные фактическими значениями. Тогда выражение по существу становится арифметическим выражением, а не алгебраическим. Если мы знаем, например, что танкер в приведенном выше примере заправляет топливный бак ровно пятнадцать минут, мы можем подставить число пятнадцать в наше выражение, чтобы получить:

200 х 15 + 1000 = 3000 + 1000 = 4000

Уравнения

[Вернитесь к началу страницы]

Уравнение — это, по сути, утверждение, в котором говорится, что два выражения равны друг другу. Два оператора записываются один за другим, разделенные знаком равенства («=»). Мы используем уравнения, чтобы найти значение одной или нескольких неизвестных величин. Мы делаем это, переставляя и упрощая члены уравнения, чтобы неизвестные величины можно было выразить через известные значения, чтобы мы могли вычислить их значение. Мы называем это решение уравнения. Если мы пытаемся найти значение определенной переменной в уравнении, мы говорим, что ищем решение для этой переменной. Итак, если переменная, для которой мы хотим получить значение, называется x , мы говорим, что мы находим для x . В зависимости от типа задачи, с которой мы имеем дело, не всегда возможно решить уравнение. К счастью, уравнения, не имеющие решения, обычно не появляются на экзаменах, но они часто встречаются в реальном мире, потому что очень часто у нас просто нет всей необходимой информации. Если бы это было не так, мы бы наверняка уже нашли ответ на вопрос о жизни, вселенной и обо всем (извиняюсь перед Дугласом Адамсом). В любом случае, вот несколько примеров уравнений:

5 + 18 = 23

x = 9

y + 15 = 24

2 x + 18 = 42

3 x ² + 5 x + 17 = 17 = 17 = 17 = 17 = 17.

Как видно из приведенного выше, уравнения различаются по своему формату и сложности. Первый пример (5 + 18 = 23) на самом деле вовсе не алгебраическое уравнение, поскольку он просто утверждает, что сложение пяти и восемнадцати дает результат двадцать три. Второй пример ( x = 9) также не является уравнением как таковым, так как оно просто утверждает, что значение x равно девяти. Следующие два уравнения можно решить относительно легко, так как мы можем перестроить и упростить их, чтобы получить ответы:

y + 15 = 24 ⇒ y = 24 — 15 = 9

2 x + 18 = 42 ⇒ 2 x = 42 — 18 = 24 ⇒ //2

Последнее уравнение (3 x ² + 5 x + 17 = 0) называется квадратным уравнением (поскольку оно содержит член, возведенный в квадрат). Это уравнение не так просто решить, и мы не будем приводить здесь готовое решение. Достаточно сказать, что такие уравнения встречаются на экзаменах, их можно решить без особых усилий, а квадратные уравнения мы рассмотрим более подробно на отдельной странице.

Типы уравнения

[Вернитесь к началу страницы]

Алгебраические уравнения бывают разных видов, как вы, наверное, уже поняли. Хотя невозможно четко классифицировать все различные типы уравнений, с которыми мы когда-либо сталкивались, мы можем классифицировать уравнения в соответствии с рядом общих критериев. Метка, которую мы прикрепляем к уравнению, будет зависеть от таких факторов, как количество и размещение переменных, типы задействованных операторов и форма, которую мы получим, если построим график значений, удовлетворяющих уравнению. Одно из отличий, которое делается при попытке определить тип рассматриваемого уравнения, — это число 9.0016 терминов задействовано. Одночленное уравнение имеет только один член, тогда как биномиальное уравнение имеет два члена. Никаких призов за угадывание количества членов в трехчленном уравнении из . Фактически, любое уравнение с более чем одним членом можно назвать полиномиальным уравнением .

Еще одно различие применяется к мономиальным и полиномиальным уравнениям: все члены должны иметь показатель степени (т. е. степень), то есть целое число. Обратите внимание, что это автоматически включает термины без показателя степени, поскольку любое число в степени единицы есть само (если показатель степени равен один , мы не будем записывать его как экспоненту, потому что в этом нет смысла). Кроме того, многочлен также классифицируется в соответствии со значением наибольшего показателя степени любого из его членов. Многочлен, ни один из членов которого не имеет степени больше единицы, называется линейным , что отражает тот факт, что если мы нанесем на график значения, удовлетворяющие уравнению, мы получим прямую линию. Мы уже видели пример графика, построенного линейным уравнением 9.0016 у = х + 2 (см. выше).

Многочлен, член высшего порядка которого имеет показатель степени два, называется квадратным уравнением, а полином, член высшего порядка которого имеет показатель степени три, называется кубическим уравнением. Вы будете часто сталкиваться с квадратными уравнениями во многих областях техники и науки. Когда значения переменных, которые удовлетворяют квадратному уравнению, нанесены на график, они создают характеристическую кривую, известную как парабола . Рассмотрим следующее квадратное уравнение:

г = х ² + 3 х + 2

Вот график:

График y = x ² + 3 x + 2 для значений x между -1 и +4

Другие типы уравнений, с которыми мы можем столкнуться, включают экспоненциальные уравнения. Эти уравнения отличаются от многочленов тем, что уравнение будет иметь по крайней мере один член, в котором показатель степени является переменной. График экспоненциальной функции ƒ( x ) = e ^x показан ниже и удовлетворяет показательному уравнению г = е ^х . Экспоненциальные уравнения часто можно использовать для моделирования экспоненциального роста (например, распространения инфекционного заболевания), если показатель степени положительный, или экспоненциального распада (например, распада радиоактивного изотопа), если показатель степени отрицателен.

График экспоненциальной функции ƒ( x ) = e ^x

Другой тип уравнения, тесно связанный с показательным уравнением, — это уравнение 9.0016 логарифмическое уравнение . Логарифмические функции обратны экспоненциальным функциям, поэтому логарифмическое уравнение y = log ₁₀ ( x ) является обратным экспоненциальному уравнению y = 10 ^x . Логарифмические уравнения часто используются для расчета значений характеристик природных явлений, которые могут изменяться в геометрической прогрессии. В 1935 году Чарльз Рихтер определил магнитуду M землетрясения, используя логарифмическое уравнение M = log ^I / _S , где I — амплитуда сейсмических волн, измеренная в ста километрах от эпицентра землетрясения, а S — амплитуда сейсмических волн. вызванное «стандартным землетрясением» (один микрон, или 10 ^-6 метров). Уравнение для магнитуды стандартного землетрясения:

М = журнал ^С / _S = Лог1 = 0

Таким образом, по определению магнитуда стандартного землетрясения составляет ноль (0) по шкале Рихтера. Самое сильное землетрясение, измеренное Рихтером за время его многолетних исследований, имело магнитуду восемь целых девять десятых (8,9) по шкале Рихтера. Это представляет собой амплитуду сейсмической волны, которая почти в восьмисот миллионов (800 000 000) раз превышает размер сейсмической волны, создаваемой обычным землетрясением! Неудивительно поэтому, что относительная магнитуда землетрясений описывается с использованием логарифмической шкалы, а не шкалы, включающей абсолютные значения.

[Вернитесь к началу страницы]

2.2 Линейные уравнения с одной переменной — Алгебра колледжа 2e

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

• Решать уравнения с одной переменной алгебраически.
• Решите рациональное уравнение.
• Найдите линейное уравнение.
• Имея уравнения двух прямых, определите, параллельны ли их графики или перпендикулярны.
• Напишите уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной данной прямой.

Кэролайн учится в колледже на дневном отделении и планирует каникулы на весенних каникулах. Чтобы заработать достаточно денег для поездки, она устроилась на неполный рабочий день в местный банк, где платят 15 долларов в час, и 15 января открыла сберегательный счет с первоначальным депозитом в размере 400 долларов. Она договорилась о прямом перечислении своей заработной платы. чеки. Если весенние каникулы начнутся 20 марта и поездка обойдется примерно в 2500 долларов, сколько часов ей придется работать, чтобы заработать достаточно, чтобы оплатить отпуск? Если она может работать только 4 часа в день, сколько дней в неделю она должна будет работать? Сколько недель это займет? В этом разделе мы исследуем такие проблемы, как эта и другие, которые генерируют графики, подобные линии на рис. 1.

Рисунок 1

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейное уравнение – это уравнение прямой, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной равна 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид ax+b=0ax+b=0 и решаются с использованием основных алгебраических операций.

Начнем с классификации линейных уравнений с одной переменной по одному из трех типов: тождественные, условные и несовместные. Уравнение тождества верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.

3х=2х+х3х=2х+х

Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение верным. Для этого уравнения множество решений состоит из действительных чисел, потому что любое действительное число, подставленное вместо xx, сделает уравнение верным.

Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если нам нужно решить уравнение 5x+2=3x−6,5x+2=3x−6, мы получим следующее:

5x+2=3x−62x=−8x=−45x+2=3x −62x=−8x=−4

Набор решений состоит из одного числа: {−4}.{−4}. Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

Несовместимое уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить 5x−15=5(x−4),5x−15=5(x−4), мы получим следующее:

5x−15=5x−205x−15−5x=5x−20−5xВычесть 5x с обеих сторон. −15≠−20Ложное утверждение5x−15=5x−205x−15−5x=5x−20−5xВычесть 5x с обеих сторон.−15 ≠−20Ложное утверждение

Действительно, −15≠−20,−15≠−20. Решения нет, потому что это несовместное уравнение.

Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции. Ниже приводится краткий обзор этих операций.

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

ax+b=0ax+b=0

где a и b — действительные числа, a≠0.a≠0.

Как

Имея линейное уравнение с одной переменной, решите его с помощью алгебры.

Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной так, чтобы последняя строка читалась как x=_________,x=_________, если x неизвестно. Установленного порядка нет, так как используемые шаги зависят от того, что дано:

1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, пока мы делаем одно и то же с обеими частями уравнения. знак равенства. Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
2. При необходимости примените распределительное свойство: a(b+c)=ab+ac.a(b+c)=ab+ac.
3. Изолируйте переменную в одной части уравнения.
4. Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

Пример 1

Решение уравнения с одной переменной

Решите следующее уравнение: 2x+7=19,2x+7=19.

Решение

Это уравнение можно записать в виде ax+b=0ax+b=0, вычитая 1919 из обеих частей. Однако мы можем приступить к решению уравнения в его исходной форме, выполняя алгебраические операции.

2x+7=192x=12Вычтите 7 из обеих сторон.x=6Умножьте обе стороны на 12или разделите на 2,2x+7=192x=12Вычтите 7 из обеих сторон.x=6Умножьте обе стороны на 12или разделите на 2.

Решение 6.

Попытайся #1

Решите линейное уравнение с одной переменной: 2x+1=-9,2x+1=-9.

Пример 2

Алгебраическое решение уравнения, когда переменная присутствует с обеих сторон

Решите следующее уравнение: 4(x−3)+12=15−5(x+6).4(x−3)+12=15−5 (х+6).

Решение

Применение стандартных алгебраических свойств.

4(x−3)+12=15−5(x+6)4x−12+12=15−5x−30Применить распределительное свойство.4x=−15−5xОбъединить подобные термины.9x=−15Поместите x-члены на одну сторону и упростите.x=−159Умножьте обе стороны на 19, обратную величину 9.x=−534(x−3)+12=15−5(x+6)4x−12 +12=15−5x−30Применить распределительное свойство.4x=−15−5xОбъединить одинаковые члены. 9x=−15Поместить x членов на одну сторону и упростить.x=−159Умножить обе части на 19, обратную величину 9.x= −53

Анализ

Эта задача требует, чтобы распределительное свойство применялось дважды, а затем использовались свойства алгебры, чтобы получить последнюю строку, x=−53.x=−53.

Попытайся #2

Решите уравнение с одной переменной: −2(3x−1)+x=14−x.−2(3x−1)+x=14−x.

Решение рационального уравнения

В этом разделе мы рассмотрим рациональные уравнения, которые после некоторых манипуляций приводят к линейному уравнению. Если уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, оно считается рациональным уравнением .

Напомним, что рациональное число — это отношение двух чисел, например 2323 или 72,72. Рациональное выражение — это отношение или частное двух многочленов. Вот три примера.

x+1×2−4,1x−3,или4×2+x−2x+1×2−4,1x−3,или4×2+x−2

Рациональные уравнения имеют переменную в знаменателе хотя бы в одном из членов. Наша цель — выполнить алгебраические операции так, чтобы переменные появились в числителе. На самом деле, мы исключим все знаменатели, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).

Нахождение LCD означает определение выражения, которое содержит наибольшую мощность всех множителей во всех знаменателях. Мы делаем это, потому что, когда уравнение умножается на LCD, общие множители в LCD и в каждом знаменателе будут равны единице и сокращаются.

Пример 3

Решение рационального уравнения

Решите рациональное уравнение: 72x−53x=223,72x−53x=223.

Решение

У нас есть три знаменателя; 2x, 3x, 2x, 3x и 3. ЖК-дисплей должен содержать 2x, 3x, 2x, 3x и 3. ЖК-дисплей 6x6x содержит все три знаменателя. Другими словами, каждый знаменатель можно разделить на ЖК поровну. Затем умножьте обе части уравнения на LCD 6x.6x.

(6x)(72x−53x)=(223)(6x)(6x)(72x)−(6x)(53x)=(223)(6x)Использовать свойство распределения. (6x)(72x)−( 6x)(53x)=(223)(6x) Сократить общие множители.3(7)−2(5)=22(2x)Умножить оставшиеся множители на каждый числитель.21−10=44×11=44×1144=x14=x (6x)(72x−53x)=(223)(6x)(6x)(72x)−(6x)(53x)=(223)(6x)Используй распределительное свойство.(6x)(72x)−(6x) (53x)=(223)(6x)Сократить общие множители.3(7)−2(5)=22(2x)Умножить оставшиеся множители на каждый числитель.21−10=44×11=44×1144=x14=x

Распространенная ошибка, допускаемая при решении рациональных уравнений, заключается в том, чтобы найти LCD, когда один из знаменателей является биномиальным (два слагаемых или вычитаемых), например (x+1).(x+1). Всегда рассматривайте бином как отдельный фактор — термины не могут быть разделены. Например, предположим, что в задаче три члена, а знаменатели равны x,x,x-1,x-1 и 3x-3,3x-3. Сначала факторизовать все знаменатели. Тогда у нас есть x,x,(x−1),(x−1) и 3(x−1)3(x−1) в качестве знаменателей. (Обратите внимание на круглые скобки вокруг второго знаменателя.) Только два последних знаменателя имеют общий делитель (x−1). (x−1). Xx в первом знаменателе отделен от xx в (x−1)(x−1) знаменателях. Эффективный способ запомнить это — записать факторизованный и биномиальный знаменатели в скобках и рассматривать каждую скобку как отдельную единицу или отдельный множитель. LCD в этом случае находится путем умножения x,x, одного коэффициента (x−1),(x−1) и 3. Таким образом, LCD выглядит следующим образом:

x(x-1)3=3x(x-1)x(x-1)3=3x(x-1)

Итак, обе части уравнения умножаются на 3x(x-1). 3х(х-1). Оставьте ЖК-дисплей в факторизованной форме, так как это облегчает просмотр того, как уравновешивается каждый знаменатель в задаче.

Другой пример — задача с двумя знаменателями, такими как xx и x2+2x.x2+2x. После того, как второй знаменатель разложен как x2+2x=x(x+2),x2+2x=x(x+2), в обоих знаменателях есть общий делитель x , а LCD равен x(x+2). ).х(х+2).

Иногда мы имеем рациональное уравнение в виде пропорции; то есть когда одна дробь равна другой дроби и в уравнении нет других членов.

аб=кдаб=кд

Мы можем использовать другой метод решения уравнения, не находя LCD: перекрестное умножение. Мы умножаем члены, перечеркивая знак равенства.

Умножьте a(d)a(d) и b(c),b(c), чтобы получить ad=bc.ad=bc.

Любое решение, которое делает знаменатель в исходном выражении равным нулю, должно быть исключено из возможных.

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, в котором переменная стоит хотя бы в одном из знаменателей.

Как

Дано рациональное уравнение, решить его.

1. Фактор всех знаменателей в уравнении.
2. Найдите и исключите значения, каждый знаменатель которых равен нулю.
3. Найдите ЖК-дисплей.
4. Умножьте все уравнение на ЖК-дисплей. Если ЖКИ правильный, знаменателей не останется.
5. Решите оставшееся уравнение.
6. Не забудьте проверить решения в исходных уравнениях, чтобы избежать решения, дающего ноль в знаменателе.

Пример 4

Решение рационального уравнения без факторинга

Решите следующее рациональное уравнение:

2x−32=72x2x−32=72x

Решение

У нас есть три знаменателя: x,x,2,2 и 2x.2x. Факторинг не требуется. Произведение первых двух знаменателей равно третьему знаменателю, поэтому ЖК-дисплей равен 2x.2x. Из набора решений исключается только одно значение, 0. Затем умножьте все уравнение (обе части знака равенства) на 2x.2x.

2x(2x−32)=(72x)2x2x(2x)−2x(32)=(72x)2xРаспределить 2x.2(2)−3x=7Знаменатели сокращаются.4−3x=7−3x=3x=− 1или{−1}2x(2x−32)=(72x)2x2x(2x)−2x(32)=(72x)2xРаспределение 2x.2(2)−3x=7Знаменатели сокращаются.4−3x=7−3x= 3x=−1or{−1}

Предлагаемое решение равно −1, что не является исключенным значением, поэтому набор решений содержит одно число −1, −1 или {−1}{−1}, записанное в наборе обозначение.

Попытайся #3

Решите рациональное уравнение: 23x=14−16x.23x=14−16x.

Пример 5

Решение рационального уравнения путем факторизации знаменателя

Решите следующее рациональное уравнение: 1x=110−34x.1x=110−34x.

Решение

Сначала найдите общий знаменатель. Три знаменателя в факторизованной форме: x, 10 = 2 ⋅ 5, x, 10 = 2 ⋅ 5 и 4 x = 2 ⋅ 2 ⋅ x, 4 x = 2 ⋅ 2 ⋅ x. Наименьшее выражение, которое делится на каждый из знаменателей, равно 20x.20x. Только x=0x=0 является исключенным значением. Умножьте все уравнение на 20x.20x.

20x(1x)=(110-34x)20×20=2x-1535=2×352=x20x(1x)=(110-34x)20×20=2x-1535=2×352=x

Решение 352.352.

Попытайся #4

Решите рациональное уравнение: −52x+34x=−74.−52x+34x=−74.

Пример 6

Решение рациональных уравнений с биномом в знаменателе

Решите следующие рациональные уравнения и укажите исключенные значения:

1. ⓐ 3x−6=5x3x−6=5x
2. ⓑ хх-3=5х-3-12хх-3=5х-3-12
3. ⓒ хх-2=5х-2-12хх-2=5х-2-12

Решение

1. ⓐ

   Знаменатели xx и x−6x−6 не имеют ничего общего. Следовательно, LCD представляет собой произведение x(x−6).x(x−6). Однако для этой задачи мы можем перекрестно умножить.

   3x-6=5x3x=5(x-6)Распределить.3x=5x-30-2x=-30x=153x-6=5x3x=5(x-6)Распределить.3x=5x-30-2x=-30x =15

   Решение равно 15. Исключены значения 66 и 0,0.

2. ⓑ

   ЖК-дисплей равен 2(x−3).2(x−3). Умножьте обе части уравнения на 2(x−3).2(x−3).

   2(x−3)(xx−3)=(5x−3−12)2(x−3)2(x−3)xx−3=2(x−3)5x−3−2(x− 3)22x=10−(x−3)2x=10−x+32x=13−x3x=13x=1332(x−3)(xx−3)=(5x−3−12)2(x−3) 2(x−3)xx−3=2(x−3)5x−3−2(x−3)22x=10−(x−3)2x=10−x+32x=13−x3x=13x=133

   Решение 133.133. Исключенное значение равно 3,3.

3. ⓒ

   Наименьший общий знаменатель равен 2(x−2).2(x−2). Умножьте обе части уравнения на x(x−2).x(x−2).

   2(x−2)(xx−2)=(5x−2−12)2(x−2)2x=10−(x−2)2x=12−x3x=12x=42(x−2)( xx−2)=(5x−2−12)2(x−2)2x=10−(x−2)2x=12−x3x=12x=4

   Решение равно 4. Исключенное значение равно 2,2.

Попытайся #5

Решите -32x+1=43x+1. -32x+1=43x+1. Укажите исключенные значения.

Пример 7

Решение рационального уравнения с факторизованными знаменателями и указанием исключенных значений

Решите рациональное уравнение после факторизации знаменателей: 2x+1−1x−1=2xx2−1,2x+1−1x−1=2xx2−1. Укажите исключенные значения.

Решение

Мы должны разложить знаменатель x2−1.x2−1. Мы признаем это как разность квадратов и факторизуем как (x−1)(x+1).(x−1)(x+1). Таким образом, LCD, который содержит каждый знаменатель, равен (x-1)(x+1).(x-1)(x+1). Умножьте все уравнение на LCD, сократите знаменатели и решите оставшееся уравнение.

(х-1)(х+1)(2х+1-1х-1)=(2х(х-1)(х+1))(х-1)(х+1)2(х-1 )−1(x+1)=2x2x−2−x−1=2xРаспределить знак минус.−3−x=0−3=x(x−1)(x+1)(2x+1−1x−1 )=(2x(x−1)(x+1))(x−1)(x+1)2(x−1)−1(x+1)=2x2x−2−x−1=2xРаспределить отрицательное знак-3-х=0-3=х

Решение -3.-3. Исключены значения 11 и -1,-1.

Попытайся #6

Решите рациональное уравнение: 2x−2+1x+1=1×2−x−2,2x−2+1x+1=1×2−x−2.

Нахождение линейного уравнения

Возможно, наиболее знакомой формой линейного уравнения является форма пересечения наклона, записанная как y=mx+b,y=mx+b, где m=slopem=наклон и b=y-пересечение.b=y-пересечение. Начнем со склона.

Наклон линии

Наклон линии относится к отношению вертикального изменения х к горизонтальному изменению х между любыми двумя точками на линии. Он указывает направление наклона линии, а также ее крутизну. Уклон иногда описывается как подъем над пробегом.

м=у2-у1х2-х1м=у2-у1х2-х1

Если наклон положительный, линия наклоняется вправо. Если наклон отрицательный, линия наклоняется влево. По мере увеличения наклона линия становится круче. Некоторые примеры показаны на рисунке 2. Линии обозначают следующие наклоны: m=-3, m=-3, m=2, m=2 и m=13.m=13.

Рисунок 2

Наклон линии

Наклон линии м представляет собой изменение y по сравнению с изменением x. Для двух точек (x1,y1)(x1,y1) и (x2,y2),(x2,y2) следующая формула определяет наклон линии, содержащей эти точки:

m=y2−y1x2−x1m =y2-y1x2-x1

Пример 8

Нахождение наклона прямой по двум точкам

Нахождение наклона прямой, проходящей через точки (2,−1)(2,−1) и (−5,3).(−5,3) .

Решение

Подставляем в формулу значения y- и значения x-.

м=3-(-1)-5-2=4-7=-47м=3-(-1)-5-2=4-7=-47

Наклон -47.-47.

Анализ

Неважно, какая точка называется (x1,y1)(x1,y1) или (x2,y2).(x2,y2). До тех пор, пока мы согласны с порядком членов х и порядком членов х в числителе и знаменателе, вычисление даст тот же результат.

Попытайся #7

Найдите наклон прямой, проходящей через точки (−2,6)(−2,6) и (1,4). (1,4).

Пример 9

Определение наклона и точки пересечения

Определение наклона и точки пересечения y- с учетом уравнения y=−34x−4.y=−34x−4.

Решение

Поскольку линия имеет форму y=mx+by=mx+b, данная линия имеет наклон m=−34.m=−34. г- 9Перехват 0017 равен b=−4.b=−4.

Анализ

Точка пересечения y — это точка, в которой линия пересекает ось y-. На оси y- x=0.x=0. Мы всегда можем идентифицировать точку пересечения y-, когда линия находится в форме пересечения наклона, поскольку она всегда будет равна b. Или просто подставьте x=0x=0 и найдите y.

Формула «точка-уклон»

Учитывая наклон и одну точку на линии, мы можем найти уравнение линии, используя формулу точка-наклон.

у-у1=м(х-х1)у-у1=м(х-х1)

Это важная формула, так как она будет использоваться в других областях университетской алгебры и часто в математических вычислениях для нахождения уравнения касательной. Нам нужна только одна точка и наклон линии, чтобы использовать формулу. Подставив в формулу наклон и координаты одной точки, упростим ее и запишем в виде наклон-пересечение.

Формула точки-наклона

Учитывая одну точку и наклон, формула точка-наклон приведет к уравнению прямой:

у-у1=м(х-х1)у-у1=м(х-х1)

Пример 10

Нахождение уравнения прямой с заданным наклоном и одной точкой

Напишите уравнение прямой с наклоном m=−3m=−3 и проходящей через точку (4,8).(4,8). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.

Решение

Используя формулу «точка-уклон», замените -3-3 на м и точку (4,8)(4,8) на (x1,y1).(x1,y1).

y−y1=m(x−x1)y−8=−3(x−4)y−8=−3x+12y=−3x+20y−y1=m(x−x1)y−8=− 3(х-4)у-8=-3х+12у=-3х+20

Анализ

Обратите внимание, что любую точку на линии можно использовать для нахождения уравнения. Если все сделано правильно, то получится такое же итоговое уравнение.

Попытайся #8

При заданных m=4,m=4 найдите уравнение прямой в форме точки пересечения, проходящей через точку (2,5).(2,5).

Пример 11

Нахождение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (3,4)(3,4) и (0,−3).(0,−3). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.

Решение

Сначала мы вычисляем наклон, используя формулу наклона и две точки.

м=-3-40-3=-7-3=73м=-3-40-3=-7-3=73

Далее используем формулу точка-наклон с наклоном 73,73, и любой точки. Выберем точку (3,4)(3,4) для (x1,y1).(x1,y1).

y−4=73(x−3)y−4=73x−7Распределить 73.y=73x−3y−4=73(x−3)y−4=73x−7Распределить 73.y=73x− 3

В форме пересечения наклона уравнение записывается как y=73x−3.y=73x−3.

Анализ

Чтобы доказать, что можно использовать любую точку, воспользуемся второй точкой (0,−3)(0,−3) и посмотрим, получим ли мы то же самое уравнение.

y−(−3)=73(x−0)y+3=73xy=73x−3y−(−3)=73(x−0)y+3=73xy=73x−3

Мы видим, что одна и та же линия будет получена с использованием любой точки. Это имеет смысл, потому что мы использовали обе точки для расчета наклона.

Стандартная форма линии

Другой способ представления уравнения прямой — в стандартной форме. Стандартная форма дается как

Ax+By=CAx+By=C

, где A,A,B,B и CC — целые числа. Члены x- и y- находятся по одну сторону от знака равенства, а постоянный член — по другую сторону.

Пример 12

Нахождение уравнения прямой и запись его в стандартной форме

Найдите уравнение прямой с m=−6m=−6 и проходящей через точку (14,−2).(14,−2). Запишите уравнение в стандартной форме.

Решение

Мы начинаем использовать формулу точка-наклон.

y-(-2)=-6(x-14)y+2=-6x+32y-(-2)=-6(x-14)y+2=-6x+32

Отсюда, мы умножаем на 2, так как в стандартной форме дроби не допускаются, а затем перемещаем обе переменные влево от знака равенства и перемещаем константы вправо.

2(y+2)=(-6x+32)22y+4=-12x+312x+2y=-12(y+2)=(-6x+32)22y+4=-12x+312x+2y =−1

Теперь это уравнение записывается в стандартной форме.

Попытайся #9

Найдите уравнение прямой в стандартной форме с наклоном m=−13m=−13 и проходящей через точку (1,13). (1,13).

Вертикальные и горизонтальные линии

Уравнения вертикальных и горизонтальных линий не требуют ни одной из предыдущих формул, хотя мы можем использовать формулы, чтобы доказать, что уравнения верны. Уравнение вертикальной линии задается как

х=сх=с

, где c — константа. Наклон вертикальной линии не определен, и независимо от значения y- любой точки на линии координата x- точки будет равна с .

Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующие точки: (−3,−5),(−3,1),(−3,3),(−3,−5),(−3 ,1),(−3,3) и (−3,5).(−3,5). Сначала найдем наклон.

m=5−3−3−(−3)=20m=5−3−3−(−3)=20

Нуль в знаменателе означает, что наклон не определен и, следовательно, мы не можем использовать точку — формула наклона. Тем не менее, мы можем нанести точки. Обратите внимание, что все координаты x- одинаковы, и мы находим вертикальную линию, проходящую через x=−3. x=−3. См. рис. 3 .

Уравнение горизонтальной линии задается как

у=си=с

, где c — константа. Наклон горизонтальной линии равен нулю, и для любого значения x- точки на линии координата y- будет равна c .

Предположим, мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующий набор точек: (−2,−2),(0,−2),(3,−2),(−2,−2),( 0,−2),(3,−2) и (5,−2).(5,−2). Мы можем использовать формулу точка-наклон. Во-первых, мы находим наклон, используя любые две точки на линии.

м=-2-(-2)0-(-2)=02=0м=-2-(-2)0-(-2)=02=0

Используйте любую точку для (x1,y1)(x1,y1) в формуле или используйте точку пересечения y .

у-(-2)=0(х-3)у+2=0у=-2у-(-2)=0(х-3)у+2=0у=-2

График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через точку y=−2.y=−2. Обратите внимание, что все координаты y- одинаковы. См. рис. 3.

Рисунок 3 Линия x = −3 является вертикальной линией. Линия y = −2 является горизонтальной линией.

Пример 13

Нахождение уравнения прямой, проходящей через заданные точки

Нахождение уравнения прямой, проходящей через заданные точки: (1,−3)(1,−3) и (1,4).(1,4) ).

Решение

Координата x- обеих точек равна 1. Следовательно, у нас есть вертикальная линия x=1.x=1.

Попытайся #10

Найдите уравнение прямой, проходящей через (−5,2)(−5,2) и (2,2).(2,2).

Определение того, являются ли графики линий параллельными или перпендикулярными

Параллельные линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y-. Прямые, параллельные друг другу, никогда не пересекутся. Например, на рис. 4 показаны графики различных линий с одинаковым наклоном m=2.m=2.

Рисунок 4 Параллельные линии

Все линии, показанные на графике, параллельны, потому что они имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y-.

Перпендикулярные прямые пересекаются, образуя угол 90°90°. Наклон одной линии является обратной отрицательной величиной другой. Мы можем показать, что две прямые перпендикулярны, если произведение двух наклонов равно −1:m1⋅m2=−1,−1:m1⋅m2=−1. Например, на рис. 5 показан график двух перпендикулярных линий. Одна линия имеет наклон 3; другая линия имеет наклон −13,−13.

м1⋅м2=-13⋅(-13)=-1м1⋅м2=-13⋅(-13)=-1

Рисунок 5 Перпендикулярные линии

Пример 14

Построение графика двух уравнений и определение того, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или ни теми, ни другими

Изобразите уравнения заданных линий и укажите, являются ли они параллельными, перпендикулярными или ни тем, ни другим: 3y=−4x+33y=−4x+ 3 и 3x−4y=8,3x−4y=8.

Решение

Первое, что мы хотим сделать, это переписать уравнения так, чтобы оба уравнения были в форме пересечения наклона.

Первое уравнение:

3y=-4x+3y=-43x+13y=-4x+3y=-43x+1

Второе уравнение:

3x-4y=8-4y=-3x+8y=34x- 23x−4y=8−4y=−3x+8y=34x-2

См. график обеих линий на рисунке 6

Рисунок 6

Из графика видно, что линии кажутся перпендикулярными, но мы должны сравнить наклоны.

м1=-43м2=34м1⋅м2=(-43)(34)=-1м1=-43м2=34м1⋅м2=(-43)(34)=-1

Наклоны являются отрицательными обратными величинами, подтверждая, что линии перпендикулярны.

Попытайся #11

Изобразите две линии и определите, параллельны они, перпендикулярны или ни те, ни другие: 2y-x=102y-x=10 и 2y=x+4,2y=x+4.

Написание уравнений прямых, параллельных или перпендикулярных заданной прямой

Как мы узнали, определение того, параллельны или перпендикулярны две прямые, зависит от нахождения наклонов. Чтобы написать уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной другой прямой, мы следуем тем же принципам, что и при нахождении уравнения любой прямой. Найдя наклон, используйте формулу точка-наклон, чтобы написать уравнение новой линии.

Как

Имея уравнение прямой, напишите уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной ей.

1. Найдите наклон данной линии. Самый простой способ сделать это — записать уравнение в форме пересечения наклона.
2. Используйте наклон и заданную точку с формулой точка-наклон.
3. Упростите линию до формы пересечения наклона и сравните уравнение с данной линией.

Пример 15

Написание уравнения прямой, параллельной заданной прямой, проходящей через заданную точку

Напишите уравнение прямой, параллельной 5x+3y=15x+3y=1 и проходящей через точку (3,5).(3, 5).

Решение

Во-первых, мы напишем уравнение в форме пересечения наклона, чтобы найти наклон.

5x+3y=13y=-5x+1y=-53x+135x+3y=13y=-5x+1y=-53x+13

Наклон m=-53.m=-53. Точка пересечения y- равна 13,13, но это на самом деле не входит в нашу проблему, поскольку единственное, что нам нужно, чтобы две прямые были параллельны, — это одинаковый наклон. Единственным исключением является то, что если y- перехватов совпадают, тогда две строки являются одной и той же линией. Следующим шагом является использование этого наклона и заданной точки с формулой точка-наклон.

y-5=-53(x-3)y-5=-53x+5y=-53x+10y-5=-53(x-3)y-5=-53x+5y=-53x+10

Уравнение прямой: y=−53x+10.y=−53x+10. См. рис. 7 .

Рисунок 7

Попытайся #12

Найдите уравнение прямой, параллельной 5x=7+y5x=7+y и проходящей через точку (−1,−2).(−1,−2).

Пример 16

Нахождение уравнения прямой, перпендикулярной заданной прямой, проходящей через заданную точку

Найти уравнение прямой, перпендикулярной 5x−3y+4=05x−3y+4=0 и проходящей через точку (−4,1). (−4,1).

Решение

Первым шагом является запись уравнения в форме пересечения наклона.

5x−3y+4=0−3y=−5x−4y=53x+435x−3y+4=0−3y=−5x−4y=53x+43

Видим, что наклон m=53.m =53. Это означает, что наклон линии, перпендикулярной данной линии, является обратной отрицательной величиной, или −35,−35. Затем мы используем формулу точка-наклон с этим новым наклоном и заданной точкой.

y-1=-35(x-(-4))y-1=-35x-125y=-35x-125+55y=-35x-75y-1=-35(x-(-4))y −1=−35x−125y=−35x−125+55y=−35x−75

2.2 Секционные упражнения

Устный

1.

Что означает, когда мы говорим, что две прямые параллельны?

2.

Каково соотношение между наклонами перпендикулярных линий (при условии, что они не горизонтальны и не вертикальны)?

3.

Как узнать, когда уравнение, например y=4x+3,y=4x+3, будет прямой линией (линейной) на графике?

4.

Что имеется в виду, когда мы говорим, что линейное уравнение несовместно?

5.

При решении следующего уравнения:

2x−5=4x+12x−5=4x+1

объясните, почему мы должны исключить x=5x=5 и x=−1x=−1 как возможные решения из набора решений .

Алгебраический

Для следующих упражнений решите уравнение для x.x.

6.

7x+2=3x−97x+2=3x−9

7.

4x−3=54x−3=5

8.

3(х+2)−12=5(х+1)3(х+2)−12=5(х+1)

9.

12−5(x+3)=2x−512−5(x+3)=2x−5

10.

12−13x=4312−13x=43

11.

х3-34=2х+312х3-34=2х+312

12.

23x+12=31623x+12=316

13.

3(2x−1)+x=5x+33(2x−1)+x=5x+3

14.

2×3-34=x6+2142×3-34=x6+214

15.

х+24-х-13=2х+24-х-13=2

В следующих упражнениях решите каждое рациональное уравнение относительно x.x. Укажите все x — значения, которые исключаются из набора решений.

16.

3x−13=163x−13=16

17.

2−3x+4=x+2x+42−3x+4=x+2x+4

18.

3x−2=1x−1+7(x−1)(x−2)3x−2=1x−1+7(x−1)(x−2)

19.

3xx-1+2=3x-13xx-1+2=3x-1

20.

5x+1+1x-3=-6×2-2x-35x+1+1x-3=-6×2-2x-3

21.

1x=15+32x1x=15+32x

Для следующих упражнений найдите уравнение линии, используя формулу точка-наклон. Запишите все окончательные уравнения, используя форму пересечения наклона.

22.

(0,3)(0,3) с уклоном 2323

23.

(1,2)(1,2) с уклоном −45−45

24.

x — точка пересечения равна 1, а (−2,6)(−2,6)

25.

y — точка пересечения равна 2, и (4,−1)(4,−1)

26.

(−3,10)(−3,10) и (5,−6)(5,−6)

27.

(1,3) и (5,5)(1,3) и (5,5)

28.

параллельно y=2x+5y=2x+5 и проходит через точку (4,3)(4,3)

29.

перпендикулярно 3y=x−43y=x−4 и проходит через точку (−2,1)(−2,1) .

Для следующих упражнений найдите уравнение прямой, используя данную информацию.

30.

(-2,0)(-2,0) и (-2,5)(-2,5)

31.

(1,7)(1,7) и (3,7)(3,7)

32.

Наклон не определен и проходит через точку (2,3).(2,3).

33.

Наклон равен нулю и проходит через точку (1,−4).(1,−4).

34.

Наклон равен 3434 и проходит через точку (1,4)(1,4).

35.

(–1,3)(–1,3) и (4,–5)(4,–5)

Графический

Для следующих упражнений начертите пару уравнений на одних и тех же осях и укажите, являются ли они параллельными, перпендикулярными или ни теми, ни другими.

36.

у=2х+7у=-12х-4у=2х+7у=-12х-4

37.

3x-2y=56y-9x=63x-2y=56y-9x=6

38.

у=3х+14у=3х+2у=3х+14у=3х+2

39.

х=4у=-3х=4у=-3

Цифровой

В следующих упражнениях найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.

40.

(5,4)(5,4) и (7,9)(7,9)

41.

(−3,2)(−3,2) и (4,−7)(4,−7)

42.

(−5,4)(−5,4) и (2,4)(2,4)

43.

(−1,−2)(−1,−2) и (3,4)(3,4)

44.

(3,−2)(3,−2) и (3,−2)(3,−2)

Для следующих упражнений найдите наклон линий, проходящих через каждую пару точек, и определите, параллельны ли линии или перпендикулярны.

45.

(−1,3) и (5,1)(−2,3) и (0,9)(−1,3) и (5,1)(−2,3) и (0,9)

46.

(2,5) и (5,9)(−1,−1) и (2,3)(2,5) и (5,9)(−1,−1) и (2,3)

Технология

Для следующих упражнений выразите уравнения в форме пересечения наклона (округлив каждое число до тысячных). Введите это значение в графический калькулятор как Y1, затем отрегулируйте значения ymin и ymax для вашего окна, чтобы они включали г -происходит перехват. Укажите свои значения ymin и ymax.

47.

0,537x−2,19y=1000,537x−2,19y=100

48.

4 500x−200y=9 5284 500x−200y=9 528

49.

200−30yx=70200−30yx=70

Расширения

50.

Начиная с формулы точка-наклон y−y1=m(x−x1),y−y1=m(x−x1), решите это выражение для xx через x1,y,y1,x1,y,y1 , и мм.

51.

Начиная со стандартной формы уравнения Ax+By=CAx+By=C, решите это выражение для yy через A,B,CA,B,C и xx. Затем поместите выражение в форму пересечения наклона.

52.

Используйте приведенную выше производную формулу, чтобы представить следующее стандартное уравнение в форме пересечения наклона: 7x−5y=25,7x−5y=25.

53.

Учитывая, что следующие координаты являются вершинами прямоугольника, докажите, что это действительно прямоугольник, показав, что наклоны пересекающихся сторон перпендикулярны.

(–1,1),(2,0),(3,3)(–1,1),(2,0),(3,3) и (0,4)(0,4)

54.

Найдите наклоны диагоналей в предыдущем упражнении. Они перпендикулярны?

Реальные приложения

55.

Уклон пандуса для инвалидных колясок в доме должен быть 112.112. Если расстояние по вертикали от земли до низа двери составляет 2,5 фута, найдите расстояние, на которое пандус должен простираться от дома, чтобы соответствовать необходимому уклону.

56.

Если уравнение прибыли для малого бизнеса, продающего xx количество единиц товара один и yy количество товаров два, равно p=3x+4y,p=3x+4y, найдите значение yy, когда p=453$ и  x=75.p= 453 долл. США и x = 75.

Для следующих упражнений используйте следующий сценарий: Стоимость аренды автомобиля составляет 45 долларов США в неделю плюс 0,25 доллара США за милю, пройденную в течение этой недели. Уравнение для представления стоимости будет выглядеть так: y=45+0,25x, y=45+0,25x, где xx — количество пройденных миль.