Симметричная математическая монета — вероятность выпадения одной стороны
В качестве предисловия. Все знают, что монета имеет две стороны — орёл и решку. Нумизматы считают, что монета имеет три стороны — аверс, реверс и гурт. И среди тех, и среди других, мало кто знает, что такое симметричная или математическая монета. Зато об этом знают (ну, или должны знать :), те, кто готовится сдавать ЕГЭ. В общем, в этой статье речь пойдёт о необычной монете, которая, к нумизматике никакого отношения не имеет, но, при этом, является самой популярной монетой среди школьников.
Итак.
Симметричная монета — это воображаемая математически идеальная монета без размера, веса
и диаметра. Как следствие, гурта у такой монеты тоже нет, то есть вот она-то действительно имеет только две стороны. Главное свойство симметричной монеты в том, что при таких условиях вероятность выпадения орла или решки абсолютно одинакова.
А придумали симметричную
математическую монету для проведения мысленных экспериментов.
Понятно, что в результате броска математическая монета упадёт либо орлом, либо решкой. Сколько раз — зависит от того, сколько бросков совершить. Вероятность выпадения орла или решки вычисляется делением количества удовлетворяющих условию исходов на общее количество возможных исходов. Рассмотрим решение данной задачи на конкретных примерах.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают один раз
Здесь всё просто. Выпадет либо орёл, либо решка. То есть, имеем два возможных исхода, один из которых нас удовлетворяет
— 1/2=50%
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды
За два броска могут выпасть:
- два орла
- две решки
- орёл, затем решка
- решка, затем орёл
Итак, возможны всего четыре варианта.
Задачи с более, чем одним броском, проще всего решать составлением таблицы возможных вариантов. Для простоты, обозначим орла цифрой «0», а решку цифрой «1».
Тогда таблица возможных исходов будет выглядеть так:
00
01
10
11
Если, например, нужно найти вероятность того, что орёл выпадет один раз, требуется просто подсчитать количество подходящих вариантов в таблице —
то есть тех строк, где орёл встречается один раз. Таких строк две (вторая и
третья). Значит, вероятность выпадения одного орла в двух бросках симметричной монеты равна 2/4=50%
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды
Составляем таблицу вариантов:
000
001
010
011
100
101
110
111
Те, кто знаком с двоичным исчислением, понимают, к чему мы пришли.
🙂 Да, это двоичные
числа от «0» до «7». Так проще не запутаться с вариантами, поскольку строки
таблицы вариантов представляют собой логическую последовательность.
Решим задачу из предыдущего пункта — вычислим вероятность того, что орёл выпадет один раз. Строк, где «0» встречается один раз имеется три. Значит, вероятность выпадения одного орла в трёх бросках симметричной монеты равна
трём из восьми — 3/8=37,5%
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды тоже равна 3/8=37,5%, то есть абсолютно такая же.
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 1/8=12,5%.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды
Составляем таблицу вариантов:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Вероятность того, что орёл выпадет один раз.
Строк, где «0» встречается один раз имеется всего три, так же, как и в случае трёх бросков. Но, вариантов уже шестнадцать. Значит, вероятность выпадения одного орла в четырёх бросках симметричной монеты равна
три из шестнадцати — 3/16=18,75%
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды равна 6/8=75%.
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 4/8=50%.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают более четырёх раз
С увеличением количества бросков, принцип решения задачи
совершенно не меняется — только, в соответствующей прогрессии,
увеличивается количество вариантов. Принцип тот же — составляем
таблицу вариантов и подсчитываем количество требуемых
результатов. Делением количества удовлетворяющих нас результатов
на общее количество попыток получаем вероятность выпадения
нужного результата.
Даже, если например, симметричную монету бросают 10 раз.
Таблица
получится очень большая, но составить её несложно. А в принципе
и делать это самому необязательно, можно найти в интернете. Для
подсчёта нулей и единиц тоже нет необходимости водить по бумаге
или экрану карандашом — для этого можно использовать, например,
Excel. Да, компьютер очень нужная
вещь, если научится им пользоваться. 🙂
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды – как решать
Формулировка задачи: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл (решка) не выпадет ни разу (выпадет ровно/хотя бы 1, 2 раза).
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 10 (Классическое определение вероятности).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.
Пример задачи 1:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.
Решение:
Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:
ОО ОР РО РР
Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых нет ни одного орла. Такая комбинация всего одна (РР).
Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинации. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:
P = 1 / 4 = 0.25
Ответ: 0.25
Пример задачи 2:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение:
Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:
ОО ОР РО РР
Всего таких комбинаций получилось 4.
Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинации. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:
P = 1 / 4 = 0.25
Ответ: 0.25
Пример задачи 3:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение:
Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:
ОО ОР РО РР
Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпал ровно 1 раз. Таких комбинаций всего две (ОР и РО).
Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинаций. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:
P = 2 / 4 = 0.
5
Ответ: 0.5
Пример задачи 4:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Решение:
Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:
ОО ОР РО РР
Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадет хотя бы 1 раз. Таких комбинаций всего три (ОО, ОР и РО).
Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинаций. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:
P = 3 / 4 = 0.75
Ответ: 0.75
Эксперименты с подбрасыванием двух одинаковых монет
Бисерка Коларец
Студенты часто изучают классическое определение вероятности в самом начале процесса развития статистической грамотности.
В этом определении говорится, что если шансы всех исходов или событий эксперимента равны, то вероятность конкретного события равна числу благоприятных исходов, деленному на число всех возможных исходов.
Простейшим примером классического вероятностного эксперимента является подбрасывание монеты: кто-то бросает монету и записывает, какой стороной она упадет — орлом (H) или решкой (T). Демонстрационное пространство состоит из двух событий {H, T}. Здесь предполагается, что монета симметрична. По классическому определению вероятности вероятности выпадения орла или решки одинаковы и равны 1/2. Классическая формула вероятности является естественной концепцией, и учащиеся сразу ее усваивают.
Поскольку количество всех возможных исходов в эксперименте с подбрасыванием одной монеты невелико, можно быстро перейти к более сложному эксперименту с подбрасыванием большего количества монет. Рассмотрим опыты с подбрасыванием двух монет. В большинстве книг по теории вероятностей подобные эксперименты приводятся без дополнительных объяснений.
Например, в классической книге вероятностей Первый курс теории вероятностей дан следующий пример:
Если эксперимент состоит в подбрасывании двух монет, то выборочное пространство состоит из следующих четырех точек: S = {(H , Н), (Н, Т), (Т, Н), (Т, Т)}
Формулировка «подбрасывание двух монет» предполагает, что при одном подбрасывании выбрасываются две монеты. Так ли уж просты рассуждения в таком эксперименте? Не совсем. Студенты сомневаются в размере выборки, если им скажут, что мы подбрасываем две одинаковые монеты.
Задача
Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию двух одинаковых монет за один бросок. Значительный процент студентов придерживается мнения, что возможны только три исхода этого эксперимента. А именно, студенты рассуждают, что можно получить две решки (H, H), две решки (T, T) или одну решку и одну решку (H, T). Ничего странного, поскольку именно это и можно наблюдать. На вопрос, какова вероятность выпадения одного орла и одной решки, учащиеся ответят, что она равна 1/3 (один благоприятный исход из трех возможных), что соответствует классическому определению вероятности.
Такое рассуждение можно усилить, поставив следующую троичную задачу:
- Рассмотрите следующие эксперименты и для каждого эксперимента запишите все возможные исходы, определите количество исходов и определите вероятность выпадения одного орла и одной решки.
Эксперимент 2: За один бросок бросают две монеты разного типа.
Эксперимент 3: За один бросок бросают две одинаковые монеты.
Все три эксперимента были намеренно сформулированы как одна задача, чтобы заставить учащихся подозревать, что их выборочные пространства могут быть разными. Поскольку им были даны инструкции по маркировке результатов, почти всем учащимся удалось распознать четыре возможных результата эксперимента 1.
Точно так же учащиеся пришли к выводу, что если существует соглашение о порядке маркировки результатов, то в эксперименте 2 есть четыре возможных результата, также.
Подводя итог, результаты первых двух экспериментов можно записать в виде упорядоченных пар: (H, H), (H, T), (T, H) и (T, T). По классическому определению вероятности студенты пришли к выводу, что вероятность выпадения одного орла и одной решки равна 2/4=1/2 в обоих экспериментах. Далее более 60% учащихся написали, что все три эксперимента имеют четыре исхода и вероятности выпадения одного орла и одной решки равны 1/2. Однако почти для 40% учащихся ответ был таким, как на рис. 19.0005
Рисунок 1: Одно из решений проблемы.
Противостояли две группы студентов с разными мнениями об общем количестве исходов в эксперименте 3. Главный вопрос заключался в том, нужно ли различать эксперименты по подбрасыванию двух разных или одинаковых монет за один бросок. Студентов попросили объяснить, почему, по их мнению, общее количество результатов в эксперименте 3 равно трем или четырем.
Они обсудили этот вопрос в небольших группах в духе обучения сверстников, представленного Эриком Мазуром в книге «Обучение сверстников: научить учащихся думать в классе». Мы не вмешивались в обсуждение.
В конце концов, меньшинство убедило большинство изменить свое мнение! Причина заключалась в том, что, поскольку нет способа визуально различить результаты (H, T) и (T, H), можно выделить только три результата. Это исходы H-H, H-T и T-T, и мы можем больше не записывать их как упорядоченные пары.
В эксперименте 3 учащиеся пришли к выводу, что исходов всего три, и, исходя из классического определения, вероятность выпадения одного орла и одной решки равна 1/3 (один благоприятный из трех возможных исходов). После обсуждения почти все студенты согласились с этим.
Наша цель активно и искренне вовлечь учащихся в проблему достигнута. Студенты взяли на себя ответственность за решение проблемы; пришло время направить их туда, где они должны быть.
Руководство к правильному заключению
Мы не занимались аксиоматическим определением вероятности, поэтому познакомили учащихся с тремя точками зрения на определение вероятности.
Помимо классического определения, вероятность возникновения события можно рассматривать как относительное количество раз, которое мы ожидаем, что событие произойдет в большом количестве испытаний. Кроме того, можно говорить о субъективном понятии вероятности как меры веры. В эксперименте с одним подбрасыванием монеты, где есть два возможных исхода и при логическом предположении, что монета симметрична, все три определения совпадают. Субъективная, или эпистемическая, интерпретация вероятности предполагает (точно так же, как и классическая), что орел и решка появляются с одинаковой вероятностью с вероятностью 1/2 каждая. Определение через относительные частоты предполагает повторение эксперимента большое количество раз и нахождение вероятности события как предела результирующего отношения числа повторений события к количеству повторений эксперимента. Если кто-то сомневается в какой-то вероятности, подход относительной частоты — это просто средство для получения правильного ответа.
Студенты пришли к выводу, что существует способ проверить, равна ли вероятность выпадения одного орла и одной решки в двух одинаковых экспериментах с подбрасыванием монеты 1/3.
Они экспериментировали с подбрасыванием двух одинаковых монет большое количество раз. Студенты были разделены на пары, и каждая пара считала, сколько раз выпадет один орел и одна решка, подбрасывая две одинаковые монеты 30 раз. Все результаты были объединены для расчета относительной частоты события.
Студенты были удивлены, когда оказалось, что это близко к 1/2, а не к 1/3! Это наблюдение привело к следующему выводу: хотя исходы H-T и T-H нельзя различить, они все равно случаются.
В заключение было обнаружено, что выборочное пространство в эксперименте по подбрасыванию двух одинаковых монет состоит из четырех исходов. Кроме того, вероятность выпадения одного орла и одной решки вдвое превышает вероятность выпадения либо двух орлов, либо двух решек. Мы заметили, что и те, кто был прав, и те, кто ошибался, кажется, убеждены в размере выборочного пространства.
Обсуждение задачи
Подбрасывание двух монет — простейший случайный эксперимент, упоминаемый практически во всех учебниках по статистике.
В большинстве учебников предполагается прямое понимание того, что в экспериментах с подбрасыванием двух монет возможны четыре исхода. Авторы не комментируют, идентичны ли две монеты.
Согласно приведенному здесь случаю, учащиеся различают размер области выборки, если говорят, что подбрасывают две разные или две одинаковые монеты. Мы продолжаем сталкиваться с одной и той же проблемой год за годом, поколение за поколением: относительно большой процент студентов придерживался мнения, что в эксперименте с подбрасыванием двух одинаковых монет выборочное пространство состоит всего из трех событий. Даже те, кто думал, что есть четыре возможных исхода, не были достаточно уверены, чтобы настаивать на своем мнении, столкнувшись с другим.
Приведенная выше лекция, которая приводит студентов к правильному выводу о размере выборки, требует времени, которого может не хватать учителю. Было бы лучше, во-первых, убедиться, что нет недопонимания относительно пространства выборки. Есть простой способ сделать это: расскажите о монете, подброшенной два раза.
В таких экспериментах результаты могут быть помечены как упорядоченные пары, и у студентов, вероятно, не будет проблем с записью всех четырех. Этот подход также можно найти в некоторых книгах по статистике, например 9.0009 Современное введение в теорию вероятностей и статистику: понимание того, почему и как .
Из нашей педагогической практики известно, что учащиеся легко обобщают и подсчитывают количество всех возможных исходов в эксперименте с подбрасыванием монеты более двух раз. Таким образом, в экспериментах, которые повторяются n раз, общее количество исходов равно 2 n . Единственная слабость таких экспериментов по сравнению с несколькими идентичными экспериментами с подбрасыванием монеты заключается в том, что если бы они действительно проводились, они заняли бы больше времени. Тем не менее, это небольшая цена, если таковая вообще имеется, поскольку большинство экспериментов, которые мы «выполняем», выполняются в уме (т.
Читатель может возразить против того, чтобы говорить о подбрасывании одной монеты дважды вместо одновременного подбрасывания двух одинаковых монет.
Однако размышления о результатах эксперимента с двойным подбрасыванием одной монеты могут привести к лучшему пониманию того, что они такие же, как и в эксперименте с одновременным подбрасыванием двух монет. Действительно, независимо от того, брошены ли две одинаковые монеты одновременно, скорее всего, они не упадут в один и тот же момент. Это оправдывает рассмотрение экспериментов с подбрасыванием одной монеты дважды.
Случайные эксперименты | Образец пространства | Испытания
← предыдущее
следующее →
Прежде чем бросить кубик, вы не знаете результат. Это пример случайного эксперимента .
В частности, случайный эксперимент — это процесс, посредством которого мы наблюдаем что-то неопределенное. После
эксперимента известен результат случайного эксперимента. Исход является результатом
случайный эксперимент. Набор всех возможных исходов называется пространством выборок 9.0091 . Таким образом, в
в контексте случайного эксперимента выборочное пространство — это наш универсальный набор .
Вот некоторые
примеры случайных экспериментов и их выборочных пространств:
- Случайный эксперимент: подбросить монетку; пример пространства: $S=\{орел, решка\}$ или, как мы обычно пишем, $\{H,T\}$.
- Случайный эксперимент: бросьте кубик; пример пространства: $S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
- Случайный эксперимент: понаблюдайте за количеством iPhone, проданных магазином Apple в Бостон в $2015$; пример пространства: $S=\{0, 1, 2, 3, \cdots \}$.
- Случайный эксперимент: понаблюдайте за количеством голов в футбольном матче; пример пространства: $S=\{0, 1, 2, 3, \cdots \}$.
Когда мы повторяем случайный эксперимент несколько раз, мы называем каждый из них испытанием . Таким образом, судебное разбирательство
является частным исполнением случайного эксперимента. В примере с подбрасыванием монеты каждое испытание будет
в результате выпадет либо орел, либо решка. Обратите внимание, что выборочное пространство определяется на основе того, как вы определяете свой случайный
эксперимент.
Например,
Пример
Мы подбрасываем монету три раза и наблюдаем последовательность выпадения орла/решки. Демонстрационное пространство здесь может быть определено как
$$S = \{(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H), (H,T,T),(T,H ,T),(T,T,H),(T,T,T)\}.$$
Наша цель — определить вероятность определенных событий . Например, предположим, что мы хотим
узнать вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число. В данном случае наше мероприятие
есть множество $E=\{2, 4, 6\}$. Если результат нашего случайного эксперимента принадлежит множеству $E$, мы говорим, что
произошло событие $E$. Таким образом, событие представляет собой совокупность возможных исходов. Другими словами, событие
является подмножеством выборочного пространства, которому мы присваиваем вероятность. Хотя мы еще не обсуждали, как
чтобы найти вероятность события, вы можете догадаться, что вероятность $\{2, 4, 6 \}$ равна
$50$ процентов, что соответствует $\frac{1}{2}$ в соглашении теории вероятностей.