Value mean theorem: Mean value theorem (video) | Khan Academy

mean value theorem — Wiktionary

Definition from Wiktionary, the free dictionary

Jump to navigationJump to search

Contents

• 1 English
  • 1.1 Noun
    • 1.1.1 Usage notes
    • 1.1.2 Synonyms
    • 1.1.3 Derived terms
    • 1.1.4 Translations
  • 1.2 See also

English[edit]

English Wikipedia has an article on:

mean value theorem

Wikipedia

Noun[edit]

mean value theorem (plural mean value theorems)

1. (mathematics) Any of various theorems that saliently concern mean values.
   • 1964, J. H. Bramble, L. E. Payne, Some Mean Value Theorems in Electrostatics, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Volume 12, page 105,

     Several mean value theorems in the theory of elasticity have appeared in the recent literature […] .

   • 1984 [Nauka, Moscow], Sergey Ermakov, V. V. Nekrutkin (authors and translators), A. S. Sipin (author), Random Processes for Classical Equations of Mathematical Physics, [1984, С. М. Ермаков, В. В. Некруткин, А. С. Сипин, Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики], 1989, Kluwer, Softcover Reprint, page xiii,

     For parabolic equations (Section 5.1) and for the exterior Dirichlet problem (Section 5.2), it is possible to apply the well known mean value theorems.

   • 1994, Patrick W. Thompson, Images of Rate and Operational Understanding of the Fundamental Theorem of Calculus, Paul Cobb (editor), Learning Mathematics, Kluwer, page 167,

     However, Anton switches, unannounced, to another conceptualization in justifying the Fundamental Theorem — he bases it on the mean value theorem for integrals.

   • 2013, Elimhan Mahmudov, Single Variable Differential and Integral Calculus: Mathematical Analysis, Springer, page 259,

     We prove mean value theorems in the context of integrals which are analogous to the ones studied in Chapter 5.

   • 2013, Peter D. Lax, Maria Shea Terrell, Calculus With Applications, Springer, page 171,

     The mean value theorem for derivatives provides an important link between the derivative of f on an interval and the behavior of f over the interval.

2. (calculus, uncountable) The theorem that for any real-valued function that is differentiable on an interval, there is a point in that interval where the derivative of the curve equals the slope of the straight line between the graphed function values at the interval’s end points.
   • 1990, A. Neumaier, Interval Methods for Systems of Equations, Cambridge University Press, page 51,

     In order to get a true bound for the range we may replace the Taylor series in (2) by the mean value theorem, which tells us that

     f(x~)=f(xˇ)+f′(ζ)(x~−xˇ){\displaystyle f({\tilde {x}})=f({\check {x}})+f'(\zeta )({\tilde {x}}-{\check {x}})}

     for some ζ{\displaystyle \zeta } on the line segment between x~{\displaystyle {\tilde {x}}} and xˇ{\displaystyle {\check {x}}}.

   • 2003, Sylvain Raynes, Ann Rutledge, The Analysis of Structured Securities, Oxford University Press, page 397,

     In what follows, we will use the mean value theorem, another one of Lagrange’s many contributions to numerical analysis.

   • 2007, Denise Szecsei, Calculus, The Career Press, page 10,

     The main existence theorems in calculus are the Intermediate Value Theorem, the Extreme Value Theorem, Rolle’s Theorem, and the Mean Value Theorem.

Usage notes[edit]

• (theorem that a point exists where the derivative equals the average slope): In mathematical terms, if f:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } is continuous on [a,b]{\displaystyle [a,b]} and differentiable on (a,b){\displaystyle (a,b)} (where a<b{\displaystyle a<b}) then ∃c∈(a,b):f′(c)=f(b)−f(a)b−a{\displaystyle \exists c\in (a,b):f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}. (Note that since nothing is assumed about the function outside the interval, it cannot, strictly speaking, be said to be differentiable at the end points. However, the continuity condition means that it is right differentiable at a{\displaystyle a} and left differentiable at b{\displaystyle b}.)

Synonyms[edit]

• (theorem that a point exists where the derivative equals the overall slope): Lagrange mean value theorem, mean value theorem for derivatives

Derived terms[edit]

• Cauchy’s mean value theorem
• extended mean value theorem
• Gauss’s mean value theorem

Translations[edit]

theorem that for a differentiable function on an interval there is a point in the interval where the derivative equals the overall slope

Finnish: differentiaalilaskennan väliarvolause, väliarvolause German: Mittelwertsatz m Hebrew: משפט הערך הממוצע‎ m (mishpát ha’érech hamemutzá), משפט לגראנז’‎ m (mishpát lagránzh) Italian: teorema di Lagrange m, teorema del valor medio m, teorema dell’incremento finito m Tagalog: hunain ng tamtaming halga

See also[edit]

• intermediate value theorem

Перевод mean%20value%20theorem на русский | Glosbe

Пример переведенного предложения: I do not mean the feminine nature.

↔ Я не имею в виду женскую природу.

• Glosbe Translate

• Google Translate

+ Добавить перевод Добавить

В настоящее время у нас нет переводов для mean%20value%20theorem в словаре, может быть, вы можете добавить его? Обязательно проверьте автоматический перевод, память переводов или косвенные переводы.

• second mean value theorem

  Вторая теорема о среднем

• first mean value theorem

  Первая теорема о среднем

Добавить пример Добавить

Склонение Основа

I do not mean the feminine nature.

Я не имею в виду женскую природу.

Literature

The United Nations Forum on Forests held a special segment of the Ninth Session of the Forum (UNFF9) on 30 October 2009, which adopted a resolution on the

Means of Implementation for Sustainable Forest Management (forest financing).

30 октября 2009 года Форум Организации Объединенных Наций по лесам провел специальный сегмент девятой сессии Форума (ФООНЛ-9), на котором была принята резолюция «Средства осуществления для целей неистощительного ведения лесного хозяйства (финансирование деятельности в области лесного хозяйства)».

This means that voluntary contributions to such a Fund must be earmarked for the purposes of activities related to the work of the # ommittee, such as those outlined above

Это означает, что добровольные взносы, вносимые в такой фонд, должны резервироваться для целей видов деятельности, связанных с работой Комитета # таких, которые были указаны выше

MultiUn

It also requires more energy efficiency, which means a reduction of waste in both energy production and consumption.

Это также требует большей энергоэффективности, что означает сокращение отходов как в производстве, так и в потреблении энергии.

News commentary

Okay, I mean it shouldn’t take too long, it only compressed half the fucking file.

Ладно, это не должно занять много времени, он просто сжал половину чертового файла.

OpenSubtitles2018.v3

The Commission did not, however, consider that subsequent practice, which is not “in the application of the treaty”, should be dealt with, in the present draft conclusions, as a supplementary means of interpretation.

Тем не менее Комиссия не сочла, что последующая практика, которая не связана «с применением договора», должна быть затронута в настоящих проектах выводов в качестве дополнительного

средства толкования.

I mean, we’ve been through so much together.

В смысле, мы вместе через столько прошли.

OpenSubtitles2018.v3

This entry also applies to liquid fuels, other than those exempted according to paragraphs (a) or (b) of 1.1.3.3, above the quantity specified in column (7a) of Table A of Chapter 3. 2, in means of containment integral to equipment or machinery (e.g. generators, compressors, heating units, etc) as part of their original design type.

Эта позиция также применяется к жидкому топливу, за исключением жидкого топлива, освобожденного от действия правил в соответствии с пунктом а) или b) подраздела 1.1.3.3, в количестве, превышающем значение, указанное в колонке 7а таблицы А главы 3.2, которое содержится в

средствах удержания, являющихся неотъемлемой частью оборудования или машин (например, генераторов, компрессоров, обогревателей и т.д.) в качестве части их первоначального типа конструкции.

If there is not a pure electric position, the manufacturer shall provide the means for performing the measurement with the vehicle running in pure electric operating state.

Если не предусмотрено положение, соответствующее функционированию исключительно на электроэнергии, то изготовитель обеспечивает средства для проведения измерений в ходе эксплуатации транспортного средства в режиме функционирования исключительно на электроэнергии.

This means that the vehicles were customs bonded upon arrival and then released directly to FDS-CI (technically the point of import).

Это означает, что автомашины получили таможенную лицензию при прибытии и затем выпущены (технически в пункте импорта) непосредственно в распоряжение СОБ-КИ.

According to this provision, where the seller is bound to arrange for the transport of the goods or part of them, the seller is bound to act with due care and to opt for appropriate means of transportation.

В соответствии с этим положением продавец, который обязан обеспечить перевозку товара или его части, должен действовать с надлежащей осмотрительностью и выбрать соответствующий способ транспортировки.

You mean like — hungry people?’

Вы говорите про… голодающих?

Literature

It means staying with something and doing all that we can—working, hoping, and exercising faith; bearing hardship with fortitude, even when the desires of our hearts are delayed.

Это упорство, мобилизация всех наших сил – труда, надежды и веры; способность переносить трудности, даже ценой отсрочки желаний нашего сердца.

What do you mean, mom?

Что ты имеешь в виду, мама?

OpenSubtitles2018.v3

b) Holding the high-level and coordination segments of the Economic and Social Council back to back every three years with a common theme on the implementation of Agenda # and the outcomes of the World Summit on Sustainable Development, particularly those related to the necessary means of implementation for developing countries

b) проведения этапов высокого уровня и координации Экономического и Социального Совета одного за другим каждые три года с общей темой осуществления Повестки дня на # век и решений Всемирной встречи на высшем уровне по устойчивому развитию, в частности применительно к необходимым средствам осуществления для развивающихся стран

MultiUn

He contacted my research lab about six weeks ago, and, uh, I mean, I didn’t have access into the server room, and I needed to get the proof.

Он связался с моей лабораторией шесть недель назад, а поскольку у меня не было доступа в серверную, мне нужно было добыть доказательства.

OpenSubtitles2018.v3

This means that making use of the default classification table always needs the agreement of the competent authority

Это означает, что для того, чтобы использовать таблицу классификации по умолчанию, всегда требуется согласие компетентного органа

MultiUn

This means that you will have to rethink everything to be completely customer centric.

Вы должны всё продумать заново, чтобы поставить клиента в центр внимания.

Literature

“If you’re a god . . . does that mean that the others are too?”

— Но если вы бог… Значит, и все остальные тоже?

Literature

The comments, where a corresponding provision is still found of relevance, mean that paragraph 2 should be maintained in the Instrument.

Эти замечания, в соответствии с которыми соответствующее положение все еще считается значимым, означают, что пункт 2 следует сохранить в этом документе.

La Roque was incapable of reading any meaning except changing distance into this phenomenon.

Ла Рок ничего не мог понять по этим признакам, кроме того, что расстояние до корабля постоянно меняется.

Literature

It also means effectively the end of Western civilization.

Фактически это означает и конец западной цивилизации.

Literature

I mean, except for the part that’s stuck in his torso.

Исключая ту часть, которая застряла в груди.

OpenSubtitles2018.v3

What do you mean, not her?

Что ты имеешь в виду, не она?

OpenSubtitles2018.v3

Oh, he means entomology.

Ого, он знает энтомологию.

OpenSubtitles2018.v3 Список самых популярных запросов: 1K, ~2K, ~3K, ~4K, ~5K, ~5-10K, ~10-20K, ~20-50K, ~50-100K, ~100k-200K, ~200-500K, ~1M

4.4 Теорема о среднем значении

Цели обучения

• Объясните смысл теоремы Ролля. {\prime}(c) \ne 0[/latex] для любого [latex]c \in (-1,1)[/latex], как показано на следующий рисунок. 92-8x+6[/latex], заданное на интервале [latex][1,3][/latex], удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найдите все точки [latex]c[/latex], гарантированные теоремой Ролля.

  Показать решение

  Теорема Ролля является частным случаем теоремы о среднем значении. В теореме Ролля мы рассматриваем дифференцируемые функции [latex]f[/latex], равные нулю на концах. Теорема о среднем значении обобщает теорему Ролля, рассматривая функции, которые не обязательно равны нулю в конечных точках. Следовательно, мы можем рассматривать теорему о среднем значении как наклонную версию теоремы Ролля ((рисунок)). Теорема о среднем значении утверждает, что если [latex]f[/latex] непрерывен на замкнутом интервале [latex][a,b][/latex] и дифференцируем на открытом интервале [latex](a,b)[/latex ], то существует точка [latex]c \in (a,b)[/latex] такая, что касательная к графику [latex]f[/latex] в точке [latex]c[/latex] параллельна к секущей, соединяющей [латекс](a,f(a))[/латекс] и [латекс](b,f(b))[/латекс].

  Рисунок 5. Теорема о среднем значении утверждает, что для функции, удовлетворяющей ее условиям, в некоторой точке касательная имеет тот же наклон, что и секущая между концами. Для этой функции есть два значения [latex]c_1[/latex] и [latex]c_2[/latex] такие, что касательная к [latex]f[/latex] в точках [latex]c_1[/latex] и [ латекс]c_2[/латекс] имеет тот же наклон, что и секущая линия.

  Теорема о среднем значении

  Пусть [latex]f[/latex] непрерывен на замкнутом интервале [latex][a,b][/latex] и дифференцируем на открытом интервале [latex](a,b)[/ латекс]. Тогда существует хотя бы одна точка [latex]c \in (a,b)[/latex] такая, что 9{\ prime} (c) = \ frac {f (b) -f (a)} {ba} [/ латекс].

  Доказательство

  Доказательство следует из теоремы Ролля введением соответствующей функции, удовлетворяющей критериям теоремы Ролля. Рассмотрим линию, соединяющую [латекс](a,f(a))[/латекс] и [латекс](b,f(b))[/латекс]. Поскольку наклон этой линии равен

  [латекс]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex]

  , а линия проходит через точку [латекс](a,f(a ))[/latex], уравнение этой линии можно записать как

  [latex]y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)[/latex ].

  Пусть [latex]g(x)[/latex] обозначает разность по вертикали между точкой [latex](x,f(x))[/latex] и точкой [latex](x,y)[/latex ] в этой строке. Следовательно,

  [латекс]g(x)=f(x)-[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)][/latex].

  Рисунок 6. Значение [latex]g(x)[/latex] представляет собой разницу по вертикали между точкой [latex](x,f(x))[/latex] и точкой [latex](x ,y)[/latex] на секущей, соединяющей [latex](a,f(a))[/latex] и [latex](b,f(b)).[/latex]

  Поскольку график [latex]f[/latex] пересекает секущую, когда [latex]x=a[/latex] и [latex]x=b[/latex], мы видим, что [latex]g(a) =0=g(b)[/латекс]. Поскольку [латекс]f[/латекс] является дифференцируемой функцией над [латексом](a,b)[/латексом], [латекс]г[/латекс] также является дифференцируемой функцией над [латексом](а,b)[ /латекс]. Кроме того, поскольку [латекс]f[/латекс] непрерывен над [латексом][а,b][/латексом], [латекс]г[/латекс] также непрерывен над [латексом][а,b][/латексом]. ]. Следовательно, [латекс]г[/латекс] удовлетворяет критериям теоремы Ролля. {\prime}(c)=0[/latex]. С 9{\ prime} (c) = \ frac {f (b) -f (a)} {ba} [/ латекс].

  □

  В следующем примере мы покажем, как теорему о среднем значении можно применить к функции [latex]f(x)=\sqrt{x}[/latex] на интервале [latex][0,9 ][/латекс]. Метод такой же для других функций, хотя иногда с более интересными последствиями.

  Проверка применимости теоремы о среднем значении f[/latex] удовлетворяет условию теоремы о среднем значении, поэтому существует по крайней мере одно значение [latex]c \in (0,9{\prime}(c)[/latex] равно наклону линии, соединяющей [латекс](0,f(0))[/латекс] и [латекс](9,f(9))[/латекс ]. Найдите эти значения [latex]c[/latex], гарантированные теоремой о среднем значении.

  Показать решение

  Одно приложение, помогающее проиллюстрировать теорему о среднем значении, касается скорости. Например, предположим, что мы едем на автомобиле в течение 1 часа по прямой дороге со средней скоростью 45 миль в час. Пусть [latex]s(t)[/latex] и [latex]v(t)[/latex] обозначают положение и скорость автомобиля соответственно для [latex]0 \le t \le 1[/latex] час Предполагая, что функция положения [latex]s(t)[/latex] дифференцируема, мы можем применить теорему о среднем значении, чтобы заключить, что в некоторый момент времени [latex]c \in (0,1)[/latex] скорость машины была ровно 92+100[/латекс]. 2+200[/latex]. Найдите время [latex]t[/latex], когда мгновенная скорость мяча равна его средней скорости. 9{\prime}(x)=0[/latex] для всех [латекс]x \in I[/latex], тогда [латекс]f(x)[/latex] является константой для всех [латекс]x \in I [/латекс].

  Доказательство

  Поскольку [латекс]f[/латекс] дифференцируем над [латекс]I[/латекс], [латекс]f[/латекс] должен быть непрерывен над [латекс]I[/латекс]. Предположим, что [latex]f(x)[/latex] не является константой для всех [latex]x[/latex] в [latex]I[/latex]. Тогда существуют [латекс]a,b \in I[/латекс], где [латекс]а \ne b[/латекс] и [латекс]f(a) \ne f(b)[/латекс]. Выберите обозначение так, чтобы [латекс]а

  □

  Третье следствие теоремы о среднем значении обсуждает, когда функция возрастает и когда она убывает. Напомним, что функция [latex]f[/latex] возрастает по [latex]I[/latex], если [latex]f(x_1)f(x_2)[/латекс] всякий раз, когда [латекс]x_1

  Рис. 9. Если функция имеет положительную производную на некотором интервале [latex]I[/latex], то функция возрастает на этом интервале [latex]I[/latex]; если производная отрицательна на некотором интервале [latex]I[/latex], то функция убывает на этом интервале [latex]I[/latex]. 9{\prime}(x)<0[/latex] для всех [latex]x \in (a,b)[/latex], тогда [latex]f[/latex] является убывающей функцией над [latex][a ,b][/латекс].

Доказательство

Докажем 1.; доказательство 2. аналогично. Предположим, что [latex]f[/latex] не является возрастающей функцией на [latex]I[/latex]. Тогда существуют [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс] в [латекс]I[/латекс] такие, что [латекс]а

1. Зачем нужна непрерывность, чтобы применить теорему о среднем значении? Постройте контрпример.

2. Зачем нужна дифференцируемость, чтобы применить теорему о среднем значении? Найдите контрпример.

Показать решение

3. {\prime}(c)(b-a)=f(b)-f(a)[/latex] ? Приведите такой пример или докажите, почему нет. 92}[/latex]

22. [latex]f(x)=\sqrt{|x|}[/latex]

Показать решение

23. [латекс]f(x)=⌊x⌋[/латекс] ( Подсказка : Это называется функцией пола и определяется так, что [латекс]f(x)[/латекс ] — наибольшее целое число, меньшее или равное [latex]x[/latex].)

В следующих упражнениях определите, применима ли теорема о среднем значении к функциям на заданном интервале [latex][a,b][ /латекс]. Обосновать ответ. 92+3x+2}{x}[/latex] над [latex][-1,1][/latex]

Показать решение

31. [latex]y=\frac{x}{ \sin (\pi x)+1}[/latex] над [latex][0,1][/latex]

32. [latex]y=\ln (x+1)[/latex] над [latex][0,e-1][/latex]

Показать решение

33. [латекс]y=x \sin (\pi x)[/латекс] над [латекс][0,2][/латекс]

34. [латекс]у=5+| x|[/latex] over [latex][-1,1][/latex]

Показать решение

В следующих упражнениях рассмотрим корни уравнения. 9x-b[/latex], чтобы иметь один корень. Возможно ли иметь более одного корня?

В следующих упражнениях используйте калькулятор, чтобы построить график функции на интервале [latex][a,b][/latex] и построить секущую от [latex]a[/latex] до [latex]b[/ латекс]. Используйте калькулятор, чтобы оценить все значения [latex]c[/latex], гарантированные теоремой о среднем значении. Затем найдите точное значение [latex]c[/latex], если возможно, или напишите окончательное уравнение и используйте калькулятор, чтобы вычислить его до четырех цифр. 92}[/latex] over [latex][3,8][/latex]

Показать решение

43. В 10:17 вы проезжаете мимо полицейской машины, остановившейся на шоссе со скоростью 55 миль в час. Вы проезжаете мимо второй полицейской машины со скоростью 55 миль в час в 10:53, которая находится в 39 милях от первой полицейской машины. Если ограничение скорости составляет 60 миль в час, может ли полиция привлечь вас к ответственности за превышение скорости?

44. Две машины едут от одного прожектора к другому, выезжают и прибывают одновременно. Бывают ли моменты, когда они движутся с одинаковой скоростью? Докажи или опровергни. 9{\ простое число} (с) = 0 [/латекс]

Теорема о среднем значении — формула, утверждение, доказательство, график

Теорема о среднем значении — важная теорема в исчислении. Первая форма теоремы о среднем значении была предложена в 14 веке Пармешварой, математиком из Керелы, Индия. Кроме того, более простая версия этого была предложена Роллем в 17 веке: теорема Ролля, которая была доказана только для многочленов и не была частью исчисления. Наконец, настоящая версия теоремы о среднем значении была предложена Огюстеном Луи Коши в 1823 году.0015

Теорема о среднем значении утверждает, что для кривой, проходящей через две заданные точки, существует одна точка на кривой, в которой касательная параллельна секущей, проходящей через две заданные точки. Теорема Ролля была получена из этой теоремы о среднем значении.

1.	Что такое теорема о среднем значении?
2.	Доказательство теоремы о среднем значении
3.	Графическое представление теоремы о среднем значении
4.	Разница между теоремой о среднем значении и теоремой Ролля
5.	Часто задаваемые вопросы по теореме о среднем значении

Что такое теорема о среднем значении?

Теорема о среднем значении утверждает, что для любой функции f(x), график которой проходит через две заданные точки (a, f(a)), (b, f(b)), существует по крайней мере одна точка (c , f(c)) на кривой, касательная которой параллельна секущей, проходящей через две заданные точки. Теорема о среднем значении определяется здесь исчислением для функции f (x): [a, b] → R, такой, что она непрерывна и дифференцируема на интервале.

• Функция f(x) непрерывна на интервале [a, b].
• Функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b).
• Существует точка c в (a, b) такая, что f'(c) = [ f(b) — f(a) ] / (b — a)

Здесь мы доказали, что касательная в точке c параллельна секущей, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b)). Эта теорема о среднем значении используется для доказательства утверждения на замкнутом интервале. Кроме того, теорема о среднем значении выводится из теоремы Ролля.

Доказательство теоремы о среднем значении

Утверждение: Теорема о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на открытом отрезке (a, b), то существует по крайней мере одна точка c в отрезок (а, b) такой, что f'(c) есть средняя скорость изменения функции на [a, b] и он параллелен секущей на [a, b].

Доказательство: Пусть g(x) будет секущей к f(x), проходящей через (a, f(a)) и (b, f(b)). Мы знаем, что уравнение секущей есть y — y ₁ = м (х — х ₁ ).

g(x) — f(a) = [ f(b) — f(a)] / (b — a) (x-a)

g(x) = [ f(b) — f(a)] / (b — a) (x-a) + f(a) ——>(1)

Пусть h(x) равно f(x) — g(x)

h(x) = f(x ) — [[ f(b) — f(a) ] / (b — a) (x-a) + f(a)] (Из (1))

h(a) = h(b) = 0 и h (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).

Таким образом, применяя теорему Роллеса, существует некоторый x = c в (a, b) такой, что h'(c) = 0.

h'(x) = f'(x) — [ f(b) — f(а) ] / (б — а)

Для некоторого c в (a, b) h'(c) = 0. Таким образом,

h'(c) = f'(c) — [ f(b) — f(a) ] / (b — а) = 0

f'(c) = [ f(b) — f(a) ] / (b — a)

Таким образом, теорема о среднем значении доказана.

Примечание. Результат может быть неверным, если функция не дифференцируема даже в одной точке открытого интервала.

Графическое представление теоремы о среднем значении

Графическое представление функции f(x) помогает понять теорему о среднем значении. Здесь мы рассматриваем две различные точки (a, f(a)), (b, f(b)). Линия, соединяющая эти точки, является секущей кривой, которая параллельна касательной, пересекающей кривую в точке (c, f(c)). Наклон секущей кривой, соединяющей эти точки, равен наклону касательной в точке (c, f(c)). Мы знаем, что производная касательной есть наклон в этой точке.

Наклон касательной = Наклон секущей

f'(c) = [ f(b) — f(a) ] / (b — a)

Здесь мы замечаем, что точка (c, f (c)), лежит между двумя точками (a, f(a)), (b, f(b)).

Разница между теоремой о среднем значении и теоремой Ролля

И теорема о среднем значении, и теорема Ролля определяют функцию f(x) так, что она непрерывна на интервале [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). В теореме о среднем значении две упомянутые точки (a, f (a)), (b, f (b)) различны и f (a) ≠ f (b). В теореме Ролля точки определяются так, что f (a) = f (b).

Значение c в теореме о среднем значении определяется таким образом, что наклон касательной в точке (c, f(c)) равен наклону секущей, соединяющей две точки. Значение c в теореме Ролля определяется таким образом, что наклон касательной в точке (c, f(c)) равен наклону оси x. Наклон в теореме о среднем значении равен f'(c) = [f(b) — f(a)] / (b — a), а наклон в теореме Ролля равен f'(c) = 0,

.

☛ Похожие темы:

• Формула теоремы о среднем значении
• Формула ограничения
• Формула дифференциации и интеграции

 

Примеры теоремы о среднем значении

1. Пример 1: Проверить, удовлетворяет ли функция f(x) = x ² + 1 теореме о среднем значении в интервале [1, 4]. Если да, найдите значение ‘c’.

   Решение:

   Данная функция есть f(x) = x ² + 1. Для проверки теоремы о среднем значении функция f(x) = x ² + 1 должна быть непрерывной в [1, 4] и дифференцируемой в (1, 4).

   Поскольку f(x) является полиномиальной функцией, оба вышеуказанных условия выполняются.

   Производная f'(x) = 2x (степенное правило) определяется в интервале (1, 4)

   f(1) = 1 ² + 1 = 1 + 1 = 2

   f(4) = 4 ² + 1 = 16 + 1 = 17

   f'(c) = [ f(4) — f(1) ] / (4 — 1)

   = (17 — 2) / (4 — 1) = 15/3 = 5

   f'(c) = 5

   2c = 5

   c = 2,5, лежащее в интервале (1, 4)

   Ответ: Данная функция удовлетворяет теореме о среднем значении и c = 2,5.

2. Пример 2: Найдите значение c, если функция f(x) = x ² — 4x + 3 удовлетворяет теореме о среднем значении в интервале [1, 4].

   Решение:

   Данная функция f(x) = x ² — 4x + 3 удовлетворяет условию теоремы о средних значениях, так как непрерывна в [1, 4] и дифференцируема в (1, 4 ).

   f'(x) = 2x — 4

   f(1) = 1 — 4 + 3 = 0

   f(4) = 4 ² — 4(4) + 3 = 16 — 16 + 3 = 3

   f'(x) = [ f(4) — f(0) ] / (4 — 0)

   = (3 — 0) / (4 — 1)

   = 3/3 = 1

   f'(c) = 1

   2c — 4 = 1

   2c = 5

   c = 5/2 = 2,5

   c = 2,5 принадлежит интервалу (1, 4)

   Ответ: c = 2,5

3. Пример 3: Для функции f(x) = x ² + 2x, найти все значения c, которые удовлетворяют теореме о среднем значении, на интервале [-4,4].

   Решение:

   f(x) = x ² + 2x является полиномом и, следовательно, непрерывен и дифференцируем на заданном интервале [4,-4]

   f'(x) = 2x+ 2

   f(4) =4 ² + 2(4) = 24

   f(-4) = (-4) ² + 2(-4)= 8

   f'(c) = [ f (4) — f(-4)] / (4 — (-4)) = 2

   Найдем c в (-4,4) такое, что f'(c) = 2

   f'(x) = 2x+ 2

   f'(2) = 2(2)+ 2 = 6

   f'(x) = 2c+ 2 = 2

   ⇒ c = 0 и присутствует в заданный интервал.

   Ответ: Для функции f(x) = x ² + 2x значение c = 0, удовлетворяющее теореме о среднем значении, на интервале [-4,4].

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по теореме о среднем значении

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по теореме о среднем значении

Что утверждает теорема о среднем значении?

Теорема о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на замкнутом интервале [a, b] и дифференцируема на открытом интервале (a, b), то на интервале (a, b) существует точка c. б) такая, что f'(c) — средняя скорость изменения функции на [а, b] и параллельна секущей на [а, b].

Что такое уравнение теоремы о среднем значении?

Теорема о среднем значении определяется для функции f(x): [a, b]→ R, такой, что она непрерывна на интервале [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Для точки c в (a, b) уравнение теоремы о среднем значении выглядит следующим образом: f'(c) = [ f(b) — f(a) ] / (b — a)

Разница между теоремой Ролля и теоремой о среднем значении?

Если f(x) — функция, непрерывная на [a, b] и дифференцируемая на (a, b),

• и если f(a) = f(b), то по теореме Ролля существует ‘c’ в интервале (a, b) такое, что f'(c) = 0,
• , то по теореме о среднем значении существует ‘c’ в интервале (a, b) такое, что f'(c) = [ f(b) — f(a) ] / (b — a).

Что означает теорема о среднем значении?

Теорема о среднем значении утверждает, что для кривой, проходящей через две заданные точки, существует одна точка на кривой, в которой касательная параллельна секущей, проходящей через две заданные точки. Теорема Ролля используется для вывода теоремы о среднем значении.

Что такое гипотеза теоремы о среднем значении?

Гипотеза теоремы о среднем значении состоит в том, что для непрерывной функции f(x) она непрерывна на интервале [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Как найти значения, удовлетворяющие теореме о среднем значении?

Значения, удовлетворяющие теореме о среднем значении, вычисляются путем нахождения дифференциала заданной функции f(x). Данная функция определена на интервале (a, b), а значением, удовлетворяющим теореме о среднем значении, является точка c, принадлежащая интервалу (a, b). И мы можем найти его значение из f'(c) = [ f(b) — f(a) ] / (b — a)

Как вывести теорему Ролля из теоремы о среднем значении?

Рассмотрим функцию f(x), непрерывную на [a, b] и дифференцируемую на (a, b). Тогда по теореме о среднем значении существует ‘c’ такое, что f'(c) = [f(b) — f(a)] / (b — a). Чтобы вывести из этого теорему Ролля, возьмем дополнительное условие в условии теоремы Ролля, что f (a) = f (b).

No related posts.