Вольфрам производная: Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Содержание

Вывод функции кривой для плавного ограничения параметров, сигналов и не только в Wolfram Mathematica / Хабр

Существует ряд задач, в которых диапазон выходных значений должен быть ограничен, в то время как входные данные этого гарантировать не могут. Помимо вынужденных ситуаций, ограничение сигнала может быть и целенаправленной задачей — например, при компрессии сигнала или реализации эффекта «overdrive».

Самая простая реализация ограничения — это принудительная установка в некоторое значение при превышении определённого уровня. Например, для синусоиды с возрастающей амплитудой это будет выглядеть так:

В роли ограничителя здесь выступает функция Clip, в качестве аргумента которой передаётся входной сигнал и параметры ограничения, а результатом функции является выходной сигнал.

Посмотрим на график функции Clip отдельно:

Из него видно, что пока мы не превышаем пределы ограничения, выходное значение равно входному и сигнал не меняется; при превышении же выходное значение от входного уже никак не зависит и остаётся на одном и том же уровне. По сути, мы имеем кусочно-непрерывную функцию, составленную из трёх других: y=-1, y=x и y=1, выбираемых в зависимости от аргумента, и эквивалентную следующей записи:

Переход между функциями происходит довольно резко; и выглядит заманчивым сделать его более плавным. Математически эта резкость обусловлена тем, что производные функций в точках стыковки не совпадают. Это легко увидеть, построив график производной функции Clip:

Таким образом, чтобы обеспечить гладкость функции ограничения, необходимо обеспечить равенство производных в точках стыковки. А поскольку крайние функции у нас константы, производные от которых равны нулю, то и производные функции ограничения в точках стыковки тоже должны быть равны нулю. Далее будут рассмотрены несколько таких функций, обеспечивающих гладкую стыковку.

Синус

Самое простое — это использовать функцию sin на интервале от -pi/2 до pi/2, на границах которого значения производной равны нулю по определению:

Нужно только масштабировать аргументы, чтобы единица проецировалась на Pi/2. Теперь мы можем определить собственно ограничивающую функцию:

И построить её график:

Так как пределы ограничения у нас жёстко определены, то ограничение задаётся через масштабирование входного сигнала с последующим (при необходимости) обратном масштабировании.
Здесь также уже нет ситуации, при которой входной сигнал передаётся на выход без искажений — чем меньше уровень усиления, тем меньше уровень искажений вследствие ограничения — но сигнал искажается в любом случае.
Влияние параметра усиления на искажение сигнала можно посмотреть и в динамике:

Больше гладкости

Посмотрим на производную нашей функции:

В ней уже нет разрывов в значениях, но есть разрывы в производной (второй, если считать от изначальной функции). Для того, чтобы её устранить, можно пойти обратным путём — сначала сформировать гладкую производную, а затем её проинтегрировать для получения искомой функции.
Самый простой способ обнулить производную точках -1 и 1 — это просто возвести функцию в квадрат — все отрицательные значения функции станут положительными и, соответственно, возникнут перегибы в точках пересечения функции с нулём.

Находим первообразную:

Теперь осталось масштабировать её по оси ординат. Для этого найдём её значение в точке 1:

И поделим на неё (да, конкретно здесь это элементарное умножение на 2, но далеко не всегда так бывает):

Таким образом, итоговая функция ограничения примет вид:

Переходим на полиномы

Использование тригонометрический функций в некоторых случаях может оказаться несколько расточительным. Поэтому попробуем построить необходимую нам функцию, оставаясь в рамках элементарных математических операций.
Рассмотрим параболу:

Так как у неё уже есть перегиб в точке ноль, мы можем использовать одну и ту же часть на интервале {0,1} для для стыковки с константами. Для отрицательных значений её нужно сместить вниз и влево:

а для положительных — отразить по вертикали и горизонтали:

И наша функция с параболой примет вид:

Немного усложним

Вернёмся к нашей параболе, перевернём её и сместим на единицу вверх:

Это будет производная нашей функции. Чтобы сделать её более гладкой в точках стыковки, возведём в квадрат, обнулив таким образом вторую производную:

Интегрируем и масштабируем:

Получаем ещё более гладкую функцию:

Больше гладкости богу гладкости

Здесь мы попробуем добиться гладкости в точках стыковки на ещё более высших производных. Для этого для начала определим функцию как полином с неизвестными коэффициентами, а сами коэффициенты попробуем найти через решение системы уравнений.

Начнём со 1-й производной:

2-я:

3-я:

Все эти коэффициенты выглядит так, как будто в них есть какая-то логика. Выпишем множители, помножив их на значение степени при х; а чтобы не писать каждый раз одно и тоже, автоматизируем процесс нахождения коэффициентов:

Похоже на биномиальные коэффициенты. Сделаем смелое предположение, что это они и есть, и исходя из этого, запишем обобщённую формулу:

Проверим:

Похоже на правду ^[1]. Осталось только посчитать масштабный коэффициент, чтобы привести края к единице:

А после масштабирования и упрощения мы обнаружим, что наши познания в математике несколько устарели ^[2]:

Таким образом, мы получили функцию для синтеза полинома порядка n, в которой n-1 первых производных будут равны нулю:

Посмотрим, что получилось:

И поскольку наша обобщённая формула получилась непрерывной, при желании можно использовать и нецелые значения параметров:

Также можно построить графики производных, приведённых к одному масштабу:

Добавляем жёсткости

Было бы заманчиво, иметь возможность регулировать и степень «жёсткости» ограничения.

Вернёмся к нашей перевёрнутой параболе и добавим коэффициент при степени x:

Чем больше n, тем больше наша производная «квадратная», а её первообразная — соответственно, резкая:

Посчитаем первообразную и скорректируем масштаб:

Попробуем теперь задать дробный шаг для параметра:

Как видим, в отрицательной части не для всех n имеется корректное решение, но в правой (положительной) части необходимые нам условия по-прежнему соблюдаются — поэтому для отрицательных значений мы можем просто использовать её в перевёрнутом виде с реверсированным аргументом. И поскольку область определения параметра уже не ограничена только положительными целыми числами, то можно упростить формулу, заменив 2n на n:

А заменив n на n-1, можно сделать формулу чуть более красивой:

Поскольку при n равным единице мы получаем деление на ноль, то попробуем найти предел:

Предел находится, а значит, теперь можно доопределить

[3] функцию для n равным 1 и рассматривать её для всех n больших нуля:

Если же мы изначально возведём нашу перевёрнутую параболу в квадрат, то получим ещё более гладкую функцию:

И можем сравнить их на одном графике:

Рационализируй это

Посмотрим на следующую функцию:

Появилась она не случайно.
Если убрать из неё единицу, x² сократится и останется просто x, т.е наклонная прямая. Таким образом, чем меньше значение x, тем большее влияние оказывает единица в знаменателе, создавая необходимое нам искривление. А рассматривая эту функцию в разных масштабах, можно контролировать степень этого искривления:

Таким образом, мы можем переписать предыдущую функцию с контролем жёсткости, используя только рациональный полином 3-порядка:

Автоматизируй это

Чтобы не задавать каждый раз кусочно-непрерывные функции, мы можем определить вспомогательную функцию, которая сделает это самостоятельно, принимая на вход донорскую функцию в качестве аргумента.

Если наша функция уже обладает диагональной симметрией и выровнена по центру координат (как синусоида), то можно сделать просто

Пример использования:

Если же нужно собирать из кусочков, как в случае с параболой, и центр координат определяет точки стыковки, то формула слегка усложнится:

Пример использования:

Перейдём на экспоненту

Совершенно любая функция может быть донором для решения этой задачи, нужно лишь только обеспечить ей точки перегиба. Возьмём, например, сдвинутую вниз на единицу экспоненту:

Ранее, для обеспечения необходимого перегиба в точке ноль, мы возводили функцию в квадрат. Но можно пойти и другим путём — например, суммировать с другой функцией, производная которой в точке ноль противоположна по знаку с производной экспоненты. Например, -x:

В зависимости от того, с какой стороны мы будем брать кривую, будет и зависеть итоговый вид функции. Теперь, воспользовавшись ранее определённой вспомогательной функцией и выбрав одну из сторон, получим:

Либо

И теперь можем сравнить их на одном графике:

Видно, что при k→0 они стремятся к совпадению; и так как напрямую посчитать их значения мы не можем, поскольку получим деление на ноль, то воспользуемся пределом:

И получили уже известную нам кусочную функцию из параболы.

Нарушая симметрию

Пока что мы рассматривали исключительно симметричные функции.

Однако бывают случаи, когда симметрия нам не нужна — например, для имитации искажений при звучании ламповых усилителей.

Возьмём экспоненту и умножим её на перевёрнутую параболу в квадрате — чтобы получить пересечение с осью абсцисс в точках -1 и 1, а заодно и обеспечить гладкость второй производной; параметризацию же осуществим через масштабирование аргумента экспоненты:

Найдём первообразную и масштабируем её:

Так как при k=0 получим деление на ноль:

То дополнительно найдём предел,

который представляет из себя уже известный нам гладкий полином 3-го порядка. Соединив всё в одну функцию, получим

Вместо того, чтобы изначально проектировать асимметричную функцию, можно пойти и другим путём — использовать готовую симметричную, но «искривлять» значение этой функции с помощью дополнительной функции кривой, определённой на промежутке {-1,1}.

Рассмотрим, например, гиперболу:

Рассматривая её отрезок в разных масштабах, можно регулировать степень искривления в обе стороны. Как же найти этот отрезок? Исходя из графика, можно было бы искать пересечения гиперболы с прямой. Однако, поскольку такое пересечение существует не всегда, это создаёт некоторые сложности. Поэтому мы пойдём другим путём.

Для начала добавим в гиперболу масштабирующие коэффициенты:

затем составим систему уравнений, задающих условия прохождения гиперболы через заданные точки — и её решение даст интересующие нас коэффициенты:

Теперь подставим решение в исходную формулу и упростим:

Посмотрим, что у нас получилось в зависимости от параметра k:

Примечательно, что при k=0 формула естественным образом схлопывается в x и никаких особых ситуаций не происходит — хотя применительно к исходной гиперболе это равносильно отрезку нулевой длины, причём двум сразу. Не менее примечательно, что обратной к ней функцией является она же самая, но с отрицательным параметром k:

Теперь мы можем использовать её для модификации произвольной функции ограничения, а параметр k таким образом будет задавать точку пересечения с осью ординат:

Аналогичным образом можно строить кривые и из других функций, например, степенной с переменным основанием:

Или обратной к ней логарифмической:

Нужно больше точности

Мы можем захотеть иметь гарантированно линейный промежуток у функции на некотором интервале. Это логично организовать введением прямой линии в кусочно-непрерывную функцию,

пустые места в которой необходимо заполнить какой-нибудь функцией. Очевидно, что для гладкой стыковки с линейным участком её первая производная должна быть равна единице; а все последующие (по возможности) нулю. Чтобы не не выводить такую функцию заново, мы можем взять уже готовую и адаптировать под эту задачу. Также можно заметить, что крайние точки отстоят чуть дальше единицы — это необходимо, чтобы сохранить наклон линейного участка.

Возьмём выведенную ранее функцию PolySoft и сместим её так, чтобы в центре координат получить единицу:

Из её свойств следует, что n-1 последующих производных в точках 0 и 2 будут равны нулю:

Теперь проинтегрируем её:

Функция оказалась сдвинутой вниз относительно оси абсцисс. Поэтому необходимо добавить константу (равную значению функции в точке 0), чтобы совместить центры координат:

Здесь у нас появился ноль в степени n. Он не сократился, так как значение ноль в степени ноль не определено; мы можем его удалить вручную, а можем при упрощении явно указать, что n у нас больше нуля:

Проверим на всякий случай. Значение в точках 0 и 2 для всех n:

Производные на краях интервала (для полинома порядка 5):

Как видим функция получилась довольно громоздкой. Чтобы не таскать её и не переусложнять вычисления, дальше будем манипулировать уже с конкретным полиномом, например 4-го порядка:

И вот теперь ею можно заполнить свободное пространство:

Проверим:

Уходим в бесконечность

Иногда может оказаться потребность в функциях, которые стремятся к единице, но не достигают её. Википедия подсказывает несколько известных решений:

Так как эти функции единицы не достигают, их удобнее нормировать по производной в центре координат.
Мы можем модифицировать форму таких функции через их аргумент с помощью какой-нибудь диагонально-симметричной функции, например:

Эта функция, к слову, также является обратной самой к себе, т. е.

И, применительно к арктангенсу в качестве примера, получим

что, в частности, с параметром k=1 даст нам функцию Гудермана.

Как видим, при таком подходе можно получить нежелательные перегибы, поэтому более предпочтительно контролировать жёсткость ограничения непосредственно через свойство самой функции. Рассмотрим несколько таких функций с параметром, вывод которых для краткости опустим.

Из степенной функции:

Из суммы двух v-образных функций со смещением:

Из обобщённой функции ошибок:

Интегрированием рационального полинома:

Интересно, что её частным случаем является арктангенс:

Заключение

Построение подобного рода функций может быть увлекательным занятием, в ходе которого будут получаться как простые, так и сложные, как красивые, так и не очень, формулы. Может показаться, что все они сильно друг на друга похожи и надобности в подобном разнообразии нет. Это не обязательно так.

Разница может быть сильнее видна в других масштабах — например, логарифмическом. Кроме того, помимо обозначенных в заголовке задач, подобные функции могут использоваться и в других задачах — смешивании сигналов, когда плавное затухание одного сигнала сочетается с плавным нарастанием другого, или построении акустических фильтров — и тогда разница будет восприниматься на слух, или же для построения градиентов — и тогда разница будет восприниматься на глаз. Кроме того, они также могут использоваться в качестве доноров для других, более сложных функций — например, оконных.

В завершение стоит уточнить ещё несколько моментов.
Все функции здесь были определены в диапазоне от -1 до 1. В случае, если нужен другой диапазон (например, от 0 до 1), его легко можно пересчитать либо вручную:

Либо используя встроенную функцию масштабирования:

А для облегчения экспорта полученных формул в программный код может пригодиться функция CForm:

Исходный документ Mathematica можно скачать здесь.

Примечания:

^[1] настоящий математик наверняка сможет строго доказать (или опровергнуть) это утверждение.
^[2] в стандартном курсе мат.анализа гипергеометрические функции не рассматриваются.
^[3] эта перегрузка определена только для символьной единицы; единица в формате с плавающей точкой (например, при построении графика) распознана не будет.

Новые производные функций Бесселя выведены с помощью языка Wolfram Language

Почти через двести лет после того, как Бессель ввёл свои одноименные функции, были найдены выражения для их производных по параметрам, справедливые во всей комплексной плоскости

В этом блоге мы приведём и прокомментируем некоторые ранее неизвестные производные специальных функций (в первую очередь функций Бесселя и связанных с ними функций), а также коснёмся истории и текущего состояния дифференцирования по параметрам гипергеометрических и других функций. Одной из основных новых формул (более подробно ниже) является замкнутое выражение для первой производной одной из самых популярных специальных функций — функции Бесселя J:

Многие функции математической физики (то есть функции, которые часто используются и поэтому имеют специальные названия) зависят от нескольких переменных. Один из них, как правило, называется аргументом, в то время как другие, как правило, называются параметрами или иногда индексами (значками). Эти специальные функции могут иметь любое количество параметров. Например (см. Wolfram Functions Site), функции Бесселя (z) и (z), Неймана (z), Макдональда (z), и Струве (z) и (z) имеют только один параметр (так называемый индекс), в то время как функции Уиттекера (z) и (z), а также вырожденные гипергеометрические функции (a;b;z) и U(a,b,z) имеют два параметра. Функции Aнгера (z) и (z), а также функции Вебера (z) и (z) могут иметь один или два параметра (в случае двух параметров они называются обобщенными функциями Ангера и Вебера). Функции Аппеля и Гумберта имеют от трех до пяти параметров, в то время как более сложные специальные функции, такие как обобщенная гипергеометрическая функция , могут иметь любое конечное количество параметров.

Среди других свойств, дифференцирование специальных функций играет существенную роль, так как производные характеризуют поведение функций при изменении этих переменных, и они также важны для изучения дифференциальных уравнений этих функций. Как правило, дифференцирование специальной функции по ее аргументу не представляет существенных трудностей. Самая большая коллекция таких производных, включающая первую, вторую, символьную и даже дробного порядка для более чем 200 функций доступна в разделе “Differentiation” (Дифференцирование) на сайте Wolfram Functions (скажем, эта секция включает в себя выражения для 21 производной функции Бесселя (z)), или в книге Ю. А. Брычкова Handbook of Special Functions). Большинство этих формул также доступны непосредственно в языке Wolfram Language. Их можно получить с помощью новых функций MathematicalFunctionData и EntityValue.

Однако производные по параметрам (в отличие от аргумента) в общем случае вычислить гораздо сложнее. Примечательно, что приведённая выше формула, включающая производную первого порядка (относительно параметра ν) одной из наиболее часто встречающихся специальных функций математической физики, лишь недавно была найдена в замкнутом виде, и этот, может быть, удивительный факт говорит о сложности общей задачи. Таким образом, с помощью функции Бесселя J в качестве характерного примера, мы предпримем краткую экскурсию по истории дифференцирования этой специальной функции.

Вычисление производных не всегда просто

Часто люди, даже хорошо знакомые с математическим анализом, склонны думать, что интегрировать трудно, а дифференцировать легко. Известна “народная” мудрость, гласящая, что “дифференцирование — дело техники, а интегрирование — это искусство”. Но это высказывание полностью справедливо только для элементарных функций, для которых дифференцирование приводит снова к элементарным функциям (или их комбинациям). Если же дифференцирование проводится по параметрам, оно, как правило, приводит к сложным функциям более общего класса.

Различие между дифференцированием по параметрам и дифференцированием по аргументу может быть проиллюстрировано на функции Бесселя J. Производная Бесселя J по ее аргументу z была известна в течение достаточно долгого времени и имеет относительно простой замкнутый вид:

Однако аналитическое вычисление её производной по параметру ν является более сложным. Часто производные по параметрам могут быть записаны в виде интеграла или бесконечного ряда, но эти объекты не могут быть представлены в замкнутой форме через другие простые или известные функций. Исторически сложилось, что некоторые специальные функции были введены с единственной целью — дать простое обозначение для производных известных функций. Например, полигамма-функция возникла как средство для представления производных гамма-функции.

Обобщенная гипергеометрическая функция и её производные играют существенную роль в решении различных задач теоретической и прикладной математики (см., например, статью L. U. Ancarani и G. Gasaneo относительно применения производных по параметрам в квантовой механике). Обобщенная гипергеометрическая функция порождает в качестве частных случаев многие из наиболее часто используемых элементарных функций (например, тригонометрические, гиперболические, логарифмические, и обратные тригонометрические функции), а также многие специальные функции, в том числе функции Бесселя, Струве, Кельвина, Ангера-Вебера, неполную гамма-функцию и интегральные функции (показательную, синус и косинус). В случае, если p=0, q=1, обобщенная гипергеометрическая функция содержит семейство функций Бесселя (z), (z), (z), и (z). Функция Бесселя J, например, имеет следующее гипергеометрическое представление:

Интересно, что история функции (z) начинается почти ровно 200 лет назад. В докладах Берлинской академии за 1816-17 годы (опубликовано в 1819 г.), в работе Analytische Auflösung der Keplerschen Aufgabe, Фридрих Вильгельм Бессель рассматривает так называемое уравнение Кеплера M=E-e sin(E), где M — средняя аномалия, E — эксцентрическая аномалия, а e — эксцентриситет кеплеровской орбиты. Решение этого уравнения может быть представлено (в современной записи) через функции Бесселя целого порядка:

В этой первой работе Бессель ещё не использует современные обозначения, но его функция появляется уже в неявном виде. Например, он использует следующую сумму (обратите внимание, что Бессель использует обозначение Гаусса для i!):

В наше время мы можем записать это выражение в виде суммы двух функций Бесселя на языке Wolfram Language следующим образом:

Эта сумма как раз и является первой производной функции Бесселя -2 a e (e i):

В своей следующей работе в 1824 г. Бессель использует почти современные обозначения (замена J I) для обозначения своей функции:

Он также выводит фундаментальные соотношения для этой функции, такие как:

Различные специальные случаи общей функции Бесселя встречаются уже в трудах Бернулли, Эйлера, Даламбера и других (подробнее см. статью). Основным справочником по функциям Бесселя по сей день остается классическая монография Г. Н. Ватсона “Теория бесселевых функций”, которая была многократно переиздана и существенно дополнена по сравнению с первым изданием 1922 г.

Таким образом, в то время как производные функции Бесселя J относительно аргумента z были известны с начала девятнадцатого века, только к середине двадцатого века были найдены частные случаи для производных по индексу. Производные некоторых функций Бесселя по ν в точках ν=0,1,2,… и ν=1/2 были даны Дж. Р. Эйри в 1935 году, а выражения для других функций семейства Бесселя в этих точках — в книге В. Магнуса, Ф. Бейтмена и Р. П. Сони “Формулы и теоремы для специальных функций математической физики“ (1966):

Обобщение на любые полуцелые значения ν было представлено на Международной конференции по абстрактному и прикладному анализу (Ханой, 2002) в следующем виде:

Эти результаты, наряду с выражениями для производных по параметру функций Струве в целых и полуцелых точках, были опубликованы в 2004-2005 гг. Различные новые формулы для дифференцирования по параметрам функций Ангера и Вебера, функций Кельвина, неполных гамма-функций, функции параболического цилиндра, функций Лежандра и Гаусса, обобщенных и вырожденных гипергеометрических функций можно найти в “Справочнике по специальным функциям: Производные, интегралы, ряды и другие формулы”. Краткий обзор и ссылы см. H. Cohl.

Вероятно, покажется удивительным, что при наличии всех этих результатов, первые производные функций Бесселя в замкнутом виде при произвольных значениях параметра были получены только в 2015 г. (Ю. А. Брычков, ”Высшие производные функций Бесселя относительно индекса“, 2016 г.). Они выражаются в виде комбинаций произведений функций Бесселя и обобщенных гипергеометрических функций. Например:

Графики ниже дают некоторое представление о поведении функции Бесселя (z) и ее производной в областях, представляющих интерес. Во-первых, мы приводим (в действительной ν—z-плоскости) выражение для первой производной от (z) по ν (см. уравнение в начале статьи):

Для фиксированного индекса, а именно ν=π, мы приводим графики функции Бесселя вместе со своими первыми двумя производными (по аргументу и индексу):

Интересно отметить, что производные (по z и по ν) имеют почти совпадающие нули.

Как мы получили это?

Примечательно, что даже почти через 300 лет после введения классической функции (функция Бесселя (z) была введена Даниилом Бернулли в 1732 г.), по-прежнему можно найти новые и относительно простые формулы, относящиеся к таким функциям. Фактически формулы для введенной выше производной (вместе с соответствующими результатами для производной , и функций Неймана, Макдональда и Кельвина) были получены с помощью языка Wolfram Language. Подробная информация о том, как искались эти производные опубликована здесь. В этом посте мы приведём лишь набросок одного из вариантов подхода, который может быть использован и для других специальных функций.

Во-первых, напомним, что функции Бесселя и другие, которыми мы сейчас интересуемся, являются функциями гипергеометрического типа; но дифференцирование по параметрам общей гипергеометрической функции одной переменной требует более сложных функций гипергеометрического типа более чем одной переменной (см. статью L. U. Ancarani и G. Gasaneo). Первая производная по отношению к “верхним” параметрам , и все производные символьного целого порядка m по отношению к “нижним” параметрам обобщенной гипергеометрической функции, могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции Кампе де Ферье двух переменных по следующим формулам:

Вышеуказанная гипергеометрическая функция Кампе де Ферье определяется двойным рядом (см. здесь и здесь):

Функцию Кампе де Ферье можно рассматривать как обобщение гипергеометрической функции на две переменные:

Соответствующая регуляризованная версия функции также может быть определена путем замены произведения символов Похгаммера в знаменателе на .

Функция Кампе де Ферье может быть использована для представления производных функции Бесселя J по параметру:

Это выражение совпадает с простой формулой выше, которая включает в себя гипергеометрические функции одной переменной, хотя это сразу не очевидно (мы пока ещё не имеем полного набора формул для упрощения многомерных гипергеометрических функций до выражений, содержащих только одномерные гипергеометрические функции).

Двойные ряды, аналогичные приведенному выше определению обобщенной гипергеометрической функции двух переменных, также возникают при вычислении преобразования Меллина от произведений трех G-функций Мейера:

Правая часть этой формулы включает в себя G-функцию Мейера двух переменных, которая в общем (нелогарифмическом) случае может быть представлена в виде конечной суммы гипергеометрических функций Кампе де Ферье с некоторыми коэффициентами, по аналогии с двумя формулами (первая, вторая) для G-функции Мейера одной переменной. Наконец, функция Кампе де Ферье также возникает при разделении действительной и мнимой частей гипергеометрических функций от одной переменной, z = x+iy, с действительными параметрами:

(вышеприведенная формула была выведена Э. Д. Крупниковым, но не опубликована).

Следует отметить, что в последние годы гипергеометрические функции многих переменных находят все большее число приложений в таких областях, как квантовая теории поля, химия, машиностроение, теория связи и радиолокации. Многие практические результаты могут быть представлены с использованием таких функций, и поэтому большинство основных результатов в этой области получены в прикладной научной литературе. Теория таких функций в теоретической математике до сих пор разработана относительно слабо.

Символьные производные в языке Wolfram Language

Автор этих новых и интересных формул с символьными производными, Юрий Брычков, является членом нашей команды, что позволяет нам довести эту постоянно развивающуюся область математики до внимания наших пользователей. Нам также повезло, что в нашем распоряжении имеется новая функция системы Mathematica (языка Wolfram Language) — Entity, которая позволяет, помимо прочего, быстро (в течение нескольких недель или дней) представлять новые результаты в вычисляемом формате и на всех платформах, где используется язык Wolfram Language, нашим пользователям. Например, в системе Mathematica, можно вычислитьследующее выражение:

Тем самым мы получаем основную формулу этой статьи. Мы можем проверить формулу численно, подставив сначала символьные значения ν и z, и получив выражение:

Далее, мы отделяем левую и правую части и подставляем случайные значения для аргумента и параметра:

Численная производная от левой части вычисляется в языке Wolfram Language с помощью предельной процедуры. Равенство левой и правой частей, и, следовательно, правильность исходной формулы для производной очевидны.

Помимо множества новых результатов относительно символьных и параметрических производных, которые упоминались в этой статье и доступны только через EntityValue (хотя более глубокая интегрирация этого функционала в будущих версиях языка Wolfram Language требует постоянных усилий), большое количество результатов в этой области уже было имплементировано в ядро системы Mathematica и ядро языка Wolfram Language. Такие производные по параметрам не вычисляются автоматически по причине их сложности, но их можно увидеть, используя команду FunctionExpand. Например:

Производные по индексу второго и более высокого порядка функций Бесселя и связанных с ними функций могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции Кампе де Ферье двух переменных , но полученные формулы могут быть довольно сложными, и могут включать в себя полиномы Белла Y:

Последнее выражение возникает из представления функции Бесселя (z) через композицию функции (;ν+1;w) и :

Мы используем формулу Фаа-ди-Бруно, которая позволяет получить выражение n-й производную композиции m функций . В случае m = 2 (см. здесь и здесь), мы получаем, например, выражение:

Соответствующая формула для общих m и n может быть получена и проверена в языке Wolfram Language:

В то время как многочлены Белла Y, для которых не существует общего замкнутого вида, как правило, необходимы для представления производных высшего порядка, один из авторов этого поста, Юрий Брычков, нашел способ устранить многочлены Y из n-х производных по параметру функций Бесселя, оставляя нас с замечательным результатом:

Для удобства заинтересованных пользователей, которые хотели бы видеть в одном месте все известные формулы для производных специальных функций по параметрам (в том числе те, которые перечислены выше), мы собрали и представили эти формулы следующими способами:

1. В табличном формате (скачать здесь).

2. В формате ноутбука Mathematica (скачать здесь).

3. Подмножество формул, которые были известны до 2009, можно увидеть на сайте Wolfram Function Site в разделах “Дифференцирование” различных функций (например, см. эту страницу).

В нашем следующем посте мы дадим выражения замкнутого вида производных для коллекции из более 400 функций с общими правилами для производных символьного и дробного порядка. Мы надеемся, что вам понравится самостоятельно исследовать мир производны специальных функций с помощью языка Wolfram Language!

По вопросам о технологиях Wolfram пишите на [email protected]

Автор: Wolfram Research

Источник

Производные ванадия и вольфрама как противодиабетические средства: обзор их токсического действия

Обзор

. 2002 г., август; 88 (2): 97–112.

дои: 10. 1385/BTER:88:2:097.

Хосе Л. Доминго ¹

принадлежность

¹ Лаборатория токсикологии и гигиены окружающей среды, Медицинский факультет, Университет Ровира-и-Вирхили, Реус, Испания.

PMID: 12296430
DOI: 10.1385/БТЕР:88:2:097

Обзор

Хосе Л. Доминго. Биол Трейс Элем Рез. 2002 авг.

. 2002 г., август; 88 (2): 97–112.

дои: 10.1385/BTER:88:2:097.

Автор

Хосе Л. Доминго ¹

принадлежность

¹ Лаборатория токсикологии и гигиены окружающей среды, Медицинский факультет, Университет Ровира-и-Вирхили, Реус, Испания.

PMID: 12296430
DOI: 10.1385/БТЕР:88:2:097

Абстрактный

Вольфрамат представляет собой оксианион, имеющий биологическое сходство с ванадатом. В последние годы ряд исследований показал антидиабетические эффекты перорального приема вольфрамата на животных моделях диабета. Однако из-за накопления в тканях и потенциальной токсичности, вызванной хроническим введением соединений ванадия и вольфрама, фармакологическое использование ванадата или вольфрамата при лечении диабета не обязательно освобождает от беспокойства. В контексте потенциального использования для лечения сахарного диабета человека наиболее важные токсические эффекты производных ванадия рассматриваются и сравниваются с эффектами вольфрама. Сообщалось о гематологических и биохимических изменениях, потере массы тела, нефротоксичности, иммунотоксичности, репродуктивной токсичности и токсичности для развития, а также поведенческой токсичности после воздействия соединений ванадия. Кроме того, ванадий также обладает митогенной активностью, влияющей на распределение хромосом во время митоза и индуцирующей конечные точки, связанные с анеуплоидией. В отличие от ванадата, исследования токсического действия вольфрамата очень скудны. Ранние исследования на кошках, кроликах, собаках, мышах и крысах показали, что вольфрамат менее токсичен, чем ванадат, при внутривенном введении. Хотя исследования in vitro показали прямое воздействие вольфрамата на эмбрион и плод мышей в концентрациях, сходных с теми, которые вызывают эффекты in vivo, информация о потенциальной клеточной токсичности вольфрамата особенно скудна. Принимая во внимание недавний интерес к вольфрамату как к новому потенциальному пероральному противодиабетическому средству, явно необходима исчерпывающая оценка его токсичности у млекопитающих.

Цитируется

Новые тройные сплавы порошковой металлургии Ti с добавками эвтектоидных и изоморфных бета-стабилизаторов.
Пол М., Альшаммари Ю., Ян Ф., Больцони Л. Пол М. и др. Научный представитель 2023 г., 20 января; 13 (1): 1150. doi: 10.1038/s41598-023-28010-7. Научный представитель 2023. PMID: 36670211 Бесплатная статья ЧВК.
Контролируемая доставка лекарственного средства и адгезия клеток для регенерации костной ткани с помощью каркасов из полиоксометаллата кеплерата (Mo ₁₃₂ )/метронидазол/ПММА.
Тагияр Х., Ядоллахи Б., Каджани А.А. Тагияр Х. и др. Научный представитель 2022 г., 24 августа; 12 (1): 14443. doi: 10.1038/s41598-022-18622-w. Научный представитель 2022. PMID: 36002474 Бесплатная статья ЧВК.
Есть ли лучший биоматериал для зубных имплантатов, чем титан? — Обзор и анализ мета-исследований.
Хауген Х.Дж., Чен Х. Хауген Х.Дж. и соавт. J Функция Биоматер. 2022 20 апр;13(2):46. дои: 10.3390/jfb13020046. J Функция Биоматер. 2022. PMID: 35645254 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
Реакция кости in vivo на сплав Ti-45Zr в качестве материала для зубных имплантатов.
Оу П., Чжан Т., Ван Дж., Ли С., Шао С., Руан Дж. Оу П. и др. J Mater Sci Mater Med. 2022 21 мая; 33(6):47. doi: 10.1007/s10856-022-06664-5. J Mater Sci Mater Med. 2022. PMID: 35596895 Бесплатная статья ЧВК.
Ванадий как потенциальное терапевтическое средство для лечения COVID-19: акцент на его противовирусном, противовоспалительном и антигипергликемическом действии.
Семиз С. Семиз С. J Трейс Элем Мед Биол. 2022 янв;69:126887. doi: 10.1016/j.jtemb.2021.126887. Epub 2021 29 октября. J Трейс Элем Мед Биол. 2022. PMID: 34798510 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.

Просмотреть все статьи «Цитируется по»

Типы публикаций

термины MeSH

вещества

Координационная химия, структура и реакционная способность тиоурацилпроизводных гексакарбонила вольфрама(0): теоретическое и экспериментальное исследование хелатирования/дехелирования тиоурацила посредством потери и присоединения CO

. 1999 18 октября; 38 (21): 4715-4723.

дои: 10.1021/ic990758n.

Дональд Дж. Даренсбур ¹ , Брайан Дж. Фрост, Агнес Дерескей-Ковач, Джозеф Х. Рейбенспис

принадлежность

¹ Химический факультет, Техасский университет A&M, P.O. Box 30012, Колледж-Стейшн, Техас 77842-3012.

PMID: 11671196
DOI: 10.1021/ic990758н

Дональд Дж. Даренсбур и соавт. Неорг хим. 1999 .

. 1999 18 октября; 38 (21): 4715-4723.

дои: 10.1021/ic990758n.

Авторы

Дональд Дж. Даренсбур ¹ , Брайан Дж. Фрост, Агнес Дерескей-Ковач, Джозеф Х. Рейбенспис

принадлежность

¹ Химический факультет, Техасский университет A&M, P.O. Box 30012, Колледж-Стейшн, Техас 77842-3012.

PMID: 11671196
DOI: 10.1021/ic990758n

Абстрактный

Синтез 2-тиоурацила и 6-метил-2-урацилпроизводных карбонила вольфрама из реакции фотогенерированного W(CO)(5)(растворитель) (растворитель = MeOH или THF) и соответствующего [Et(4)N] [тиоурацилат]. Приведена кристаллическая структура производного [Et(4)N][W(CO)(5)(2-тиоурацилат)], 1, где обнаружено, что тиоурацилат связан с вольфрамовым центром через экзоциклический атом серы. В твердотельной структуре 1 два аниона связаны двумя водородными связями между атомарными основаниями, связанными с металлом. Эти пентакарбонильные комплексы стереоселективно теряют цис-карбонильные лиганды, как видно из исследований (13)C-мечения, с образованием эндоциклических N(1)-хелатированных азотом тетракарбонильных производных вольфрама, например, [Et(4)N][W(CO) (4)(2-тиоурацилат)], 3. Кинетику потери СО из пентакарбонильных анионов с образованием тетракарбонилов металлов и обратного процесса контролировали с помощью инфракрасной спектроскопии in situ в nu(CO ) области в зависимости от температуры. Эти исследования показывают, что тетракарбонильные анионы в насыщенном CO ацетонитриле ([CO] примерно 6 x 10(-)(3) M) нестабильны по отношению к образованию пентакарбонильных производных, т.е. равновесие 1 правый гарпун над левым гарпуном 3 + CO лежит слева под атмосферой угарного газа. Из параметров активации, определенных для процесса диссоциативной потери СО (DeltaH() = 82,0 +/- 3,6 кДж моль(-)(1) и DeltaS() = -44,9+/- 9,6 Дж моль(-)(1) K(-)(1) для комплекса 1) видно, что связанный серой тиоурацилатный лиганд служит пи-донором при диссоциации СО, т. е. ведет себя как цис -лабилизирующий лиганд. Оптимизация геометрии Ab initio, проведенная для процесса 1 правого гарпуна по сравнению с левым гарпуном 3 + CO на уровнях Хартри-Фока и DFT, подтверждает эти экспериментальные наблюдения. Например, показано, что комплекс 1 более стабилен, чем 3 + CO, и хелатирование через эндоциклический донор N (1) предпочтительнее, чем связывание N (3). Наконец, было обнаружено, что «16-электронный» промежуточный продукт, образующийся в результате диссоциации CO в 1, обладает значительно укороченным WS-взаимодействием, предположительно из-за пи-донорной способности тиоурацилатного лиганда.

Цитируется

(Бензол-карботио-амид-κS)-пента-карбонил-вольфрам (0).
Мерниз С., Мохтари М., Буасида С., Уахаб Л., Муссер А. Мерниз С. и др. Acta Crystallogr Sect E Struct Rep Online. 1 апреля 2011 г.; 67 (часть 4): m429-30. дои: 10.1107/S1600536811008579. Epub 2011 12 марта. Acta Crystallogr Sect E Struct Rep Online. 2011. PMID: 21753955 Бесплатная статья ЧВК.
Пентакарбон-ил(имидазолидин-2-тион-κS)вольфрам(0).
Мерниз С., Мохтари М., Муссер Х., Уахаб Л., Муссер А. Мерниз С.
No related posts.

Вольфрам производная: Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Вывод функции кривой для плавного ограничения параметров, сигналов и не только в Wolfram Mathematica / Хабр

Синус

Больше гладкости

Переходим на полиномы

Немного усложним

Больше гладкости богу гладкости

Добавляем жёсткости

Рационализируй это

Автоматизируй это

Перейдём на экспоненту

Нарушая симметрию

Нужно больше точности

Уходим в бесконечность

Заключение

Новые производные функций Бесселя выведены с помощью языка Wolfram Language

Вычисление производных не всегда просто

Как мы получили это?

Символьные производные в языке Wolfram Language

Производные ванадия и вольфрама как противодиабетические средства: обзор их токсического действия

принадлежность

Автор

принадлежность

Абстрактный

Похожие статьи

Цитируется

Типы публикаций

термины MeSH

вещества

принадлежность

Авторы

принадлежность

Абстрактный

Похожие статьи

Цитируется

Добавить комментарий Отменить ответ