Возведение матрица в степень: Как возвести матрицу в степень? OTUS

1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы

В начале этого раздела рассмотрим различные способы возведения матрицы в степень.

Первый способ основан на представлении матрицы А в виде , где J – жорданова форма А, и на использовании формулы и формулы для из упражнения 5 предыдущего раздела.

Упражнение 1. Вычислить , где .

Решение. Найдем собственные значения матрицы А, т.е. решения уравнения .

.

Отсюда . По теореме Жордана найдется матрица Т такая, что выполнено равенство , или, что то же самое, . Определим матрицу Т. Пусть . Тогда матричное уравнение

приводит к системе

одним из решений которой будет

Отсюда и

.

Второй способ. Индуктивный метод вычисления . Этот метод основан на вычислении нескольких первых степеней матрицы А, установлении закономерностей изменения элементов и строгом доказательстве методом математической индукции.

Упражнение 2. Вычислить , где .

Решение. Для начала вычислим

Заметим, что элементы главной диагонали равны 1. Элементы над главной диагональю совпадают со степенью матрицы А, а для элемента матрицы при m = 2, 3, 4 выполнено равенство

.

Теперь мы можем сделать индуктивное предположение

Покажем, что

Действительно,

Что и требовалось доказать. Это означает, что

Третий способ основан на применении матричного аналога формулы бинома Ньютона.

Теорема 1. Если матрицы А и В перестановочны (то есть выполнено равенство АВ = ВА), то

Если матрица

B в условии теоремы 1 нильпотентна (то есть для не-которого ), то для всех верна формула

Фактически мы уже пользовались этим результатом при нахождении степеней жордановой клетки при решении упражнения 5.

Применим формулу бинома Ньютона для решения упражнения 2 раздела 1.5. Запишем А в виде суммы перестановочных матриц:

Таким образом, для получаем

где согласно формуле суммы m первых членов арифметической прогрессии 1, 2, 3, … .

Для m = 2 матрица вычисляется непосредственно.

Замечание. Отметим, что использование первого способа не всегда оправдано для матриц больших размерностей, так как для вычисления элементов матрицы T уже при n

= 4 требуется решать систему из 16 уравнений. С другой стороны, применение второго и третьего способов затруднительно для вычисления степеней простейших матриц второго порядка типа (предлагаем читателям проверить это самостоятельно).

Определение 1. Следом квадратной матрицы А назы-вается сумма элементов главной диагонали и обозначается.

Лемма.. Пусть А и В – квадратные матрицы порядка n. Тогда выполнено равенство .

Доказательство. Используем метод математической индукции.

1. Для n = 2 утверждение проверяется непосредственно.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого .

3. Покажем, что оно верно для .

.

Обозначим строки и столбцы матриц и следующим образом:

Тогда

Аналогично

Заметим, что и

– матрицы порядка n – 1 и

В силу индуктивного предположения 2 Отсюда следует равенство .

Упражнение 3. Пусть А – матрица размерности , причем . Вычислить , где .

Решение. Пусть – жорданова форма матрицы А и – ее собственные значения, тогда

Так как – верхняя треугольная матрица и на ее главной диагонали стоят элементы то

Значит, согласно задаче 14 (см. задачи для самостоятельного решения ниже) ,

Итак, .

Последнее равенство доказано в примере 1 пункта 3.

Какие матрицы можно возводить в степень?

Какие матрицы можно возводить в степень?

Теория. Возведение матрицы в степень Результатом возведения матрицы в степень , будет матрица равная произведению самой на себя соответствующее количество раз. Возводить в степень можно только квадратные матрицы (матрицы у которых количество строк равно количеству столбцев).

Как умножать одинаковые матрицы?

Две матрицы можно умножить, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

В каком случае произведение матриц не существует?

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Как поднести матрицу в степень?

Возведение матрицы в степень представляет собой умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу.

Можно ли прибавить к матрице число?

Нет. К матрице можно прибавить только другую матрицу, причём точно такого же размера. Матрицу можно умножить на число. Но сложить их нельзя.

Как сложить две матрицы?

Сложение матриц Что бы сложить две матрицы нужно сложить их элементы aij + bij=сij.

Как находится сумма матриц?

Суммой двух матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц. … Для того, чтобы найти сумму двух матриц, задайте необходимое число строк и столбцов, а затем введите поочерёдно элементы первой и второй матриц.

Как сложить две матрицы в Excel?

В MS EXCEL операцию сложения матриц реализовать элементарно. Поместив матрицу А размерности 2х2 в диапазон А8:В9 , а матрицу B той же размерности 2х2 в диапазон D8:E9, в ячейке J8 введем формулу =A8+D8 . Скопировав формулу в нужные ячейки, например, с помощью Маркера заполнения , получим матрицу А+В.

Что такое матрица в Экселе?

Операции с матрицами в Excel. Функции: ссылки и массивы Амина С. Под матрицей подразумевается набор ячеек, расположенных непосредственно друг возле друга и которые образуют вместе прямоугольник.

Как вычесть матрицу из матрицы в Excel?

Для вычитания матрицы В из матрицы А (С=А — В) в ячейку N3 введем формулу =B3 — h4 и скопируем её на весь диапазон матрицы С.

Как в Экселе ячейку умножить на число?

Умножение столбца чисел на одно и то же число

1. В ячейке B2 введите знак равенства (=).
2. Щелкните ячейку A2, чтобы добавить ее в формулу.
3. Введите символ «звездочка» (*).
4. Щелкните ячейку C2, чтобы добавить ее в формулу.
5. Введите символ $ перед C и еще один перед 2: $C$2.
6. нажмите клавишу ВВОД.

Как работает функция трансп?

ТРАНСП (функция ТРАНСП)

1. Шаг 1. Выделите пустые ячейки Сначала выделите пустые ячейки. …
2. Шаг 2. Введите =ТРАНСП( Не снимая выделение с пустых ячеек, введите =ТРАНСП( …
3. Шаг 3. Введите исходный диапазон ячеек Теперь введите диапазон ячеек, которые нужно транспоннять. …
4. Шаг 4. Нажмите клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД Теперь нажмите клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД.

Как перемножить два массива в Excel?

Умножаем столбец на число

1. Выделите ячейку, где будет располагаться результат.
2. Впишите в нее знак «равно».
3. Курсором выделите первое значение из столбца, а следом выделите число, на которое будет умножаться это значение.
4. После этого наведите курсор на это число и нажмите клавишу F4.

Как решать матрицы умножение?

Умножение матриц

1. Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
2. Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
3. Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
4. Складываем полученные произведения.

Что такое Мопред?

Функция МОПРЕД — это одна из математических и тригонометрических функций. Возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве). … Если количество строк в массиве не равно количеству столбцов, функция возвращает ошибку #ЗНАЧ!.

Что такое Мобр в Excel?

Функция МОБР – это вычислительное определение матрицы. {13}$ 9{n-1} (M_1)_i$.

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.