возведение в степень, умножение, деление
Мы уже разобрали, что из себя представляют многочлены. В рамках данной статьи мы расскажем, как правильно вычитать, умножать, складывать и делить подобные выражения, а также как возводить их в натуральную степень, т.е. определим правила совершения данных действий с многочленами.
Правила сложения и вычитания многочленов
Складывать и вычитать многочлены достаточно просто. Оба эти действия рассматриваются вместе, поскольку осуществляются по одним и тем же принципам:
- Начинаем с правильной записи суммы или разности исходных многочленов. Для этого их надо заключить в скобки и поместить между ними нужный знак.
- Далее выполняем раскрытие скобок и получаем новый многочлен.
- После этого нужно привести многочлен к стандартному виду (если это необходимо).
Поясним алгоритм примером.
Пример 1Условие: выполните сложение и вычитание двух многочленов x·y−x2+2 и 7·x2−1 .
Решение
Сначала выполним сложение.
Записываем сумму:
(7·x2−1)+(x·y−x2+2)
Раскрываем скобки и получаем новый многочлен в следующей форме:
7·x2−1+x·y−x2+2
Нам осталось только привести результат к стандартному виду:
7·x2−1+x·y−x2+2=6·x2+1+x·y
Далее проводим вычитание по аналогии со сложением:
Ответ: (7·x2−1)+(x·y−x2+2)=6·x2+1+x·y и (7·x2−1)−(x·y−x2+2)=8·x2−3−x·y.
Другие примеры вы можете найти в отдельной статье, посвященной сложению и вычитанию многочленов.
Правила умножения одного многочлена на другой
Перейдем к рассмотрению следующего действия – умножения. Основное правило его выполнения основано на распределительном свойстве умножения. С его помощью мы можем свести умножение многочленов к последовательному перемножению всех их членов друг на друга. Запишем правило:
Определение 1Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо выполнить умножение каждого члена первого множителя на каждый член второго множителя, после чего провести сложение итоговых произведений.
Результатом умножения двух многочленов друг на друга будет новый многочлен.
Пример 2 Условие: выполните умножение двух многочленов a−b и −3·a+b.Решение
Начнем с записи произведения.
(a−b)·(−3·a+b)
После этого нам нужно взять первый член первого многочлена (т.е. a) и перемножить его с каждым членом второго многочлена. У нас получится a·(−3·a) и a·b. То же самое проделаем и со вторым членом. В итоге мы пришли к произведениям −b·(−3·a) и −b·b. Теперь складываем все, что у нас получилось:
a·(−3·a)+a·b−b·(−3·a)−b·b=−3·a2+4·a·b−b2
Вот запись всего решения:
(a−b)·(−3·a+b)==a·(−3·a)+a·b−b·(−3·a)−b·b==−3·a2+4·a·b−b2
Ответ: (a−b)·(−3·a+b)=−3·a2+4·a·b−b2.
Мы также можем выполнить умножение многочлена на одночлен. Это можно рассматривать как частный случай умножения, приведенного выше. Советуем прочесть отдельную статью об умножении многочленов, где представлены более подробные теоретические положения и приведены более сложные примеры.
Правила возведения многочлена в степень
После того, как мы разобрались с правилами умножения многочленов, можем перейти к возведению в натуральную степень. Это действие может быть приравнено к умножению имеющегося многочлена на аналогичный столько раз, сколько написано в показателе. Так, возведению 3·x+1 в степень 4 мы можем поставить в соответствие произведение 4-х многочленов: (3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1).
Пример 3Условие: выполните возведение многочлена 2·a·b−b3 в квадрат.
Решение
представим эту степень как произведение двух одинаковых множителей и вычислим нужный результат.
(2·a·b−b3)2==(2·a·b−b3)·(2·a·b−b3)= =2·a·b·(2·a·b)+2·a·b·(−b3)−b3·(2·a·b)−b3·(−b3)==4·a2·b2−4·a·b4+b6
Ответ: (2·a·b−b3)2=4·a2·b2−4·a·b4+b6.
Подводя итог этого пункта, отметим, что возведение в степень можно выполнять намного быстрее, если пользоваться формулами сокращенного умножения. Советуем вам изучить эту тему более подробно.
Правила деления многочлена на многочлен
Мы уже выяснили, что результатом всех рассмотренных действий является новый многочлен. Действие деления отличается от них тем, что чаще всего его результат не будет многочленом. Так, если мы разделим x·y−1 на x2+y2 , то в итоге у нас получится дробь x·y-1×2+y2.
Однако в принципе получить в результате многочлен можно, например, здесь: (x2·y+x·y2−x+x·y+y2−1):(x+1)=x·y+y2−1. В таких случаях мы можем говорить о делимости одного многочлена на другой, так же, как мы отмечали это для целых чисел. Тогда при делении нам нужно представить делимый многочлен в виде произведения двух многочленов — делителя и частного от деления. Во взятом нами примере делимое x2·y+x·y2−x+x·y+y2−1 рассматривается как произведение (x+1)·(x·y+y2−1).
Если у обоих многочленов есть только одна переменная, то тогда речь идет о делении без остатка. Сформулируем правило для многочлена, включающего в себя одну действительную переменную x. Обозначим данный многочлен P(x).
Деление многочлена P(x) на другой многочлен M(x), без остатка происходит тогда, когда есть другой многочлен Q(x) , удовлетворяющий условию P(x)=M(x)·Q(x).
Так, мы можем разделить x3+2·x2+3·x+6 на x+2 без остатка в силу существования многочлена x2+3. Тогда равенство x3+2·x2+3·x+6=(x+2)·(x2+3) будет справедливым.
А вот x2+1 поделить на x3−5 без остатка мы не сможем, поскольку нет такого Q(x), которое подошло бы для равенства x2+1=(x3−5)·Q(x).
Деление без остатка есть частный случай деления с остатком, ведь при нем мы также получаем остаток, равный 0. В общем случае можно сказать, что когда мы делим многочлен P(x) степени n, которая будет больше единицы, на другой многочлен Q(x) степени k (причем 1≤k≤n), мы получаем в итоге новый многочлен M(x) степени n−k и остаток в виде многочлена R(x), степень которого будет меньше, чем k. Представим данное утверждение как теорему.
Определение 3Мы можем представить любой многочлен P(x) степени n (n≥1) как P(x)=M(x)·Q(x)+R(x).
Здесь Q(x) будет некоторым многочленом степени k (1≤k≤n), M(x) – многочленом степени n−k и R(x) – многочленом степени, меньшей k. Это представление будет единственным.
Под Q(x), M(x) и R(x) в данном случае понимается любой многочлен из множества тождественно равных многочленов.
Так, если мы делим 3·x4+2·x2−1 на x2+x , то у нас получится частное 3·x2−3·x+5 с остатком −5·x−1.
Это так, потому что равенство 3·x4+2·x2−1=(x2+x)·(3·x2−3·x+5)−5·x−1 является справедливым. Его справедливость легко проверить, выполнив все нужные действия с правой стороны.
Если мы делим P(x) на Q(x), причем степень делимого будет больше степени делителя, то в итоге мы всегда получаем частное в виде нулевого многочлена и остаток, равный делимому. Так, разделив x2+1 на x3+2·x2−1, мы получим нулевое частное и остаток x2+1.
Удобно производить деление, предварительно сделав запись уголком, так же, как мы делаем это для целых чисел. Подробнее это действие разобрано в статье, посвященной делению многочлена на многочлен.
{8}\)
правил экспонентов | ChiliMath
Правила экспоненты, также известные как «правила экспоненты», — это некоторые из правил алгебры, с которыми нам необходимо ознакомиться. Освоение этих основных правил экспоненты вместе с основными правилами логарифмирования (также известными как «логарифмические правила») сделает ваше изучение алгебры очень продуктивным и приятным.
Начнем с изучения частей экспоненциального числа.
Показательное число или выражение состоит из двух частей. Первый компонент с основанием , который «несет» показатель степени , который является вторым компонентом в правом верхнем углу.
Взгляните на рисунок ниже.
Например, как бы вы записали [латекс]2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2[/латекс] в экспоненциальной записи?
Число [латекс]2[/латекс] многократно умножается, поэтому оно автоматически становится основанием экспоненциального выражения.
Обратите внимание, что это написано пять раз. Это значение указывает количество вхождений основания, поэтому оно должно быть показателем степени.
Читается как «от 2 до 5 степени».
Основой экспоненциального выражения также может быть буква или переменная. Предположим, у нас есть
Поскольку переменная [latex]x[/latex] умножается на десять раз, мы можем записать это в компактной форме.
Читается как «[латекс]x[/латекс] в 10-й степени».
Краткий обзор семи (7) правил экспоненты
Теперь давайте рассмотрим семь (7) основных правил экспоненты. 90} = 1[/латекс].
- Упростите приведенное ниже экспоненциальное выражение.
Каждое выражение со скобками, возведенными в нулевую степень, [латекс]0[/латекс], встречающееся как в числителе, так и в знаменателе, будет просто заменено на [латекс]1[/латекс]. Обязательно уменьшите дробь до наименьшего члена.
ПРАВИЛО 2: Свойство отрицательного показателя степени
Любое ненулевое число, возведенное в отрицательную степень, не соответствует стандартной форме. Нам нужно будет сделать некоторую перестановку. Переместите основание с отрицательным показателем в противоположную часть дроби, а затем сделайте показатель степени положительным. Предположения здесь следующие: [latex]b \ne 0[/latex] и [latex]n[/latex] — целое число. 9{ – \,4}}[/латекс].
Основание [латекс]2[/латекс] имеет отрицательный показатель степени [латекс]-4[/латекс]. Это можно исправить, переместив его в знаменатель и изменив знак экспоненты на положительный, используя отрицательное правило экспоненты.
- Упростите экспоненциальное выражение.
На этот раз в знаменателе находится основание с отрицательным показателем степени. Поднимите его до числителя, сделав показатель степени положительным.
- Упростите экспоненциальное выражение.
Оба показателя степени в числителе и знаменателе отрицательны.
Имеет смысл поменять их местами вдоль дробной полосы. Переменная [latex]x[/latex] уменьшается, а переменная [latex]y[/latex] растет! Обязательно измените оба их показателя на положительные.
ПРАВИЛО 3: Произведение свойства экспоненты
При умножении экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием, где основанием является ненулевое действительное число, скопируйте общее основание, а затем добавьте их показатели степени. Предполагается, что [латекс]b \ne 0[/латекс] и [латекс]м[/латекс] и [латекс]n[/латекс] — любые целые числа. 92}} \right)[/latex].
После умножения экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием путем сложения их показателей степени мы получаем одну переменную с отрицательным показателем, а другую с нулевым показателем.
Не стесняйтесь применять два предыдущих изученных правила, а именно Правило 1 и Правило 2, чтобы еще больше упростить это выражение.
ПРАВИЛО 4: Частное свойство экспоненты
При делении экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием, где основанием является ненулевое действительное число, скопируйте общее основание, а затем вычтите верхний показатель из нижнего показателя.
Здесь мы должны предположить, что [латекс]b \ne 0[/латекс] и [латекс]m[/латекс] и [латекс]n[/латекс] принадлежат множеству целых чисел.
Примеры :
- Упростить частное экспоненциальных выражений.
Дробная черта означает, что мы собираемся делить. Имеет смысл применить правило деления степени, то есть скопировать общее основание в числителе и знаменателе и вычесть верхний показатель из меньшего.
- Упростите экспоненциальные выражения.
Сравнивая выражения в числителе и знаменателе, я вижу, что есть два общих основания, [латекс]х[/латекс] и [латекс]у[/латекс]. Примените правило деления к каждой переменной. После этого переменная [latex]x[/latex] будет содержать отрицательную экспоненту, поэтому для решения проблемы используйте отрицательное правило экспоненты.
- Упростите экспоненциальные выражения.
Один из способов упростить это — пока игнорировать отрицательные показатели степени.
Сначала примените правило деления и посмотрите, появятся ли снова отрицательные показатели. Если это так, используйте отрицательное правило экспоненты.
ПРАВИЛО 5: Степень степени Свойство экспоненты
Когда экспоненциальное выражение возводится в степень, скопируйте основание, которое является ненулевым действительным числом, затем умножьте внутренний и внешний показатели степени. Здесь мы предполагаем, что [latex]b \ne 0[/latex] и m и n являются целыми числами. 93}[/латекс].
Это выражение имеет внутренний и внешний показатели. Правило степени в степени позволяет нам копировать основание и умножать показатели степени.
ПРАВИЛО 6: Степень произведения Свойство экспоненты
Когда произведение двух или более множителей возводится в степень, скопируйте каждый множитель, а затем умножьте его показатель степени на внешний показатель степени. Мы должны сделать это для каждого фактора внутри скобок, которые в данном случае являются a и b.
Предполагается, что [латекс]a \ne 0[/латекс] или [латекс]b \ne 0[/латекс], а [латекс]n[/латекс] — целое число. 92}[/латекс].
Эта проблема очень похожа на предыдущую. Единственная разница в том, что есть три (3) множителя с показателями степени. Нам просто нужно распределить внешний показатель на каждый из внутренних показателей.
ПРАВИЛО 7: Степень частного Свойство экспоненты
Когда частное возведено в степень, скопируйте множитель в числитель, затем умножьте его показатель степени на внешний показатель степени. Мы должны сделать то же самое с множителем в знаменателе, где мы копируем его, а затем умножаем его показатель на внешний показатель. Здесь также необходимо предположить, что [латекс]a \ne 0[/латекс] или [латекс]b \ne 0[/латекс], а [латекс]m[/латекс] — целое число.
Пример:
- Упростите экспоненциальное выражение.
На самом деле, мы будем использовать здесь одновременно два свойства экспонент, чтобы полностью упростить это.