Примеры как решать корни: Квадратный корень — все что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

Содержание

Свойства корней: доказательства, примеры решение задач

Данный материал включает в себя всю информацию связанную с понятием квадратный корень числа.

Мы подробно изучим все основные свойства корней. Когда применяются корни чисел, как правильно работать с этим элементом алгебры. Закрепим изученный материал на конкретных примерах решения задач.

Для начала дадим определение понятию корень.

Определение

Квадратный корень — это такое число, которое во второй степени равно подкоренному выражению.

Принцип вычисления корня: все значения, которые находятся под корнем, называют подкоренным выражением. Оно может быть выражено, как числом, так и буквой. Числовых значений под корнем может быть несколько, это также допускается.

Свойства арифметического квадратного корня

Нужно обязательно помнить: извлекать корень можно только из положительного числа.

Квадратный корень из нуля, всегда равняется нулевому значению.

Как правильно определить корень из любого числа?

Для облегчения задачи достаточно знать и выучить таблицу корней. Она очень существенно помогает в данной ситуации.

Примеры решения задач с определением квадратного корня числа:

Вычисление значения корня из десятичной дроби:

преобразовать число из десятичной дроби в целое число, убрав запятые;
найти квадратный корень для полученного целого действительного числа;
полученное целое действительное значение, заменить на дробь десятичного значения, применяя правило перемножения дробей.

Пример №1:

Нужно определить квадратный корень из следующего значения \[\sqrt{0,16}\]

Для начала убираем запятую из дробного выражения и получаем число равным 16.

Квадратичное значение из шестнадцати равняется четырем.

\[\sqrt{16}=4\]

Применяем правило перемножения дробей десятичного значения.

В результате проведенных вычислений, количество знаков, после запятой равно сумме знаков. {2}=0,81\].

Рассмотрим основные свойства корней числовых значений:

Перемножение действительных чисел.

Данное свойство можно расписать в виде множества чисел:

\[a_{1}, a_{2}, a_{3 \ldots \ldots} a_{n,} \sqrt{a_{1}, a_{2}, a_{3 \ldots} \ldots a_{n,}}=\sqrt{a_{1}} \cdot \sqrt{a_{2}} \cdot \sqrt{a_{3}} \ldots \ldots \ldots \sqrt{a_{n}}\]

Вычисление корня числа из частного значения множества действительных чисел.

\[a_{1}, a_{2}, a_{3 \ldots . . .} a_{n,} \sqrt{a_{1, \div} a_{2 \div}, a_{3 \ldots . .} a_{n,}}=\sqrt{a_{1}} \div \sqrt{a_{2}} \div \sqrt{a_{3}} \ldots \ldots \ldots \sqrt{a_{n}}\]

Можно записать данное деление и другим способом:

\[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} ; \quad \sqrt{\frac{a}{c}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} . \]

Условие: \[a \geq 0 ; b>0\].

Значение в знаменателе обязательно должно, быть более нуля, так как по законам математики делить н ноль нельзя.

Свойство с четным показателем, действительного числа. {n}=a \cdot b\].
Мы получили равенство, которое изначально нужно было доказать.
Доказать множество равенство значений, можно таким же методом, используя те же операции.
Рассмотрим несколько примеров решения функции данного вида, применяя числовые значения.
Пример 2: Дробное значение под корнем.
\[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \]

Числовое значение в числителе может иметь положительное значение или равняться нулю. В знаменателе — любое действительное число, кроме нуля. Так как по законам математики: деление на ноль запрещается (недопустимо).
Перейдем к доказательству свойства.
Запишем равенство \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \text { где } a \geq 0, b>0\]. (обязательное условие, которое должно соблюдаться).
Пример 3: Это свойство заключается в следующем: если подкоренное число имеет любое значение и четный показатель. n = 2 * m;
Следовательно, справедливым будет равенство: \[\sqrt[2 \cdot m]{a^{2 \cdot m}}\]. {2 \cdot m-1}}=a\], так как корень в нечетной степени можно расписать в виде выражения \[\sqrt[2 \cdot m-1]{-c}=-\sqrt[2 \cdot m-1]{c}\]. Где значение с — имеет положительное значение или равняется нулю. Для лучшего усвоения материала рассмотрим пример решения.
Пример 4: Извлечение действительного значения из-под корня.
Запишем следующую функцию \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a} \text { или } \sqrt[n 1]{\sqrt[n 2]{\ldots \ldots \sqrt[n k]{a}}}=\sqrt[n 1 \cdot n 2 \cdot n k]{a}\]
Значение числа a — может быть положительным значение либо равняться нулю, а показатель степени n и m обычные натуральные числовые значения.
Равенство \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}\] докажем следующим способом.
Поменяем местами значения, которые расположены до знака равно и после него. Запишем новое уравнение \[\sqrt[n \cdot m]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}\]. Далее вспомним как возводить степень в степень и основное определения корня числового значения. 2 = -1$ действительных корней не имеет.
В уравнении 5(x + 3)=5x + 15 бесконечное количество корней, т.к. оно превращается в истинное равенство при любом $x \in \Bbb R$, т.е. является тождеством.
Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.
п.2. Примеры
Пример 1. Решите уравнение и выполните проверку x — (3 — 2x) = 9
Решение:
x-(3-2x)=9 $\iff$ x-3+2x=9 $\iff$ x+2x=9+3 $\iff$ 3x=12 $\iff$ x=4
Проверка:
$4 -(3 — 2 \cdot 4)=9 \implies 4 — 3 + 8 = 9 \implies 9 \equiv 9$
Ответ: x = 4
Пример 2. Решите уравнение и выполните проверку 7(x + 3) = 56
Решение:
7(x + 3)=56 |:7 $\iff$ x + 3 = 8 $\iff$ x = 8 — 3 $\iff$ x=5
Проверка:
$7(5 + 3) = 56 \implies 7 \cdot 8 = 56 \implies 56 \equiv 56$
Ответ: x = 5
Пример 3. Решите уравнение и выполните проверку (3x + 4) : 2 = 14
Решение:
(3x + 4) : 2=14 |$\times$2 $\iff$ 3x + 4 = 28 $\iff$ 3x = 28 — 4 $\iff$ 3x = 24 $\iff$ x=8
Проверка:
$(3 \cdot 8 + 4) : 2 = 14 \implies (24 + 4) : 2 = 14 \implies 28 : 2 = 14 \implies 14 \equiv 14$
Ответ: x = 8
Пример 4. Решите уравнение $ \frac{3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0$
Решение:
$\frac {3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0 | \times 15 \iff5(3x-7)-3(5x-11)=0 \iff$
$ \iff 15x-35-15x+33=0 \iff 0x=2 \iff x \in \varnothing $
Решений нет.
Ответ: $x \in \varnothing $
Пример 5. Решите уравнение $\frac {2x — 7}{2} = \frac {3x+6}{3}$
Решение:
$\frac {2x-7}{2}=\frac {x+6}{3} | \times 6 \iff 3(2x-7)=2(x+6) \iff 6x-21=2x+12 \iff $
$\iff 6x-2x=12+21 \iff 4x=33 \iff x= \frac {33}{4} =8 \frac 14$
Ответ: $8 \frac 14$
Пример 6. Решите уравнение |x+1|=5
Решение:
$$|x+1|=5 \iff \left[ \begin{array}{cc} {x+1=-5}\\ {x+1=5} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x=-5-1}\\ {x=5-1} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x_1=-6}\\ {x_2=4} \end{array} \right. $$
Ответ: $ x_1=-6, x_2=4$
Пример 7*. Решите уравнение и выполните проверку |x + 1| = x + 3
Решение:
$$ |x + 1| = x + 3 \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+1 \ge 0 \\ x+1=x+3 \end{array} \right.
}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x+1<0 \\ -(x+1)=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1 \\ 1=3 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-1=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff $$
$$ \iff \left[ \begin{array}{cc} {\emptyset}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-x=3+1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {-2x=4} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {x=-2} \end{array} \right. \iff x=-2 $$
Проверка:
$$|-2+1|=-2+3 \implies |-1|=1\implies 1 \equiv 1$$
Ответ: x = -2
Пример 8. При каком значении a уравнение 5ax + 18 = 3 будет иметь корень x = -3?
Решение:
Подставляем x=-3 в уравнение и решаем его относительно параметра a:
5a $\cdot$ (-3) + 18 = 3 $\iff$ -15a = 3 — 18 $\iff$ -15a = -15 $\iff$ a = -15:(-15)=1

a=1
Ответ: a = 1
квадратных и квадратных корней? Определение, формула, примеры
Что такое квадрат и квадратный корень?
Когда вы умножаете число само на себя, вы получаете квадрат числа.
Например, 3 доллара \ умножить на 3 = 9 долларов. Итак, квадрат 3 равен 9.
Квадратный корень действует наоборот. Если квадрат 3 равен 9, то квадратный корень из 9 равен 3.
Следовательно, мы можем сказать, что квадрат и квадратный корень являются обратными операциями друг друга.
Родственные игры 92 = 5,5 \ умножить на 5,5 = 30,25$

Мы также можем найти квадрат отрицательного числа. Например: $(−4) \times (−4) = 16$.

Вы заметили, что квадраты чисел 4 и $(−4)$ совпадают? Возведение в квадрат положительного числа дает тот же результат, что и возведение в квадрат отрицательного числа.

Квадратный корень из числа

Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число.

Например, квадратный корень из 25 равен 5, потому что целые числа 5 и $-5$ при умножении друг на друга дают произведение 25.

$5 \times 5 = 25$

$(-5) \times (-5) = 25$

Квадратный корень представлен символом «$\sqrt{}$». Например:

$\sqrt{49} = \pm 7$
$\sqrt{36} = \pm 6$

Связанные рабочие листы

Что такое идеальные квадраты?

Полный квадрат — это число, полученное путем умножения целого числа на себя. Целое число не содержит дробей или десятичных знаков.

Вот таблица квадратных корней из первых десяти идеальных квадратов. Показывает положительные квадратные корни из заданного полного квадрата.

Как видите, только несколько чисел являются правильными квадратами. Остальные числа являются несовершенными квадратами. Квадратный корень из неполных квадратов содержит дроби и десятичные дроби.

Пример:

$\sqrt{10} = 3,163$
$\sqrt{20} = 4,472$

Различные методы нахождения квадратного корня

Существуют различные способы нахождения квадратного корня из числа. Давайте рассмотрим некоторые из часто используемых методов:

Метод повторного вычитания
Метод простой факторизации
Метод длинного деления

Метод многократного вычитания

Вот как найти квадратный корень числа с помощью этого метода:

Шаг 1: Возьмите число и вычтите из него последовательные нечетные числа, пока не получите ноль.

Шаг 2: Количество вычитаний равно квадратному корню из числа.

Возьмем, например, 25. Итак, вычитая из него последовательные нечетные числа, получаем:

25 долларов — 1 = 24 доллара
24 доллара — 3 = 21
21$ − 5 = 16$
16 $ − 7 = 9
$ 9 − 9 = 0 $

Здесь мы вычли пять раз. Итак, квадратный корень из 25 равен 5. Разве это не круто?

Метод факторизации простых чисел

Предположим, вы хотите найти квадратный корень из 1764. Вот как найти его с помощью метода факторизации:

Шаг 1. Найдите простые множители числа 1764. = 2 х 2 х 3 х 3 х 7 х 7 $

Шаг 2: Сформируйте пары похожих факторов.

Здесь мы можем составить три пары подобных множителей.

$\underline{2 \times 2} \times \underline{3 \times 3} \times \underline{7 \times 7}$

Шаг 3: Возьмите по одному из каждой пары и найдите их произведение.
$2 \x 3 \times 7 = 42$
Шаг 4: Произведение равно квадратному корню из числа.
Следовательно, $\sqrt{1764} = 42$.
Примечание. Если число не образует пару подобных множителей, мы помещаем их внутри символа квадратного корня.
Например, чтобы найти квадратный корень из 8.
Найдите простые множители числа 8.
Шаг 2: Сформируйте пары похожих факторов.
Здесь мы можем составить две пары одинаковых множителей
$\underline{2 \times 2} \times 2$
Шаг 3: Возьмите один из пары и поместите его вне символа квадратного корня

Следовательно, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Метод длинного деления
Допустим, нам нужно найти квадратный корень из 529, используя метод деления в большую сторону.
Шаг 1: Поместите черту над каждой парой цифр числа 529, начиная справа.
Шаг 2: Возьмите самое левое число и разделите его на наибольшее число, квадрат которого меньше или равен крайней левой паре.
Здесь самое левое число — 5. Мы делим его на 2, потому что квадрат 2 равен 4, что меньше пяти.
Шаг 3: Опустите другую пару справа от остатка.
Шаг 4: Добавьте частное к делителю и введите его с пробелом справа.
Шаг 5: Найдите подходящее число для разряда единиц делителя. Число должно быть таким, чтобы при умножении на новую цифру оно было равно или меньше делимого.
В этом случае 43 доллара \ умножить на 3 = 129 долларов. Итак, добавляемое число должно быть 3.
Шаг 6: Остаток равен нулю. Таким образом, ответ равен 23.
Следовательно, $\sqrt{529} = 23$.
Мы также можем найти квадратный корень из неполного квадрата, используя метод деления в длинную сторону.
Например, квадратный корень из 10 равен 3,16.
Как найти квадрат
Нахождение квадрата числа сравнительно проще, чем нахождение квадратного корня.
Вы можете просто использовать таблицу умножения, чтобы найти квадрат однозначного числа. Двузначное число можно умножить на само число, чтобы получить ответ.
Пример:
6 $ умножить на 6 = 36 $
125 $ умножить на 125 = 15 625 $
Заключение
Итак, вот некоторые из различных советов и хитростей с квадратным корнем . Как только вы поймете метод, деление и умножение квадратных корней станет очень простым. Теперь вы можете использовать эти концепции для решения различных задач, связанных с квадратными корнями. Веселиться!
Решенные примеры
1. Найдите квадратный корень из 144 методом вычитания.
Решение:
Вычитая из него последовательные нечетные числа, получаем:
Здесь мы вычли двенадцать раз. Таким образом, квадратный корень из 144 равен 12.
2. Найдите квадратный корень из 7056, используя метод разложения на простые множители.
Решение :
$7056 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7$
$\sqrt{7056} = 2 \times 2 \times 3 \times 7$
$= 84$
3. Найдите квадратный корень из 1764 методом деления в длинную сторону.
Решение:
Квадратный корень из 1764 равен 42.
4. Проверьте, является ли 24 полным квадратом.
Решение:
$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3
$\sqrt{24} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{6} $
$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
Следовательно, 24 не является полным квадратом.
5. Найдите значение $\sqrt{36} + \sqrt{625}$ .
Решение:
Мы знаем, что
$\sqrt{36} = 6$
$\sqrt{625} = 25$
Итак, $\sqrt{36} + \sqrt{625} = 6 + 25 = 31 $
Практические задачи
1
Найдите квадратный корень из 121, используя метод повторного вычитания.
8
9
10
11
Правильный ответ: 11
121$ – 1 = 120$ – 7 = 105$
$105 – 9 = 96$
96$ – 11 = 85$
85$ – 13 = 72$
72$ – 15 = 57$
57$ – 17 = 40$
40$ – 19 = 21$
21$ – 21 = 0$
Следовательно, квадратный корень из 121 равен 11.
5 2
0
Найдите квадратный корень из 4096, используя метод факторизации.
32
48
64
72
Правильный ответ: 64
Таким образом, $4096 = \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{2\times \underline{2\times \underline{2\times \underline} раз \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{2\times2}$
$\sqrt{4096} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$
3
Найдите квадратный корень из 1000, используя метод деления в большую сторону.
10
100,66
31,622
109,99
Правильный ответ: 31,622
Корень квадратный из 1000
2 9008 Найдите корень квадратный из 1000
4 9008 4, используя метод длинного деления.
40
42
45
48
Правильный ответ: 48
Корень квадратный из 2304
5
Найдите наименьшее число, на которое нужно умножить 1800, чтобы получить полный квадрат.
2
3
4
5
Правильный ответ: 2
$1800 = 2 × \underline{2 \times 2} \times \underline{5 \times 5} \times \underline{3 \times 3}$
Чтобы получить идеальный квадрат, необходимо соединить множители.
Здесь у первой «2» нет пары.
Следовательно, мы должны умножить 1800 на 2, чтобы получить полный квадрат.
$1800 \times 2 = \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{5\times5} \times \underline{3\times3}$
$= 3600$
$\sqrt{3600} = 2 \times 2 \times 5 \times 3 = 60$
Часто задаваемые вопросы
Какая связь между теоремой Пифагора и квадратным корнем ?
Согласно теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы его сторон.
Какой пример несовершенного квадрата?
Несовершенный квадрат — это число, квадратный корень которого представляет собой дробь. Например, 50. √50 = 7,07
Как связаны квадратный и квадратный корни?
Квадрат и квадратный корень являются обратными операциями. Квадрат – это число, полученное путем умножения числа само на себя. С другой стороны, квадратный корень числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число.
Могут ли квадратные корни быть отрицательными?
Да, каждое число имеет два квадратных корня — положительный и отрицательный. Например, квадратный корень из 25 равен 5 и (−5).
Каким методом можно найти квадратный корень из неполного квадрата?
Мы можем использовать метод деления в длину, чтобы найти квадратный корень из неполного квадрата. Однако метод факторизации можно использовать только для полных квадратов.
Узнайте, как находить точные квадратные корни и наглядные примеры
Спасибо, что выбрали Smartick для продолжения изучения математики. Готовы ли вы начать с квадратных корней? Ну, поехали!
В посте этой недели мы научимся вычислять точные квадратные корни и рассмотрим несколько наглядных примеров, где они применяются. Как известно, графическая визуализация всегда здорово помогает в понимании и усвоении новых концепций. Надеюсь, вы найдете его очень полезным и получите удовольствие от обучения. Вы увидите, как просто это делается для квадратных корней!
Чтобы вычислить квадратный корень из числа, найдите число, которое при умножении само на себя дает нам это первое число. Если мы уже знаем степень 2 (вычисление квадрата числа), мы пытаемся найти число, возведенное в квадрат, дает нам первое число.
Для представления квадратного корня используется следующий символ:
Давайте рассмотрим несколько примеров вычисления точных квадратных корней , которые дают нам точное число (без десятичных знаков).
Точные квадратные корни

Чтобы вычислить квадратный корень из 9 , вы должны найти число, которое, умноженное само на себя, дает нам 9. Давайте немного подумаем, чтобы убедиться, что мы его знаем. У вас уже есть это? Точно! Как вы, наверное, догадались, это число равно 3. Таким образом, квадратный корень из 9 равен 3.
Если мы уже знаем, сколько в степени , мы можем найти число, которое при возведении в квадрат дает нам 9, и как 3 в квадрате. равно 9, искомое число равно 3.
Вы видели, как легко? Теперь вы можете попытаться вычислить квадратный корень из 16. Вы уже нашли его? То есть, поскольку 4 в квадрате равно 16, квадратный корень из 16 будет равен 4.
Давайте теперь рассмотрим несколько наглядных примеров, чтобы лучше понять концепцию квадратного корня.
Визуальный пример 1

Как вы узнали из квадрата числа post, квадратные числа названы именно потому, что мы можем представить их в квадратной форме, например, мы можем представить 3 в квадрате с 9квадраты расположены в 3 ряда по 3, например:
Итак, мы вычислили квадратный корень из 9 как 3, мы можем видеть корень из 9 как сторону квадрата из 9 квадратов, и эта сторона равна 3, как вы можете видеть на предыдущем рисунке.

Шахматный вызов
Теперь я предлагаю вам подсчитать количество фигур, которые есть у каждого игрока в шахматной партии. Держу пари, вы легко решите это.
Если мы знаем, что на доске квадрата и на ней 64 квадрата , чтобы узнать, сколько квадратов на доске в каждой строке, нам нужно вычислить
корень из 64 .
То есть ищем число, которое умножение само на себя (или возведенное в квадрат) дает нам 64. И это число равно 8. Значит на доске 8 квадратов в каждом ряду (если посмотреть на рисунок доски что там есть ниже в этом посте у него по 8 квадратов с каждой стороны).
Теперь мы знаем, что фигуры игрока занимают 2 ряда доски, поэтому нам нужно количество клеток ряда умножить на 2. У вас уже есть ответ на задание? Конечно! Затем у каждого игрока по 16 фигур в игре в шахматы.
Если вы посмотрите на следующий рисунок, вы увидите, что очень легко понять все те расчеты, которые мы сделали для решения задачи.
No related posts.