Формулы интегрирования, основные формулы интегрирования для учащихся
Содержание:
- Основные формулы интегрирования
- Интегралы от рациональных функций (23 шт)
- Интегралы от трансцендентных функций (15 шт)
- Интегралы от иррациональных функций (27 шт)
- Интегралы от тригонометрических функций (31 шт)
Формулы интегрирования, таблица интегралов
- Основные формулы интегрирования
- Интегралы от рациональных функций (23 шт)
- Интегралы от трансцендентных функций (15 шт)
- Интегралы от иррациональных функций (27 шт)
- Интегралы от тригонометрических функций (31 шт)
Основные формулы интегрирования
$$
\int d x=x+c
$$
$$
\mathrm{k}(\mathrm{f}(\mathrm{x})) \mathrm{d} \mathrm{x}=\mathrm{k} \cdot \int \quad \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}
$$
$$
\int(\mathrm{u}+\mathrm{v}+\mathrm{w}+\ldots) \mathrm{d} \mathrm{x}=\int \quad \mathrm{u} \mathrm{d} \mathrm{x}+\int_{.
{1.5}+c
$$
$$
\begin{array}{c}
\int \frac{\mathrm{d} x}{(x+c) \cdot \sqrt{a x+b}}=\frac{1}{\sqrt{b-a c}} \cdot \ln \left|\frac{\sqrt{a x+b}-\sqrt{b-a c}}{\sqrt{a x+b}+\sqrt{b-a c}}\right|+c \\
(b-a c>0)
\end{array}
$$
$$ \int \sqrt{\frac{a x+b}{c x+d}} d x=\frac{1}{c} \cdot \sqrt{(a x+b) \cdot(c x+d)}-\frac{a d-b c}{c \cdot \sqrt{a c}} \cdot \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{a(c x+d)}{c(a x+b)}}\right)+c $$
$$ \int \frac{\mathrm{d} \mathrm{x}}{\mathrm{x} \cdot \sqrt{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{b}}} \cdot \ln \left|\frac{\sqrt{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}-\sqrt{\mathrm{b}}}{\sqrt{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}+\sqrt{\mathrm{b}}}\right|+\mathrm{c} $$
$$ \int \frac{d x}{x \cdot \sqrt{a x+b}}=\frac{2}{\sqrt{-b}} \cdot \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{a x+b}{-b}}\right)+c $$
$$ \int \frac{d x}{x^{2} \cdot \sqrt{a x+b}}=\frac{-\sqrt{a x+b}}{b x}-\frac{a}{2 b} \int \frac{d x}{x \cdot \sqrt{a x+b}} d x $$
$$ \int \frac{\sqrt{a x+b}}{x} d x=2 \cdot \sqrt{a x+b}+b \int \frac{d x}{x \cdot \sqrt{a x+b}} d x $$
$$ \int \sqrt{\frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{b}+\mathrm{x}}} \mathrm{d} \mathrm{x}=\sqrt{(\mathrm{a}-\mathrm{x})(\mathrm{b}+\mathrm{x})}+(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \arcsin \left(\sqrt{\frac{\mathrm{x}+\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}\right)+\mathrm{C} $$
$$ \int \sqrt{\frac{a+x}{b-x}} d x=-\sqrt{(a+x)(b-x)}-(a+b) \arcsin \left(\sqrt{\frac{b-x}{a+x}}\right)+c $$
$$ \int \frac{\mathrm{d} \mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{b} \mathrm{x}+\mathrm{c}}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{a}}} \cdot \ln \left|2 \mathrm{ax}+\mathrm{b}+2 \sqrt{\left.
{n+1}(x)}{n+1}+c
$$236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
11.1.1. Основные формулы и свойства неопределенного интеграла.
Главная » 11 класс. Алгебра. » 11.1.1. Основные формулы и свойства неопределенного интеграла
На чтение 2 мин. Просмотров 5.3k.
Все простейшие формулы интегралов будут иметь вид:
∫f (x) dx=F (x)+C, причем, должно выполняться равенство:
(F (x)+C)’=f (x).
Формулы интегрирования
Формулы интегрирования можно получить обращением соответствующих формул дифференцирования.
Действительно,
Показатель степени n может быть и дробным. Часто приходится находить неопределенный интеграл от функции у=√х. Вычислим интеграл от функции f (x)=√x, используя формулу 1).
Запишем этот пример в виде формулы 2).
Так как (х+С)’=1, то ∫dx=x+C.
3) ∫dx=x+C.
Заменяя 1/х² на х-2, вычислим интеграл от 1/х².
А можно было получить этот ответ обращением известной формулы дифференцирования:
Запишем наши рассуждения в виде формулы 4).
Умножив обе части полученного равенства на 2, получим формулу 5).
Найдем интегралы от основных тригонометрических функций, зная их производные: (sinx)’=cosx; (cosx)’=-sinx; (tgx)’=1/cos²x; (ctgx)’=-1/sin²x. Получаем формулы интегрирования 6) — 9).
6) ∫cosxdx=sinx+C;
7) ∫sinxdx=-cosx+C;
После изучения показательной и логарифмической функций, добавим еще несколько формул.
Основные свойства неопределенного интеграла
I. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
(∫f (x) dx)’=f (x).
II. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
d∫f (x) dx=f (x) dx.
III. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С.
∫dF (x)=F (x)+C или ∫F'(x) dx=F (x)+C.
Обратите внимание: в I, II и III свойствах знаки дифференциала и интеграла (интеграла и дифференциала) «съедают» друг друга!
IV. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла.
∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k — постоянная величина, не равная нулю.
V. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.
∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.
VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины, причем, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b).
Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:
Можно записать:
неопределенный интеграл
( 2 оценки, среднее 5 из 5 )
Все формулы интегрирования — PDF, список, лист для класса 12
Содержание
Формулы интегрирования
Алгебраические выражения, тригонометрические отношения, обратные тригонометрические функции, логарифмические и экспоненциальные функции — все это можно интегрировать с помощью формул интегрирования. Основные функции, для которых были получены производные, получаются путем интегрирования функций. Эти формулы интегрирования используются для получения муравьиной производной функции. Мы получаем семейство функций из I, когда дифференцируем функцию f на интервале I. Мы можем определить функцию f, если знаем значения функций из I. Интегрирование — процесс, противоположный дифференцированию. Давайте сделаем еще один шаг и посмотрим на формулы интегрирования, которые используются в процедурах интегрирования.
Формула интеграции — что это такое?
Следующие наборы формул представляют собой общее представление формул интегрирования. Включены основные формулы интегрирования, интегрирование тригонометрических отношений, обратные тригонометрические функции, произведение функций и более сложный набор формул интегрирования. Интеграция — это, по сути, метод соединения частей для создания целого. Это действие, противоположное дифференциации. Таким образом, фундаментальное уравнение интегрирования имеет вид f'(x) dx = f(x) + C. С его помощью создаются следующие формулы интегрирования.
Формулы интегрирования для класса 12
Вычисление интеграла называется интегрированием. Интегралы используются в арифметике для вычисления множества полезных величин, таких как площади, объемы, перемещения и т. д. Когда мы говорим об интегралах, мы обычно имеем в виду определенные интегралы. Для муравьиных производных используются неопределенные интегралы. Помимо дифференцирования, интегрирование является одним из двух основных предметов исчисления в математике, который измеряет скорость изменения любой функции по отношению к ее переменным.
Это широкая тема, которая изучается в классах старшего уровня, таких как класс 11 и 12.
Подробнее о:
- Штукатурка — Формула, Использование
- PM Кисан Самман Нидхи Статус 2022 @Pmkisan.Gov.In
- формула отбеливающего порошка и химическое название
- Площадь ромба – формула и примеры для класса 8
Формулы интегрирования — PDF
Все основные формулы интегрирования — PDF
Скачать все основные формулы интегрирования 92(θ) dθ, где x = a sin(θ) или x = a tan(θ) Примечание: C — постоянная интегрирования. Основные интегральные формулы приведены ниже: В целом существует два вида интегралов. Это интегралы, которые могут быть определенными или неопределенными. Это интегрирования с ранее существовавшим значением пределов, приводящие к определенному конечному значению интеграла. b∫ag(x)dx = G(b) – G(a) Это интегрирования, которые не имеют ранее существовавшего предельного значения, что делает конечное значение интеграла неопределенным. Здесь используется постоянная интегрирования C. g'(x) = g(x) + C Мы используем обсуждавшиеся до сих пор формулы интегрирования для аппроксимации площади, ограниченной кривыми, оценки среднего расстояния, скорости и задач, ориентированных на ускорение, нахождения среднего значения функции, аппроксимации объем и площадь поверхности твердых тел, оценка длины дуги и нахождение кинетической энергии движущегося объекта с использованием несобственных интегралов. Пример 1: Найдите значение ∫ (9x+ 25)/ (x+ 3) 2 . (9x+ 25)/ (25). x+3) 2 — рациональная функция. Используя разложение на неполные дроби, имеем (9x+ 25)/(x+3) 2 = A/(x+3) + B/(x+3) 2 Взяв LCD, получим (9x+ 25)/(x+3) 2 = [A(x+3) +B]/(x+3) 2 Приравнивая числитель, получаем 9x+ 25 = A(x+3) +B Решая для B при x = -3, получаем B = -2 Решая для A при x = 0, получаем получить A = 9 Таким образом, неполная дробь разлагается как 9/(x+3) -2/(x+3) 2 Как указано в формулах интегрирования выше, найдите интеграл 9/(x+ 3) -2/(х+3) 2 . ∫[9/(x+3)]dx – ∫ -2(x+3) 2 .dx = 9 ln(x+3) – 2 /(x+3) +C Пример 2 :∫ x 3+3 x +4 x √ DX Пример 3: ∫ x 3– x 2: ∫ x 3– x 2: ∫ x 3– x 2: ∫ x 3- x 2: ∫ x 3- x 2: ∫ x dx Статьи по теме Что такое интеграция с примером? Интеграция описывается как объединение ранее изолированных объектов или людей. Когда школы были десегрегированы и больше не существовало отдельных государственных школ для афроамериканцев, это был пример интеграции. Что означает интегрирование в математике? В математике интегрирование — это процесс нахождения функции g(x), производная которой Dg(x) равна заданной функции f. (Икс). Представляется интегральным символом «∫», как в f(x), который обычно называют неопределенным интегралом функции. Сколько существует формул интегрирования? Существует три разных типа методов интегрирования, каждый из которых имеет собственный набор алгоритмов вычисления интегралов. Это результаты, которые были стандартизированы. Формулы интегрирования — хороший способ их запомнить. Делиться заботой! 0
акции Список формул интегрирования: В 12 классе по математике интегрирование — это обратный процесс дифференцирования, также известный как обратное дифференцирование. Это метод расчета общей стоимости путем сложения нескольких компонентов. Это процесс определения функции с ее производной. Формулы интегрирования могут интегрировать алгебраические уравнения, тригонометрические отношения, обратные тригонометрические функции, логарифмические и экспоненциальные функции и другие функции. Формулы интегрирования – список и таблица
dx =log|secx| + С Формулы интегрирования
обратных тригонометрических функций с пределами Список сложных формул интеграции
dx = 1/a.tan -1 x/a + C Формулы интегрирования – Приложение
Определенная формула интегрирования
Неопределенная формула интегрирования
Формулы интеграции с примерами
dx
Решение:
Решение:
Решение:
Gov.In For Aadhar — новая регистрация, обновление, загрузка Формулы интеграции — КНС
Формулы интеграции: основные и расширенные
Формулы интегрирования для класса 12 используются для определения первообразной функции. Мы получим семейство функций из I, если продифференцируем функцию f на интервале I. Зная значения функций из I, мы можем вычислить функцию f. Эта обратная процедура дифференцирования известна как интегрирование. Прокрутите вниз, чтобы проверить и загрузить список формул интеграции бесплатно в формате PDF из этой статьи.
Прежде чем предоставить вам список формул, мы свели в таблицу все важные символы, термины и фразы, используемые при интеграции, и их значение:
Список формул интегрирования для класса 12
Интеграл функции f(x)f(x) относительно xx записывается как ∫f(x)dx. Основные формулы, обычно используемые при интегрировании, перечислены ниже:
Список основных формул интегрирования:
Некоторые обобщенные результаты, полученные с использованием фундаментальных теорем об интегралах, запоминаются как формулы интегрирования при неопределенном интегрировании.
Ниже приведены основные формулы интегрирования для справки:
- ∫ x n .dx = x (n + 1) /(n + 1)+ C
- ∫ 1.dx = x + C
- ∫1/x.dx = log|x| + C
- ∫ E x .DX = E x + C
- ∫ x .DX = A x /loga+ c
- ∫ E x [f (x)+ F ‘ (x)].dx = e x .f(x) + C
Тригонометрические формулы интегрирования
Список формул для тригонометрических функций приведен ниже:
- ∫ cosx.dx = sinx + C
- ∫ sinx.dx = -cosx + C
- ∫ cosec 2 x.dx = -cotx + C
- ∫ sec 2 x.dx = tanx + C
- ∫ cosecx.cotx.dx = -cosecx + C ∫ tg = secx + C
- ∫ tanx.dx =log|secx| + C
- ∫ cotx.dx = log|sinx| + C
- ∫ cosecx.dx = log|cosecx – cotx| + C
- ∫ secx.dx = log|secx + tanx| + C
Формулы обратных тригонометрических функций интегрирования
Вот список всех важных формул обратных тригонометрических функций:
- ∫1/√(1 – x 2 ).
dx = sin -1 x + C - ∫ /1(1 – x 2 ).dx = -cos -1 x + C
- ∫1/(1 + x 2 ).dx = tan -1 x + C
- ∫ 1/(1 + x 2 ).dx = -cot -1 x + C
- ∫ 1/x√(x 2 – 1).dx = -cosec -1 x + C
- ∫ 1/x√(x 2 – 1).dx = sec -0 x + C
dx = sin -1 x + CРасширенные формулы для интегрирования
Вот список некоторых важных и наиболее часто задаваемых формул для расширенных функций интегрирования:
- ∫ 1/(a 2 – x 2 ).dx =1/2a.log|(a + x)(a – x)| + C
- ∫1/(x 2 – a 2 ).dx = 1/2a.log|(x – a)(x + a| + C
- ∫1/(x 2 + a 2 ).dx = 1/a.tan -1 x/a + C
- ∫1/√(x 2 – a 2 )dx = log|x +√(x 2 -A 2 ) | + C
- ∫1/√ (A 2 -x 2 ) .dx = sin -1 x/a + c
- ∫ √ (x 2 x/A + C
- 2 ). dx =1/2.x.√(x 2 – a 2 )-a 2 /2 log|x + √(x 2 – a 2 )| + C
- ∫√(a 2 – x 2 ).dx = 1/2.x.√(a 2 – x 2 ).dx + a 2 /2 /2. 1 x/a + C
- ∫1/√(x 2 + a 2 ).dx = log|x + √(x 2 + a 2 )| + C
- ∫ √(x 2 + a 2 ).dx =1/2.x.√(x 2 + a 2 )+ a 2 /2 . log|x + √(x 2 + a 2 )| + C
Различные формулы интегрирования
Обычно используются три типа методов интегрирования: интегрирование по формуле частей, интегрирование по формуле подстановки и интегрирование по формуле частичных дробей. Давайте рассмотрим каждую из этих формул интегрирования одну за другой.
Интегрирование по формуле по частям
Когда любая заданная функция является произведением двух разных функций, для вычисления интеграла можно применить формулу интегрирования по частям или частичное интегрирование. Формула интегрирования методом частичного интегрирования выглядит следующим образом:
∫ f(x).g(x) = f(x).∫g(x).dx -∫(∫g(x).dx.f'(x)).dx + c
Например : ∫ xe x dx имеет форму ∫ f(x).g(x). Следовательно, мы должны применить соответствующую формулу интегрирования и соответственно оценить интеграл.
f(x) = x и g(x) = e x
Таким образом, ∫ xe x dx = x∫e x .dx – ∫( ∫e x . dx+ c
= xe x – e x + c
Интегрирование по формуле подстановки
Если данная функция является функцией другой функции, мы можем применить формулу интегрирования для подстановки, чтобы решить этот интеграл. Например, если
I = ∫ f(x) dx,
, где
x = g(t), так что dx/dt = g'(t), то мы пишем dx = g'(t)
Возьмем, например,
I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt
Например: Рассмотрим ∫ (3x +2) 4 dx
Формула интегрирования подстановки дается следующим образом.
Возьмем u = (3x+2). ⇒ du = 3. dx
Таким образом, ∫ (3x +2) 4 дх = 1/3. ∫(и) 4 . дю
= 1/3. u 5 /5 = u 5 /15
= (3x+2) 5 /15
Формула интегрирования частных дробей
Чтобы найти интеграл от неправильной дроби, такой как P(x)/Q(x ), в котором степень P(x) < степени Q(x), мы можем использовать интегрирование дробями. В этом методе мы разбиваем дробь, используя разложение на частичные дроби, как P(x)/Q(x) = T(x) + P11 (x)/Q(x), где T(x) — многочлен от x, а P11 (x)/ Q(x) — правильная рациональная функция.
Предположим, что A, B и C являются действительными числами. У нас могут быть следующие типы более простых дробей, связанных с различными типами рациональных функций.
| Рациональные дроби | Частичные дроби | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (px + q)/(x-a)(x – b) | A/(x – a) + B/ (x-b) 1 + q)/(x-a) n | A 1 /(x-a) + A 2 /(x-a) 2 + ………. А н /(х-а) N | |||||
| (PX 2 + QX + R)/(AX 2 + BX + C) N | (A 1 x + B 72). + bx + c) + (A 2 x + B 2 )/(ax 2 + bx + c) 2 + …(A n x + B n 2 + BX + C) N | ||||||
| (PX 2 + QX + R)/(AX 2 + BX + C) | (AX + B)/(AX 9009 2 + | (AX + B)/(AX 9009 2 + | (AX + B)/(AX 9009 2 9019 + | (AX + B)/(AX 9009 2 9019 + | (AX + B)/(AX 9009 2 + | (AX + B)/(AX 9009 2 | (AX . бх + в) |
| (px 2 + qx + r)/(x-a)(x-b)(x-c) | A/(x – a) + B/ (x-b) + C/ (x-c) | ||||||
| (px 2 + qx + r)/(x 2 +bx +c) | A/(x-a) +(Bx+C)/(x 2 +bx +c) |