Все формулы с векторами: Векторы — основные понятия и формулы

примеры и решения, формулы и теоремы

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Определение

Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

• Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
• Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

• Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
• Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
• Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
  Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy.  Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет  найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем 

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат. 2 \) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Пример

Необходимо узнать длину вектора \( \left|\vec{a}\right|=2*\vec{i}+3*\vec{j}+4*\vec{k} \), в котором \( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \), орты.

Решение

Получается, что дан вектор \( \left|\vec{a}\right| \) с координатами (2; 3; 4)

Применив выведенную ранее формулу получим

Ответ:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Пример

Для прямой системы координат, найти длину вектора \( \overrightarrow{AB}\) , где A(1,√3) B(-3,1)

Решение

Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:

Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:

Ответ:

Пример

Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,\(λ^2\))

Решение

В первую очередь представим длину вектора в виде формулы. 2-2=-2
\)
\(
\lambda_1=-2, \lambda_2=2, \lambda_3=0.
\)

Ответ: \(
\lambda_1=-2, \lambda_2=2, \lambda_3=0.
\)

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов \(\overrightarrow{AB}\)  и \(\overrightarrow{AC}\) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора \( \overrightarrow{BC} \) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Пример

Даны длины двух векторов \( \overrightarrow{AK}\) и \( \overrightarrow{AM}\) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен \( \frac{\pi}{3} \) . необходимо найти длину \( \overrightarrow{KM}\). 2}\) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

• в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
• в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
• в биологии.  Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
• географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.  

что это такое? Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи

Примечание: чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:
(красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости, и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки. Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он).

Теперь совместите указательный палец левой руки с тем же вектором , а средний – с вектором , а средний – с вектором . При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора . Это левый или левоориентированный базис . Это левый или левоориентированный базис .

Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение Или просто попробуйте совместить «базисы» левой и правой руки, после чего станет понятно, что указательные и средние пальцы не совмещаются.

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица, чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если , если

Решение: Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ:

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
. Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ:

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры, соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Тетраэдры в живой природе

 

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Типы тетраэдров.

Правильный тетраэдр – это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр – это один из 5-ти правильных многогранников.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

– Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

– Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

– Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

– Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

• есть сфера, которая касается каждого ребра,
• суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
• суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
• окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
• каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
• перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

– Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

– Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
• Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
• Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Свойства тетраэдра

1) Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед.

2) Отличительным свойством тетраэдра является то, что медианы и бимедианы фигуры встречаются в одной точке. Важно, что последняя делит медианы в отношении 3:1, а бимедианы – пополам.

3) Плоскость разделяет тетраэдр на две равные по объему части, если проходит через середину двух скрещивающихся ребер.

Объем правильного тетраэдра

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Объем данной фигуры равен одной двенадцатой произведения длины его ребра в кубе на квадратный корень из числа 2.

Т.к. это правильный тетраэдр, все его ребра равны (AB = BC = AC = AD = BD = CD).

Формулы объема тетраэдра

Объем данного тела можно найти несколькими способами. Разберем их более подробно.

Через смешанное произведение векторов

Если тетраэдр построен на трех векторах с координатами:

a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)

a=(ax​,ay​,az​)

b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)

b=(bx​,by​,bz​)

c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z)

c=(cx​,cy​,cz​),

тогда объем этого тетраэдра это смешанное произведение этих векторов, то есть такой определитель:

Объем тетраэдра через определитель V=16⋅∣axayazbxbybzcxcycz∣V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ c_x & c_y & c_z \ end{vmatrix}

V=61​⋅∣∣∣∣∣∣​ax​bx​cx​​ay​by​cy​​az​bz​cz​​∣∣∣∣∣∣​

Задача 1

Известны координаты четырех вершин октаэдра.

A(1,4,9)A(1,4,9)

A(1,4,9),

B(8,7,3)B(8,7,3)

B(8,7,3),

C(1,2,3)C(1,2,3)

C(1,2,3),

D(7,12,1)D(7,12,1)

D(7,12,1). Найдите его объем.

Решение

A(1,4,9)A(1,4,9)

A(1,4,9)

B(8,7,3)B(8,7,3)

B(8,7,3)

C(1,2,3)C(1,2,3)

C(1,2,3)

D(7,12,1)D(7,12,1)

D(7,12,1)

Первым шагом является определение координат векторов, на которых построено данное тело.
Для этого необходимо найти каждую координату вектора путем вычитания соответствующих координат двух точек. Например, координаты вектора

AB→overrightarrow{AB}

AB, то есть, вектора, направленного от точки

AA

A к точке

BB

B, это разности соответствующих координат точек

BB

B и

AA

A:

AB→=(8−1,7−4,3−9)=(7,3,−6)overrightarrow{AB}=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)

AB=(8−1,7−4,3−9)=(7,3,−6)

Далее, аналогично:

AC→=(1−1,2−4,3−9)=(0,−2,−6)overrightarrow{AC}=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, -2, -6)

AC=(1−1,2−4,3−9)=(0,−2,−6)

AD→=(7−1,12−4,1−9)=(6,8,−8)overrightarrow{AD}=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)

AD=(7−1,12−4,1−9)=(6,8,−8)

Теперь найдем смешанное произведение данных векторов, для этого составим определитель третьего порядка, при этом принимая, что

AB→=a⃗overrightarrow{AB}=vec{a}

AB=a,

AC→=b⃗overrightarrow{AC}=vec{b}

AC=b,

AD→=c⃗overrightarrow{AD}=vec{c}

AD=c. 3.

156.8 см3.

Виды тетраэдра

Видовое разнообразие фигуры достаточно широко. Тетраэдр может быть:

• правильным, то есть в основании равносторонний треугольник;
• равногранным, у которого все грани одинаковы по длине;
• ортоцентрическим, когда высоты имеют общую точку пересечения;
• прямоугольным, если плоские углы при вершине нормальные;
• соразмерным, все би высоты равны;
• каркасным, если присутствует сфера, которая касается ребер;
• инцентрическим, то есть отрезки, опущенные из вершины в центр вписанной окружности противоположной грани, имеют общую точку пересечения; эту точку именуют центром тяжести тетраэдра.

Остановимся подробно на правильном тетраэдре, свойства которого практически не отличаются.

Исходя из названия, можно понять, что так он называется потому, что грани являют собой правильные треугольники. Все ребра этой фигуры конгруэнтны по длине, а грани – по площади. Правильный тетраэдр – это один из пяти аналогичных многогранников.

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из граней тетраэдра равна 24 см², а высоту, опущенная на нее – 9 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Применим общую формулу и получаем:

Задание 2
Дан правильный тетраэдр, ребро которого равняется 8 см. Найдите его объем.

Решение:
Воспользуемся формулой для расчета объема правильной фигуры:

Источники

• https://www.calc.ru/1535.html
• https://1Ku.ru/obrazovanie/37414-svojstva-tetrajedra-vidy-i-formuly/
• https://2mb.ru/matematika/geometriya/obem-tetraedra/
• https://MicroExcel.ru/obyom-tetraedra/
• http://www.mathprofi.ru/vektornoe_proizvedenie_vektorov_smeshannoe_proizvedenie.html
• https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/26741
• https://studwork.org/spravochnik/matematika/obemy-figur/obem-tetraedra

Векторные уравнения – Объяснение и примеры

В векторной геометрии одной из самых важных концепций при решении реальных задач является использование векторных уравнений. Векторное уравнение определяется как:

«Векторное уравнение — это уравнение векторов, решение которого дает результат в виде вектора».

В этом разделе мы кратко обсудим следующие упомянутые понятия:

• Что такое векторное уравнение?
• Как решить векторное уравнение?
• Что такое векторное уравнение прямой?
• Что такое векторное уравнение окружности?
• Примеры
• Задачи

Что такое векторное уравнение?

Векторное уравнение — это уравнение, содержащее n векторов. Более формально его можно определить как уравнение, включающее линейную комбинацию векторов с возможными неизвестными коэффициентами, и при решении оно возвращает вектор.

Обычно векторное уравнение определяется как «любая функция, которая принимает одну или несколько переменных и взамен дает вектор».

Любое векторное уравнение, включающее векторы с n числом координат, похоже на систему линейных уравнений с n числом координат, включающую числа. Например,

Рассмотрим векторное уравнение:

r <4,5,6> + t<3,4,1> = <8,5,9>

Его также можно записать как

<4r,5r,6r> + <3t,4t,1t> =<8,5,9>

Или

<4r+3t, 5r+4t, 6r+1t> = <8,5,9 >

Чтобы два вектора были равны, все координаты должны быть равны, поэтому его также можно записать в виде системы линейных уравнений. Такое представление имеет следующий вид:

4r+3t = 8

5r+4t = 5

6r+1t = 9

Итак, векторное уравнение можно решить, преобразовав его в систему линейных уравнений. Следовательно, это упрощается и становится легче решать.

В нашей повседневной жизни переносчики играют жизненно важную роль. Большинство используемых физических величин являются векторными величинами. Векторы имеют много реальных применений, включая ситуации, обозначенные силой и скоростью. Например, если автомобиль движется по дороге, на него будут действовать различные силы. Некоторые силы действуют в прямом направлении, а некоторые в обратном направлении, чтобы уравновесить систему. Итак, все эти силы являются векторными величинами. Мы используем векторные уравнения для нахождения различных физических величин в 2D или 3D, таких как скорость, ускорение, импульс и т. д.

Векторные уравнения дают нам разнообразный и более геометрический способ рассмотрения и решения линейной системы уравнений.

В целом, мы можем заключить, что векторное уравнение имеет вид:

x1.t1+x2.t2+···+xk.tk = b

x 1,x 2,…,xk — неизвестные скаляры, имеет то же множество решений, что и линейная система с расширенной матрицей данного уравнения.

Таким образом, векторное уравнение записывается как

r = r 0 +k v

Давайте разберемся с этой концепцией на примерах.

Пример 1

Автомобиль движется с постоянной скоростью по прямой дороге. Первоначально в момент времени t=2 вектор положения автомобиля равен (1,3,5), затем через некоторое время в момент времени t=4 вектор положения описывается как (5,6,8). Запишите векторное уравнение положения объекта. Кроме того, выразить его в виде параметрических уравнений.

Решение

С момента уравнения вектора прямой линии дано

R = R 0 +T V

С

R 0 = <1,3,5. >

r = <5,6,8>

<5,6,8> = <1,3,5> + 4 v

<5,6,8> – <1,3 ,5> = 4 v

<4,3,3> = 4 v

v = <1,3/4,3/4>

Теперь, нахождение векторного уравнения положения объекта 4>

где вектор r равен

= <1,3,5> + <1t,3/4t,3/4t>

Выражение в форма параметрического уравнения:

Поскольку два вектора эквивалентны, только если их координаты равны. Итак, из-за равенства мы можем записать как

x = 1+t

y = 3+3/4t

z = 5+3/4t

Векторное уравнение линий определяет вектор положения линии относительно вектора начала координат и направления, и мы можем найти из размеров векторов, соответствующих любой длине. Это работает для прямых линий и кривых.

Примечание: Вектор положения используется для описания положения вектора. Это прямая линия, один конец которой зафиксирован, а другой прикреплен к движущемуся вектору, чтобы указать его положение.

Давайте разберемся с этой концепцией на примерах.

Пример 2

Запишите следующие уравнения как векторные уравнения сначала рассмотрим уравнение 1:

x = -2y+7

Поскольку приведенное выше уравнение является уравнением прямой:

 y = mx+c

Сначала выберем две точки на заданной линия.

Упростим уравнение,

x = -2y+7

пусть y = 0

x = 7

Итак, первая точка s (7,0) или OS (7,0)

Теперь найдем вторую точку, которая находится на полпути через первую точку, тогда

Пусть x = 14

14 = -2y + 7

-2y = 7

y = -3,5

Итак, вторая точка Т (14, -3,5) или ОТ (14, -3,5)

Затем,

ОС – ОТ = (7,0) – (14, -3,5)

OS – OT = (-7, 3,5)

Итак, форма векторного уравнения приведенного выше уравнения:

R = <7,0> + k<-7,3,5>

    R = <7-7k, 3. 5k>

Теперь решим уравнение 2:

3x = -8y+6

приведенное выше уравнение является уравнением прямой

y = mx+c

Сначала выберем две точки на данной прямой. 9Упростим уравнение

Теперь давайте найдем вторую точку, которая находится на полпути через первую точку, тогда

Пусть x = 4

12 = -2y+7

-2y = 12-7

y = -5/2

Итак , вторая точка Т (4, -5/2) или ОТ (4, -5/2)

Затем,

ОС – ОТ = (2,0) – (4, -5/2)

OS – OT = (-2, 5/2)

Итак, форма векторного уравнения приведенного выше уравнения:

R = <2,0> + k<-2,5/2>

  R = <2-2k, 5/2k>

Теперь составим уравнение 3:

x = -3 /5-8

Поскольку приведенное выше уравнение является уравнением прямой

y = mx+c

Сначала выберем две точки на данной прямой.

Упростим уравнение,

x = -3/5y+8

пусть y = 0

x = 8

Итак, первая точка равна s (8,0) или OS (8,0 )

Теперь найдем вторую точку, которая находится на полпути через первую точку, тогда

Пусть x=16

16 = -3/5y+8

-3/5y = 16-8

y = — 13. 33

Итак, вторая точка Т (16, -13,33) или ОТ (16, -13,33)

Затем,

ОС – OT = (8,0) – (16, -13,33)

OS – OT = (-8, 13,33)

Итак, форма векторного уравнения приведенного выше уравнения:

R = <8,0> + k<-8,13,33>

  R = <8-8k, 13,33k>

Векторное уравнение прямой линии

Все мы знакомы с уравнением линия, имеющая y=mx+c, обычно называемая формой пересечения наклона, где m — наклон линии, а x и y — координаты точки или точки пересечения, определенные на осях x и y. Однако этой формы уравнения недостаточно, чтобы полностью объяснить геометрические особенности линии. Вот почему мы используем векторное уравнение, чтобы полностью описать положение и направление линии.

Для нахождения точек на прямой воспользуемся методом сложения векторов. Нам нужно найти вектор положения и вектор направления. Для вектора положения мы добавим вектор положения известной точки на прямой к вектору v , лежащему на прямой, как показано на рисунке ниже.

Итак, вектор положения r для любой точки задается как r = op + v

Тогда векторное уравнение задается как

R = op + k v

Где k — скалярная величина, принадлежащая RN, op — вектор положения относительно начала координат O, а v — вектор направления. По сути, k говорит вам, сколько раз вы пройдете расстояние от p до q в указанном направлении. Может быть и ½, если будет пройдена половина дистанции и так далее.

Если известны две точки на прямой, мы можем найти векторное уравнение прямой. Точно так же, если мы знаем векторы положения двух точек op и oq на линии, мы также можем определить векторное уравнение линии, используя метод векторного вычитания.

Где,

V = OP — OQ

Следовательно, уравнение вектора приведено,

R = OP +K V

LETSO SOLVE некоторые примеры на некоторые примеры к некоторым примерам на некоторые примеры на некоторые примеры к некоторым примерам на некоторые примеры к некоторым примерам на некоторые примеры к некоторым примерам. понять это понятие.

Пример 3

Запишите векторное уравнение прямой через точки P (2,4,3) и Q (5, -2,6).

Решение

Пусть вектор положения заданных точек P и Q относительно начала координат задан как OP и OQ, соответственно.

ОП = (2,4,3) – (0,0,0)

ОП = (2,4,3)

ОК = (5, -2,6) – ( 0,0,0)

  OQ = (5, -2 ,6)

Поскольку мы знаем, что векторное уравнение прямой определяется как

R = OP + k v

Где v = OQ – OP

v = (5, -2,6) – (2,4,3)

  = 3 (3,0003) )

Итак, векторное уравнение прямой имеет вид уравнение прямой, где k=0,75. Если точки, указанные на линии, определены как A (1,7) и B (8,6).

Решение:

k — это шкала, которая может варьироваться от -∞ до +∞. В этом случае k принимается равным 0,75, что представляет собой расстояние, пройденное на AB в заданном направлении.

Пусть вектор положения заданных точек A и B относительно начала координат равен OA и OB, соответственно.

 ОА = (1,7) – (0,0)

ОА = (1,7)

ОВ = (8,6) – (0,0)

4 0 9 ОБ = (8,6)

Поскольку мы знаем, что векторное уравнение линии определяется как

R = OA +K V

, где V = OB — OA

V = (8,6) — (1,7)

V = (8,6) — (1,7)

V = (7, -1)

Таким образом, векторное уравнение прямой имеет вид Пример 5

Запишите векторное уравнение прямой через точки P (-8,5) и Q (9,3).

Решение

Пусть вектор положения данных точек P и Q относительно начала координат задан как OP и OQ, соответственно.

ОП = (-8,5) – (0,0)

ОП = (-8,5)

ОК = (9,3) – (0,0)

3 OQ

= (9,3)

Поскольку мы знаем, что векторное уравнение прямой определяется как

 R = OP + k v

Где v = OQ – OP

v = (9,3) – (-8,5)

v = (17, -2)

5 Итак, уравнение

R = <-8,5> + k<17, -2>

Векторное уравнение окружности

Ранее мы обсуждали векторное уравнение прямая линия. 2 = 25 92 = 25

Пример 6

Определите, лежит ли точка (2,5) на окружности с векторным уравнением окружности, заданным как | р —<-6,2>| = 3.

Решение

Нужно выяснить, лежит ли заданная точка внутри окружности или нет при заданном векторном уравнении окружности.

С подстановкой значения точки в заданное векторное уравнение

= |<2,5>—<-6,2>|

= |<2+6,5-2>|

= |<8,3>| 92)

= √ (64+9)

= √ (73) ≠ 3

Следовательно, точка не лежит внутри круга.

Практические задачи

1. Запишите следующие уравнения в виде векторных уравнений: x=3y+5       x=-9/5y+3        x+9y=4 (3,4,5) и Б (8,6,7). Найдите вектор положения точки, находящейся посередине между двумя точками.
2. Напишите векторное уравнение прямой, параллельной вектору Q и прохождение через точку o с заданным вектором положения P . Запишите векторное уравнение прямой через точки P(-8/3,5) и Q(5,10).
3. Автомобиль движется с постоянной скоростью по прямой дороге. Первоначально в момент времени t=2 вектор положения автомобиля равен (1/2,8), затем через некоторое время в момент t=4 вектор положения автомобиля описывается как ( 5,10). Запишите векторное уравнение положения объекта. Кроме того, выразить его в виде параметрических уравнений.
4. Запишите векторное уравнение и декартово уравнение окружности с центром c в точке (8,0) и радиусом 7м.
5. Определите, лежит ли точка (3,-5) на окружности с векторным уравнением окружности, заданным как | р —<-3,4>| = 4.

Ответы

1. (i) . r = <5 – 5k , (-5/3)k            (ii) . r = <3 – 3k, (15/9)k >          (iii) . r = <4 – 4k, (4/9)k >
2. r = <11/2 , 5, 6 >
3. (i) . r = <3, -1> + t<-2, ​​6>         (ii) . r = <9, -3> + t<1, 8>
4. R = <-8/3, 5> + k<23/3, 5>
5. r = <5, 10 > +t <-9/8, -1/2> и x = 5 – (9/8)t , y = 10 – (1/2)t
6. |r – <8, 0>| = 7 и (x – 8)2 + y2 =49
7. НЕТ.

Все векторные диаграммы построены с использованием GeoGebra.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Изучайте типы, свойства, формулы, величину!

Мы часто задаемся вопросом о таких вещах, как высота здания, или как игрок должен ударить по мячу, чтобы отдать пас другому игроку в команде, и так далее. Возможный ответ на первый вопрос может быть 200 метров. Здесь вовлеченное количество является единственным значением, которое является величиной, которая является действительным числом, такие меры называются скалярами. Принимая во внимание, что во втором вопросе задействована сила, то есть есть комбинация двух вещей: мышечной силы (величины), а второй — это направление, в котором нужно ударить по мячу. Такие меры обозначаются как векторы. Давайте узнаем о векторной алгебре в статье.

Подводя итог, можно сказать, что любые физические величины можно разделить на две группы:
Скалярные: Любая физическая величина, имеющая только величину, но не имеющую направления, объявляется скалярной величиной.
Vector: Любая физическая величина, которая имеет как величину, так и направление, называется векторной величиной.

В физике, математике и технике мы регулярно сталкиваемся с такими скалярными (масса, расстояние, длина, время, скорость, площадь, объем, температура, работа и т. д.) и векторными (скорость, перемещение, сила, ускорение, вес, импульс и т. д.) количества. Из этой статьи вы узнаете больше о векторах, их свойствах и других аспектах, таких как скалярное произведение, перекрестное произведение и т. д. Имея базовые знания о скалярных и векторных величинах, перейдем к классификации векторов.

Если вы читаете «Векторную алгебру», прочтите также о матрицах здесь.

Узнайте о векторной алгебре в этом видео

0″ разрешить = «акселерометр; Автовоспроизведение; буфер обмена-запись; зашифрованные носители; гироскоп; картинка в картинке” allowfullscreen?rel=0>

Основы векторной алгебры

Рассмотрим M как любую прямую линию на плоскости/трехмерном пространстве. Эта линия может иметь два направления с использованием стрелок. Линия с одним из этих предписанных направлений называется направленная линия .

Теперь распознайте третью линию, которая была ограничена на концах X и Y, таким образом, путем ограничения линии величина задана на линии M. И здесь мы получаем направленный отрезок линии, который имеет как величины, так и направление, представленное к.

\( \left|\vec{XY}\right|\) где стрелка указывает направление вектора.

Компоненты векторной алгебры

Компоненты вектора также могут быть представлены как: 92} \)

Узнайте здесь о различных типах отношений и функций.

Векторная алгебра: типы векторов

Существуют следующие типы векторов:

Нулевые или нулевые векторы

 Вектор, начальное и конечное положения которого совпадают, объявляется нулевым или нулевым вектором. Это означает, что нулевому вектору нельзя присвоить определенное направление, поскольку он имеет нулевые величины. Таким образом, модуль нулевого вектора равен нулю и обозначается через O или \(\vec{0}\).

Единичный вектор

Вектор, модуль которого имеет единичную длину, называется единичным вектором. Если \(\vec{x}\) вектор, величина которого равна x, то единичный вектор \(\vec{x}\) в направлении x обозначается \(\widehat{x}\) и определяется как:

\(\widehat{x}=\dfrac{\overrightarrow{x}}{\left| x\right| }\)

Подобные и отличные векторы

Предполагается, что векторы похожи, когда они имеют одинаковое направление, но их величина различна, точно так же, когда они имеют противоположные направления и разные величины, тогда они называются непохожими векторами.

Равенство векторов

Два вектора \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Коначальные векторы

Векторы, имеющие одну и ту же исходную точку, называются коначальными векторами.

Коллинеарные векторы

Предполагается, что векторы, параллельные одной и той же прямой, являются коллинеарными.

Компланарные векторы

Три или более вектора объявляются компланарными, если они параллельны одной плоскости, в противном случае они объявляются некомпланарными векторами.

Вектор положения

Если точка O зафиксирована как начало координат в пространстве, а P является любой точкой, то OP называется вектором положения P относительно O.

Копланарность трех точек

Три вектора компланарны, если один из них может быть выражен как линейная комбинация двух других векторов.

Если векторы \(\vec{x}\),\(\vec{y}\) и \(\vec{z}\) некомпланарны, то

\(m\vec{x}+ n\vec{y}+p\vec{z}=0=m+n+p=0\)

Прочтите эту статью о статистике здесь.

Операции векторной алгебры

Векторная алгебра включает в себя различные векторные правила и операции, включая сложение векторов, умножение векторов, скалярное произведение, векторное произведение и многое другое. Давайте рассмотрим каждый из них подробно с формулами, правилами, свойствами и многим другим.

Сложение векторов

Сложение двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) обозначается \(\vec{x}\ +\ \vec{y}\ ) и известен как результат \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).

Существуют различные методы добавления векторов.

Закон треугольника

Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) лежат вдоль двух последовательных сторон треугольника, то третья сторона представляет собой сумму векторов \(\ vec{x}\) и \(\vec{y}\) т.е. \(\vec{x}\ +\ \vec{y}\) .

Закон параллелограмма

Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) две смежные стороны параллелограмма, то их сумма представлена ​​диагональю параллелограмма, т.е. диагональ параллелограмма представляет собой вектор \(\vec{x}\ +\ \vec{y}\).

Свойства сложения векторов

• Сложение векторов коммутативно
• т.е.
  • Сложение векторов ассоциативное
  • т.е. {y}+\vec{z}\right)\)
  • Существование Аддитивного идентификатора
  • Для каждого вектора у нас есть где 0 — нулевой вектор.
  • \(\vec{x}+0=\vec{x}=0+\vec{x}\)

  Существование аддитивной обратной

  • Каждому вектору \(\vec{x}\) соответствует вектор \(\vec{-x}\) такой, что
  • \(\vec{x}+ \left(-\vec{x}\right)=0=\left(-\vec{x}\right)+\vec{x}\), где 0 — нулевой вектор.

  Умножение вектора на скаляр

  Пусть k — скаляр \(\vec{x}\) и вектор, тогда их произведение определяется формулой;
  \(k\vec{x}\ or\ \vec{x}k\)
  Этот тип умножения называется скалярным умножением.

  Свойства скалярного умножения

  Для любых векторов \(\vec{x}\)и\(\vec{y}\) и скаляров m, n выполняется:

  • \(m\left(-\vec{ x}\right)=-\left(m\vec{x}\right)\)
  • \(\left(-m\right)\left(-\vec{x}\right)=m\vec{ x}\)
  • \(\left(m+n\right)\vec{x}=m\vec{x}+n\vec{x}\)
  • \(m\left(\vec{x }+\vec{y}\right)=m\vec{x}+m\vec{y}\)
  • \(m\left(\vec{x}-\vec{y}\right)=m \vec{x}-m\vec{y}\)

  Произведение двух векторов

  Векторная алгебра — одна из фундаментальных тем алгебры. Он рассматривает алгебру векторных величин. Нам известно, что есть два вида физических величин, а именно скаляры и векторы. Начнем с скалярного и векторного произведения векторов.

  Скалярное или скалярное произведение двух векторов

  Скалярное произведение двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) в векторной алгебре определяется по формуле:

  \(\vec{ x\ }.\vec{y}=\left|\vec{x}\right|\times\left|\vec{y}\right|\cos\theta\).

  где \(\ \left|\vec{x}\right|\ and\ \left|\vec{y}\right|\) обозначают величину вектора \(\vec{x}\) и \ (\vec{y}\) соответственно и \( \theta\) — угол между векторами \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).

  Свойства скалярного произведения

  • Скалярное произведение коммутативно в векторной алгебре.
  • Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) два ненулевых вектора, то:
  • \(\vec{x}\ .\ \vec{y}=\vec {y}.\ \vec{x}\)
  • Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения
  • Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) любые два ненулевых векторов и λ является скаляром, тогда:
  • \(\vec{x}. \ \lambda\vec{y}=\lambda\left(\vec{x}.\ \vec{y}\right)\)
  • Скалярное произведение является дистрибутивным относительно сложения векторов.
  • Если \(\vec{x}\),\(\vec{y}\) ,\(\vec{z}\) и любые три ненулевых вектора, то:
  • \(\vec{ x}.\left(\vec{y}+\vec{z}\right)=\left(\vec{x}.\vec{y}\right)+\left(\vec{x}\ .\ vec{z}\right)\)
  • \(\шляпа{i}.\шляпа{i}=\шляпа{j}.\шляпа{j}=\шляпа{k}.\шляпа{k}=1 \ and\ \ \шляпа{i}.\шляпа{j}=\шляпа{j}.\шляпа{k}=\шляпа{k}.\шляпа{i}=0\)
  • \(\begin{ array}{l}If\ \vec{x}=x_1\hat{i}+x_2\hat{j}+x_3\hat{k}\ \ and\ \end{array}\vec{y}=y_1\ шляпа{i}+y_2\шляпа{j}+y_3\шляпа{k}\ \ then\)
  • \(\begin{array}{l}\vec{x}.\ \vec{y}=x_1y_1+\ x_2y_2+x_3y_3\конец{массив}\) 92}}\)
  • \(\begin{array}{l}If\ \theta=90\ \ then\ x_1y_1+\ x_2y_2+x_3y_3=0\ that\ is\ \vec{x}\end{array}is \ \perp\ to\ \vec{y}\)
  • \(\begin{array}{l}Если\ \theta=0\ \ then\ \ \vec{x}\end{array} is\ \parallel \ to\ \vec{y}\)

  Также читайте об определителях здесь.

  Вектор или векторное произведение двух векторов

  Векторное произведение двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) определяется по формуле:
  \(\vec{x}\times \vec{y}=\left|\vec{x}\right|.\left|\vec{y}\right|\sin\theta\ \hat{n}\).

  Где \(\ \left|\vec{x}\right|and\ \left|\vec{y}\right|\) обозначает величину векторов \(\vec{x}\) и \( \vec{y} \), а \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{x}\ и \\vec{y}\).
  Здесь \(\hat{n}\) — единичный вектор, перпендикулярный обоим векторам  \(\vec{x}\ и \\vec{y}\).

  Свойства векторного произведения

  • Векторные произведения не коммутативны в векторной алгебре.
  • Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) любые два вектора, то:
  • \(\vec{x}\times\vec{y}=-\left(\vec{y}\ \times\vec{x}\right)\)
  • Векторное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения.
  • Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) любые два вектора и λ скаляр, то:
  • \(\lambda\left(\vec{x}\times \vec{y}\right)=\left(\lambda\vec{x}\right)\times\vec{y}=\vec{x}\times\left(\lambda\vec{y}\right) \)
  • Продукт Vector является дистрибутивным в отношении сложения векторов.
  • Если \(\vec{x}\),\(\vec{y}\) и \(\vec{z}\) — любые три вектора, то:
  • \(\vec{x}\times\left(\vec{y}+\vec{z}\right)=\left(\vec{x}\times\vec{y}\right)+\left (\vec{x}\times\vec{z}\right)\)
  • \(\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k},\ \ \hat{j}\times \ шляпа {k} = \ шляпа {i} \ и \ \ \ \ шляпа {k} \ раз \ шляпа {i} = \ шляпа {j} \ \ \)
  • \ (\ шляпа {i} \ раз \ шляпа{i}=\ \шляпа{j}\times\шляпа{j}=\ \шляпа{k}\times\шляпа{k}=0\)
  • \(\begin{array}{l}If\ \vec{x}=x_1\шляпа{i}+x_2\шляпа{j}+x_3\шляпа{k}\ \ и\ \end{массив}\vec{y}=y_1\шляпа{i}+y_2\ шляпа{j}+y_3\шляпа{k}\ \ являются\ двумя\ векторами\ тогда\)
  • \(\left[\begin{матрица}\шляпа{i}&\шляпа{j}&\шляпа{k}\\
    x_1&x_2&x_3\\
    y_1&y_2&y_3\конец{матрица}\right]\)
  • Если \ (\vec{x}\) и \(\vec{y}\) две смежные стороны параллелограмма, тогда площадь параллелограмма:
  • =\(\left|\vec{x}\times\vec {y}\right|\)
    Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — диагонали параллелограмма, то площадь параллелограмма;
  • =\(\frac{1}{2}\left|\vec{x}\times\vec{y}\right|\)
    Если \(\vec{x}\) и \(\vec{ y}\) две смежные стороны треугольника, тогда площадь треугольника: 92}\)

    Косинусы направлений и отношения направлений

    Предположим, что вектор положения \(\vec{OM}\ или\ \vec{r}\) находится в точке, скажем, M(x, y, z) . Тогда углы \(\alpha,\\beta,\ и\\\gamma\\) образованы вектором между положительными направлениями осей x, y и z соответственно, которые называются его направляющими углами. Значения косинусов этих углов \(\cos\\alpha,\\\cos\\beta,\ и\\\cos\\gamma\) обозначаются направляющими косинусами вектора и обычно обозначаются l, m и n, Следовательно, координаты точки M также могут быть выражены как (lr, mr, nr). 92\neq 1\), в общем.

    Вектор с величиной (r), отношением направлений (a, b, c) и направляющими косинусами (l, m, n) вектора связаны следующим образом:

    \(l=\frac{a}{r },\ m=\frac{c}{r}\ and\ n=\frac{c}{r}\)

    Узнайте больше о наборах здесь.

    Формула сечения

    Рассмотрим X и Y как две точки, относящиеся к началу координат О. Тогда отрезок, соединяющий точки P и Q, может быть разделен третьей точкой, скажем, R, двумя способами; внутри и снаружи.

    Внутренний; \( \frac{\left(n\vec{a}+m\vec{b}\right)}{m+n}\\\)

    Внешне,\(\ \frac{\left(m \vec{b}-n\vec{a}\right)}{m-n} \)

    Проекция вектора на прямую или направление

    Рассмотрим вектор \(\vec{AB}\) образующий угол \(\theta \) с направленной линией m; против часовой стрелки, то проекция \(\vec{AB}\) на m является вектором\(\vec{p}\), имеющим величину \(\left|\vec{AB}\right|\left| \cos\theta\right|\) и направление \(\vec{p}\). Направление вектора может быть таким же или противоположным направлению линии m, в зависимости от значения угла. Вектор \(\vec{p}\) называется вектором проекции.

    Скалярное тройное произведение

    , то их скалярное тройное произведение определяется как;

    \( \begin{array}{l}If\ \vec{x}=x_1\hat{i}+x_2\hat{j}+x_3\hat{k}\ ,\end{array}\vec{ y}=y_1\шляпа{i}+y_2\шляпа{j}+y_3\шляпа{k}\ \ и\ \ \vec{z}=z_1\шляпа{i}+z_2\шляпа{j}+z_3\ шляпа{k}\ \)

    \( \left(\vec{x}\times\vec{y}\right).\vec{z}=\begin{vmatrix}z_1&z_2&z_3\\
    x_1&x_2&x_3\\
    y_1&y_2&y_3 \end{vmatrix}=\left[x\ y\ z\right]\)

    Геометрически это представляет объем параллелепипеда, ребра которого имеют длину x, y и z.

    Свойства скалярного тройного произведения. равен нулю, если любые два из них равны.

  • Скалярное тройное произведение трех векторов равно нулю, если два из них параллельны или коллинеарны.
  • Три ненулевых вектора\(\vec{x},\\vec{y},\ и\\\vec{z}\) компланарны тогда и только тогда, когда [x y z]=0

  Узнать больше о комплексе Цифры здесь.

  Приложения векторной алгебры

  • Векторы, представляющие собой комбинацию величины и направления, могут применяться для представления физических величин, обычно в физике векторы используются для обозначения смещения, скорости и ускорения, поскольку это становится полезным для анализа физических величин (включая как размер, так и направление) в виде векторов.
  • Векторы могут использоваться авиадиспетчерами при отслеживании самолетов, метеорологами при описании ветровых условий и программистами при проектировании виртуальных миров.
  • Векторы используются в самолетах, так как при измерении тяги двигателя самолета необходимо описать силу силы, а также направление приложения.
  • Скалярное произведение векторов позволяет оценить работу, когда вектор силы и вектор движения имеют разные направления.
  • Скалярное произведение дополнительно помогает измерить угол, создаваемый комбинацией векторов, а также помогает найти положение вектора относительно оси координат.
  • Векторы находят применение при написании уравнений прямых, так как для составления уравнения прямой необходимо знать две точки на прямой/направление прямой и минимум одну точку, через которую проходит прямая.
  • В трехмерном пространстве векторные операции используются для создания уравнений для представления линий, плоскостей и сфер.
  •  Перекрестное произведение векторной алгебры помогает в вычислении ортогональности двух заданных векторов, вычислении крутящего момента и т. д.

  Разница между скалярами и векторами

  Во введении мы читаем определения векторных и скалярных величин. Единственная разница между скалярами и векторами заключается в том, что скаляр — это величина, которая не зависит от направления. Однако вектор — это физическая величина, обладающая не только направлением, но и величиной.

  Типичными примерами скаляров являются скорость, расстояние, время и т. д. Обычно это действительные значения, за которыми следуют их единицы измерения. Популярными примерами векторов являются скорость, перемещение, сила, ускорение и т. д., которые символизируют направление величины вместе с ее величиной.

  Примеры скаляров и векторов
  Скаляр : Время как 7 часов, Скорость как 80 миль в час, которые не обозначают никакого направления.
  Векторы : Перемещение -12 футов, скорость -60 миль в час символизирует направление. Отрицательные скорость и смещение означают, что объект движется в противоположном направлении.

  Экзамены, в которых векторная алгебра является частью учебного плана

  Вопросы, основанные на векторной алгебре, часто возникают на различных престижных государственных экзаменах. Вот некоторые из них.

  • SBI PO, SBI Clerk, IBPS PO, IBPS Clerk
  • SSC CGL, SSC CHSL, SSC MTS
  • LIC AAO, LIC ADO
  • RRB NTPC, RRB ALP
  • UPSC
  • MPSC
  • KPSC
  • BPSC
  • WBPSC
  • Другие экзамены для приема на работу на уровне штата

  Следите за обновлениями в приложении Testbook или посетите веб-сайт Testbook, чтобы узнать больше об обновлениях по подобным темам из математики, естественных наук и многих других предметов, и даже можете проверить доступные серии тестов проверить свои знания относительно различных экзаменов.

  Часто задаваемые вопросы по векторной алгебре 

  В.1 Что такое скалярная величина?

  Ответ 1
  Любая физическая величина, имеющая только величину, но не имеющую направления, объявляется скалярной величиной.

  Q.2 Что такое векторное количество?

  Ответ 2
  Любая физическая величина, которая имеет как величину, так и направление, считается векторной величиной.

  Q.3 Каковы примеры скалярной величины?

  Ответ 3
  Примеры скалярной величины; масса, расстояние, длина, время, скорость, площадь, объем, температура, работа и т. д.

  Q.4 Каковы примеры векторной величины?

  Ответ 4
  Примеры векторной величины: скорость, смещение, сила, ускорение, вес, импульс и т. д.

  Q.5 Что такое единичный вектор?

  Ans.5
  Вектор, модуль которого имеет единичную длину, называется единичным вектором.

  Q.6 Что такое коинициальные векторы?

  Ответ 6
  Векторы, имеющие одну и ту же начальную точку, называются коначальными векторами.

  В.7 Какие существуют методы добавления векторов?

  Ответ 7
  Сложение векторов можно выполнять по закону треугольника и закону параллелограмма.

  Q.8 За какими свойствами следует скалярное или скалярное произведение двух векторов?

  Ans.8
  Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным свойствам.

  Q.9 Каким свойствам следует векторное произведение двух векторов?

  Ответ 9
  Перекрестное произведение двух векторов не является коммутативным, ассоциативным в отношении скалярного умножения и дистрибутивным в отношении сложения векторов.

  Скачать публикацию в формате PDF

  Еще на testbook.

  

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт