11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов. — Скалярное произведение векторов.
Комментарии преподавателяОтложим от какой-нибудь точки O векторы и (см. рис. 1). Если векторы и не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ — угол между векторами, обозначим его . Если же векторы и — сонаправлены, то будем считать, что угол между ними равен 0°. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. На письме угол между векторами обозначают так: .
Скалярное произведение векторов находится по формуле: .
Рис. 1. Угол между векторами
Основные свойства скалярного произведения векторов:
1)
2)
3)
4)
Рассмотрим задачу на нахождение скалярного произведения векторов.
Задача 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, O1 – центр A1B1C1D1 , AB=a (см. рис. 2).
Рис. 2.
Найти скалярные произведения векторов:
а) . Находим эти вектора на рисунке, они сонаправлены, значит угол между ними 0°, а эти вектора равны a. Получаем:
б) . Эти вектора параллельны и противоположно направлены, значит, угол между ними 180°. Модуль вектора — это диагональ квадрата, , . Получаем: .
в) . Так как эти вектора перпендикулярны (по рисунку), то косинус угла между ними равен 0. Значит, .
г) . Модули этих векторов равны — это диагонали квадратов. Чтобы найти угол между нужными векторами, рассмотрим треугольник A1C1B. Этот треугольник равносторонний, значит, угол равен 60°.
·= — 2a2
д) . Эти вектора перпендикулярны, значит, .
е) . Длины этих векторов равны , так как они являются половинами диагоналей. Эти векторы противоположно направлены, угол между ними 180°.
Получаем:.
Задача 2. Дано: A(0;1;2), B(√2;1;2), C(√2;2;1), D(0;2;1). Доказать: ABCD – квадрат.
Решение:
1) Найдем координаты векторов, длины которых совпадают с длинами сторон четырехугольника. Координаты вектора – это разность координат конца и начала отрезка.
, , , . По координатам видно, что , . Доказано, что ABCD – параллелограмм.
2) Найдем модули эти векторов по формуле: .
Получаем: . Доказано, что ABCD – ромб.
3) Найдем один угол между векторами. .
Стороны попарно параллельны, стороны равны, и один угол равен 90°, значит остальные углы тоже равны 90°. Следовательно, ABCD – квадрат, что и требовалось доказать.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-2
http://www.youtube. com/watch?v=FhYroW_Ff6U
http://player.myshared.ru/1247089/data/images/img2.jpg
http://profege.ru/wp-content/uploads/2013/01/76c6ad7d219efe5add515e0e58a05100.jpg
http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/757341327.jpg?1436847671
http://fs1261.gavitex.com/get/2398829017/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.rar
http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/824194016948.files/image252.png
http://dok.opredelim.com/docs/index-42169.html
http://www.metod-kopilka.ru/prezentaciya_k_zanyatiyu_po_teme_quotmetod_koordinat_v_prostranstvequot-42727.htm
http://school35.tuapse.ru/school_life/school_laboratorii/shtl%20mathematics/%D0%93%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D0%AD.%D0%93.%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%20%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5. ppt
Ответы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||
|
|
|
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Похожие вопросы |
Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его .
у мальчика тетрадей в клетку на 15 больше чем в линейку сколько всего у него тетрадей если тетрадей в клетку в 4 раза больше чем в линейку
Стоимость автомобиля с гаражом составляет…
от двух пристаней,расстояние между которыми120км,одновременно отошли навстречу друг другу два теплохода.один из них шёл со скоростью22км\ч,другой- со
Масса бурого медведя 3/4 массы…
Пользуйтесь нашим приложением
основных векторов | Легко запоминать формулы для векторов
Вектор — это объект, имеющий как направление, так и величину. Мы перечислили некоторые важные формулы для вектора на этой странице. Шпаргалка по векторам охватывает такие понятия, как графический метод, математический метод, применение вектора в физике. Чтобы узнать больше о связанных темах, мы упомянули формулы физики здесь. Взгляните на лист формул векторов, охватывающий все, от начального до продвинутого уровня.
Типы векторов
- Нулевой вектор \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}|\) = 0
- Правильный вектор, \(|\overrightarrow{\mathrm{A}} |\) ≠ 0
- Подобный вектор → то же направление и направление
- Непохожий вектор → другой смысл
- Равный вектор → та же величина, направление и смысл
- Отрицательный вектор → та же величина, но противоположное направление
- Единичный вектор (вектор единичной величины) → \(\hat{\mathrm{A}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{A}}}{|\overrightarrow{\mathrm{A}}|} \) 9{2}}\)
Графический метод:
} + \ mathrm {A} _ {\ mathrm {y}} \ шляпа {\ mathrm {j}} + \ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}} \ шляпа {\ mathrm {k}} \)
и \(\ overrightarrow{\ mathrm {B}} = \ mathrm {B} _ {\ mathrm {x}} \ hat {\ mathrm {i}} + \ mathrm {B} _ {\ mathrm {y}} \ шляпа {\ mathrm {j}} + \ mathrm {B} _ {\ mathrm {z}} \ шляпа {\ mathrm {k}} \)
, затем \(\ overrightarrow {\ mathrm {R}} = \ overrightarrow { \ mathrm {A}} + \ overrightarrow {\ mathrm {B}} \) = (A x 9{2}+2 A B \cos \theta}\)
tan α = \(\frac{B \sin \theta}{A+B \cos \theta}\)Скалярное произведение
- \(\ overrightarrow {\ mathrm {A}} \ cdot \ overrightarrow {\ mathrm {B}} \) = AB, потому что θ
- \(\ overrightarrow {\ mathrm {A}} \ cdot \ overrightarrow {\ mathrm {B}} =\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\)
- \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = А х В х + А у В y + A z B z
- \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\) = A 2 (\
- (\ шляпа {i} \ cdot \ шляпа {i} = \ шляпа {j} \ cdot \ шляпа {j} = \ шляпа {k} \ cdot \ шляпа {k} = 1 \)
- \ (\ overrightarrow {\ mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}=0\)
- \(\шляпа{i} \cdot \шляпа{i}=\шляпа{j} \cdot \шляпа{j} =\шляпа{к} \cdot \шляпа{i}=0\)
⊥ условие
Векторный продукт
- \(\vec{A} \times \vec{B}\) = AB sin θ \(\hat{\mathrm{n}}\)
- \(\overrightarrow{\mathrm{A} } \times \overrightarrow{\mathrm{B}}=-\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \overrightarrow{\mathrm{A}}\)
- \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 0, || условие
- \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \ шляпа {\ mathrm {j}} & \ шляпа {\ mathrm {k}} \\
\ mathrm {A} _ {\ mathrm {x}} & \ mathrm {A} _ {\ mathrm {y}} & \ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}} \\
\ mathrm {B} _{\mathrm{x}} & \mathrm{B}_{\mathrm{y}} & \mathrm{B}_{\mathrm{z}}
\end{массив}\right|\)
= \ (\ шляпа {\ mathrm {i}} \) (A y B z — A z B y ) + \ (\ hat {\ mathrm {j}} \) (A z B x – A x B z )+ \(\hat{\mathrm{k}}\) (A x B y – A y B y2 7)
- \(\шляпа{\mathrm{i}} \times \шляпа{\mathrm{i}}=\шляпа{\mathrm{j}} \times \шляпа{\mathrm{j}}= \шляпа{\mathrm{k}} \times \шляпа{\mathrm{k}}=0\)
- \(\шляпа{\mathrm{i}} \times \шляпа{\mathrm{j}}= \ шляпа {\ mathrm {k}}, \ шляпа {\ mathrm {j}} \ раз \ шляпа {\ mathrm {k}} = \ шляпа {\ mathrm {i}}, \ шляпа {\ mathrm {k}} \times \hat{\mathrm{i}}=\hat{\mathrm{j}}\)
Направляющие косинусы
Направляющие косинусы:
cos α, cos β и cos γ называются направляющими косинусами в направлении x , направление y и направление z соответственно
cos a = \(\frac{A_{x}}{A}\), cos β = \(\frac{A_{y}}{A}\) и cos γ = \(\frac{A_{z }}{A}\) A A ‘A- cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
- sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2
Применение вектора в физике
(1) Вектор положения (\(\vec{r}\)) точки относительно. начало координат (x, y, z): – \(\vec{r}\) = \(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\)(2) Смещение вектор \(\left(\overrightarrow{\mathrm{r}}_{\mathrm{AB}}\right)\) из точки A (x 1 , y 1 , z 1 ) в B (x 2 , y 2 , z 2 ) \ (\ overrightarrow {\ mathrm {r}} _ {\ mathrm {r}} _ {\ mathrm } = \ overrightarrow {\ mathrm {r}} _ {\ mathrm {B}} — \ overrightarrow {\ mathrm {r}} _ {\ mathrm {A}} \) = (x 2 — x 1 )\(\шляпа{\mathrm{i}}\) + (y 2 — y 1 )\(\шляпа{\mathrm{j}}\) + (z 2 — z 1 )\(\hat{\mathrm{k}}\)
(3) Относительная скорость: \(\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{V} } _ {\ mathrm {B}} — \ overrightarrow {\ mathrm {V}} _ {\ mathrm {A}} \)
Пример скалярного произведения
Работа: W = \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{r}}\), Power P = \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \ cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}\)
Φ E = \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\), Φ B = \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\)
Пример векторного произведения
\(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\vec{\omega} \times \overrightarrow {\ mathrm {v}}, \ overrightarrow {\ mathrm {L}} = \ overrightarrow {\ mathrm {r}} \ times \ overrightarrow {\ mathrm {P}}, \ quad \ vec {\ tau} = \ overrightarrow {\ mathrm {r}} \ times \ overrightarrow {\ mathrm {F}}, \) \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{q}(\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\)- \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{r}} / \mathrm{dt}, \overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{ d} \overrightarrow{\mathrm{v}} / \mathrm{dt}\)
- Сила Лоренца: \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{q}(\overrightarrow{\mathrm{E }}+\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\)
- Площадь треугольника: \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm {A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|\)
- Площадь параллелограмма: \(|\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}| \)
- Объем параллелепипеда: \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \overrightarrow{\mathrm{C}})\)
- Оператор градиента . {y}}+\hat{\mathrm{k}} \frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\) Пример. \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = -∇Φ
Воспользуйтесь возможностью получить все формулы понятий физики вместе с формулами векторов за один раз на сайте Onlinecalculator.guru и уточнить все свои вопросы.
Формулы векторной алгебры Класс 12 — Sarthaks eConnect
Величина, имеющая как величину, так и направление, называется векторной величиной. Он обозначается стрелкой, указывающей направление, и длиной его хвоста как величины. Таким образом, его символ равен \(\overrightarrow{A}\), а его величина задается как |A|. Так что читайте формулы векторной алгебры дальше.
Вектор положения и величина:Мы запишем вектор положения любой точки P(x, y, z) как \(\overrightarrow{OP}\) (=\(\overrightarrow{r}\) ) = x \(\шляпа{к}\) + у\(\шляпа{к}\) + г\(\шляпа{к}\). 9{2}}\).
Отношение направлений:Скалярные компоненты любого вектора являются его отношениями направлений и представляют его проекции вдоль соответствующих осей. Таким образом, отношение направлений и отношения направлений учитываются в формуле векторной алгебры.
Связь между отношением направления и косинусом направления:Величина (r), отношение направлений (a, b, c) и косинус направления (l, m, n) любого вектора связаны следующим образом:
l = \(\frac{a}{r}\), m = \(\frac{b}{r}\), n = \(\frac{c}{r}\) Формула треугольника:Формулы векторной алгебры являются абсолютными для треугольников. Векторная сумма трех сторон треугольника, взятых по порядку, равна \(\overrightarrow{0}\).
Разделение отрезка в заданном соотношении:Внутренне:
Мы запишем вектор положения точки R, делящей отрезок в отношении m : n, соединяющий точки P и Q, чьи векторы положения равны a и b соответственно, как:
\(\frac{n\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b}}{m + n}\)
2. Внешне:
Точно так же мы можем найти вектор положения R как
\(\ frac{n\overrightarrow{a} — m\overrightarrow{b}}{m — n}\)
Скалярное произведение:Для двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{ b}\) также с углом θ между ними, скалярное произведение равно:
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}\) = |\(\overrightarrow{a}\)||\(\overrightarrow {b}\)|cosθ
Таким образом, также записывается как cosθ = \(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)
Векторный продукт:Векторное произведение двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), также имеющих между собой угол θ:
\(\overrightarrow{a}\) x \( \overrightarrow{b}\) = |\(\overrightarrow{a}\)||\(\overrightarrow{b}\)| sinθ \(\шляпа{n}\)
Здесь \(\шляпа{n}\) — единичный вектор. Кроме того, лежит перпендикулярно плоскости \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Затем мы видим, что их просто обозначать в одинаковой степени.
Свойства векторной алгебры:Если мы запишем векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) в их компонентной форме как
\(\overrightarrow{a}\) = а 1 \(\шляпа{i}\) + а 2 \(\шляпа{j}\) + а 3 \(\шляпа{к}\)
\(\overrightarrow{b }\) = b 1 \(\hat{i}\) + b 2 \(\hat{j}\) + b 3 \(\hat{k}\) также λ любой скаляр .