Все формулы векторов: Формулы векторов

11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов. — Скалярное произведение векторов.

Комментарии преподавателя

От­ло­жим от ка­кой-ни­будь точки O век­то­ры  и  (см. рис. 1). Если век­то­ры  и не яв­ля­ют­ся со­на­прав­лен­ны­ми, то лучи ОА и ОВ об­ра­зу­ют угол АОВ — угол между век­то­ра­ми, обо­зна­чим его . Если же век­то­ры  и  — со­на­прав­ле­ны, то будем счи­тать, что угол между ними равен 0°. Если угол между век­то­ра­ми ра­вен 90°, то век­то­ры на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми. На пись­ме угол между век­то­ра­ми обо­зна­ча­ют так: .

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров на­хо­дит­ся по фор­му­ле: .

Рис. 1. Угол между век­то­ра­ми

Ос­нов­ные свой­ства ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров:

1) 

2) 

3) 

4) 

Рас­смот­рим за­да­чу на на­хож­де­ние ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров.

За­да­ча 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, O1 – центр A1B1C1D1 , AB=a (см. рис. 2).

Рис. 2.

Найти ска­ляр­ные про­из­ве­де­ния век­то­ров:

а) . На­хо­дим эти век­то­ра на ри­сун­ке, они со­на­прав­ле­ны, зна­чит угол между ними 0°, а эти век­то­ра равны a. По­лу­ча­ем: 

б) . Эти век­то­ра па­рал­лель­ны и про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, зна­чит, угол между ними 180°. Мо­дуль век­то­ра  — это диа­го­наль квад­ра­та, , . По­лу­ча­ем: .

в) . Так как эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны (по ри­сун­ку), то ко­си­нус угла между ними равен 0. Зна­чит, .

г) . Мо­ду­ли этих век­то­ров равны  — это диа­го­на­ли квад­ра­тов. Чтобы найти угол между нуж­ны­ми век­то­ра­ми, рас­смот­рим тре­уголь­ник A1C1B. Этот тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, зна­чит, угол равен 60°.

·= — 2a2

д) . Эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит, .

е) . Длины этих век­то­ров равны , так как они яв­ля­ют­ся по­ло­ви­на­ми диа­го­на­лей. Эти век­то­ры про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, угол между ними 180°.

По­лу­ча­ем:.

За­да­ча 2. Дано: A(0;1;2), B(√2;1;2), C(√2;2;1), D(0;2;1). До­ка­зать: ABCD – квад­рат.

Ре­ше­ние:

1) Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ров, длины ко­то­рых сов­па­да­ют с дли­на­ми сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра – это раз­ность ко­ор­ди­нат конца и на­ча­ла от­рез­ка.

, , , . По ко­ор­ди­на­там видно, что , . До­ка­за­но, что ABCD – па­рал­ле­ло­грамм.

2) Най­дем мо­ду­ли эти век­то­ров по фор­му­ле: .

По­лу­ча­ем: . До­ка­за­но, что ABCD – ромб.

3) Най­дем один угол между век­то­ра­ми. .

Сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны, сто­ро­ны равны, и один угол равен 90°, зна­чит осталь­ные углы тоже равны 90°. Сле­до­ва­тель­но, ABCD – квад­рат, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-2

http://www.youtube. com/watch?v=FhYroW_Ff6U

http://player.myshared.ru/1247089/data/images/img2.jpg

http://profege.ru/wp-content/uploads/2013/01/76c6ad7d219efe5add515e0e58a05100.jpg

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/757341327.jpg?1436847671

http://fs1261.gavitex.com/get/2398829017/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.rar

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/824194016948.files/image252.png

http://dok.opredelim.com/docs/index-42169.html

http://www.metod-kopilka.ru/prezentaciya_k_zanyatiyu_po_teme_quotmetod_koordinat_v_prostranstvequot-42727.htm

http://school35.tuapse.ru/school_life/school_laboratorii/shtl%20mathematics/%D0%93%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D0%AD.%D0%93.%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%20%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5. ppt

Все формулы векторов ( школьный курс) — Учеба и наука

Ответы

19. 02.16

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Eleonora Gabrielyan Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его .

.. 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.

у мальчика тетрадей в клетку на 15 больше чем в линейку сколько всего у него тетрадей если тетрадей в клетку в 4 раза больше чем в линейку

Стоимость автомобиля с гаражом составляет…

от двух пристаней,расстояние между которыми120км,одновременно отошли навстречу друг другу два теплохода.один из них шёл со скоростью22км\ч,другой- со

Масса бурого медведя 3/4 массы…

Пользуйтесь нашим приложением

Список формул

основных векторов | Легко запоминать формулы для векторов

Вектор — это объект, имеющий как направление, так и величину. Мы перечислили некоторые важные формулы для вектора на этой странице. Шпаргалка по векторам охватывает такие понятия, как графический метод, математический метод, применение вектора в физике. Чтобы узнать больше о связанных темах, мы упомянули формулы физики здесь. Взгляните на лист формул векторов, охватывающий все, от начального до продвинутого уровня.

Типы векторов

• Нулевой вектор \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}|\) = 0
• Правильный вектор, \(|\overrightarrow{\mathrm{A}} |\) ≠ 0
• Подобный вектор → то же направление и направление
• Непохожий вектор → другой смысл
• Равный вектор → та же величина, направление и смысл
• Отрицательный вектор → та же величина, но противоположное направление
• Единичный вектор (вектор единичной величины) → \(\hat{\mathrm{A}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{A}}}{|\overrightarrow{\mathrm{A}}|} \) 9{2}}\)
  

  Графический метод:
  
  } + \ mathrm {A} _ {\ mathrm {y}} \ шляпа {\ mathrm {j}} + \ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}} \ шляпа {\ mathrm {k}} \)
  и \(\ overrightarrow{\ mathrm {B}} = \ mathrm {B} _ {\ mathrm {x}} \ hat {\ mathrm {i}} + \ mathrm {B} _ {\ mathrm {y}} \ шляпа {\ mathrm {j}} + \ mathrm {B} _ {\ mathrm {z}} \ шляпа {\ mathrm {k}} \)
  , затем \(\ overrightarrow {\ mathrm {R}} = \ overrightarrow { \ mathrm {A}} + \ overrightarrow {\ mathrm {B}} \) = (A _{x 9{2}+2 A B \cos \theta}\)
  tan α = \(\frac{B \sin \theta}{A+B \cos \theta}\)}

  Скалярное произведение

  • \(\ overrightarrow {\ mathrm {A}} \ cdot \ overrightarrow {\ mathrm {B}} \) = AB, потому что θ
  • \(\ overrightarrow {\ mathrm {A}} \ cdot \ overrightarrow {\ mathrm {B}} =\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\)
  • \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = А _х В _х + А _у В _y + A _z B _z
  • \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\) = A ²
  (\
  • (\ шляпа {i} \ cdot \ шляпа {i} = \ шляпа {j} \ cdot \ шляпа {j} = \ шляпа {k} \ cdot \ шляпа {k} = 1 \)
  • \ (\ overrightarrow {\ mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}=0\)
  • \(\шляпа{i} \cdot \шляпа{i}=\шляпа{j} \cdot \шляпа{j} =\шляпа{к} \cdot \шляпа{i}=0\)

  ⊥ условие

  Векторный продукт
  
  

  • \(\vec{A} \times \vec{B}\) = AB sin θ \(\hat{\mathrm{n}}\)
  • \(\overrightarrow{\mathrm{A} } \times \overrightarrow{\mathrm{B}}=-\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \overrightarrow{\mathrm{A}}\)
  • \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = 0, || условие
  • \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\begin{array}{ccc}
    \hat{\mathrm{i}} & \ шляпа {\ mathrm {j}} & \ шляпа {\ mathrm {k}} \\
    \ mathrm {A} _ {\ mathrm {x}} & \ mathrm {A} _ {\ mathrm {y}} & \ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}} \\
    \ mathrm {B} _{\mathrm{x}} & \mathrm{B}_{\mathrm{y}} & \mathrm{B}_{\mathrm{z}}
    \end{массив}\right|\)
    = \ (\ шляпа {\ mathrm {i}} \) (A _y B _z — A _z B _y ) + \ (\ hat {\ mathrm {j}} \) (A _z B _x – A _x B _z )+ \(\hat{\mathrm{k}}\) (A _x B _y – A _y B y

    2 7)

  
  
  • \(\шляпа{\mathrm{i}} \times \шляпа{\mathrm{i}}=\шляпа{\mathrm{j}} \times \шляпа{\mathrm{j}}= \шляпа{\mathrm{k}} \times \шляпа{\mathrm{k}}=0\)
  • \(\шляпа{\mathrm{i}} \times \шляпа{\mathrm{j}}= \ шляпа {\ mathrm {k}}, \ шляпа {\ mathrm {j}} \ раз \ шляпа {\ mathrm {k}} = \ шляпа {\ mathrm {i}}, \ шляпа {\ mathrm {k}} \times \hat{\mathrm{i}}=\hat{\mathrm{j}}\)

  Направляющие косинусы

  Направляющие косинусы:
  
  cos α, cos β и cos γ называются направляющими косинусами в направлении x , направление y и направление z соответственно
  cos a = \(\frac{A_{x}}{A}\), cos β = \(\frac{A_{y}}{A}\) и cos γ = \(\frac{A_{z }}{A}\) A A ‘A
  

  • cos ² α + cos ² β + cos ² γ = 1
  • sin ² α + sin ² β + sin ² γ = 2

  Применение вектора в физике
  
  (1) Вектор положения (\(\vec{r}\)) точки относительно. начало координат (x, y, z): – \(\vec{r}\) = \(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\)

  (2) Смещение вектор \(\left(\overrightarrow{\mathrm{r}}_{\mathrm{AB}}\right)\) из точки A (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) в B (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) \ (\ overrightarrow {\ mathrm {r}} _ {\ mathrm {r}} _ {\ mathrm } = \ overrightarrow {\ mathrm {r}} _ {\ mathrm {B}} — \ overrightarrow {\ mathrm {r}} _ {\ mathrm {A}} \) = (x ₂ — x ₁ )\(\шляпа{\mathrm{i}}\) + (y ₂ — y ₁ )\(\шляпа{\mathrm{j}}\) + (z ₂ — z ₁ )\(\hat{\mathrm{k}}\)

  (3) Относительная скорость: \(\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{V} } _ {\ mathrm {B}} — \ overrightarrow {\ mathrm {V}} _ {\ mathrm {A}} \)
  Пример скалярного произведения
  Работа: W = \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{r}}\), Power P = \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \ cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}\)
  Φ

  E = \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\), Φ _B = \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\)
  Пример векторного произведения
  \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\vec{\omega} \times \overrightarrow {\ mathrm {v}}, \ overrightarrow {\ mathrm {L}} = \ overrightarrow {\ mathrm {r}} \ times \ overrightarrow {\ mathrm {P}}, \ quad \ vec {\ tau} = \ overrightarrow {\ mathrm {r}} \ times \ overrightarrow {\ mathrm {F}}, \) \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{q}(\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\)
  • \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{r}} / \mathrm{dt}, \overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{ d} \overrightarrow{\mathrm{v}} / \mathrm{dt}\)
  • Сила Лоренца: \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{q}(\overrightarrow{\mathrm{E }}+\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\)
  • Площадь треугольника: \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm {A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|\)
  • Площадь параллелограмма: \(|\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}| \)
  • Объем параллелепипеда: \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \overrightarrow{\mathrm{C}})\)
  • Оператор градиента . {y}}+\hat{\mathrm{k}} \frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\) Пример. \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = -∇Φ

  Воспользуйтесь возможностью получить все формулы понятий физики вместе с формулами векторов за один раз на сайте Onlinecalculator.guru и уточнить все свои вопросы.

  Формулы векторной алгебры Класс 12 — Sarthaks eConnect

  Величина, имеющая как величину, так и направление, называется векторной величиной. Он обозначается стрелкой, указывающей направление, и длиной его хвоста как величины. Таким образом, его символ равен \(\overrightarrow{A}\), а его величина задается как |A|. Так что читайте формулы векторной алгебры дальше.

  Вектор положения и величина:

  Мы запишем вектор положения любой точки P(x, y, z) как \(\overrightarrow{OP}\) (=\(\overrightarrow{r}\) ) = x \(\шляпа{к}\) + у\(\шляпа{к}\) + г\(\шляпа{к}\). 9{2}}\).

  Отношение направлений:

  Скалярные компоненты любого вектора являются его отношениями направлений и представляют его проекции вдоль соответствующих осей. Таким образом, отношение направлений и отношения направлений учитываются в формуле векторной алгебры.

  Связь между отношением направления и косинусом направления:

  Величина (r), отношение направлений (a, b, c) и косинус направления (l, m, n) любого вектора связаны следующим образом:
  

  l = \(\frac{a}{r}\), m = \(\frac{b}{r}\), n = \(\frac{c}{r}\)
  Формула треугольника:

  Формулы векторной алгебры являются абсолютными для треугольников. Векторная сумма трех сторон треугольника, взятых по порядку, равна \(\overrightarrow{0}\).

  Разделение отрезка в заданном соотношении:

  1. Внутренне:

  Мы запишем вектор положения точки R, делящей отрезок в отношении m : n, соединяющий точки P и Q, чьи векторы положения равны a и b соответственно, как:

  \(\frac{n\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b}}{m + n}\)

  2. Внешне:

  Точно так же мы можем найти вектор положения R как

  \(\ frac{n\overrightarrow{a} — m\overrightarrow{b}}{m — n}\)

  Скалярное произведение:

  Для двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{ b}\) также с углом θ между ними, скалярное произведение равно:

  \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}\) = |\(\overrightarrow{a}\)||\(\overrightarrow {b}\)|cosθ

  Таким образом, также записывается как cosθ = \(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)

  Векторный продукт:

  Векторное произведение двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), также имеющих между собой угол θ:

  \(\overrightarrow{a}\) x \( \overrightarrow{b}\) = |\(\overrightarrow{a}\)||\(\overrightarrow{b}\)| sinθ \(\шляпа{n}\)

  Здесь \(\шляпа{n}\) — единичный вектор. Кроме того, лежит перпендикулярно плоскости \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Затем мы видим, что их просто обозначать в одинаковой степени.

  Свойства векторной алгебры:

  Если мы запишем векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) в их компонентной форме как

  \(\overrightarrow{a}\) = а ₁ \(\шляпа{i}\) + а ₂ \(\шляпа{j}\) + а ₃ \(\шляпа{к}\)

  \(\overrightarrow{b }\) = b ₁ \(\hat{i}\) + b ₂ \(\hat{j}\) + b ₃ \(\hat{k}\) также λ любой скаляр .

  No related posts.