Бинарная математика: Недопустимое название | Математика | Fandom

Бинарная операция | это… Что такое Бинарная операция?

Бинарная операция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Замечание
  • 3 Типы бинарных операций
    • 3.1 Коммутативная операция
    • 3.2 Ассоциативная операция
    • 3.3 Альтернативная операция
  • 4 Примеры
  • 5 Записи
    • 5.1 Мультипликативная запись
    • 5.2 Аддитивная запись
  • 6 Обратная операция
    • 6.1 Теорема 1
    • 6.2 Теорема 2
  • 7 См. также
  • 8 Литература

Определение

Пусть  — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре со значениями в называется отображение , где

Если , то действие называется внутренним, если или  — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции результат её применения к двум элементам и записывается в виде .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

  • префиксная (польская запись) — ;
  • постфиксная (обратная польская запись) — .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Основная статья: Коммутативная операция

Бинарная операция называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

Ассоциативная операция

Основная статья: Ассоциативная операция

Бинарная операция называется ассоциативной, если

Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение при однозначно не определено.

Альтернативная операция

Бинарная операция называется альтернати́вной если

и .

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на называют умноже́нием

, то её результат для элементов называют их произведе́нием и обозначают или . В этом случае нейтральный элемент , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов называют су́ммой и обозначают . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также

  • арность
  • унарная операция
  • тернарная операция

Литература

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.

Введение в алгебру — тест 1

Главная / Математика / Введение в алгебру / Тест 1

Упражнение 1:


Номер 1

Какое действие лежит в основе алгебраической операции на множестве?

Ответ:

&nbsp(1) конъюнкция&nbsp

&nbsp(2) отображение&nbsp

&nbsp(3) ассоциация&nbsp



Номер 2

Верно ли то, что в основе алгебраической операции на множестве лежит операция отображения элементов?

Ответ:

&nbsp(1) нет, в основе лежит инъекция&nbsp

&nbsp(2) да, утверждение верно&nbsp

&nbsp(3) нет, в основе лежит конъюнкция&nbsp



Номер 3

Количество элементов множества, участвующих в алгебраической операции называют

Ответ:

&nbsp(1) четность&nbsp

&nbsp(2) размерность&nbsp

&nbsp(3) арность&nbsp



Упражнение 2:


Номер 1

Бинарная операция - это

Ответ:

&nbsp(1) алгебраическая операция на множестве, в которой участвуют два элемента&nbsp

&nbsp(2) операция с двоичными числами на множестве&nbsp

&nbsp(3) процесс нахождения двоичного кода любого элемента множества&nbsp



Номер 2

Унарная операция - это

Ответ:

&nbsp(1) система правил, которые используют для сведения элементов множества к одному виду&nbsp

&nbsp(2) алгебраическая операция на множестве, в которой участвует один элемент&nbsp

&nbsp(3) нахождение зависимости порядка действий при алгебраических операциях на множестве от размера поля&nbsp



Номер 3

Верно ли то, что в бинарных операциях на множестве не может участвовать более двух элементов?

Ответ:

&nbsp(1) нет, это неверно, количество элементов такой операции не ограниченно&nbsp

&nbsp(2) да, это верно&nbsp

&nbsp(3) все зависит от размера поля и типов данных&nbsp



Упражнение 3:


Номер 1

Нульарная операция - это

Ответ:

&nbsp(1) процесс нахождения контекстной зависимости между ненулевыми элементами при операциях на множестве&nbsp

&nbsp(2) фиксированный элемент множества&nbsp

&nbsp(3) нахождение зависимости количества элементов множества от типа его поля и относительной размерности&nbsp



Номер 2

Верно ли утверждение, что нульарные операции являются фиксированными элементами множества?

Ответ:

&nbsp(1) утверждение неверно&nbsp

&nbsp(2) верно обратное утверждение — эти операции являются нефиксированными элементами&nbsp

&nbsp(3) да, это действительно так&nbsp



Номер 3

Под нулевым множеством принято понимать

Ответ:

&nbsp(1) бесконечное множество&nbsp

&nbsp(2) пустое множество&nbsp

&nbsp(3) одноэлементное множество&nbsp



Упражнение 4:


Номер 1

Непустое множество с любой бинарной операцией называют

Ответ:

&nbsp(1) моноидом&nbsp

&nbsp(2) полиномом&nbsp

&nbsp(3) группоидом&nbsp



Номер 2

Группоид - это

Ответ:

&nbsp(1) непустое множество с любой бинарной операцией&nbsp

&nbsp(2) совокупность элементов, которые объединены общим признаком&nbsp

&nbsp(3) формальное определение, обозначающее порядок элементов в алгебраическом выражении&nbsp



Номер 3

Имеется непустое множество с определенной бинарной операцией.  Можно ли утверждать, что это группоид?

Ответ:

&nbsp(1) нет, это неверно&nbsp

&nbsp(2) да, это так и есть&nbsp

&nbsp(3) это может быть только полином&nbsp



Упражнение 5:


Номер 1

Может ли бинарная операция обладать свойством ассоциативности?

Ответ:

&nbsp(1) да, может&nbsp

&nbsp

(2) нет, это исключено&nbsp

&nbsp(3) теоретически это не противоречит определению, но практически невозможно&nbsp



Упражнение 6:


Номер 1

Бинарная операция разности целых чисел является ассоциативной. Верно ли это?

Ответ:

&nbsp(1) да, это верно для всех чисел&nbsp

&nbsp(2) утверждение неверно&nbsp

&nbsp(3) это верно, только для отрицательных чисел&nbsp



Номер 2

Верно ли утверждение, что бинарная операция разности целых чисел является коммутативной?

Ответ:

&nbsp(1) да, это абсолютно верно&nbsp

&nbsp(2) нет, это неверно&nbsp

&nbsp(3) она является как коммутативной, так и ассоциативной&nbsp



Номер 3

Бинарная операция разности целых чисел коммутативна, но не ассоциативна.  Верно ли это?

Ответ:

&nbsp(1) да, это верно&nbsp

&nbsp(2) верно обратное утверждение&nbsp

&nbsp(3) нет, это неверно вообще&nbsp



Упражнение 7:


Номер 1

Сложение, как и умножение натуральных чисел коммутативно, но не ассоциативно. Так ли это?

Ответ:

&nbsp(1) да, это так&nbsp

&nbsp(2) нет, это неверно&nbsp

&nbsp

(3) верно обратное утверждение&nbsp



Номер 2

Пересечение, как и объединение подмножеств коммутативно, но не ассоциативно. Верно ли это?

Ответ:

&nbsp(1) верно обратное утверждение&nbsp

&nbsp(2) да, это верно&nbsp

&nbsp(3) нет, это неверно&nbsp



Номер 3

Симметрическая разность подмножеств является

Ответ:

&nbsp(1) конъюнктивной&nbsp

&nbsp(2) коммутативной&nbsp

&nbsp(3) ассоциативной&nbsp



Упражнение 8:


Номер 1

Композиция отображений является

Ответ:

&nbsp(1) ассоциативной во всех случаях&nbsp

&nbsp(2) коммутативной во всех случаях&nbsp

&nbsp(3) ассоциативной только в редких случаях&nbsp



Номер 2

Композиция отображений коммутативна только тогда, когда

Ответ:

&nbsp(1) она не является ассоциативной&nbsp

&nbsp(2) она производится в одноэлементном множестве&nbsp

&nbsp(3) она производится независимо от поля подмножества&nbsp



Номер 3

Бинарная операция возведения в степень коммутативна, но не ассоциативна.  Так ли это?

Ответ:

&nbsp(1) да, это так&nbsp

&nbsp(2) верно обратное утверждение&nbsp

&nbsp(3) это неверно&nbsp



Упражнение 9:


Номер 1

Подмножество группоида с бинарной операцией, замкнутое относительно этой операции, называется

Ответ:

&nbsp(1) подгруппа&nbsp

&nbsp(2) подгруппоид&nbsp

&nbsp(3) метагруппа&nbsp



Номер 2

Биективный гомоморфизм группоидов называется

Ответ:

&nbsp(1) изоморфизмом группоидов&nbsp

&nbsp(2) полиморфизмом группоидов&nbsp

&nbsp(3) группоидным мономорфизмом&nbsp



Номер 3

Группоид с бинарной операцией называется полугруппой, если эта бинарная операция является

Ответ:

&nbsp(1) биективной&nbsp

&nbsp(2) ассоциативной&nbsp

&nbsp(3) коммутативной&nbsp



Упражнение 10:


Номер 1

Подгруппоид полугруппы является

Ответ:

&nbsp(1) группой&nbsp

&nbsp(2) моногруппой&nbsp

&nbsp(3) полугруппой&nbsp



Номер 2

Подгруппоид полугруппы называется

Ответ:

&nbsp(1) подполугруппой&nbsp

&nbsp(2) подгруппой&nbsp

&nbsp(3) метагруппой&nbsp



Номер 3

К вспомогательным элементам элемента моноида относят

Ответ:

&nbsp(1) правый обратный&nbsp

&nbsp(2) левый обратный&nbsp

&nbsp(3) двусторонний обратный&nbsp



Упражнение 11:


Номер 1

Если в моноиде элемент имеет и правый обратный, и левый обратный, то такой элемент называется

Ответ:

&nbsp(1) обратным&nbsp

&nbsp(2) обратимым&nbsp

&nbsp(3) независимым&nbsp



Номер 2

Какой элемент моноида считается обратимым?

Ответ:

&nbsp(1) элемент, имеющий правый обратный&nbsp

&nbsp(2) элемент, имеющий левый обратный&nbsp

&nbsp(3) элемент, имеющий как правый, так и левый обратный&nbsp



Номер 3

Обратный элемент обратного элемента моноида

Ответ:

&nbsp(1) равен самому элементу&nbsp

&nbsp(2) является обратимым&nbsp

&nbsp(3) является обратным&nbsp



Упражнение 12:


Номер 1

Сколько ассоциативных расстановок скобок существует для трех сомножителей?

Ответ:

&nbsp(1) 2&nbsp

&nbsp(2) 3&nbsp

&nbsp(3) 4&nbsp



Номер 2

Для трех сомножителей результат применения ассоциативной операции не зависит от расстановки скобок.  Верно ли это?

Ответ:

&nbsp(1) нет, это противоречит принципу ассоциативности&nbsp

&nbsp(2) да, это верно&nbsp

&nbsp(3) это верно только в очень редких случаях&nbsp



Номер 3

Два элемента являются инъекциями. Является ли инъекцией их произведение?

Ответ:

&nbsp(1) только в очень редких случаях&nbsp

&nbsp(2) нет, не является&nbsp

&nbsp(3) да, является&nbsp



Главная / Математика / Введение в алгебру / Тест 1

Двоичные цифры

Двоичная цифра может быть только 0 или 1

Двоичный номер

Двоичное число состоит из двоичных цифр.

 

В компьютерном мире « b inary dig it » часто сокращается до слова « бит »

Более одной цифры

Итак, есть только два способа получить двоичную цифру ( «0» и «1» или «Вкл.» и «Выкл.» ) … но как насчет 2 или более двоичных цифр ?

Запишем их все, начиная с 1 цифры (вы сами можете проверить с помощью переключателей):

2 способа получить одну цифру…
… 4 способа получить две цифры …

0 0 00
1 01
1 0 10
1 11

. .. 8 способов получить три цифры …

0 0 0 000
1 001
1 0 010
1 011
1 0 0 100
1 101
1 0 110
1 111

. .. и 16 способов получить четыре цифры.

0 0 0 0 0000
1 0001
1 0 0010
1 0011
1 0 0 0100
1 0101
1 0 0110
1 0111
1 0 0 0 1000
1 1001
1 0 1010
1 1011
1 0 0 1100
1 1101
1 0 1110
1 1111

Вот этот последний список сбоку:

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

И (без ведущих нулей) у нас есть первые 16 двоичных чисел:

Двоичные: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Десятичный: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Это полезно! Чтобы запомнить последовательность двоичных чисел, просто подумайте:

  • «0» и «1» {0,1}
  • , затем снова повторите «0» и «1», но с «1» впереди: {0,1,10,11}
  • , затем повторите те с «1» впереди: {0,1,10,11,100,101,110,111}
  • и так далее!

На каждом этапе мы повторяем все, что у нас есть до сих пор, но с 1 впереди.

Теперь узнайте, как использовать Binary для счета на пальцах после 1000:

Активность: Binary Fingers

Также поиграйте с разными барабанами.

Двоичные цифры… Они удваиваются!

Также обратите внимание, что каждый раз, когда мы добавляем еще одну двоичную цифру, мы двойной возможные значения.

Почему двойной ? Потому что мы берем все предыдущие возможные значения и сопоставляем их с «0» и «1», как указано выше.

  • Таким образом, всего одна двоичная цифра имеет 2 возможных значения (0 и 1)
  • Две двоичные цифры имеют 4 возможных значения (0, 1, 10, 11)
  • Три имеют 8 возможных значений
  • Четыре имеют 16 возможных значений
  • Пять имеют 32 возможных значения
  • Шесть имеют 64 возможных значения
  • и т. д.

Используя показатели степени, это может быть представлено как:

Число
из цифр
Формула Настройки
1 2 1 2
2 2 2 4
3 2 3 8
4 2 4 16
5 2 5 32
6 2 6 64
и т. д… и т.д. .. и т.д…

Пример: когда у нас есть 50 двоичных цифр (или 50 вещей, каждая из которых может иметь только две позиции), сколько существует различных способов?

Ответ: 2 50 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 … (пятьдесят из них)
= 1 125 899 906 842 624

Итак, двоичное число из 50 цифр может иметь 1 125, 29, 84, 25, 8, 84, 25, 8, 125, 8, 125, 8, 84,

Или, другими словами, он может показать число до 1 125 899 906 842 623 (примечание: это на единицу меньше, чем общее количество значений, потому что одно из значений равно 0).

Пример: Начните месяц с 1 доллара и удваивайте его каждый день, через 30 дней у вас будет

миллиардер !

2 30 = 2 × 2 × 2 × 2 … (тридцать из них)
= 1 073 741 824

Шахматная доска

Игра о короле шахмат приехавшим мудрецом. Король спросил: «Какой приз, если вы выиграете?».

Мудрец сказал, что ему просто нужно несколько зернышек риса: одно на первом квадрате, 2 на втором, 4 на третьем и так далее, удваивая на каждом квадрате. Король был удивлен этой скромной просьбой.

Ну, Мудрец победил, так сколько зернышек риса он должен получить?

На первом квадрате: 1 зерно, на втором квадрате: 2 зерна (всего 3) и так далее:

Квадрат Зерно Всего
1 1 1
2 2 3
3 4 7
4 8 15
10 512 1 027
20 524 288
1 048 575
30 53 6870 912
1 073 741 823
64 ???
???

К 30-му квадрату видно, что риса уже много! Миллиард зерен риса составляет около 25 тонн (1000 зерен — это около 25 г… Я взвесил немного!)

Обратите внимание, что Итого любого квадрата на 1 меньше, чем зерен в следующем квадрате (пример: в квадрате 3 всего 7, а в квадрате 4 8 зерен). Таким образом, сумма всех квадратов представляет собой формулу: 2 n −1 , где n — номер квадрата. Например, для клетки 3 сумма равна 2 3 -1 = 8 1 = 7

Таким образом, для заполнения всех 64 клеток на шахматной доске потребуется:

2 64 9056 1 = 18 446 744 073 709,551 615 зерен (460 миллиардов тонн риса),

во много раз больше риса, чем во всем королевстве.

Итак, силу бинарного удвоения нельзя воспринимать легкомысленно (460 миллиардов тонн — это не свет!)


Зерна риса на каждом квадрате с экспоненциальной записью
Значения округлены, поэтому 53 6870 912 отображается как 5×10 8
, что означает 5 с 8 нулями

(Кстати, в легенде Мудрец оказывается Господь Кришна и говорит королю, что он не обязан платить долг сразу, но может платить ему со временем, просто подавайте рис паломникам каждый день, пока долг не будет погашен. )

Шестнадцатеричный

Наконец , давайте посмотрим на особые отношения между двоичным и шестнадцатеричным числами.

Есть 16 шестнадцатеричных цифр, и мы уже знаем, что 4 двоичных цифры имеют 16 возможных значений. Ну, именно так они относятся друг к другу:

Двоичный: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Шестнадцатеричный: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Б С Д Е Ф

Итак, когда люди используют компьютеры (которые предпочитают двоичные числа), гораздо проще использовать одну шестнадцатеричную цифру, а не 4 двоичные цифры.

Например, двоичное число «100110110100» — это «9B4» в шестнадцатеричном формате. Я знаю, что я предпочел бы написать!

 

Бинарные пальцы!

Бинарные пальцы!

Показать рекламу

Скрыть рекламу
О рекламе

Забудьте о счете до 10 на пальцах… вы можете считать до 1000, если хотите!

Правая рука

Правой рукой вы можете сосчитать до 31:

Нет пальцев вверху 0

Большой палец 1

Указательный палец 2

2 и 1
получается 3

Средний палец 4

Добавьте свой большой палец
на 5

4 и
2 делает 6

4 и 2 и 1
получается 7

Безымянный палец 8

. .. и продолжайте узор:

  • добавьте большой палец (+1), чтобы получилось 9,
  • или добавьте указательный палец (+2), чтобы получить 10
  • или сложите большой (+1) и указательный (+2) пальцы, чтобы получилось 11
  • и т. д.

На самом деле вы считаете в двоичном формате:

Число Сделано
1 1         до
2 2       до  
3 2+1       до до
4 4     до    
5 4+1     до   до
6 4+2     до до  
7 4+2+1     до до до
8 8   до      
9 8+1   до     до
10 8+2   до   до  
11 8+2+1   до   до до
12 8+4   до до    
13 8+4+1   до до   до
14 8+4+2   до до до  
15 8+4+2+1   до до до до
16 16 до        
17 16+1 до       до
  и т.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта