Вычитание дробей, формулы и примеры решений
Содержание:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
- Вычитание смешанных дробей
Определение
Вычитание дробей является действием, обратным к сложению. Вычесть из одной дроби другую — это означает найти такую третью дробь, которая в сумме со второй дробью дает первую.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от числителя первой дроби отнять числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.
Пример
Задание. Найти разность дробей $\frac{10}{11}$ и $\frac{7}{11}$
$$\frac{10}{11}-\frac{7}{11}=\frac{10-7}{11}=\frac{3}{11}$$
Ответ. $\frac{10}{11}-\frac{7}{11}=\frac{3}{11}$
Вычитание дробей с разными знаменателями
Чтобы вычислить дроби с разными знаменателями, нужно вначале привести их к наименьшему
общему знаменателю, а затем отнимать их как дроби с одинаковым знаменателем.
Ответ. $6 \frac{7}{11}-2 \frac{1}{22}=4 \frac{13}{22}$
В случае, когда дробь вычитаемого больше, чем дробь уменьшаемого, поступают следующим образом: берут одну единицу (целое) из целого числа уменьшаемого, записывают его как неправильную дробь, числитель и знаменатель которой равны между собой и равны знаменателю дробной части, и прибавляют к дробной части, далее отнимают две смешанные дроби, как описано выше.
Пример
Задание. Выполнить вычитание $5 \frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}$
Решение. Дробь $\frac{4}{9}$ меньше ( сравнение дробей ), чем дробь $\frac{11}{12}$ (так как $4 \cdot 12 = 36 < 9 \cdot 11 = 99$ ), тогда
$$5 \frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=5+\frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=4+1+\frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=$$ $$=4+\frac{9}{9}+\frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=4 \frac{9+4}{9}-1 \frac{11}{12}=4 \frac{13}{9}-1 \frac{11}{12}=$$ $$=(4-1)+\left(\frac{13^{4}}{9}-\frac{11^{3}}{12}\right)=3+\frac{13 \cdot 4-11 \cdot 3}{36}=$$ $$=3+\frac{52-33}{36}=3+\frac{19}{36}=3 \frac{19}{36}$$
Ответ.
$5 \frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=3 \frac{19}{36}$
Аналогичным образом поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.
Пример
Задание. Найти разность $4-3 \frac{3}{5}$
Решение. Выполним вычитание дробей по описанному выше правилу
$$4-3 \frac{3}{5}=3+1-3 \frac{3}{5}=3+\frac{5}{5}-3 \frac{3}{5}=3 \frac{5}{5}-3 \frac{3}{5}=$$ $$=(3-3)+\left(\frac{5}{5}-\frac{3}{5}\right)=0+\frac{5-3}{5}=\frac{2}{5}$$
Ответ. $4-3 \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
Замечание. Производить операции со смешанными числами можно и иначе: записать смешанное число в виде неправильной дроби и уже работать далее как с обыкновенными дробями.
Читать следующую тему: умножение дробей.
Тест по математике на обыкновенные дроби — 6 класс — Колпаков Александр Николаевич
Для диагностики знаний без участия репетитора по математике используйте соответствующие тесты на моем сайте.
Здесь размещены задания для 6 класса по обыкновенным дробям. Основное назначение теста — проверка вычислительных навыков. Текстовые задачи на дроби будут включены в отдельные задания. Я постарался учинить максимальные препятствия любителям угадывать ответы, поэтому количество вариантов выбора увеличено до 8. Некоторые номера имеют увеличенный коэффициент сложности. За их правильное выполнение Вам будет начислено по 2 балла. Обращайте внимание на соответствующие указатели в каждом задании. Удачи!
Задание 1. На рисунке все четырехугольники — квадраты. Какая часть квадрата ABCD закрашена? (2 балла)
Выберите ответ:
Задание 2. Сократите дробь (1 балл)
Выберите ответ:
Задание 3. Сократите дробь (2 балла)
Выберите ответ:
Задание 4. Какую часть килограмма составляет 150 граммов? (1 балл)
Выберите ответ:
Задание 5.
Какую часть квадратного метра составляет 7,5 квадратных сантиметров? (2 балла)
Выберите ответ:
Задание 6. Какая из указанных дробей больше: или ? (1 балл)
Выберите ответ:
Они равны | |
Задание 7. Какая из указанных дробей больше или ? (2 балла)
Выберите ответ:
Они равны |
Выберите ответ:
Задание 9. Найдите разность дробей (2 балла)
Выберите ответ:
Задание 10. Выполните действия (1 балл)
Выберите ответ:
Задание 11. Какая из дробей удовлетворяет неравенству
? (2 балла)
Выберите ответ:
Задание 12. Выполните умножение дробей (1 балл)
Выберите ответ:
Задание 13.
Выполните действия удобным способом (1 балл)
Выберите ответ:
Задание 14. Являются ли числа и взаимно обратными? (1 балл)
Выберите ответ:
Нет | Да |
Задание 15. Выполните деление дробей (1 балл)
Выберите ответ:
Задание 16. Выполните действия: (2 балла)
Выберите ответ:
Задание 17. Решите уравнение (1 балл)
Выберите ответ:
Задание 18. Решите уравнение (2 балла)
Выберите ответ:
Я хочу отправить результаты на почтуОцените качество данного теста
- Мне интересно Ваше мнение
БезобразноУдовлетворительноНеплохоХорошоОтличноВосхитительно
Оцените дидактическую работу с точки зрения качества подбора материала.
Если Вы хотите подготовить ребенка к этому и другим тестам за 6 класс, а также подняться по математике на боле высокую ступень – Вам потребуется репетитор.
Можно приехать ко мне в Строгино на пробный урок и по результатам диагностики я посоветую Вам тот или иной план занятий. Замечу, что умение быстро считать – один из важнейших катализаторов математического развития ребенка. В старших классах ему потребуется умение быстро проанализировать результаты вычислений «в слепую», на буквенных выражениях, не зная чисел. Это умение важно вовремя сформировать. Именно в 6 классе закладывается вычислительный фундамент. Не пропустите момент – обратитесь к репетитору по математике уже сейчас.
Задания, представленные на этой странице, полностью отвечают учебнику Виленкина и последовательно проверяют все основные навыки работы с обыкновенными дробями. Тест можно использовать при онлайн работе не только со слабым, но и с потенциально сильным школьником, демонстрирующим интерес и успехи по математике.
Напомню, что для сравнения, сложения и вычитания дробей необходимо сначала уравнять знаменатели при помощи дополнительных множителей, а затем произвести соответствующую операцию с числителями.
Колпаков А.Н. Москва, Строгино.
Математика 6 класс | Вычисление многозначных чисел и дробей
Учащиеся расширяют свои знания об умножении и делении, чтобы делить дроби на дроби, и развивают свободное владение целыми числами и десятичными операциями.
Раздел 3
6-й класс
Краткое содержание раздела
В Разделе 3 учащиеся шестого класса сосредотачиваются на системе счисления, расширяя свое понимание умножения и деления, включая деление дробей, и развивают свободное владение целыми числами и десятичными операциями. На протяжении всего модуля студенты работают над разработкой и пониманием эффективных алгоритмов. Изучая структуру конкретных моделей и шаблонов, возникающих из этих структур, учащиеся понимают такие понятия, как умножение на обратную дробь при делении или использование длинного деления в качестве сокращения для частичных частных (MP.
8). С помощью этих эффективных вычислительных алгоритмов учащиеся решают и интерпретируют реальные задачи, в том числе оценочные приложения из Модуля 2. На протяжении этого модуля учащиеся будут развивать, практиковать и демонстрировать свободное владение десятичными операциями; тем не менее, возможности практики и демонстрации должны продолжаться в течение года с целью беглости речи к концу года. Некоторые возможности уже встроены в будущие модули, такие как модуль «Выражения» и модуль «Уравнения», но необходимо запланировать и включить дополнительные возможности. См. наше Руководство по процедурным навыкам и беглости для получения дополнительной информации, а также рекомендаций по стратегии и деятельности.
В начальных классах учащиеся развивали свое понимание десятичной системы счисления. Они находили суммы, произведения и частные, используя конкретные модели, разрядное значение, свойства операций и отношения между операциями. Намеренно учащиеся не изучали стандартный алгоритм до тех пор, пока у них не было концептуального понимания, подтверждающего его.
Некоторые из этих стратегий повторно рассматриваются в этом разделе, чтобы гарантировать, что учащиеся твердо понимают аргументацию алгоритма, а не используют его без понимания.
После того, как учащиеся освоят систему положительных чисел дробей, десятичных и целых чисел, учащиеся шестого класса будут исследовать числа слева от 0 на числовой прямой или отрицательные рациональные числа в Разделе 4. В седьмом классе учащиеся узнают, как выполнять вычисления со всеми рациональными числами, включая отрицательные, а в восьмом классе и старшей школе учащиеся узнают об иррациональных числах, завершая свое изучение системы действительных чисел.
Темп: 20 учебных дней (17 уроков, 2 гибких дня, 1 контрольный день)
Fishtank Plus для математики
Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся.
Узнать больше
Оценка
Следующие оценки сопровождают Раздел 3.
Предварительная часть
Предложите учащимся пройти предварительную оценку и самооценку перед началом модуля. Используйте Руководство по анализу предварительной оценки, чтобы определить пробелы в фундаментальном понимании и наметить план ускорения обучения на протяжении всего модуля.
Mid-Unit
Предложите учащимся пройти промежуточную оценку.
Post-Unit
Используйте приведенные ниже ресурсы для оценки усвоения учащимися содержания модуля и плана действий для будущих модулей.
Постмодальная оценка
Ключ к ответам после модульной оценки
Руководство по анализу послемодульной оценки
92F25A3F-8529-4314-9899-6EE68694E3D0Самооценка студентов после окончания обучения
Расширенный пакет оценивания
Используйте данные учащихся для управления планированием с помощью расширенного набора модульных оценок, помогающих оценить уровень владения учащимися базовыми навыками и понятиями, а также их прогресс в изучении содержания модуля.
Скачать образец
Подготовка блока
Интеллектуальная подготовка
Предложения по подготовке к обучению данного модуля
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950Запуск модуля
Подготовьтесь к преподаванию этого модуля, погрузившись в стандарты, большие идеи и связи с предыдущим и будущим содержанием. Запуск модулей включает в себя серию коротких видеороликов, целевую литературу и возможности для планирования действий.
Повышение до Plus
Интернализация стандартов с помощью оценки после завершения обучения
- Прохождение оценки после завершения обучения. Аннотировать для:
- Стандарты, которым соответствует каждый вопрос
- Стратегии и представления, используемые на ежедневных уроках
- Связь с основными понятиями модуля
- Уроки, на которые Оценка указывает
Интернализация траектории отряда
- Прочитайте и аннотируйте сводку отряда.
- Обратите внимание на последовательность понятий в модуле с помощью карты урока.
- Выполнить все целевые задания. Аннотируйте целевые задачи для:
- Основные понятия
- Связь с вопросами послемодульной оценки
- Определите ключевые возможности для вовлечения учащихся в академический дискурс. Прочтите наш Инструмент для учителя на Академический дискурс и ссылайтесь на него на протяжении всего модуля.
Интеллектуальная подготовка для конкретного модуля
- Прочтите «Прогрессы для общих базовых государственных стандартов по математике, система счисления, 6–8», чтобы узнать о соответствующих стандартах в этой области системы счисления.
- Прочтите следующую таблицу, в которой указаны модели, используемые в этом устройстве.
| Модель | Пример |
| Частичные продукты | Умножьте 12,6 и 4,8, используя частичные произведения. |
| Неполные частные | Разделите 67 764 на 12, используя неполные частные. |
| Диаграмма Венна | Используйте диаграмму Венна, чтобы найти GCF чисел 12 и 18. |
Основные понятия
Основные математические понятия, которые учащиеся поймут в этом модуле
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950- Деление на дробь равносильно умножению на знаменатель и делению на числитель или, что то же самое, умножению по обратной дроби.
- Общий подход к делению на дроби можно применять к реальным задачам, связанным с делением, таким как разбиение на равные группы и нахождение недостающих множителей.
- Стандартные алгоритмы вычислений с десятичными дробями представляют собой эффективные стратегии сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей. Эти алгоритмы основаны на тех же концепциях, что и ранее изученные стратегии.
- Каждое число можно разложить на произведение простых множителей. Эти простые множители можно использовать для нахождения наибольших общих делителей и наименьших общих кратных между парами чисел.
Запас слов
Термины и обозначения, которые учащиеся изучают или используют на уроке
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950composite number
divisor
dividend
greatest common factor (gcf)
least common multiple (lcm)
long division/ standard algorithm for division
prime number
простая факторизация
частное
обратное
взаимно простое
Чтобы увидеть весь словарный запас для модуля 3, просмотрите наш глоссарий лексики для 6-го класса.
Материалы
Материалы, изображения и инструменты, которые потребуются преподавателям и учащимся для этого модуля
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950- Дополнительно : Калькуляторы (1 на учащегося) — Калькуляторы можно использовать для проверки ответов.
- Миллиметровая бумага (2-3 листа на учащегося)
- Маркеры или цветные карандаши (по 1 набору на небольшую группу)
- Бумага для постеров (1 на малую группу)
- Дополнительный : Карточки домино (1 на небольшую группу) — Карточки можно распечатать, чтобы можно было вырезать изображения и при желании наклеить их на картон или на бумажный фон другого цвета.
Чтобы ознакомиться со всеми материалами, необходимыми для этого курса, ознакомьтесь с нашим Обзором материалов курса для 6-го класса.
Карта урока
Тема A: Деление дробями
Интерпретируйте задачи деления как количество элементов в каждой группе или количество групп заданного количества элементов. Напишите соответствующие задачи на умножение и деление.
6.NS.A.1
Разделите дробь на целое число, используя визуальные модели и связанные с ними задачи на умножение.
6.NS.A.1
Разделите целое число на дробь, используя визуальные модели.
6.NS.A.1
Используйте визуальные модели и шаблоны, чтобы разработать общее правило деления на дроби.
6.NS.A.1
Решите и напишите задачки на деление дробей.
6.NS.A.1
Решите задачи на деление дробей.
6.NS.A.1
Тема B: Вычисления с десятичными знаками
Сложение и вычитание десятичных дробей по стандартному алгоритму.
6.НС.Б.3
Умножайте десятичные числа, используя стратегии, и развивайте понимание стандартного алгоритма.
6.НС.Б.3
Умножение десятичных дробей по стандартному алгоритму.
6.НС.Б.3
Деление многозначных целых чисел по стандартному алгоритму.
6.НС.Б.2
Деление чисел с десятичными частными. Разделите десятичные дроби на целые числа.
6.НС.Б.2 6.НС.Б.3
Деление десятичных дробей на десятичные по стандартному алгоритму.
6.НС.Б.3
Решите задачи с десятичными дробями, используя все четыре операции.
6.НС.Б.3
Тема C: Применение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
Используйте простую факторизацию для представления чисел в виде произведений простых множителей.
6.НС.Б.4
Найдите наибольший общий делитель двух чисел. Решите прикладные задачи, используя наибольший общий множитель.
6.НС.Б.4
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел. Решите прикладные задачи, используя наименьшее общее кратное.
6.НС.Б.4
Решите математические и реальные задачи, используя наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
6.НС.Б.4
Общие базовые стандарты
Ключ
Основной кластер
Вспомогательный кластер
Дополнительный кластер
Основные стандарты
Стандарты содержания, рассматриваемые в этом модуле
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950Система счисления
6.
НС.А.1 — Интерпретировать и вычислять частные дробей, а также решать текстовые задачи, включающие деление дробей на дроби, например, используя визуальные модели дробей и уравнения для представления задачи. Например, создайте контекст истории для (2/3) ÷ (3/4) и используйте визуальную дробную модель, чтобы показать частное; используйте связь между умножением и делением, чтобы объяснить, что (2/3) ÷ (3/4) = 8/9, потому что 3/4 от 8/9 равно 2/3. (В общем случае (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc.) Сколько шоколада получит каждый, если 3 человека поделят 1/2 фунта шоколада поровну? Сколько порций по 3/4 чашки содержится в 2/3 чашки йогурта? Какой ширины прямоугольная полоса земли длиной 3/4 мили и площадью 1/2 квадратных мили? 6.НС.Б.2 — Свободно делите многозначные числа по стандартному алгоритму.
6.НС.Б.3 — Быстро складывать, вычитать, умножать и делить многозначные десятичные числа, используя стандартный алгоритм для каждой операции.
6.НС.Б.4 — Найдите наибольший общий делитель двух целых чисел, меньших или равных 100, и наименьшее общее кратное двух целых чисел, меньших или равных 12. Используйте распределительное свойство, чтобы выразить сумму двух целых чисел от 1 до 100 с общим делитель как кратное суммы двух целых чисел без общего делителя. Например, выразить 36 + 8 как 4 (9 + 2).
НС.А.1 — Интерпретировать и вычислять частные дробей, а также решать текстовые задачи, включающие деление дробей на дроби, например, используя визуальные модели дробей и уравнения для представления задачи. Например, создайте контекст истории для (2/3) ÷ (3/4) и используйте визуальную дробную модель, чтобы показать частное; используйте связь между умножением и делением, чтобы объяснить, что (2/3) ÷ (3/4) = 8/9, потому что 3/4 от 8/9 равно 2/3. (В общем случае (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc.) Сколько шоколада получит каждый, если 3 человека поделят 1/2 фунта шоколада поровну? Сколько порций по 3/4 чашки содержится в 2/3 чашки йогурта? Какой ширины прямоугольная полоса земли длиной 3/4 мили и площадью 1/2 квадратных мили? 
Основополагающие стандарты
Стандарты, описанные в предыдущих модулях или классах, которые являются важной основой для текущего модуля.
4.НБТ.Б.6
5.НБТ.А.2
5.НБТ.Б.5
5.НБТ.Б.6
5.НБТ.Б.7
Числа и операции — дроби
5.
NF.B.65.NF.B.7
NF.B.6Операции и алгебраическое мышление
3.ОА.А.3
4.ОА.Б.4
Будущие стандарты
Стандарты будущих классов или разделы, связанные с содержанием данного раздела
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950Система счисления
7.НС.А.1
7.НС.А.2
7.НС.А.3
Стандарты математической практики
CCSS.MATH.PRACTICE.MP1 — Разбираться в проблемах и настойчиво решать их.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP2 — Рассуждайте абстрактно и количественно.
CCSS.MATH.
PRACTICE.MP3
— Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.CCSS.MATH.PRACTICE.MP4 — Модель с математикой.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP5 — Стратегически используйте соответствующие инструменты.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 — Следите за точностью.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 — Ищите и используйте структуру.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP8 — Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.
PRACTICE.MP3
— Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.Unit 2
Unit Rates and Percent
icon/стрелка/вправо/большойUnit 4
Рациональные числа
KS2 Maths Year 6 — 2c Операции с дробями
Вычисления с дробями, которые нам часто понадобятся с дробями. Во многих случаях их легче понять и использовать, чем десятичные дроби, поэтому, научившись считать с помощью дробей, мы можем избежать необходимости конвертировать десятичные дроби и обратно. Общий знаменатель Чтобы складывать дроби Вы уже знаете, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нам нужно настроить их так, чтобы они были эквивалентными дробями с одинаковыми знаменателями. Когда у них одинаковые знаменатели, мы просто добавляем числители Чтобы умножить дроби Это самая простая операция, которую можно сделать с дробями! Просто перемножьте числители вместе, чтобы получить числитель ответа, а затем умножьте знаменатели вместе, чтобы получить знаменатель ответа. Всегда не забывайте сокращать ответ до наименьшей эквивалентной дроби. Умножение дробей Что мы можем сделать сейчас? Теперь, когда вы умеете считать дробями, вы можете ответить на эти вопросы; 1) У Сэма осталась треть праздничного торта. 2) Сколько будет две трети (умноженные на) семь восьмых? 3) Джаслин съедает половину пончика, а затем съедает еще шестую часть. У Сандипа осталось две трети пончика. Кто съел больше? ГИПЕРССЫЛКИ Перейдите по ссылкам ниже, чтобы узнать больше. Щелкните здесь, чтобы перейти на домашнюю страницу по математике для 6-го класса Нажмите здесь, чтобы узнать об учебной программе KS2 (все субъекты) Национальная учебная программа Ученики должны научиться:
Он отдал Фрэнсису две пятых этой суммы. Сколько первоначального торта получил Фрэнсис?