Вычислить по формуле муавра онлайн калькулятор: Формула Муавра, возведение в степень комплексного числа

2)+ i \left( \varphi + 2 \pi k \right){/tex}

здесь k - может принимать любые целые  значения, поэтому говорят, что логарифм комплексного числа многозначен.

 

Для практических целей используется главное значение(k=0)

Формула расчета экспоненты комплексного числа тоже

Таким образом у нас есть всё, что бы рассчитать на практике комплексную степень комплексного  числа.

Содержание

Синтаксис 

Если используете XMPP клиент:  step_i <запрос>

Если используете этот сайт:  <запрос>

где запрос  - состоит  из двух чисел. Сначала идет основание потом  в другом окне степень.

Основание может быть как действительным числом так и комплексным, положительным или отрицательным

Комплексное значение пишется как x:y  где х- действительная часть числа, а y- мнимая часть, но можно написать и в нормальном виде через символ i

Степень может  быть быть целым числом,как положительным так и отрицательным.

Степень может быть выражена также степенью двух целых чисел например 1/2 или -5/7. 5{/tex}

Примеры

Например: взять степень 2/5 от комплексного числа 1-2.5i

Пишем 1:-2.5 2/5 или если делаете запрос через Jabber  step_i 1:-2.5 2/5

Ответ получим

Комплексное число 1:-2.5 в степени 2/5 равно

Действительная часть: 1.3209 Комплексная часть: -0.6812
Действительная часть: 1.0560 Комплексная часть: 1.0457
Действительная часть: -0.6682 Комплексная часть: 1.3275
Действительная часть: -1.4690 Комплексная часть: -0.2253
Действительная часть: -0.2396 Комплексная часть: -1.4667


Интересно, а чему будет равна мнимая единица в степени мнимой единицы?

пишем i i

и получаем что 


возведем еще одно число в комплексную степень.

число 1+i в комплексную степень 1-i

результат вот такой 

Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн

Вы ввели следующее выражение
Окончательный результат выражения

Обновление: На 12 сентября 2017 года, упрощен ввод данных.2}\)

Данный бот еще может использовать пятую операцию - возведение в степень, а так же все основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс), обратные тригонометрические функции, взятие логарифма и экспоненты.

Заметьте, эти функции могут использовать как действительные аргументы, так и комплексные, что открывает широкие возможности по вычислению выражений.

Возведение в степень осуществляется по известной формуле Муавра. Степень числа, может быть как действительным так и мнимым.

Калькулятор работает, исправен,  и не допускает ошибки при корректном вводе выражения.

Как уже было сказано,  выражение по сложности может быть неограниченным по размерам и иметь множество скобок. 

Синтаксис

Если используете Jabber или любой другой XMPP клиент:  calc_i <строка>

Если используете данный сайт:  <строка>

Строкой может быть любое выражение без каких либо функций. Могут воспользоватся следующие операции:

+ сложение

- вычитание

* умножение

/ деление

^ возведение в степень

синус(sin)

косинус(cos)

натуральный логарифм(ln)

тангенс(tan)

артангенс(atan)

арксинус(asin)

арккосинус(acos)

гиперболический синус(sinh)

гиперболический  косинус(cosh)

гиперболический тангенс(tanh)

Число в выражении может быть как действительным,  которое записывается в привычном виде, так и комплексным числом которое обозначается символом i

Просьба по возможности оборачивать каждое комплексное число в круглые скобки, если первый символ в нём  является минус (-)

Примеры

(-4-1i)/((-5-2i)+7-1.(1/2))

 

Результат выражения 

Действительная часть 0.66468285388895

Мнимая часть 1.0051451851734

 

Как видите, сложность выражения может быть произвольной и включать в себя комплексные числа.

 

  • Уравнение пятой степени. Частное решение. >>

1 2i 1 i

Вы искали 1 2i 1 i? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 2i 3 i, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «1 2i 1 i».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 2i 1 i,1 2i 3 i,1 4i 1 i,1 i 1 2i,1 i 12,1 i 2 3i,1 i 2 5i,1 i 2 i,1 i 25,1 i 3,1 i 4,1 i 8,1 i x 1 i y 3 i,1 i z,1 i равно,1 i решение,1i,2 3i 1 i,2 i 1 3i,2 i 1 i,2 i 3 2i,2i 1 i,2i i,3 2i 1 i,3 2i 5 i,3 2i 7 i,3 i 1,3 i 1 2i,3 i 2 i,3 i 5 2i,3 i z 2 i,3 i комплексные числа,3i2 ru,5 i 2 i,i 0 i 3 i,i 1 12,i 1 3,i 2 i 3,i 3 1,i 3 вычислить,i 3 комплексные числа,i i2 i3 i4,i i2 i3 i4 i5,i z 1,i в 3 степени комплексные числа,i в степени 3 комплексные числа,z 1 2i,z 1 i 1 2i,z 1 i 2 i,z 2 2i,z 2 3i,z 2 3i 2,z 2 i,z 2i,z 3 i 2 i,z 3i z 2,z i,z i 2,z i 3 1,z i z 2,z1 1 i,z1 2 i,z1 2 i решение,z1 z2 комплексные числа,выполните действия над комплексными числами,выполнить действия с комплексными числами,выполнить действия с комплексными числами онлайн,вычисление комплексных чисел,вычисление комплексных чисел онлайн,вычислите 2 i 1 i,вычислите i 1 i,вычислите i 3,вычислите i i2 i3 i4,вычислить 3 i,вычислить i 3,вычислить комплексное число,вычислить комплексное число онлайн с подробным решением,вычислить комплексные числа,вычислить комплексные числа онлайн,вычислить онлайн комплексные числа,вычислить по формуле муавра онлайн калькулятор,вычитание и сложение комплексных чисел онлайн,даны комплексные числа,даны комплексные числа z1 и z2 решить онлайн,действие с комплексными числами,действия комплексные числа,действия над комплексными числами в алгебраической форме онлайн калькулятор,действия над комплексными числами калькулятор онлайн,действия над комплексными числами онлайн,действия над комплексными числами онлайн калькулятор,действия с комплексными числами,действия с комплексными числами онлайн,действия с комплексными числами онлайн калькулятор,деление комплексные числа онлайн,деление комплексных чисел калькулятор,деление комплексных чисел калькулятор онлайн,деление комплексных чисел онлайн,деление комплексных чисел онлайн калькулятор,записать комплексное число в алгебраической форме онлайн калькулятор,как комплексные числа решать онлайн,калькулятор действительных чисел,калькулятор деление комплексных чисел,калькулятор для комплексных чисел,калькулятор для комплексных чисел онлайн,калькулятор комплексного числа,калькулятор комплексные числа,калькулятор комплексных,калькулятор комплексных чисел,калькулятор комплексных чисел в показательной форме онлайн,калькулятор комплексных чисел деление,калькулятор комплексных чисел онлайн,калькулятор комплексных чисел онлайн с подробным решением,калькулятор комплексных чисел онлайн с решением,калькулятор комплексных чисел онлайн с решением в показательной форме,калькулятор комплексных чисел с подробным решением онлайн,калькулятор комплексных чисел с решением,калькулятор комплексных чисел умножение онлайн,калькулятор мнимой единицы,калькулятор мнимых чисел,калькулятор мнимых чисел онлайн,калькулятор онлайн для комплексных чисел,калькулятор онлайн комплексные числа,калькулятор онлайн комплексные числа с решением,калькулятор онлайн с комплексными числами,калькулятор онлайн с мнимой единицей,калькулятор решение комплексных чисел,калькулятор с комплексными числами,калькулятор с комплексными числами онлайн,калькулятор с мнимой единицей,калькулятор с мнимой единицей онлайн,калькулятор с решением комплексных чисел,комплексного числа калькулятор,комплексное число вычислить,комплексное число калькулятор онлайн,комплексное число онлайн,комплексное число онлайн калькулятор,комплексные числа i 3,комплексные числа i в степени 3,комплексные числа z1 z2,комплексные числа вычислить,комплексные числа вычислить онлайн,комплексные числа действия,комплексные числа калькулятор,комплексные числа калькулятор онлайн,комплексные числа калькулятор онлайн с подробным решением,комплексные числа калькулятор онлайн с решением,комплексные числа онлайн,комплексные числа онлайн вычислить,комплексные числа онлайн деление,комплексные числа онлайн калькулятор,комплексные числа онлайн калькулятор с подробным решением,комплексные числа онлайн калькулятор с решением,комплексные числа онлайн решение,комплексные числа онлайн решить,комплексные числа онлайн решить уравнение,комплексные числа посчитать онлайн,комплексные числа примеры с решением онлайн,комплексные числа решение онлайн,комплексные числа решить онлайн,комплексные числа решить уравнение онлайн,комплексный калькулятор,комплексный калькулятор онлайн,комплексный онлайн калькулятор,найдите разность z1 z2 комплексных чисел,найдите сумму комплексных чисел,найти произведение комплексных чисел,найти сумму разность произведение и частное комплексных чисел z1 и z2,найти частное двух комплексных чисел полученное число представить,найти частное комплексных чисел 1 i,онлайн вычисление комплексных чисел,онлайн вычитание комплексных чисел,онлайн действия над комплексными числами,онлайн действия с комплексными числами,онлайн калькулятор действия над комплексными числами,онлайн калькулятор для комплексных чисел,онлайн калькулятор комплексное число,онлайн калькулятор комплексных чисел,онлайн калькулятор комплексных чисел деление,онлайн калькулятор комплексных чисел с подробным решением,онлайн калькулятор комплексных чисел умножение,онлайн калькулятор мнимых чисел,онлайн калькулятор решение уравнений с комплексными числами,онлайн калькулятор с комплексными числами,онлайн калькулятор с мнимой единицей,онлайн калькулятор умножение комплексных чисел,онлайн комплексное число,онлайн произведение комплексных чисел онлайн,онлайн расчет комплексных чисел,онлайн решение комплексных уравнений,онлайн решение комплексных чисел,онлайн решение комплексных чисел с решением,операции с комплексными числами онлайн,посчитать комплексные числа онлайн,расчет комплексных чисел онлайн,решение комплексные числа онлайн,решение комплексных уравнений калькулятор онлайн,решение комплексных уравнений онлайн калькулятор,решение комплексных чисел онлайн,решение комплексных чисел онлайн с подробным решением,решение комплексных чисел онлайн с решением,решение комплексных чисел с подробным решением онлайн,решение онлайн комплексные числа,решение онлайн комплексных чисел,решение уравнений с комплексными числами онлайн,решение уравнений с комплексными числами онлайн калькулятор,решить комплексные числа онлайн,решить онлайн комплексные числа,решить уравнение комплексные числа онлайн,решить уравнение онлайн комплексные числа,решить уравнение с комплексными числами онлайн,сложение комплексных чисел онлайн,умножение комплексных чисел онлайн,умножение комплексных чисел онлайн калькулятор,уравнения с комплексными числами онлайн,формула муавра онлайн калькулятор с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 2i 1 i. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 4i 1 i).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 2i 1 i Онлайн?

Решить задачу 1 2i 1 i вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Калькулятор онлайн для расчета факториала числа

Факториал натурального числа n - произведение первых по счету,n натуральных чисел от 1 до n включительно, обозначается n!

n! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • ... • n

Факториа́л числа – это число, умноженное на «себя минус один», затем на «себя минус два» и так далее, до единицы.

n! = n • (n - 1) • (n - 2) • ... • 1

Для приближённого вычисления факториала и гамма-функции используется формула Стирлинга . Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы

Вычисление факториала числа (n!) по формуле в Стирлинга. Этот калькулятор может быть использован для вычисления значений n больше 100.

Расчет факториала по формуле Джеймса Стирлинга

Приближенное значение не ограничено по колличеству n

Расчет факториала от 0 до 100

Точное значение, ограниченное по колличеству n

Формула Джеймса Стирлинга для расчета факториала

n! ≈ √(2π) × n(n+1/2) × e -n

Примеры значений для разных n:

1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Не стоит забывать

По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов.

Полезный факт

Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н. Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи. π! приблизительно равен 2.28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e) ~ 1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Больше интересного в телеграм @calcsbox

Калькулятор комплексных чисел: сложение, вычитание, деление, умножение

Чтобы быстро и правильно выполнить операцию с комплексными числами, воспользуйтесь данным онлайн калькулятором, для этого необходимо:

  • ввести в ячейки калькулятора вещественную и мнимую части каждого числа;
  • выбрать из списка операцию, которую необходимо произвести;
  • нажать кнопку. Через считанные секунды вы получите точный ответ.

Числа вида a+bi называются комплексными (мнимыми) числами, где a,b — вещественные (или действительные) числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i2 = -1, т.е. мнимая единица в квадрате является отрицательным числом, равным -1. Комплексные числа расширяют понятие действительного числа, позволяют в удобной форме описывать математические модели всевозможных прикладных процессов.

Комплексное число z можно представить в алгебраической, тригонометрической или показательной (экспоненциальной) форме.

1. Алгебраическая запись: z = a + bi, где a и b являются вещественными числами, причем, a — действительная часть, bi — мнимая, i — мнимая единица.

2. Тригонометрическая запись:

z = r (cos + i sin φ), где r — модуль комплексного числа, z — расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат.

Модуль комплексного числа — вещественное число |z|, равное корню квадратному из суммы квадратов вещественных чисел (a и b): r = |z| = √a2 + b2

Аргумент комплексного числа z — угол φ, образованный радиус-вектором точки, соответствующей комплексному числу. Значение аргумента находится в диапазоне (-π...π], для всех целых k определяется с точностью 2πk: φ = Аrg (z) = arctg (b/a). Для z, равного нулю, аргумент не определен.

3. Для сокращения Эйлер ввел Показательную запись: z = rе

Действия над комплексными числами

1. Сложение: z1 + z2 = (а1 + а2) + (b1 + b2) i, где z1 = а1 + b1i; z2 = а2 + b2i. При сложении комплексных чисел складываются их реальные и мнимые части, причем, сумма не изменится от перемены мест слагаемых.

2. Вычитание: z1 — z2 = (а1 — а2) + (b1 — b2) i. При вычитании комплексных чисел вычитаются их реальные и мнимые части.

3. Умножение: z1z2 = (а1а2 — b1b2) + (а1b2 + а2b1) i, зная что i*i=-1. Умножение комплексных чисел выполняется по правилам умножения многочленов.

4. Деление: z1 / z2 = (a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c2 + d2) + ((bc — ad) / (c2 + d2)) i, где z1 = a + bi; z2 = c + di. Деление выполняется путем умножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю.

5. Возведение в целую степень. Для возведения комплексного числа во вторую степень можно записать степень, как произведение двух множителей и выполнить операцию умножения по правилу умножения многочленов. Для возведения комплексного числа в большую степень проще воспользоваться показательной формой: zn = rneinφ полученной из формулы Муавра: (cos (х) + isin (х))n = cos (nх) + isin (nх).

6. Вычисление корня n-ой степени: , где k — целое число в диапазоне 0...n-1

Возведение комплексного числа в степень, теория и примеры

Возводить в натуральную степень $n$, если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число $z=a+b i$ задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.{2}}},}
где z = cos nx + i sin nx.
Таким образом, Sn справедливо для всего множества целых чисел n.

3. Применение
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -й степени из ненулевого комплексного числа:
z 1 / n =

Дата публикации:
05-16-2020

Дата последнего обновления:
05-16-2020

Онлайн-калькулятор: Комплексные числа

Начиная с XVI века математики столкнулись с необходимостью специальных чисел, также известных в настоящее время как комплексные числа. Комплексное число - это число вида a + bi, где a, b - действительные числа, а i - мнимая единица, является решением уравнения: i 2 = -1.

Интересно проследить эволюцию взглядов математиков на задачи со сложными числами. Вот цитаты из древних работ по этой теме:

  • 16 век: Так прогрессирует арифметическая тонкость, конец которой... так же изысканно, сколь и бесполезно.
  • 17 век: это чудо анализа, это чудо мира идей, почти земноводный объект между Бытием и Небытием, который мы называем воображаемым числом.
  • 18 век: квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, они не меньше нуля, они не больше нуля. Квадратные корни отрицательных чисел не могут принадлежать действительным числам, поэтому это нереальные числа . Это обстоятельство заставляет думать о числах, которые по своей сути невозможны и обычно называются воображаемыми, потому что их можно вообразить только в уме.
  • XIX век. Никто не ставит под сомнение точность результатов, которые мы получаем с помощью исчисления мнимых величин, хотя это всего лишь алгебраические формы и иероглифы нереальных величин.

Используется по-разному при определении комплексных чисел. Покажем троих

Алгебраическая форма

,
где a и b - действительные числа, i - мнимая единица, так что i 2 = -1. а - соответствует действительной части, б - мнимой части.

Полярная форма

,
где r - модуль комплексного числа:

- расстояние между точкой 0 и комплексной точкой на комплексной плоскости, а φ - угол между положительной действительной осью и комплексным вектором (аргументом).

Экспоненциальная форма (форма Эйлера)

- это упрощенная версия полярной формы, полученная из формулы Эйлера.

Комплексное число
Точность вычисления

Цифры после десятичной точки: 2

Главное значение аргумента (рад)

Главное значение аргумента (градусы)

Комплексная плоскость

Файл очень большой.Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Аргумент комплексного числа является многозначной функцией для целого числа k. Главное значение аргумента - это единственное значение в открытом периоде (-π..π].
Главное значение может быть вычислено из алгебраической формы по следующей формуле:

Этот алгоритм реализован в javascript Math.atan2 функция.

Все элементарные арифметические операции определены для комплексного числа:

Элементарные операции с комплексным числом
OperationAddSubtractMultiplyDivideExponentiateTake n-й корень Точность вычисления

Цифры после десятичной точки: 2

Файл очень большой. Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Сложение комплексного числа

Одно комплексное число может быть добавлено к другому так же, как и многочлены:

Умножение комплексных чисел

Используя определение комплексного числа i * i = -1, мы можем легко объяснить формулу умножения комплексного числа:

Деление комплексных чисел

Чтобы вывести формулу деления комплексных чисел, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число (чтобы исключить мнимую единицу в знаменателе):

Сопряжение определяется как:

Итак, окончательная формула деления:

Возведение в степень комплексного числа

Используя форму Эйлера, это просто:

Эта формула получена из формулы Де Муавра:

корень n-й степени

По формуле Де Муавра корни n n степени z (степень 1 / n) даются по формуле:
,
корней n, где k = 0..n-1 - корневой целочисленный индекс. Корни могут отображаться на комплексной плоскости как вершины правого многоугольника.

Калькулятор комплексных чисел

Наш калькулятор комплексных чисел (также известный как калькулятор мнимых чисел) - отличный инструмент для решения основных операций с комплексными числами. Читайте дальше, чтобы найти ответ на вопрос: «Что такое комплексное число?», Узнать об алгебраической и полярной форме комплексных чисел и овладеть навыками умножения и деления комплексных чисел.В конце этого текста вы также можете найти информацию о свойствах комплексных чисел (большинство из которых основаны на сопряженных или абсолютных значениях комплексных чисел) и даже о некоторых их практических применениях.

Что такое комплексное число? - Определение комплексного числа

Чтобы ответить на вопрос, что такое комплексное число, мы должны сначала спросить: «Что такое мнимое число?». Мнимое число - это квадратный корень из отрицательного числа .Основное мнимое число обозначается буквой i (иногда j , например, в электронике) и определяется как:

i = √ (-1) .

Определение комплексного числа z - это комбинация действительной a и мнимой b * i частей, так что:

г = а + би .

Здесь и a , и b являются классическими действительными числами. Когда b = 0 , число чисто реальное, а если a = 0 , мы имеем чисто мнимое число.Вы можете использовать этот калькулятор комплексных чисел как калькулятор мнимых чисел - просто введите действительный компонент, равный 0.

Другой способ записать две части комплексного числа - Re и Im , так что Re (z) = a , а Im (z) = b . На самом деле, есть числа с более мнимыми частями: кватернионы. К счастью, здесь нам не о чем беспокоиться.

Сопряжение комплексного числа определяется как:

z = а - би .

Как мы видим, сопряжение комплексного числа не влияет на действительную часть, в то время как мнимая часть имеет знак, противоположный исходному.

Полярная форма комплексных чисел

Комплексные числа имеют много общего с декартовой системой координат, потому что они представляют собой пары чисел на декартовой комплексной плоскости . Полезно представить комплексные числа как векторы на этой комплексной плоскости. Формулы, которые преобразуют комплексные числа из декартовой формы в полярную форму, точно такие же, как и классические преобразования координат:

  • | z | = a² + b² ,
  • тангенс (φ) = b / a ,

, где | z | - это модуль / абсолютное значение комплексного числа , φ известен как аргумент или фаза (иногда мы используем обозначение arg (z) = φ ), а tan является тангенсом данный аргумент.Точно так же длина вектора в двумерной евклидовой плоскости - это расстояние между его концом и началом системы координат. Угол φ отсчитывается от оси X против часовой стрелки и может изменяться от 0 до или от до π (в зависимости от соглашения, поскольку оба они эквивалентны).

Зная это, мы можем написать любое комплексное число, используя его полярные координаты на этой плоскости:

  • a = | z | * cosφ ,
  • b = | z | * sinφ .

Здесь sin и cos - основные тригонометрические функции. Эти формулы получены из соотношений в прямоугольном треугольнике на комплексной плоскости. Другими словами, комплексное число можно записать как: z = | z | * (cosφ + i * sinφ) .

Есть также другой способ переписать это число, используя формулу Эйлера :

z = | z | * ехр (i * φ) ,

, где exp () - экспоненциальная функция, в основе которой лежит число e .Благодаря свойству периодичности мы можем видеть, что:

ехр (iφ) = ехр (i (φ + 2kπ)) ,

, где k - любое целое число.

Полярная форма комплексных чисел очень полезна в различных вычислениях, включая умножение, деление и даже некоторые более сложные вычисления. Экспоненциальная форма особенно удобна, если вы недостаточно разбираетесь в тригонометрических законах или просто предпочитаете работать со степенями.

Основные операции с комплексными числами - сумма и разность

При выполнении простых операций с комплексными числами полезно думать о них как о векторах.Затем довольно просто добиться как сложения, так и вычитания комплексных чисел.

Обозначим первое число как F = a + bi , а второе как G = c + di . Тогда сумма двух комплексных чисел будет:

F + G = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d) * i ,

, где Re (F + G) = a + c - действительная часть суммы, а Im (F + G) = b + d - мнимая.

Аналогично можно найти разницу этих чисел:

F - G = a + bi - c + di = (a - c) + (b - d) * i ,

и теперь Re (F - G) = a - c и Im (F - G) = b - d .

Вы помните, как складывать или вычитать два 2D-вектора? Это точно так же, как мы делаем это в этом калькуляторе комплексных чисел - вам просто нужно добавить (или вычесть) каждую пару компонентов отдельно, и все!

Умножение и деление комплексных чисел

Теперь давайте перейдем к чему-то более сложному - мы хотим выяснить, как работает умножение комплексных чисел. Следуя обозначениям из предыдущего раздела, мы можем написать:

F * G = (a + bi) * (c + di) = a * c + a * d * i + b * c * i + b * d * i * i = (a * c - b * d ) + (а * г + Ь * в) * я .

На этот раз действительная часть может быть записана как Re (F * G) = a * c - b * d , а мнимая часть - как Im (F * G) = a * d + b * c . Обратите внимание, что в действительной части стоит знак минус, поскольку в какой-то момент мы столкнулись с умножением двух мнимых чисел i * i , что по определению равно -1 .

Умножение комплексных чисел не так уж и страшно, правда? Так что насчет деления комплексных чисел? Давайте посмотрим на расчеты с пошаговыми подсказками:

  • F / G = (a + bi) / (c + di) = , дополнить числитель и знаменатель конъюгатом комплексного числа последнего.
  • = (a + bi) * (c - di) / ((c + di) * (c - di)) = , выполнить стандартные умножения.
  • = (a * c - a * d * i + b * c * i - b * d * i * i) / (c² - (di) ²) = , снова используйте тот факт, что i * я = -1 .
  • = (a * c + b * d + (b * c - a * d) * i) / (c² + d²) .

Получаем следующие результаты: Re (F / G) = (a * c + b * d) / (c² + d²) , Im (F * G) = (b * c - a * d) / (c² + d²) . Конечно, деление возможно только при G 0 .

Мы также можем рассмотреть описанные выше операции в полярной записи, например F = | z₁ | * exp (iφ₁) , G = | z₂ | * exp (iφ₂) . Тогда умножение комплексных чисел дает:

F * G = | z₁ | * exp (iφ₁) * | z₂ | * exp (iφ₂) = | z₁ * z₂ | * ехр (я (φ₁ + φ₂)) ,

, и мы видим, что: | F * G | = | z₁ * z₂ | и arg (F * G) = φ₁ + φ₂ .

Комплексные числа делятся почти так же, как и в этой записи:

F / G = | z₁ | * exp (iφ₁) / | z₂ | * exp (iφ₂) = | z₁ / z₂ | * ехр (я (φ₁-φ₂)) ,

, переписывая результат как: | F / G | = | z₁ / z₂ | и arg (F / G) = φ₁-φ₂ .Используя эту форму, ясно видно, что результирующий модуль представляет собой просто отношение абсолютных значений обоих чисел.

Похоже, что вторая попытка намного проще, поэтому иногда стоит подумать об изменении формы наших выражений перед началом вычислений . Мы всегда можем вернуться от полярных обозначений к алгебраическим. Если вам это не нравится, просто воспользуйтесь нашим калькулятором комплексных чисел, чтобы убедиться, что результат правильный.

Комплексная мощность и комплексный логарифм

Мы можем сделать краткий обзор того, как вычислить некоторые более сложные операции с комплексными числами.G .

  • F G = (a + bi) (c + di) = , поскольку не очевидно, как расширить это выражение, мы можем записать F в полярной форме комплексных чисел.
  • = (| z₁ | * exp (iφ₁)) (c + di) = , теперь произведение любой степени суммы - это произведение каждого элемента на каждый компонент в отдельности.
  • = | z₁ | ᶜ * exp (iφ₁ * c) * | z₁ | ᵈⁱ * exp (-φ₁ * d) = , мы можем использовать известное свойство экспоненты: x n = exp (n * ln (x)) , где ln - натуральный логарифм.
  • знак равно | z₁ | ᶜ * ехр (-φ₁ * d) * ехр (i (φ₁ * c + d * ln | z₁ |)) .

Тогда абсолютное значение будет: | F G | = | z₁ | ᶜ * exp (-φ₁ * d) , а аргумент: arg (F G ) = φ₁c + d * ln | z₁ | . Хотя мы смешиваем две разные нотации, это нормально. Мы также можем изменить их, как вам нравится - это все, что вам нужно.

Логарифм комплексного числа (также известный как комплексный логарифм ) можно вычислить следующим образом:

ln (F) = ln (| z₁ | * exp (iφ₁)) = ln (| z₁ |) + iφ₁ .

Одно критическое замечание: поскольку фазы φ₁ и φ₁ + 2kπ эквивалентны, комплексный логарифм имеет бесконечное число решений, и общий результат дается как: ln (| z₁ |) + i (φ₁ + 2kπ) .

Как пользоваться калькулятором комплексных чисел

Инструмент действительно прост в использовании. Все, что вам нужно сделать, это написать действительную и мнимую части двух чисел. Если число является чисто реальным или чисто мнимым, установите другой компонент равным 0.Вот и все. В результате вы получите полярную форму комплексных чисел, сумму, разность, произведение, частное, а также первое число в степени второго и логарифм первого числа.

Свойства комплексных чисел

Существует несколько свойств комплексных чисел, включая сопряжение или абсолютное значение комплексных чисел, которые могут быть полезны при вычислении некоторых упражнений.

  1. Re (z) = Re (z) ,
  2. Im (z) = -Im (z) ,
  3. z * z = | z | ² ,
  4. | z₁ + z₂ | ≤ | z₁ | + | z₂ | ,
  5. | z₁ * z₂ | = | z₁ | * | z₂ | ,
  6. | z₁ / z₂ | = | z₁ | / | z₂ | ,
  7. , если z = 0 , то и a = 0 , и b = 0 .

Реальные комплексные числа

Комплексные числа иногда действительно полезны с алгебраическими выражениями, особенно если они связаны с тригонометрическими функциями.

Многие физические задачи выигрывают от силы комплексных чисел. Одна из основных областей использования комплексных чисел - это мир волновых функций и гармонического движения. Множественные задачи из электроники можно значительно упростить с помощью комплексных чисел. Вы можете проверить, как это делается на практике, с помощью калькулятора делителя напряжения.

Теорема Де Муавра

Процесс математической индукции можно использовать для доказательства очень важной теоремы в математике, известной как теорема Де Муавра . Если комплексное число z = r (cos α + i sin α), то

Предыдущий образец можно расширить с помощью математической индукции до теоремы Де Муавра.

Если z = r (cos α + i sin α) и n - натуральное число, то

Пример 1: Запишите в виде s + bi .

Сначала определите радиус:

Так как cos α = и sin α = ½, α должен находиться в первом квадранте и α = 30 °. Следовательно,

Пример 2: Запишите в форме a + bi .

Сначала определите радиус:

Так как cos и sin, α должно быть в четвертом квадранте и α = 315 °. Следовательно,

Задачи, связанные со степенями комплексных чисел, можно решить с помощью биномиального разложения, но применение теоремы Де Муавра обычно более прямое.

Теорема Де Муавра может быть расширена на корни комплексных чисел, давая теорему о корне n-й степени . Учитывая комплексное число z = r (cos α + i sinα), все корни n -й степени из z равны

.

где k = 0, 1, 2,…, (n - 1)

Если k = 0, эта формула сокращается до

Этот корень известен как главный корень n-й степени из z .Если α = 0 ° и r = 1, то z = 1 и корни n-й степени из единицы даются как

, где k = 0, 1, 2,…, ( n - 1)

Пример 3: Какие пять корней пятой степени выражены в тригонометрической форме?

Поскольку cos и sin α = ½, α находится в первом квадранте и α = 30 °. Следовательно, поскольку синус и косинус периодические,

и применяя теорему n о корне , пять корней пятой степени из z даются как

, где k = 0, 1, 2, 3 и 4

Таким образом, пять корней пятой степени равны

.

Обратите внимание на равномерное расстояние между пятью корнями по кругу на Рисунке 1.

Рисунок 1
Рисунок для примера 3.


Нормальное приближение | Безграничная статистика

Нормальное приближение к биномиальному распределению

Процесс использования нормальной кривой для оценки формы биномиального распределения известен как нормальное приближение.

Цели обучения

Объясните происхождение центральной предельной теоремы для биномиальных распределений

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Первоначально для решения такой проблемы, как вероятность выпадения 60 орлов за 100 подбрасываний монеты, нужно было вычислить вероятность 60 орлов, затем вероятность 61 орла, 62 орла и т. Д. И сложить все эти вероятности.
  • Абрахам де Муавр заметил, что, когда количество событий (подбрасываний монеты) увеличивалось, форма биномиального распределения приближалась к очень плавной кривой.
  • Таким образом, де Муавр рассуждал, что, если бы он мог найти математическое выражение для этой кривой, ему было бы намного легче решать такие задачи, как определение вероятности 60 или более решек из 100 подбрасываний монеты.
  • Это именно то, что он сделал, и обнаруженная им кривая теперь называется нормальной кривой.
Ключевые термины
  • нормальное приближение : процесс использования нормальной кривой для оценки формы распределения набора данных.
  • центральная предельная теорема : Теорема, которая утверждает: если сумма независимых одинаково распределенных случайных величин имеет конечную дисперсию, то она будет (приблизительно) нормально распределенной.

Биномиальное распределение можно использовать для решения таких задач, как: «Если честная монета подбрасывается 100 раз, какова вероятность выпадения 60 или более орлов?» Вероятность того, что точно [latex] \ text {x} [/ latex] выпадет из [latex] \ text {N} [/ latex] флипов, вычисляется по формуле:

[латекс] \ displaystyle \ text {P} \ left (\ text {x} \ right) = \ frac {\ text {N}! } {\ text {x}! \ left (\ text {N} - \ text {x} \ right)! } {\ pi} ^ {\ text {x}} {\ left (1- \ pi \ right)} ^ {\ text {N} - \ text {x}} [/ latex]

где [latex] \ text {x} [/ latex] - это количество головок (60), [latex] \ text {N} [/ latex] - это количество флипов (100), а [latex] \ pi [/ latex] - вероятность выпадения головы (0.5). Следовательно, чтобы решить эту проблему, вы вычисляете вероятность 60 орлов, затем вероятность 61 орла, 62 орла и т. Д. И складываете все эти вероятности.

Абрахам де Муавр, статистик 18 -го -го века и консультант игроков, часто был приглашен для выполнения этих длительных вычислений. де Муавр отметил, что, когда количество событий (подбрасываний монеты) увеличивалось, форма биномиального распределения приближалась к очень плавной кривой. Поэтому де Муавр рассуждал, что, если бы он мог найти математическое выражение для этой кривой, он бы гораздо легче мог решать такие задачи, как определение вероятности 60 или более решек из 100 подбрасываний монеты.Именно это он и сделал, и обнаруженная им кривая теперь называется нормальной кривой. Процесс использования этой кривой для оценки формы биномиального распределения известен как нормальное приближение.

Нормальное приближение : Нормальное приближение к биномиальному распределению для 12 подбрасываний монеты. Плавная кривая - нормальное распределение. Обратите внимание, насколько хорошо он аппроксимирует биномиальные вероятности, представленные высотой синих линий.

Важность нормальной кривой проистекает прежде всего из того факта, что распределение многих природных явлений, по крайней мере, приблизительно нормально распределено.Одним из первых применений нормального распределения был анализ ошибок измерения, сделанных в астрономических наблюдениях, ошибок, возникающих из-за несовершенных инструментов и несовершенных наблюдателей. Галилей в 17 веках отмечал, что эти ошибки были симметричными и что небольшие ошибки возникали чаще, чем большие ошибки. Это привело к нескольким гипотетическим распределениям ошибок, но только в начале 19 -го -го века было обнаружено, что эти ошибки следовали нормальному распределению.Независимо друг от друга математики Адриан (в 1808 г.) и Гаусс (в 1809 г.) разработали формулу для нормального распределения и показали, что ошибки хорошо вписываются в это распределение.

Это же распределение было открыто Лапласом в 1778 году, когда он вывел чрезвычайно важную центральную предельную теорему. Лаплас показал, что даже если распределение не имеет нормального распределения, средние значения повторных выборок из распределения будут почти нормальными, и чем больше размер выборки, тем ближе распределение будет к нормальному распределению.Большинство статистических процедур проверки различий между средними значениями предполагают нормальное распределение. Поскольку распределение средних очень близко к нормальному, эти тесты работают хорошо, даже если само распределение лишь приблизительно нормальное.

Объем нормального приближения

Объем нормального приближения зависит от размера нашей выборки и становится более точным по мере увеличения размера выборки.

Цели обучения

Объясните, как центральная предельная теорема применяется в нормальном приближении

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Инструмент нормальной аппроксимации позволяет нам аппроксимировать вероятности случайных величин, для которых мы не знаем всех значений, или для очень большого диапазона потенциальных значений, вычисление которых было бы очень трудным и длительным.
  • За рамками нормального приближения следуют статистические темы закона больших чисел и центральной предельной теоремы.
  • Согласно закону больших чисел, среднее значение результатов, полученных в большом количестве испытаний, должно быть близко к ожидаемому значению и будет иметь тенденцию становиться ближе по мере выполнения большего количества испытаний.
  • Центральная предельная теорема (CLT) утверждает, что при определенных условиях среднее значение достаточно большого числа независимых случайных величин, каждая из которых имеет четко определенное среднее значение и четко определенную дисперсию, будет приблизительно нормально распределено.
Ключевые термины
  • центральная предельная теорема : Теорема, которая утверждает: если сумма независимых одинаково распределенных случайных величин имеет конечную дисперсию, то она будет (приблизительно) нормально распределенной.
  • закон больших чисел : статистическая тенденция к фиксированному соотношению в результатах, когда эксперимент повторяется большое количество раз.
  • нормальное приближение : процесс использования нормальной кривой для оценки формы распределения набора данных.

Инструмент нормальной аппроксимации позволяет нам аппроксимировать вероятности случайных величин, для которых нам неизвестны все значения, или для очень большого диапазона потенциальных значений, вычисление которых было бы очень трудным и длительным. Мы делаем это, преобразовывая диапазон значений в стандартизованные единицы и находя площадь под нормальной кривой. Проблема возникает, когда имеется ограниченное количество выборок или рисунков в случае данных, «извлеченных из коробки». Гистограмма вероятности такого набора может не напоминать нормальную кривую, и поэтому нормальная кривая не будет точно представлять ожидаемые значения случайных величин.Другими словами, объем нормального приближения зависит от размера нашей выборки, становясь более точным по мере увеличения размера выборки. Эта характеристика следует из статистических тем закона больших чисел и центральной предельной теоремы (см. Ниже).

Закон больших чисел : Иллюстрация закона больших чисел с использованием конкретной серии бросков одного кубика. По мере увеличения количества бросков в этом прогоне среднее значение всех результатов приближается к 3.5. В то время как разные серии будут иметь разную форму при небольшом количестве бросков (слева), при большом количестве бросков (справа) они будут очень похожи.

Закон больших чисел

Закон больших чисел (LLN) - это теорема, описывающая результат многократного выполнения одного и того же эксперимента. Согласно закону, среднее значение результатов, полученных в результате большого количества испытаний, должно быть близко к ожидаемому значению и будет иметь тенденцию становиться ближе по мере проведения большего количества испытаний.

Закон больших чисел важен, потому что он «гарантирует» стабильные долгосрочные результаты для средних значений случайных событий. Например, в то время как казино может потерять деньги за одно вращение колеса рулетки, его доходы будут иметь тенденцию к предсказуемому проценту на большом количестве вращений. Любая выигрышная серия игрока в конечном итоге будет преодолена параметрами игры. Важно помнить, что LLN применяется (как указывает название) только тогда, когда учитывается большое количество наблюдений.Не существует принципа, согласно которому небольшое количество наблюдений будет совпадать с ожидаемым значением или что полоса одного значения будет немедленно «уравновешена» другими.

Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает, что при определенных условиях среднее значение достаточно большого числа независимых случайных величин, каждая из которых имеет четко определенное среднее значение и четко определенную дисперсию, будет приблизительно нормально распределено. Центральная предельная теорема имеет несколько вариантов.В обычном виде случайные величины должны быть одинаково распределены. В вариантах сходимость среднего к нормальному распределению также происходит для неидентичных распределений, при условии, что они соответствуют определенным условиям. 2 [/ latex].{2}} {\ text {n}} [/ латекс]. Полезность теоремы заключается в том, что распределение [латекса] \ sqrt {\ text {n}} ({\ text {S}} _ {\ text {n}} - \ mu) [/ latex] приближается к нормальному, независимо от форма распределения отдельных [латекс] \ text {X} _ \ text {i} [/ latex].

Центральная предельная теорема : распределение «сглаживается» суммированием, показывая исходную плотность распределения и три последующих суммирования

Расчет нормального приближения

В этом атоме мы приводим пример того, как вычислить нормальное приближение для биномиального распределения.2 = \ text {Np} (1- \ text {p}) = 10 \ cdot 0,5 \ cdot 0,5 = 2,5 [/ латекс]; поэтому стандартное отклонение составляет 1,5811.

  • Всего 8 голов на 1,8973 стандартного отклонения выше среднего значения распределения.
  • Поскольку биномиальное распределение дискретно, а нормальное распределение непрерывно, мы округляем и рассматриваем любое значение от 7,5 до 8,5, чтобы представить результат 8 голов.
  • Используя этот подход, мы вычисляем площадь под нормальной кривой (которая будет биномиальной вероятностью) от 7.От 5 до 8,5 будет 0,044.
  • Ключевые термины
    • z-score : стандартизованное значение наблюдения [латекс] \ text {x} [/ latex] из распределения, которое имеет среднее значение [латекс] \ mu [/ latex] и стандартное отклонение [латекс] \ сигма [/ латекс].
    • биномиальное распределение : дискретное распределение вероятностей количества успехов в последовательности [латекс] n [/ латекс] независимых экспериментов да / нет, каждый из которых дает успех с вероятностью [латекс] p [/ латекс]

    Ниже приводится пример того, как вычислить нормальное приближение для биномиального распределения.2 = \ text {Np} (1- \ text {p}) = 10 \ cdot 0,5 \ cdot 0,5 = 2,5 [/ latex]. Таким образом, стандартное отклонение составляет 1,5811. Всего 8 голов:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {8-5} {1,5811} = 1,8973 [/ латекс]

    Стандартные отклонения выше среднего значения распределения. Тогда возникает вопрос: «Какова вероятность того, что значение будет на 1,8973 стандартного отклонения выше среднего?» Вы можете быть удивлены, узнав, что ответ - 0 (вероятность получения любой конкретной точки равна 0). Проблема в том, что биномиальное распределение - это дискретное распределение вероятностей, тогда как нормальное распределение - это непрерывное распределение.

    Решение состоит в том, чтобы округлить и рассмотреть любое значение от 7,5 до 8,5, чтобы представить результат из 8 решек. Используя этот подход, мы вычисляем площадь под нормальной кривой от 7,5 до 8,5. Зеленая область на рисунке представляет собой приблизительную вероятность получения 8 голов.

    Нормальное приближение : Приближение вероятности выпадения 8 голов с нормальным распределением.

    Чтобы вычислить эту площадь, сначала мы вычисляем площадь ниже 8,5, а затем вычитаем площадь ниже 7.5. Это можно сделать, найдя оценки [latex] \ text {z} [/ latex] и используя таблицу оценок [latex] \ text {z} [/ latex]. Здесь для удобства мы использовали онлайн-калькулятор нормальной площади. Результаты представлены на следующих рисунках:

    Нормальная область 2 : На этом графике показана область ниже 7,5.

    Нормальная область 1 : На этом графике показана область ниже 8,5.

    [latex] \ text {z} [/ latex] -Score Таблица : Таблица [latex] \ text {z} [/ latex] -score используется для вычисления вероятностей для стандартного нормального распределения.

    Разница между площадями составляет 0,044, что является приближением биномиальной вероятности. Для этих параметров приближение очень точное. Если бы у нас не было калькулятора нормальной площади, мы могли бы найти решение, используя таблицу стандартного нормального распределения (таблица [latex] \ text {z} [/ latex]) следующим образом:

    1. Найдите оценку [latex] \ text {Z} [/ latex] для 7,5, используя формулу [latex] \ text {Z} = \ frac {7.5-5} {1.5811} = 1.5811 [/ latex]
    2. Найдите область под [латексом] \ text {Z} [/ latex] из [латекса] 1.58 = 0,943 [/ латекс].
    3. Найдите оценку [latex] \ text {Z} [/ latex] для 8,5, используя формулу [latex] \ text {Z} = \ frac {8.5-5} {1.5811} = 2.21 [/ latex]
    4. Найдите область под [латексом] \ text {Z} [/ latex] из [latex] 2,21 = 0,987 [/ latex].
    5. Вычтите значение на шаге 2 из значения на шаге 4, чтобы получить 0,044.

    Та же логика применяется при вычислении вероятности диапазона результатов. Например, чтобы рассчитать вероятность от 8 до 10 переворотов, вычислите площадь от 7.5 до 10,5.

    Изменение шкалы

    Чтобы рассмотреть нормальное распределение или нормальное приближение, необходима стандартная шкала или стандартные единицы.

    Цели обучения

    Объясните значение нормализации рейтингов и вычислите эту нормализацию

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • В простейших случаях нормализация оценок означает приведение значений, измеренных в разных шкалах, к условно общей шкале, часто до усреднения.
    • В более сложных случаях нормализация может относиться к более сложным корректировкам, цель которых состоит в том, чтобы привести в соответствие все распределения вероятностей скорректированных значений.
    • Стандартный балл - это безразмерная величина, полученная путем вычитания среднего значения для генеральной совокупности из индивидуальной необработанной оценки и последующего деления разницы на стандартное отклонение для генеральной совокупности.
    • Ключевым моментом является то, что для вычисления [latex] \ text {z} [/ latex] требуется среднее значение генеральной совокупности и стандартное отклонение генеральной совокупности, а не выборочное среднее или отклонение выборки.
    Ключевые термины
    • датум : измерение чего-либо в масштабе, понятном как записывающему устройству (человеку или устройству), так и считывающему устройству (другому человеку или устройству).
    • стандартный балл : количество стандартных отклонений для наблюдения или данных выше среднего.
    • нормализация : процесс удаления статистической ошибки в повторяющихся измеренных данных.

    Чтобы рассмотреть нормальное распределение или нормальное приближение, необходима стандартная шкала или стандартные единицы.

    Нормализация

    В простейших случаях нормализация рейтингов означает приведение значений, измеренных в разных шкалах, к условно общей шкале, часто до усреднения. В более сложных случаях нормализация может относиться к более сложным корректировкам, цель которых состоит в том, чтобы привести в соответствие все распределения вероятностей скорректированных значений. В случае нормализации оценок в образовательной оценке может быть намерение привести распределения в соответствие с нормальным распределением.Другой подход к нормализации вероятностных распределений - это квантильная нормализация, при которой квантили различных показателей приводятся в соответствие.

    Нормализация также может относиться к созданию смещенных и масштабированных версий статистики, где цель состоит в том, что эти нормализованные значения позволяют сравнивать соответствующие нормализованные значения для разных наборов данных. Некоторые типы нормализации включают только изменение масштаба для получения значений, относящихся к некоторой переменной размера.

    Стандартный балл

    Стандартный балл - это количество стандартных отклонений, при которых наблюдение или данные превышают среднее значение. Таким образом, положительная стандартная оценка представляет собой данные выше среднего, а отрицательная стандартная оценка представляет собой данные ниже среднего. Это безразмерная величина, полученная путем вычитания среднего значения совокупности из индивидуальной исходной оценки и последующего деления разницы на стандартное отклонение совокупности. Этот процесс преобразования называется стандартизацией или нормализацией.

    Стандартные оценки также называются [latex] \ text {z} [/ latex] -values, [latex] \ text {z} [/ latex] -scores, нормальные оценки и стандартизованные переменные. Использование «[latex] \ text {Z} [/ latex]» связано с тем, что нормальное распределение также известно как «распределение [latex] \ text {Z} [/ latex]». Чаще всего они используются для сравнения образца со стандартным нормальным отклонением (стандартное нормальное распределение, при котором [latex] \ mu = 0 [/ latex] и [latex] \ sigma = 1 [/ latex]).

    Оценка [latex] \ text {z} [/ latex] определяется только в том случае, если известны параметры популяции.Если имеется только набор образцов, то аналогичное вычисление с выборочным средним и стандартным отклонением выборки дает статистику Стьюдента [latex] \ text {t} [/ latex].

    Стандартная оценка необработанной оценки [latex] \ text {x} [/ latex] составляет:

    [латекс] \ displaystyle \ text {z} = \ frac {\ text {x} - \ mu} {\ sigma} [/ latex]

    Где [латекс] \ му [/ латекс] - среднее значение для генеральной совокупности, а - стандартное отклонение для генеральной совокупности. Абсолютное значение [latex] \ text {z} [/ latex] представляет собой расстояние между исходной оценкой и средним значением генеральной совокупности в единицах стандартного отклонения.[latex] \ text {z} [/ latex] отрицательно, когда необработанная оценка ниже среднего, положительная, когда выше.

    Ключевым моментом является то, что для вычисления [latex] \ text {z} [/ latex] требуется среднее значение генеральной совокупности и стандартное отклонение генеральной совокупности, а не выборочное среднее или отклонение выборки. Это требует знания параметров совокупности, а не статистики выборки, взятой из интересующей совокупности. Однако знание истинного стандартного отклонения совокупности часто нереально, за исключением таких случаев, как стандартизованное тестирование, когда измеряется вся совокупность.В случаях, когда невозможно измерить каждого члена генеральной совокупности, может использоваться случайная выборка.

    Значение [latex] \ text {Z} [/ latex] измеряет сигма-расстояние фактических данных от среднего и обеспечивает оценку того, насколько нецелевой процесс работает.

    Нормальное распределение и шкалы : сравнивает различные методы классификации в нормальном распределении. Включает: стандартные отклонения, совокупные проценты, процентильные эквиваленты, баллы [latex] \ text {Z} [/ latex], баллы [latex] \ text {T} [/ latex] и стандартные девять.

    Праймер для комплексных чисел

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от устройства (для их просмотра должна быть возможность прокручивать), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Полномочия и корни

    В этом разделе мы рассмотрим действительно хороший способ быстрого вычисления целочисленных степеней и корней комплексных чисел. {i \ frac {\ pi} {4}}} \]

    Обратите внимание, что мы использовали главное значение аргумента для экспоненциальной формы, хотя в этом и не было необходимости.n} = 1 \]

    Ясно (надеюсь) \ (z = 1 \) - одно из решений. Мы хотим определить, есть ли другие решения. Для этого мы будем использовать факт из предыдущих разделов, который гласит, что \ ({z_1} = {z_2} \) тогда и только тогда, когда

    \ [{r_1} = {r_2} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {и}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ theta _2} = {\ theta _1} + 2 \ pi k \, \, \, {\ mbox {для некоторого целого числа}} \; k {\ rm {}} \ left ({т.е. \, \, k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \ right) \]

    Итак, давайте начнем с преобразования обеих частей уравнения в комплексную форму, а затем вычислим степень в левой части.n} = 1 \ hspace {0,5 дюйма} n \ theta = 0 + 2 \ pi k \, \ hspace {0,25 дюйма} k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \]

    Теперь \ (r \) является положительным целым числом (в предположении экспоненциальной / полярной формы), и поэтому решение дает,

    \ [r = 1 \ hspace {0,5 дюйма} \ theta = \ frac {{2 \ pi k}} {n} \, \ hspace {0,25 дюйма} k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ ]

    Тогда решения уравнения:

    \ [z = \ exp \ left ({i \, \, \ frac {{2 \ pi k}} {n}} \ right) \ hspace {0,25in} k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \]

    Вспомните из нашего обсуждения полярной формы (и, следовательно, экспоненциальной формы), что эти точки будут лежать на окружности радиуса \ (r \).Итак, наши точки будут лежать на единичной окружности, и они будут равномерно разнесены на единичной окружности на каждые \ (\ frac {{2 \ pi}} {n} \) радианы. Обратите внимание, что это также говорит нам о том, что существует \ (n \) различных корней, соответствующих \ (k = 0,1,2, \ ldots, n - 1 \), поскольку мы вернемся туда, откуда начали, как только достигнем \ (k = п \)

    Следовательно, имеется \ (n \) n -го корня из единицы, и они равны,

    \ begin {уравнение} \ exp \ left ({i \, \, \ frac {{2 \ pi k}} {n}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {{2 \ pi k}}) {n}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi k}} {n}} \ right) \ hspace {0.3} = 1 \]

    , а в мире действительных чисел мы знаем, что решение этой проблемы \ (z \) = 1. Однако из вышеприведенной работы мы знаем, что в этом случае имеется 3 n th корней из единицы. Проблема здесь в том, что оставшиеся два являются комплексными решениями, и о них обычно не думают при поиске реального решения этого уравнения, что обычно является тем, что мы хотели до этого момента.

    Итак, давайте продолжим и найдем n -го корней из единицы для \ (n \) = 3.2 & = \ exp \ left ({i \, \, \ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right) \\ & = \ cos \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) & \ hspace {0,5 дюйма} & = \ cos \ left ({\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{4 \ pi}} {3}} \верно)\\ & = - \ frac {1} {2} + \ frac {{\ sqrt 3}} {2} i & & = - \ frac {1} {2} - \ frac {{\ sqrt 3}} {2} я \ конец {выравнивание *}

    Я оставлю это на ваше усмотрение, чтобы убедиться, что если вы кубите последние два значения в куб, вы фактически получите 1.{i \, \, {\ theta _0}}} \]

    Итак, это говорит нам, что

    \ [r = \ sqrt [n] {{{r_0}}} \ hspace {0,5 дюйма} \ theta = \ frac {{{\ theta _0}}} {n} + \ frac {{2 \ pi k}} {n} \ hspace {0,25 дюйма} k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \]

    Таким образом, различные решения \ (\ eqref {eq: eq5} \) равны

    \ begin {уравнение} {a_k} = \ sqrt [n] {{{r_0}}} \ exp \ left ({i \ left ({\ frac {{{\ theta _0}}}} {n} + \ frac { {2 \ pi k}} {n}} \ right)} \ right) \ hspace {0,25in} k = 0,1,2, \ ldots, n - 1 \ label {eq: eq6} \ end {уравнение}

    Итак, мы можем видеть, что точно так же, как было n n корня из единицы, так же есть n n -й корень из \ ({z_0} \).{\ frac {1} {3}}} \) Показать все решения Скрыть все решения Показать решение

    Первое, что нужно сделать, это записать экспоненциальную форму комплексного числа, от которого мы извлекаем корень.

    \ [2i = 2 \ exp \ left ({i \, \ frac {\ pi} {2}} \ right) \]

    Итак, если мы используем \ ({\ theta _0} = \ frac {\ pi} {2} \), мы можем использовать \ (\ eqref {eq: eq6} \) для записи корней.

    \ [{a_k} = \ sqrt 2 \ exp \ left ({i \ left ({\ frac {\ pi} {4} + \ pi k} \ right)} \ right) \ hspace {0.25 дюймов} k = 0,1 \]

    Подключение для \ (k \) дает,

    \ begin {align *} {a_0} & = \ sqrt 2 \ exp \ left ({i \ frac {\ pi} {4}} \ right) \ hspace {0,25in} & {a_1} & = \ sqrt 2 \ exp \ left ({i \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ right)} \ right) \\ & = \ sqrt 2 \ left ({\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} & & = \ sqrt 2 \ left ({\ cos \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ right)} \ right) \\ & = 1 + i & & = - 1 - i \ end {align *}

    Я оставлю это на ваше усмотрение, чтобы убедиться, что если вы возведете оба квадрата в квадрат, то получите 2 \ (i \).


    b Показать решение

    Вот экспоненциальная форма числа,

    \ [\ sqrt 3 - i = 2 \ exp \ left ({i \, \ left ({- \ frac {\ pi} {6}} \ right)} \ right) \]

    Используя \ (\ eqref {eq: eq6} \), корни равны,

    \ [{a_k} = \ sqrt [3] {2} \ exp \ left ({i \ left ({- \ frac {\ pi} {{18}} + \ frac {{2 \ pi k}}} {3 }} \ right)} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} k = 0,1,2 \]

    Подключение для \ (k \) дает,

    \ begin {align *} {a_0} & = \ sqrt [3] {2} \ exp \ left ({i \ left ({- \ frac {\ pi} {{18}}} \ right)} \ right) = \ sqrt [3] {2} \ left ({\ cos \ left ({- \ frac {\ pi} {{18}}} \ right) + i \ sin \ left ({- \ frac {\ pi}) {{18}}} \ right)} \ right) = 1.24078 - 0,21878 \, г \\ {a_1} & = \ sqrt [3] {2} \ exp \ left ({i \ frac {{11 \ pi}} {{18}}} \ right) = \ sqrt [3] {2} \ left ( {\ cos \ left ({\ frac {{11 \ pi}} {{18}}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{11 \ pi}} {{18}}} \ right) )} \ right) = - 0,43092 + 1,18394 \, i \\ {a_2} & = \, \ sqrt [3] {2} \ exp \ left ({i \ frac {{23 \ pi}} {{18}}} \ right) = \ sqrt [3] {2} \ left ({\ cos \ left ({\ frac {{23 \ pi}} {{18}}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {{23 \ pi}} {{18}}}) \ right)} \ right) = - 0.80986 - 0.96516 \, i \ end {align *}

    Как и в предыдущей части, я оставлю вам проверить, что если вы кубите каждый из них, вы получите \ (\ sqrt 3 - i \).

    Психология 2300: Определения

    В предыдущей части курса мы увидели, что биномиальные вероятности могут использоваться для решения таких задач, как «Если честная монета подбрасывается 2 раза, какова вероятность выпадения 2 орлов?» Вероятность выпадения ровно k орлов из N подбрасываний может быть вычислена с помощью формулы ИЛИ с использованием онлайн-калькулятора здесь:

    Если мы хотим узнать вероятность того, что определенное количество орлов или более, то решить задачу немного сложнее. решить.Чтобы решить такую ​​задачу для большого N (скажем, 100) и большого количества орлов (скажем, 60), вы вычисляете вероятность 60 орлов, затем вероятность 61 орла, 62 голов и т. Д. И складываете все эти вероятности. Представьте, сколько времени потребовалось для вычисления биномиальных вероятностей до появления калькуляторов и компьютеров!

    Абрахам де Муавр, статистик 18 века и консультант игроков, часто привлекался для выполнения этих длительных вычислений. де Муавр отметил, что, когда количество событий (подбрасываний монеты) увеличивалось, форма биномиального распределения приближалась к очень плавной кривой.Биномиальные распределения для 2, 4 и 12 флипов показаны на рисунке 1.

    Рисунок 1. Примеры биномиальных распределений. Высота синих столбцов представляет вероятности.

    де Муавр рассуждал, что, если бы он мог найти математическое выражение для этой кривой, ему было бы намного легче решать такие задачи, как определение вероятности 60 или более решек из 100 подбрасываний монеты. Именно это он и сделал, и обнаруженная им кривая теперь называется «нормальной кривой».«

    Рис. 2. Нормальное приближение к биномиальному распределению для 12 подбрасываний монеты. Плавная кривая - нормальное распределение. Обратите внимание, насколько хорошо он аппроксимирует биномиальные вероятности, представленные высотой синих линий.

    Важность нормальной кривой проистекает прежде всего из того факта, что распределения многих природных явлений, по крайней мере, ПРИМЕРНО нормально распределены. Одним из первых применений нормального распределения был анализ ошибок измерения, сделанных в астрономических наблюдениях, ошибок, возникающих из-за несовершенных инструментов и несовершенных наблюдателей.Галилей в 17 веке отмечал, что эти ошибки были симметричными и что небольшие ошибки возникали чаще, чем большие ошибки. Это привело к нескольким гипотетическим распределениям ошибок, но только в начале 19 века было обнаружено, что эти ошибки следовали нормальному распределению. Независимо от этого математики Адрейн в 1808 г. и Гаусс в 1809 г. разработали формулу нормального распределения и показали, что это распределение хорошо соответствует ошибкам.

    Это же распределение было открыто Лапласом в 1778 году, когда он вывел чрезвычайно важную центральную предельную теорему, которая стала темой более позднего раздела этого чтения.Лаплас показал, что даже если распределение не является нормально распределенным, средние значения повторных выборок из распределения будут почти нормально распределены, и что чем больше размер выборки, тем ближе распределение средних будет к нормальному распределению.

    Большинство статистических процедур проверки различий между средними значениями предполагают нормальное распределение. Поскольку распределение средних очень близко к нормальному, эти тесты работают хорошо, даже если исходное распределение лишь приблизительно нормальное.

    Quételet был первым, кто применил нормальное распределение к человеческим характеристикам. Он отметил, что такие характеристики, как рост, вес и сила, распределялись нормально.

    Площади под частями нормального распределения могут быть вычислены с помощью исчисления. Поскольку это нематематическая обработка статистики, мы будем полагаться на компьютерные программы и таблицы для определения этих областей. На рисунке 3 показано нормальное распределение со средним значением 50 и стандартным отклонением 10.Заштрихованная область между 40 и 60 составляет 68% распределения.

    Рис. 3. Нормальное распределение со средним значением 50 и стандартным отклонением 10. 68% площади находится в пределах одного стандартного отклонения (10) от среднего (50).

    На рисунке 4 показано нормальное распределение со средним значением 100 и стандартным отклонением 20. Как показано на рисунке 3, 68% распределения находится в пределах одного стандартного отклонения от среднего.

    Рис. 4. Нормальное распределение со средним значением 100 и стандартным отклонением 20.68% площади находится в пределах одного стандартного отклонения (20) от среднего (100).

    Нормальные распределения, показанные на рисунках 3 и 4, являются конкретными примерами общего правила, согласно которому 68% площади любого нормального распределения находится в пределах одного стандартного отклонения от среднего. Вам следует знать следующие правила:

    1) 34% площади при нормальном распределении находится между средним значением и 1 стандартным отклонением выше среднего

    2) 14% площади при нормальном распределении находится между 1 и 2 стандартными отклонениями выше среднего

    3) 2% площади при нормальном распределении более чем на 2 стандартных отклонения выше среднего

    A можно использовать для расчета площадей при нормальном распределении.Например, вы можете использовать его, чтобы найти долю нормального распределения со средним значением 90 и стандартным отклонением 12, превышающим 110. Установите для среднего значения 90 и стандартного отклонения 12. Затем введите «110» в поле поле справа от переключателя «Вверху». Внизу экрана вы увидите, что заштрихованная область равна 0,0478. Посмотрим, сможете ли вы использовать калькулятор, чтобы определить, что область между 115 и 120 составляет 0,0124.

    Рис. 5. Дисплей калькулятора, показывающий область выше 110.

    Ниже ссылка на обычный калькулятор. Используйте его, чтобы проверить три приведенных выше правила. Попробуйте!

    Ниже приведено видео с информацией, содержащейся в этом чтении. Идите и проверьте это.

    Математическое приложение

    IB для iPhone, iPad, Android, Windows Phone | Математика 4у

    Приложение-справочник по математике IB со множеством калькуляторов и решателей, предназначенное для IB математики высшего уровня, стандартного уровня, математических исследований и других математических образовательных программ того же уровня.

    Он используется тысячами студентов каждый день и включает почти все необходимое для успешной сдачи экзаменов IB по математике. Это ваш личный репетитор по математике. Это приложение призвано помочь учащимся пересмотреть и понять основные математические темы своих учебных планов. В этой версии рассматриваются следующие темы:

    Полезные тождества Округление значащих чисел с помощью калькулятора Формулы Виета Прямые линии Квадратичные уравнения и решения неравенств Квадратичные функции Калькулятор Экспоненты и логарифмы Экспоненциальные и логарифмические функции Арифметические последовательности и ряды с помощью калькулятора, который используется для вычисления n-го члена и суммы первого n термины.Геометрические последовательности и ряды с калькулятором, который используется для вычисления n-го члена, суммы первых n элементов и суммы до бесконечности. Калькулятор сложных процентов. Калькулятор расширения биномиальной теоремы Математические преобразования функций индукции (горизонтальный перенос, вертикальный перенос, горизонтальное растяжение - сжатие, вертикальное растяжение - сжатие, отражения, преобразования абсолютных значений, график обратной функции) Тригонометрия (тригонометрические уравнения, тригонометрические функции, тригонометрические тождества и т. Дифференциация решателя треугольников (производная, правила дифференцирования, таблицы производных, неявное дифференцирование, касательные и нормали, стационарные точки, точки перегиба, построение кривой, графики f (x) и ее производной) Интегрирование (неопределенный интеграл, определенный интеграл, интегральная таблица, Методы интеграции) Приложения интеграции (область между кривой и осью x, площадь между кривой и осью y, площадь между двумя кривыми, объем вращения, кинематика) Комплексные числа (операции с комплексными числами, комплексные сопряжения, уравнения, декартовы уравнения) форма, полярная форма, экспоненциальная форма, диаграмма Аргана, модуль и аргумент, Де Муав Теорема Ре, корни комплексных чисел) Векторы, линии, плоскости с калькулятором Вектор и скалярная проекция с калькулятором Точечное произведение с калькулятором Скрещенное произведение с калькулятором Множества и вероятность (множества, вероятность, условная вероятность, независимые события, теорема Байеса) Калькулятор комбинаций, перестановок и расстановок.Условный калькулятор вычисляет вероятность возникновения события A, учитывая, что событие B произошло, и наоборот. Калькулятор нормального распределения. Калькулятор биномиального распределения. Калькулятор распределения Пуассона. Статистика и статистика двух переменных, а также содержание математических исследований.

    Мы периодически предоставляем обновления, чтобы улучшить производительность и функциональность приложения. Никаких данных или подключения к Wi-Fi не требуется, кроме видеоуроков.

    Мы любим отзывы. Итак, присылайте свои мысли или задайте нам вопрос, связавшись с нами здесь: admin @ Mathematics4u.com

    УСЛОВИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ Информация, представленная в этом приложении, предназначена для образовательных целей, и ее точность не гарантируется. Содержание этого приложения было исследовано и опубликовано с особой тщательностью и вниманием, однако нельзя исключать ошибки в процессе. Присылайте любые комментарии и исправления по адресу [email protected] Mathematics4u.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *