|
Этап урока |
Деятельность учителя и ученика (содержание урока) |
|||
|
1 |
«Приветствие. Мотивация» |
|||
|
2 |
«Актуализация знаний и способов деятельности» Беседа: — Каков алгоритм решения задач с помощью уравнений? Ответ ученика:
— Подробно пояснить п. 2 Ответ ученика: По условию задачи можно разбить на 4 группы:
Работа с таблицей-опорой: |
|||
|
3 |
«Закрепление знаний и способов деятельности» — Применить данный теоретический материал при выполнении разноуровневой самостоятельной работы «Поле чудес». Цель: разгадать зашифрованное слово, установить закономерность его образования, определить тип каждой задачи по условию. Время выполнения работы — 15 мин. За каждую решенную задачу получаете жетон определенного цвета: «I уровень» — желтый жетон «II уровень» — зеленый жетон «III уровень» — красный жетон |
|||
|
1 вариант |
2 вариант |
|||
|
«I уровень» |
«I уровень» |
|||
|
Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет каждому из них? Ответ: 16 лет, 12 лет, 8 лет Задача 4 типа |
На первой полке было в 1,6 раза больше книг, чем на второй. Когда с первой полки взяли 4 книги, а на вторую положили 8 книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? Ответ: 32 и 20 книг Задача 1 типа |
|||
|
«Х» |
«О» |
|||
|
«II уровень» |
«II уровень» |
|||
|
От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 3 часа. Пешком он смог бы пройти это расстояние за 7 часов. Известно, что пешком он идет со скоростью на 8 км/ч меньшей, чем едет на велосипеде. С какой скоростью ехал турист и чему равно расстояние от турбазы до станции? Ответ: 14 км/ч, 42км Задача 1 типа |
Кофейник и две чашки вмещают 740 г воды. В кофейник входит на 380 г воды больше, чем в чашку. Сколько граммов воды вмещает кофейник? Ответ: 500 г Задача 4 типа |
|||
|
«Р» |
«Д» |
|||
|
«III уровень» |
«III уровень» |
|||
|
На турбазе имеются палатки и домики. Всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек? (решить задачу разными способами, обсудить решение в парах) Ответ: 15 палаток, 10 домиков Задача 4 типа |
||||
|
«А» |
||||
|
На доске ответы:
|
||||
|
Итог самостоятельной работы разгаданное слово «хорда»: Учитель дает определение, достает модель из «черного ящика». Каждый ученик получает оценку за самостоятельную работу, подняв жетоны. оценка «3» — за желтый жетон; оценка «4» — за желтый и зеленый жетоны; (самооценка) оценка «5» — за все три жетона. Задачу III-го уровня подробно разобрать, обсудить все способы её решения [см. Приложение 1]. Во время выполнения с/р двое сильных учеников выполняют индивидуальные задания на дополнительных досках (задачи 1 и 2). |
||||
|
Задача 1 Бригада должна была изготовить определенное количество стульев за 10 дней. Однако она ежедневно изготавливала на 20 стульев больше, чем планировалось первоначально, поэтому за 3 дня до срока ей осталось изготовить 58 стульев. Сколько стульев должна была изготовить бригада? Ответ: 660 стульев. Более подробное решение в Приложении 2. Задача 2 В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17- в хоккей, 18 – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта: баскетболом и хоккеем – 4, баскетболом и волейболом – 3, волейболом и хоккеем – 5. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем. а) Сколько ребят увлекаются лишь одним из этих видов спорта? б) Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? (решить, используя круги Эйлера) Ответ: а) 21 человек, б) 2 человека. Решение в Приложении 2. Класс оценивает ответы работающих у доски. Справившиеся раньше с с/р получают дополнительные задания: составить задачи по уравнению, указать тип по условию [см. Приложение 3].
|
||||
|
4 |
«Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности» Информация учителя о системе работы по данной теме, начиная с 5-го класса, и перспективах в курсе основной школы. Ответ: 7 плюшек Беседа учителя: — Какого типа задачи мы решали сегодня на уроке? (1, 2, 4) — Придумать задачу 3-го типа по уравнению: (50 — 3x)2 = 50 — x Рассмотреть другие способы составления уравнения, выбрать наиболее рациональный [см. Приложение 4]. |
Решение задач с помощью уравнений. 7-й класс
Цель урока:
- закрепление умения решать текстовые задачи с помощью уравнений;
- проверить уровень усвоения;
- развитие правильной математической речи;
- воспитание критичного отношения к себе.
Планируемые результаты:
- предметные: уметь применять алгоритм решения задач с помощью составления уравнений; уметь решать текстовые задачи с помощью уравнений; уметь работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи;
- личностные: уметь слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения, дополнять и исправлять ответы других учащихся; способность сопереживать радость, удовольствие от верно решенной задачи; понимать смысл поставленной задачи;
- метапредметные: способность самостоятельно ставить цели учебной деятельности, планировать, осуществлять, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения, владение основами самоконтроля, самооценки.
Познавательные УУД: анализировать и осмысливать текст задачи, применять алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений.
Регулятивные УУД: работать по алгоритму, сверять свои ответы с ответами одноклассников.
Коммуникативные УУД: аргументировать свою точку зрения, участвовать в диалоге, работать в группах.
В результате у учащихся формируются такие качества личности, необходимые в современном обществе, как интуиция, логическое мышление, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов.
Задачи:- образовательные: продолжить формировать умение решать текстовые задачи;
- воспитательные: умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; прививать учащимся умение аргументировать свое мнение, повышая самооценку, самоконтроль, взаимоконтроль; требовательное отношение к себе и своей работе;
- развивающие: развитие навыков и способностей критического мышления; развитие у детей способности рассуждать.
Тип урока: урок закрепления знаний и умений.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, работа в группах.
Необходимое оборудование: доска, интерактивная доска, компьютер, карточки для коммуникации.
Ход урока
1. Организационный этап
Учитель
Доброе утро, садитесь. С каким настроением вы пришли ко мне на урок? Надеюсь, что с урока вы уйдёте с хорошим настроением и новыми знаниями.
Учащиеся слушают учителя, поднимают карточки.
2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся
Кто может сказать, чем мы с вами занимались на прошлом уроке?
Правильно. Мы начали с вами применять уравнения для решения задач.
- Как вы считаете, достаточно ли вами решено задач? (Нет).
- Какая цель может быть у нас сегодня? (Закрепить умение решать текстовые задачи с помощью уравнений).
- Что для этого необходимо? (Продолжить решать текстовые задачи на эту тему).
Сегодня на уроке мы продолжим решать задачи с помощью уравнений. Работать вы будете в группах, а это значит, что нужно активно участвовать в совместной работе, внимательно выслушивать каждого члена группы, не перебивать собеседника, не смеяться над ошибками других, а помочь им в работе. В конце урока каждый получит оценку за свою работу.
Учащиеся отвечают на вопросы учителя и формулируют цель и задачи урока.
3. Устная работа
Проверим сначала, как вы научились решать линейные уравнения и составлять их по условию задачи? (Да).
Задания проецируются на экран. Презентация, слайд № 2.
№ 1. Составьте уравнение по условию задачи:
- В первой бригаде на 5 рабочих больше, чем во второй. Сколько рабочих в каждой бригаде, если всего в двух бригадах 77 человек?
- Длина прямоугольника в 2 раза больше ширины, а его периметр равен 138 см. Найдите размеры прямоугольника.
№ 2. Решите уравнение:
- 5 – 2х = 0;
- х – 8 = -4х – 9.
Учащиеся работают фронтально, выполняют предложенные задания.
4. Работа в группах
Повторение алгоритма решения задач с помощью уравнений. Перед вами на интерактивной доске алгоритм решения задач с помощью уравнения. Вам нужно найти ошибки и исправить их:
1. Обозначают все неизвестные числа буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение.
2. Решают это уравнение.
3. Записывают полученный результат в ответ задачи.
Каждая из групп находит ошибки и подзывает учителя, даёт правильный ответ, потом ответ проверяется с помощью слайдов презентации.
5. Физкультминутка
Перед тем, как продолжить нашу работу, давайте немного передохнём.
— Встали. Потянулись. Поиграем в «Карлики – великаны».
6. Работа в группах
Решение задач
Каждая из групп решает задачу, показывает своё решение учителю, потом решение проверяется с помощью слайда презентации.
Задача 1: Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья – на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?
Задача 2 (на движение): За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
7. Информация о домашнем задании
Решить задачи из учебника:
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причём на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором – на 4 банки меньше, чем в третьем?
Тем, кому интересно, предлагаю решить старинную задачу:
Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 верст в день. Через сколько дней второй догонит первого?
8. Рефлексия
С каким настроением вы заканчиваете урок? Покажите карточкой.
Предлагаю каждой группе написать на листочках ответы на следующие вопросы:
- Что понравилось на уроке?
- Что не понравилось на уроке?
9. Подведение итогов
Оценивается работа каждого обучающегося, выставляются оценки.
Список литературы и источников Интернета.
- Учебник для общеобразовательных организаций. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова; под ред. С.А.Теляковского. – М. : Просвещение, 2014.
- https://xn--80aa2aegbj2f.xn--p1ai/publications/igry-na-trave/%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BC.%D1%80%D1%84/publications/igry-na-trave/
Решение задач с помощью уравнений
В решении задач с помощью уравнений, необходимо соблюдать следующее: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, т.е. таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне. Способы этого уже были рассмотрены ранее.
Один из основных принципов алгебраических решений, это то, что величина должна присутствовать в уравнении. Это позволит нам записать условия так, как если бы задача уже была решена. После этого, останется лишь решить уравнение и найти общее значение всех известных величин. Так как эти величины равны неизвестной величине на другой стороне уравнения, то величина всех известных значений будет означать, что задача решена.
Задача 1. Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: «Если умножить цену на 4, и к результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов». Сколько он заплатил за часы?
Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала записать условие задачи как алгебраическое выражение, то есть как уравнение.
Пусть цена часов равна $x$
Эта цена была умножена на 4, то есть получаем $4x$
К произведению прибавили 70, то есть $4x + 70$
Из этого вычли 50, то есть $4x + 70 — 50$
Таким образом, мы записали условие задачи с помощью чисел в алгебраической форме, но у нас еще нет уравнения. Однако, согласно последнему условию задачи, все предыдущие действия в итоге привели к результату, который равен $220$.
Поэтому, это уравнение выглядит так: $4x + 70 — 50 = 220$
После проведения операций с уравнением, получаем, что $x = 50$.
То есть, значение $x$ равно 50 долларов, что и есть искомой ценой часов.
Чтобы проверить, что мы получили верное значение искомой величины, мы должны подставить это значение вместо $х$ в уравнение, которое мы записали по условию задачи. Если в результате этой подстановки значения сторон будут равны, мы провели вычисление правильно.
Уравнение задачи имело вид $4x + 70 — 50 = 220$
Подставляя 50 вместо $x$, получаем $4 \cdot 50 + 70 — 50 = 220$
Отсюда, $220 = 220$.
Задача 2. Если к числу прибавить его половину, а из этого результата вычесть $20$, то получим четверть первоначального числа. Что это за число?
В задачах такого типа, где рассматриваются дроби, надо помнить, что $\left(\frac{1}{3}\right)x$ то же самое, что и $\frac{x}{3}$; отсюда $\left(\frac{2}{5}\right)x = \frac{2x}{5}$.
Обозначим через x искомое число.
Тогда согласно условию $x + \frac{x}{2} — 20 = \frac{x}{4}$
После выполнения операций на уравнением, получим $x = 16$.
Проверка: $16 + \frac{16}{2} — 20 = \frac{16}{4}$.
Задача 3. Отец разделил наследство между своими тремя сыновьями так, что:
Первый сын получил на $\$1000$ меньше, чем половина всего наследства;
Второй сын получил на $\$800$ меньше, чем треть всего наследства;
Третий сын получил на $\$600$ меньше, чем четверть всего наследства;
Какая сумма была всего наследства?
Если обозначить все наследство как x, тогда три сына получили $\frac{x}{2} — 1000, \frac{x}{3} — 800$ и $\frac{x}{4} — 600$.
Так как эти части все вместе представляют все наследство, то их сумма равна $x$.
Тогда мы имеем равенство $\frac{x}{2} — 1000 + \frac{x}{3} — 800 + \frac{x}{4} — 600 = x$.
После выполения операций с членами уравнения, получим, что $x = 28800$
Проверка: $\frac{28800}{2} — 1000 + \frac{28800}{3} — 800 + \frac{28800}{4} — 600 = 28800$.
Чтобы избежать лишнего представления неизвестных величин в уравнении, иногда хорошо заметить, что когда дана сумма или разница двух значений, обе эти величины могут быть выражена одной и той же буквой. Так, если одна из двух величин вычитается из суммы этих величин, очевидно, что остаток буде равен другому вычитаемому. А если разница этих двух величин вычитается из большего, то остаток будет равен меньшему.
Так, если сумма двух чисел равна 20
И если один из них будет представлен через $x$
То другой будет равен $20 — x$.
Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшая разделена на 4, а большая часть на 6, то суммая частных будет равна 9.
Здесь, если $x$ выразить как меньшую часть, то большая часть будет $48 — x$.
Согласно условию задачи, $\frac{x}{4} + \frac{48 — x}{6} = 9$.
Поэтому, $x = 12$, то есть меншая часть.
И $48 — x = 36 -$ большая часть.
Буквы могут быть использованы для выражения как известных величин в уравнении, так и неизвестных. Определенные значения присваиваются числам, а в конце они слова записываются как числа.
Задача 5. Если к определенному числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, то результат будет равен 7392, разделенному на 462. Что это за число?
Обозначим через $x$ искомое число.
a = 720 d = 7392
b = 125 h = 462
Тогда, согласно условию задачи $\frac{x + a}{b} = \frac{d}{h}$
Поэтому $x = \frac{bd — ah}{h}$
Возвращая числа в уравнение, получим $х = \frac{(125.7392) — (720.462)}{462} = 1280$.
Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной величины противоположно значениям, которые по условию вопроса » рассматриваются как положительные.
Задача 6. Торговец получает или теряет при проведении сделки определенную сумму. Во второй сделке он получает 350 долларов, а в третьей теряет $60$. В конце концов, он обнаруживает, что получил 200 долларов за результатами трех сделок. Сколько он получил или потерял в первой сделке?
В этом примере, так как прибыль и убыток противоположны по природе, то они должны иметь противоположные знаки. Если прибыль обозначается с «+», то убыток должен обозначаться с «-«.
Пусть x = искомой сумме.
Тогда, согласно условию $x + 350 — 60 = 200$
и x = -90.
Отрицательный знак перед ответом показывает, что первая сделка прошла с убытком.
Задача 7. Корабль плывет 4 градуса на север, потом 13 на юг. После этого 17 на север, потом 19 на юг и в конце оказывается на 11 градусе южной широты. С какой широты начал плыть корабль?
Пусть $x$ — искомая широта.
Тогда, обозначаем с «+» северное направление, а южное с «-«.
Согласно условию, x + 4 — 13 + 17 — 19 = -11
и x = 0.
Ответ означает, что корабль начал свой путь с экватора, который не имеет широты.
Задача 8. Если определенное число разделить на 12, частное, делимое и делитель, сложенные вместе, дадут 64. Что это за число?
Пусть x — искомое число.
Тогда $\frac{x}{12} + x + 12 = 64$.
Отсюда $x — \frac{624}{13} = 48$.
Задача 9. Недвижимость была разделена между четырьмя детьми так, что,
Первый получил на 200 долларов больше чем $\frac{1}{4}$ всей недвижимости,
Второй получил на 340 долларов больше чем $\frac{16}{5}$ всей недвижимости,
Третий получил на 300 долларов больше чем $\frac{1}{6}$ всей недвижимости,
Четвертый получил на 400 долларов больше чем $\frac{1}{8}$ всей недвижимости.
Какова стоимость недвижимости?
Ответ: 4800 долларов.
Задача 10. Есть два числа, разница которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5. Что это за числа?
Ответ: 240 и 200.
Задача 11. Если число умножить в три раза, то оно будет относится к 12, как 2 к 9? Что это за число?
Ответ: 8.
Задача 12. Катер и лодка одновременно отправляются в путь по реке. Катер проходит пристань на реке, когда лодка находится ниже пристани на 13 миль. Катер проходит пять миль, а лодка проходит три мили. На каком расстоянии ниже пристани они встретятся? Ответ: $32,5$ мили.
Задача 13. Найдите число, если шестая его часть больше его восьмой части на 20?
Ответ: 480.
Задача 14. Разделите приз в 2000 долларов на две такие части, при которых одна из частей относится к другой как 9 к 7.
Ответ: 1125 и 875.
Задача 15. Найдите сумму денег, для которой третья, четвертая и пятая части, сложенные вместе, дадут 94 доллара?
Ответ: 120 долларов.
Задача 16. Человек провел одну треть жизни в Англии, одну четвертую в Шотландии, а остаток жизни, который равнялся 20-и годам — в США. До какого возраста он дожил? Ответ: $48$ лет.
Задача 17. Найдите число, для которого $frac{1}{4}$ этого числа больше $\frac{1}{5}$ его на 96?
Задача 18. Палка находится вертикально в воде. $\frac{3}{7}$ длины палки находится в воде, а 13 футов — над водой. Какая длина палки?
Ответ: 35 футов.
Задача 19. Если к числу прибавить 10, то $\frac{3}{5}$ этой суммы будет равняться 66. Что это за число?
Задача 20. Из всех деревьев в саду $\frac{3}{4}$ — яблони, $\frac{1}{10}$ — персики, а оставшиеся деревья — груши, которых на $20$ больше чем $\frac{1}{8}$ всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?
Ответ: 800.
Задача 21. Джентльмен купил несколько галлонов вина за $94$ долларов и после использования 7 галлонов он продал $\frac{1}{4}$ от оставшихся галлонов за 20 долларов. Сколько галлонов у него было вначале?
Ответ: 47.
Задача 22. Если сложить $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{7}$ числа, то сумма будет равна $73$. Что это за число?
Ответ: 84.
Задача 23. После того, как человек истратил на 100 долларов больше чем $\frac{1}{3}$ его дохода, у него осталось на 35 долларов больше чем $\frac{1}{2}$ его дохода. Чему равнялся его доход?
Задача 24. В составе пороха было:
селитры на 10 фунтов больше чем $\frac{2}{3}$ всего веса пороха,
серы на 4,5 фунта меньше чем $\frac{1}{5}$ всего веса пороха,
древесного угля на 2 фунта меньше чем $\frac{1}{7}$ селитры.
Какой вес пороха? Ответ: 69 фунтов.
Задача 25. Бочка емкостью 146 галлонов была наполнена смесью бренди, вина и воды. Причем, вина было на 15 галлонов больше, чем бренди, а воды столько же, сколько бренди и вина вместе. Чему равнялось количество каждой жидкости?
Задача 26. Четыре человека купили ферму за 4755 долларов, из которых B заплатил в три раза больше, чем А; С заплатил столько же, сколько и B, а D заплатил столько же, сколько C и B. Сколько заплатил каждый из них?
Ответ: 317, 951, 1268, 2219.
Задача 27. Отец разделил небольшую сумму денег между своими четырьмя сыновьями.
Третий сын получил на 9 шиллингов больше, чем четвертый;
Второй сын получил на 12 шиллингов больше, чем третий;
Первый получил на 18 шиллингов больше, чем второй;
А вся сумма денег была на 6 шиллингов больше чем умноженная в 7 раз сумма, которую получил самый младший.
Чему была равна вся сумма?
Ответ: 153.
Задача 28. У фермера было два стада овец, каждое из которых состояло из одной и того же числа животных. Продав из одного стада 39 овец, а с другого стада — $93$ овцы, он посчитал овец и обнаружил, что в одном стаде осталось в два раза больше овец чем в другом. Сколько первоначально овец было в каждом стаде?
Задача 29. Экспресс, двигаясь со скоростью 60 миль в день, был отправлен на 5 дней в путь ранее второго, который двигался со скоростью 75 миль в день. Когда второй экспресс догнал второго? Ответ: $20$ дней.
Задача 30. Возраст А вдвое больше, чем В, возраст B втрое больше чем С, а сумма всех их возрастов равна $140$. Какой возраст каждого из них?
Задача 31. Было куплено два куска ткани одинаковой цены, но разной длины. Стоимость одного куска — 5 долларов, а другого — 6,5. Если удлинить каждый кусок на $10$ м, то эти длины будет относится друг к другу как 5 к 6. Найдите длину каждого куска.
Задача 32. Если к числу прибавить 36 и 52, то первая сумма будет относиться ко второй, как 3 к 4. Что это за число?
Задача 33. Джентльмен купил фаэтон, лошадь и упряжь на 360 долларов. Стоимость лошади вдвое больше чем упряжи, а фаэтон стоил вдвое больше, чем упряжь и лошадь вместе. Какова была цена каждой покупки?
Задача 34. Из бочки вина, из которой просочилось $\frac{1}{3}$ часть вина, 21 галлон вина впоследствии было использовано. После этого бочка оказалась наполовину полной. Сколько первоначально было вина в бочке?
Задача 35. У Человек имеет 6 сыновей, каждый из которых на 4 года старше следующего младшего брата, а самый старший в три раза старше, чем самый младший. Каков возраст каждого из них?
Задача 36. Разделите число 49 на две части с условием, что если большую часть увеличить на 6, а от меньшей отнять 11, то они относились бы друг к другу как 9 к 2.
Задача 37. Два числа относятся друг к другу как 2 к 3. Если к каждому из них прибавить 4, то полученные суммы относились бы друг к другу как 5 к 7. Найдите эти два числа.
Задача 38. Человек купил две бочки портера, одна из которых была в 3 раза больше, чем другая. Из каждой бочки он отлил по 4 галлона, а затем он обнаружил, что в большей бочке осталось в $4$ раза больше галлонов чем в меньшей бочке. Сколько галлонов было в каждой из бочек?
Задача 39. Разделите число 68 на две такие части, чтобы разница между большей частью и 84 должна быть равна утроенной разнице между меньшей частью и 40.
Задача 40. разделите число 36 на 3 такие части, что $\frac{1}{2}$ первой части, $\frac{1}{3}$ второй и $\frac{1}{4}$ третьей равны между собой.
Задача 41. Генерал после проигранной битвы обнаружил, что у него осталось только половина армии +3600 человек, годных для действий; $\frac{1}{8}$ армии +600 человек было ранено; а остальная часть солдат, которая равнялась $\frac{1}{5}$ от всей армии, были либо убита, либо взята в плен или пропала без вести. Какова была численность армии?
Ответ: 24000.
Для решения многих алгебраических задач, требуется уметь обращаться со степенями и арифметическими корнями. Поэтому необходимо изучить соответствующий раздел до окончания изучения уравнений.
Этапы урока | Цель этапа | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Универсальные учебные действия |
Организационный момент | Создание благоприятного психологического настроя на работу | Приветствует учащихся, | Взаимное приветствие, настраиваются на работу | Коммуникативные: |
Актуализация знаний | Актуализация опорных знаний и способов действий | Демонстрирует слайд 2 и предлагает выполнить устные вычисления | Выполняют вычисления с подробными объяснениями, при необходимости исправляют и дополняют ответы одноклассников | Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; |
Демонстрирует слайды 3, 4 и предлагает решить два уравнения. Каждое задание выполняется одним учащимся. Учитель открывает последующую строчку только после того, как обучающийся правильно проговорил ее | Один учащийся проговаривает алгоритм решения уравнения, остальные – внимательно слушают, при необходимости дополняют или исправляют ответ. | Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли | ||
Постановка учебной задачи | Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими цели урока | Демонстрирует слайды 5, 6 и предлагает решить две задачи: первая задача решается арифметическим способом, вторая – алгебраическим (с помощью уравнения). Учитель задает вопросы, приводящие к пониманию о недостаточности знаний для решения второй задачи. Слайд 7. В ходе беседы помогает определить связь между изученной темой «Уравнения» и новой задачей, подводит к формулированию темы урока (слайд 8) | Решают первую задачу.
Формулируют цель и тему урока | Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли |
«Открытие» учащимися новых знаний | Обеспечение восприятия и осмысления и первичного запоминания детьми новой темы | Демонстрирует слайд 9, объясняет решение задачи | Отвечают на вопросы учителя, записывают решение в тетрадь | Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли |
Физкультминутка | Смена деятельности. | Демонстрирует слайды 10-15 | Учащиеся выполняют упражнения |
|
Первичное закрепление | Установление правильности и осознанности изучения темы. | Слайды 16-18. Вместе с учащимися разбирает задачи по плану: — О чем задача? — Какие слова будут в краткой записи? — Что обозначим за х? — Как будут записаны остальные данные? — Какое уравнение можно составить? | Учащиеся вместе с учителем разбирают условия предложенных задач, выбирают данные для краткой записи, определяются с обозначением неизвестной и составляют уравнения | Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли |
Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону | Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление первичного осмысления изучаемого материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу | Предлагает учащимся самостоятельно решить задачу (слайд 19). После завершения работы открывает слайд 20 с готовым образцом решения. | Самостоятельно решают задачу, затем сверяют с образцом решения на экране (слайд 20). Оценивают свою работу (слайд 21) | Регулятивные: составление плана и последовательности действий; сличение способа действия и его результата с заданным эталоном, в случае необходимости – коррекция |
Подведение итогов | Самооценка результатов своей деятельности и всего класса | Учитель предлагает ответить на вопросы (слайд 22) | Учащиеся отвечают на вопросы | Регулятивные: |
Постановка домашнего задания |
| Домашнее задание: выучить признаки § 42, № 1174, 1176 | Записывают домашнее задание в дневник |
|
Решение задач с помощью систем уравнений
Решение задач с помощью систем уравнений
Цели урока:
*Сформировать умение применять системы уравнений при решении задач;
*Развитие познавательной деятельности учащихся на основе систематизации теоретических основ.
Задачи урока:
*Научить решать задачи с применением систем уравнений.
*Обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме.
Ход урока
Организационный момент.
Определение темы и задач урока.
Чтобы решать задачи, что мы должны знать?
Знать: как решать системы уравнений (алгоритмы решения), знать формулы
Что уметь?
Уметь: составлять системы уравнений, применять различные способы при решении систем уравнений.
3. Какие шаги надо выполнить при решении задач с помощью уравнений или систем уравнений?
Этапы решения текстовой задачи.
Составление модели (выбор удобных переменных, их обозначение и точное словесное описание, составление уравнений или их систем в соответствии с условием задачи.)
Работа с составленной моделью.(решение полученной математической задачи)
Выбор тех решений, которые удовлетворяют условиям задачи (нахождение искомой величины и запись ответа).
Два подхода к решению задачи с помощью составления дробно-рационального уравнения или систем уравнения.
В одном варианте менее сложный этап составления математической модели, но более сложная математическая модель, то есть более трудный этап решения полученной задачи.
В другом варианте более сложный этап составления модели, но менее сложный этап решения.
Поскольку объективно первый этап – этап составления модели труднее ( на этом этапе выполняется творческая работа, чем второй – этап решения модели ( на этом этапе выполняется техническая работа- работа по готовым алгоритмам), то более целесообразно упрощать именно первый этап – этап составления модели, то есть работать с двумя переменными.
Поскольку этап решения систем более простой (по алгоритму), то повторим алгоритмы решения систем уравнений .По принципу «от простого к сложному2
Что повторить?
Решение систем: способом сложения, способом подстановки, графическим, способом замены переменных. Какой из этих способов дает погрешность, т.е. менее точный и поэтому нецелесообразно применять при решении задач?
Чтобы применить тот или иной способ, что надо знать?
Задание №1.
Повторим алгоритм, наиболее часто применяемый к решению систем уравнений.
Указать порядок выполнения в способе сложения и в способе подстановки
Карточка №1. | Карточка №1. | ||||
Вариант 1. Установить порядок действий, проставив нумерацию в том порядке, в котором решается система уравнений способом подстановки | Вариант 2. Установить порядок действий, проставив нумерацию в том порядке, в котором решается система уравнений способом сложения. | ||||
1 | А | Выражают в одном из уравнений одну переменную через другую. | А | Выражают в одном из уравнений одну переменную через другую. | |
Б | Складывают левые и правые части уравнений. | 2 | Б | Складывают левые и правые части уравнений. | |
5 | В | Записывают ответ. | 5 | В | Записывают ответ. |
Г | Умножают левые и правые части одного из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами.. | 1 | Г | Умножают левые и правые части одного из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами.. | |
4 | Д | Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную | 4 | Д | Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную |
3 | Е | Решают получившееся уравнение с одной переменной. | 3 | Е | Решают получившееся уравнение с одной переменной. |
2 | Ж | Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение. | Ж | Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение. | |
1-А, 2-Ж, 3-Е, 4-Д, 5-В | 1-Г, 2-Б, 3-Е, 4-Д, 5-В. | ||||
Взаимопроверка
1. Способ подстановки; 1). Выразить у через х (или х через у) из одного уравнения системы; 2). Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение системы; 3). Решить получившееся уравнение с одной переменной; 4). Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную; 5). Записать ответ в виде пар чисел (х; у). | 1. Способ подстановки; 1). Выразить у через х (или х через у) из одного уравнения системы; 2). Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение системы; 3). Решить получившееся уравнение с одной переменной; 4). Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную; 5). Записать ответ в виде пар чисел (х; у). |
Задание №2. Укажите способ решения.
Карточка №2. Ф.И._________________________________________________________________________________________ | |||||
Задание . Указать способ решения. Поставить букву «С»-сложение или «П»- подстановка. (Возможен вариант –«С» и «П»), Что предпочтительнее? | |||||
1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
П | С и П | С и П | С и П | С и П | П |
Самопроверка.
*Что важно? Если можно выбрать и способ «сложение», и способ «подстановки», кто бы выбрал «сложение?» Почему?
Задание № 3. Решение в парах.
Решить систему уравнений методом подстановки: | Решить систему методом сложения: |
Самопроверка
5. Способы решения систем уравнений повторили. Переходим к подготовке первого этапа решения задач..
Какие типы задач нам встречались?
Исходя из этого ,что надо знать, чтобы составить мат. модель задач «на движение» или «на работу.?
Повторяем формулы, которые применяем при решении задач «на движение» и «на работу».
Задание №4. .
Указать «верно» или « неверно».
Карточка №3. Ф.И.___________________________________________________ | |||||
— | ^ | ^ | — | ^ | — |
верно — « ^ « , неверно – « — » | |||||
Карточка №4. « , неверно – « — » |
Самопроверка
Что может помочь при составлении математической модели?
Используем таблицу. Перед заполнением таблицы ответить на вопросы:
1. Какой процесс описывается в задаче? (движение, движение по реке, работа)
2. Какими величинами характеризуется процесс? (S,V, t, A, p)
3. Как связаны между собой величины? (S=Vt, A=pt)
4. Сколько реальных процессов описывается в задаче – столько строчек в таблице.
5. Значения каких величин известны?
6. Значения каких величин сравниваются?
7. Значения каких величин требуется найти.
8. Одну из неизвестных величин обозначить за х, другую через у. Выразить неизвестные величины через х и у, и известные величины. Используя одно из сравнений величин, составить систему уравнений.
Задание №5..
Заполнить таблицу и составить систему уравнений для задачи №1 или задачи №2 (на выбор)
К карточке №5
Задача №1 ( на «3»).
.Расстояние между пунктами по реке равно12 км. Лодка проходит этот путь по течению реки за 3 часа, а против течения реки за 4,5 часа. Найти собственную скорость лодки и скорость течения реки.
.Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1). по течению | x+y | 3 | 3(x+y) | 12 |
2). против течения | x-y | 4,5 | 4,5(x-y) | 12 |
К карточке №5. Задача №2 (на «5»)
Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, одновременно отправились 2 поезда и встретились через 6 часов. Если второй отправится раньше первого на 5 часов, то они встретятся через 3 часа. Найти скорость каждого поезда.
—Предварительно выполнить чертеж.
Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1 пешеход | х | 6 | 6х | 500 |
2 пешеход | у | 6 | 6у | |
Уравнение: 6х+6у=500 | ||||
* Предварительно выполнить чертеж.
Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1 пешеход | х | 3х | 3 | 500 |
2 пешеход | у | 8у | 3+5 | |
Уравнение: 3х+8у=500 | ||||
Взаимопроверка.
Задание №6..
Заполнить таблицу и составить и решить систему уравнений для задачи №1 или задачи №2 (на выбор)
К карточке №6.
.Задача №1.. «на 3».
Лодка прошла по течению реки 14 км за 2 часа, а против течения расстояние в 9 км.- за 3 часа. Какова собственная скорость лодки и скорость течения реки?
.Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1). по течению | x+y | 2 | 2(x+y) | 14 |
2). против течения | x-y | 3 | 3(x-y) | 9 |
Решение:
при х=5 у =7-5; у=2.
___________
3x = 6
x = 5
Ответ: 5 км/ч; 2 км/ч.
К карточке №6.Задача №2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 часа им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта А пешеход вышел на 1 час раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход?
* Предварительно выполнить чертеж.
Ф. И.__________________________________________________ | |||||
V | |||||
1 пешеход | х | 4 | 4х | 40 | 40- 4 |
2 пешеход | у | 4 | 4у | 40 | |
Уравнение: 4х+4у=36 | |||||
— Предварительно выполнить чертеж.
Ф. И.__________________________________________________ | ||||
V | ||||
1 пешеход | х | 40 | 40:2 | |
2 пешеход | у | 40 | 40:2 | |
Уравнение: | ||||
Решение:
х=9-у у2-40у+180=0
Д=1681
—
не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч.
Взаимопроверка.
Итог.
Кто удовлетворен своей работой?
В чем испытали трудности?
Что надо сделать?
Где сможем применить полученные знания ?
Самоанализ:
Задание:
Продолжите предложение.
Мне важно правильно решать задачи, потому что…
Чтобы правильно решить систему нужно…
Домашнее задание. №7. 7., (7.14 )
Решение задач с помощью уравнений
Решение задач с помощью уравнений
При решении задач с помощью уравнений поступают следующим образом:
- Обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение;
- решают уравнение;
- растолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.
Пример 1.
В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?
Решение:
Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике было 2х яблок. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в корзине стало х-10 яблок, а в ящике 2х + 10 яблок. По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине. Значит,
5(х-10) = 2х +10
10 в 5 раз «или
- Обозначаем неизвестное число буквой Х:
Пусть х яблок в корзине;
2х яблок в ящике;
5(х-10) = 2х +10
2) Решаем уравнение:
5х-50 = 2х +10
5х-2х = 10+50
3х = 60
3) Истолковываем полученный результат:
Х = 20 яблок в корзине
20*2 = 40 яблок в ящике
Проверка:
20-10 = 10, а 40+ 10 = 50
5010 в 5 раз
Пример 2 .
Предназначенные для посадки 78 саженцев смородины решили распределить между тремя бригадами так, чтобы первой бригаде досталось саженцев в 2 раза меньше, чем второй, а третьей на 12 саженцев больше, чем первой. Сколько саженцев надо выделить первой бригаде?
Решение:
Пусть первой бригаде решили выделить х саженцев. Тогда второй следует выделить 2х саженцев, а третьей х+12 саженцев. Общее число саженцев Х + 2Х + (Х+12), что по условию задачи равно 78. значит,
Х + 2Х + (Х+12) = 78
Или:
1) Обозначим неизвестное число буквой Х:
Пусть Х саженцев выделили первой бригаде
2Х саженцев второй бригаде
Х + 12 саженцев третьей бригаде
Х + 2Х + (Х+12) = 78
2) Решим уравнение:
Х + 2Х + (Х+12) = 78
3Х +Х +12=78
4Х = 78-12
4Х=66
Х = 16, 5 !!!
По смыслу задачи значение Х должно быть натуральным числом, а корень уравнения – дробное число. Значит, распределить саженцы указанным способом нельзя.
Ответ: такое распределение саженцев невозможно.
Задачи для самостоятельной работы:
- В одной кассе кинотеатра продали на 86 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано 792 билета?
- Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны равны между собой и каждая из них на 2,9 см больше третьей. Каковы стороны треугольника?
- В трех цехах завода работают 1274 человека. Во втором цехе на 70 человек больше, чем в первом, а в третьем на 84 человека больше, чем во втором. Сколько человек работает в каждом цехе?
- Можно ли расположить 158 книг на трех полках так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй, и на 5 книг больше, чем на третьей:
Ответы:
1) 439,353 билета
2) 6,3; 6,3; 3,4 см
3) 350, 420 и 504 человека
4) нет, так как Х д.б. натуральным числом
1
Первый слайд презентации: Решение задач с по- мощью уравнений 6 класс
Изображение слайда
2
Слайд 2
Эпиграф: « Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит» Аль-Бируни Цели: отработать навыки решения линейных уравнений; научиться решать задачи с помощью уравнений.
Изображение слайда
3
Слайд 3: ПОВТОРЕНИЕ Решим уравнения
1 ) 7 x-2=3x-18 ; 7 x-3x=-18+2 4x=-16 x=-16:4 x=-4 Ответ: x=- 4 2 ) 2(4 x +1)-2 x=7x-3 ; 8x+2-2x=7x-3 6x+2=7x-3 6x-7x=-3-2 -x=-5 x=5 Ответ: x=5 3 ) x/3+x/4=14 |*12 12x/3+12x/4=14*12 4x+3x=168 7x=168 x=168:7 x=24 Ответ: x=24
Изображение слайда
4
Слайд 4: Устная работа!
Упростить: а) 9,5 m + 3 m ; б) 4 x x + 3 в) 7 х – 6 у – 2 х + 8 у г) 10 х + у – 10 у – х = 12,5 m ; = 5 x + 3 = 5 х + 2 у = 9 х – 9 у
Изображение слайда
5
Слайд 5: Устная работа!
Решить уравнения: а) 3 х = х + 4 б) – 5 у = у – 12 в) 7 х – 9 = 5 х + 1 г) у = 3 у + 2 х = 2 у = 2 х = 5 у = – 1
Изображение слайда
6
Слайд 6: Устная работа!
Ответить на вопрос «да» или «нет» 1)Корни уравнения изменятся, если обе части уравнения умножить на одно и тоже число. 2) Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знаки. 3) Если перед скобкой стоит знак «минус», то нужно раскрыть скобки, сохранив знаки слагаемых. 4 ) Чтобы сложить подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. 5 ) На ноль делить можно. 6 ) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Изображение слайда
7
Слайд 7: Решение задач с помощью уравнений
№1173 х 4 х 215 окуньков 5х = 215 х = 215:5 х = 43 (окуня) поймал кот. 2) 43 * 4 = 172 (окуня) поймала Лиса Ответ: 43 окуня и 172 окуня 1) Составим уравнение: 4х + х = 215
Изображение слайда
8
Слайд 8: Алгоритм решения задач:
Разобрать задачу на составные части 2) Неизвестную величину обозначить буквой (которая меньше) 3) Составить уравнение ( математическую модель задачи) 4 ) Решить полученное уравнение 5) Ответить на вопрос задачи
Изображение слайда
9
Слайд 9: Решение задач с помощью уравнений
№1182 Составим уравнение: 4 х + х + х +30 = 174 174 кг 4 х Фрекен Бок Карлсон Малыш х в 4 раза < на 30 кг < x +30
Изображение слайда
10
Слайд 10: Решение задач с помощью уравнений
6 х +30 = 174 6 х = 174 – 30 6 х = 144 х = 144 : 6 х = 24 (кг) весит малыш 2) 24 * 4 = 96 (кг) весит фрекен Бок 24 + 30 = 54 (кг) весит Карлсон Ответ: 24 кг, 96 кг и 54 кг. 4 х + х + х +30 = 174
Изображение слайда
11
Слайд 11: физкультминутка для глаз «звезда»!
Следим за звездой глазами, не отрывая взгляда.
Изображение слайда
12
Слайд 12
Изображение слайда
13
Слайд 13: Решение задач с помощью уравнений
Задача 1 Провод длиной 108 м разрезали на три части, причем первая часть в 3 раза длиннее третьей, а вторая — на 23 м длиннее третьей. Найдите длину каждой части провода. Задача 2 На трех полках стоит 108 книг. Н а первой полке книг в 3 раза меньше, чем на второй, и на 23 книги меньше, чем на третьей. Сколько книг стоит на каждой полке? Задача 3 Одна сторона треугольника на 23 см длиннее второй, а третья в 3 раза больше второй. Найдите все стороны треугольника, если его периметр108 см.
Изображение слайда
14
Слайд 14: все три задачи решаются одинаково
х + 3x + x + 23 = 108 5x +23 = 108 5x = 108 – 23 5x = 85 x = 85:5 x=17 3 * 17 = 51 17 + 23 = 40
Изображение слайда
15
Слайд 15: Домашнее задание
Параграф 42 алгоритм учить № 1183, № 1193 Решить уравнения: а) 0,5 х + 3 = 0,2 х б) 7 х +1 = 8 х + 9 в) 3 — 3 (2 х + 1) = -7x
Изображение слайда
16
Слайд 16
Сегодня на уроке я… Мне понравилось … Я научился … Теперь я могу … Итог урока
Изображение слайда
17
Слайд 17
1. Задумайте число от 1 до100 2. Прибавьте к нему 5 3. Полученную сумму умножьте на 3 4. Из произведения надо вычесть 15 Поиграем! 5. Из полученного числа вычтите задуманное число два раза
Изображение слайда
18
Последний слайд презентации: Решение задач с по- мощью уравнений 6 класс
ПОЛУЧИЛИ задуманное число )
Изображение слайда
Решение проблем | Начальная алгебра
Цели обучения
- Определите процесс решения проблем
- Перевести слова в алгебраические выражения и уравнения
- Определите процесс решения текстовых задач
- Решение задач, содержащих ставки
- Примените шаги для решения задач со словами к задачам расстояния, скорости и времени
- Примените шаги для решения проблем со словами к проблемам с процентной ставкой
- Вычислить формулу с помощью замены
- Переупорядочить формулы для выделения определенных переменных
- Определить неизвестное по формуле
- Решение дополнительных приложений линейных уравнений
- Применить шаги для решения задач со словами к задачам геометрии
- Используйте формулу для преобразования между градусами Фаренгейта и Цельсия
- Вычислить формулу с помощью замены
- Переупорядочить формулы для выделения определенных переменных
- Определить неизвестное по формуле
Определите процесс решения проблем
Проблемы со словом могут быть непростыми.Часто требуется немного практики, чтобы преобразовать английское предложение в математическое, что является одним из первых шагов к решению словесных задач. В таблице ниже разбиты по категориям слова или фразы, обычно связанные с математическими операторами. Задачи со словами часто содержат эти или похожие слова, поэтому полезно узнать, какие математические операторы с ними связаны.
| Дополнение [латекс] + [/ латекс] | Вычитание [латекс] — [/ латекс] | Умножение [латекс] \ раз [/ латекс] | Переменная? | Равно [латекс] = [/ латекс] |
|---|---|---|---|---|
| Более | Менее | двойной | Номер | Is |
| Вместе | В прошлом | Товар | Часто значение, для которого не указывается информация. | То же, что |
| Сумма | медленнее | раз | Через сколько часов? | |
| Всего | остаток от | Сколько это будет стоить? | ||
| В будущем | разница | |||
| быстрее, чем |
Ниже приведены некоторые примеры:
- [латекс] x \ text {is} 5 [/ latex] становится [latex] x = 5 [/ latex]
- Три больше числа становится [латекс] x + 3 [/ латекс]
- Четыре меньше числа становится [латекс] x-4 [/ латекс]
- Двойная стоимость становится [latex] 2 \ cdot \ text {cost} [/ latex]
- Продукты и бензин вместе на неделю стоят 250 долларов, значит [латекс] \ text {groceries} + \ text {gas} = 250 [/ latex]
- Разница в 9 и число становится [латекс] 9-х [/ латекс].Обратите внимание на то, что 9 стоит первым в предложении, а выражение
Давайте попрактикуемся в переводе еще нескольких английских фраз в алгебраические выражения.
Пример
Перевести таблицу в алгебраические выражения:
| какой-то номер | сумма числа и 3 | удвоенная сумма числа и 3 |
| длина | удвоить длину | удвоена длина, уменьшена на 6 |
| а стоимость | разница в стоимости и 20 | 2 раза разница в стоимости и 20 |
| некоторое количество | разница 5 и количество | разница 5 и количество, деленное на 2 |
| количество времени | утроить количество времени | утроенное количество времени, увеличенное на 5 |
| расстояние | сумма [латекс] -4 [/ латекс] и расстояние | сумма [латекс] -4 [/ латекс] и удвоенное расстояние |
| [латекс] a [/ латекс] | [латекс] a + 3 [/ латекс] | [латекс] 2 \ слева (x + 3 \ справа) [/ латекс] |
| [латекс] l [/ латекс] | [латекс] 2л [/ латекс] | [латекс] 2l-6 [/ латекс] |
| [латекс] c [/ латекс] | [латекс] c-20 [/ латекс] | [латекс] 2 \ левый (c-20 \ правый) [/ латекс] |
| [латекс] q [/ латекс] | [латекс] 5-q [/ латекс] | [латекс] \ frac {5-q} {2} [/ латекс] |
| [латекс] т [/ латекс] | [латекс] 3т [/ латекс] | [латекс] 3т + 5 [/ латекс] |
| [латекс] d [/ латекс] | [латекс] -4 + d [/ латекс] | [латекс] -4 + 2d [/ латекс] |
В этом примере видео мы показываем, как перевести больше слов в математические выражения.
Сила алгебры в том, как она может помочь вам смоделировать реальные ситуации, чтобы ответить на вопросы о них.
Вот несколько шагов по переводу проблемных ситуаций в алгебраические уравнения, которые вы можете решить. Не каждая проблема слова идеально подходит для этих шагов, но они помогут вам начать работу.
- Прочтите и разберитесь в проблеме.
- Определите константы и переменные в задаче.
- Переводите слова в алгебраические выражения и уравнения.
- Напишите уравнение для описания проблемы.
- Решите уравнение.
- Проверьте и интерпретируйте свой ответ. Иногда помогает написание предложения.
Пример
Двадцать восемь меньше пятикратного определенного числа равно 232. Какое число?
Показать решениеСледуя инструкциям:
- Прочтите и поймите: ищем номер.
- Константы и переменные: 28 и 232 — это константы, «определенное число» — это наша переменная, потому что мы не знаем его значения, и нас просят его найти.Назовем его x.
- Перевести: пять раз определенное число переводится в [латекс] 5x [/ latex]
Двадцать восемь меньше пяти раз определенного числа переводится в [латекс] 5x-28 [/ latex], потому что вычитание строится в обратном порядке.
is 232 переводится в [latex] = 232 [/ latex], потому что «is» связано с равно. - Напишите уравнение: [латекс] 5x-28 = 232 [/ латекс]
- Решите уравнение, используя свои знания о решении линейных уравнений:
[латекс] \ begin {array} {r} 5x-28 = 232 \\ 5x = 260 \ x = 52 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
- Проверить и интерпретировать: Мы можем заменить 52 на x.
[латекс] \ begin {array} {r} 5 \ left (52 \ right) -28 = 232 \\ 5 \ left (52 \ right) = 260 \ 260 = 260 \ end {array} [/ latex] .
ИСТИНА!
В следующем видео мы показываем еще один пример того, как преобразовать предложение в математическое выражение с помощью метода решения задач.
Другой тип числовых задач связан с последовательными числами. Последовательные числа — это числа, которые идут одно за другим, например, 3, 4, 5. Если мы ищем несколько последовательных чисел, важно сначала определить, как они выглядят с переменными, прежде чем мы создадим уравнение.
Например, предположим, что я хочу узнать следующее целое число после 4. С математической точки зрения, мы должны прибавить 1 к 4, чтобы получить 5. Мы можем обобщить эту идею следующим образом: последовательное целое число любого числа, x , это [латекс] x + 1 [/ латекс]. Если мы продолжим этот шаблон, мы сможем определить любое количество последовательных целых чисел из любой начальной точки. В следующей таблице показано, как описать четыре последовательных целых числа с помощью алгебраической записи.
| Первая | [латекс] х [/ латекс] |
| Второй | [латекс] x + 1 [/ латекс] |
| Третий | [латекс] x + 2 [/ латекс] |
| Четвертый | [латекс] x + 3 [/ латекс] |
Мы применяем идею последовательных целых чисел для решения проблемы слов в следующем примере.
Пример
Сумма трех последовательных целых чисел равна 93. Какие целые числа?
Показать решение Следуя предоставленным шагам:- Прочтите и поймите: Мы ищем три числа и знаем, что они являются последовательными целыми числами.
- Константы и переменные: 93 — постоянная.
Первое целое число, которое мы назовем x .
Секунда: [латекс] x + 1 [/ латекс]
Третья: [латекс] x + 2 [/ латекс] - Перевести: Сумма трех последовательных целых чисел переводится в [латекс] x + \ left (x + 1 \ right) + \ left (x + 2 \ right) [/ latex], в зависимости от того, как мы определили первое, второе , и третьи целые числа.Обратите внимание, как мы заключили в круглые скобки второе и третье целые числа. Это просто для того, чтобы каждое целое число было более различимым. — 93 переводится как [latex] = 93 [/ latex], потому что — это , связано с равно.
- Напишите уравнение: [латекс] x + \ left (x + 1 \ right) + \ left (x + 2 \ right) = 93 [/ latex]
- Решите уравнение, используя то, что вы знаете о решении линейных уравнений: Мы не можем упростить в каждом наборе круглых скобок, и нам не нужно использовать свойство распределения, поэтому мы можем переписать уравнение без скобок.
[латекс] x + x + 1 + x + 2 = 93 [/ латекс]
Объединяйте одинаковые термины, упрощайте и решайте.
[латекс] \ begin {array} {r} x + x + 1 + x + 2 = 93 \\ 3x + 3 = 93 \\\ подчеркивание {-3 \, \, \, \, \, — 3} \\ 3x = 90 \\\ frac {3x} {3} = \ frac {90} {3} \\ x = 30 \ end {array} [/ latex]
- Проверить и интерпретировать: Хорошо, мы нашли значение x . Нас попросили найти значение трех последовательных целых чисел, поэтому нам нужно сделать еще пару шагов. Помните, как мы определили наши переменные: первое целое число, которое мы назовем [latex] x [/ latex], [latex] x = 30 [/ latex]
, второе: [latex] x + 1 [/ latex], так что [latex] 30 + 1 = 31 [/ latex]
Третье: [latex] x + 2 [/ latex] так [latex] 30 + 2 = 32 [/ latex] Три последовательных целых числа, сумма которых равна [latex] 93 [/ latex], равны [латекс] 30 \ text {,} 31 \ text {и} 32 [/ латекс]
В следующем видео мы показываем еще один пример последовательной целочисленной задачи.
Тарифы
Часто к словесной проблеме применима хорошо известная формула или отношение. Например, если вы планируете поездку, вам нужно знать, сколько времени вам потребуется, чтобы добраться до места назначения. [latex] d = rt [/ latex] — это хорошо известная взаимосвязь, которая связывает пройденное расстояние, скорость, с которой вы путешествуете, и продолжительность путешествия.
Расстояние, скорость и время
Если вам известны две величины в соотношении [latex] d = rt [/ latex], вы можете легко найти третью, используя методы решения линейных уравнений.Например, если вы знаете, что будете путешествовать по дороге с ограничением скорости [latex] 30 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] в течение 2 часов, вы можете найти расстояние, которое вы бы преодолели, умножив скорость на время или [латекс] \ left (30 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ right) \ left (2 \ text {hours} \ right) = 60 \ text {miles} [/ latex].
Мы можем обобщить эту идею в зависимости от того, какую информацию нам дают и что мы ищем. Например, если нам нужно найти время, мы можем решить уравнение [latex] d = rt [/ latex] для t , используя деление:
[латекс] d = rt \\\ frac {d} {r} = t [/ латекс]
Аналогичным образом, если мы хотим найти скорость, мы можем выделить r с помощью деления:
[латекс] d = rt \\\ frac {d} {t} = r [/ латекс]
В следующих примерах вы увидите, как эта формула применяется для ответа на вопросы об ультрамарафонском беге.
Энн Трэсон
Ультрамарафонский бег (определяемый как бег длиной более 26,2 миль) становится очень популярным среди женщин, даже несмотря на то, что он остается нишевым видом спорта, в котором доминируют мужчины. Энн Трейсон побила двадцать мировых рекордов за свою карьеру. Одним из таких рекордов стал бег на выносливость на 50 миль по реке Американ, который начинается в Сакраменто, Калифорния, и заканчивается в Оберне, Калифорния. В 1993 году Трэсон закончил забег со временем 6:09:08. Мужской рекорд на той же дистанции был установлен в 1994 году Томом Джонсоном, завершившим курс со временем 5:33:21.
В следующих примерах мы будем использовать формулу [latex] d = rt [/ latex], чтобы ответить на следующие вопросы о двух бегунах.
- Какова была скорость каждого бегуна во время их рекордных пробежек?
- К тому времени, как Джонсон финишировал, сколько еще миль Трейсон должен был пробежать?
- Насколько дальше мог бы бежать Джонсон, если бы он бежал так же долго, как Трейсон?
- Сколько времени было у каждого бегуна, чтобы пробежать одну милю?
Чтобы облегчить ответы на вопросы, мы округлим время двух бегунов до 6 часов 5.5 часов.
Пример
Какова была скорость каждого бегуна за их рекордные пробежки?
Показать решениеПрочтите и поймите: Мы ищем скорость и знаем расстояние и время, поэтому мы можем использовать идею: [latex] d = rt \\\ frac {d} {t} = r [/ latex]
Определить и перевести: Поскольку бегунов два, создание таблицы для упорядочивания этой информации помогает. Обратите внимание на то, как мы храним единицы измерения, чтобы отслеживать, как все термины связаны друг с другом.
| Бегунок | Расстояние = | (Оценка) | (время) |
|---|---|---|---|
| Трасон | 50 миль | r | 6 часов |
| Джонсон | 50 миль | r | 5,5 часов |
Запись и решение:
Оценка Трасона:
[латекс] d = rt \\\ frac {d} {t} = r [/ латекс]
[латекс] \ begin {array} {c} d = rt \\\\ 50 \ text {miles} = \ text {r} \ left (6 \ text {hours} \ right) \\\ frac {50 \ текст {миль}} {6 \ text {часы}} = \ frac {8.33 \ text {miles}} {\ text {hour}} \ end {array} [/ latex].
(округлено до двух знаков после запятой)
Рейтинг Джонсона:
[латекс] d = rt \\\ frac {d} {t} = r [/ латекс]
[латекс] \ begin {array} {c} d = rt \\\\, \, \, \, \, \, \, 50 \ text {miles} = \ text {r} \ left (5.5 \ text {часы} \ right) \\\ frac {50 \ text {miles}} {6 \ text {hours}} = \ frac {9.1 \ text {miles}} {\ text {hour}} \ end {array} [ / латекс]
(округлено до двух десятичных знаков)
Проверка и интерпретация:
Этой информацией мы можем заполнить нашу таблицу.
| Бегунок | Расстояние = | (Оценка) | (время) |
|---|---|---|---|
| Трасон | 50 миль | 8,33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | 6 часов |
| Джонсон | 50 миль | 9,1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | 5,5 часов |
Теперь, когда мы знаем рейтинг каждого бегуна, мы можем ответить на второй вопрос.
Пример
К тому времени, как Джонсон финишировал, сколько еще миль Трейсон должен был пробежать?
Показать решениеВот таблица, которую мы создали для справки:
| Бегунок | Расстояние = | (Оценка) | (время) |
|---|---|---|---|
| Трасон | 50 миль | 8,33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | 6 часов |
| Джонсон | 50 миль | 9.1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | 5,5 часов |
Прочтите и поймите: Мы ищем, сколько миль осталось у Трасона, когда Джонсон финишировал через 5,5 часов. Это расстояние, а мы знаем скорость и время.
Определить и перевести: Мы можем снова использовать формулу [latex] d = rt [/ latex]. На этот раз неизвестным является d , а время, которое пробежал Трэсон, составляет 5,5 часов.
Написать и решить:
[латекс] \ begin {array} {l} d = rt \\\\ d = 8.33 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ left (5.5 \ text {hours} \ right) \\\\ d = 45.82 \ text {miles} \ end {array} [/ latex] .
Проверка и интерпретация:
Мы ответили на вопрос? Нас попросили узнать, сколько миль ей нужно пробежать за 5,5 часов. Мы выяснили, как долго она бегала после 5,5 часов. Нам нужно вычесть [latex] d = 45,82 \ text {miles} [/ latex] из общего расстояния трассы.
[латекс] 50 \ text {miles} -45,82 \ text {miles} = 1,48 \ text {miles} [/ latex]
Третий вопрос аналогичен второму.Теперь, когда мы знаем рейтинг каждого бегуна, мы можем ответить на вопросы об отдельных дистанциях или времени.
Примеры
Как далеко мог бы бежать Джонсон, если бы он бежал так же долго, как Трейсон?
Показать решениеВот таблица, которую мы создали для справки:
| Бегунок | Расстояние = | (Оценка) | (время) |
|---|---|---|---|
| Трасон | 50 миль | 8,33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | 6 часов |
| Джонсон | 50 миль | 9.1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | 5,5 часов |
Прочтите и поймите: Слово далее подразумевает, что мы ищем расстояние.
Определить и перевести: Мы можем снова использовать формулу [latex] d = rt [/ latex]. На этот раз неизвестным является d , время — 6 часов, а коэффициент Джонсона — [latex] 9,1 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex]
Написать и решить:
[латекс] \ begin {array} {l} d = rt \\\\ d = 9.1 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ left (6 \ text {hours} \ right) \\\\ d = 54,6 \ text {miles} \ end {array} [/ latex] .
Проверка и интерпретация:
Мы ответили на вопрос? Нас попросили определить, сколько еще миль пробежал бы Джонсон, если бы он пробежал со своей скоростью [latex] 9,1 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] в течение 6 часов.
Джонсон пробежал бы 54,6 мили, то есть на 4,6 мили больше, чем он пробежал во время гонки.
Теперь мы займемся последним вопросом, где нас просят выделить время для каждого бегуна.
Пример
Сколько времени было у каждого бегуна, чтобы пробежать одну милю?
Показать решениеВот таблица, которую мы создали для справки:
| Бегунок | Расстояние = | (Оценка) | (время) |
|---|---|---|---|
| Трасон | 50 миль | 8,33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | 6 часов |
| Джонсон | 50 миль | 9.1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | 5,5 часов |
Прочтите и поймите: мы ищем время, и на этот раз наше расстояние изменилось с 50 миль на 1 милю, поэтому мы можем использовать
[латекс] d = rt \\\ frac {d} {r} = t [/ латекс]
Define and Translate: мы можем снова использовать формулу [latex] d = rt [/ latex]. На этот раз неизвестно t , расстояние составляет 1 милю, и мы знаем скорость каждого бегуна. Может помочь создание новой таблицы:
| Бегунок | Расстояние = | (Оценка) | (время) |
|---|---|---|---|
| Трасон | 1 миля | 8.33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | т часы |
| Джонсон | 1 миля | 9,1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] | т часы |
Запись и решение:
Трасон:
Нам нужно будет разделить, чтобы изолировать время.
[латекс] \ begin {array} {c} d = rt \\\\ 1 \ text {mile} = 8.33 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ left (t \ text { часов} \ right) \\\\\ frac {1 \ text {mile}} {\ frac {8.33 \ text {miles}} {\ text {hour}}} = t \ text {hours} \\\\ 0,12 \ text {hours} = t \ end {array} [/ latex].
0,12 часа — это примерно 7,2 минуты, поэтому время пробега Трейсона на одну милю составило примерно 7,2 минуты. ВАУ! Она делала это за 6 часов!
Джонсон:
Нам нужно будет разделить, чтобы изолировать время.
[латекс] \ begin {array} {c} d = rt \\\\ 1 \ text {mile} = 9.1 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ left (t \ text { часов} \ right) \\\\\ frac {1 \ text {mile}} {\ frac {9.1 \ text {miles}} {\ text {hour}}} = t \ text {hours} \\\\ 0 .11 \ text {часы} = t \ end {array} [/ latex].
0,11 часа — это около 6,6 минут, поэтому время Джонсона на пробег одной мили составляло около 6,6 минут. ВАУ! Он делал это за 5,5 часов!
Проверка и интерпретация:
Мы ответили на вопрос? Нас попросили определить, сколько времени требуется каждому бегуну, чтобы пробежать одну милю с учетом скорости, с которой они пробежали всю дистанцию в 50 миль. Да, мы ответили на наш вопрос.
Время на милю Трасона было [латекс] 7,2 \ frac {\ text {minutes}} {\ text {mile}} [/ latex], а время мили Джонсона было [латекс] 6.6 \ frac {\ text {minutes}} {\ text {mile}} [/ latex]
В следующем видео мы показываем еще один пример ответа на многие вопросы по оценке с учетом расстояния и времени.
Простые проценты
Чтобы побудить клиентов инвестировать свои деньги, многие банки открывают процентные счета. Счета работают следующим образом: клиент вносит определенную сумму денег (называемую принципалом или P ), которая затем медленно растет в зависимости от процентной ставки ( R , измеряемой в процентах) и продолжительности времени ( T , обычно измеряется в месяцах), что деньги остаются на счете.Сумма, заработанная с течением времени, называется процентами ( I ), которые затем выплачиваются покупателю.
Остерегаться! Процентные ставки обычно указываются в виде годовых, но также могут быть ежемесячными, ежеквартальными, двухмесячными или даже на определенный период времени. Важно, чтобы единицы времени и единицы процентной ставки совпадали. Вы поймете, почему это важно, в следующем примере.Самый простой способ рассчитать проценты, полученные по счету, — использовать формулу [latex] \ displaystyle I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T [/ latex].
Если мы знаем любую из трех величин, связанных с этим уравнением, мы можем найти четвертую. Например, если мы хотим найти время, необходимое для начисления определенной суммы процентов, мы можем решить для T с помощью деления:
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T \\\\ \ frac {I} {{P} \, \ cdot \, R} = \ frac {P \ cdot \, R \, \ cdot \, T} {\, P \, \ cdot \, R} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {T} = \ frac {I} {\, R \, \ cdot \ , T} \ end {array} [/ latex]
Ниже приведена таблица, показывающая результат решения для каждой отдельной переменной в формуле.
| Решить для | Результат |
|---|---|
| I | [латекс] I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T [/ латекс] |
| п. | [латекс] {P} = \ frac {I} {{R} \, \ cdot \, T} [/ латекс] |
| R | [латекс] {R} = \ frac {I} {{P} \, \ cdot \, T} [/ латекс] |
| т | [латекс] {T} = \ frac {I} {{P} \, \ cdot \, R} [/ латекс] |
В следующих примерах мы покажем, как подставить заданные значения в формулу простого процента и расшифровать, какую переменную нужно найти.
Пример
Если клиент вносит основную сумму в размере 2000 долларов по ставке 0,7% в месяц, какова общая сумма, которая у него будет через 24 месяца?
Показать решениеЗаменить значения, указанные для основного долга, ставки и времени.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T \\ I = 2000 \ cdot 0,7 \% \ cdot 24 \ end {array} [ / латекс]
Записываем 0,7% в виде десятичной дроби 0,007, затем умножаем.
[латекс] \ begin {array} {l} I = 2000 \ cdot 0.007 \ cdot 24 \\ I = 336 \ end {array} [/ latex]
Добавьте проценты и первоначальную сумму основного долга, чтобы получить общую сумму на ее счету.
[латекс] \ displaystyle 2000 + 336 = 2336 [/ латекс]
Через 24 месяца у нее осталось 2336 долларов.
В следующем видео показан еще один пример определения остатка на счете по прошествии заданного времени, основной суммы инвестиций и ставки.
В следующем примере вы увидите, почему важно, чтобы единицы процентной ставки соответствовали единицам времени при использовании простой формулы процента.
Пример
Алекс инвестирует 600 долларов под 3,25% ежемесячно сроком на 3 года. Какую сумму процентов заработал Алекс?
Показать решениеПрочтите и поймите: В вопросе запрашивается сумма, чтобы мы могли подставить то, что нам дано, в формулу простого процента [латекс] I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T [/ latex ]
Define and Translate: мы знаем P, R и T, поэтому можем использовать замену. R = 0,0325, P = 600 долларов, T = 3 года. Надо быть осторожными! R в месяцах, а T в годах.Нам нужно заменить T на месяцы, потому что мы не можем изменить ставку — она устанавливается банком.
[латекс] {T} = 3 \ text {лет} \ cdot12 \ frac {\ text {месяцев}} {год} = 36 \ text {месяцев} [/ latex]
Написать и решить:
Подставить указанные значения в формулу.
[латекс] \ begin {array} {l} I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T \\\\ I = 600 \, \ cdot \, 0,035 \, \ cdot \, 36 \\\\ {I} = 756 \ end {array} [/ latex]
Проверка и интерпретация:
Нас спросили, какую сумму заработал Алекс, которая является суммой, предусмотренной формулой.В предыдущем примере нас спросили об общей сумме на счете, которая включает основную сумму и полученные проценты.
Алекс заработал 756 долларов.
В следующем видео мы показываем еще один пример того, как найти сумму процентов, заработанных после того, как инвестиции были отложены на заданные ежемесячные проценты.
Пример
По прошествии 10 лет остаток на счете Джоди составил 1080 долларов в виде процентов. Ставка по счету 0,09% в месяц.Какую первоначальную сумму она вложила на счет?
Показать решениеПрочтите и поймите: В вопросе запрашивается исходная сумма инвестиций, основная сумма. Нам дается период времени в годах, процентная ставка в месяцах и сумма полученных процентов.
Определить и перевести: мы знаем, что I = 1080 долларов США, R = 0,009 и T = 10 лет, поэтому мы можем использовать [latex] {P} = \ frac {I} {{R} \, \ cdot \, T} [/ латекс]
Нам также необходимо убедиться, что единицы по процентной ставке и продолжительности времени совпадают, а они нет.Нам снова нужно перевести время на месяцы.
[латекс] {T} = 10 \ text {лет} \ cdot12 \ frac {\ text {месяцев}} {год} = 120 \ text {месяцев} [/ latex]
Написать и решить:
Подставить полученные значения в формулу
[латекс] \ begin {array} {l} {P} = \ frac {I} {{R} \, \ cdot \, T} \\\\ {P} = \ frac {1080} {{0,009} \, \ cdot \, 120} \\\\ {P} = \ frac {1080} {1.08} = 1000 \ end {array} [/ latex]
Проверка и интерпретация:
Нас попросили найти основную сумму с учетом суммы процентов, полученных по счету.Если подставить P = 1000 $ в формулу [latex] I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T [/ latex], мы получим
[латекс] I = 1000 \, \ cdot \, 0,009 \, \ cdot \, 120 \\ I = 1080 [/ латекс]
Наше решение прошло проверку. Джоди вложила 1000 долларов.
В последнем видео показан еще один пример определения основной суммы инвестирования на основе простых процентов.
В следующем разделе мы применим наш метод решения проблем к задачам, связанным с размерами геометрических фигур.
Другие приложения линейных уравнений
Формулы используются в самых разных сферах жизни.Мы видели формулу, связывающую расстояние, скорость и время, а также формулу простого процента на инвестиции. В этом разделе мы рассмотрим формулы и примеры формул для измерения геометрических фигур, а также формулы для преобразования температуры из Фаренгейта в Цельсия.
Геометрия
Есть много геометрических фигур, которые были хорошо изучены на протяжении многих лет. Мы довольно много знаем о кругах, прямоугольниках и треугольниках. Математики доказали множество формул, описывающих размеры геометрических фигур, включая площадь, периметр, площадь поверхности и объем.
Периметр
Периметр — это расстояние вокруг объекта. Например, рассмотрим прямоугольник длиной 8 и шириной 3. В прямоугольнике две длины и две ширины (противоположные стороны), поэтому мы добавляем [латекс] 8 + 8 + 3 + 3 = 22 [/ latex ]. Поскольку у прямоугольника две длины и две ширины, вы можете найти периметр прямоугольника, используя формулу [латекс] {P} = 2 \ left ({L} \ right) +2 \ left ({W} \ right ) [/ latex] где
L = длина
W = ширина
В следующем примере мы воспользуемся разработанным нами методом решения проблем, чтобы найти неизвестную ширину, используя формулу для периметра прямоугольника.Подставляя известные нам размеры в формулу, мы сможем выделить неизвестную ширину и найти решение.
Пример
Вы хотите сделать еще один садовый ящик того же размера, что и тот, который у вас уже есть. Вы записываете размеры коробки и идете в магазин пиломатериалов, чтобы купить доски. Добравшись до места, вы понимаете, что записали не ширину, а только периметр и длину. Вам нужны точные размеры, чтобы в магазине можно было резать пиломатериалы за вас.
Вот что вы записали:
Периметр = 16,4 фута
Длина = 4,7 фута
Можете ли вы найти размеры, необходимые для резки досок, в магазине пиломатериалов? Если да, то сколько досок вам нужно и какой длины они должны быть?
Показать решениеПрочтите и поймите: Мы знаем, что периметр = 16,4 фута, а длина = 4,7 фута, и мы хотим найти ширину.
Определить и перевести:
Определите известные и неизвестные размеры:
w = ширина
р = 16.4
л = 4,7
Написать и решить:
Сначала подставим известные нам размеры в формулу для периметра:
[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, P = 2 {W} +2 {L} \\\\ 16,4 = 2 \ left (w \ right) +2 \ слева (4,7 \ справа) \ end {array} [/ latex]
Затем мы выделим и , чтобы найти неизвестную ширину.
[латекс] \ begin {array} {l} 16,4 = 2 \ left (w \ right) +2 \ left (4,7 \ right) \\ 16,4 = 2 {w} +9,4 \\\ подчеркивание {-9,4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 9.4} \\\, \, \, \, \, \, \, 7 = 2 \ left (w \ right) \\\, \, \, \, \, \, \, \ frac {7} {2} = \ frac {2 \ left (w \ right)} {2} \\\, \, \ , \, 3.5 = w \ end {array} [/ latex]
Запишите ширину в виде десятичной дроби, чтобы было проще разрезать доски, и замените единицы измерения, иначе вы не получите доски нужного размера!
Проверка и интерпретация:
Если мы заменим найденную ширину [latex] w = 3.5 \ text {feet} [/ latex] в формулу для периметра с размерами, которые мы записали, мы можем проверить нашу работу:
[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, {P} = 2 \ left ({L} \ right) +2 \ left ({W} \ right) \\\ \ {16.4} = 2 \ left ({4.7} \ right) +2 \ left ({3.5} \ right) \\\\ {16.4} = 9.4 + 7 \\\\ {16.4} = 16.4 \ end {array} [/ latex]
Наш расчет ширины подтвержден. Нам нужно попросить 2 доски, обрезанные до 3,5 футов, и 2 доски, обрезанные до 4,7 футов, чтобы мы могли сделать новый садовый ящик.
На этом видео показана аналогичная проблема садового ящика.
Мы могли бы выделить w в формуле для периметра, прежде чем решать уравнение, и если бы мы собирались использовать формулу много раз, это могло бы сэкономить много времени.В следующем примере показано, как изолировать переменную в формуле перед заменой известных измерений или значений в формулу.
Пример
Выделите член, содержащий переменную, w, , из формулы для периметра прямоугольника :
[латекс] {P} = 2 \ left ({L} \ right) +2 \ left ({W} \ right) [/ latex].
Показать решениеСначала выделите член с w , вычтя 2 l из обеих частей уравнения.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, p \, = \, \, \, \, 2l + 2w \ \\ подчеркивание {\, \, \, \, \, — 2l \, \, \, \, \, — 2l \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\ p-2l = \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2w \ end {array} [/ latex]
Затем удалите коэффициент w , разделив обе части уравнения на 2.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \ underline {p-2l} = \ underline {2w} \\\, \, \, \, \, \, 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \\ \, \, \, \ frac {p-2l} {2} \, \, = \, \, w \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, w = \ frac {p-2l} {2} \ end {array} [/ latex]
Вы можете переписать уравнение так, чтобы изолированная переменная находилась слева.
[латекс] w = \ frac {p-2l} {2} [/ латекс]
Площадь
Площадь треугольника определяется выражением [latex] A = \ frac {1} {2} bh [/ latex], где
A = площадь
b = длина основания
h = высота треугольника
Помните, что когда две переменные или число и переменная находятся рядом друг с другом без математического оператора между ними, вы можете предположить, что они умножаются.Это может показаться разочаровывающим, но вы можете думать об этом как о математическом сленге. За прошедшие годы люди, которые часто используют математику, просто сделали этот короткий путь достаточно, чтобы он был принят как условность.
В следующем примере мы воспользуемся формулой площади треугольника, чтобы найти недостающий размер, а также воспользуемся подстановкой для определения основания треугольника с учетом площади и высоты.
Пример
Найдите основание ( b) треугольника площадью ( A ) 20 квадратных футов и высотой ( h) 8 футов.
Показать решениеИспользуйте формулу площади треугольника [latex] {A} = \ frac {{1}} {{2}} {bh} [/ latex] .
Подставьте указанные длины в формулу и решите относительно b.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, A = \ frac {1} {2} bh \\\\ 20 = \ frac {1} {2} b \ cdot 8 \\\ \ 20 = \ frac {8} {2} b \\\\ 20 = 4b \\\\\ frac {20} {4} = \ frac {4b} {4} \\\\ \, \, \, 5 = b \ end {array} [/ latex]
Ответ
Основание треугольника составляет 5 футов.
Мы можем переписать формулу в виде b или h , как мы делали с периметром ранее.Это, вероятно, кажется абстрактным, но может помочь вам развить навыки решения уравнений, а также поможет вам более комфортно работать со всеми видами переменных, а не только с x .
Пример
Используйте свойства равенства умножения и деления, чтобы изолировать переменную b .
Показать решение[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, A = \ frac {1} {2} bh \\\\\ left (2 \ right) A = \ left (2 \ right) \ frac {1} {2} bh \\\\\, \, \, \, \, \, 2A = bh \\\\\, \, \, \, \ , \, \, \ frac {2A} {h} = \ frac {bh} {h} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \ frac {2A} {h} = \ frac {b \ cancel {h}} {\ cancel {h}} \ end {array} [/ latex]
Условно запишите уравнение с нужной переменной в левой части:
[латекс] b = \ frac {2A} {h} [/ латекс]
Используйте свойства равенства умножения и деления, чтобы изолировать переменную h .
Показать решение[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, A = \ frac {1} {2} bh \\\\\ left (2 \ right) A = \ left (2 \ right) \ frac {1} {2} bh \\\\\, \, \, \, \, \, 2A = bh \\\\\, \, \, \, \ , \, \, \ frac {2A} {b} = \ frac {bh} {b} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \ frac {2A} {b} = \ frac {h \ cancel {b}} {\ cancel {b}} \ end {array} [/ latex]
Условно запишите уравнение с нужной переменной в левой части:
[латекс] h = \ frac {2A} {b} [/ латекс]
В следующем видео показан еще один пример нахождения основания треугольника с заданной площадью и высотой.{\ circ} {C} [/ latex] в формулу преобразования:
[латекс] 12 = \ left (F-32 \ right) \ cdot \ frac {5} {9} [/ latex]
Изолируйте переменную F, чтобы получить эквивалентную температуру.
[латекс] \ begin {array} {r} 12 = \ left (F-32 \ right) \ cdot \ frac {5} {9} \\\\\ left (\ frac {9} {5} \ right ) 12 = F-32 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\\ влево (\ frac {108} {5} \ right) 12 = F-32 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\ 21.6 = F-32 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\ подчеркивание {+32 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, + 32} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\ 53.{\ circ} {F} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ end {array} [/ latex]
Как и в случае с другими формулами, с которыми мы работали, мы могли бы сначала выделить переменную F, а затем подставить ее в заданную температуру в градусах Цельсия.
Пример
Решите приведенную ниже формулу для преобразования шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия для F.
[латекс] C = \ left (F-32 \ right) \ cdot \ frac {5} {9} [/ latex]
Показать решениеЧтобы выделить переменную F, лучше сначала очистить фракцию, содержащую F.Умножьте обе части уравнения на [latex] \ displaystyle \ frac {9} {5} [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {l} \\\, \, \, \, \ left (\ frac {9} {5} \ right) C = \ left (F-32 \ right) \ left ( \ frac {5} {9} \ right) \ left (\ frac {9} {5} \ right) \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \ frac {9} {5} C = F-32 \ end {array} [/ latex]
Добавьте 32 к обеим сторонам. {2} [/ latex] через высоту, h .{2}} {2 \ pi r} [/ латекс]
В последнем видео мы показываем, как преобразовать градусы Цельсия в градусы Фаренгейта.
Примените стратегию решения проблем к основным проблемам Word
Результаты обучения
- Практикуйте внимательность в отношении словесных проблем
- Применяйте общую стратегию решения задач для решения текстовых задач
Подходите к проблемам со словами с позитивным отношением
В мире полно проблем со словами.Сколько денег мне нужно, чтобы заправить машину бензином? Сколько я должен давать чаевые официанту в ресторане? Сколько носков нужно взять с собой в отпуск? Какого размера мне нужно купить индейку на ужин в честь Дня Благодарения и во сколько нужно поставить ее в духовку? Если мы с сестрой купим маме подарок, сколько каждый из нас заплатит?
Теперь, когда мы можем решать уравнения, мы готовы применить наши новые навыки к текстовым задачам. Вы знаете кого-нибудь, у кого в прошлом был негативный опыт проблем со словами? Были ли у вас мысли, как у студента из мультфильма ниже?
Негативные мысли о проблемах со словами могут быть препятствием на пути к успеху.
Когда мы чувствуем, что у нас нет контроля, и продолжаем повторять негативные мысли, мы создаем препятствия на пути к успеху. Нам нужно успокоить свои страхи и изменить свои негативные чувства.
Начните с чистого листа и начните думать позитивно, как ученик из мультфильма ниже. Прочтите положительные мысли и произнесите их вслух.
Когда дело доходит до словесных задач, позитивное отношение — большой шаг к успеху.
Если мы возьмем на себя управление и поверим, что сможем добиться успеха, мы сможем справиться со словесными проблемами.
Подумайте о том, что вы можете сделать сейчас, но не могли сделать три года назад. Будь то вождение автомобиля, катание на сноуборде, приготовление изысканной еды или разговор на новом языке, вы смогли изучить и овладеть новым навыком. Проблемы со словами ничем не отличаются. Даже если в прошлом вы боролись с проблемами со словами, вы приобрели много новых математических навыков, которые помогут вам добиться успеха сейчас!
Используйте стратегию решения проблем с Word
В предыдущих главах вы переводили словосочетания в алгебраические выражения, используя базовый математический словарь и символы.С тех пор вы расширили свой математический словарный запас, изучив больше алгебраических процедур, и у вас появилось больше практики в переводе слов в алгебру.
Вы также перевели словесные предложения в алгебраические уравнения и решили несколько словесных задач. С помощью словесных задач математика применялась к повседневным ситуациям. Вам нужно было переформулировать ситуацию в одном предложении, присвоить переменную, а затем написать уравнение для решения. Этот метод работает, если ситуация вам знакома и математика не слишком сложна.
Теперь мы разработаем стратегию, с помощью которой вы сможете решить любую словесную задачу. Эта стратегия поможет вам добиться успеха в решении текстовых задач. Продемонстрируем стратегию при решении следующей задачи.
Пример
Пит купил рубашку на распродаже за 18 долларов [латекс], что составляет половину первоначальной цены. Какова была первоначальная цена рубашки?
Решение:
Шаг 1. Прочтите о проблеме. Убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Возможно, вам придется прочитать задачу два или более раз.Если есть слова, которых вы не понимаете, поищите их в словаре или в Интернете.
- В этой проблеме вы понимаете, о чем идет речь? Вы понимаете каждое слово?
Шаг 2. Определите , что вы ищете. Трудно найти что-то, если не знаешь, что это такое! Прочтите задачу еще раз и поищите слова, которые говорят вам, что вы ищете!
- В этой задаче слова «какова была первоначальная цена рубашки» говорят вам, что вы ищете: первоначальную цену рубашки.
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную, чтобы представить это количество. Вы можете использовать любую букву для переменной, но может быть полезно выбрать ту, которая поможет вам запомнить, что она представляет.
- Пусть [latex] p = [/ latex] первоначальная цена рубашки
Шаг 4. Преобразуйте в уравнение. Может быть полезно сначала сформулировать проблему одним предложением со всей важной информацией. Затем переведите предложение в уравнение.
Шаг 5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры. Даже если вы знаете ответ сразу, использование алгебры лучше подготовит вас к решению задач, на которые нет очевидных ответов.
| Напишите уравнение. | [латекс] 18 = \ frac {1} {2} p [/ латекс] |
| Умножить обе стороны на 2. | [латекс] \ color {красный} {2} \ cdot18 = \ color {красный} {2} \ cdot \ frac {1} {2} p [/ латекс] |
| Упростить. | [латекс] 36 = п [/ латекс] |
Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
- Мы обнаружили, что [латекс] p = 36 [/ latex], , что означает, что исходная цена была [латекс] \ text {\ $ 36} [/ latex]. Имеет ли смысл [латекс] \ text {\ $ 36} [/ latex] в задаче? Да, потому что [латекс] 18 [/ латекс] составляет половину от [латекс] 36 [/ латекс], , а рубашка была продана за половину первоначальной цены.
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.
- Задача спросила: «Какова была первоначальная цена рубашки?» Ответ на вопрос: «Первоначальная цена рубашки составляла [латекс] \ text {\ 36 $} [/ латекс]».
Если бы это было домашнее задание, наша работа могла бы выглядеть так:
Мы перечисляем шаги, которые мы предприняли для решения предыдущего примера.
Стратегия решения проблем
- Прочтите слово «проблема». Убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи.Возможно, вам придется прочитать задачу два или более раз. Если есть слова, которых вы не понимаете, поищите их в словаре или в Интернете.
- Определите то, что вы ищете.
- Имя то, что вы ищете. Выберите переменную, чтобы представить это количество.
- Переведите в уравнение. Может быть полезно сначала сформулировать проблему в одном предложении перед переводом.
- Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
- Отметьте ответ в задаче. Убедитесь, что это имеет смысл.
- Ответьте на вопрос полным предложением.
Чтобы узнать, как перевести алгебраические утверждения в слова, посмотрите следующее видео.
Давайте воспользуемся этим подходом на другом примере.
Пример
Яш принес на пикник яблоки и бананы. Количество яблок было на три больше, чем в два раза больше бананов.Яш принес на пикник [latex] 11 [/ latex] яблок. Сколько бананов он принес?
Показать решениеРешение:
| Шаг 1. Прочтите о проблеме. | |
| Шаг 2. Определите , что вы ищете. | Сколько бананов он принес? |
| Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную для представления количества бананов. | Пусть [латекс] b = \ text {количество бананов} [/ латекс] |
| Шаг 4. Перевести. Переформулируйте проблему одним предложением, указав всю важную информацию. Переведите в уравнение. | [латекс] 11 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Количество яблок [latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] было .[латекс] 3 \ enpace \ Rightarrow [/ латекс] три [латекс] + \ enspace \ Rightarrow [/ latex] более [латекс] 2b \ enspace \ Rightarrow [/ latex] в два раза больше бананов |
| Шаг 5. Решите уравнение. | [латекс] 11 = 2b + 3 [/ латекс] |
| Вычтите по 3 с каждой стороны. | [латекс] 11 \ color {red} {- 3} = 2b + 3 \ color {red} {- 3} [/ latex] |
| Упростить. | [латекс] 8 = 2b [/ латекс] |
| Разделим каждую сторону на 2. | [латекс] \ frac {8} {\ color {red} {2}} = \ frac {2b} {\ color {red} {2}} [/ latex] |
| Упростить. | [латекс] 4 = b [/ латекс] |
| Шаг 6. Проверка: Во-первых, разумен ли наш ответ? Да, разумно принести на пикник четыре банана.Проблема гласит, что количество яблок на три больше, чем бананов, более чем в два раза. Если есть четыре банана, получается одиннадцать яблок? Дважды 4 банана — 8. Три больше, чем 8 — 11. | |
| Шаг 7. Ответьте на вопрос. | Яш принес на пикник 4 банана. |
В следующем примере мы применим нашу стратегию решения проблем к процентным приложениям.
пример
Страховой взносNga увеличился на [latex] \ text {\ 60} [/ latex], что составляло [latex] \ text {8%} [/ latex] от первоначальной стоимости.Какова была первоначальная стоимость страхового взноса?
Показать решениеРешение:
| Шаг 1. Прочтите о проблеме. Помните: если есть слова, которых вы не понимаете, ищите их. | |
| Шаг 2. Определите , что вы ищете. | первоначальная стоимость премиум |
| Шаг 3. Имя. Выберите переменную, чтобы представить первоначальную стоимость страхового взноса. | Пусть [латекс] c = \ text {стоимость оригинала} [/ латекс] |
| Шаг 4. Перевести. Перефразируйте одним предложением. Переведите в уравнение. | |
| Шаг 5. Решите уравнение. | [латекс] 60 = 0,08c [/ латекс] |
| Разделите обе стороны на [латекс] 0,08 [/ латекс]. | [латекс] \ frac {60} {\ color {red} {0,08}} = \ frac {0,08c} {\ color {red} {0,08}} [/ latex] |
| Упростить. | [латекс] c = 750 [/ латекс] |
| Шаг 6. Проверить: Разумен ли наш ответ? Да, страховая премия [latex] \ text {\ $ 750} [/ latex] является разумной.Теперь давайте проверим нашу алгебру. 8% от 750 равняется [латексу] 60 [/ латексу]? [латекс] 750 = c [/ латекс] [латекс] 0,08 (750) = 60 [/ латекс] [латекс] 60 = 60 \ квадратик \ галочка [/ латекс] | |
| Шаг 7. Ответьте на вопрос. | Первоначальная стоимость премии Nga была [latex] \ text {\ 750} [/ latex]. |
Метод исключения для решения линейных систем (Алгебра 1, Системы линейных уравнений и неравенств) — Mathplanet
Другой способ решения линейной системы — использовать метод исключения.В методе исключения вы либо складываете, либо вычитаете уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной.
Когда коэффициенты одной переменной противоположны, вы добавляете уравнения, чтобы исключить переменную, а когда коэффициенты одной переменной равны, вы вычитаете уравнения, чтобы исключить переменную.
Пример
$$ \ begin {matrix} 3y + 2x = 6 \\ 5y-2x = 10 \ end {matrix} $$
Мы можем исключить переменную x, добавив два уравнения.
$$ 3 года + 2x = 6 $$
$$ \ underline {+ \: 5y-2x = 10} $$
$$ = 8лет \: \: \: \: \; \; \; \; = 16 $$
$$ \ begin {matrix} \: \: \: y \: \: \: \: \: \; \; \; \; \; = 2 \ end {matrix} $$
Теперь значение y можно подставить в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение x
$$ 3 года + 2x = 6 $$
$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + 2x = 6 $$
$$ 6 + 2x = 6 $$
$$ x = 0 $$
Решение линейной системы: (0, 2).
Чтобы избежать ошибок, перед началом исключения убедитесь, что все одинаковые термины и знаки равенства находятся в одних и тех же столбцах.
Если у вас нет уравнений, в которых вы можете исключить переменную путем сложения или вычитания, вы можете напрямую начать с умножения одного или обоих уравнений на константу, чтобы получить эквивалентную линейную систему, в которой вы можете исключить одну из переменных путем сложения. или вычитание.
Пример
$$ \ begin {matrix} 3x + y = 9 \\ 5x + 4y = 22 \ end {matrix} $$
Начните с умножения первого уравнения на -4 так, чтобы коэффициенты y были противоположными
$$ \ color {зеленый} {-4 \} \ cdot \ left (3x + y \ right) = 9 \ cdot {\ color {green} {-4} $$
$$ 5x + 4y = 22 $$
$$ — 12x-4y = -36 $$
$$ \ underline {+ 5x + 4y = 22} $$
$$ = — 7x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = -14 $$
$$ \ begin {matrix} \: \: \; \: \: x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 2 \ end {matrix} $$
Подставьте x в любое из исходных уравнений, чтобы получить значение y
$$ 3x + y = 9 $$
$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + y = 9 $$
$$ 6 + y = 9 $$
$$ y = 3 $$
Решение линейной системы: (2, 3)
Видеоурок
Решите линейную систему, используя метод исключения
$$ \ left \ {\ begin {matrix} 2y — 4x = 2 \\ y = -x + 4 \ end {matrix} \ right $$
5 шагов к решению проблем
Если фраза «проблема со словом» вызывает дрожь у вас по спине, вы не одиноки.У многих людей возникают проблемы с так называемыми словесными проблемами в математике. Но, хотите верьте, хотите нет, эти проблемы обычно не труднее решить, чем проблемы без слов — они просто выглядят очень, очень по-другому. И для их решения требуется немного иное мышление.
Сегодня я расскажу вам о моем простом методе из пяти шагов, который поможет вам решить все ваши математические задачи, включая эти надоедливые задачи со словами. В частности, мы собираемся поговорить о том, как преобразовать словесную проблему в алгебраическое уравнение, а затем решить его..
Математическая драма «Реальный мир»
Сегодняшняя проблема со словом начинается с рассказа о кошках и собаках. Это выглядит примерно так…
Как и все собаки, ваша собака любит игрушки. И тебе нравится дарить их ему. С другой стороны, ваша кошка не любит вашу собаку и поэтому находит забавным прятать свои игрушки. Будучи довольно умным, вы подозреваете, что в этом виноват кот, и начинаете следить за его любимым укрытием: грудой полотенец рядом с его кроватью.
Но (возможно, будучи слишком умным для вашего же блага) вместо того, чтобы постоянно проверять это место, вы решаете, что хотите установить гениальную систему, которая автоматически сообщала бы вам, сколько игрушек пропало.
Вопрос: как это сделать?
Шаг № 1. Остановитесь и подумайте, прежде чем что-либо делать
Самая большая ошибка, которую делают люди, решая проблемы, — это попытки решить их слишком рано.
Самое важное, что нужно сделать, столкнувшись с такой проблемой, — это прекратить работу над ней.Честно говоря, это звучит парадоксально, но самая большая ошибка, которую совершают люди, решая проблемы, — это попытки решить их слишком рано. Вместо этого остановитесь и подумайте о том, что вам нужно сделать. Убедитесь, что вы точно понимаете, о чем идет речь, и убедитесь, что вы точно понимаете, что пытаетесь решить.
В нашей задаче мы должны спросить себя: можем ли мы действительно построить что-то, что будет различать количество спрятанных игрушек для собак? Конечно, все, что нам нужно сделать, это поставить груду кошачьих полотенец на умные весы, которые отправляют свой вес на ваш компьютер.Когда весы обнаруживают увеличение веса, они могут сообщить вашему компьютеру, что была спрятана другая игрушка. Затем ваш компьютер может использовать какое-то еще неизвестное уравнение, чтобы точно определить, сколько игрушек спрятано. Когда это число превышает определенный предел, ваш компьютер может включить сигнал будильника, чтобы вы знали, что пора начинать поиск.
Теперь, когда у нас есть план, настало время для большого перевода с английского языка на уравнение.
Шаг № 2: Перевод с английского языка на уравнение
Второй шаг в решении проблем со словами — это преобразование слов в одно или несколько математических выражений или уравнений.В нашем случае нам нужно выяснить, как написать уравнение, которое берет текущий вес на весах и возвращает нам количество спрятанных на нем игрушек для собак. Как мы можем сделать это?
Итак, возьмем общий вес на весах, который мы назовем W_total, и вычтем вес только полотенец, который мы назовем W_towels. Разница между этими двумя весами должна быть равна совокупному весу всех игрушек для собак, W_toys:
Но на самом деле мы не хотим знать вес игрушек, мы хотим знать их количество.Как мы можем сделать это? Что ж, если мы знаем общий вес всех игрушек, W_toys, и разделим его на вес одной игрушки, W_toy (при условии, что все они одинакового веса), мы получим общее количество игрушек, Ntoys:
Но как мы узнали значения W_towels и W_toy? Мы, должно быть, были достаточно умны, чтобы измерить их и записать, прежде чем положить полотенца на весы. Или, если мы этого не сделали, лучше сделаем это сейчас!
Шаг № 3. Решайте все, что вас интересует
Третий шаг в решении нашей задачи со словами — или любой другой задачи со словами — это найти переменную, которая вас интересует.Этот шаг часто включает в себя выполнение процедуры, описанной в эпизоде «Как решить уравнение». Наша цель — найти общее количество игрушек для собак по шкале N_toys. Комбинируя два уравнения, которые мы придумали при переводе с английского на английский, мы получаем именно такое уравнение:
N_toys = (W_total — W_towels) / W_toy
Теперь мы можем превратить это абстрактное решение (абстрактное в том смысле, что оно написано в терминах набора переменных) в численное решение, просто подставив числовые значения для всех переменных справа от знака равенства.Я должен сказать, что вставка значений не всегда необходима. Например, у нас фактически нет числовых значений, которые можно было бы использовать в нашей задаче. Это имеет смысл, поскольку наше уравнение предназначалось только для того, чтобы использовать его для того, чтобы сообщить нашему компьютеру, как преобразовать общий вес в общее количество игрушек для собак — на самом деле мы не искали конкретного ответа на конкретную проблему.
Шаг № 4: Убедитесь, что вы понимаете результат
Притормозите и подумайте о своем результате.
Четвертый шаг в процессе решения проблемы тесно связан с первым.Название игры здесь — замедлиться и подумать о своем результате. Спросите себя, имеет ли это смысл. Если вы вставили числа и получили отрицательное число, спросите себя, ожидали ли вы получить отрицательное число. Если у вас огромное количество, спросите себя, ожидали ли вы этого.
Суть в следующем: не объявляйте, что вы закончили, просто потому, что получили ответ. Единственная причина, по которой вы должны заявить, что все готово, — это то, что вы понимаете полученный ответ.
Шаг № 5: Используйте свой результат для решения других проблем
Пятый и последний шаг в процессе решения проблемы — использовать полученный результат для решения других проблем.Почему я включил это как шаг? Потому что здесь мы говорим о решении реальных проблем, а не только о задачах из учебников. В реальном мире многие проблемы, которые вы решаете, заставят вас задуматься о чем-то связанном, что вам тоже нужно решить. Хорошая новость заключается в том, что это обычно проще, потому что у вас уже есть решение, на котором можно опираться.
И это все шаги, которые вы должны пройти при решении реальных математических задач. Конечно, когда вы станете хорошо, вы на самом деле не будете думать о каждом шаге — они просто произойдут.Но пока вы учитесь, лучше всего обдумать вещи и продумать каждый шаг.
Удачи вам во всех ваших будущих усилиях по решению проблем!
Заключение
Хорошо, это все математические вычисления, на которые у нас сегодня есть время.
Обязательно ознакомьтесь с моей книгой The Math Dude’s Quick and Dirty Guide to Algebra . И не забудьте стать поклонником Math Dude на Facebook, где вы найдете множество отличных математических материалов, публикуемых в течение недели.Если вы в Твиттере, подпишитесь и на меня.
До следующего раза, это Джейсон Маршалл с Быстрые и грязные советы Math Dude, чтобы упростить математику . Спасибо за чтение, любители математики!
Изображение решения проблем с Shutterstock.
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня Цели обучения
Введение
Учебник
Практические задачи
Нужна дополнительная помощь по этим темам? |
Написание систем линейных уравнений из задач со словами
Некоторый текстовые задачи требовать использования системы линейных уравнений . Вот подсказки, которые помогут понять, когда проблема со словом требует написания системы линейных уравнений:
(i) Есть две разные величины: например, количество взрослых и количество детей, количество больших ящиков и количество маленьких ящиков и т. д.
(ii) С каждым количеством связано определенное значение: например, цена билета для взрослого или детского билета или количество предметов в большой коробке, а не в маленькой.
Такие задачи часто требуют, чтобы вы написали два разных линейных уравнения с двумя переменными. Обычно одно уравнение связывает количество количеств (людей или ящиков), а другое уравнение связывает значения (цена билетов или количество предметов в ящиках).
Вот несколько шагов, которые нужно выполнить:
1. Разберитесь в проблеме.
Разберитесь со всеми словами, которые используются при описании проблемы.
Поймите, что вас просят найти.
Ознакомьтесь с проблемной ситуацией.
2. Переведите задачу в уравнение.
Назначьте переменную (или переменные) для представления неизвестного.
Четко укажите, что представляет собой переменная.
3. Выполните план и решите проблему.
Использовать подмена , устранение или построение графиков способ решения проблемы.
Пример:
Стоимость входного билета на концерт популярной музыки составляла $ 162 для 12 дети и 3 взрослые люди. Прием был $ 122 для 8 дети и 3 взрослые в другом музыкальном концерте.Сколько было входных билетов для каждого ребенка и взрослого?
1 . Разберитесь в проблеме:
Стоимость входа на 12 дети и 3 взрослые были $ 162 .
Стоимость входа на 8 дети и 3 взрослые были $ 122 .
2 . Переведите проблему в уравнение.
Позволять Икс представляют стоимость приема для каждого ребенка.
Позволять у представляют стоимость входного билета для каждого взрослого.
Стоимость входа на 12 дети плюс 3 взрослые равны $ 162 .
Это, 12 Икс + 3 у знак равно 162 .
Стоимость входного билета для 8 детей и 3 взрослых составляет 122 доллара.
Это, 8 Икс + 3 у знак равно 122 .
3 . Выполните план и решите проблему.
Вычтите второе уравнение из первого.
12 Икс + 3 у знак равно 162 8 Икс + 3 у знак равно 122 _ 4 Икс знак равно 40 Икс знак равно 10
Заменять 10 для Икс в 8 Икс + 3 у знак равно 122 .
8 ( 10 ) + 3 у знак равно 122 80 + 3 у знак равно 122 3 у знак равно 42 у знак равно 14
Следовательно, стоимость приема для каждого ребенка составляет $ 10 и каждый взрослый $ 14 .
Как составить алгебраические уравнения для сопоставления задач со словами
Вы здесь: Главная → Статьи → Как составить уравнение для задачи со словамиСтуденты часто сталкиваются с проблемами при составлении уравнения для задачи со словом в алгебре. Для этого им нужно увидеть ВЗАИМОСВЯЗЬ между различными величинами в задаче. В этой статье объясняются некоторые из этих отношений.
Меня спросили,
Мне нужен простой и полезный способ научить писать уравнения.Пример: У Хелен стрижка на 2 дюйма каждый раз, когда она идет в парикмахерскую. Если h равняется длине волос до того, как она их подстригла, а c равняется длине волос после ее стрижки, какое уравнение вы использовали бы, чтобы найти длина волос Хелен после посещения парикмахерской?
a) h = 2 — c c) c = h — 2
b) c = 2- h d) h = c — 2Есть ли единый метод обучения студентов написанию алгебраических уравнений? Мне нужна помощь.
Первое, что я делаю, пытаясь понять, как научить чему-то, — это анализировать собственное мышление. Как я думаю при решении этого проблема? Какие шаги и мелкие детали? Именно эти детали и шаги, которые я могу сделать автоматически, мне нужно объяснить студентам. помочь им.
Просмотр количеств и их взаимосвязи вместо чисел
В этой задаче, казалось бы, много информации, но на самом деле это о распознавании величин и простой связи между им .Это, конечно, та же задача, что и перевод ситуации, объясненной словами, в математическое выражение с использованием символов.
Дети проявляют трудность в этом задании, когда они читают простую задачу со словами, а затем спрашивают: «Я пойду в этот раз, или я делю?», Просто угадывая операцию, которую нужно выполнить, с разными числами, указанными в задаче.
Студенты должны видеть количество и ОТНОШЕНИЯ между ними. Им нужно выйти из числа 5, 2, 10, 789 или любых других чисел в задаче и увидеть общие задействованные количества и их связь друг с другом.В очень простых задачах со словами эти отношения обычно включают только одну из четырех основных операций. Тогда в алгебре между ними может быть больше величин и больше операций.
Примеры проблем со сложением слов
Пример. У Дженни 7 шариков, а у Кенни 5. Сколько у них вместе?Ключевое слово вместе с говорит нам, что ДОБАВЛЕНИЕ, вероятно, является необходимой операцией. Количество здесь составляет шариков Дженни , шариков Кенни и всего шариков .Отношения между тремя —
Шарики Дженни + Шарики Кенни = Всего шариков
Из этой общей связи между величинами легко написать уравнение для задачи, которая ее решает:
Родство: Мрамор Дженни + Мраморы Кенни = Всего мрамора Уравнение: 7 + 5 = _____ Я написал ____ вместо общих шариков, поскольку именно это и требует проблема (неизвестное).
Все это может показаться упрощенным, но важно помочь детям увидеть основную взаимосвязь между величинами. Рассмотрим теперь эту проблему:
Пример: У Дженни и Кенни вместе 37 шариков, а у Кенни 15. Сколько у Дженни?Многие учителя могут попытаться объяснить это как задачу вычитания, , но на самом фундаментальном уровне это примерно сложение! Это все еще говорит о двух людях, имеющих определенное количество шариков вместе .Связь между количествами такая же, как указано выше, поэтому нам все равно нужно написать уравнение сложения.
Родство: Шарики Дженни + Мраморы Кенни = Всего мрамора Уравнение: _____ + 15 = 37
Тогда мы можем решить уравнение ____ + 15 = 37 следующим образом: вычитание.Использование такого подхода в начальных классах поможет детям составлять уравнения в задачах по алгебре позже.
Пример : Дженни, Кенни и Пенни вместе имеют 51 шарик. У Кенни вдвое больше шариков, чем у Дженни, а у Пенни 12. Сколько у Дженни?Связь между величинами такая же, поэтому она решается таким же образом: путем написания уравнения сложения. Однако нам нужно чем-то обозначить количество шариков Дженни и Кенни.Шарики Дженни неизвестны, поэтому мы можем обозначить это с помощью переменной n . Тогда у Кенни 2 из шариков.
Родство: Шарики Дженни + Мраморы Кенни + Мрамор Пенни = Всего мрамора Уравнение: n + 2 n + 12 = 51
Пример: Джейн находится на 79 странице своей книги.В книге 254 страницы. Сколько страниц ей еще нужно прочитать?На этот раз слово « по-прежнему » указывает на аддитивную связь, при которой отсутствует одно из слагаемых. Сначала вы можете написать пустую строку для того, что неизвестно, а затем заменить это переменной.
страницы уже прочитаны + страницы еще предстоит прочитать = всего страниц + =
Это уравнение, конечно, затем решается вычитанием, но будет лучше, если вы рассмотрите его как ситуацию сложения и напишите для него уравнение сложения.
Пример: Количество оставшихся в сутках часов составляло одну треть от количества уже прошедших часов. Сколько часов осталось в дне?
(из 5 класса задач со словами для детей)Можете ли вы понять общий принцип этой проблемы? В нем говорится о часах дня, когда несколько часов уже прошло, а несколько часов осталось. Это, конечно, еще раз указывает на сложение: у нас есть одна часть дня, другая часть и итог.
Единственное известное нам количество — это общее количество часов в день.Мы не знаем ни прошедших, ни оставшихся часов, поэтому изначально , вы можете использовать две пустые строки в уравнении, которое показывает основную взаимосвязь между величинами:
часов уже прошло + часов осталось = всего часов = Затем информация в первом предложении дает нам другое соотношение:
«Количество часов, оставшихся в течение дня, составляло одну треть от количества часов, которые уже прошли.»
Мы не знаем ни количество прошедших, ни оставшихся часов. Итак, давайте использовать переменную p для прошедших часов. Затем мы можем написать выражение, включающее p для оставшихся часов, потому что «оставшиеся часы составляют одну треть прошедших часов», или
часов осталось = 1/3 p
Тогда запись 1/3 p для «оставшихся часов» в первом уравнении даст нам:
часов уже прошло + часов осталось = всего часов п + 1/3 п. = 24
Это можно решить, используя основную алгебру или угадывая и проверяя.
Задачи на вычитание слов
Одна ситуация, которая указывает на вычитание, — это разница или сколько / намного больше . Однако наличие слова «больше» может указывать на сложение или вычитание, так что будьте осторожны.
Пример: Тед прочитал сегодня 17 страниц, а Фред — 28. Сколько еще страниц прочитал Фред?Решение, конечно, 28 — 17 = 11, но недостаточно просто объявить это — дети также должны понимать, что разница в является результатом вычитания и сообщает ответ на , сколько еще .
Отношение: страницы Фред прочитал – страницы Тед прочитал = разница Уравнение: 28
– 17
= __
Пример: У Грега на 17 шариков больше, чем у Джека. У Джека есть 15.Сколько у Грега?
Здесь слово подробнее имеет другое значение. Этот проблема не в разнице. Вопрос спрашивает, сколько Грег есть — не какая разница , разница в количествах шариков. Он просто заявляет, что у Грега на 17 больше, чем у Джека, поэтому здесь слово больше просто указывает на сложение: у Грега столько же, сколько у Джека И еще 17, так что у Грега 15 + 17 шариков.
Пример: Масса Великой пирамиды на 557 тонн больше, чем масса Пизанской башни.Stone Henge имеет массу 2695 тонн, что на 95 тонн меньше, чем Пизанская башня. Когда-то была Большая пирамида, масса которой вдвое превышала массу Великой пирамиды. Какова была масса Великой пирамиды?
(из 5 класса задач со словами для детей)Каждое из первых трех предложений содержит информацию, которую можно преобразовать в уравнение. Вопрос не в том, сколько еще так что дело не в разнице. Одно то, что больше , другое подразумевает, что вы добавляете.Одно дело, что меньше , другое подразумевает вычитание. И если дважды что-то означает умножение на 2.
Когда я прочитал эту задачу, я сразу понял, что могу писать уравнения из разных предложений в задаче, но я не мог сразу увидеть ответ. Я подумал, что, написав уравнения, я увижу какой-нибудь путь вперед; вероятно, одно уравнение решено и дает ответ на другое уравнение.
Первое предложение гласит: «Масса Великой пирамиды на 557 тонн больше массы Пизанской башни».Какие здесь количества и соотношение между ними?
Масса Великой пирамиды = Масса Пизанской башни + 557т Во втором предложении говорится: «Стоунхендж имеет массу 2695 тонн, что на 95 тонн меньше, чем Пизанская башня». Здесь вы получите взаимосвязь, аналогичную приведенной выше, и . фактически объясняет массу Стоунхенджа. Это как две отдельные части из информации: «Стоунхендж весит на 95т меньше башни. Стоунхендж весит 2695 т. «Меньше — значит вычесть. проблемы с принятием решения, что из чего вычесть, вы можете думать в уме что тяжелее: Стоунхендж или башня?
либо Масса Стоунхенджа = Масса башни — 95т или Масса башни = Масса Стоунхенджа — 95т
Теперь, когда масса Стоунхенджа дана, вы можете решить это уравнение и, зная, что может решить первое уравнение, а затем перейти к массе « Великой пирамиды ».
Если учитель сразу переходит к числовым предложениям при решении слов задачи, то ученики не увидят шаг, который происходит в уме до того, как что. Количества и отношения между ними должны быть указаны ясный и записанный, прежде чем возиться с фактическими числами. Находка эти отношения должны быть самой важной частью словесных проблем. Можно даже опустить фактические вычисления и сосредоточиться только на поиске количества и отношения.
Проблема длины волос Елены
Проблема. У Хелен 2 дюйма стрижки волос каждый раз, когда она идет в парикмахерскую. Если h равняется длине волос до того, как она их остригла, а c равнялась длине волос после того, как она их остригла, какое уравнение вы бы использовали, чтобы найти
длина волос Хелен после посещения парикмахерской?
а. ч = 2- с с. c = h -2
b. c = 2 — h d. ч = в -2
Решение. Игнорируя пока буквы c и h , какие количества? Какой принцип или связь существует между их? Какая из перечисленных ниже возможностей верна? Что вы от чего забираете?
| 1. | стрижка | – | Длина волос до стрижки | = | длина волос после стрижки |
| 2. | стрижка | – | длина волос после стрижки | = | длина волос до стрижки |
| 3. | Длина волос до стрижки | – | стрижка | = | длина волос после стрижки |
| 4. | длина волос после стрижки | – | стрижка | = | длина волос до стрижки |
ПРОСТО, не правда ли ?? В исходной задаче уравнения имеют вид с помощью h и c вместо длинных фраз «длина волос перед стрижка »и« длина волос после стрижки ».Ты можешь замените c , h и 2 в приведенные выше соотношения, а затем сопоставьте уравнения (1) — (4) с уравнениями от (a) до (d).
Помощь студентам в написании алгебраических уравнений
Одна идея, которая пришла в голову, состоит в том, чтобы просмотреть приведенные выше и другие примеры на основе типичных задач со словами в учебниках по математике, а затем перевернуть все это и попросить учащихся выполнить такие упражнения, как:
- Напишите 3 разных задачи-рассказа, решение которых основано на взаимосвязи
заработанных денег — деньги, потраченные на это — деньги, потраченные на это = деньги, оставшиеся
- Напишите 3 разные задачи-рассказы, решение которых основано на отношениях.
первоначальная цена — процент скидки x первоначальная цена = цена со скидкой
- Напишите 3 разные задачи-рассказы, решение которых основано на взаимосвязях.
денег, заработанных каждый месяц — расходы / налоги каждый месяц = деньги, которые будут использоваться каждый месяц И
деньги, которые будут использоваться каждый месяц × количество месяцев = деньги, которые будут использоваться в течение периода времени
- Напишите 3 разные задачи-рассказы, решение которых основано на отношениях
скорость × время = расстояние AND
расстояние от A до B + расстояние от B до C = расстояние от A до C
См. Также:
Почему математические словесные задачи ТАК трудны для детей начальной школы?
Подсказка: это связано с «рецептом», которому следуют многие уроки математики.
Что можно и чего нельзя делать при обучении решению задач по математике
Общие советы о том, как научить решать задачи по математике в начальной, средней и старшей школе.
Как я учу словесным задачам Андре Тоом (PDF)
Эта статья написана русским, иммигрировавшим в США и заметившим, как у студентов COLLEGE LEVEL возникают трудности даже с простейшими текстовыми задачами! Он описывает свои идеи о том, как заполнить пробел, образовавшийся, когда ученики не научились решать словесные задачи в более раннем образовании.
Список веб-сайтов, посвященных проблемам со словами и решению проблем.
Используйте эти сайты, чтобы найти хорошие словесные задачи, которые нужно решить. Большинство из них бесплатны!
Комментарии
При решении задач со словами ученики должны сначала решить, какое количество представляет x, а затем записать все остальные количества через x. Я учу студентов устанавливать стрелки в соответствии с языком задачи.