Выражения с модулями как решать: Решение уравнений с модулями

Как решить уравнение с модулем (одним, двумя): примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Решение уравнений с модулем

В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляют уравнения с модулем (в т.ч. с двумя), а также продемонстрируем, как их можно решить на практических примерах.

Примечание: что такое модуль числа, мы рассмотрели в отдельной публикации.

Внешний вид уравнений

Уравнения с модулем могут выглядеть примерно следующим образом:

• |x| = 6
  (модуль икс равняется 6)
• |x – 11| = 3
  (модуль икс минус 11 равно 3)
• |x + 4| = 9
  (модуль икс плюс 4 равняется 9)

Т.е. в модуле указана неизвестная переменная (просто x или выражение, включающее x).

Решение уравнений

Давайте разберем решение каждого из перечисленных выше примеров.

|x| = 6

Это означает, что на числовой оси есть две точки, расстояние от которых до нуля равняется шести. Т.е. это точки -6 и 6, следовательно, у данного уравнения два корня: x₁ = -6 и x₂ = 6.

|x – 11| = 3

В данном случае на числовой оси расстояние от точки x до точки 11 равняется 3. Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ = 11 – 3 = 8, x₂ = 11 + 3 = 14.

|x + 4| = 9

Это уравнение можно переписать следующим образом: |x – (-4)| = 9.

Теперь мы можем его интерпретировать так: на координатной оси точка x находится на расстоянии 9 от точки -4. Значит, x₁ = -4 – 9 = -13, x₂ = -4 + 9 = 5.

Примечание:

Иногда могут встречаться уравнения с двумя модулями, например: |x| = |y|.

В данном случае, также существуют два корня: x₁ = -y и x₂ = y.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Простейшие уравнения с модулем.

Тест

Определение. Геометрический смысл

 

Модуль (или абсолютная величина)   числа   (обозначается как )— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа  

А именно:

Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.

Например, так как , попадаем в первую строку (ситуацию).

так как попадаем во вторую ситуацию.

С геометрической точки зрения,  – есть расстояние между числом   и началом координат.

Решением уравнения, например,  являются числа и , потому что расстояние от точки координатной прямой до нуля равно , и расстояние от точки   до нуля также равно 6.

|| с геометрической точки зрения означает расстояние между точками и .

 

Полезные примеры

 

1) Раскрыть модуль:

Так как больше, чем , то , а значит согласно правилу раскрытия модуля.

2) Раскрыть модуль:

Так как больше нуля при всех значениях , то согласно правилу раскрытия модуля.

3) Раскрыть модуль:

Так как , то , а значит, согласно правилу раскрытия модуля.

Решение уравнений

 

1) Решить уравнение .

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: { }

2) Решить уравнение: .

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда  .

Ответ:

3) Решить уравнение:

Согласно геометрическому смыслу модуля левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

Ответ:

4)  Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а)

Имеем: ,     

Откуда .

Поскольку мы находимся в ситуации , то подходит только корень .

б)

Имеем: ,    

Откуда или .

Поскольку мы находимся в ситуации , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Ответ: .

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

a) Первый случай:

Что равносильно .

б) Второй случай:

Что равносильно

Ответ:

6) Решить уравнение:

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля может «скрываться» как так и .

Поэтому или

или

Из первого уравнения или , а второе уравнение корней не имеет.

Ответ:

 

7) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) Первый случай:

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

Рассмотрим уравнение из системы:

или

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

Откуда (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет  в ответ.

б) Второй случай:

Решение неравенства системы:

Корень удовлетворяет решению неравенства системы.

Собираем решения.

Ответ:

 

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Вы можете пройти тест  по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»

Решение рациональных уравнений: Введение | Purplemath

Harder ProbsGraphs

Purplemath

Хотя сложение и вычитание рациональных выражений может быть мучением, решение рациональных уравнений, как правило, проще, даже если в эти уравнения добавляются рациональные выражения. (Обратите внимание, я не говорю, что решение рациональных уравнений «просто»; я только говорю, что это просто или .) Это потому, что, как только вы переходите от рационального выражения (т. «равно» в нем) к рациональному уравнению (то есть чему-то со знаком «равно» в середине), вы получаете совершенно другой набор инструментов для работы. В частности, когда у вас есть этот знак «равно» в середине, у вас есть две стороны, что означает, что вы можете умножать обе эти части уравнения, и это позволяет вам избавиться от знаменателей.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Решение рациональных уравнений

Это уравнение настолько простое, что я могу решить его, просто взглянув на него! Как?

У меня две дроби. Эти дроби имеют одинаковый знаменатель. Эти дроби будут равны тогда, когда у них совпадают и числители, и только тогда. Так что я могу приравнять числители и получить свой ответ. Поскольку числители такие простые, я немедленно прихожу к своему ответу:

x = 2

---

( x − 3)/7 = (4 x + 12)/7

В этом уравнении дроби стоят по обе стороны от знака «равно». Обе дроби имеют одинаковый знаменатель. Две дроби будут равны, когда их числители равны, поэтому я могу «приравнять» числители (то есть я могу установить их равными) и решить полученное уравнение:

x — 3 = 4 x + 12

−3 − 12 = 4 х − х

-15 = 3 x

-5 = x

---

В этом уравнении есть две равные друг другу дроби (которые можно рассматривать как пропорцию). Есть три способа решить эту проблему. Я покажу каждый, а вы можете выбрать тот, который вам больше нравится.

Метод 1: Приведение к общему знаменателю:

Я могу привести к общему знаменателю 15:

Теперь, когда у меня есть «(одна дробь) равна (другой дроби)», я могу приравнять числители:

x − 1 = 6

x = 7

Метод 2: Умножение на общий знаменатель:

Наименьший общий знаменатель равен 15. требовалось , если бы я складывал или вычитал эти рациональные дроби), я могу вместо этого умножить (то есть умножить обе части уравнения) на 15. Это дает мне:

x — 1 = 2(3)

x − 1 = 6

x = 7

Метод 3: перекрестное умножение:

Термин «перекрестное умножение» не является техническим, и некоторые преподаватели его просто ненавидят. Но это термин, который вы услышите, и он обозначает технику, которая может быть удобной.

Поскольку это уравнение, я могу умножать его на что угодно. В частности, чтобы избавиться от знаменателей, я могу умножить на эти знаменатели. В этом случае я бы умножил 15 из знаменателя левой части на 2 из числителя правой части; и я бы умножил 5 из знаменателя правой части на x  — 1 в числителе левой части. Другими словами, я бы сделал так:

Этот процесс «скрещивания» знака «равно» с каждым знаменателем и умножения каждого на противоположный числитель и есть то, что подразумевается под «перекрестным умножением». Это сокращение от «умножения на общие знаменатели, когда есть только две дроби, равные самим себе, а затем упрощение того, что осталось», и может быть хорошим сокращением.

Перекрестное умножение дает мне следующее новое (и линейное) уравнение:

5 ( x — 1) = 15 (2)

5 x — 5 = 30

5 x = 35

x = 7

С. мой ответ:

x = 7

---

Примечание: перекрестное умножение (то есть метод 3 выше) работает только , если уравнение имеет ровно одну дробь по одну сторону от знака «равно», установить равным ровно на одну дробь по другую сторону от «равно». Если в какой-либо части уравнения добавлены (или вычтены) дроби, мы должен использовать метод 1 или метод 2.

---

В этом уравнении в левой части вычитаются дроби, поэтому я не могу выполнять перекрестное умножение. Кроме того, в знаменателе появился новый ряд переменных. Это означает, что мне нужно будет отслеживать значения x , которые вызовут деление на ноль. Эти значения не могут быть частью моего окончательного ответа. В этом случае знаменатели говорят мне, что мой ответ будет иметь следующее ограничение:

x ≠ −2, 0

Метод 1. Чтобы решить это уравнение, я могу привести все к общему знаменателю 5 x ( x  + 2), а затем сравнить числители:

На данный момент знаменатели совпадают. Так они действительно имеют значение? Не совсем — кроме того, чтобы сказать, какие значения x не могут быть из-за проблем с делением на ноль. В этот момент две части уравнения будут равны, пока равны числители. То есть все, что мне действительно нужно сделать сейчас, это решить числители:

15 x — (5 x + 10) = x + 2

10 x — 10 = x + 2

x = 12

x =. ¹² / ₉ = ⁴ / ₃

это решение верно.

х = ⁴ / ₃

Метод 2: Другой метод заключается в нахождении общего знаменателя, но вместо того, чтобы приводить все к этому знаменателю, я воспользуюсь тем фактом, что здесь у меня есть уравнение. То есть я умножу с обеих сторон на этот общий знаменатель. Это позволит избавиться от знаменателей. Я использовал цвета ниже, чтобы выделить части, которые компенсируются:

В любом случае, мой ответ тот же:

x = 4/3

---

Я считаю второй способ более быстрым и простым, но это только мои личные предпочтения. По моему опыту в классе, учащиеся, как правило, примерно поровну делятся в своих предпочтениях по методам 1 и 2. Вы должны использовать метод, который лучше всего подходит для вас.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm

Page 2Page 3

Практические модули Академии Хана — Веб-сайт Mr.

0230 ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ

АЛГЕБРА 1

Гл. 1 — Инструменты алгебры

• Вычисление выражений с одной переменной
• Вычисление выражений с двумя переменными
• Комбинирование одинаковых членов с отрицательными коэффициентами
• Комбинирование одинаковых членов с распределением и отрицательными числами
• Комбинирование одинаковых выражений с распределением и объединение одинаковых выражений с распределением
• Запись выражений с переменными
• Написание выражений с переменными и круглыми скобками
• Написание основных алгебраических выражений текстовых задач
• Вычисление выражений с переменными текстовыми задачами

Гл. 2 — Решение уравнений

• Интуиция в одношаговых уравнениях
• Одношаговые уравнения со сложением и вычитанием
• Одношаговые уравнения с умножением и делением
  
• Написание одношаговых уравнений со словесными задачами
  
• Двухшаговые уравнения
• Уравнения с переменными с обеих сторон
• Понимание процесса решения линейных уравнений
• Линейные уравнения с одним, нулем или бесконечным числом решений
• Решение уравнений с переменной
• Проблемы с соотношениями слов
• Написание пропорций
• Решение пропорций
• Решение пропорций 2
• Возрастные словесные задачи
• Решение уравнений с одним рациональным выражением (основное)
• Многошаговые уравнения с распределением
• Выражения с неизвестными переменными
• Выражения с неизвестными переменными 2
• Суммы последовательных целых чисел

Гл. 3 — Solving Inequalities

• Inequalities on a number line
• One-step inequalities
• Multi-step linear inequalities
• Compound inequalities
• Absolute value equations
  

Гл. 4 — Графики и функции

• Отображение точек
• Отображение точек и обозначение квадрантов
  
• Точки на координатной плоскости
• Различие между прямой и обратной вариацией
2138 5 5 5 5 — Линейные функции и их графики
• Упорядоченные парные решения линейных уравнений
• Интерпретация линейных зависимостей
• Фрагменты линейного уравнения
• Определение наклона линии
• Интуитивное определение наклона
• Графическое построение линейных уравнений
• Решение для y-отрезка  
• Преобразование между наклоном-отрезком и стандартной формой
• Форма точка-наклон
• Проверка3 линейных уравнений с двумя переменными
• Уравнения параллельных и перпендикулярных прямых

Гл. 6 — Системы уравнений и неравенств

• Решать системы уравнений графически
• Решение систем уравнений с исключением (базовое)
• Решение систем уравнений с исключением (расширенное)
• Решение систем уравнений с подстановкой
• Решение любой системы двух линейных уравнений
• Наборы решений систем неравенств с ограничениями
• Графовые системы неравенств и проверочные решения

Гл. 7 — Показатели степени

• Целочисленные показатели степени с целочисленным основанием 2
• Положительные и отрицательные экспоненты
• Использование правил экспоненты для оценки выражений
• Интуиция научной записи
• Научная запись
• Умножение и деление научной записи

Гл. 8 — Многочлены и факторинг

• Сложение и вычитание многочленов с одной переменной
• Умножение двучленов на двучлены
• Поиск специальных произведений двучленов (базовый)
• Умножение биномов на многочлены
• Разложение на множители алгебраических выражений с использованием дистрибутивного свойства
• Разложение на множители квадратичных чисел со старшим коэффициентом 1
• Разложение на множители простых специальных продуктов
• Факторные разности квадратов
• Факторные полиномы со специальными формами произведения

Гл. 9 — Квадратные уравнения и неравенства

• Квадратные корни
• Аппроксимация квадратных корней
• Сдвиг и масштабирование парабол
• Графики квадратичных функций в стандартной форме
• коэффициент равен 1)
• Решение факторизуемых квадратных уравнений (старший коэффициент, отличный от 1)
• Решайте квадратные уравнения, дополняя квадрат (старший коэффициент равен 1)
• Решайте квадратные уравнения, дополняя квадрат (старший коэффициент отличен от 1)
• Графически изображайте квадратные уравнения в вершинной форме
• Графически изображайте квадратные уравнения во всех формах
• Решайте квадратные уравнения с использованием квадратной формулы
• Решения квадратных уравнений

Гл. 10 — Подкоренные выражения и уравнения

• Упрощение числовых радикалов
• Сложение, вычитание, умножение и деление числовых радикалов
• Упрощение числовых радикальных выражений с несколькими членами
  

Гл.

No related posts.