Взять интеграл онлайн с решением: Интегралы. Пошаговый калькулятор

Онлайн калькулятор: Численное интегрирование

Численные методы вычисления значения определенного интеграла применяются в том случае, когда первообразная подинтегральной функции не выражается через аналитические функции, и поэтому невозможно вычислить значение по формуле Ньютона-Лейбница. Для получения значения определенного интеграла таких функций можно воспользоваться численным интегрированием.

Численное интегрирование сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, осью х и вертикальными прямыми ограничивающими отрезок слева и справа. Подинтегральная функция заменяется на более простую, обеспечивающую заданную точность, вычисление интеграла для которой не составляет труда.

Калькулятор ниже вычисляет значение одномерного определенного интеграла численно на заданном отрезке, используя формулы Ньютона-Котеса, частными случаями которых являются:

1. Метод прямоугольников
2. Метод трапеций
3. Метод парабол (Симпсона)

Интеграл численным методом по формулам Ньютона-Котеса

Квадратурная функцияОбновление. ..

Функция

Начальная граница

Конечная граница

Число частичных интервалов

Точность вычисления

Знаков после запятой: 6

Формула

 

Значение определенного интеграла

 

Квадратурная функция

 

Погрешность метода

 

Интервал

 

Геометрический вид интеграла

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Источник формулы

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Численное интегрирование с использованием функций Ньютона Котеса

При использовании функций Ньютона-Котеса отрезок интегрирования разбивается на несколько равных отрезков точками x₁,x₂,x₃..x_n.
Подинтегральную функцию заменяют интерполяционным многочленом Лагранжа различной степени, интегрируя который, получают формулу численного интегрирования различного порядка точности.

В итоге, приближенное значение определенного интеграла вычисляется, как сумма значений подинтегральной функции в узлах, помноженных на некоторые константы W_i (веса):

• R_n — остаток или погрешность.
• n — общее количество точек.
• Сумма в формуле — квадратурное правило (метод).

В справочнике Квадратурные функции Ньютона-Котеса, мы собрали наиболее часто встречающиеся квадратурные правила, для интегрирования по равным отрезкам. Зарегистрированные пользователи могут добавлять в этот справочник новые правила.

Границы отрезка интегрирования

В зависимости от того, входят ли граничные точки отрезка в расчет, выделяют замкнутые и открытые квадратурные правила.

Открытые правила, (правила, в которых граничные точки не включаются в расчет) удобно использовать в том случае, если подинтегральная функция не определена в некоторых точках.
Например, используя метод прямоугольников мы сможем вычислим приблизительное значение интеграла функции ln(x) на отрезке (0,1), несмотря на то, что ln(0) не существует.

Замкнутые правила, напротив, используют значения функции в граничных точках для вычислений интеграла, ровно так же как и в остальных узлах.

Можно придумать правила, которые открыты только с одной стороны. Простейшим случаем таких правил являются правила левых и правых прямоугольников.

Погрешность вычисления

В целом с увеличением количества узлов в правиле (при повышении степени интерполирующего полинома) возрастает точность вычисления интеграла. Однако для некоторых функций это может и не быть справедливо.
Впервые анализ этой особенности опубликовал Карл Рунге, немецкий математик, занимавшийся исследованием численных методов.
Он заметил, интерполирующий полином с равномерным разбиением отрезка для функции перестает сходиться в диапазоне значений 0.726.. ≤ |x| <1 при увеличении степени полинома.
В выражении для вычисления погрешности участвует интервал h, факториал от количества разбиений, которые при увеличении степени полинома уменьшают значение погрешности, но для некоторых функций значения производной, также участвующие в выражении погрешности, растут быстрее с увеличением ее порядка.

Кроме этого, при увеличении степени интерполирующего полинома Лагранжа, возникают веса, имеющие отрицательные значения. Данный факт негативно сказывается на вычислительной погрешности. Калькулятор выдает графическое представление промежуточных результатов вычисления квадратурной функции. Для положительных коэффициентов W_i это выглядит ровно так же, как принято отображать сумму Римана. При наличии отрицательных значений коэффициентов W_i на графике появляются значения интегральной суммы с противоположным знаком, суммарная ширина положительных и отрицательных интегральных сумм становится больше, чем длина интегрируемого отрезка. Этот эффект можно наблюдать в следующем примере: Замкнутое правила Ньютона-Котеса с 11-ю узлами

Принимая во внимание эти особенности, правила с полиномами степеней >10 применять не рекомендуется.

Для увеличения точности численного интегрирования, можно разбить отрезок на несколько частей — частичных интервалов, и для каждой части отдельно вычислить приближенное значение интеграла. Сумма значений интеграла по всем частичным интервалам даст нам значение интеграла на всем отрезке. Кроме того можно комбинировать различные правила друг с другом в любой последовательности.

Для исследования работы с заданной функцией новых, основанных на формулах Ньютона-Котеса правил, можно воспользоваться базовым калькулятором, в котором веса задаются в явном виде:

Численное интегрирование с заданными весами Ньютона-Котеса

Функция

Веса формулы Ньютона-Котеса

Перечислите веса через запятую, в самом начале укажите общий множитель. Можно указывать коэффициенты в виде простой дроби, например, так: 3/4. Пример весов для метода Симпсона: 1/3,1,4,1.

Начальная граница

Конечная граница

Число частичных интервалов

Границы интервалаЗамкнутыОткрытыОткрыты справаОткрыты слева

Точность вычисления

Знаков после запятой: 6

Значение определенного интеграла

 

Формула

 

Квадратурная функция

 

Геометрический вид интеграла

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Веса задаются через запятую, допускаются как целые, так и действительные числа с точкой, для отделения дробной части. Можно задать вес в виде простой дроби, например, вот так: 1/90.
Первый коэффициент в списке весов — это общий множитель, его тоже можно задать в виде простой дроби или задать = 1, если общего множителя нет.

Например, веса: 3/8,1,3,3,1 определяют Метод Симпсона 3/8

Правила Ньютона-Котеса несовершенны, для реальных приложений следует использовать более эффективные методы, например метод Гаусса-Кронрода, о котором мы напишем в следующих статьях.

---

Литература:

1. Н.С.Бахвалов Численные методы, 2012
2. У.Г.Пирумов Численные методы, 2006
3. Д.Каханер, К.Моулер, С.Нэш Численные методы и программное обеспечение, 1989
4. Р.В. Хемминг Численные методы для научных работников и инженеров, 1972
5. M.
   Abramovitz и I. Stegun Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical Tables, 1973

 Интеграл интегрирование квадратура Котес Котс Лагранж матан Матанализ Математика математический анализ метод парабол метод прямогульников метод прямоугольников метод симпсона метод трапеций ньютон Ньютон-Котес определенный интеграл Функции Ньютона-Котеса Численные методы Численный метод

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

При вычислении производной, наличие формул для производной суммы, разности, произведения, частного и композиции — всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора — приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией. При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной произведения, частного и композиции нет. Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно «взять интеграл», то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральной функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока что не придумано способа это сделать, а в принципиальной невозможности: никакая из первообразных в случае «неберущегося» интеграла никаким образом не может быть выражена как комбинация элементарных функций, связанных знаками арифметических действий и знаками композиции. Не следует думать, что если такое представление невозможно, то и функции такой нет¹: можно считать, что для её выражения просто не хватает запаса рассматриваемых операций или запаса рассматриваемых исходных функций, и их надо расширить, то есть выйти за рамки множества функций, называемых элементарными². В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж «сложной» структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются (по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимися. Итак, интеграл не берётся, если функция не является элементарной. Приведём примеры неберущихся интегралов и названия первообразных — специальных функций, связанных с этими интегралами.

        Пример 1.8   Неберущимся является интеграл

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили , выделяется из всего набора первообразных условием . Функция называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.     

        Пример 1.9   Не берётся также интеграл

Доопределим подынтегральную функцию , полагая её равной 1 при . В соответствии с тем, что , доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразных выделим ту, для которой . Эта неэлементарная функция называется интегральным синусом и обозначается . Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.     

        Пример 1.10   Ещё один неберущийся интеграл:

Одна из первообразных — та, что мы использовали в правой части и обозначили  — называется интегральным косинусом.     

        Пример 1.11  

—

это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили , — специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой.     

        Пример 1.12   Не берётся интеграл

(при 

одна из первообразных, , называется интегральным логарифмом.     

Используя специальные функции, заданные предыдущими примерами, мы с помощью изученных выше правил интегрирования можем выражать через эти функции и другие интегралы. Приведём такой пример.

        Пример 1.13   Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл:

Для этого сделаем замену переменного :

Заметим, что та первообразная для , для которой , обозначается . Функция называется в теории вероятностей и статистике функцией ошибок.     

        Упражнение 1.3   Выразите функцию ошибок через функцию Лапласа и наоборот, функцию Лапласа через функцию ошибок.     

        Пример 1.14   К интегралу предыдущего примера можно свести и тем самым выразить через функцию Лапласа, например, такой интеграл:

Для вычисления мы применили формулу интегрирования по частям.     

        Пример 1.15   Вычислим интеграл от интегральной экспоненты . Заметим, что по определению первообразной. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

    

Кроме приведённых выше, в приложениях встречаются и многие другие неберущиеся интегралы, например:

Эти четыре интеграла называются интегралами Френеля.

        Упражнение 1.4   Сделав соответствующую замену переменного, выразите последние два из интегралов Френеля через функции и , которые стоят в правых частях первых двух интегралов Френеля.     

Не берутся также интегралы

и многие другие.

Тем не менее, для многих классов интегралов, наиболее часто встречающихся в приложениях, первообразную всё же удаётся выразить через элементарные функции. В следующей главе мы изучим такие классы интегралов.

        Упражнение 1.5   С помощью соответствующих замен переменного, докажите следующие соотношения:

    (при  (при 

(на самом деле функции и определяются так, что обе постоянные равны 0).     

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Расчет определенного интеграла онлайн

Введите переменную интегрирования:   (от a до z )

Выберите нижний предел интегрирования: Введите самостоятельно + Infinity — Infinity 0

Выберите верхний предел интегрирования: Введите самостоятельно + Infinity — Infinity 0

Введите функцию для интеграции:

Пример: sqrt(x^2+1)+sin(x)

90 072 5

x	y	π	e		1	2	3 9 0025	÷		Триггерная функция
а 2	а б	а б	доп		4	6	×	удалить
(	)	|а|	ln		7	8	9	—	↑	↓
√	3 √	C	журнал a		0	«> .	↵	+	←	→

Этот калькулятор для решения определенных интегралов взят от ООО «Вольфрам Альфа». Все права принадлежат владельцу!

Определенный интеграл

Онлайн-сервис OnSolver.com позволяет найти определенное интегральное решение онлайн. Решение выполняется автоматически на сервере и через несколько секунд результат выдается пользователю. Все онлайн-сервисы на этом сайте абсолютно бесплатны, а решение выведено в простой и понятной форме. Наше преимущество в том, что мы даем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, определенный интеграл решается просто, быстро и эффективно. Важно, что сервер допускает определенную интеграцию сложных функций в режиме онлайн, что часто невозможно в других онлайн-сервисах из-за недостатков их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм ввода функций и выбора переменной интегрирования, при котором вам не нужно преобразовывать функцию, указанную в одной переменной, в другую, тем самым исключая возможные ошибки и опечатки. Также на странице есть ссылки на теоретические статьи и определенные интегральные таблицы. Все это позволит вам очень быстро вычислить определенный интеграл онлайн и при желании изучить теорию определенного интегрирования. На http://onsolver.com также доступны другие услуги: онлайн-решение пределов, производных, суммы рядов. Достаточно одного нажатия на хорошо заметную кнопку в верхней части контента, чтобы перейти на вкладку бессрочной онлайн-интеграции. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем ​​появляется все больше новых функций и улучшений. Решайте определенные интегралы вместе с нами! Все онлайн-сервисы доступны даже для незарегистрированных пользователей и абсолютно бесплатно.

У нас вы можете проверить собственное решение или избавиться от ненужных трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичному автомату при решении определенного интеграла. Сервисная точность расчета удовлетворит практически любые инженерные стандарты. Результат для многих табулированных определенных интегралов приведен в точном выражении (с использованием общеизвестных констант и неэлементарных функций).

∫ Интегральный калькулятор онлайн — с шагами

 

Наверное, никто не станет спорить, что решать математические задачи иногда бывает сложно. Особенно когда речь идет об интегральных уравнениях. Если у вас когда-нибудь возникнут трудности с ними, вы можете использовать этот калькулятор, который предлагает пошаговое решение. Пользоваться онлайн-калькулятором интегралов очень просто, достаточно ввести уравнение, которое нужно решить. Кроме того, вы можете использовать кнопку по умолчанию, чтобы не тратить время зря. Легко найти ошибки в своих расчетах, когда вы видите каждый шаг процесса. Воспользуйтесь дополнительными опциями калькулятора, если вас не полностью устраивают результаты. Не нужно плакать и нервничать из-за математической задачи. Просто поищите альтернативные решения, такие как этот онлайн-инструмент.

Типы интегралов

Пример:

Определенный интеграл функции f (x) на интервале [a; б] — предел целых сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если оно существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков.

Пример:

Собственные и несобственные интегралы

Собственный интеграл — это определенный интеграл, ограниченный как расширенной функцией, так и областью интегрирования.

Пример:

Несобственный интеграл — определенный интеграл, который является неограниченной или расширенной функцией, или областью интегрирования, или и тем, и другим вместе способный на любом отрезке Пределом интеграла и называется несобственный интеграл первого рода функции а к и

Пособие содержит основы теории некоторых интегралов. Приведены примеры решения типовых задач. Представлено большое количество задач для самостоятельного решения, в том числе варианты индивидуальной расчетной задачи, содержащей ситуационные (прикладные) задачи.
Пособие предназначено для студентов бакалавриата, изучающих дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в рамках учебной программы.
    Учебно-методическое пособие предназначено для студентов биомедицинского факультета для оказания помощи в освоении учебного материала, а теоретическая часть учебного материала может рассматриваться как конспект лекций. В работе даны определения основных понятий и формулировки теорем, рабочие формулы и математические выражения, даны практические рекомендации по разбору примеров с целью облегчения усвоения материала и выполнения курсового расчетного задания.

Калькулятор определенных интегралов

Понятие конкретного интеграла и процедура вычисления — интегрирования встречаются в самых разнообразных задачах физики, химии, техники, математической биологии, теории вероятностей и математической статистики. Необходимость использования некоторого интеграла приводит к задаче вычисления площади криволинейной области, длины дуги, объема и массы тела с переменной плотностью, пути, пройденного движущимся телом, работы переменной силы, потенциал электрического поля и многое другое.
      Общим для этого типа задач является подход к решению задачи: большое можно представить как сумму малых, площадь плоской области можно представить как сумму площадей прямоугольников, в которые область мысленно делится, объем как сумма объемов частей, масса тела как сумма масс частей и т. д. .
      Математика обобщает прикладные задачи, заменяя физические, геометрические величины абстрактными математическими понятиями (функцией, размахом или областью интегрирования), исследует условия интегрируемости и дает практические рекомендации по использованию того или иного интеграла.
       Теория некоторого интеграла составляет составную часть раздела математического анализа — интегрального исчисления функции одной переменной.
Вы можете изменить направление. Результатом будет отрицательное выражение исходной функции:

Если вы рассматриваете целочисленный интервал, который начинается и заканчивается в одном и том же месте, результат будет 0:

Вы можете сложить вместе два соседних интервала:

 

Историческая справка

История понятия интеграла тесно связана с проблемами нахождения квадратур, когда задачами квадратуры той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи по вычислительным областям. Латинское слово «квадратура» переводится как «придание

квадратной формы. Необходимость специального термина объясняется тем, что в древности

вещественных чисел представляли, поэтому математики оперировали их геометрическими аналогами или скалярными величинами. Тогда задача нахождения площадей были сформулированы как задача «квадратуры круга»: построить квадрат, изометричный этой окружности.Ученым, предвидевшим понятие интеграла, был древнегреческий ученый Евдокс Книдский, живший около 408-355 гг. до н.э.Он дал полное доказательство теоремы об объемах пирамид, теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов.Для доказательства он применил метод «исчерпания», который нашел свое применение в трудах его последователей Вслед за Евдоксом методом «исчерпания» и его вариантами вычисления объемов и площадей пользовался античный ученый Архимед Удачно развивая свои идеи рецессоров, он определил длину окружности, площадь круга, объем и поверхность шара. Он показал, что определение объема шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объема цилиндра. Архимед предвосхитил многие идеи интегральных методов, но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем они получили четкое математическое оформление и превратились в интегральное исчисление.

 

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчисления, связанные с операциями дифференцирования и интегрирования, а также их приложения к решению прикладных задач. Теория

была разработана в конце 17 века и основывалась на идеях, сформулированных европейским ученым И. Кеплером. Он в 1615 году нашел формулы для расчета объема бочки и для объемов самых разнообразных тел вращения.

 

Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, часто очень хитроумными методами, которые были крайне неудобны. Попытки найти общие, а главное простые методы решения подобных задач и привели к появлению интегрального исчисления, теорию которого И. Кеплер в

разработал в своем сочинении «Новая астрономия», опубликованном в 1609 году.

С помощью этих формул он производит вычисление, эквивалентное вычислению некоторого интеграла:

В 1615 году он написал сочинение «Стереометрия винных бочек, », где правильно рассчитали ряд площадей, например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом и объемами, при этом тело было разрезано на бесконечно тонкие пластины. Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери и Э. Торричелли. В 17 веке многие открытия связаны с интегральным исчислением. Так, П. Фарм в 1629 г.

Я рассмотрел задачу возведения в квадрат любой кривой года, нашел формулу их вычисления и на этой основе решил ряд задач по нахождению центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу,

учитель Ньютона, вплотную подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы английских ученых по представлению функций в виде степенных рядов.

Немецкий ученый Г. Лейбниц одновременно с английским ученым И. Ньютоном разработал в 80-х годах 17 века основные принципы дифференциального и интегрального исчисления. Теория набрала силу после того, как Лейбниц и Ньютон доказали, что дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции. Это свойство хорошо знал Ньютон, но только Лейбниц видел здесь ту замечательную возможность, которая открывает применение символического метода.

Интеграл Ньютона или «беглый» предстал, прежде всего, как неопределенный, т. е. как первообраз. Понятие интеграла у Лейбница выступало, напротив, прежде всего в виде определенного интеграла в виде сумм бесконечного числа бесконечно малых дифференциалов, по которым разбивается та или иная величина. Введение понятия интеграла и его обозначений Г. Лейбницем относится к осени 1675 г. Знак интеграла был опубликован в статье Лейбница в 1686 г. Термин «интеграл» впервые в печати был использован Швейцарский ученый Ж. Бернулли в 169 г.0. Затем

вошло в обиход и выражение «интегральное исчисление», до этого Лейбниц говорил о «суммирующем исчислении». Вычисление интегралов производили Г. Лейбниц и его ученики, первыми из которых были братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они свели вычисление к операции, обратной операции дифференцирования

, т. е. к нахождению первообразных. Постоянная интеграция в печати появилась в статье Лейбница в 1694 году.

Задача:

Решение:

Вот краткое и простое объяснение природы интегралов для лучшего понимания подобных математических задач.

Интеграл является результатом непрерывного суммирования бесконечно большого числа бесконечно малых членов. Интегрирование функции принимает бесконечно малые приращения ее аргументов и вычисляет бесконечную сумму приращений функции на этих участках. В геометрическом смысле интеграл от двумерной функции в некотором сечении удобно представлять как площадь фигуры, замкнутой между графиком этой функции, осью X и прямыми, соответствующими выбранный интервал перпендикулярен ему.

Пример: Интегрирование функции Y = X² на интервале от X = 2 до X = 3. Для этого нужно вычислить первообразную интегрируемой функции и взять за концы разность ее значений интервала.
X³/3 в точке X=3 занимает 9, а в точке X=2 имеем 8/3. Следовательно, значение нашего интеграла равно 9 — 8/3 = 19/3 ≈ 6,33.

Интегральный калькулятор отзывы покупателей

Час идти до зачета и я не понял 🙁 …

Добавлены примеры решения интегралов. Спасибо за комментарий.

Спасибо за статью, в учебниках такая чушь написана! Мол, вот, напиши сюда и все понятно, вот тебе все решение, без объяснений! По крайней мере, теперь я понимаю, что все такие интегралы, т. е. суть понята. А стол очень хороший, полный.

Тут все понятно, нужно посидеть и подумать. А попробуйте решать задачи по физике с интегралами… В частности теоретические основы электротехники, там можно про излучение и оптику загнуть вообще молчу :)))) (

Большое человеческое Спасибо.. Учебники не понятные и все понятно написано доступным языком.

спасибо большое оч помогло, пока читал не понял что это такое и как решать=)

примеры решения интегралов добавил. статья немного расширена.

Спасибо за статью, такую ​​чушь в учебниках пишут! Типа, пиши сюда soE, тут все понятно, вот тебе и все решение, без объяснений! теперь я хотя бы понял, что такое интегралы вообще, т.е. понял суть. А стол очень хороший, полный. 93). Интегрируемая функция та же. Интеграл в таком виде вычислять не надо — просто выпишите.

Пишу по просьбе моей подруги, настоящее имя которой не указываю по ее просьбе пусть будет условно Лиза. У Лизы дела с пространственным воображением плохи (и не только), поэтому, столкнувшись с темой «Геометрические приложения одного интеграла» в своем вузе, Лиза конкретно загрузилась, в смысле, загрустила, потому что даже не заплакала .