Комплексные числа онлайн деление: Онлайн калькулятор. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа по-шагам online

‘) window.yaContextCb.push(()=>{ Ya.Context.AdvManager.render({ renderTo: rtb_id, blockId: ‘R-A-1616620-2’ }) })

Примеры комплексных выражений

Что умеет?

• Простые операции с комплексными числами
• Выполнять деление с подробным решением
• Находить разные формы комплексных чисел:
  1. Алгебраическую
  2. Тригонометрическую
  3. Показательную
• Модуль и аргумент комплексного числа
• Комплексно-сопряжённое к данному
• Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Подробнее про Комплексное число.

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7. 5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности

Калькулятор комплексных чисел • Математика • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Определения и формулы

Формы представления комплексных чисел

Комплексная плоскость

Представление комплексного числа в полярных координатах

Отношения и операции с комплексными числами

Равенство комплексных чисел

Сопряженное комплексное число

Сложение и вычитание

Умножение

Получение обратного числа и деление

Квадратный корень

Применение комплексных чисел

Определения и формулы

Комплексное число — это число в форме суммы вещественной части и мнимой части a + bi. Символ i или j в электротехнике (инженеры-электрики думают не так, как все остальные!) называется мнимой единицей и определяется равенством i² = –1. Иными словами, i — квадратный корень из минус единицы (√–1).

Вещественная часть представляет собой вещественное число, а мнимая часть — мнимое число, которое является квадратным корнем отрицательного числа. Обычно мнимую часть приводят к форме вещественного числа, умноженного на квадратный корень из минус единицы. Например,

Формы представления комплексных чисел

Комплексная плоскость

В математическом представлении комплексных чисел используются два оператора для обозначения вещественной и мнимой части: Re(z) и Im(z). Как и вещественные числа, которые представляются в виде точек на числовой оси, комплексное число z, представляемое в виде пары вещественных чисел (Re(z), Im(z)), может быть представлено в виде точки в двумерном пространстве, то есть, на плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Горизонтальная ось комплексной плоскости соответствует вещественной части комплексного числа, а вертикальная ось соответствует мнимой части. Видно, что числовая ось с вещественными числами — то же самое, что горизонтальная ось комплексной плоскости, так как мнимая часть вещественных чисел нулевая.

Представление комплексного числа в полярных координатах

Комплексное число z = x + jy = r ∠φ представляется точкой и вектором на комплексной плоскости

Комплексное число z можно также представить в геометрической форме, которая использует другой тип комплексной плоскости, только не в прямоугольных, а в полярных координатах. В этом представлении используются модуль r радиус-вектора от начала координат до комплексной точки z и угол φ между вектором и горизонтальной осью, измеренный в направлении против часовой стрелки. Этот угол называется аргументом.

Модуль (амплитуда) комплексного числа z = x + iy определяется по формуле:

Аргумент (фаза) φ определяется с помощью функции арктангенса с двумя аргументами arctan2(y,x):

Модуль r и аргументφ совместно представляют комплексные числа в тригонометрической форме, так как их сочетание определяет уникальное положение точки, представляющей комплексное число в полярных координатах. Для получения исходных прямоугольных координат пользуются формулой

Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспоненциальной функцией для любого вещественного числа φ:

Формула Эйлера позволяет представить синусоиду в виде комплексной экспоненциальной функции, что удобно использовать во многих областях науки и техники. Геометрическое представление комплексных чисел широко используется в физике, электротехнике и электронике для представления синусоидальных напряжений и токов. В этом представлении вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Комплексные числа, представляющие синусоидальную функцию с амплитудой A, угловой частотой ω и начальной фазой θ, называются фазорами (англ. phasor от phase vector) или комплексными амплитудами. Больше информации о представлении комплексных чисел, фазорах и преобразовании из алгебраической формы в тригонометрическую и обратно вы найдете в нашем Калькуляторе преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую.

Отношения и операции с комплексными числами

Комплексные числа подчиняются тем же правилам алгебры, что и обычные числа. Мнимая единица i считается константой и если встречается величина i², она заменяется на –1.

Равенство комплексных чисел

Два комплексных числа x + yi и n + mi равны тогда и только тогда, когда x = n и y = m.

Сопряженное комплексное число

Сопряженное комплексное число находят путем изменения знака его мнимой части. Например, такие два числа являются комплексно-сопряженными:

В физике, электротехнике и электронике сопряженные комплексные числа часто обозначаются звездочкой (z*). Пример сопряженных комплексных чисел (щелкните, чтобы посмотреть его в калькуляторе):

Сложение и вычитание

Сумма и разность двух комплексных чисел m + ni и p + qi определяется как

и

То есть, для сложения и вычитания комплексных чисел, нужно отдельно сложить или вычесть их действительные и мнимые части. Примеры (щелкните, чтобы посмотреть в калькуляторе):

Умножение

Два комплексных числа в алгебраической форме умножают путем умножения каждой части одного числа на обе части другого числа с последующим комбинированием результатов в вещественную и мнимую части. При умножении используется определение i² = –1. Например:

В тригонометрической форме умножение двух комплексных чисел выполнять проще, так как оно сводится к умножению модулей и сложению аргументов, например:

Получение обратного числа и деление

Обратное число к данному ненулевому комплексному числу z = a + bi в алгебраической форме выполняется путем умножения числителя (в данном случае 1) и знаменателя на число, сопряженное числу в знаменателе (в нашем случае — данному комплексному числу) с последующим преобразованием и упрощением:

Деление двух комплексных чисел a + bi и c + di в алгебраической форме выполняется аналогично, с использованием сопряженного комплексного числа в знаменателе:

Как и умножение, деление двух комплексных числе в тригонометрической форме выполнять удобнее, чем в алгебраической. Модуль частного от деления двух чисел определяется путем деления модуля делимого на модуль делителя. Аргумент (угол) частного определяется путем вычитания аргумента делителя из аргумента делимого. Например:

Квадратный корень

Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то квадратные корни этого числа представляют собой пару комплексных чисел с положительным и отрицательным знаками. Положительное число считается главным значением квадратного корня. Этот калькулятор определяет только главное (положительное) значение квадратного корня комплексного числа. Если комплексное число представлено в алгебраической форме, то для вычисления квадратного корня используется следующая формула:

где sgn(y) — функция знака y, определенная следующим образом:

Применение комплексных чисел

Комплексные числа широко используются в науке и технике — в геометрии, теории устойчивости (критерий устойчивости Найквиста — Михайлова, в котором используется построение на комплексной плоскости), в электротехнике и анализе сигналов (периодические сигналы удобно описываются комплексными числами), в квантовой механике, теории относительности и во многих других областях. Изобретенные почти 200 лет назад кватернионы, представляющие собой расширение комплексных чисел, используются в компьютерной графике, инерциальной навигации и теории управления.

Автор статьи: Анатолий Золотков

Калькулятор деления комплексных чисел

Калькулятор деления комплексных чисел Omni здесь, чтобы помочь, когда вам нужно быстро вычислить частное двух комплексных чисел , будь то в прямоугольной или в полярной форме ! Калькулятор также отображает ответ в обеих формах, чтобы вы могли выбрать ту, которая вам удобнее.

Далее мы объясним, как делить комплексные числа, и приведем формулы на случай, если вам потребуется вычислить их вручную. В частности, мы увидим, насколько это приятно для делят комплексные числа в полярной форме (в отличие от прямоугольной формы).

Деление комплексных чисел в прямоугольной форме

Чтобы разделить два комплексных числа в прямоугольной форме (форма a+ib) , используйте формулу:

z1/z2=a+ibc+id=ac+bd+i(bc −ad)c²+d²\маленький \начать{выравнивать*} z_1 / z_2 & = \frac{a + \mathrm{i}b}{c + \mathrm{i}d} \\[0,75em] & = \ frac {a c + b d + \ mathrm {i} (b c — a d) } {c² + d²} \end{align*} z1​/z2​=c+ida+ib​=c²+d²ac+bd+i(bc-ad)​​ 92 \neq 0∣z2​∣2=c2+d2=0. 2 b d }{c² — (\mathrm{i}d)²} \\[0,75см]& = \ frac {a c + b d + \ mathrm {i} (b c — a d) } {c² + d²} \end{align*} z1​/z2​=c+ida+ib​=(c+id)⋅(c-id)(a+ib)⋅(c-id)​=c²-(id)²ac −iad+ibc−i2bd​=c²+d²ac+bd+i(bc−ad)​​

Деление комплексных чисел в полярной форме

Деление комплексных чисел намного проще в полярной форме (форма r×exp(iφ)) :

z1z2=∣z1∣exp⁡(iφ1)∣z2∣exp⁡ (iφ2)=∣z1z2∣exp⁡(iφ1)exp⁡(−iφ2)=∣z1z2∣exp⁡[i(φ1−φ2))]\маленький \начать{выравнивать*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{|z_1|\exp(\mathrm{i}\varphi_1)} {|z_2|\exp(\mathrm{i}\varphi_2)} \\ &= \left|\frac{z_1}{z_2}\right| \exp(\mathrm{i}\varphi_1) \exp( — \mathrm{i}\varphi_2) \\ &= \left|\frac{z_1}{z_2}\right| \exp[\mathrm{i}(\varphi_1 — \varphi_2))] \end{align*}z2​z1​​=∣z2​∣exp(iφ2​)∣z1​∣exp(iφ1​)​=∣

∣​z2​z1​​∣

∣​exp(iφ1​)exp(−iφ2​)=∣

∣​z2​z1​​∣

∣​exp[i(φ1​−φ2​] ))]​

Мы видим, что:

• ∣z1/z2∣=∣z1∣/∣z2∣|z_1 / z_2| = |z_1| / |z_2|∣z1​/z2​∣=∣z1​∣/∣z2​∣; и
• arg⁡(z1/z2)=φ1−φ2\arg( z_1/z_2) = \varphi_1 — \varphi_2arg(z1​/z2​)=φ1​-φ2​.

Как использовать этот калькулятор деления комплексных чисел?

Чтобы наиболее эффективно использовать наш калькулятор деления комплексных чисел, выполните следующие действия:

1. Введите числа z1z_1z1​ и z2z_2z2​ в соответствующие поля. Калькулятор выполняет деление z1/z2z_1/z_2z1​/z2​.
2. Для каждого числа вы можете выбрать , если вы хотите ввести его в прямоугольной форме или в полярной форме:
   • Для прямоугольной формы введите реальную и мнимую часть.
   • Для полярной формы введите звездную величину и фазу .
3. Для второго комплексного числа вы можете использовать ту же форму, что и для первого числа, или другую форму — наш калькулятор деления комплексных чисел знает, что делать!
4. Калькулятор выполняет деление, и возвращает частное как в прямоугольной, так и в полярной форме .
5. Нажмите кнопку расширенного режима под калькулятором, если вы хотите настроить точность вычислений (количество знаков после запятой). По умолчанию три, но вы можете увеличить до десяти.

Калькуляторы Omni для комплексных чисел

Калькулятор Omni содержит целый набор инструментов для работы с комплексными числами, каждый из которых подчеркивает несколько иной их аспект:

• Калькулятор комплексных чисел;
• Калькулятор формы а+би;
• Калькулятор мнимых чисел;
• Калькулятор умножения комплексных чисел;
• Калькулятор комплексного числа в полярной форме;
• Калькулятор комплексного числа в тригонометрическую форму;
• Калькулятор комплексного числа в прямоугольную форму;
• я калькулятор; и
• Калькулятор полярной формы.

Часто задаваемые вопросы

Как разделить комплексные числа в полярной форме?

Чтобы разделить r×exp(iφ) на s×exp(iψ)) , выполните следующие действия:

1. Разделите две величины : r/s . Это будет величина результата.
2. Вычесть фазу делителя из фазы делимого: φ - ψ . Это будет фаза результата.
3. Запишите результат как (r/s) × exp(i(φ - ψ)) .
4. Вот оно! Деление комплексных чисел в полярной форме ооочень приятно, не так ли? 🙂

Как разделить комплексные числа в прямоугольной форме?

Чтобы найти частное

(a+ib)/(c+id) :

1. Определить величину делителя: c² + d² .
2. Вычислить ac + bd .
3. Разделите его на число из шага 1.
4. Вычислить до н.э. - объявление .
5. Разделите его на число из шага 1.
6. Действительная часть результата — это число, полученное на шаге 3.
7. мнимая часть результата — это число, полученное на шаге 5.

Можно ли разделить на i?

Да , вы можете делить на каждое ненулевое комплексное число. На самом деле деление на i эквивалентно умножению на -i . То есть имеем 1/i = -i . Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно заметить, что i × (-i) = 1 .

Сколько 1 разделить на i?

Ответ: -i . Чтобы получить этот результат, расширьте и числитель, и знаменатель на комплексно-сопряженное число i , которое равно -i . Получаем 1 / i = 1 × (-i) / i × (-i) = -i / -i² .
Теперь мы вспоминаем, что i² = -1 , поэтому наши вычисления продолжаются следующим образом: -i / -i² = -i / -(-1) = -i , как и утверждалось.

Калькулятор деления комплексных чисел для выполнения деления комплексных чисел

Используйте удобный и удобный инструмент Калькулятор деления комплексных чисел, чтобы быстро получить результат. Просто введите значения комплексных чисел в поле ввода и нажмите кнопку ввода, чтобы получить соответствующие выходные данные.

Пример: 21+2i/4+4i или 8+2i/4+4i

Калькулятор деления комплексных чисел:

Обучение делению комплексных чисел становится необходимым, поскольку оно имеет множество применений в нескольких областях, таких как прикладная математика, квантовая физика . Иногда вам может казаться, что весь процесс утомительный и занимает много времени. Чтобы помочь вам в таких случаях, мы разработали онлайн-инструмент, который мгновенно выполняет деление комплексных чисел. Сделайте свои расчеты точными, легкими и подробно опишите весь процесс.

Комплексное число представляет собой комбинацию действительных и мнимых чисел. Комплексное число имеет вид a+bi, где a, b — действительные числа, а i — мнимая единица. Разделение комплексных чисел приведет к комплексным числам. Деление комплексных чисел показывает, как комплексные числа ведут себя по отношению к базовой операции деления, соответствующей действительной и мнимой частям.

Следуйте простым и легким рекомендациям, приведенным ниже, и ознакомьтесь с процедурой деления комплексных чисел вручную.

Они расположены по линии

• Умножьте данное комплексное число на сопряженное знаменателю как на числитель, так и на знаменатель.
• Распределите число как в числителе, так и в знаменателе, чтобы убрать скобки.
• Упростите полномочия i.
• Объедините одинаковые термины и запишите решение в виде a+bi
• Упростите полученное значение в соответствии с вашими требованиями.

Умножьте знаменатель (c+di) на сопряженное (c-di), и вы получите результат, как под

Формула для деления комплексных чисел выглядит так:

На сайте onlinecalculator.guru есть обширный набор калькуляторов, предназначенных для людей с любым уровнем математических знаний, с помощью которых можно легко решать различные задачи.

1. Как вы делите комплексные числа?

Чтобы разделить комплексные числа, умножьте данное комплексное число на сопряженное знаменателю как на числитель, так и на знаменатель. Объедините условия Like и представите решение в виде a+bi.

No related posts.