Об особом случае $x = -y$: он не такой уж особенный, но по технической причине, выходящей за рамки предварительного исчисления. Поскольку нетривиальные открытые множества Зарисского плотны в евклидовой топологии, а полиномиальные отображения непрерывны между евклидовыми топологиями, все неравенства вида $f(x_1, \ldots, x_n) \geq 0$ (где $f$ — многочлен ), которые выполняются на открытом множестве Зарисского, должны выполняться везде, потому что $[0, +\infty)$ замкнуто и его прообраз должен, таким образом, содержать замыкание указанного открытого множества Зарисского, т. е. все пространство. Следовательно, такие кажущиеся особыми случаи можно смело игнорировать, пока они закрыты по Зарисскому и неравенство не является строгим.
$\endgroup$ 2 $\begingroup$Еще один — если $xy \le 0$ это тривиально, значит пусть $xy > 0$. Тогда мы имеем $$ 1 \le \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$$
Теперь для любого положительного числа либо оно, либо его обратное значение должно превышать $1$, если только оба они не равны $1$ .