Y 1 x 2 график функции: Mathway | Популярные задачи

Я пытаюсь получить полевые данные plot 2D, используя matplotlib. Так что в принципе я хочу что-то похожее на это: В моем случае данные хранятся в файле на жестком диске. Однако для простоты…

Я делаю метод Гаусса-Джордана в matlab, и я хочу plot эти уравнения x + y + 4*z = -1 -2*x – y + z= -5 3*x-2*y+3*z=-4 Чтобы увидеть, в какой точке графика они пересекаются, но я не знаю, как plot в…

Я хочу отформатировать каждую строку в plot, чтобы я мог выбрать заданные цвета для каждой строки. Однако мои значения x находятся в матричном виде, поэтому я не могу использовать формат стиля…

У меня есть for loop, в котором для каждого входного файла я читаю x и y из файла и сохраняю их, как я хочу, в отдельных списках, а затем plot в виде графика.2 < 1 в математике? Есть ли какой-нибудь способ сделать это?

У меня возникли проблемы с правильным построением графика sin(x)/(x). В частности, когда x = 0, возвращает NaN в Matlab. Однако при применении правила L’hôpital фактическое значение равно y = 1. мой…

Я не знаю, как сделать X-Y plot на R. У меня есть набор данных B C. A dataset ID Result 1.1 2 1.2 4 1.3 2.5 1.4 9 B dataset ID Result 1.1 1 1.2 7 1.3 6 1.4 9 C dataset ID Result 1.1 0.5 1.2 8 1.3 9…

Я пытаюсь plot два графика баров в одной и той же фигуре. В приведенном ниже коде графики расположены один за другим, потому что они лежат вдоль оси y в точке 0. import matplotlib.pyplot as plt…

функция y=x² и её график, свойства, примеры

График функции y=x²

Составим таблицу для расчёта значений функции $y = x^2$:

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их кривой:

Полученный график называют параболой.2$, кроме двух точек с $ x \neq \pm 1 $.

Степенная функция, линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/х 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 14.

Функция y=xⁿ , четные и нечетные функции.

Сравним значения функции fx=18×4-x2 при двух противоположных значениях аргумента, например x=3 и x=-3:

f3=18∙34-32=18∙81-9=118

f-3=18∙(-3)4-(-3)2=18∙81-9=118

Получим f3=f-3. Значения этой функции равны и при любых других противоположных значениях аргумента. Действительно,

f-x=18∙(-x)4-(-x)2=18∙x4-x2, то есть

f-x=fx

При этом рассматриваемая функция такова, что для каждого значения аргумента х противоположное ему число (–х) так же принадлежит ее области определения. В таких случаях говорят, что область определения функции симметрична относительно нуля.

Функции, обладающие такими свойствами, называют четными функциями.

Определение: Функция y=fx называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

f-x=fx

График любой четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение: Функция y=fx называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

f-x=-fx

Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной.

График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Давай проверим на четность и нечетность функции:

fx=3×4-x2+5

Для этого подставим в нашу функцию вместо переменной х (-х), получим:

f-x=3(-x)4—x2+5=3×4-x2+5

Значит, f-x=fx, следовательно, функция является четной.

fx=x2+x+1

f-x=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1

Эта функция является ни четной, ни нечетной.

Свойства функции y = xⁿ при четном n аналогичны свойствам функции y = x².

Степенные функции при n=1, 2 и 3, то есть функции y=x, y = x², y = x³ тебе уже знакомы. Их свойства и графики нам известны.

Выясним теперь свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном n.

Рассмотрим случай, когда n – четное число.

Свойства функции y = xⁿ при четном n аналогичны свойствам функции y = x².

1. Выражение xⁿ, где n – натуральное число, имеет смысл при любом x. Поэтому областью определения функции является множество всех действительных чисел.
2. Область значений функции есть множество неотрицательных чисел.
3. Если х=0, то у=0. График функции проходит через начало координат.
4. Если Если x ≠ 0, то y > 0. Это следует из того, что четная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна. График функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
5. Функция является четной, график функции симметричен относительно оси ординат.
6. Функция возрастает в промежутке 0;+∞) и убывает в промежутке (-∞;0.

Рассмотрим теперь случай, когда n – нечетное число.

Свойства функции y = xⁿ при нечетном n аналогичны свойствам функции y = x³.

По графику этой функции перечислим ее свойства.

1. Выражение xⁿ, где n – натуральное число, имеет смысл при любом x. Поэтому областью определения функции является множество всех действительных чисел.
2. Область значений функции есть множество всех действительных чисел.
3. Если х=0, то у=0. График функции проходит через начало координат.
4. Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0 График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях
5. Функция является нечетной. График функции симметричен относительно начала координат.
6. Функция возрастает на всей области определения.

График функции, построение графика, урок по алгебре за 10 класс, презентация

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Ребята, мы с вами построили много графиков функций, например, параболы, гиперболы, графики тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали. Мы выбирали точки на оси абсцисс, высчитывали значения ординат нашей функций и плавно соединяли наши ординаты на координатной плоскости. То есть, мы строили график по точкам. При построении многих графиков, точки нужно выбирать обдуманно. Теперь давайте обобщим наши знания и напишем общие правила построения графиков функций.

Что же такое график функции?

График функции – это множество точек, абсциссы которых являются значениями из области определения, а ординаты — значениями функции y= f(x). График любой функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

Правило построения графиков функций

Ребята, давайте запишем основные правила построения графиков функций:

• Если функция y= f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение нашей функции.
• Если функция y= f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции, с указания точек ее разрыва.
• Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при x ≥ 0, а затем дорисовать симметричную ветвь.
• Если то прямая y= b является горизонтальной асимптотой нашего графика функции. Асимптота — это некоторой ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не достигает этого значения.
• Если f(x)=$\frac{p(x)}{q(x)}$; и при x= a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x= a — это вертикальная асимптота.

Несколько правил, упрощающих построение графиков функций:

Для примера построим три графика: а) y= x², б) y= x² + 2, в) y= x² — 3.

Графики наших функций:

б) График функции y= f(x + a) получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен). Используем параллельный перенос графика y= f(x) на а единиц влево, если а > 0, и на а единиц вправо, если а

Для примера построим три графика: а) y= (x — 2)², б) y= (x + 1)².

Графики наших функций получается из графика функции y= x², путем его параллельного переноса: б) на две единицы вправо, в) на одну единицу влево.

Графики наших функций:

в) Для построения графика функции y= f(-x), следует построить график функции y= f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y= f(-x).

Для примера построим два графика: a) y= x³, б) y= (-x)³.

Графики нашей функций получается из графика функции y=x³, путем отражения относительно оси ординат.

г) Для построения графика функции y= -f(x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Для примера построим два графика: a) y= cos(x), б) y=-cos(x). Графики нашей функций получается из графика функции y= cos(x), путем отражения относительно оси абсцисс.

Ребята, теперь давайте построим графики функций, вид которых заранее не известен. Будем использовать правила, которые мы определили в начале.

Примеры на построение

I. Построить график функции: y= 2x² + 4x — 5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞; +∞).
2) Найдем стационарные точки:
y’= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x= -1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума. Найдем значение функции в точке x= -1
y(-1)= 2(-1)² + 4(-1) — 5= -7.
Итак, наша функция убывает на промежутке =(-∞;-1), x= -1 – точка минимума, функция возрастает на промежутке (-1; +∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

II. Построить график функции: y= 5x³ — 3x⁵.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;+∞).
2) Найдем стационарные точки:
y’= 15x² — 15x⁴,
y’= 15x²(1 — x²)= 15x²(1 — x)(1 + x),
15x²(1 — x)(1 + x)= 0,
x= 0; ±1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума.
Точка x= 0 – точка перегиба, функция в этой точки так же возрастает, но вогнутость меняется в другую сторону.
Точка x= 1 – точка максимума.

Найдем значение функции в точке x= -1: y(-1)= 5(-1)³ — 3(-1)⁵= -2.
Найдем значение функции в точке x= 0: y(0)= 5(0)³ — 3(0)⁵= 0.
Найдем значение функции в точке x= 1: y(1)= 5(1)³ — 3 (1)⁵= 2

Найдем горизонтальную асимптоту:

Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

Итак, наша функция четная. Она возрастает на промежутке равном (-∞;0), x= 0 – точка максимума. Функция убывает на (0;+∞).
Прямая x= 2 – вертикальная асимптота. Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в паре точек:

Т.к. функция четная построим сначала график для x ≥ 0.

Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат.3 значит x в кубе, также можно написать xxx или x*x*x. root(x,n) Корень n-ой степени из x. Например: root(x,3) есть корень 3й степени из x. sqrt() Квадратный корень. Эквивалентно root(аргумент,2) cbrt() Кубический корень. Эквивалентно root(аргумент,3) logn(x,a) Логарифм x пооснованию a ln() Натуральный логарифм (с основанием е) lg() Логарифм по основанию 10 (Десятичный логарифм), то же, что и logn(аргумент,10).аргумент sin() Синус cos() Косинус tan() Тангенс cot() Котангенс sec() Секанс, определяется как 1/cos() csc() Косеканс, определяется как 1/sin() asin() Арксинус acos() Арккосинус atan() Арктангенс acot() Арккотангенс asec() Арксеканс, обратный секанс acsc() Арккосеканс, обратный косеканс sinh() Гиперболический синус, шинус cosh() Гиперболический косинус, чосинус tanh() Гиперболический тангенс coth() Гиперболический котангенс sech() Гиперболический секанс csch() Гиперболический косеканс asinh() Гиперболический арксинус, функция обратная sinh() acosh() Гиперболический арккосинус, функция обратная cosh() atanh() Гиперболический арктангенс, функция обратная tanh() acoth() Гиперболический арккотангенс, функция обратная cotanh() asech() Гиперболический арксеканс, функция обратная sech() acsch() Гиперболический арккосеканс, функция обратная csch() gaussd(x,среднее,сигма) Нормальное распределение (Распределение Гаусса). Например gaussd(x,0,1) есть нормальное стандартное расперделение со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. min(число1,число2) Вычисляет наименьшее из 2х значений max(число1,число2) Вычисляет наибольшее из 2х значений round() Округляет аргумент до целого значения floor() Округление вниз ceil() Округление вверх abs() или | | Модуль (абсолютное значение) sgn() Функция сигнум, определяет знак аргумента

Область и диапазон рациональных функций

В домен из функция ж Икс — это набор всех значений, для которых определена функция, а диапазон функции — это набор всех значений, которые ж берет.

Рациональная функция — это функция вида ж Икс знак равно п Икс q Икс , где п Икс а также q Икс являются полиномами и q Икс ≠ 0 .

Область определения рациональной функции состоит из всех действительных чисел Икс кроме тех, для которых знаменатель 0 . Чтобы найти эти Икс значения, которые необходимо исключить из области определения рациональной функции, приравнять знаменатель к нулю и решить для Икс .

Например, домен родительская функция ж Икс знак равно 1 Икс это набор всех действительных чисел, кроме Икс знак равно 0 .Или область определения функции ж Икс знак равно 1 Икс — 4 это набор всех действительных чисел, кроме Икс знак равно 4 .

Теперь рассмотрим функцию ж Икс знак равно Икс + 1 Икс — 2 Икс — 2 . По упрощению, когда Икс ≠ 2 он становится линейной функцией ж Икс знак равно Икс + 1 .Но исходная функция не определена в Икс знак равно 2 . Это оставляет график с дырой, когда Икс знак равно 2 .

Один из способов найти диапазон рациональной функции — найти область определения обратной функции.

Другой способ — нарисовать график и определить диапазон.

Снова рассмотрим родительскую функцию ж Икс знак равно 1 Икс .Мы знаем, что функция не определена, когда Икс знак равно 0 .

В виде Икс → 0 по обе стороны от нуля, ж Икс → ∞ . Аналогично, как Икс → ± ∞ , ж Икс → 0 .

График приближается Икс -ось как Икс стремится к положительной или отрицательной бесконечности, но никогда не касается Икс -ось.То есть функция может принимать все реальные значения, кроме 0 .

Итак, диапазон функции — это набор действительных чисел, кроме 0 .

Пример 1:

Найдите домен и диапазон функции у знак равно 1 Икс + 3 — 5 .

Чтобы найти исключенное значение в области определения функции, приравняйте знаменатель к нулю и решите для Икс .

Икс + 3 знак равно 0 ⇒ Икс знак равно — 3

Итак, область определения функции — это набор действительных чисел, кроме — 3 .

Диапазон функции такой же, как и область определения обратной функции. Итак, чтобы найти диапазон, определите обратную функцию.

Поменять местами Икс а также у .

Икс знак равно 1 у + 3 — 5

Решение для у ты получаешь,

Икс + 5 знак равно 1 у + 3 ⇒ у + 3 знак равно 1 Икс + 5 ⇒ у знак равно 1 Икс + 5 — 3

Итак, обратная функция ж — 1 Икс знак равно 1 Икс + 5 — 3 .

Исключенное значение в области определения обратной функции можно определить, приравняв знаменатель к нулю и решив для Икс .

Икс + 5 знак равно 0 ⇒ Икс знак равно — 5

Итак, область определения обратной функции — это набор действительных чисел, кроме — 5 . То есть диапазон данной функции — это набор действительных чисел, кроме — 5 .

Следовательно, область определения данной функции равна { Икс ∈ ℝ | Икс ≠ — 3 } и диапазон { у ∈ ℝ | у ≠ — 5 } .

Пример 2:

Найдите домен и диапазон функции у знак равно Икс 2 — 3 Икс — 4 Икс + 1 .

Используйте графический калькулятор, чтобы построить график функции.

Когда вы множите числитель и отменяете ненулевые общие множители, функция сводится к линейной функции, как показано.

у знак равно Икс + 1 Икс — 4 Икс + 1 знак равно Икс + 1 Икс — 4 Икс + 1 знак равно Икс — 4

Итак, график линейный с дырой в Икс знак равно — 1 .

Используйте график, чтобы определить домен и диапазон.

Функция не определена для Икс знак равно — 1 . Итак, домен { Икс ∈ ℝ | Икс ≠ — 1 } или же — ∞ , — 1 ∪ — 1 , ∞ .

Диапазон функции: { у ∈ ℝ | у ≠ k где у — 1 знак равно k } .

Для Икс ≠ — 1 , функция упрощается до у знак равно Икс — 4 .Функция не определена в Икс знак равно — 1 или функция не принимает значение — 1 — 4 знак равно — 5 . Это, k знак равно — 5 .

Следовательно, диапазон функции равен { у ∈ ℝ | у ≠ — 5 } или же — ∞ , — 5 ∪ — 5 , ∞ .

Асимптоты рациональной функции:

An асимптота это линия, к которой график функции приближается, но никогда не касается. В родительской функции ж Икс знак равно 1 Икс , как Икс — а также у -оси — это асимптоты. График родительской функции будет приближаться к асимптотам, но никогда не касается их.

Чтобы найти вертикальную асимптоту рациональной функции, приравняйте знаменатель к нулю и решите относительно Икс .

Если степень многочлена в числителе меньше степени знаменателя, то горизонтальная асимптота — это Икс -ось или у знак равно 0 .

Функция ж Икс знак равно а Икс , а ≠ 0 имеет тот же домен, диапазон и асимптоты, что и ж Икс знак равно 1 Икс .

Теперь график функции ж Икс знак равно а Икс — б + c , а ≠ 0 гипербола, симметричная относительно точки б , c .Вертикальная асимптота функции равна Икс знак равно б а горизонтальная асимптота равна у знак равно c .

В более общем виде функция ж Икс знак равно а Икс + б c Икс + d имеет вертикальную асимптоту при Икс знак равно — d c и горизонтальная асимптота при у знак равно а c .В более общем смысле, если и числитель, и знаменатель имеют одинаковую степень, то горизонтальная асимптота будет иметь вид у знак равно k где k — отношение старшего коэффициента числителя к знаменателю.

Если степень знаменателя на единицу меньше степени числителя, то функция имеет наклонную асимптоту.

Пример 3:

Найдите вертикальную и горизонтальную асимптоты функции ж Икс знак равно 5 Икс — 1 .

Чтобы найти вертикальную асимптоту, приравняйте знаменатель к нулю и решите относительно Икс .

Икс — 1 знак равно 0 ⇒ Икс знак равно 1

Итак, вертикальная асимптота равна Икс знак равно 1

Поскольку степень многочлена в числителе меньше степени знаменателя, горизонтальная асимптота имеет вид у знак равно 0 .

Если родительской функцией является y = 1 / x, опишите изменение в уравнении y = 5 / x

y = 5 / x — это та же кривая общей формы, но каждое значение y в 5 раз больше, чем для кривой y = 1 / x

в 1-м квадранте или в 5 раз меньше в 3-м квадранте.

Обе кривые являются гиперболами, причем каждая половина гиперболы симметрична относительно начала координат или линии y = -x

Обе кривые асимптотичны по осям y и x.

, но y = 1 / x приближается к каждой оси быстрее, чем y = 5 / x

Оба являются стандартными гиперболами, повернутыми на 45 градусов.

Вершины гиперболы y = 1 / x равны (1,1) и (-1, -1) Вершины y = 5 / x равны

(5 ^1/2 , 5 ^1/2 ) и (-5 ^1/2 , -5 ^1/2 ). Вершины — это две точки, которые являются наименьшим расстоянием

от одной половины гиперболы до другой половины. На полпути между

вершинами, на y = 1 / x или y = 5 / x находится начало координат (0,0)

Переход от точки на графике y = 1 / x к соответствующей точке на y = 5 / x равно

, что эквивалентно растягиванию значений y на коэффициент абсолютного значения 5

или перемещению кривой влево на коэффициент 5 в квадранте 3

или вниз с коэффициентом 5

и кривая вправо с коэффициентом 5 в квадранте 1

или вверх с коэффициентом 5

Если вы хотите перейти от y = 1 / x к y = 5 / x путем перемещения на 45 градусов по диагонали

, двигайтесь одновременно вверх и вправо, с коэффициентом

, квадратный корень из 5, в 1-м квадранте,

, или переместитесь на 45 градусов вниз и влево с коэффициентом

квадратного корня из 5 в квадранте 3.Точка (1,1), смещенная вправо

, становится (5 ^1/2 , 5 ^1/2 ) в квадранте 1, переходя от y = 1 / x к y = 5 / x

Ни то, ни другое кривая имеет любые пересечения по оси y или x

Наклоны обеих кривых приближаются к пределу нуля, когда x приближается к бесконечности

и к отрицательной или положительной бесконечности, когда x приближается к нулю слева или справа

Например, если (2, 1/2) — точка на y = 1 / x, тогда (10, 1/2) — точка на y = 5 / x

10 равно 2 x 5. Умножьте координату x на 5, чтобы получить соответствующую точку на y = 5 / x

Или, если (2, 1/2) находится на y = 1 / x, то (2,5 / 2) находится на y = 5 / x.Умножьте координату y на 5.

Все координаты x и y симметричны. Если (2,1 / 2) находится на графике, то также и (1 / 2,2)

В общем случае, если (x, y) находится на графике, то (y, x) находится на том же графе. Если (x, y) находится на графике y = 1 / x, то

, а также (5x, y) и (x, 5y) на графике y = 5 / x. Это сдвиг вверх или вправо в 5 раз.

Если x и y не отрицательны, то сдвиг вниз или влево в 5 раз.

Гипербола представляет собой конический разрез, вертикальный разрез в два раза. конусы, соединенные вместе их заостренным дном,

одна чашка лицевой стороной вверх, а другая вверх дном, форма

похожа на некоторые бумажные стаканчики у водоохладителя.

Гипербола — единственное коническое сечение, которое имеет две отдельные непересекающиеся половины. Каждая половина находится в

другом квадранте

python — Как построить y = 1 / x как единый график

На этот вопрос уже есть ответы :

Закрыт 4 года назад.

Есть ли простой способ построить график функции, стремящейся к бесконечности как положительного, так и отрицательного, в виде единого графика, не соединяющего оба конца положительного и отрицательного?

Например, построение y = 1 / x с использованием этого кода дает результирующий график:

  импортировать numpy как np
импортировать matplotlib.pyplot как plt

def f (x):
    возврат 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

x = np.setdiff1d (np.linspace (-10,10,100), [0]) # чтобы удалить ноль
у = f (х)
plt.plot (x, y, label = fx_name)
plt.легенда (loc = 'верхний левый')
plt.show ()
  

Но мне хотелось бы получить такой результат, которого я добился, построив два отдельных домена:

  импортировать numpy как np
импортировать matplotlib.pyplot как plt

def f (x):
    возврат 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

xfn = np.setdiff1d (np.linspace (-10,0,100), [0])
xfp = np.setdiff1d (np.linspace (0,10,100), [0])
yfn = f (xfn)
yfp = f (xfp)

yf = plt.plot (xfn, yfn, label = fx_name)
plt.plot (xfp, yfp, color = yf [0] .get_color ())
plt.legend (loc = 'верхний левый')
plt.показывать()
  

Есть кратчайшие пути? Большое спасибо.

Решение

Включить ноль в массив домена и подавить деление на ноль. Это приводит к тому, что один элемент возвращаемого массива совмещенных доменов обозначается как «inf», а «inf» не отображается.

  импортировать numpy как np
импортировать matplotlib.pyplot как plt

def f (x):
    с np.errstate (div = 'ignore', invalid = 'ignore'):
        возврат 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

x = np.linspace (-10,10,101)
у = f (х)
plt.сюжет (x, y, label = fx_name)
plt.legend (loc = 'верхний левый')
plt.show ()
  

Я предпочитаю этот метод, поскольку он позволяет избежать ручных манипуляций с массивом и может быть легко повторно использован для других функций, которые используют тот же домен (например, y = 1 / (x + 2)). Спасибо всем за вклад.

преобразований функции 1 / x — видео и стенограмма урока

Сдвиги по вертикали и горизонтали

Мы начнем с некоторых довольно простых преобразований, которые сохраняют вид графика точно так же, но немного сдвигают его вверх и вниз.Если вы сделаете все деление, а затем добавите какое-то число в конец, вы переместите график вверх. Если вы вычтите какое-то число, вы переместите график вниз.

Концептуально это происходит потому, что вы выполняете всю работу по разделению, а затем добавляете d к значению y в самом конце. Таким образом, деление определяет форму вашего графика, а d дает вам большее значение y для любого заданного x . Например, здесь все просто сдвинуто вверх на 5 единиц, потому что для каждого значения x вы получите то же значение, что и для 1/ x , плюс еще 5.

Если вы добавите какое-то число к x в нижней части дроби, вы переместите функцию по горизонтали, не меняя ее формы. Здесь все по-другому: если вы добавите c единиц, функция переместится влево на c единиц. Если вычесть c единиц, функция переместится вправо на c единиц.

Как это работает концептуально? Чем больше нижняя часть дроби, тем меньше общее значение дроби. Итак, если вы возьмете какое-то значение x в нижней части дроби и прибавите к нему некоторое значение c , итоговая дробь будет иметь меньшее общее значение, чем просто 1/ x .

С другой стороны, если вы вычесть какое-то значение из x , полученная дробь будет больше. Итак, для любого заданного значения x в нашей преобразованной дроби добавление к нему чего-либо даст нам меньшее значение y , а вычитание из него даст нам большее значение y .

Другой способ взглянуть на это — начать со значений y , равных 1/ x . Если вы хотите получить те же самые значения y из 1 / ( x + 5), вам придется вычесть 5 из каждого значения x . Таким образом, для любого заданного значения y значение x , которое дает вам это, перемещается на 5 единиц в отрицательную сторону графика, которая остается слева.

Эти два простых преобразования вверх и вниз сдвигают асимптоты функции. f ( x ) = 1/ x + 5 имеет асимптоту при x = 5, а не при x = 0. Это потому, что теперь мы можем получить значение 0 из этой функции. Если мы подставим -1/5 для x , мы получим f ( x ) = -5 + 5, что равно 0. Но мы не можем получить 5, потому что получаем 5 1/ x должно быть равно 0, что невозможно.

Преобразования наклона

Теперь давайте посмотрим на преобразования, которые изменяют форму функции, а не только ее расположение на осях x и y .Мы начнем с того, что происходит, когда вы умножаете верхнюю часть дроби на какое-то число. Это сгладит функцию.

Давайте подумаем об этом концептуально. Если a больше 1, то для любого заданного значения x (1 * a ) / x будет больше 1/ x . Таким образом, каждое значение x в новой функции генерирует большее значение y , чем то же значение x в исходной функции 1/ x .

Пока что это похоже на то же самое, что мы сделали с добавлением числа к функции. Но это не все! Из сравнительной таблицы видно, что умножение функции на константу приводит к тому, что она ведет себя иначе, чем простое добавление константы.

Когда вы добавляете константу, величина уменьшения значения y остается такой же; вы просто начинаете с большего числа.Когда вы умножаете на константу, величина уменьшения меняется. Другими словами, функция меняет крутизну с разной скоростью. Это указывает на изменение формы: функция растягивается, становится шире и ровнее.

А как насчет умножения нижней части дроби на какое-то число? В этом случае концептуально все будет наоборот. Чем больше нижняя часть дроби, тем меньше будет f ( x ); поэтому f ( x ) становится меньше, а x становится больше.Итак, теперь вы делаете нижнюю часть дроби даже больше, чем просто x , поэтому f ( x ) станет еще меньше, даже быстрее.

И действительно, именно это и происходит. Линии становятся более сжатыми или крутыми; они приближаются к асимптоте быстрее во всех направлениях. Если вы умножите верхнюю или нижнюю границу на отрицательное число, вы просто измените направление функции.Если вы умножаете на что-то другое, кроме -1, вы переворачиваете его, а затем делаете график более плоским или крутым по мере необходимости.

Резюме урока

В этом уроке вы узнали о функции f ( x ) = 1/ x . Это убывающая функция , которая представляет собой функцию, в которой f ( x ) уменьшается при увеличении x . Эта функция имеет две асимптоты. Асимптота — это линия, к которой функция приближается, но никогда не пересекает ее.Вы также узнали, что мы можем преобразовать эту функцию разными способами:

• Добавление некоторого значения к функции после завершения деления перемещает график вверх и вниз по оси y на такое количество единиц.
• При добавлении некоторого значения к x до завершения деления график перемещается по оси x на такое количество единиц.
• Умножение вершины функции на некоторое значение растягивает ее и делает более плоской.
• Умножение нижней части функции на некоторое значение сжимает ее и делает более крутой.
• Умножение верха или низа на отрицательное значение также меняет направление функции.

Если вы запутались, просто подумайте концептуально: что это изменение делает с x ; как это повлияет на и ; и как это изменит график?

Преобразования функции 1 / x: словарь и определения

Асимптота — это линия, к которой функция приближается, но никогда не пересекает.

Преобразование функции происходит путем добавления или вычитания чисел в уравнение в различных местах. Преобразование приводит к перемещению графика функции.

Преобразования функции «один поверх X» выглядят следующим образом:

Результаты обучения

После завершения этого урока вы должны быть готовы сделать следующее:

• Покажите, как функция f ( x ) = 1/ x является убывающей функцией с двумя асимптотами
• Различить пять преобразований функции 1 / x и сравнить графики преобразований

4.6 Пределы на бесконечности и асимптоты — Объем исчисления 1

Решение

Шаг 1. Функция определяется до тех пор, пока знаменатель не равен нулю. Следовательно, домен — это набор всех действительных чисел, кроме

Шаг 2. Найдите перехватчики. Если тогда 0 — это перехват. Если то, что означает Следовательно, является единственным перехватом.

Шаг 3. Оцените пределы на бесконечности. Поскольку это рациональная функция, разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень знаменателя: получаем

Следовательно, имеет горизонтальную асимптоту as и

Шаг 4.Чтобы определить, есть ли вертикальные асимптоты, сначала проверьте, есть ли в знаменателе нули. Мы обнаруживаем, что знаменатель равен нулю, когда для определения того, являются ли линии или являются вертикальными асимптотами оценки, и глядя на каждый односторонний предел, когда мы видим, что

Кроме того, глядя на каждый односторонний предел, мы обнаруживаем, что

Шаг 5. Вычислить первую производную:

Критические точки возникают в точках, где или не определено. Мы видим, что, когда производная не является неопределенной ни в одной точке в области значений Однако, не находится в области значений Следовательно, чтобы определить, где увеличивается, а где уменьшается, разделите интервал на четыре меньших интервала: и и выберите контрольную точку. в каждом интервале, чтобы определить знак в каждом из этих интервалов.Значения и являются хорошим выбором для контрольных точек, как показано в следующей таблице.

Из этого анализа мы заключаем, что имеет локальный минимум на уровне, но не имеет локального максимума.

Шаг 6. Вычислить вторую производную:

Чтобы определить интервалы, где вогнутость вверх и где вогнута вниз, нам сначала нужно найти все точки, где или не определено. Поскольку числитель для любого никогда не равен нулю. Кроме того, не является неопределенным ни для одного в области Однако, как обсуждалось ранее, они не входят в область действия Следовательно, чтобы определить вогнутость, мы делим интервал на три меньших интервала и выбираем контрольную точку в каждом из этих интервалов. чтобы оценить знак в каждом из этих интервалов.Значения и являются возможными контрольными точками, как показано в следующей таблице.

Объединив всю эту информацию, мы приходим к графику, показанному ниже. {2} \ left (x — 2 \ right)} \\ [/ latex].{2} \ left (0–2 \ right)} \ hfill \\ \ text {} = 3 \ hfill \ end {case} \\ [/ latex]

Чтобы найти перехват x , мы определяем, когда числитель функции равен нулю. Устанавливая каждый коэффициент равным нулю, мы находим x -пересечений при [latex] x = -2 \\ [/ latex] и [latex] x = 3 \\ [/ latex]. В каждом случае поведение будет линейным (кратность 1) с графиком, проходящим через точку пересечения.

У нас есть пересечение y в [latex] \ left (0,3 \ right) \\ [/ latex] и пересечение x в [latex] \ left (-2,0 \ right) \\ [/ latex] и [latex] \ left (3,0 \ right) \\ [/ latex].

Чтобы найти вертикальные асимптоты, мы определяем, когда знаменатель равен нулю. Это происходит, когда [latex] x + 1 = 0 \\ [/ latex] и когда [latex] x — 2 = 0 \\ [/ latex], что дает нам вертикальные асимптоты в [latex] x = -1 \\ [/ латекс] и [латекс] х = 2 \\ [/ латекс].

В числителе и знаменателе нет общих множителей. Это означает, что нет устранимых разрывов.

Наконец, степень знаменателя больше, чем степень числителя, что говорит нам, что этот график имеет горизонтальную асимптоту при [latex] y = 0 \\ [/ latex].

Чтобы набросать график, мы могли бы начать с построения трех точек пересечения. Поскольку на графике нет точек пересечения x между вертикальными асимптотами, а точка пересечения y положительна, мы знаем, что функция должна оставаться положительной между асимптотами, что позволяет нам заполнить среднюю часть графика, как показано на рисунке 20.

Рисунок 20

Фактор, связанный с вертикальной асимптотой в [latex] x = -1 \\ [/ latex], возведен в квадрат, поэтому мы знаем, что поведение будет одинаковым по обе стороны асимптоты.График направляется к положительной бесконечности, когда входные данные приближаются к асимптоте справа, поэтому график также направляется к положительной бесконечности слева.