Y 1 x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Mathway | ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

линСйная функция, квадратичная, кубичСская ΠΈ y=1/x

Β 

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ называСтся функция Π²ΠΈΠ΄Π° y=xn (читаСтся ΠΊΠ°ΠΊ y Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ… Π² стСпСни n), Π³Π΄Π΅ n – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число. Частными случаями стСпСнных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y=x, y=x2, y=x3, y=1/x ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅. РасскаТСм ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

ЛинСйная функция y=x

1 (y=x)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прямая линия, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (0;0) ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 45 градусов ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ оси ΠžΡ….

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прСдставлСн Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

  • Ѐункция Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° всСй числовой оси.Β 
  • НС ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимального ΠΈ минимального Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.Β 

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция y=x

2

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°.Β 

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ прСдставлСн Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

  • 1. Β ΠŸΡ€ΠΈ Ρ… =0, Ρƒ=0, ΠΈ Ρƒ>0 ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…0
  • 2. МинимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅  квадратичная функция достигаСт Π² своСй Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅. Ymin ΠΏΡ€ΠΈ x=0; Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ максимального значСния Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт.
  • 3. Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (-∞;0] ΠΈ возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [0;+∞).Β 
  • 4. ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ значСниям Ρ… соотвСтствуСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния y.Β 

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция y=x

3

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся кубичСская ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ прСдставлСн Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅. Β 

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

  • 1. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ… =0, Ρƒ=0. Ρƒ>0 ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…>0 ΠΈ y
  • 2. Π£ кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт Π½Π΅ максимального Π½ΠΈ минимального значСния.
  • 3. ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция возрастаСт Π½Π° всСй числовой оси (-∞;+∞).
  • 4. ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ значСниям Ρ…, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ значСния y.

Ѐункция Π²ΠΈΠ΄Π° y=x

-1 (y=1/x)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=1/x называСтся Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ прСдставлСн Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 1/x:

  • 1. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (0;0) Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ симмСтрии Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.Β 
  • 2. Оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ – асимптоты Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.
  • 3. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ y=x ось симмСтрии Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.
  • 4. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всС Ρ…, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ…=0.
  • 5. y>0 ΠΏΡ€ΠΈ x>0; y
  • 6. Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (-∞;0), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (0;+∞).
  • 7. Ѐункция Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π½ΠΈ снизу, Π½ΠΈ свСрху.
  • 8. Π£ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ наибольшСго, Π½ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.
  • 9. Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (-∞;0) ΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (0;+∞). Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…=0.
  • 10. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° (-∞;0) ΠΈ (0;+∞).

НуТна ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π΅?



ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°: Π§Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ свойства
Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°:&nbsp&nbsp&nbspΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня n-ΠΎΠΉ стСпСни: ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня

1 Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Ρ‹ искали 1 Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? На нашСм сайтС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° любой матСматичСский вопрос здСсь. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм ΠΈ пояснСниями ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с самой слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΈ 2x x 2 функция, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ домашним Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π²ΡƒΠ·. И ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ запрос ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ — Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НапримСр, Β«1 Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно Π² нашСй ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… расчСтах, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ сооруТСний ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ спортС. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ использовал Π΅Ρ‰Π΅ Π² дрСвности ΠΈ с Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ возрастаСт. Однако сСйчас Π½Π°ΡƒΠΊΠ° Π½Π΅ стоит Π½Π° мСстС ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ 1 Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,2x x 2 функция,3 Π² стСпСни Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,x 2x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,x Π² 3 стСпСни Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,x2 y 2 1,y 1 2 x,y 1 2 x 4,y 1 2 x2,y 1 2x 2,y 1 2x 3,y 1 2x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 1 2x ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 1 2×2,y 1 2×2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 1 x 2,y 1 x 2 9,y 2 1 x,y 2 2x,y 2 2x 1,y 2 2x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y 2 2x ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2 x,y 2 x 1 3,y 2 x 3 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2 x2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y 2x 1 2,y 2x 1 3,y 2x 1 x 1,y 2x 1 x 2,y 2x 1 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2x 1 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2x 2 1,y 2x 2 x,y 2x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y 2x 2 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2x 3 4,y 2x 3 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2x 3 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2x 5 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2x 5 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2x x 2,y 2x x 3,y 2x x2,y 2x x2 1,y 2x x2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2×2 3,y 2×2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 3 x 1 2,y 3 x 1 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 3 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y 3x 1 2,y 3x 1 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 3x 2 1,y 8 x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y ot x,y x 1,y x 1 2,y x 1 2 3,y x 1 6,y x 1 8,y x 1 x,y x 1 x 2,y x 1 x 3,y x 1 x2,y x 1 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅,y x 10,y x 2 1 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y x 2 1 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y x 2 2x 1,y x 2 2x 2,y x 2 2x 3 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y x 2 2x 3 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y x 2 2x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y x 2 4 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y x 2 x 1,y x 2x,y x 2x 1,y x 3 2,y x 3 x 2 3 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y x 3x,y x 4 1 x 3,y x 4 x 3 1,y x 6 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y x 8,y x1 2,y x2 1 x,y x2 2 x,y x2 2x,y x2 x,y x2 x 1,y x2 x 1 2,y x2 x 2,y x3 1 x,y x3 1 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ 2 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ…,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 2 x,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 2x 5,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 3x 1 ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y tg2x,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y x 1 2,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y x 2 2x 3,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y Ρ…,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 3 Π² стСпСни Ρ…,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2 2x,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2 4 x,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2 4x,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2x 1,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 6 x,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 2 1,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x2 2,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ… 1 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ плюс Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ… 1 3,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ… Π² 2 стСпСни,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 5,икс ΠΎΡ‚ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊ,исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ,ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ,ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ,ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ,Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ уровня Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ вычислСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 1 2 x,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 1 2x,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 1 x 2,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 2 x 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 2x 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 2x 2,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 3 x 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y 3x 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y x 1 2,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y x 1 3,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y x 2 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x 3 x 2,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x y 2,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2 Π² стСпСни x 3,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2x 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2x 2,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2x 2 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2×2,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2×2 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 2 1,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 2 2x,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 2 2x 3,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 6,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x2,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y x 3,постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 2x 3,постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 1 2 3 x y x,постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y 3 Π² стСпСни x 2,постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 1 2 3,постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 2 1,постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 3 x 1,постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 3 x 2 x 1,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ,Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²,слоТныС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ,Ρƒ 1 Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅,Ρƒ 1 Ρ…2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,Ρƒ x 1,Ρƒ Ρ… 10,Ρƒ Ρ… 6,функция 2x,функция 3 x 2,функция y 1 x Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅,функция y 3 x 2,функция y x 6. На этой страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой вопрос, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ 1 Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² окошко ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ» здСсь (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 3 Π² стСпСни Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ).

Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ 1 Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Онлайн?

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ 1 Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° нашСм сайтС https://pocketteacher.ru. БСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ любой слоТности Π·Π° считанныС сСкунды. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ — это просто ввСсти свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ввСсти Π²Π°ΡˆΡƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° нашСм сайтС. А Ссли Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ‡Π°Ρ‚Π΅ снизу слСва Π½Π° страницС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Как plot y=1/x Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°



Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ простой способ plot Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, которая стрСмится ΠΊ бСсконСчности Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ plot, Π±Π΅Π· plot, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ?

НапримСр, построСниС y=1/x с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этого ΠΊΠΎΠ΄Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ plot:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return 1/x
fx_name = r'$f(x)=\frac{1}{x}$'

x=np.setdiff1d(np.linspace(-10,10,100),[0]) #to remove the zero
y=f(x)
plt.plot(x, y, label=fx_name)
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

Но ΠΌΠ½Π΅ Π±Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ я Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽ, построив Π΄Π²Π΅ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ области:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return 1/x
fx_name = r'$f(x)=\frac{1}{x}$'

xfn=np.setdiff1d(np.linspace(-10,0,100),[0])
xfp=np.setdiff1d(np.linspace(0,10,100),[0])
yfn=f(xfn)
yfp=f(xfp)

yf = plt.plot(xfn, yfn, label=fx_name)
plt.plot(xfp, yfp, color=yf[0].get_color())
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ здСсь ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ? Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠ΅ спасибо.

РСшСниС

Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ноль Π² массив Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ноль. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ массива co-domain становится «inf», Π° «inf» Π½Π΅ выводится Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    with np.errstate(divide='ignore', invalid='ignore'):
        return 1/x
fx_name = r'$f(x)=\frac{1}{x}$'

x=np.linspace(-10,10,101)
y=f(x)
plt.plot(x, y, label=fx_name)
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

Π― ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ позволяСт ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ манипулирования массивом ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ использован для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, y=1/(x+2)). спасибо всСм Π·Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄.

python numpy matplotlib plot
ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ Tim GO
    18 мая 2017 в 07:14

3 ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°


  • ΠΊΠ°ΠΊ plot нСсколько Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ X ΠΈ y ΠΈΠ· Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² Π² for loop?

    Π£ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ for loop, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° я Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ x ΠΈ y ΠΈΠ· Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° ΠΈ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽ ΠΈΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ, Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… списках, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ plot Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ plot всС x-y всСх Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² всСго Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ plot . ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ я Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ x ΠΈ y ΠΈΠ· своих Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² Π² for loop, поэтому я Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½…

  • R plot, ось x ΠΈ ось y ΡΠΎΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ

    Моя ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° касаСтся составлСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° для ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π² R. Π― использовал Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ plot ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: plot(x=data$SL, y=data$BD, xlab = SL (mm), ylab = BD (mm), pch=data$pch) SL колСблСтся ΠΎΡ‚ 51.7 Π΄ΠΎ 73.7 ΠΈ BD ΠΎΡ‚ 13.5 Π΄ΠΎ 20.4. К соТалСнию, ΠΌΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ изобраТСния….



11

На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ

x = 0 , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ y = nan, образуя ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π» Π² plot.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return 1/x
fx_name = r'$f(x)=\frac{1}{x}$'

# using 101 steps results in in array including the value 0
x=np.linspace(-10,10,101)
# f(0) = nan -> a nan value creates a gap
y=f(x)
plt.plot(x, y, label=fx_name)
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Padix Key Β  Β  18 мая 2017 Π² 07:35



6

НС ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ваш ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ элСмСнт ‘nan’ Π² индСкс, Π³Π΄Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ пСрСворачиваСтся, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

idx = np.argmax(np.diff(np.sign(y)))+1

x = np.insert(x, idx, np.nan)
y = np.insert(y, idx, np.nan)

‘nan’ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Matplotlib.

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Rutger Kassies

    18 мая 2017 в 07:27



3

основанный Π½Π° ΠΈΠ΄Π°Ρ… Π ΡƒΡ‚Π³Π΅Ρ€Π° Кассиса :

n_points = 100
x=np.setdiff1d(np.linspace(-10,10,n_points),[0]) #to remove the zero

y=f(x)
y[n_points//2-1:n_points//2+1] = np.nan

ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свой исходный plot ΠΈ установитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ np.nan . Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, слишком ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ установлСно Π² None , Π½ΠΎ это симмСтрично.2 < 1 Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅? Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ способ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это?


ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ вопросы:


Как plot Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΠΉ 2D Ρ†Π²Π΅Ρ‚ plot для z = f(x, y)

Π― ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡŽΡΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ plot 2D, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ matplotlib. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅Π΅ Π½Π° это: Π’ ΠΌΠΎΠ΅ΠΌ случаС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ хранятся Π² Ρ„Π°ΠΉΠ»Π΅ Π½Π° ТСстком дискС. Однако для простоты…


ΠΊΠ°ΠΊ plot x, y, z Π² matlab?

Π― дСлаю ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса-Π”ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½Π° Π² matlab, ΠΈ я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ plot эти уравнСния x + y + 4*z = -1 -2*x – y + z= -5 3*x-2*y+3*z=-4 Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π½ΠΎ я Π½Π΅ знаю, ΠΊΠ°ΠΊ plot Π²…


ΠžΡ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ строку Π² plot(x, y), Π³Π΄Π΅ x-ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

Π― Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ строку Π² plot, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ я ΠΌΠΎΠ³ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ строки. Однако ΠΌΠΎΠΈ значСния x находятся Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, поэтому я Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ стиля…


ΠΊΠ°ΠΊ plot нСсколько Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ X ΠΈ y ΠΈΠ· Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² Π² for loop?

Π£ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ for loop, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° я Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ x ΠΈ y ΠΈΠ· Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° ΠΈ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽ ΠΈΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ, Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… списках, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ plot Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.2 < 1 Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅? Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ способ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это?


ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° sin (x)/(x) Π² Matlab

Π£ мСня Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ построСниСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° sin(x)/(x). Π’ частности, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = 0, Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ NaN Π² Matlab. Однако ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° L’hΓ΄pital фактичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ y = 1. ΠΌΠΎΠΉ…


Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ X-Y plot

Π― Π½Π΅ знаю, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ X-Y plot Π½Π° R. Π£ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… B C. A dataset ID Result 1.1 2 1.2 4 1.3 2.5 1.4 9 B dataset ID Result 1.1 1 1.2 7 1.3 6 1.4 9 C dataset ID Result 1.1 0.5 1.2 8 1.3 9…


Matplotlib : ΠΊΠ°ΠΊ plot Π΄Π²Π° гистограммных Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ осями x/y, Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ начинаСтся ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ вдоль оси y

Π― ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡŽΡΡŒ plot Π΄Π²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π±Π°Ρ€ΠΎΠ² Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ располоТСны ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ вдоль оси y Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 0. import matplotlib.pyplot as plt…

функция y=xΒ² ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, свойства, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=xΒ²

Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ для расчёта Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $y = x^2$:

x

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

$ y = x^2$

9

6,25

4

2,25

1

0,25

0

0,25

1

2,25

4

6,25

9

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ соСдиним ΠΈΡ… ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ.2$, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ с $ x \neq \pm 1 $.

БтСпСнная функция, линСйная функция, квадратичная, кубичСская ΠΈ y=1/Ρ… 9 класс ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π½Π° РостСлСком Π›ΠΈΡ†Π΅ΠΉ |

Π’Π΅ΠΌΠ° 14.

Ѐункция y=xn , Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ fx=18×4-x2 ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ x=3 ΠΈ x=-3:

f3=18βˆ™34-32=18βˆ™81-9=118

f-3=18βˆ™(-3)4-(-3)2=18βˆ™81-9=118

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ f3=f-3. ЗначСния этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

f-x=18βˆ™(-x)4-(-x)2=18βˆ™x4-x2, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

f-x=fx

ΠŸΡ€ΠΈ этом рассматриваСмая функция Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π΅ΠΌΡƒ число (–х) Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π΅Π΅ области опрСдСлСния. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нуля.

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ свойствами, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Ѐункция y=fx называСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ опрСдСлСния симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нуля ΠΈ для любого значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ… Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ равСнство

f-x=fx

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ любой Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Ѐункция y=fx называСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ опрСдСлСния симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нуля ΠΈ для любого значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ… Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ равСнство

f-x=-fx

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ всякая функция являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ любой Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Π”Π°Π²Π°ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

fx=3×4-x2+5

Для этого подставим Π² Π½Π°ΡˆΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ вмСсто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ… (-Ρ…), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

f-x=3(-x)4—x2+5=3×4-x2+5

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, f-x=fx, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ.

fx=x2+x+1

f-x=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1

Π­Ρ‚Π° функция являСтся Π½ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = xn ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ n Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ свойствам Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ n=1, 2 ΠΈ 3, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=x, y = x2, y = x3 Ρ‚Π΅Π±Π΅ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹. Π˜Ρ… свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°ΠΌ извСстны.

Выясним Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ свойства стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ особСнности Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ любом Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ n.

Рассмотрим случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° n – Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = xn ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ n Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ свойствам Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ xn, Π³Π΄Π΅ n – Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл ΠΏΡ€ΠΈ любом x. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  3. Если Ρ…=0, Ρ‚ΠΎ Ρƒ=0. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
  4. Если Если x β‰  0, Ρ‚ΠΎ y > 0. Π­Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ чСтная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ располоТСн Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… чСтвСртях.
  5. Ѐункция являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
  6. Ѐункция возрастаСт Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ 0;+∞) ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (-∞;0.

Рассмотрим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° n – Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = xn ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ n Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ свойствам Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x3.

По Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСчислим Π΅Π΅ свойства.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ xn, Π³Π΄Π΅ n – Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл ΠΏΡ€ΠΈ любом x. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  3. Если Ρ…=0, Ρ‚ΠΎ Ρƒ=0. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
  4. Если x > 0, Ρ‚ΠΎ y > 0, Ссли x < 0, Ρ‚ΠΎ y < 0 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ располоТСн Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… чСтвСртях
  5. Ѐункция являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
  6. Ѐункция возрастаСт Π½Π° всСй области опрСдСлСния.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΡƒΡ€ΠΎΠΊ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π·Π° 10 класс, прСзСнтация

Π”Π°Ρ‚Π° ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ: .

РСбята, ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ построили ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ это Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ. ΠœΡ‹ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° оси абсцисс, высчитывали значСния ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΠΎ соСдиняли наши ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ строили Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ построСнии ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΄ΡƒΠΌΠ°Π½Π½ΠΎ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ наши знания ΠΈ напишСм ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – это мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, абсциссы ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСниями ΠΈΠ· области опрСдСлСния, Π° ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ — значСниями Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= f(x). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ любой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ строят ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ. Но Ссли ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΄ΡƒΠΌΠ°Π½Π½ΠΎ. РСбята, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ?

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅, вспомним ΠΈΡ…:

Π°) Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии экстрСмумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ производная Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π΅ сущСствуСт.
Π±) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π²ΠΎΠ·Π»Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… опрСдСляСтся Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ монотонности.
Π²) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с осью абсцисс ΠΈ осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ЗначСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция y= f(x)= 0 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осью абсцисс. А Ссли Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ f(0) – Ρ‚ΠΎ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния с осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
Π³) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ищутся для Π½Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

РСбята, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ запишСм основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

  • Если функция y= f(x) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° всСй числовой прямой, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ стационарныС ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ монотонности, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ нСобходимости Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… слСдуСт ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • Если функция y= f(x) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π΅ Π½Π° всСй числовой прямой, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ слСдуСт с нахоТдСния области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, с указания Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°.
  • ПолСзно ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ симмСтриСй (соотвСтствСнно ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сначала ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΡ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ.
  • Если Ρ‚ΠΎ прямая y= b являСтся Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотой нашСго Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Асимптота — это Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ для нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ, ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ стрСмится Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ достигаСт этого значСния.
  • Если f(x)=$\frac{p(x)}{q(x)}$; ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x= a Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ нуля, Ρ‚ΠΎ x= a — это Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота.

НСсколько ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Π°) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= f(x) + a получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= f(x) (Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y= f(x) Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ извСстСн), ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСноса Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y= f(x) Π½Π° Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Ссли Π° > 0; ΠΈ Π½Π° Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π½ΠΈΠ·, Ссли Π°

Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° построим Ρ‚Ρ€ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°: Π°) y= x2, Π±) y= x2 + 2, Π²) y= x2 — 3.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=x2, ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСноса: Π±) Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Π²) Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠ·.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Π±) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= f(x + a) получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= f(x) (Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y= f(x) Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ извСстСн). Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ пСрСнос Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y= f(x) Π½Π° Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Ссли Π° > 0, ΠΈ Π½Π° Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ссли Π°

Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° построим Ρ‚Ρ€ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°: Π°) y= (x — 2)2, Π±) y= (x + 1)2.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= x2, ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСноса: Π±) Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Π²) Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Π²) Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= f(-x), слСдуСт ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= f(x) ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ являСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= f(-x).

Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° построим Π΄Π²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°: a) y= x3, Π±) y= (-x)3.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=x3, ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ отраТСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Π³) Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= -f(x) слСдуСт ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси абсцисс.

Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° построим Π΄Π²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°: a) y= cos(x), Π±) y=-cos(x). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= cos(x), ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ отраТСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси абсцисс.

РСбята, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²ΠΈΠ΄ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π½Π΅ извСстСн. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π° построСниС

I. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y= 2x2 + 4x — 5.

РСшСниС:
1) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: D(y)= (-∞; +∞).
2) НайдСм стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:
y’= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x= -1.
3) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²ΠΈΠ΄ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ монотонности:

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x= -1 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x= -1
y(-1)= 2(-1)2 + 4(-1) — 5= -7.
Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, наша функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ =(-∞;-1), x= -1 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, функция возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (-1; +∞).

Вычислим значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ:

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

II. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y= 5x3 — 3x5.

РСшСниС:
1) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: D(y)= (-∞;+∞).
2) НайдСм стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:
y’= 15x2 — 15x4,
y’= 15x2(1 — x2)= 15x2(1 — x)(1 + x),
15x2(1 — x)(1 + x)= 0,
x= 0; Β±1.
3) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²ΠΈΠ΄ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ монотонности:

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x= -1 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x= 0 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, функция Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ возрастаСт, Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ мСняСтся Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону.
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x= 1 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x= -1: y(-1)= 5(-1)3 — 3(-1)5= -2.
НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x= 0: y(0)= 5(0)3 — 3(0)5= 0.
НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x= 1: y(1)= 5(1)3 — 3 (1)5= 2

5) Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: y(-x)= 5(-x3) — 3(-x5)= -5x3 + 35= -y(x)
По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ функция нСчСтная, ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.2-4}$= y(x)

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ функция чСтная. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сначала ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для x β‰₯ 0. 3) ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ x= 2 – Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота, Ρ‚.ΠΊ. Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ.

НайдСм Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту:

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ y= 1 – Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота.

4) НайдСм стационарныС ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρƒ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚.ΠΊ. производная ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ Π½Π° области опрСдСлСния нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
5) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²ΠΈΠ΄ стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ монотонности: Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x= 0 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, наша функция чСтная. Она возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌ (-∞;0), x= 0 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума. Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° (0;+∞).
ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ x= 2 – Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ y= 1 – Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота.

Вычислим значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ:

Π’.ΠΊ. функция чСтная построим сначала Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ для x β‰₯ 0.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.3Β Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ x Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ xxx ΠΈΠ»ΠΈ x*x*x. root(x,n) ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· x. НапримСр: root(x,3) Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· x. sqrt() ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ root(Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚,2) cbrt() ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ root(Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚,3) logn(x,a) Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ x пооснованию a ln() ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (с основаниСм Π΅) lg() Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10 (ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ), Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ logn(Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚,10).Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ sin() Бинус cos() ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ tan() ВангСнс cot() ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ sec() БСканс, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ 1/cos() csc() КосСканс, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ 1/sin() asin() Арксинус acos() Арккосинус atan() АрктангСнс acot() АрккотангСнс asec() АрксСканс, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ сСканс acsc() АрккосСканс, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ косСканс sinh() ГипСрболичСский синус, ΡˆΠΈΠ½ΡƒΡ cosh() ГипСрболичСский косинус, чосинус tanh() ГипСрболичСский тангСнс coth() ГипСрболичСский котангСнс sech() ГипСрболичСский сСканс csch() ГипСрболичСский косСканс asinh() ГипСрболичСский арксинус, функция обратная sinh() acosh() ГипСрболичСский арккосинус, функция обратная cosh() atanh() ГипСрболичСский арктангСнс, функция обратная tanh() acoth() ГипСрболичСский арккотангСнс, функция обратная cotanh() asech() ГипСрболичСский арксСканс, функция обратная sech() acsch() ГипСрболичСский арккосСканс, функция обратная csch() gaussd(x,срСднСС,сигма) ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ распрСдСлСниС (РаспрСдСлСниС Гаусса). НапримСр gaussd(x,0,1) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ стандартноС распСрдСлСниС со срСдним Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 0 ΠΈ стандартным ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 1. min(число1,число2) ВычисляСт наимСньшСС ΠΈΠ· 2Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ max(число1,число2) ВычисляСт наибольшСС ΠΈΠ· 2Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ round() ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΡΠ΅Ρ‚ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π΄ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ значСния floor() ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΠΈΠ· ceil() ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… abs() ΠΈΠ»ΠΈ |Β | ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅) sgn() Ѐункция сигнум, опрСдСляСт Π·Π½Π°ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

sgn(x)Β Β =Β Β  Β 1 for x > 0
Β 0 for x = 0
-1 for x < 0
rand Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π’ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΈΠ· функция ΠΆ Икс — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° функция, Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΆ Π±Π΅Ρ€Π΅Ρ‚.

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция — это функция Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏ Икс q Икс , Π³Π΄Π΅ ΠΏ Икс Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ q Икс ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ q Икс β‰  0 .

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ состоит ΠΈΠ· всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Икс ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ…, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ 0 . Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ эти Икс значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· области опрСдСлСния Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для Икс .

НапримСр, Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠ°Ρ функция ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0 .Или ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс — 4 это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4 .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Икс + 1 Икс — 2 Икс — 2 . По ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Икс β‰  2 ΠΎΠ½ становится Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Икс + 1 .Но исходная функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 . Π­Ρ‚ΠΎ оставляСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с Π΄Ρ‹Ρ€ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 .

Один ΠΈΠ· способов Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ — Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½.

Π‘Π½ΠΎΠ²Π° рассмотрим Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс .ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0 .

Π’ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Икс β†’ 0 ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны ΠΎΡ‚ нуля, ΠΆ Икс β†’ ∞ . Аналогично, ΠΊΠ°ΠΊ Икс β†’ Β± ∞ , ΠΆ Икс β†’ 0 .

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ приблиТаСтся Икс -ось ΠΊΠ°ΠΊ Икс стрСмится ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ касаСтся Икс -ось.Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ 0 .

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ 0 .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1:

НайдитС Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс + 3 — 5 .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, приравняйтС Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ для Икс .

Икс + 3 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0 β‡’ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ — 3

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ — 3 .

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠŸΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами Икс Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρƒ .

Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Ρƒ + 3 — 5

РСшСниС для Ρƒ Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΡˆΡŒ,

Икс + 5 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Ρƒ + 3 β‡’ Ρƒ + 3 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс + 5 β‡’ Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс + 5 — 3

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, обратная функция ΠΆ — 1 Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс + 5 — 3 .

Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² области опрСдСлСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, приравняв Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² для Икс .

Икс + 5 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0 β‡’ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ — 5

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ — 5 . Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ — 5 .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° { Икс ∈ ℝ | Икс β‰  — 3 } ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ { Ρƒ ∈ ℝ | Ρƒ β‰  — 5 } .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2:

НайдитС Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Икс 2 — 3 Икс — 4 Икс + 1 .

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ графичСский ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Когда Π²Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ отмСняСтС Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, функция сводится ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Икс + 1 Икс — 4 Икс + 1 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Икс + 1 Икс — 4 Икс + 1 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Икс — 4

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ с Π΄Ρ‹Ρ€ΠΎΠΉ Π² Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ — 1 .

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½.

Ѐункция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ — 1 . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ { Икс ∈ ℝ | Икс β‰  — 1 } ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ — ∞ , — 1 βˆͺ — 1 , ∞ .

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: { Ρƒ ∈ ℝ | Ρƒ β‰  k Π³Π΄Π΅ Ρƒ — 1 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ k } .

Для Икс β‰  — 1 , функция упрощаСтся Π΄ΠΎ Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Икс — 4 .Ѐункция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ — 1 ΠΈΠ»ΠΈ функция Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ — 1 — 4 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ — 5 . Π­Ρ‚ΠΎ, k Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ — 5 .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ { Ρƒ ∈ ℝ | Ρƒ β‰  — 5 } ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ — ∞ , — 5 βˆͺ — 5 , ∞ .

Асимптоты Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

An асимптота это линия, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ приблиТаСтся, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ касаСтся. Π’ Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс , ΠΊΠ°ΠΊ Икс — Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρƒ -оси — это асимптоты. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊ асимптотам, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ касаСтся ΠΈΡ….

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, приравняйтС Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Икс .

Если ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² числитСлС мСньшС стСпСни знамСнатСля, Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота — это Икс -ось ΠΈΠ»ΠΈ Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0 .

Ѐункция ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π° Икс , Π° β‰  0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈ асимптоты, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 Икс .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π° Икс — Π± + c , Π° β‰  0 Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°, симмСтричная ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π± , c .Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π± Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ c .

Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ функция ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π° Икс + Π± c Икс + d ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту ΠΏΡ€ΠΈ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ — d c ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота ΠΏΡ€ΠΈ Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π° c .Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ смыслС, Ссли ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ k Π³Π΄Π΅ k — ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅Π³ΠΎ коэффициСнта числитСля ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ.

Если ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ знамСнатСля Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС стСпСни числитСля, Ρ‚ΠΎ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ асимптоту.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3:

НайдитС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоты Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΆ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 5 Икс — 1 .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту, приравняйтС Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Икс .

Икс — 1 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0 β‡’ Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Ρ€Π°Π²Π½Π° Икс Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² числитСлС мСньшС стСпСни знамСнатСля, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0 .

Если Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ являСтся y = 1 / x, ΠΎΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ y = 5 / x

y = 5 / x — это Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ кривая ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y Π² 5 Ρ€Π°Π· большС, Ρ‡Π΅ΠΌ для ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = 1 / x

Π² 1-ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π² 5 Ρ€Π°Π· мСньшС Π² 3-ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.

ОбС ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ каТдая ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π° Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ y = -x

ОбС ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ асимптотичны ΠΏΠΎ осям y ΠΈ x.

, Π½ΠΎ y = 1 / x приблиТаСтся ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ оси быстрСС, Ρ‡Π΅ΠΌ y = 5 / x

Оба ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ стандартными Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π° 45 градусов.

Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ y = 1 / x Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (1,1) ΠΈ (-1, -1) Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ y = 5 / x Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

(5 1/2 , 5 1/2 ) ΠΈ (-5 1/2 , -5 1/2 ). Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ — это Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ наимСньшим расстояниСм

ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π΄ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹. На ΠΏΠΎΠ»ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ

Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, Π½Π° y = 1 / x ΠΈΠ»ΠΈ y = 5 / x находится Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (0,0)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ y = 1 / x ΠΊ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° y = 5 / x Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эквивалСнтно Ρ€Π°ΡΡ‚ΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y Π½Π° коэффициСнт Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния 5

ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ Π½Π° коэффициСнт 5 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ 3

ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· с коэффициСнтом 5

ΠΈ кривая Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ с коэффициСнтом 5 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ 1

ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… с коэффициСнтом 5

Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ y = 1 / x ΠΊ y = 5 / x ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ пСрСмСщСния Π½Π° 45 градусов ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ

, Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, с коэффициСнтом

, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 5, Π² 1-ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅,

, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° 45 градусов Π²Π½ΠΈΠ· ΠΈ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ с коэффициСнтом

ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· 5 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ 3.Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (1,1), смСщСнная Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ

, становится (5 1/2 , 5 1/2 ) Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ 1, пСрСходя ΠΎΡ‚ y = 1 / x ΠΊ y = 5 / x

Ни Ρ‚ΠΎ, Π½ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ кривая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси y ΠΈΠ»ΠΈ x

Наклоны ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ нуля, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x приблиТаСтся ΠΊ бСсконСчности

ΠΈ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x приблиТаСтся ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ слСва ΠΈΠ»ΠΈ справа

НапримСр, Ссли (2, 1/2) — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° y = 1 / x, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° (10, 1/2) — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° y = 5 / x

10 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 x 5. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ x Π½Π° 5, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° y = 5 / x

Или, Ссли (2, 1/2) находится Π½Π° y = 1 / x, Ρ‚ΠΎ (2,5 / 2) находится Π½Π° y = 5 / x.Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ y Π½Π° 5.

ВсС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ y симмСтричны. Если (2,1 / 2) находится Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ (1 / 2,2)

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС, Ссли (x, y) находится Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ (y, x) находится Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅. Если (x, y) находится Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ y = 1 / x, Ρ‚ΠΎ

, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ (5x, y) ΠΈ (x, 5y) Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ y = 5 / x. Π­Ρ‚ΠΎ сдвиг Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π² 5 Ρ€Π°Π·.

Если x ΠΈ y Π½Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ сдвиг Π²Π½ΠΈΠ· ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ Π² 5 Ρ€Π°Π·.

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° прСдставляСт собой коничСский Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·, Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π· Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°. конусы, соСдинСнныС вмСстС ΠΈΡ… заострСнным Π΄Π½ΠΎΠΌ,

ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‡Π°ΡˆΠΊΠ° Π»ΠΈΡ†Π΅Π²ΠΎΠΉ стороной Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Π° другая Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π΄Π½ΠΎΠΌ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°

ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠΌΠ°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стаканчики Ρƒ водоохладитСля.

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° — СдинствСнноС коничСскоС сСчСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹. КаТдая ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π° находится Π²

Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅

python — Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ y = 1 / x ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

На этот вопрос ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ :

Π—Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ 4 Π³ΠΎΠ΄Π° Π½Π°Π·Π°Π΄.

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ простой способ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, стрСмящСйся ΠΊ бСсконСчности ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π½Π΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ?

НапримСр, построСниС y = 1 / x с использованиСм этого ΠΊΠΎΠ΄Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

  ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ numpy ΠΊΠ°ΠΊ np
ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ plt

def f (x):
    Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚ 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

x = np.setdiff1d (np.linspace (-10,10,100), [0]) # Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ноль
Ρƒ = f (Ρ…)
plt.plot (x, y, label = fx_name)
plt.Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄Π° (loc = 'Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ')
plt.show ()
  

Но ΠΌΠ½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ я добился, построив Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π°:

  ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ numpy ΠΊΠ°ΠΊ np
ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ plt

def f (x):
    Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚ 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

xfn = np.setdiff1d (np.linspace (-10,0,100), [0])
xfp = np.setdiff1d (np.linspace (0,10,100), [0])
yfn = f (xfn)
yfp = f (xfp)

yf = plt.plot (xfn, yfn, label = fx_name)
plt.plot (xfp, yfp, color = yf [0] .get_color ())
plt.legend (loc = 'Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ')
plt.ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ()
  

Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ? Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠ΅ спасибо.

РСшСниС

Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ноль Π² массив Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ноль. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ массива совмСщСнных Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ² обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ Β«infΒ», Π° Β«infΒ» Π½Π΅ отобраТаСтся.

  ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ numpy ΠΊΠ°ΠΊ np
ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ plt

def f (x):
    с np.errstate (div = 'ignore', invalid = 'ignore'):
        Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚ 1 / x
fx_name = r '$ f (x) = \ frac {1} {x} $'

x = np.linspace (-10,10,101)
Ρƒ = f (Ρ…)
plt.ΡΡŽΠΆΠ΅Ρ‚ (x, y, label = fx_name)
plt.legend (loc = 'Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ')
plt.show ()
  

Π― ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ позволяСт ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… манипуляций с массивом ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ использован для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, y = 1 / (x + 2)). Бпасибо всСм Π·Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄.

ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 1 / x — Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈ стСнограмма ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

1 Π½Π°Π΄ x сдвигами Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ΠΈ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ

ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… довольно простых ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·.Если Π²Ρ‹ сдСлаСтС всС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ число Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Π²Ρ‹ пСрСмСститС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…. Если Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ число, Π²Ρ‹ пСрСмСститС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π½ΠΈΠ·.

ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ это происходит ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ выполняСтС всю Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ добавляСтС d ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ y Π² самом ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ опрСдСляСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ вашСго Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π° d Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ большСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y для любого Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ x . НапримСр, здСсь всС просто сдвинуто Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° 5 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния x Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для 1/ x , плюс Π΅Ρ‰Π΅ 5.

1 over x функция Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ смСщСния 5 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†

Если Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ число ΠΊ x Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π²Ρ‹ пСрСмСститС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π½Π΅ мСняя Π΅Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ всС ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ: Ссли Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ c Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, функция пСрСмСстится Π²Π»Π΅Π²ΠΎ Π½Π° c Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†. Если Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ c Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, функция пСрСмСстится Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° c Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.

Как это Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ? Π§Π΅ΠΌ большС ниТняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΌ мСньшС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ c , итоговая Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ мСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ просто 1/ x .

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Ссли Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· x , получСнная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, для любого Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния x Π² нашСй ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ даст Π½Π°ΠΌ мСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y , Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ даст Π½Π°ΠΌ большСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y .

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° это — Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… 1/ x . Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ самыС значСния y ΠΈΠ· 1 / ( x + 5), Π²Π°ΠΌ придСтся Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ 5 ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния x . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для любого Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния y Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ это, пСрСмСщаСтся Π½Π° 5 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ сторону Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, которая остаСтся слСва.

Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π° простых прСобразования Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ асимптоты Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f ( x ) = 1/ x + 5 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ асимптоту ΠΏΡ€ΠΈ x = 5, Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 0 ΠΈΠ· этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если ΠΌΡ‹ подставим -1/5 для x , ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ f ( x ) = -5 + 5, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0. Но ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 5, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 5 1/ x Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° прСобразования, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΅ располоТСниС Π½Π° осях x ΠΈ y .ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ число. Π­Ρ‚ΠΎ сгладит Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ± этом ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Если a большС 1, Ρ‚ΠΎ для любого Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния x (1 * a ) / x Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС 1/ x . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ большСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y , Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x Π² исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 1/ x .

Пока Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ сдСлали с Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ числа ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Но это Π½Π΅ всС! Из ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° константу ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ сСбя ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ простоС Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ константы.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° сравнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ 1 over x

Когда Π²Ρ‹ добавляСтС константу, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ значСния y остаСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅; Π²Ρ‹ просто Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚Π΅ с большСго числа.Когда Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π° константу, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ мСняСтся. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, функция мСняСт ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΠ·Π½Ρƒ с Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹: функция растягиваСтся, становится ΡˆΠΈΡ€Π΅ ΠΈ Ρ€ΠΎΠ²Π½Π΅Π΅.

А ΠΊΠ°ΠΊ насчСт умноТСния Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ число? Π’ этом случаС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ всС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. Π§Π΅ΠΌ большС ниТняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΌ мСньшС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ f ( x ); поэтому f ( x ) становится мСньшС, Π° x становится большС.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚Π΅ ниТнюю Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ просто x , поэтому f ( x ) станСт Π΅Ρ‰Π΅ мСньшС, Π΄Π°ΠΆΠ΅ быстрСС.

Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ умноТСния ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 1 ΠΏΠΎ x

И Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ это ΠΈ происходит. Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ становятся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ сТатыми ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌΠΈ; ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ асимптотС быстрСС Π²ΠΎ всСх направлСниях. Если Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ниТнюю Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π²Ρ‹ просто ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.Если Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ -1, Π²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ плоским ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ нСобходимости.

РСзюмС ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

Π’ этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ( x ) = 1/ x . Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ функция , которая прСдставляСт собой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ f ( x ) ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ x . Π­Ρ‚Π° функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ асимптоты. Асимптота — это линия, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ функция приблиТаСтся, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ пСрСсСкаСт Π΅Π΅.Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами:

  • Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ послС Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ дСлСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΠΎ оси y Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ количСство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.
  • ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊ x Π΄ΠΎ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ дСлСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСмСщаСтся ΠΏΠΎ оси x Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ количСство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ растягиваСт Π΅Π΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ плоской.
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сТимаСт Π΅Π΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ.
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠ·Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Если Π²Ρ‹ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ, просто ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ: Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ с x ; ΠΊΠ°ΠΊ это повлияСт Π½Π° ΠΈ ; ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ?

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 1 / x: ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ ΠΈ опрСдСлСния

Асимптота — это линия, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ функция приблиТаСтся, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ пСрСсСкаСт.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ происходит ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ добавлСния ΠΈΠ»ΠΈ вычитания чисСл Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… мСстах. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β«ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ… XΒ» выглядят ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ѐункция ИзмСнСния Π² Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅
Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ послС дСлСния f ( x ) = 1/ x + d ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΠΎ оси y Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ количСство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.
Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊ x Π΄ΠΎ выполнСния дСлСния f ( x ) = 1/ (x + c) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ оси x Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ количСство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ f ( x ) = (1 * a) / x растягиваСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ плоским.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ f ( x ) = 1/ (b * x) сТимаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠ·Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ f ( x ) = -1 / x мСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ обучСния

ПослС Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ этого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

  • ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ функция f ( x ) = 1/ x являСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ с двумя асимптотами
  • Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 1 / x ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ

4.6 ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Π½Π° бСсконСчности ΠΈ асимптоты — ОбъСм исчислСния 1

РСшСниС

Π¨Π°Π³ 1. Ѐункция опрСдСляСтся Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅

.

Π¨Π°Π³ 2. НайдитС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ. Если Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° 0 — это ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚. Если Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, являСтся СдинствСнным ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ΠΎΠΌ.

Π¨Π°Π³ 3. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Π½Π° бСсконСчности. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ знамСнатСля: ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту as ΠΈ

Π¨Π°Π³ 4.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, сначала ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ. ΠœΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° для опрСдСлСния Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ асимптотами ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ, ΠΈ глядя Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ односторонний ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, глядя Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ односторонний ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π¨Π°Π³ 5. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная Π½Π΅ являСтся Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π² области Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Однако, Π½Π΅ находится Π² области Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π³Π΄Π΅ увСличиваСтся, Π° Π³Π΄Π΅ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°: ΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ².ЗначСния ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ для ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

Из этого Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ локального максимума.

Π¨Π°Π³ 6. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π³Π΄Π΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π³Π΄Π΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π½ΠΈΠ·, Π½Π°ΠΌ сначала Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ для любого Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π΅ являСтся Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΠΈ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² области Однако, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ входят Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ дСйствия Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΈ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ². Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ².ЗначСния ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

ОбъСдинив всю эту ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅. {2} \ left (x — 2 \ right)} \\ [/ latex].{2} \ left (0–2 \ right)} \ hfill \\ \ text {} = 3 \ hfill \ end {case} \\ [/ latex]

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ x , ΠΌΡ‹ опрСдСляСм, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Устанавливая ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ x -пСрСсСчСний ΠΏΡ€ΠΈ [latex] x = -2 \\ [/ latex] ΠΈ [latex] x = 3 \\ [/ latex]. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ случаС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ (ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1) с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ, проходящим Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния.

Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ пСрСсСчСниС y Π² [latex] \ left (0,3 \ right) \\ [/ latex] ΠΈ пСрСсСчСниС x Π² [latex] \ left (-2,0 \ right) \\ [/ latex] ΠΈ [latex] \ left (3,0 \ right) \\ [/ latex].

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΌΡ‹ опрСдСляСм, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° [latex] x + 1 = 0 \\ [/ latex] ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° [latex] x — 2 = 0 \\ [/ latex], Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π² [latex] x = -1 \\ [/ латСкс] ΠΈ [латСкс] Ρ… = 2 \\ [/ латСкс].

Π’ числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ устранимых Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ².

НаконСц, ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ знамСнатСля большС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ числитСля, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту ΠΏΡ€ΠΈ [latex] y = 0 \\ [/ latex].

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Π±Ρ€ΠΎΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с построСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния x ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ асимптотами, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния y ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ асимптотами, Ρ‡Ρ‚ΠΎ позволяСт Π½Π°ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 20.

Рисунок 20

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, связанный с Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотой Π² [latex] x = -1 \\ [/ latex], Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, поэтому ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны асимптоты.Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ направляСтся ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ асимптотС справа, поэтому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ направляСтся ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности слСва.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *