Косинус круг: Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций

Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций

Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом, и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы,  или вы совсем нетерпеливы,  – то вот он, тригонометрический круг:

Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом + показать

Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций,  столько формул…  А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций, – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул,  давайте избавляться от этой привычки!

Нас выручит тригонометрический круг! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове.

Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул, чему равен синус, скажем, градусов, или .

Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения…  А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

А при решении тригонометрических уравнений и неравенств   без тригонометрического круга  – вообще никуда.

Знакомство с тригонометрическим кругом

Давайте по порядку.

Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

А теперь такой:

И, наконец, такой:

Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .

Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

И зачем оно нам?

Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

От луча  «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .

Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

Это почему же, спросите вы?

Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем  . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть ).

Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора

Надеюсь, уже что-то становится понятно?

Наконец, что такое синус, косинус в прямоугольном треугольнике?

 

Так вот точка  В и будет соответствовать  значению , а точка М – значению

Аналогично с остальными значениями первой четверти.

Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов, а ось  (oy) – осью синусов.   Про тангенс и котангенс позже.

Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ тригонометрический круг, без которого никуда в тригонометрии.

А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в следующей статье.

Тригонометрический круг

Тригонометрический круг — это окружность с единичным радиусом и центром в начале осей координат, каждая точка которой образует треугольник с точками:

• точка в начале осей координат (точка 0;0)
  
• точка на окружности (выбрана нами)
• точка на оси X, которая является проекцией выбранной нами точки на эту ось (перпендикуляр к оси X)

Как видно, такой треугольник является прямоугольным, так как из выбранной нами точки на ось абсцисс всегда опускается перпендикуляр. То есть сторона, соединяющая начало координат и выбранную нами точку на тригонометрическом круге ( на приведенном рисунке обозначенную как B, B1. B2, B3) всегда является гипотенузой прямоугольного треугольника, проекция выбранной точки — это катет, а сторона от точки пересечения с осью X образует второй катет.

Угол, который образуется между осью абсцисс (осью X) и гипотенузой треугольника — является углом, для которого и вычисляются значения тригонометрических функций. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси X) как ноль, далее против часовой стрелки. Таким образом, полный круг составляет 360 градусов или 2π радиан.

Чтобы вычислить значение тригонометрической функции для выбранного угла тригонометрического круга достаточно воспользоваться координатами точки, принадлежащей окружности тригонометрического круга. На приведенном выше рисунке, показано вычисление значения синуса для всех углов.

Например, sin α для треугольника OBC (где координаты точки B равны (x,y) ) ,будет равен: y / √ ( x² + y²) 

Свойства тригонометрического круга

Если последовательно вычислять значения тригонометрических функций для тригонометрического круга, то становится видно, что результат таких вычислений меняет свой знак в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга выбрана точка. При этом знак тригонометрической функции в пределах одной и той же четверти сохраняется. 

Знаки тригонометрических функций в координатных четвертях в тригонометрическом круге

Преобразование углов больше 360 градусов или 2π радиан

Как видно из картинок, после того, как значение угла превысит 360 градусов (или 2π радиан), то результат вычисления значения будет тем же самым. То есть, для того, чтобы привести значение к «нормальному» — нужно вычесть из имеющегося значения 360 градусов или 2π радиан и повторять операцию столько раз, пока результат не станет меньше 360 или 2π.

 Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике | Описание курса | Радианы и градусы. Радiани i градуси 

   

Тригонометрическая окружность (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла \( \displaystyle 30\) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».\circ =0\).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

\( \displaystyle \text{t}g\ \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\), \( \displaystyle ctg\ \alpha =\frac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }\)

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса \( \displaystyle 90\) градусов. Это неспроста!

В частности:

\( \displaystyle ctg 0=\frac{\cos 0}{\sin 0}=\frac{1}{0}=?????\)

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс \( \displaystyle 90\) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от \( \displaystyle 0\) до \( \displaystyle 360\) градусов;
• Угол больше \( \displaystyle 360\) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше \( \displaystyle 90\) градусов и не больше чем \( \displaystyle 360\).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол \( \displaystyle \alpha \), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки \( \displaystyle {{M}_{1}}\), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты \( \displaystyle {{x}_{1}}\) и \( \displaystyle {{y}_{1}}\).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен \( \displaystyle -1\)? А у каких \( \displaystyle -1\) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс основное тригонометрическое тождество тригонометрический круг числовая окружность

Содержание

Определение тригонометрических функций произвольного угла

Рассмотрим окружность радиуса   R с центром в начале прямоугольной системой координат Oxy.

Рис.1

Положительным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении движения против часовой стрелки (рис.1).

Рис.2

Отрицательным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки (рис. 2).

Если для координат точки   M₀ , лежащей на окружности радиуса R с центром в начале координат O (рис. 3),

Рис.3

ввести обозначение

M₀ = ( x₀ ; y₀ ),

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство:

x₀² + y₀² = R²,

и можно сформулировать следующее общее определение тригонометрических функций произвольного угла.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом произвольного угла α называют числа, определяемые по формулам:

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отметим следующее важное свойство тригонометрических функций синуса и косинуса произвольного угла:

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Определение тригонометрических функций произвольного угла является естественным обобщением определения тригонометрических функций острого угла, данного в разделе справочника «Тригонометрические функции острого угла».

Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если для координат точки   M₁ (рис. 4), лежащей на этой окружности,

Рис.4

ввести обозначение

M₁ = ( x₁ ; y₁ ) ,

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство

x₁² + y₁² = 1 ,

а синус, косинус, тангенс и котангенс угла α будут вычисляться по формулам

Из этих формул, в частности, вытекает основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1 .

Таким образом, основное тригонометрическое тождество является теоремой Пифагора, сформулированной с помощью тригонометрических функций.

Окружность радиуса 1, изображенную на рисунке 4, называют тригонометрическим кругом или числовой окружностью.

вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Он заменяет десяток таблиц.

Сколько полезного на этом рисунке!

1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2π радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси Х, а значение синуса — на оси Y.

3. И синус, и косинус принимают значения от −1 до 1.

4. Значение тангенса угла α тоже легко найти — поделив sin α на cos α. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2π.

Если вам что-то непонятно — читайте подробнее:

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине А — это угол, смежный с углом А. Если угол А острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

sin (180°-α) = sin α cos (180°-α) = — cos α tg (180°-α) = — tg α

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Пусть — внешний угол при вершине А.

Зная cos  , найдем tg   по формуле

Получим:

2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 0,1. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов А и В равна 90°, sin B = cos A = 0,1. Тогда и синус внешнего угла при вершине В также равен 0,1.

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач В6 в банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Высота проведена к гипотенузе АВ. Она делит треугольник АВС на два прямоугольных треугольника — АСН и СНВ. Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Значит, ∠ АСН = 90º — ∠ САН, то есть угол АСН равен углу АВС. Аналогично, угол САВ равен углу НСВ.

Иными словами, каждый из трех углов треугольника АВС равен одному из углов треугольника АСН (и треугольника ВСН). Треугольники АВС, АСН и ВСН называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники АСН и АВС. Стороны треугольника АВС длиннее, чем стороны треугольника АСН в k раз:

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников АВС, АСН и ВСН, а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника АВС можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, ВС = 3, . Найдите AH.

Рассмотрим треугольник АВС. В нем известны косинус угла А и противолежащий катет ВС. Зная синус угла А, мы могли бы найти гипотенузу АВ. Так давайте найдем sin A:

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВСН, ∠ Н = 90°. Поскольку ∠ НСВ = ∠ А,

Отсюда

Ответ: 16.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АC = 8, sin A = 0,5. Найдите высоту CH.

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник АСН.

Ответ: 4.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АВ = 13, . К гипотенузе проведена высота CH. Найдите AH. <.

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

Зато можно записать теорему Пифагора: a² + b² = 13².

Нам известно также, что:

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

;

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

и найдем СН = 2,5.

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85º. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85°, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение 2х + 3х = 85 и найдем х = 17. Тогда 3х = 51.

Ответ: 51.

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98º. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98°?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180°. Значит, один из углов треугольника равен 98°, а два других равны .

Ответ: 41.

3. На рисунке угол 1 равен 46º, угол 2 равен 30º, угол 3 равен 44º. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сначала найдем угол 5. Он равен 180° — ∠1 — ∠3 = 90° Тогда ∠6 = 90° ∠7 = 180° — ∠2 — ∠6 = 60°, Угол 4, смежный с углом 7 равен 120°.

Ответ: 120.

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

4. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Пусть углы треугольника равны 2х, 3х и 4х. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника. 2х + 3х + 4х = 180° 9х = 180° х = 20° Тогда 2х = 40°.

Ответ: 40.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые а и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4.

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180º.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. ∠3 = ∠5, ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8, ∠4 = ∠6.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна 180°, то есть ∠1 + ∠6 = 180°, ∠4 + ∠7 = 180°.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть ∠3 = ∠5, ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8, ∠4 = ∠6.

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть ВМ — биссектриса тупого угла В. По условию, отрезки МD и АВ равны 3х и 4х соответственно.

Рассмотрим углы СВМ и ВМА. Поскольку АD и ВС параллельны, ВМ — секущая, углы СВМ и ВМА являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник АВМ — равнобедренный, следовательно, АВ = АМ = 4х.

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть 7х + 7х + 4х + 4х = 88. Отсюда х = 4, 7х = 28.

Ответ: 28.

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26º и 34º. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: 120º.

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50º? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, α — β = 50°, то есть α = β + 50°.

Углы α и β — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно, α + β = 180°.

Итак, 2β + 50° = 180° β = 65°, тогда α = 115°.

Ответ: 115.

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки А на отрезок ВС, зато можем опустить его на прямую ВС — то есть на продолжение стороны ВС.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу С4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника АВС ( в котором угол С равен 90°) пересекаются в точке М.

Рассмотрим треугольник АВМ.

∠ МАВ = ∠ ВАС,

∠ АВМ = ∠ АВС, тогда ∠ АМВ = 180° — ∠ МАВ — ∠ АВМ = 180° — (∠ АВС + ∠ ВАС).

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен φ.

Угол φ смежный с углом АМВ, следовательно, φ = (∠ АВС + ∠ ВАС).

Поскольку треугольник АВС — прямоугольный, то ∠ АВС + ∠ ВАС = 90°.

Тогда φ = (∠ АВС + ∠ ВАС) = 90° : 2 = 45°.

Ответ: 45.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29º и 61º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть СН — высота, проведенная из вершины прямого угла С, СК — биссектриса угла С.

Тогда ∠ АСН = ∠ АВС = 61°, ∠ АСК = 90° : 2 = 45°.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол КСН.

∠ КСН = ∠ АСН — ∠ АСК = 61° — 45° = 16°

Ответ: 16.

3. Два угла треугольника равны 58º и 72º. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника АВН (угол Н — прямой) найдем угол ВАН. Он равен 18°.

Из треугольника АВК (угол К — прямой) найдем угол АВК. Он равен 32°.

В треугольнике АОВ известны два угла. Найдем третий, то есть угол АОВ, который и является тупым углом между высотами треугольника АВС:

∠ АОВ = 180° — 18° — 32° = 130°.

Ответ: 130.

4. В треугольнике ABC угол C равен 58º, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике АВС угол ВАС равен А, угол АВС равен В.

Рассмотрим треугольник АОВ.

∠ ОАВ = ∠ А

∠ АВО = ∠ В, тогда ∠ АОВ = 180° — (∠ А + ∠ В). Из треугольника АВС получим, что ∠ А + ∠ В = 180° — 58° = 122°.

Тогда ∠ АОВ = 180° — (∠ А + ∠ В) = 180° — 61° = 119°.

Ответ: 119°.

5. В треугольнике ABC угол A равен 60º, угол B равен 82º. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем угол АСВ. Он равен 38°.

Тогда ∠ АСF = ∠ ACB = 19°.

Из треугольника АСF найдем угол AFC. Он равен 101°.

Рассмотрим треугольник АОF.

∠ AFО = 101°, ∠ FAO = ∠ ВАС = 30°. Значит, ∠ AOF = 49°.

Ответ: 49.

6. В треугольнике АВС СD — медиана, угол ACB равен 90º, угол B равен 58º. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: 22.

Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм. Виды параллелограммов и их свойства. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция и ее свойства

В школьных задачах по геометрии мы обычно рассматриваем выпуклые четырехугольники.

В чем разница между ними? Если любые две точки выпуклого многоугольника соединить отрезком — весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклых фигур это не выполняется.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Произвольные четырехугольники в задачах по геометрии встречаются редко. Намного чаще — такие, у которых есть параллельные стороны. Это параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник и трапеция. Здесь в таблице собраны их определения и свойства.

Тригонометрический круг синус и косинус

Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат — одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая — вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы — cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы — sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы — на диване перед телевизором по горизонтали.

В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат — там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

Найти решение:

Синусы и косинусы круг — здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

Угол 120 градусов в радианах — равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

Значения синусов косинусов углов в радианах — на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

Значение косинуса угла в 45 градусов — равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

Тригонометрическая окружность — я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности — вылитая тригонометрия.

Тригонометрический круг рисунок — есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию — почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников «Перед вами всемирно известное полотно «Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках» — картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения …» Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

Круг синусов и косинусов — именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

Угол 9 градусов сколько это в пи — в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

Синус это вверх или в сторону — синус — это вверх, в сторону — это косинус.

Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.

Про тригонометрию ⋆zagalina.ru

Тригонометрический круг→

Содержание:

 

Поговорим о тригонометрии

Вопрос:»Что такое тригонометрия?» Сразу представляю себе ответ: «Ну…., это когда синус или косинус…» «А что такое синус и косинус?» — «Ну…, отношение катетов к гипотенузе…» «То есть — геометрия?» — «???…» Нет, конечно не геометрия! Представьте себе угол в 1000° . Представили? Нет!.. А отрицательный угол? Нет таких углов!!! На 90° заканчивается прямоугольные треугольники, которые и дали определение для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. На 180° заканчивается треугольник, на 360° — планиметрия. Что же тогда такое — тригонометрия? Разберемся… Начнем с двух основных понятий — синуса и косинуса. Что вы о них знаете кроме того, что это отношения катетов и гипотенузы? Вспомнили? сумма квадратов синуса и косинуса равны единице.

Sin²α + Cos²α = 1

       А помните, как выглядит уравнение окружности с центром в начале координат, радиус которой R?

x² + y² = R²

       А если радиус R = 1, то это уравнение будет выглядеть  x² + y² = 1. Согласитесь, это очень похоже на основное тригонометрическое уравнение! А что особенно любят школьники, решая уравнения с неудобными выражениями? Заменять их, делать равносильную замену на какую-нибудь букву. Сделаем тоже замену двух неизвестных x² и y² на  Sin²α и Cos²α, получим равносильное уравнение. Получается, что тригонометрия — это раздел математики, позволяющий решать некоторые уравнения гораздо проще, если их неизвестные удовлетворяют условиям:

Тогда неизвестную можно заменить на синус или косинус.

       А проще потому, что в тригонометрии появляются дополнительные формулы для расчетов. Неизвестными в тригонометрии становятся уже не отдельные буквы, а тригонометрические функции: sin x,    cos x,    tg x,    ctg x,

где  ,  а  

        Вот так! Это тригонометрия!

 

Тригонометрические функции

        Почему функции? Напомню, что же такое — функции. Функция — это отношение между двумя зависимыми друг от друга величинами, которое записывается в виде математической формулы, определяющей эту зависимость. При этом изменение одной величины ведет к изменению другой величины. Подробнее→

         В случае тригонометрических функций, величина у меняется с изменением величины х, формула — это сами синус, косинус, тангенс и котангенс.

         Графики этих функций приведены ниже:

	функция y(x) = sin x
	функция y(x) = cos x
	функция y(x) = tg x
	функция y(x) = ctg x

         Получается, что синус, косинус, тангенс и котангенс — это математические выражения, связывающие два неизвестных. А значит, мы можем их, эти неизвестные, находить. А поможет нам в этом великолепная классическая «шпаргалка» — тригонометрический круг.

         Но прежде, чем мы перейдем к тригонометрическому кругу, определимся со значениями аргумента тригонометрической функции х, который может меняться от минус бесконечности до плюс бесконечности.  

x ∈ ( — ∞; + ∞).

В этом случае целесообразно отвлечься от градусной меры углов и вспомнить, что углы измеряются также радианами – просто числами, определяемыми через всем известное число π, соответствующее 180°-ному углу, и π = 3,141582….. И тогда x — это уже не углы, а числа .

 

Строим тригонометрический круг

Чертим на плоскости декартову систему координат, а в ней графически изображаем уравнение :

х² + у² = 1,

то есть, чертим круг радиусом, равным 1.

       Рассмотрим точку М(х_о, у_о), принадлежащую первой четверти окружности, и треугольник, где х_о, у_о координаты точки, а 0М – радиус окружности, равный 1.  Получается, что отношение у_о  к радиусу есть ничто иное, как синус угла α, а отношение х_о к радиусу – косинус угла α. А это значит, что координаты любой точки на окружности радиусом, равным 1 – это синус и косинус угла, образованного осью 0х и радиус-вектором точки М, то есть отрезком ОМ.

       Тогда наш круг можно представить следующим  образом:→

Выходит, что по оси Оу получаем значения синусов аргумента, назовем ее «ось синусов», а по оси Ох — значения косинусов, получаем как бы «ось косинусов». При этом, разумеется, значения синусов и косинусов не выходят за пределы круга. Просто, потому что не могут в силу своей ограниченности! Ну, а мы с вами имеем возможность определятся с синусами и косинусами уже не углов, а аргумента х ∈ ( — ∞; + ∞). Почему? А потому что тригонометрические функции — периодические, т.е. просто «вертятся» по кругу. При этом значения синусов и косинусов определяются значениями координат точек на окружности со всеми их знаками. Например, согласно рисунку, координата у точки на окружности, соответствующей углу , определяет  , а координата х определяет  .

       С синусами и косинусами разобрались. А как же тангенсы и котангенсы?       С ними тоже не возникнет проблем. Тангенс определяется:

Вот и проводим «ось тангенсов» там, где cos α равен 1. Аналогично поступаем и с «осью котангенсов» В отличие от синусов и косинусов тангенсам и котангенсам прямую проводим через начало координат. То есть на круге два угла для тангенса и два угла для котангенса. Оно и понятно: период  функций тангенса и котангенса составляет π, а не 2π, как у функций синуса и косинуса.

3 совета эксперта по использованию единичной окружности

Если вы изучаете тригонометрическую систему или математику — или готовитесь к этому — вам нужно будет познакомиться с единичным кругом. Единичная окружность — это , важный инструмент, используемый для нахождения синуса, косинуса и тангенса угла. а как это работает? И какую информацию нужно знать, чтобы ею пользоваться?

В этой статье мы объясним, что такое единичный круг и почему вы должны его знать. Мы также даем вам три совета, которые помогут вам запомнить, как использовать единичный круг.

Изображение функции: Gustavb / Wikimedia

Единичный круг: базовое введение

Единичный круг — это круг с радиусом 1. Это означает, что для любой прямой линии, проведенной от центральной точки круга к любой точке на краю круга, длина этой линии всегда будет равна 1. (Это также означает, что диаметр круга будет равен 2, поскольку диаметр равен удвоенной длине радиуса.)

Как правило, центральная точка единичной окружности находится там, где пересекаются оси x и y, или в координатах (0, 0):

Единичная окружность или триггерная окружность, как ее еще называют, полезно знать, потому что позволяет нам легко вычислить косинус, синус и тангенс любого угла от 0 ° до 360 ° (или от 0 до 2π радиан).

Как вы можете видеть на приведенной выше диаграмме, нарисовав радиус под любым углом (отмечен на изображении by), вы создадите прямоугольный треугольник. 2 $ (где a и b — длины сторон треугольника, а c — длина гипотенузы).2θ = 1 $$

Имейте в виду, что эти значения могут быть отрицательными в зависимости от образованного угла и в какой квадрант попадают координаты x и y (более подробно я объясню это позже).

Вот обзор всех основных углов в градусах и радианах на единичной окружности:

Единичный круг — градусы

Единичный круг — радианы

Но что, если треугольник не образовался? Давайте посмотрим на , что происходит, когда угол равен 0 °, образуя горизонтальную прямую линию вдоль оси x:

В этой строке координата x равна 1, а координата y равна 0.Мы знаем, что косинус равен координате x, а синус равен координате y, , поэтому мы можем записать это:

Что если угол равен 90 ° и образует идеально вертикальную линию вдоль оси y?

Здесь мы видим, что координата x равна 0, а координата y равна 1. Это дает нам следующие значения для синуса и косинуса:

• $ \ cos90 ° = 0 $
• $ \ sin90 ° = 1 $

Этот слоган определенно подходит, если вы не любитель математики.

Почему вы должны знать единичную окружность

Как указано выше, единичная окружность полезна, потому что позволяет нам легко найти синус, косинус или тангенс любого градуса или радиана. Особенно полезно знать круговую диаграмму единиц, если вам нужно решить определенные триггерные значения для домашнего задания по математике или если вы готовитесь к изучению математического анализа.

Но как именно знание единичного круга может вам помочь? Допустим, вам задали следующую задачу на тесте по математике, и нельзя использовать для ее решения с помощью калькулятора :

$$ \ sin30 ° $$

С чего начать? Давайте снова посмотрим на диаграмму единичного круга — на этот раз со всеми большими углами (как в градусах, так и в радианах) и их соответствующими координатами:

Джим.belk / Викимедиа

Не расстраивайтесь! Помните, все, что вам нужно, это $ \ sin30 ° $. Посмотрев на этот график, мы видим, что , координата y равна $ 1/2 $ при 30 °. И поскольку координата y равна синусу, наш ответ будет следующим:

$$ \ sin30 ° = 1/2 $$

Но что, если вы столкнетесь с проблемой, в которой вместо градусов используются радианы? Процесс ее решения остается прежним. Скажем, например, у вас возникла проблема, которая выглядит так:

$$ \ cos {{3π} / 4} $$

Опять же, используя диаграмму выше, мы можем видеть, что координата x (или косинус) для $ {3π} / 4 $ (который равен 135 °) составляет $ — {√2} / 2 $.Вот как бы тогда выглядел наш ответ на эту проблему:

$$ \ cos ({3π} / 4) = — {√2} / 2 $$

Все это довольно просто, если у вас есть приведенная выше круговая диаграмма единиц для использования в качестве справочной информации. Но в большинстве случаев (если не всегда) это не так, и вы должны будете отвечать на эти типы математических вопросов, используя только свой мозг.

Так как же можно запомнить единичный круг? Читайте наши главные советы!

Как запомнить единичный круг: 3 основных совета

В этом разделе мы даем вам несколько основных советов по запоминанию триггерного круга, чтобы вы могли легко использовать его для решения любой математической задачи, которая в нем требует.

Я бы не рекомендовал практиковать единичный круг с клейкими лентами, но, эй, это только начало.

# 1: Запомните общие углы и координаты

Чтобы эффективно использовать единичный круг, вам нужно запомнить наиболее распространенные углы (как в градусах, так и в радианах), а также их соответствующие координаты x и y.

Диаграмма выше представляет собой полезную диаграмму единичного круга, на которую стоит обратить внимание, поскольку она включает все основные углы в градусах и радианах в дополнение к их соответствующим координатным точкам по осям x и y.

Вот диаграмма, содержащая ту же информацию в виде таблицы:

Угол (градусы)	Угол (радианы)	Координаты точки на окружности
0 ° / 360 °	0 / 2π	(1, 0)
30 °	$ π / 6 $	$ ({√3} / 2, 1/2) $
45 °	$ π / 4 $	долл. США ({√2} / 2, {√2} / 2) долл. США
60 °	$ π / 3 $	долл. США (1/2, {√3} / 2) долл. США
90 °	$ π / 2 $	(0, 1)
120 °	$ {2π} / 3 $	долл. США (- 1/2, {√3} / 2) долл. США
135 °	$ {3π} / 4 $	долл. США (- {√2} / 2, {√2} / 2) долл. США
150 °	$ {5π} / 6 $	$ (- {√3} / 2, 1/2) $
180 °	π	(-1, 0)
210 °	$ {7} / 6 $	$ (- {√3} / 2, -1/2) $
225 °	$ {5π} / 4 $	$ (- {√2} / 2, — {√2} / 2) $
240 °	$ {4π} / 3 $	$ (- 1/2, — {√3} / 2) $
270 °	$ {3π} / 2 $	(0, -1)
300 °	$ {5π} / 3 $	долл. США (1/2, — {√3} / 2) долл. США
315 °	$ {7π} / 4 $	$ ({√2} / 2, — {√2} / 2) $
330 °	$ {11π} / 6 $	долл. США ({√3} / 2, -1/2) долл. США

Теперь, хотя вы можете попытаться запомнить все эти координаты и углы, это — много вещей, которые нужно запомнить.

К счастью, есть прием, который поможет вам запомнить самые важные части единичного круга.

Посмотрите на координаты выше, и вы заметите четкую закономерность: все точки (за исключением точек под 0 °, 90 °, 270 ° и 360 °) чередуются только между тремя значениями (положительными или отрицательными):

• 1/2 доллара
• $ {√2} / 2
$
• $ {√3} / 2
$

Каждому значению соответствует короткая, средняя или длинная линия для косинуса и синуса:

Вот что означают эти длины:

• Короткая горизонтальная или вертикальная линия = 1/2 доллара США
• Средняя горизонтальная или вертикальная линия = $ {√2} / 2 $
• Длинная горизонтальная или вертикальная линия = $ {√3} / 2 $

Например, если вы пытаетесь решить $ \ cos {π / 3} $, вы должны сразу знать, что этот угол (равный 60 °) указывает на короткую горизонтальную линию на единичной окружности. Следовательно, его соответствующая координата x должна равняться $ 1/2 $ (положительное значение, поскольку $ π / 3 $ создает точку в первом квадранте системы координат).

Наконец, хотя полезно запомнить все углы в таблице выше, обратите внимание, что , безусловно, самые важные углы, которые следует запомнить, следующие:

• 30 ° / $ π / 6 $
• 45 ° / $ π / 4 $
• 60 ° / $ π / 3 $

Обращайтесь со своими негативами и позитивами, как с кабелями, которые потенциально могут убить вас при неправильном подключении.

№ 2: Узнайте, что есть отрицательного и что положительного

Очень важно уметь различать положительные и отрицательные координаты x и y, чтобы вы могли найти правильное значение для триггерной проблемы. Напоминаем, что w , будет ли координата на единичной окружности положительной или отрицательной, зависит от , в какой квадрант (I, II, III или IV) попадает точка:

Вот диаграмма, показывающая, будет ли координата положительной или отрицательной в зависимости от квадранта, в котором находится конкретный угол (в градусах или радианах):

Квадрант	Координата X (косинус)	Координата Y (синус)
Я	+	+
II	–	+
III	–	–
IV	+	–

Например, предположим, что вам задали следующую задачу на тесте по математике:

$$ \ cos210 ° $$

Прежде чем вы даже попытаетесь ее решить, вы должны быть в состоянии распознать, что ответом будет отрицательное число , поскольку угол 210 ° попадает в квадрант III (где x-координаты всегда отрицательны).

Теперь, используя уловку, которую мы изучили в совете 1, вы можете выяснить, что угол 210 ° создает длинной горизонтальной линии. Следовательно, наш ответ таков:

$$ \ cos210 ° = — {√3} / 2 $$

# 3: Умейте находить касательную

Наконец, важно знать, как использовать всю эту информацию о триггерной окружности, синусе и косинусе, чтобы иметь возможность найти тангенс угла.

В триггере, чтобы найти тангенс угла θ (в градусах или радианах), вы просто делите синус на косинус:

$$ \ tanθ = {\ sinθ} / {\ cosθ} $$

Например, вы пытаетесь решить эту проблему:

$$ \ tan300 ° $$

Первый шаг — составить уравнение в терминах синуса и косинуса:

$$ \ tan300 ° = {\ sin300 °} / {\ cos300 °} $$

Теперь, чтобы найти касательную, нам нужно найти синус и косинус 300 °.Вы должны быстро распознать, что угол 300 ° попадает в четвертый квадрант, а это означает, что косинус или координата x будет положительным, а синус или координата y — отрицательным.

Вы также должны сразу знать, что угол 300 ° создает короткую горизонтальную линию и длинную вертикальную линию. Следовательно, косинус (горизонтальная линия) будет равен $ 1/2 $, а синус (вертикальная линия) будет равен $ — {√3} / 2 $ (отрицательное значение y, поскольку эта точка находится в квадранте IV ).

Теперь, чтобы найти касательную, все, что вам нужно сделать, это подключить и решить:

$$ \ tan300 ° = {- {√3} / 2} / {1/2} $$

$$ \ tan300 ° = -√3 $$

Пора мурлыкать по своим математическим способностям!

Набор практических вопросов «Единичный круг»

Теперь, когда вы знаете, как выглядит единичный круг и как его использовать, давайте проверим, что вы узнали, с помощью нескольких практических задач.

Вопросы

1. $ \ sin45 ° $
2. $ \ cos240 ° $
3. $ \ cos {5π} / 3 $
4. $ \ tan {2π} / 3 $

ответы

1. $ {√2} / 2
долл. США
2. $ -1 / 2 $
3. $ 1/2
4. $ -√3 $

Ответ объяснения

# 1: $ \ sin45 ° $

При этой проблеме есть два элемента информации, которые вы должны сразу определить:

• Ответ будет положительным, , поскольку угол 45 ° находится в квадранте I, а синус угла равен координате y

• Угол 45 ° образует вертикальную линию средней длины (для синуса)

Поскольку 45 ° означает положительную линию средней длины, правильный ответ: $ {√2} / 2 $.

Если вы не знаете, как это понять, нарисуйте диаграмму, которая поможет вам определить, будет ли длина линии короткой, средней или длинной.

# 2: $ \ cos240 ° $

Как и в задаче № 1 выше, есть две части информации, которую вы должны быстро понять при решении этой проблемы:

• Ответ будет отрицательным, , поскольку угол 240 ° находится в квадранте III, а косинус угла равен координате x

• Угол 240 ° образует короткую горизонтальную линию (для косинуса)

Поскольку 240 ° означает короткую отрицательную линию, правильный ответ: $ -1 / 2 $.

# 3: $ \ cos {5π} / 3 $

В отличие от задач, описанных выше, в этой задаче вместо градусов используется радиан . Хотя это может сделать проблему более сложной для решения, на самом деле здесь используются те же основные шаги, что и для двух других задач.

Во-первых, вы должны понять, что угол $ {5π} / 3 $ находится в квадранте IV, поэтому координата x или косинус будет положительным числом. Вы также должны уметь сказать, что $ {5π} / 3 $ создает короткую горизонтальную линию.

Это дает вам достаточно информации, чтобы определить, что ответ составляет $ 1/2 $.

# 4: $ \ tan {2π} / 3 $

Эта задача касается тангенса, а не синуса или косинуса, а это значит, что с нашей стороны потребуется немного больше математических вычислений. Прежде всего, вспомните основную формулу для нахождения тангенса:

$$ \ tan θ = {\ sin θ} / {\ cos θ} $$

Теперь давайте возьмем полученную степень — $ {2π} / 3 $ — и подставим ее в это уравнение:

$$ \ tan {2π} / 3 = {\ sin {2π} / 3} / {\ cos {2π} / 3} $$

Теперь вы должны быть в состоянии решить для синуса и косинуса отдельно, используя то, что вы запомнили о единичной окружности.Поскольку угол $ {2π} / 3 $ находится в квадранте II, координата x (или косинус) будет отрицательной, а координата y (или синусом) будет положительной.

Затем вы сможете определить, основываясь только на одном угле, что горизонтальная линия — это короткая линия, , а вертикальная линия — это длинная линия. Это означает, что косинус равен $ -1 / 2 $, а синус равен $ {√3} / 2 $.

Теперь, когда мы вычислили эти значения, все, что нам нужно сделать, это вставить их в наше исходное уравнение и найти тангенс:

$$ \ tan {2π} / 3 = {{√3} / 2} / {- 1/2} $$

$$ \ tan {2π} / 3 = -√3 $$

Что дальше?

Если вы в ближайшее время будете сдавать SAT или ACT, вам нужно будет знать некоторые триггеры, чтобы вы могли преуспеть в разделе математики. Взгляните на наши экспертные руководства по тестированию SAT и ACT, чтобы вы могли точно узнать, что вам нужно знать для тестового дня!

Помимо запоминания единичного круга, неплохо научиться вставлять числа и ответы. Прочтите наши руководства, чтобы узнать все об этих двух полезных стратегиях, которые вы можете использовать в любом тесте по математике, включая SAT и ACT!

Функция косинуса

Функция косинуса — это периодический функция, которая очень важна в тригонометрии.

Самый простой способ понять функцию косинуса — использовать единичную окружность. Для заданного угла измерения θ , нарисуйте единичный круг на координатной плоскости и нарисуйте угол с центром в начале координат, с одной стороной в качестве положительного Икс -ось. В Икс -координата точки, где другая сторона угла пересекает круг, равна потому что ( θ ) , а у -координата грех ( θ ) .

Есть несколько значений косинуса, которые следует запомнить, исходя из 30 ° — 60 ° — 90 ° треугольники а также 45 ° — 45 ° — 90 ° треугольники .

Зная эти значения, вы можете получить много других значений для функции косинуса.Помните, что cos \ theta; положительно в квадрантах я а также я V и отрицательные в квадрантах я я а также я я я .

Вы можете нанести эти точки на координатную плоскость, чтобы показать часть функции косинуса, часть между 0 а также 2 π .

Для значений θ меньше, чем 0 или больше чем 2 π вы можете найти ценность потому что ( θ ) с помощью опорный угол .

График функции в более широком интервале показан ниже.

Обратите внимание, что функция — это вся реальная линия, а диапазон — — 1 ≤ у ≤ 1 .

В период из ж ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) является 2 π . То есть форма кривой повторяется каждые 2 π -единичный интервал на Икс -ось.

В амплитуда из ж ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) является 1 , то есть высота волны.

Модифицированная функция у знак равно а потому что ( б Икс ) имеет амплитуду а и период 2 π / б .

касательных и уклонов

касательных и уклонов

Определение касательной

Синус и косинус — не единственные тригонометрические функции, используемые в тригонометрии.Многие другие использовались на протяжении веков, такие как гавайские травы и спреды. Самый полезный из них — касательная. В терминах диаграммы единичной окружности касательная — это длина вертикальной линии ED , касательной к окружности от точки касания E до точки D , где эта касательная линия пересекает луч AD , образующий угол.

Если ваш браузер поддерживает Java, вы можете перетащить точку B , чтобы увидеть, как изменяются синус, косинус и тангенс при изменении угла. (Дополнительные сведения об управлении фигурой см. В разделе «Об апплете».)

Касательная через синус и косинус

Поскольку два треугольника ADE и ABC похожи, мы имеем ED / AE = CB / AC.

Но ED = tan A, AE = 1, CB = sin A, и AC = cos AB. Таким образом, мы получили фундаментальное тождество

Касательные и прямоугольные треугольники

Так же, как синус и косинус могут быть найдены как отношения сторон прямоугольных треугольников, так и касательная.

Мы будем использовать три отношения, которые у нас уже есть. Во-первых, tan A = sin A / cos A. Во-вторых, sin A = a / c. В-третьих, cos A = b / c. Разделив a / c на b / c и исключив появившиеся c , мы приходим к выводу, что tan A = a / b. Это означает, что касательная — это противоположная сторона, деленная на соседнюю сторону:

Уклоны линий

Одна из причин, по которой касательные так важны, заключается в том, что они дают наклон прямых линий.Рассмотрим прямую линию, проведенную в координатной плоскости x-y .

Точка B — это место, где линия пересекает ось y . Мы можем позволить координатам B быть (0, b ), так что b, , называемый пересечением y , указывает, насколько далеко от оси x лежит B . (Это обозначение противоречит обозначениям сторон треугольника a, b, и c, , поэтому не будем сейчас обозначать стороны.)

Вы можете видеть, что точка 1 справа от начала координат помечена 1, а ее координаты, конечно же, равны (1,0). Пусть C будет точкой, в которой эта вертикальная линия пересекает горизонтальную линию через B. Тогда C имеет координаты (1, b ).

Точка A — это место, где вертикальная линия выше 1 обрезает исходную линию. Пусть м обозначает расстояние, на которое A находится выше C. Тогда A имеет координаты (1, b + m ). Это значение м называется уклоном линии. Если вы переместите вправо на одну единицу в любом месте линии, то вы переместитесь на м вверх на единиц.

Теперь рассмотрим угол CBA. Назовем его углом наклона . Касательная CA / BC = м /1 = м. Следовательно, уклон — это тангенс угла наклона.

Углы возвышения и понижения

Термин «угол возвышения» относится к углу над горизонтом относительно наблюдателя. Если вы находитесь в точке A, и AH — горизонтальная линия, то угол подъема до точки B над горизонтом — это угол BAH. Аналогично, «угол падения» до точки C ниже горизонта — это угол CAH.

Касательные часто используются для решения задач, связанных с углами возвышения и депрессии.

Углы общие

Мы можем расширить нашу таблицу синусов и косинусов общих углов до касательных. Вам не нужно запоминать всю эту информацию, если вы можете просто запомнить соотношение сторон треугольника 45 ° -45 ° -90 ° и треугольника 30 ° -60 ° -90 °. Отношения — это значения триггерных функций.

Обратите внимание, что тангенс прямого угла обозначается как бесконечность. Это потому, что по мере того, как угол увеличивается до 90 °, касательная увеличивается неограниченно.Возможно, лучше будет сказать, что касательная к 90 ° не определена, поскольку, используя определение окружности, луч, выходящий из начала координат под углом 90 °, никогда не пересекает касательную линию.

9019 6 60 ° 2

Угол	Градусов	Радианы	Косинус	синус	тангенс
	90 °	π /2	π /3	1/2	√3 / 2	√3
	45 °	π /4	√2 / 2	1
	30 °	π /6	√3 / 2	1/2	1 / √3
	0 °		0	0

Упражнения

29. В прямоугольном треугольнике a = 30 ярдов и загар A = 2. Найдите b и c.

49. cos t = 2 tan t. Найдите значение sin t.

Примечание. В следующих задачах «расстояние» означает горизонтальное расстояние, если не указано иное; высота объекта означает его высоту над горизонтальной плоскостью через точку наблюдения. Высота глаза наблюдателя не должна приниматься во внимание, если специально не указано иное.В задачах, связанных с тенью от объекта, предполагается, что тень падает в горизонтальной плоскости через основание объекта, если не указано иное.

151. Угол подъема дерева на расстоянии 250 футов составляет 16 ° 13 ‘. Найдите высоту.

152. Найдите высоту дальнего шпиля 321 фут, угол подъема 35 ° 16 ‘.

153. С корабля угол подъема вершины маяка на высоте 200 футов над водой составляет 2 ° 20 ‘.Найдите расстояние.

154. С вершины маяка на высоте 165 футов над водой угол падения корабля составляет 3 ° 50 ‘. Найдите расстояние.

159. Найдите высоту башни на расстоянии 186 футов, угол подъема 40 ° 44 ‘.

160. С одной стороны ручья шест высотой 50 футов имеет с противоположной точки угол возвышения 5 ° 33 ‘. Найдите ширину ручья.

164. От одного холма вершина другого на 128 футов выше имеет угол подъема 2 ° 40 ‘. Найдите расстояние.

165. От одного холма до вершины другого расстояние 6290 футов имеет угол возвышения 4 ° 9 ‘. Найдите, насколько высота второго холма превышает высоту первого.

189. Фронтонный конец крыши имеет размер 40 футов в поперечнике у основания и 26 футов от основания до конька. Под каким углом наклоняются стропила?

Подсказки

Общий совет для всех этих упражнений — сначала нарисовать фигуру.

29. Поскольку вы знаете a и tan A, вы можете найти b. Затем вы можете определить c по теореме Пифагора, или используя синусы, или косинусы.

49. Вам понадобится два удостоверения личности. Во-первых, tan t = sin t / cos t. Во-вторых, тождество Пифагора, sin ² t + cos ² t = 1. Затем вам нужно решить квадратное уравнение.

151. Помните, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это противоположная сторона, деленная на соседнюю сторону. Вы знаете прилегающую сторону (расстояние до дерева) и угол (угол возвышения), поэтому вы можете использовать касательные для определения высоты дерева.

152. Вы знаете угол (опять же угол возвышения) и прилегающую сторону (расстояние до шпиля), поэтому используйте касательные, чтобы найти противоположную сторону.

153. Используя угол и противоположную сторону, используйте касательную, чтобы найти прилегающую сторону.

154. Тот же намек, что и в 153.

159. Тот же намек, что и в 152.

160. Тот же намек, что и в 153.

164. Тот же намек, что и в 153.

165. Тот же намек, что и в 152.

189. Фронтонный конец крыши представляет собой равнобедренный треугольник.Если провести перпендикулярную линию с гребня, вы получите два равных прямоугольных треугольника. Вам известны две ножки треугольников, поэтому угол наклона стропил можно определить с помощью арктангенса.

ответы

29. b = a / tan A = 30/2 = 15 ярдов. c = 33,5 ярда.

49. Так как cos t = 2 tan t, , следовательно, cos t = 2 sin t / cos t, so cos ² t = 2 sin t, и, по пифагорейской идее 1 — sin ² t = 2 sin t. Это дает вам квадратное уравнение sin ² t + 2 sin t — 1 = 0. Решение: sin t = –1 ± √2. Из этих двух решений единственно возможным является sin t = √2 — 1.

151. Высота = 250 см. 16 ° 13 ‘= 72,7’ = 72’9 дюймов.

152. Высота = 321 желто-коричневый 35 ° 16 ‘= 227 футов.

153. Расстояние = 200 / тангенс угла 2 ° 20 ‘= 4908 футов, почти миля.

154. Расстояние = 165 / тангенс угла 3 ° 50 ‘= 2462 фута, почти полмили.

159. Высота = 186 желтовато-коричневый 40 ° 44 ‘= 160 футов.

160. Расстояние = 50 / тангенс угла 5 ° 33 ‘= 515 футов.

164. Расстояние = 128 / tan 2 ° 40 ‘, около 2750 футов, чуть больше полумили.

165. Высота = 6290 желто-коричневый 4 ° 9 ‘= 456,4 фута.

189. tan A = 26/20, поэтому A = 52 °.

Файл: Circle cos sin.gif — Wikimedia Commons

Английский: У нас есть единичный круг (с радиусом = 1) зеленого цвета, расположенный в начале координат в правом нижнем углу.

В середине этого круга желтым цветом представлен угол тета (θ). Этот угол представляет собой величину вращения против часовой стрелки по кругу, начиная справа по оси x, как показано на рисунке. Точная копия этого небольшого угла показана вверху справа как наглядная иллюстрация определения θ.

Под этим углом, начиная с начала координат, радиально наружу проводится (тусклая) зеленая линия. Эта линия пересекает единичный круг в одной точке, которая представляет собой зеленую точку, вращающуюся с постоянной скоростью при изменении угла θ, также с постоянной скоростью.

Вертикальное положение этой точки проецируется прямо (вдоль слабой красной линии) на график слева от круга. Это приводит к красной точке. Координата Y этой красной точки (такая же, как координата Y зеленой точки) является значением синусоидальной функции, вычисленной под углом θ, то есть:

Координата y зеленой точки = sin θ

При изменении угла θ красная точка перемещается вверх и вниз, отслеживая красный график.Это график синусоидальной функции. Слабые вертикальные линии, проходящие слева, отмечают каждый квадрант по окружности, то есть под каждым углом 90 ° или π / 2 радиан. Обратите внимание, как синусоида идет от 1 к нулю, к -1, а затем обратно к нулю, именно на этих линиях. Это отражает тот факт, что sin (0) = 0, sin (π / 2) = 1, sin (π) = 0 и sin (3π / 2) -1.

Аналогичный процесс выполняется с координатой x зеленой точки. Однако, поскольку координата x отклонена от обычного соглашения для построения графиков (где y = f (x), с вертикальным y и x горизонтальным), была выполнена операция «untilt», чтобы повторить процесс снова в том же ориентация, а не вертикальная.Это было представлено в виде «изгиба», показанного в правом верхнем углу.

И снова зеленая точка проецируется вверх (вдоль слабой синей линии), и эта «изогнутая» проекция заканчивается у самого правого края верхнего графика, в синей точке. Координата y этой синей точки (которая из-за «изгиба» проекции совпадает с координатой x зеленой точки) — это значение функции косинуса, вычисленное под углом θ, то есть:

x координата зеленой точки = cos θ

Синяя кривая, очерченная этой точкой, когда она движется вверх и вниз с изменением θ, является графиком функции косинуса.Еще раз обратите внимание, как он ведет себя при пересечении каждого квадранта, отражая тот факт, что cos (0) = 1, cos (π / 2) = 0, cos (π) = -1 и cos (3π / 2) = 0.

Единичный круг Определение функций синуса и косинуса

Единица Круговое определение функций синуса и косинуса

Тригонометрические функции могут быть определяется в терминах единичного круга, т. е. круг радиуса один.

sin / cos Треугольник

Если единичный круг помещен в начало прямоугольной системы координат с углом q, отсчитываемым от положительная ось x к стороне вывода, затем точка на устройстве круг, где конечная сторона пересекает единичный круг, определяется как быть (cos q, sin q), т.е. первая координата точки на устройстве круг — это cos q, а вторая координата — sin q.

The tan / sec Треугольник

Tan q и sec q определены треугольником, высота которого касается единичной окружности в точке (1, 0), гипотенуза которого находится на конечной стороне угла.

The детская кроватка / csc Triangle

Детская кроватка q и csc q определены треугольником, высота которого равна единице, а гипотенуза находится на конечная сторона уголка.

The sin / cos, tan / sec и cot / csc Треугольники

Все три треугольники, используемые для определения тригонометрических функций, показаны на рисунке ниже.

Используя sin / cos, tan / sec и cot / csc Треугольники для установления базового Тригонометрические идентификационные данные

Три одинаковых треугольника sin / cos, tan / sec и cot / csc извлекаются из рисунка.Четвертый аналогичный показан треугольник со смежными, противоположными сторонами и сторонами гипотенузы. помечены.

Определение шести тригонометрические функции и другие полезные тождества следуют из использования тот факт, что отношение соответствующих сторон одинаковых треугольников должно быть равным. Результаты:

Используя sin / cos, tan / sec и cot / csc Треугольники для определения пифагорейского Идентификационные данные

Теорема Пифагора утверждает: в любом прямоугольный треугольник, сумма квадратов длин стороны, содержащие прямой угол, равны квадрату гипотенуза.Короче c ² = a ² + b ² .

Применение пифагора Теорема для треугольников sin / cos, tan / sec и cot / csc дает:

Что такое единичный круг | StudyPug

Что такое Unit Circle?

В мире исчисления, предварительного исчисления и тригонометрии вы часто встретите ссылки и проблемы, связанные с «единичной окружностью».»Но, как ни странно, нас редко когда учат, что это такое!

Проще говоря, единичная окружность — это математический инструмент, упрощающий использование углов и тригонометрических функций. Понимая и запоминая «единичный круг», мы можем легко справляться с трудностями, которые в противном случае требовали бы вычислений, и значительно облегчили нашу жизнь.

Единичный круг, в его простейшей форме, на самом деле именно то, что он звучит: круг на декартовой плоскости с радиусом ровно 1unit1 unit1unit.Как этот пустой кружок ниже:

Пустая единичная окружность с радиусом 1

Затем, заполнив этот единичный круг обычно используемыми углами и оценив эти углы с помощью синуса и косинуса, мы получим нечто немного более сложное:

Синус и косинус вычисленные углы единичной окружности

Боишься? Не будь. Этот образ может показаться устрашающим, но когда мы разбиваем его на более последовательные части, начинают проявляться закономерности.

Единичный круг со всеми 6 функциями триггера Таблица:

Вместо того, чтобы ссылаться на это устрашающее изображение выше, давайте упростим единичный круг с помощью sin⁡cos⁡tan⁡sec⁡csc⁡ \ sin \ cos \ tan \ sec \ cscsincostanseccsc и cot⁡ \ cotcot на красивой маленькой диаграмме:

Схема упрощенной единичной окружности с sin cos tan sec csc и cot

В приведенной выше таблице единичного круга приведены все значения единичного круга для всех 4 квадрантов единичного круга.Как видите, здесь указаны градусы единичной окружности и радианы единичной окружности. Вы должны знать и то, и другое, но, скорее всего, вы будете решать проблемы в радианах. Теперь возникает следующий естественный вопрос: как я могу запомнить единичный круг?

Как запомнить единичный круг:

Запоминание единичной окружности на самом деле намного проще, чем вы думаете, благодаря нескольким маленьким приемам:

Уловка 1:

Из-за следующих 4 уравнений нам нужно запомнить только значения единичной окружности для синуса и косинуса.

tan⁡θ = sin⁡θcos⁡θ, cot⁡θ = cos⁡θsin⁡θ, sec⁡θ = 1cos⁡θ, csc⁡θ = 1sin⁡θ \ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}, \ cot \ theta = \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}, \ sec \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}, \ csc \ theta = \ frac { 1} {\ sin \ theta} tanθ = cosθsinθ, cotθ = sinθcosθ, secθ = cosθ1, cscθ = sinθ1

С этими 4 уравнениями нам даже не нужно запоминать единичную окружность с касательной!

Уловка 2:

Зная, в каких квадрантах x и y положительны, нам нужно только запомнить значения единичного круга для синуса и косинуса в первом квадранте, поскольку значения меняют только свой знак.Чтобы использовать этот трюк, нам нужно сначала понять несколько вещей:

i) Первое, что нужно отметить, это то, какие значения синуса и косинуса дают нам на единичной окружности. Благодаря SOHCAHTOA мы знаем это:

sin⁡θ \ sin \ thetasinθ дает нам координату Y, а cos⁡θ \ cos \ thetacosθ дает нам координату X

ii) Теперь посмотрим на каждый квадрант:

Квадрант 1 : X положительный, Y положительный

Квадрант 2 : X отрицательный, Y положительный

Квадрант 3 : X отрицательный, Y отрицательный

Квадрант 4 : X положительный, Y отрицательный

iii) Далее, посмотрим, где находится каждый квадрант:

Квадрант 1 : 0 — π2 \ frac {\ pi} {2} 2π

Квадрант 2 : π2 − π \ frac {\ pi} {2} — \ pi2π −π

Квадрант 3 : π \ piπ — 3π2 \ frac {3 \ pi} {2} 23π

Квадрант 4 : 3π2−2π \ frac {3 \ pi} {2} — 2 \ pi23π −2π

iv) Значение синуса и косинуса всегда будет «одинаковым» для одного и того же знаменателя:

sin⁡π3 = 32andsin⁡4π3 = −32 \ sin \ frac {\ pi} {3} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} и \ sin \ frac {4 \ pi} {3} = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} sin3π = 23 и sin34π = −23

С учетом этих приемов процесс запоминания единичного круга становится намного проще!

Как использовать единичный круг:

Лучший способ освоить единичный круг — это попрактиковаться в единичном круге.

Пример 1:

Найдите sin⁡4π3 \ sin \ frac {4 \ pi} {3} sin34π

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с синусом, который мы со временем запомним, все, что нам нужно сделать, это выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будет ли наш ответ положительным или отрицательным.

Поскольку:

3π2> 4π3> π \ frac {3 \ pi} {2}> \ frac {4 \ pi} {3}> \ pi23π> 34π> π

Таким образом, мы находимся в третьем квадранте.Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в третьем квадранте, наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.

sin⁡4π3 \ sin \ frac {4 \ pi} {3} sin34π = -32 \ frac {\ sqrt {3}} {2} 23

Пример 2:

Найдите tan⁡π \ tan \ pitanπ

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с единичным кругом с загаром, нам нужно будет использовать значения, которые мы запомнили из синуса и косинуса, а затем решить.Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будут ли наши ответы для синуса и косинуса положительными или отрицательными.

Поскольку:

3π2> π> π2 \ frac {3 \ pi} {2}> \ pi> \ frac {\ pi} {2} 23π> π> 2π

Таким образом, мы находимся между вторым и третьим квадрантами по оси абсцисс. Поскольку синус дает нам координату y, а мы находимся на оси x, наш ответ на самом деле будет равен нулю! Кроме того, поскольку косинус дает нам координату x, и мы находимся между вторым и третьим квадрантами (где косинус для обоих отрицательный), наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.Но в этом случае нам понадобится один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для касательной, обсуждавшееся ранее в уловке 1 , предполагая, что мы не запомнили значения касательной на единичной окружности.

tan⁡θ = sin⁡θcos⁡θ = 0-1 = 0 \ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {0} {- 1} = 0tanθ = cosθsinθ = −10 = 0

Пример 3:

Найдите csc⁡π6 \ csc \ frac {\ pi} {6} csc6π

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с косекансом, важно понимать, что нам нужно будет использовать значения синуса для решения с использованием уравнения для косеканса, описанного ранее в приеме 1 .Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будет ли наш ответ для синуса положительным или отрицательным.

Поскольку:

π2> π6> 0 \ frac {\ pi} {2}> \ frac {\ pi} {6}> 02π> 6π> 0

Таким образом, мы находимся в первом квадранте. Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в первом квадранте, наш ответ будет положительным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.Но и в этом случае нам снова нужен один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для косеканса, обсуждавшееся ранее в уловке 1 , предполагая, что мы не запомнили значения косеканса на единичной окружности.

csc⁡π6 = 1sin⁡π6 = 10,5 = 2 \ csc \ frac {\ pi} {6} = \ frac {1} {\ sin \ frac {\ pi} {6}} = \ frac {1} {0,5} = 2csc6π = sin6π 1 = 0,51 = 2

Теперь, когда мы немного попрактиковались, займитесь еще немного самостоятельно! В кратчайшие сроки вы будете готовы к любой предстоящей викторине с единичным кругом.

Синус и косинус объяснены визуально

Синус и косинус объяснены визуально

Разъяснение визуально

Виктор Пауэлл

с текстом Льюиса Лехе

Синус и косинус — a.k.a., sin (θ) и cos (θ) — функции, раскрывающие форму прямоугольного треугольника. Если смотреть из вершины с углом θ, sin (θ) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos (θ) — отношение соседней стороны к гипотенузе. Независимо от размера треугольника, значения sin (θ) и cos (θ) одинаковы для данного θ, как показано ниже.

Посмотрите на крайний левый рисунок выше (единичный круг). Гипотенуза треугольника имеет длину 1, поэтому (удобно!) Отношение его смежности к его гипотенузе равно cos (θ), а отношение его противоположности к гипотенузе равно sin (θ).Следовательно, поместив треугольники в точку (0,0) плоскости x / y, можно найти функции sin (θ) и cos (θ), записав значения x и y для каждого θ. 6} {6!} \ cdots \ конец {выровнено} \]

Используя синус и косинус, можно описать любую точку (x, y) как альтернативу, точку (r, θ), где r — длина сегмента от (0,0) до точки, а θ — угол между этим сегментом и осью абсцисс.Это называется полярной системой координат, и правило преобразования: (x, y) = (rcos (θ), rsin (θ)). Поиграйте с рисунками ниже, чтобы увидеть преобразование в реальном времени между декартовыми (т.е. координатами x / y) и полярными координатами.

Для получения дополнительных объяснений посетите домашнюю страницу проекта «Визуальное объяснение».

Или подпишитесь на нашу рассылку.

Пожалуйста, включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии от Disqus. комментарии предоставлены .

No related posts.