Вывод производных arcsin(x) и arccos(x)
Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.
Вывод производной арксинуса
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
y = arcsin x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y.
Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2) .
Здесь
y = arcsin x;
x = sin y.
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.
Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.
Второй способ
Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3) .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) .
Производную правой части находим из таблицы производных:
.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.
Подставим в (4):
.
Отсюда
.
Вывод производной арккосинуса
Используя связь между арксинусом и арккосинусом
Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом:
.
Отсюда
.
По формуле производной обратной функции
Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.
Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y.
Применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5) .
Здесь
y = arccos x;
x = cos y.
Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.
Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.
Второй способ
Поскольку арккосинус и косинус являются взаимно обратными функциями, то
(6) .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7) .
Из таблицы производных находим:
.
Производную левой части найдем по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.
Подставим в (7):
.
Отсюда
.
Производная арксинуса — формула, доказательство, примеры arcsin (который также может быть записан как sin
-1 ) является обратной функцией синуса. т. е. если y = sin -1 x, то sin y = x. По определению обратных функций, если f и f -1 являются обратными функциями друг друга, то f(f -1 (x)) = f -1 (f(x)) = x. Отсюда sin(arcsin x) = arcsin(sin x) = x в соответствующих областях. Мы используем эти факты, чтобы найти производную от arcsin x.Давайте посмотрим формулу производной от arcsin вместе с доказательством (двумя разными методами) и несколькими примерами решения.
1. | Что такое производная от arcsin? |
| 2. | Производная арксинуса Доказательство по цепному правилу |
| 3. | Производная арксинуса Доказательство по первому принципу |
| 4. | Часто задаваемые вопросы о производной от arcsin |
Что такое производная от arcsin?
Производная от arcsin x обозначается как d/dx(arcsin x) (или) d/dx(sin -1 x) (или) (arcsin x)’ (или) (sin -1 x) ‘. Его значение равно 1/√1 — x². Мы докажем это двумя методами в следующих разделах. Два метода:
- Использование цепного правила
- Использование первых принципов
Производная функции arcsin x Формула
Производная функции arcsin равна
- d/dx(угловой синус x) = 1/√1 — x² (ИЛИ)
- d/dx(sin -1 x) = 1/√1 — x²
Мы докажем эту формулу сейчас в следующих разделах в каждом из вышеупомянутых методов.
Производная арксинуса Доказательство по цепному правилу
Чтобы найти производную от arcsin с помощью цепного правила, предположим, что y = arcsin x. Принимая sin с обеих сторон,
sin y = sin (arcsin x)
По определению обратной функции sin (arcsin x) = x. Таким образом, приведенное выше уравнение принимает вид
sin y = x … (1)
Дифференцируя обе части по x,
d/dx (sin y) = d/dx(x)
Имеем d/ dx (sinx) = cosx. Кроме того, по цепному правилу
cos y · dy/dx = 1
dy/dx = 1/cos y
Используя одно из тригонометрических тождеств, cos y = √1 — sin²y = √1 — x² (из ( 1))
Таким образом, dy/dx = 1/√1 — x²
Подставив здесь y = arcsin x,
d/dx (arcsin x) = 1/√1 — x²
Отсюда доказано.
Производная арксинуса Доказательство по первому принципу
Напомним, что производная функции f(x) по первому принципу (определение производной) дается пределом, f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) — f( х)] / ч.
Чтобы найти производную от arcsin x, предположим, что f(x) = arcsin x. Тогда f(x + h) = arcsin (x + h). Тогда из приведенного выше предела
f'(x) = limₕ→₀ [arcsin (x + h) — arcsin x] / h
Предположим, что arcsin (x + h) = A и arcsin x = B.
Тогда sin A = x + h и sin B = x.
Вычитание второго уравнения из первого,
sin A — sin B = (x + h) — x
sin A — sin B = h
Поскольку h → 0, (sin A — sin B) → 0 Отсюда sin A → sin B (или) A → B (или) A — B → 0.
Тогда приведенный выше предел становится следующим:
f'(x) = lim\(_{AB → 0}\ ) (A — B) / (sin A — sin B)
Имеем sin A — sin B = 2 sin [(A — B)/2] cos [(A + B)/2]. Подставляя это в приведенный выше предел,
f'(x) = lim\(_{A-B→ 0}\) (A — B) / [2 sin [(A — B)/2] cos [(A + B)/2] ]
Когда A — B → 0, мы можем иметь (A — B)/2 → 0.
f'(x) = lim\(_{\frac{AB}{2}→ 0}\) [(A — B)/2] / sin [(A — B)/2] lim\(_{A → B}\) cos[(A + B)/2]
f'(x) = lim\(_{ \frac{A-B}{2}→ 0}\) 1/ (sin [(A — B)/2] / [(A — B)/2] ) lim\(_{A → B}\) cos[ (A + B)/2]
Мы знаем, что lim ₓ→₀ (sin x)/x = 1.
Отсюда
f'(x) = (1/1) cos[(B + B)/ 2] = cos B … (2)
Имеем sin B = x.
Итак, cos B = √1 — sin²B = √1 — x²
Следовательно, f'(x) = 1/√1 — x²
Отсюда доказано.
Статьи по теме:
Вот некоторые темы, связанные с производной от arcsin x.
- Производные формулы
- Калькулятор производных
- Тригонометрические формулы
- Расчетный калькулятор
Часто задаваемые вопросы о производной Arcsin
Что такое производная от arcsin?
Производная от arcsin x равна 1/√1-x². Записывается как d/dx(arcsin x) = 1/√1-x². Это также можно записать как d/dx(sin -1 x) = 1/√1-x².
Как найти производную от arcsin?
Чтобы получить производную от arcsin, предположим, что y = arcsin x, тогда sin y = x. Дифференцируя обе части по y, тогда cos y = dx/dy. Взяв обратные величины, dy/dx = 1/(cos y) = 1/√1 — sin²y = 1/√1-x².
Что такое производная от arcsin √x?
Мы знаем, что производная от arcsin x равна 1/√1 — x². Используя эту формулу и цепное правило, d/dx(arcsin √x) = 1/√1 — (√x)² d/dx (√x) = 1/√1 — x · (1/2√x) = 1/(2√ х- х²)).
Что такое производная от arcsin x/2?
Производная от arcsin x равна 1/√1 — x². Используя это и цепное правило, d/dx(arcsin x/2) = √1 — (x/2)² d/dx (x/2) = √1 — x²/4 · (1/2) = 2 /√4 — х² · (1/2) = 1/√4 — х².
Является ли arcsin производной от Sin?
Нет, производная от arcsin НЕ является sin. Производная arcsin x равна 1/√1 — x².
Что такое производная от arcsin x/a?
Производная от arcsin x равна 1/√1 — x². Используя это и цепное правило, d/dx(arcsin x/a) = 1/√1 — (x/a)² d/dx (x/a) = 1/√1 — (x²/a²) · ( 1/а) = [а/√а² — х²] · (1/а) = 1/√а² — х².
В чем разница между производными sin x и arcsin x?
Производная sin x равна cos x, тогда как производная arcsin x равна 1/√1-x².
Производные обратных тригонометрических функций
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 17621
Определение производных обратных тригонометрических функций
Теперь найдем производные обратных тригонометрических функций, \(y = \arcsin x,\) \(y = \arccos x,\) \(y = \arctan x, \) \( y = \text{arccot}\, x,\) \(y = \text{arcsec}\, x,\) и \(y = \text{arccsc}\, x.
\)
Одним из способов сделать это, особенно полезным для понимания того, как получаются эти производные, является использование комбинации неявного дифференцирования и прямоугольных треугольников. Дополнительным преимуществом этого подхода является то, что он подготовит вас к более успешному изучению будущей темы, называемой тригонометрической подстановкой.
Пример \(\PageIndex{1}\): найти производную от \(y = \arcsin x\)
Найти производную от \(y = \arcsin x\).
Решение:
Чтобы найти производную \(y = \arcsin x\), мы сначала перепишем это уравнение в терминах его обратной формы. То есть \[ \sin y = x \label{inverseEqSine}\]
Теперь это уравнение показывает, что \(y\) можно считать острым углом в прямоугольном треугольнике с отношением синусов \(\dfrac{x {1}\). Поскольку отношение синуса дает нам длину противоположной стороны по длине гипотенузы, это означает, что противоположная сторона имеет длину \(х\), а гипотенуза имеет длину \(1\).
См. рисунок \(\PageIndex{1}\).
Рисунок \(\PageIndex{1}\)
Теперь давайте неявно продифференцируем уравнение \ref{inverseEqSine} относительно \(x\).
\[\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1\]
Затем мы решаем это для \(\dfrac{dy}{dx}\).
\[\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\cos y}\]
Глядя на рисунок \(\PageIndex{1}\), мы видим, что \(\cos y = a \). Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти выражение для \(а\) через \(х\), используя известные нам другие стороны прямоугольного треугольника. 92} \end{выравнивание*} \]
Пример \(\PageIndex{2}\): найти производную от \(y = \text{arcsec}\, x\)
Найти производную от \(y = \text{arcsec}\, x\ ).
Решение:
Чтобы найти производную от \(y = \text{arcsec}\, x\), мы сначала перепишем это уравнение в терминах его обратной формы. То есть \[ \sec y = x \label{inverseEqSec}\]
Как и прежде, пусть \(y\) считается острым углом в прямоугольном треугольнике с отношением секущих \(\dfrac{x}{ 1}\).
Поскольку отношение секущей является обратным отношением косинуса, оно дает нам длину гипотенузы по длине прилежащей стороны, так что это означает, что гипотенуза имеет длину \(x\), а прилежащая сторона имеет длину из \(1\). См. рисунок \(\PageIndex{3}\).
Рисунок \(\PageIndex{3}\)
Дифференцирующее уравнение \ref{inverseEqSec} неявно относительно \(x\), дает нам:
\[\sec y\tan y \ cdot \frac{dy}{dx} = 1\]
Решая это для \(\dfrac{dy}{dx}\), мы получаем:
\[\frac{dy}{dx} =\frac{ 1}{\sec y\tan y}\]
Чтобы найти \(\tan y\) через \(x\), нам нужно найти длину противоположной стороны, \(a\) , в терминах \(x\). По теореме Пифагора имеем: 92 — 1}}.\]
Но это не совсем правильно, по крайней мере, не для отрицательных значений \(x\). Рассматривая график \(y = \text{arcsec}\, x\) на рисунке \(\PageIndex{5}\), мы видим, что его наклон всегда положителен. Но при отрицательных значениях \(х\) указанный выше вид производной был бы отрицательным (и явно неверным).
Рисунок \(\PageIndex{5}\)
Как мы докажем ниже, фактическая формула производной для этой функции: 92 — 1}}\]
Рассмотрим домен и диапазон исходной функции, \(y = \text{arcsec}\, x:\)
\[\text{Домен: } (-\infty, — 1] \cup [1, \infty) \quad \text{or} \quad |x| \geq 1\]
\[\text{Диапазон: } \big[0, \frac{\pi}{2}\big) \cup \big(\frac{\pi}{2}, \pi\big ] \quad \text{or} \quad 0 \leq y \leq \pi, y \ne \frac{\pi}{2}\]
Обратите внимание, что область определения производной является подмножеством области определения исходная функция, исключая конечные точки, \(x = -1\) и \(x = 1.\) 92 y}{\sin y}\]
Мы видим, что эта функция позволяет \(y\) принимать все значения между \(0\) и \(\pi\), за исключением \(y = \frac{ \pi}{2}\), где исходное выражение \(\dfrac{1}{\sec y\tan y}\) не определено. Это подмножество диапазона исходной функции \(y = \text{arcsec}\, x.\). Обратите внимание, что в производной \(y\) не может принимать значения конечных точек этого интервала, а они были частью диапазона \(y = \text{arcsec}\, x.
Теперь рассмотрим, что для всех значений \(y\) в этом диапазоне между \(0\) и \(\pi \), выражение для \(\dfrac{dy}{dx}\) положительно, так как оба 92} = |x|.\]
Это означает, что на самом деле здесь мы получаем нечто более интересное: \[ \frac{d}{dx}\big(\arcsin(\cos x) \big) = \frac{ -\sin x}{|\sin x|}\]
Эта функция чередует значения \(-1\) и \(1\), когда \(\sin x\) положительное и отрицательное значение соответственно.
См. график функции \( y = \arcsin(\cos x)\) ниже на рисунке \(\PageIndex{6}\).
Рисунок \(\PageIndex{6}\): График \(y = \arcsin(\cos x)\).
Формулы производных
Точно так же мы можем инкапсулировать цепное правило в производной \(\ln u\) как \(\dfrac{d}{dx}\big(\ln u\big) = \ dfrac{u’}{u}\), мы можем написать формулы для производной обратных тригонометрических функций, которые инкапсулируют цепное правило. Обратите внимание, что \(u\) представляет собой функцию \(x\) в этих формулах, а \(u’\) представляет собой производную \(u\) по \(x\).