Логарифмическое дифференцирование, формулы и примеры решения задач
Содержание:
- Суть метода логарифмического дифференцирования
- Производная показательно-степенной функции
Для функций вида $y(x)=\frac{u_{1}(x) \cdot u_{2}(x) \cdot \ldots \cdot u_{k}(x)}{v_{1}(x) \cdot v_{2}(x) \cdot \ldots \cdot v_{m}(x)}$ для упрощения нахождения производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.
Суть метода логарифмического дифференцирования
Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция $y=f(x)$. Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:
$$\ln y=\ln f(x)$$
Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что $y$ является функцией от $x$, то есть найдем производную сложной функции:
$$(\ln y)^{\prime}=(\ln f(x))^{\prime} \Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y^{\prime}=(\ln f(x))^{\prime}$$
А тогда, выражая искомую производную $y^{\prime}$, в результате имеем:
$$y^{\prime}=y \cdot(\ln f(x))^{\prime}$$
Пример
Задание.
{x} \cdot(\ln \sin x+x \operatorname{ctg} x)$
Больше примеров решений Решение производных онлайн
Читать дальше: производная степенно-показательной функции.
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х9у` `x log y= y log x` Дифференцируя обе части относительно `x`, мы имеем` `d/ dx (xlog y)= d/dx [y log x]` `x. `=y.d/dx(log x)+ log x.d/dx(y)` `x.1/y (dy)/dxlog y.1` `=г. 1/x + log x.(dy)/dx(x)` `(x/y-logx)(dy/dx)` `=y/x-log y` 909х``ylog cos x= x log cos y` Дифференцируя обе части относительно `x`, мы имеем` `d/ dx (ylog cos x)` `= d/dx (x log cos y)` `y.d/dx(log cos x)` `+ log cos x.d/dx(y)` `x.d/dx(log cos y)` `+ log cos y.d/dx(x)` `y 1/(cos x).d/dx(cos x)` `+ log cos x.(dy)/dx` `x.1/(cos y)d/dx(cos y)` `+ log cos y.1` 9(х-у)``logx+log y= (x-y) log e` Дифференцируя обе части относительно `x`, мы имеем` `d/ dx [logx+log y]` `= д/дх (х-у)` `1/х + 1/у. (dy)/dx = 1- (dy)/dx` `(1/y +1)(dy)/dx = 1- 1/x` `((1+y)/y)(dy)/dx = (x- 1/x)` `(dy)/dx = ((x-1)/x)(y/(1+y))` `(у (х-1))/(х (у+1))` 92-52x+11` Вопрос: 18 . `d/dx (u.v.w)` `(du)/dx v.w.u. ду/дх. w+u.v (dw)/dx` двумя способами: во-первых, путем многократного применения правила произведения, во-вторых, путем логарифмического дифференцирования. Решение: Пусть` y =u.v.w` = `(u.v).w` Дифференциация обеих сторон w. р. т. `х`, у нас есть `(dy)/dx = d/dx[(u.v).w]` =`u.v.d/dx(w)+w.d/dx(u.v)` =`u.v.(dw)/dx +w[u.(dv)/dx+v.(du)/dx]` =`u.v.(dw)/dx +u.(dv)/dx.w(du)/dx v.w` =`(dw)/dx v.w+u.(dv)/dx.w+u.v.(dw)/dx` Также `y=u.v.w` Логарифмируя обе части, получаем `log y=log(u.v.w)` `=log u+logv+logw` Различение обеих сторон w. р. т. `х`, у нас есть `d/dx (логарифм у)` `= d/dx[log u+log v+ log w]` =`=1/y (dy)/dx=1/u .(du)/dx+1/v. |
d/dx(log y)+ log y.d/dx(x)`
Если `u, v` и `w` являются функциями `x`, то покажите, что