Числа и вычисления. Степени и корни. — Математика
Файл к занятию 7
Числа и вычисления. Степени и корни.
Проверка домашнего задания.
Задание 8. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 15. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 120
Задание 9. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Ответ:3
Числа и вычисления
Задание 1. Найдите значение выражения 7 :. Ответ: 31.
Задание 2. Найдите значение выражения . Ответ: 7
Задание 3. Найдите значение выражения (72 . Ответ:702
Задание 4. Найдите значение выражения. Ответ: 19,68
Пусть дано положительное число a и произвольное рациональное число n. Число называется степенью, число a — основанием степени, число n — показателем степени. По определению полагают:
;
Если и — положительные числа, — любые рациональные числа, то справедливы следующие свойства:
Задание 5. Найдите значение выражения (54)6:522. Ответ: 25
Задание 6. Найдите значение выражения (7х3)2:(7х6). Ответ: 7
Задание 7. Найдите значение выражения 20− 3,9⋅52,9:4− 4,9. Решение:
Запишем выражение в виде дроби. Ответ: 0,8
Задание 8. Найдите значение выражения . Ответ:1,5
Задание 9. Найдите значение выражения . Ответ:7
Задание 10. Найдите значение выражения . Ответ:4
Задание 11. Найдите значение выражения . Ответ: 5.
Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то .
Задание 12. Найдите значение выражения .Ответ: 25
Задание 13. Найдите значение выражения. Ответ:5
Решение: Заменим корни степенью числа 5:
Задание 14. Найдите значение выражения при x=. Ответ:2
Степень с действительным показателем
Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . При положительном основании понятие степени определено для любого рационального и для любого иррационального показателя, т.е. для любого действительного показателя. При этом все действия со степенями с произвольными действительными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с рациональными показателями.
Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то .
Задание 15. Найдите значение выражения.Ответ: 900
Задание 16. Найдите значение выражения . Ответ:0,008
Корень n-ной степени
Пусть — натуральное число, неравное единице. Если — четно, то арифметическим корнем —ной степени из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, -ная степень которого равна . Если — нечетно, то арифметическим корнем —ной степени из числа называется такое число, -ная степень которого равна .
По определению:.
Свойства арифметического квадратного корня:
Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел. Т. е. при любых значениях .
Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя. Т.е. при любых значениях .
Задание 17. Вычислите значение числового выражения:
1); Ответ: 96
2) . Ответ:6
3)132
4) . Ответ: 1056
Задание 18. Вычислите значение числового выражения:
1) . Ответ: 2
2). Ответ:4
3 ) . Ответ: 5
4). Ответ: 3
Задание 19. Найдите значение выражения . Ответ: 3
Помним : (
Задание 20. Найдите значение выражения:
1) ( — ). Ответ: 6
2) ( — ). Ответ:21
3) ( — ). Ответ:11
Задание 21. Найдите значение выражения:
1). Ответ:-18
2). Ответ:7
3). Ответ: -4
При любом значении имеет место равенство
Задание 22. Преобразовать выражение при
1)р ≥-9. Ответ: р+9
2) р
Задание 23. Преобразовать выражение при а
Задание 24.Найдите значение выражения при . Ответ: 2
Задание 25. Найдите значение выражения .Ответ: -2
Задание 26. Найдите значение выражения .
Решение: Возведем числитель в квадрат и раскроем скобки:= = = 0,2. Ответ: 0,2
Задание 27. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1)
2)
3)
Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:
; b
=
=
Задание 28. Найдите значение выражения при .
Решение:
Воспользуемся свойствами корня. Ответ:9
Задание 29. Найдите значение выражения при . Ответ: 4
Задание 30. Найдите значение выражения:
.
Решение: Выделим полный квадрат под корнем и воспользуемся формулой
=
Аналогично выполним преобразование под вторым корнем:
=.
= . Ответ: 3
1.1 Числа, корни и степени — задания из ЕГЭ
Задание 4557
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4563
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4578
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4584
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4599
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4605
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4620
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4626
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4641
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4647
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4662
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4668
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4683
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4689
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4704
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4710
Введите ответ в поле ввода
Решение →Задание 4725
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4731
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4746
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4752
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4772
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4791
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4810
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4829
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4848
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4867
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4886
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Задание 4905
Введите ответ в поле ввода
Решение →
Теорема о промежуточном значении, расположение корней
Утверждение теоремы о промежуточном значении — это то, что вероятно, «интуитивно очевидно», а также доказуемо верно : если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и если $f(a) 0$ (или наоборот), то существует некоторая третья точка $c$ с $a интервалом пополам, для причину мы увидим ниже. Мы не будем следовать этому методу слишком далеко, потому что есть лучших метода, которые можно использовать после того, как мы вызвали 93-x+1$ заведомо непрерывно, поэтому мы можем вызывайте теорему о промежуточном значении сколько угодно. За например, $f(2)=7 > 0$ и $f(-2)=-5 середина, делящая пополам интервал $[-2,2]$: имеем $f(0)=1 > 0$. Следовательно, поскольку $f(-2)=-5 0$ и $f(2) >
0$, мы ничего не можем сказать при этот пункт о том, есть ли корни в $[0,2]$. Снова делят пополам интервал $[-2,0]$, где мы знаем, что есть корень, мы вычислить $f(-1)=1 > 0$. Таким образом, поскольку $f(-2)Если мы продолжим этот метод, мы можем получить приближение как мы хотим! Но есть более быстрые способы получить действительно хорошее приближение, как мы увидим. 93$ термин, вероятно, «доминирует» над $f$ когда $x$ большое положительное или большое отрицательное значение, и поскольку мы хотим найти точку, где $f$ отрицательно, нашим следующим предположением будет «большой» отрицательное число: как насчет $-1$? Что ж, $f(-1)=1 > 0$, так что, очевидно, $-1$ недостаточно отрицателен. Как насчет $-2$? Итак, $f(-2)=-7 0$. Затем, вызывая Теорема о промежуточном значении, есть корень в интервале $[-2,-1]$.
Конечно, обычно многочлены имеют несколько корней, но
Обратите внимание, что даже «плохие» предположения не были полностью потрачены впустую.
Большая идея 1 | Математика
Большая идея:
Большая идея 1
Степень полиномиальной функции определяет ее поведение и свойства.
1 неделя
Свидетельство понимания
- описать связи между полиномиальным уравнением и особенностями его графика
- соотнести уравнение степень до максимального числа действительных корней и конечное поведение
- различать минимальную или максимальную точку как абсолютную или относительную с использованием степени функции
- обобщать, как опережающий коэффициент уравнения влияет на направление и скорость графика изменения
- классифицировать функцию как нечетную , четную или ни одну из обе уравнение и его график
- анализировать примеры и не примеры, включая полиномиальные, абсолютное значение, тригонометрические, рациональные, экспоненциальные, логарифмические и радикальные функции
- описать, как графики четных или нечетных функций отражаются в координатной плоскости
- объяснить, почему уравнение для нечетной функции не может иметь постоянный член квадратное уравнение
- возможное расширение: покажите, как степень ограничивает квадратное число максимум двумя действительными нулями
- исследуйте, как ось симметрии связана с корнями, вершиной и другими точками параболы
- обосновать, почему вершина всегда лежит на оси симметрии
- использовать ось симметрии, чтобы объяснить, почему вершина расположена в середине корней и является единственной точкой с неповторяющимся выходным значением
- аппроксимировать корни заданной параболы и проверить их, используя ее квадратное уравнение
- использовать степень для классификации корней как действительных или мнимых
- связывать характеристики корней с характеристиками квадратного уравнения
- предсказывать и обосновывать конечное поведение квадратного уравнения, используя его степень и опережающий коэффициент
Развивать концептуальное понимание:
многочлен, степень, корни, нули, абсолютный, относительный, нечетный, четный, квадратичный, кубический, квартический, ось симметрии, вершина
Вспомогательные термины для общения:
опережающий коэффициент, экспонента, отражение, минимум, максимум, конечное поведение, вершинная форма, стандартная форма, факторизованная форма
Основной ресурс
Основной ресурс поддерживает обучение в течение нескольких дней.