Задания корни и степени: Упражнения по теме «Степени и корни» скачать docx

Числа и вычисления. Степени и корни. — Математика

Файл к занятию 7

Числа и вычисления. Степени и корни.

Проверка домашнего задания.

Задание 8. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 15. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 120

Задание 9. На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ра­же­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры. Ответ:3

Числа и вычисления

Задание 1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 7 :. Ответ: 31.

Задание 2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 7

Задание 3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния (72 . Ответ:702

Задание 4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния. Ответ: 19,68

Пусть дано положительное число a и произвольное рациональное число n. Число называется степенью, число a — основанием степени, число n — показателем степени. По определению полагают:

• ;

Если  и  — положительные числа,    — любые рациональные числа, то справедливы следующие свойства:

Задание 5. Найдите значение выражения (5⁴)⁶:5²². Ответ: 25

Задание 6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния (7х³)²:(7х⁶). Ответ: 7

Задание 7. Найдите значение выражения 20^− 3,9​⋅5^2,9​:4^− 4,9. Решение:

Запишем выражение в виде дроби. Ответ: 0,8

Задание 8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ:1,5

Задание 9. Найдите значение выражения . Ответ:7

Задание 10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ:4

Задание 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  . Ответ: 5.

Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то .

Задание 12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .Ответ: 25

Задание 13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния. Ответ:5

Решение: Заменим корни степенью числа 5:

Задание 14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при x=. Ответ:2

Степень с действительным показателем

Пусть дано положительное число  и произвольное действительное число . При положительном основании понятие степени определено для любого рационального и для любого иррационального показателя, т.е. для любого действительного показателя. При этом все действия со степенями с произвольными действительными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с рациональными показателями.

Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то .

Задание 15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния.Ответ: 900

Задание 16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  . Ответ:0,008

Корень n-ной степени

Пусть  — натуральное число, неравное единице. Если  — четно, то арифметическим корнем  —ной степени из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, -ная степень которого равна . Если  — нечетно, то арифметическим корнем  —ной степени из числа  называется такое число, -ная степень которого равна .

По определению:.

Свойства арифметического квадратного корня:

• Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел. Т. е. при любых значениях .

• Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя. Т.е. при любых значениях .

Задание 17. Вычислите значение числового выражения:

1); Ответ: 96

2) . Ответ:6

3)132

4) . Ответ: 1056

Задание 18. Вычислите значение числового выражения:

1) . Ответ: 2

2). Ответ:4

3 ) . Ответ: 5

4). Ответ: 3

Задание 19. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 3

Помним : (

Задание 20. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

1) (  — ). Ответ: 6

2) (  — ). Ответ:21

3) (  — ). Ответ:11

Задание 21. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

1). Ответ:-18

2). Ответ:7

3). Ответ: -4

При любом значении имеет место равенство

Задание 22. Преобразовать выражение при

1)р ≥-9. Ответ: р+9

2) р

Задание 23. Преобразовать выражение при а

Задание 24.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при . Ответ: 2

Задание 25. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .Ответ: -2

Задание 26. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Решение: Возведем числитель в квадрат и раскроем скобки:= = = 0,2. Ответ: 0,2

Задание 27. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1)

2)

3)

Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:

• ; b

• =

• =

Задание 28. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при .
Решение:

Воспользуемся свойствами корня. Ответ:9

Задание 29. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при . Ответ: 4
Задание 30. Найдите значение выражения:

.

Решение: Выделим полный квадрат под корнем и воспользуемся формулой

=

Аналогично выполним преобразование под вторым корнем:

=.

= . Ответ: 3

1.1 Числа, корни и степени — задания из ЕГЭ

Задание 4557

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4563

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4578

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4584

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4599

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4605

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4620

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4626

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4641

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4647

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4662

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4668

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4683

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4689

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4704

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4710

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4725

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4731

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4746

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4752

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4772

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4791

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4810

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4829

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4848

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4867

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4886

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Задание 4905

Введите ответ в поле ввода

Решение →

Теорема о промежуточном значении, расположение корней

Утверждение теоремы о промежуточном значении — это то, что вероятно, «интуитивно очевидно», а также доказуемо верно : если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и если $f(a) 0$ (или наоборот), то существует некоторая третья точка $c$ с $a интервалом пополам, для причину мы увидим ниже. Мы не будем следовать этому методу слишком далеко, потому что есть лучших метода, которые можно использовать после того, как мы вызвали 93-x+1$ заведомо непрерывно, поэтому мы можем вызывайте теорему о промежуточном значении сколько угодно. За например, $f(2)=7 > 0$ и $f(-2)=-5 середина, делящая пополам интервал $[-2,2]$: имеем $f(0)=1 > 0$. Следовательно, поскольку $f(-2)=-5 0$ и $f(2) >

0$, мы ничего не можем сказать при этот пункт о том, есть ли корни в $[0,2]$. Снова делят пополам интервал $[-2,0]$, где мы знаем, что есть корень, мы вычислить $f(-1)=1 > 0$. Таким образом, поскольку $f(-2)

Если мы продолжим этот метод, мы можем получить приближение как мы хотим! Но есть более быстрые способы получить действительно хорошее приближение, как мы увидим. 93$ термин, вероятно, «доминирует» над $f$ когда $x$ большое положительное или большое отрицательное значение, и поскольку мы хотим найти точку, где $f$ отрицательно, нашим следующим предположением будет «большой» отрицательное число: как насчет $-1$? Что ж, $f(-1)=1 > 0$, так что, очевидно, $-1$ недостаточно отрицателен. Как насчет $-2$? Итак, $f(-2)=-7 0$. Затем, вызывая Теорема о промежуточном значении, есть корень в интервале $[-2,-1]$.

Конечно, обычно многочлены имеют несколько корней, но

число корней многочлена никогда не превышает его степени 93-4x+1=0$: сначала, начиная с любого места, $f(0)=1 > 0$. Следующий, $f(1)=-2 0$ и $f(1) 0$. Итак, если повезет, поскольку $f(1) 0$, Теорема о промежуточном значении есть корень в $[1,2]$. Теперь, если мы как-нибудь представим, что есть и отрицательный корень , тогда мы попробуйте $-1$: $f(-1)=4 > 0$. Итак, мы ничего не знаем о корнях в $[-1,0]$. Но продолжаем: $f(-2)=1 > 0$, а новых нет. вывод. Продолжить: $f(-3)=-14 0$, по теореме о промежуточном значении существует третий корень в интервале $[-3,-2]$.

Обратите внимание, что даже «плохие» предположения не были полностью потрачены впустую.

Большая идея 1 | Математика

Большая идея:

Большая идея 1

Степень полиномиальной функции определяет ее поведение и свойства.

1 неделя

Свидетельство понимания

• описать связи между полиномиальным уравнением и особенностями его графика
  • соотнести уравнение степень до максимального числа действительных
    корней и конечное поведение
  • различать минимальную или максимальную точку как абсолютную или относительную с использованием степени функции
  • обобщать, как опережающий коэффициент уравнения влияет на направление и скорость графика изменения
  • классифицировать функцию как нечетную , четную или ни одну из обе уравнение и его график
    • анализировать примеры и не примеры, включая полиномиальные, абсолютное значение, тригонометрические, рациональные, экспоненциальные, логарифмические и радикальные функции
    • описать, как графики четных или нечетных функций отражаются в координатной плоскости
    • объяснить, почему уравнение для нечетной функции не может иметь постоянный член квадратное уравнение
      • изучить различные формы квадратных уравнений (факторизованные, стандартные, вершинные), чтобы понять, почему квадратичная функция имеет не более двух действительных нулей
        • возможное расширение: покажите, как степень ограничивает квадратное число максимум двумя действительными нулями
      • исследуйте, как ось симметрии связана с корнями, вершиной и другими точками параболы
        • обосновать, почему вершина всегда лежит на оси симметрии
        • использовать ось симметрии, чтобы объяснить, почему вершина расположена в середине корней и является единственной точкой с неповторяющимся выходным значением
      • аппроксимировать корни заданной параболы и проверить их, используя ее квадратное уравнение
        • использовать степень для классификации корней как действительных или мнимых
        • связывать характеристики корней с характеристиками квадратного уравнения  
      • предсказывать и обосновывать конечное поведение квадратного уравнения, используя его степень и опережающий коэффициент

    Развивать концептуальное понимание:

    многочлен, степень, корни, нули, абсолютный, относительный, нечетный, четный, квадратичный, кубический, квартический, ось симметрии, вершина  

    Вспомогательные термины для общения:

    опережающий коэффициент, экспонента, отражение, минимум, максимум, конечное поведение, вершинная форма, стандартная форма, факторизованная форма

    Основной ресурс

    Основной ресурс поддерживает обучение в течение нескольких дней.

    No related posts.