Признаки равенства прямоугольных треугольников / Соотношения между сторонами и углами треугольника / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Соотношения между сторонами и углами треугольника
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.
1. Признак равенства по двум катетам
| Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны |
Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.
Пример:
ABC = A1B1C1, т.
2. Признак равенства по катету и острому углу
| Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны |
Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.
Пример:
ABC = A1B1C1, т.к. AC = A1C1, C = C1
3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу
Теорема
| Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,то такие треугольники равны |
Пример:
ABC = A1B1C1, т.
к. BC = B1C1, B = B1
Доказательство
Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900, то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам
4. Признак равенства по катету и гипотенузе
Теорема
| Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны |
Пример:
ABC = A1B1C1, т.
к. BC = B1C1, AB = A1B1
Доказательство
Дано: ABC, A1B1C1, BC = B1C1, AB = A1B1
Доказать: ABC = A1B1C1
Доказательство:
Рассмотрим данные треугольники:
Так как A = A1, то ABC можно наложить на A1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A1C1 и A1B1.
В C1B1C2 углы при основании не равны (C2 — острый, а C1 — тупой, так как он смежный с углом B1C1A1, который является острым).
А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C1. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A1B1C1, т.е. они равны, что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Теорема о сумме углов треугольника
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
Неравенство треугольника
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Уголковый отражатель
Расстояние от точки до прямой
Расстояние между параллельными прямыми
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
Построение треугольника по трем его сторонам
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 262, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 266, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 267, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 301, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 314, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 434, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 495, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 5, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства катетов
4.
6
Средняя оценка: 4.6
Обновлено 11 Января, 2021
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 286.
Обновлено 11 Января, 2021
Прямоугольные треугольники, наравне с равнобедренными и равносторонними, занимают свое место среди треугольников, обладая особым набором специфичных свойств, характерных только для этого вида треугольников. Рассмотрим несколько теорем о равенстве прямоугольных треугольников, которые существенно упростят решение некоторых задач.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Первый признак равенства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников вытекают из трех признаков равенства треугольников, но прямой угол искажает их,скорее расширяет, при этом делая проще. Любой из признаков равенства прямоугольных треугольников можно заменить одним из трех основных, но это будет занимать слишком много времени, поэтому были выделены 5 свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников.
Очень часто вместо использования основных признаков равенства треугольников, используется метод наложения, когда две фигуры мысленно накладываются одна на другую. Нельзя сказать, что это верно или неверно. Просто еще один способ доказательства, который стоит учитывать. Но нельзя думать, что любой признак можно доказать обычным наложением. Именно поэтому рассмотрим доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников через три основных признака равенства треугольников.
Первый признак равенства прямоугольных треугольников гласит: два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного треугольника равны двум катетам другого треугольника. Коротко этот признак называют равенством по двум катетам.
Рис. 1. Равенство по двум катетамДоказать этот признак очень просто. Дано: два катета прямоугольных треугольника равны. Между катетами находится прямой угол, который равен 90 градусам, а значит и величина углов у треугольников совпадает. Следовательно, два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.
Второй признак
Второй признак читается так: два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника.
Второй признак доказывается исходя из того же утверждения о равенстве прямых углов между собой. Если у треугольников катеты равны, острые углы при них равны, а прямые углы равны по определению, то такие треугольники равны по второму признаку равенства (стороне и двум, прилежащим к ней углам).
Третий признак
Два прямоугольных треугольника равны, если равны катет и противолежащий острый угол одного треугольника катету и противолежащему углу другого треугольника.
Рис. 2. Рисунок к доказательствуСумма острых углов в треугольнике равна 90 градусов. Обозначим углы малыми латинскими буквами для простоты доказательства. Один угол прямой, а два других обозначим буквами a и b в первом треугольнике; c и d во втором треугольнике.
$$a+b=c+d$$
Углы a и d равны между собой по условию задачи.
$$a=d$$
$$a+b=c+a$$
Вычтем из обеих сторон выражения угол a
$$b=c$$
То есть, если в двух прямоугольных треугольника два острых угла равны между собой, то и два других острых угла, также будут равны, и мы можем воспользоваться вторым признаком.
Во втором и третьем признаке нужно особенно акцентировать внимание на остром угле, так как прямые углы всегда равны между собой.
Четвертый признак
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Как было сказано в предыдущем признаке: если острый угол прямоугольного треугольника равен соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника, то и другая пара острых углов треугольников будет равна между собой.
Значит, по условиям этого признака мы имеем равенство гипотенузы и двух острых углов треугольников, а, значит, такие треугольники будут равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)
Пятый признак
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет у двух треугольников соответственно равны, то и вторые катеты таких треугольников будут равны между собой. Это вытекает из теоремы Пифагора.
Рис. 3. Равенство по катету и гипотенузеКвадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенузы равны между собой, катет одного треугольника равен катету другого треугольника, значит, чтобы сумма оставалась верной, и два других катета будут равны между собой. А это соответствует третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Что мы узнали?
Мы рассмотрели доказательство пяти признаков равенства треугольников через основные признаки равенства треугольников. Разобрались, почему такое доказательство предпочтительнее наложения и определили путь доказательства, который позволит в любой момент восстановить основные понятия темы в памяти, без излишнего заучивания.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Илья Зайцев
4/5
Daniil Shtixar
5/5
Макс Максимильян
5/5
Вика Ивашина
5/5
Саадет Мамедова
4/5
Наталия Левина
4/5
Виктор Войтенко
3/5
Оценка статьи
4.
6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 286.
А какая ваша оценка?
Урок 4 5 Повторное изучение соответствия треугольников sss и sas: Заполните и подпишите онлайн
Урок 4 5 Повторное изучение соответствия треугольников sss и sas: Заполните и подпишите онлайн | докхаб- Дом
- Конгруэнтность треугольников 4 5 sss и sas
4 из 5
54 голоса
DocHub Отзывы
44 отзыва
DocHub Отзывы
23 оценки
15 005
10 000 000+
303
100 000+ пользователей
Вот как это работает
01.
Отредактируйте соответствие треугольника повторного обучения sss и sas онлайн
Введите текст, добавьте изображения, затемните конфиденциальные данные, добавьте комментарии, выделение и многое другое.
02. Подпишите в несколько кликов
Нарисуйте свою подпись, введите ее, загрузите изображение или используйте мобильное устройство в качестве панели для подписи.
03. Поделитесь своей формой с другими
Отправьте 4 5 повторного изучения соответствия треугольников sss и sas по электронной почте, ссылке или факсу. Вы также можете скачать его, экспортировать или распечатать.
Лучший способ изменить сходство треугольников 4 5 sss и sas в формате PDF в режиме онлайн всеобъемлющий и удобный PDF-редактор прост. Следуйте приведенным ниже инструкциям, чтобы легко и быстро выполнить онлайн-соответствие треугольников 4 5 sss и sas:
- Войдите в свою учетную запись . Войдите, указав свой адрес электронной почты и пароль, или зарегистрируйте бесплатную учетную запись, чтобы протестировать сервис перед обновлением подписки.
- Импорт формы . Перетащите файл со своего устройства или импортируйте его из других служб, таких как Google Диск, OneDrive, Dropbox или по внешней ссылке.
- Редактировать конгруэнтность треугольника 4 5 sss и sas . С легкостью добавляйте и выделяйте текст, вставляйте изображения, галочки и значки, добавляйте новые заполняемые области, а также меняйте порядок страниц или удаляйте их из документов.
- Получение конгруэнтности треугольников 4 5 sss и sas выполнено . Загрузите измененный документ, экспортируйте его в облако, распечатайте из редактора или поделитесь им с другими людьми с помощью общей ссылки или в виде вложения электронной почты.
Воспользуйтесь всеми преимуществами DocHub, одного из самых простых в использовании редакторов для быстрой обработки документации в Интернете!
будьте готовы получить больше
Заполните эту форму за 5 минут или меньше
Получить форму
Есть вопросы?
У нас есть ответы на самые популярные вопросы наших клиентов.
Если вы не можете найти ответ на свой вопрос, пожалуйста, свяжитесь с нами.
Свяжитесь с нами
Что такое SSS в конгруэнтности?
SSS (Side-Side-Side) Если все три стороны одного треугольника эквивалентны соответствующим трем сторонам второго треугольника, то говорят, что два треугольника конгруэнтны по правилу SSS.
Каковы условия совпадения?
В геометрии две фигуры или объекты считаются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и размер или если один из них имеет ту же форму и размер, что и зеркальное отражение другого.
SAS и SSS — это одно и то же?
SASS (Syntactically Awesome Style Sheets) — это препроцессорный язык сценариев, который будет компилироваться или интерпретироваться в CSS.
SassScript сам по себе является языком сценариев, тогда как SCSS является основным синтаксисом для SASS, который строится на основе существующего синтаксиса CSS.
Что такое SSS и SAS?
SSS (сторона-сторона-сторона) Все три соответствующие стороны конгруэнтны. SAS (сторона-угол-сторона) Две стороны и угол между ними равны.
Что такое SAS SSS и SAS?
ключевая идея SSS (сторона-сторона-сторона) Все три соответствующие стороны равны. SAS (сторона-угол-сторона) Две стороны и угол между ними конгруэнтны. ASA (угол-сторона-угол) Два угла и сторона между ними конгруэнтны.AAS (угол-угол-сторона) Два угла и невключенная сторона конгруэнтны.Еще 2 строки
урок 4 5 повторно учить сходство треугольников sss и sas ответы
4-5 совпадение треугольников sss и ключ ответа sas Конгруэнтность треугольников 4-5 ответов sss и sas Раздел 4 Домашнее задание 5 Ключ к ответу на доказательство конгруэнтности треугольников геометрия 4-5 практика ответы 4-5 конгруэнтность треугольника аза аас и гл конгруэнтность треугольника по sss и sas Урок 4-4 Рабочие листы с конгруэнтными треугольниками ответы
Связанные формы
будьте готовы получить больше
Заполните эту форму за 5 минут или меньше
Получить форму
Люди также спрашивают
Что такое соответствие SSS и SAS?
Правило конгруэнтности SSS гласит, что если все стороны треугольника равны, то треугольники конгруэнтны.
Правило конгруэнтности SAS гласит, что если две стороны и угол между ними равны, то два треугольника конгруэнтны.
В чем разница между постулатом SSS SAS и ASA?
Это постулаты для проверки конгруэнтности двух треугольников. SSS относится к равенству трех сторон между треугольниками. AAS относится к равенству между двумя сторонами и углом между треугольниками. SAS относится к равенству между двумя сторонами и углом (между сторонами) между треугольниками.
Как рассчитать SSS по математике?
0:06 50:27 Теоремы о сходимости треугольников, Доказательства двух столбцов, SSS, SAS, ASA … YouTube Начало предлагаемого клипа Конец предлагаемого клипа Теперь есть четыре постулата, которые вам нужно знать, постулат sss s-a-s a-s-a и aas so the firstMoreNow есть четыре постулата, которые вам нужно знать, постулат sss s-a-s a-s-a и aas, поэтому первый говорит нам, что если два треугольника имеют три конгруэнтные стороны, то два треугольника
Что такое SAS SSS ASA AAS?
Ниже приведены различные правила соответствия.
SSS (сторона-сторона-сторона) SAS (сторона-угол-сторона) ASA (угол-сторона-угол) AAS (угол-угол-сторона)
Как рассчитать SAS?
SAS (сторона, угол, сторона) Если две стороны и прилежащий к ним угол одного треугольника равны соответствующим сторонам и углу другого треугольника, треугольники конгруэнтны.
4 5 повторить соответствие треугольников ответам sss и sas
SSS и SAS 4-5 Конгруэнтность треугольников [PDF] — бесплатный документ онлайн
4-5 Конгруэнтность треугольников: SSS и SAS На уроке 4-3 вы доказали конгруэнтность треугольников, показав, что все шесть пар соответствующих частей равны. конгруэнтный.
Подробнее
Конгруэнтность треугольника (SSS, SAS)
То же самое можно сделать и для ситуации SAS.
Например, следующие треугольники конгруэнтны из-за постулата конгруэнтности SAS. 5. Нажмите ЗДЕСЬ …
Подробнее
Исследование 2 (2 дня) Конгруэнтность SAS и ASA… — CT.gov
Объясните, как критерии конгруэнтности треугольников (ASA, SAS и SSS) следуют из определения конгруэнтности в терминах жестких движений. Обзор.
Узнать больше
Попробуйте другие инструменты PDF
© 2022 ООО «ДокХаб»
Модуль 4 — Конгруэнтность треугольников — Шнайдт
| Ċ | KEY Unit 4 Notes (Конгруэнтность треугольников).pdf Просмотреть Скачать | 2010к | т. 2 | 21 окт. 2016 г., 12:59 | Кери Уайтинг |
| Ċ | Chapter4-5ProofReasons. pdf Посмотреть Скачать | 435к | т. 2 | 23 октября 2014 г., 15:24 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | Примечания к Разделу 4 (Конгруэнтность треугольников) 16-17.pdf Просмотреть Скачать | 899к | т. 2 | 53″> 21 окт. 2016 г., 12:44 | Кери Уайтинг |
| Ċ | 4.1 WS & BW.pdf Посмотреть Скачать | 37к | т. 3 | 6 фев. 2017 г., 13:35 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | 4.2 WS & BW.pdf Посмотреть Скачать | 53к | т. 3 | 6 фев. 2017 г., 13:35 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | 4.3 WS & BW.pdf Посмотреть Скачать | 48к | т. 3 | 6 фев. 2017 г., 13:35 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | 4.4 WS & BW.pdf Посмотреть Скачать | 43к | т. 3 | 6 фев. 2017 г., 13:35 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | 4.5 WS & BW.pdf Посмотреть Скачать | 86к | т. 3 | 6 фев. 2017 г., 13:35 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | 4.6 WS & BW.pdf Посмотреть Скачать | 75к | т. 3 | 6 фев. 2017 г., 13:35 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | 4.7 WS & BW.pdf Посмотреть Скачать | 92k | т. 3 | 6 фев. 2017 г., 13:35 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | Big 5 Q2 Practice Problems.pdf Посмотреть Скачать | 325к | т. 2 | 7 ноября 2017 г., 14:11 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | Congruent Triangles Proof Packet.pdf Посмотреть Скачать | 1213к | т. 4 | 6 фев. 2017 г., 13:35 | Кери Уайтинг | ||
| Ċ | SSS SAS ASA AAS WS. |