9. -1,5.
10. 236.
11. $x∈(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.
12. $x=\frac{\pi}{24}; \frac{11\pi}{24}; \frac{13\pi}{24}; \frac{23\pi}{24}; \frac{25\pi}{24}; \frac{35\pi}{24}; \frac{37\pi}{24}; \frac{47\pi}{24}; \frac{49\pi}{24}; \frac{59\pi}{24}; \frac{61\pi}{24}; \frac{71\pi}{24}; \frac{73\pi}{24}; \frac{83\pi}{24}; \frac{85\pi}{24}; \frac{95\pi}{24}; \frac{97\pi}{24}$.
Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная
Необходимая теория:
Производная функции
Таблица производных
Первообразная функции
Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.
Геометрический смысл производной
Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .
Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:
Ответ: 0,25.
2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке
Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .
Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:
Ответ: −0, 25.
Касательная к графику функции
3. Прямая является касательной к графику функции
Найдите абсциссу точки касания.
Запишем условие касания функции и прямой в точке
При значения выражений и равны.
При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .
Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .
Физический смысл производной
Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.
Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.
Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
В момент времени получим:
.
Ответ: 3.
Применение производной к исследованию функций
Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если , то функция возрастает.
Если , то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
| 0 | 0 |
5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.
Ответ: 5.
6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале .
В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.
На отрезке производная функции положительна.
Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.
Ответ: 3.
7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.
Ответ: 7.
8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это
Ответ: 1.
9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке
Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, является точкой экстремума.
Первообразная и формула Ньютона-Лейбница
Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции
10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке
Функция для которой является производной, называется первообразной функции
Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.
Ответ: 4.
Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье
Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание №7.
Публикация обновлена: 08.05.2023
8000+ рабочих мест в США по производным финансовым инструментам (309 новых)
Перейти к основному содержаниюПоследние 24 часа (309)
Прошлая неделя (2287)
Прошлый месяц (6 304)
В любое время (8 168)
Персонал миссии (45)
Точка72 (29)
БНП Париба (12)
Селби Дженнингс (5)
Производный путь (4)
40 000 долларов + (2 616)
60 000 долларов + (2 512)
80 000 долларов + (2356)
100 000 долларов + (2 204)
120 000 долларов + (1772)
Нью-Йорк, штат Нью-Йорк (1003)
Чикаго, Иллинойс (424)
Бостон, Массачусетс (318)
Хьюстон, Техас (209)
Джерси-Сити, Нью-Джерси (179)
Полная занятость (7419)
Неполный рабочий день (138)
Контракт (680)
Волонтер (15)
Стажировка (52)
Начальный уровень (1644)
Ассоциированный (306)
Средний-старший уровень (3909)
Директор (429)
На месте (5 212)
Гибрид (2436)
Удаленный (386)
Получайте уведомления о новых вакансиях Производные в США .
Вы просмотрели все вакансии по этому запросу
Карьера в деривативах и ожидаемая заработная плата
Профессиональные сертификаты
База данных курсов
Выпускники NYIF
Рынок деривативов в настоящее время оценивается в 1,2 квадриллиона долларов.
Даже в мире финансов, где нормой являются большие числа, это огромная сумма. Когда так много денег переходят из рук в руки, карьера в деривативах может быть весьма привлекательной. Это широкая область, с множеством различных вариантов карьеры. Для тех, кто заинтересован в карьере в области деривативов, понимание нескольких основных концепций и знакомство с основными областями в этой области может помочь сузить поиск.
Что такое производные?
Производные инструменты , также известные как совместные контракты, представляют собой набор счетов и финансов. Они получили свое название из-за того, что получают свою ценность от любого инструмента, на котором они основаны. По сути, они переносят кредитный риск с заемщика на кредитора. Хотя это может показаться сложным, вы, вероятно, уже знакомы с некоторыми наиболее распространенными производными инструментами, включая фьючерсы, свопы и опционы.
Карьера в сфере деривативов
Производные инструменты являются частью финансовой деятельности, связанной с продажей.
К большинству профессий в сфере финансов можно подойти одним из четырех способов. Поиск карьеры в деривативах должен начинаться с выбора одного из этих четырех карьерных путей и углубления в него.
Продажи
Когда мечтаешь о карьере в сфере деривативов, большинству людей часто приходит на ум роль продавца. Как и в любой другой области продаж, основной целью является привлечение новых клиентов и их активов. Хотя тем, кто занимается продажами, необходимо достаточно знать о деривативах, чтобы привлечь новых клиентов, им не нужно детально разбираться во всех аспектах деривативов, поскольку они обычно не участвуют в более сложных областях торговли или анализа. Продажи деривативов делятся на две основные категории: розничные и институциональные. Уровень выгорания розничных инвесторов часто довольно высок, в то время как институциональные инвесторы, как правило, являются долгосрочными клиентами.
Торговля
Трейдеры — это люди, осуществляющие торговлю.
Эти сделки могут быть совершены в биржевом зале или внебиржевом, в зависимости от торгуемого дериватива. Торговля деривативами может быть довольно сложной. Деривативы — это форма спекулятивной торговли, которая может быть очень волатильной. Они не связаны с торговлей активами в обычном смысле. Вместо этого трейдеры работают с контрактами, которые относятся к базовому активу.
Аналитика
Эти роли часто являются наиболее техническими в области деривативов. Роль аналитика заключается в прогнозировании будущих событий, а также в отслеживании текущих событий, которые могут повлиять на события в области, на которой сосредоточен аналитик. Например, аналитик может посмотреть, как взаимодействуют различные секторы рынка, и финансовые последствия этого взаимодействия для базового актива.
Поддержка бэк-офиса
Под эгидой поддержки бэк-офиса находится множество профессий, в том числе специалисты по соблюдению нормативных требований и бухгалтеры.
Карьера в этой области может сильно различаться по типу образования, личности и опыта, которые требуются.
Образование и навыки
Точный уровень и область образования, необходимые для карьеры в деривативах, будут зависеть от должности, хотя почти всегда требуется степень бакалавра, в идеале в сфере, связанной с бизнесом. Для тех, кто работает в роли трейдера или аналитика, скорее всего, потребуется степень MBA. В крупных банках и финансовых учреждениях также может пригодиться диплом известного и престижного университета.
Деривативы — сложная область, которая быстро меняется. Инвесторы часто не решаются инвестировать в такую потенциально нестабильную отрасль, поэтому те, кто работает в основном в сфере продаж, должны быть в состоянии завоевать доверие клиентов. Сфера деривативов также имеет тенденцию быть довольно конкурентной, и те, кто хочет сделать в ней карьеру, должны быть трудолюбивыми и амбициозными, чтобы двигаться вперед по карьерной лестнице .
Поскольку это огромная область с таким количеством нишевых областей, перед выбором карьеры часто необходим практический опыт. Часто только после того, как вы начнете работать, у вас будет информация, необходимая для выбора области рынка деривативов, на которой следует сосредоточиться.
Зарплата
Карьера в сфере деривативов может быть весьма прибыльной. Заработная плата в деривативах будет варьироваться в зависимости от роли, местоположения, компании и образования, но средняя зарплата составляет 79 000 долларов в год. Те, кто продолжит подниматься по карьерной лестнице в области деривативов, скорее всего, получат шестизначные суммы.
Подходит ли вам карьера в деривативах?
Карьера в деривативах не для всех. Часто требуется время и опыт, чтобы подняться по служебной лестнице. Но если вам нравится быстро меняющаяся, сложная рабочая среда, которая может быть весьма прибыльной, карьера в производных финансовых инструментах может быть для вас подходящей.