Зависимые события. Вероятность произведения зависимых событий.
События A и B называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое событие.
Рассмотрим пример.
В коробке находится a белых и b черных шаров. По очереди один за другим извлекаются 2 шара и назад не возвращаются.
Обозначим случайные события:
A ‒ 1‒й шар белый;
B ‒ 2‒й шар белый.
Если событие A не произошло, то вероятность события B:
Если событие A произошло, то есть первый шар белый, тогда
Определение. Вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью, и обозначается или
Теорема
4.
Вероятность произведения зависимых
событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность
другого события, вычисленную при условии,
что первое событие произошло.
Теорема следует из предыдущих формул:
или
Распространим эту теорему на любое число зависимых событий:
Пример.
На складе 20 мешков с мукой высшего сорта. 12 мешков первого сорта. 5 мешков второго сорта. По очереди один за другим достают 3 мешка с мукой и назад не возвращают.
Найти вероятность того, что первый мешок с мукой высшего сорта (событие ), второй мешок с мукой первого сорта (событие), третий мешок с мукой второго сорта (событие).
Решение:
6.Основные формулы теории вероятностей.
Формула полной вероятности.Теорема 1.Вероятность события A, вычисленная при условии осуществления одного из несовместных событий H1, H2,H3, …., Hn, образующих полную группу, находится по формуле:
‒ формула полной вероятности,
где события ‒ гипотезы.
Доказательство:
Так как событие A,может произойти только с одним из несовместных событий или или, или, то
Тогда по теореме о вероятности произведения зависимых событий, получим:
Пример 1.
Партия
деталей изготавливается тремя рабочими.
Причем первый рабочий изготовил 25%
деталей. Второй 35% деталей. Третий 40%
деталей. В продукции первого рабочего
брак составляет 5%.
Решение:
деталь изготовил первый рабочий.
деталь изготовил второй рабочий.
деталь изготовил третий рабочий.
A ‒ взятая деталь бракованная.
Формула Байеса.
Пусть событие A может произойти с одним из несовместимых событий образующих полную группу.
‒ формула Байеса.
Пример.
В
торговую фирму поступили телевизоры
от трех поставщиков в отношении 1:4:5.
Телевизоры от первого, второго и третьего
поставщиков не потребуют ремонта в
течение гарантийного срока, в следующих
98%, 88% и 92% случаях.
Найти:
1. Вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока (событие A).
2. Вероятность того, что проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока (событие B).
3. От какого поставщика вероятнее всего этот телевизор.
Решение:
телевизор поступил от i ‒ й фирмы,
2.
Ответ: вероятнее всего брак второй фирмы, так
как брак второй фирмы составил максимальную
вероятность равную
.
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА XIII.  (n) = f(x)§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31.  Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 7. Вычисление площади поверхности § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 14.  Момент инерции и координаты центра масс тела§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13.  Степенные ряды. Интервал сходимости§ 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 23. Уравнение Бесселя § 24. Ряды с комплексными членами § 25. Степенные ряды с комплексной переменной § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4.  Ряды Фурье для четных и нечетных функций§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4.  Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи§ 5. Распространение тепла в пространстве § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7.  Дифференцирование изображения§ 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей § 2.  Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15.  Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 23. Двумерная случайная величина § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27.  Задачи математической статистики. Статистический материал§ 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13.  Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому§ 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ |
Вероятность событий (предварительная алгебра, вероятность и статистика) — Mathplanet
Вероятность — это тип отношения, в котором мы сравниваем, сколько раз может произойти результат, по сравнению со всеми возможными результатами.
$$Probability=\frac{The\, число\, из\, разыскиваемых \, результатов}{\, число \,из\, возможных\, результатов}$$
Пример
Что такое вероятность выпадения 6 при броске кубика?
У игральной кости 6 граней, на одной из которых находится число 6, что дает нам 1 желаемый исход из 6 возможных исходов.
Независимые события: два события независимы, если исход первого события не влияет на исход второго события.
Когда мы определяем вероятность двух независимых событий, мы умножаем вероятность первого события на вероятность второго события.
$$P(X \ и \, Y)=P(X)\cdot P(Y)$$
Чтобы найти вероятность независимого события, мы используем это правило:
Пример
Если у вас есть три кости, какова вероятность того, что выпадут три четверки?
Вероятность выпадения 4 на одном кубике равна 1/6
Вероятность выпадения 3 четверок:
$$P\left ( 4\, and\, 4\, and\, 4 \right )= \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$$
Когда результат влияет на второй результат, который это то, что мы назвали зависимыми событиями.
Зависимые события: два события являются зависимыми, когда исход первого события влияет на исход второго события. Вероятность двух зависимых событий равна произведению вероятности X и вероятности Y ПОСЛЕ X происходит.
$$P(X \ и \, Y)=P(X)\cdot P(Y\: после\: x)$$
Пример
Какова вероятность того, что вы выберете два красные карты в колоде карт?
В колоде карт 26 черных и 26 красных карт. Вероятность случайного выбора красной карточки:
$$P\left ( red \right )=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$$
Вероятность выбора второй красная карта из колоды теперь:
$$P\left ( red \right )=\frac{25}{51}$$
Вероятность:
$$P\left ( 2\,red \right )=\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{51}=\frac{25}{102}$$
Два события являются взаимоисключающими, если два события не могут произойти одновременно. Вероятность того, что произойдет одно из взаимоисключающих событий, равна сумме их индивидуальных вероятностей.
$$P(X \ или \, Y)=P(X)+ P(Y)$$
Примером двух взаимоисключающих событий является колесо фортуны. Допустим, вы выиграете плитку шоколада, если окажетесь на красном или розовом поле.
Какова вероятность того, что колесо остановится на красном или розовом?
P(красный или розовый)=P(красный)+P(розовый)
$$P\left (красный \right )=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$
$$P\left (розовый \right )=\frac{1}{8}$$
$$P\left (красный\ или\, розовый \right )=\frac{1}{8} +\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$$
Инклюзивные события – это события, которые могут произойти одновременно.
Чтобы найти вероятность инклюзивного события, мы сначала складываем вероятности отдельных событий, а затем вычитаем вероятность того, что два события произойдут одновременно.
$$P\left (X \, или \, Y \right )=P\left (X \right )+ P\left (Y \right )-P\left (X \, and \, Y \right )$$
Пример
Какова вероятность вытянуть черную карту или десятку в колоде карт?
В колоде карт 4 десятка P(10) = 4/52
В наличии 26 черных карт P(черных) = 26/52
В колоде 2 черных десятка P(черных и 10) = 2/ 52
$$P\left ( черный\, или\, десять \right )=\frac{4}{52}+\frac{26}{52}-\frac{2}{52}=\frac{ 30}{52}-\frac{2}{52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$$
На вечеринке 7-летних Энн все 20 приглашенных гостей собираются получить конфеты из рыбного пруда. В 12 пакетиках есть лишняя плитка шоколада. Тина и Джеймс первые и вторые, какова вероятность того, что они оба получат пакет с лишней плиткой шоколада?
youtube.com/embed/07WoHPrO1fE?fs=1&hl=en_US&rel=0″ allowfullscreen=»»> Зависимые события — Вероятность — Cuemath
Жонглер покорил цирковую публику своим мастерством.
В руках у него красная трефа, две зеленые трефы и три синие трефы. Его техника жонглирования такова, что он не использует одну и ту же дубину дважды.
Во время выступления он поднимает одну дубинку и подбрасывает ее в воздух, а затем поднимает вторую и бросает ее после того, как поймал первую.
Какова вероятность того, что первая булава для жонглирования синяя, а вторая клюшка для жонглирования зеленая?
Давайте лучше разберемся в этой концепции.
В этой главе мы узнаем о зависимых событиях и о том, как найти вероятность зависимых событий. Поскольку независимые события являются частью вероятности, мы также узнаем разницу между независимыми и зависимыми событиями.
План урока 1. | Что такое зависимые события? |
| 2. | Важные примечания о зависимых событиях |
| 3. | Решенные примеры для зависимых событий |
| 4. | Задающие вопросы по зависимым событиям |
| 5. | Интерактивные вопросы по зависимым событиям |
Два события называются зависимыми, если исход одного из них влияет на исход другого.
В теории вероятности зависимые события обычно представляют собой события реальной жизни и зависят от другого события. Например, Сэм хорошо сдал тест по математике, потому что готовился к нему; на уроке физкультуры была футбольная сессия, потому что Адам получил футбольный мяч из дома. Если вы посмотрите на эти примеры, то заметите, что одно событие зависит от другого.
Математически мы представляем зависимые события в вероятности
Поскольку мы узнали о вероятности того, что:
\[\text{Вероятность} = \dfrac{\text{Благоприятный исход}}{\text{Возможный исход}} \ ]
ПРИМЕЧАНИЕ :
\(\text{P(A)}\) представляет вероятность происхождения события \(\text A \)
\(\text{P(B)}\) представляет вероятность наступления события \(\text B \)
Вероятность зависимых событий
Если A и B являются зависимыми событиями, то вероятность появления A и B записывается как:
Дано, Вероятность события A равна \ (\text{Р(А )}\)
Вероятность события B равна\[ \text{ P(B после A)}\]
\[ \text{P(B и A)} = \text{P(A)}\times\text{P(B после A)}\].
\( \text{P(B после A)}\) также можно записать как \(\text P(B | A)\).
\(\text P(B | A)\) означает, что событие уже произошло.
Теперь, какова вероятность события B ?
\(\text P(B | A)\) также называется «условной вероятностью» B при заданном A .
тогда \( \text{P(B и A)} = \text{P(A)} \times \text P(B | A)\).
Разница между независимыми и зависимыми событиями
В теории вероятности есть два типа событий, которые часто классифицируются как зависимые или независимые события.
Разница представлена ниже в таблице.
| Зависимые события | Независимые события |
|---|---|
1. Возникновение одного события влияет на вероятность другого события. | 1. Наступление одного события, не влияющее на вероятность другого события. |
2.Примеры включают отключение электроэнергии в случае, если вы не оплатите счет вовремя, выигрыш в лотерею после покупки 10 лотерейных билетов (чем больше билетов куплено, тем выше шанс на выигрыш) | Например, езда на велосипеде и просмотр любимого фильма на ноутбуке
|
3. Формулу можно записать так: | 3. Формулу можно записать так: |
Для нахождения вероятности зависимых событий используется приведенная ниже формула условной вероятности: тогда условная вероятность события B , такого, что событие A уже произошло, равна P(B/A) .
Формула для расчета условной вероятности.
\[ P\left( \dfrac BA \right)=\dfrac {P(A \cap B)}{P(A)} \text {или} \dfrac {P(B \cap A)}{P(A )}\]
Дано, P(A) должно быть больше 0.
P(A) меньше 0 означает A — невозможное событие. В P(A \(\cap\) B) пересечение обозначает сложную вероятность события.
Найдем вероятность зависимых событий на подробном примере
Рассмотрим коробку с 10 игрушками. Из них семь разноцветных, а три синих.
Исходя из этой информации, шанс вытащить разноцветную игрушку из коробки составляет 7 из 10.
Точно так же есть шанс 3 из 10 вытащить синюю игрушку из коробки.
Однако если мы наугад выберем из коробки две игрушки, то какова вероятность того, что мы вытащим сначала разноцветную, а затем синюю игрушку, не положив ее обратно в коробку?
Распространенной ошибкой при решении таких задач является использование формулы, а затем перемножение вероятности каждой игрушки вместе.
Поскольку игрушки вынимают, не кладя обратно в коробку, значит, вероятность будет меняться после каждого розыгрыша.
Эта ситуация показывает, что одно событие зависит от другого события.
Вернемся к исходной ситуации. Если мы вытащим разноцветную игрушку из коробки, в которой 10 игрушек, то вероятность того, что игрушка окажется разноцветной, равна 7 из 10.
Во втором событии вероятность вытащить синюю игрушку, однако, не 3 из 10, так как одна разноцветная игрушка не возвращается в коробку.
Теперь вероятность 3 из 9 игрушек.
Чтобы решить эту задачу, все, что нам нужно сделать, это перемножить это значение \( \dfrac 7{10} \times \dfrac 39 = \dfrac{21}{90} = \dfrac 7{30} = 0,233 \) .
Несколько шагов для проверки принадлежности вероятности к зависимым или независимым событиям
Шаг 1: Могут ли события происходить в любом порядке? Если да, перейдите к шагу 2, если нет, перейдите к шагу 3.
Шаг 2: Влияет ли одно событие на результат другого события? Если да, перейдите к шагу 4, если нет, перейдите к шагу 3.
Шаг 3: Событие независимое. Просто сформулируйте формулу независимого события и получите ответ.
Шаг 4: Событие зависит. Просто введите формулу зависимого события и получите ответ.
Вот как узнать, является событие зависимым или независимым!
Важные Примечания
- Вероятности события, которые не влияют друг на друга при замещении, независимы.
- Вероятности событий, которые влияют друг на друга без замены, являются зависимыми.
| Пример 1 |
Дэниел вытащил карту из хорошо перетасованной колоды.
Найдите вероятность того, что карта либо красная, либо королевская.
Решение
Определим событие E как вытянутая карта либо красная, либо королевская.
Сколько исходов благоприятны для E ?
Есть 26 красных карт и 4 карты короля. Однако 2 красные карточки сами по себе являются королями.
Если мы добавим 26 и 4, мы будем считать эти две карты дважды.
Таким образом, правильное количество исходов, благоприятных для E , равно-
\[ 26 + 4 − 2 = 28\]
Вероятность появления E будет равна-
\( \text{ P(E) }= \dfrac {28}{52} = \dfrac{7} {13} \)
| \(\поэтому\) Вероятность того, что карта либо красная, либо карта короля, равна \(\dfrac{7}{13}\) |
| Пример 2 |
У жонглера семь красных, пять зеленых и четыре синих шара.
Во время своего трюка он случайно роняет мяч и не поднимает его. Пока он продолжает, еще один мяч падает. Какова вероятность того, что первый выпавший шар будет синим, а второй зеленым?
Решение
Как известно, первый шар жонглер не меняет. Таким образом, после падения первого мяча у него осталось 15 мячей.
Вероятность того, что первый шар синий или P(синий шар) = \(\dfrac{4}{16}\)
Вероятность того, что второй шар зеленый или P(зеленый шар) = \(\dfrac {5}{15 }\)
Вероятность того, что первый шар синий, а второй зеленый:
\( \text {P(синий, чем зеленый) = P(синий)}\times\text {P (зеленый) } \)
\(=\dfrac{4}{16}\times \dfrac{5}{15} =\dfrac{1}{12}\)
| \(\следовательно\) Вероятность того, что первый шар синий, а второй шар зеленый \(\dfrac{1}{12}\) |
| Пример 3 |
Миссис Эндрюс должна выбрать двух учеников из 35 девочек и 15 мальчиков, которые станут членами клуба.
Какова вероятность того, что оба ученика девочки?
Решение
Общее количество учеников \(= 35 + 15 = 50\)
Вероятность выбора первой девушки, P(девушка 1) = \( \dfrac { 35}{50}\ )
Вероятность выбора второй девушки, P(девушка 2) = \( \dfrac { 34}{49}\)
Теперь,
Вероятность того, что оба студента выбрали девушек
\(\text { Р(первая девочка и вторая девочка)}\)
\(= \text{ P(первая девушка)} \times \text{P(вторая девушка | первая девушка)} \)
\(= \dfrac { 35}{50} \times \dfrac { 34}{49} \)
\(= \dfrac{1190}{1666}\)
\(= \dfrac{85}{119}\ \)
\(\следовательно \)Вероятность того, что обе выбранные ученицы — девочки, равна \(\dfrac{85}{119}\). |
| Пример 4 |
Джозеф и Дэвид играют в карты. Джозеф вытащил карту наугад без замены. Он просит Дэвида помочь ему определить вероятность того, что первой вытянутой картой была дама, а второй — король.
Решение Как мы понимаем, эта вероятность имеет зависимое условие события.
P (рисунок ферзя в первом условии) =\( \dfrac { 4}{52}\)
P (вытягивание короля во втором условии после ферзя) = \( \dfrac { 4}{51}\)
P (рисунок ферзя, за которым следует король) = \(\dfrac{4}{52} \times\dfrac{4}{51}=\dfrac{16}{2652}=\dfrac{4}{663}\ )
\(\следовательно \)Вероятность вытягивания ферзя, за которым следует король, \(\dfrac{4}{663}\). |
Сложные вопросы
80 % ваших друзей любят гамбургеры, а 50 % – бургеры и пиццу.
Какой процент тех, кто любит гамбургеры, но не пиццу?
Какова вероятность того, что из колоды карт вытащат 4 королей?
Вот несколько упражнений для практики. Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.
Подведем итоги 9 0009
Этот мини-урок посвящен увлекательной концепции зависимых событий. Математическое путешествие вокруг октаэдра начинается с того, что ученик уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в юных умах.
Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.
Наша команда экспертов по математике в Cuemath стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!
Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.
Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1. Как определить, являются ли события независимыми или зависимыми?
В теории вероятности, если одно событие влияет на исход другого события, называется зависимым событием, но если одно событие не влияет на исход другого события, такое событие называется независимым.