Значение синуса косинуса: Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Содержание

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Значения синуса,
косинуса и тангенса
для углов
0
30 ,
0
45
и
0
60
Методическая разработка урока
по геометрии 8 класса
учителя ГБОУ СОШ № 277
города Санкт-Петербурга
Протасовой Светланы Михайловны

2. Цели урока

• Научить учащихся вычислять значения
синуса, косинуса и тангенса для углов
300, 450 и 600.

• Формировать навыки решения
прямоугольных треугольников,
используя синус, косинус и тангенс
острого угла.

3. Содержание

• Проверка домашнего задания
• Устная работа
• Вычисление значений синуса, косинуса и
тангенса для углов 300, 450 и 600 в ходе
решения задач
• Таблица значений синуса, косинуса и
тангенса для углов 300, 450 и 600
• Решение задач
• Итоги урока
• Домашнее задание

4. Проверка домашнего задания

Дано:
АВС
∠С=900
ВС=1
АС=2
Найти:
Sin A, cos A, tg A,
Sin B, cos B, tg B.
Ответ:
1
2
1
Sin A
; Cos A
; tg A .
2
5
5
2
1
2
Sin B
; Cos B
; tg B 2.
1
5
5

5. Проверка домашнего задания

Ответы к тесту:
1) А
2) А
3) В
4) Б
5) Б

6. Устная работа

1. Сформулируйте теорему Пифагора для
прямоугольного треугольника.
C2=a2+b2
2.Что называют синусом, косинусом, тангенсом
острого угла прямоугольного треугольника?
3.

Как найти площадь параллелограмма?
S=a∙h
4. Как найти катет прямоугольного треугольника,
лежащий напротив угла в 300?

7. Устная работа

Дано:
АВС
∠С=900
ВС=5
АВ=13
Найти:
Sin A, cos A, tg A,
Sin B, cos B, tg B.

8. Решение задачи

По теореме Пифагора:
АВ2=ВС2+АС2
АС2=169-25
АС2=144
АС=12
BC
5
SIN A=
SIN A
13
AB
COS A=
tg A=
AC
AB
BC
AC
12
COS A
13
tg A
5
12
SIN B =
AC
AB
COS B=
tg B =
BC
AB
AC
BC
12
SIN B
13
5
COS B
13
12
2
tg B
2
5
5

9. Устная работа

Дано:
АВСD-параллелограмм
∠E=900
∠A=600
AE=4
ED=5
Найти:
SABCD.

10. Решение задачи

SABCD=BE·AD
AD=4+5=9
AE=0,5∙AB => AB=8
По теореме Пифагора:
AB2=AE2+BE2
BE2=64-16=48
BE 48
S 9 48
∠ABE=300
Ответ: S
9 48

11.

Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450 и 600 в ходе решения задачДано:
АВС
∠А=300
∠С=900
Найти:
Sin A, cos A, tg A,
Sin B, cos B, tg B.
300

12. Решение задачи №1

AC
AC
2
2
4X
3X
2
X
2
2
300
AC 3 X
BC X 1
SIN A
AB 2 X 2
COS A
tg A
AC
3X
3
AB
2X
2
BC
X
1
3
AC
3X
3 3
=> SIN
300
SIN B
=> COS 300 COS B
=> tg 300
tg B
AC
3X
3
=>
AB 2 X
2
BC
X
1
AB
2X
2
SIN 600
=> COS 600
AC
3X
3
3
BC
X
1
=> tg 600

13. Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450 и 600 в ходе решения задач

Дано:
АВС
∠А=450
∠С=900
Найти:
Sin A, cos A,
tg A.
450

14. Решение задачи №2

AB
2
BC
2
AC
2
AB 2 x
450
BC
X
1
2
SIN A
=> SIN 450
AB
2
2X
2
AC
X
1
2 => COS 450
COS A
AB
2
2X
2
BC X
tg A
1
AC X
=> tg 450

15.

Таблица значений синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450 и 600sin
300
450
600
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
tg
3
3
1
1
2
3

16. Решение задач

В прямоугольной трапеции основания равны
6 и 11, меньшая боковая сторона равна 4.
Найдите синус, косинус и тангенс острого
угла трапеции.
Дано:
АВСD-трапеция
CD AD
CD=4
AD=11
BC=6
Найти:
Sin A, cos A, tg A.

17. Решение задачи №3

Проведем ВН AD
BH=CD=4
AH=AD – HD=5
ABH-прямоугольный
ПО ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА:
АВ2=ВН2+АН2
AB 41
BH
4
4 41
SIN A
AB
41
41
AH
5
5 41
COS A
AB
41
41
BH 4
tg A
AH 5
ОТВЕТ: SIN A 4 41 ; COS A 5 41 ; tg A 4
41
41
5

18. Решение задач

В прямоугольном треугольнике
гипотенуза равна с, а один из острых
углов равен . Выразите второй
острый угол и катеты через с и и
найдите их значения, если с=24, а =600.

Дано:
АВС
∠А= =600
AВ=24
Найти:
∠В, АС, ВС,
Выразить через
и с.

19. Решение задачи №4

ABС-прямоугольный
∠В=900-
∠В=300, так как =600
BC
3
SIN A
12 3
=> ВС=АВ∙SIN => BС=c∙SIN => BC 24
AB
2
COS A
AC
1
=> AС=АВ∙COS => AС=c∙COS =>AC 24 12
AB
2
Ответ: ∠В=900-
BС=c∙SIN
AС=c∙COS
∠В=300
АС=12
BC 12 3

20. Итоги урока

1. Как найти острый угол
прямоугольного треугольника, если
другой острый угол равен ?
2. Какая связь существует между
катетом, противолежащим ему
углом и гипотенузой?

21. Итоги урока

3. Как взаимосвязаны два катета
прямоугольного треугольника и
один из его острых углов?
4. Какая связь существует между
катетом, прилежащим к нему
острым углом и гипотенузой?
5. Для каких углов сегодня узнали
значения синуса, косинуса и
тангенса?

22. Домашнее задание

Выучить значения синуса, косинуса и
тангенса для углов 300, 450 и 600;
№ 595; № 597; № 598(б).

English Русский Правила

Синус косинус тангенс 30 45 60 градусов. Нахождение значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Вводный урок по тригонометрии был представлен в предыдущей презентации. Школьники ознакомились с понятиями синус, косинус и тангенс, как они обозначаются, как их находить. Рассматривался острый угол некоторого прямоугольного треугольника. Также, они ознакомились с основным тригонометрическим тождеством, что составляет основу для многочисленных формул, с которыми ученики ознакомятся несколько позже.

Данный урок предлагает рассмотреть определенные углы: 45, 30 и 60 градусов. Необходимо найти их синус, косинус и тангенс. Все эти три угла являются острыми. Подразумевается, что мы работаем с прямоугольными треугольниками, как и в предыдущем уроке.

слайды 1-2 (Тема презентации «Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов», пример)

Первый слайд презентации «Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов» продемонстрирует учащимся некоторый прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 30 градусов.

Зная о том, что один из углов является прямым, можем легко вычислить значение третьего угла. Сумма всех углов любого треугольника составляет 180 градусов. Об этом свойстве ученики восьмого класса уже должны знать. Итак, для того, чтобы найти третий неизвестный угол, необходимо отнять от 180и градусов 120 градусов, что составляет сумму остальных двух сторон. Третий неизвестный угол равен 60 градусов. Это отмечено на чертеже.

Автор отмечает, что отношение катетов прямоугольного треугольника ABС равно одной второй. Откуда автор получил такое число? Дело в том, что катет, который лежит напротив угла 30 градусов, что можно увидеть на рисунке, равняется половине гипотенузы данного треугольника. Это является одним из важных свойств прямоугольных треугольников. Данное отношение является синусом угла 30 градусов. Таким образом, синус угла 30 градусов найден.

слайды 3-4 (пример, таблица синусов, косинусов, тангенсов)

Данное отношение является также и косинусом для угла прилежащего к катету, то есть для угла 60 градусов. Далее, исходя из информации, которая была получена на предыдущем уроке, можно посчитать оставшийся тангенс, поделив найденный синус определенного угла на найденный косинус того же угла.

Следующий слайд аналогичным образом исследует синус, косинус и тангенс угла 45 градусов. Для начала находится третий неизвестный угол. Выясняется, что углы при гипотенузе равны, то есть треугольник, помимо того, что является прямоугольным, еще и равнобедренный. По теореме Пифагора выразим гипотенузу через катеты. Так как они равны, как выяснилось, то можно заменить один катет другим и получить простое произведение числа 2 на квадрат одного из катетов. Далее, автор избавляется от иррациональности и выражает катет. Таким образом, находятся два катета. Далее, пользуясь изученными формулами можно найти и синус, и косинус, и тангенс угла 45 градусов.

На последнем слайде приводятся данные значения в виде таблицы. Желательно, чтобы школьники записали таблицу себе с тетради. Можно сказать, она является аналогом таблицы умножения, только тригонометрическая. Желательно, чтобы школьники знали о том, откуда появились данные значения и запомнили таблицы.

Каждой тригонометрической функции для данного угла соответствует определенное значение этой функции. Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса ясно, что значением синуса угла является ордината точки, в которую переходит начальная точка единичной окружности после ее поворота на угол , значением косинуса – абсцисса этой точки, значением тангенса – отношение ординаты к абсциссе, а значением котангенса – отношение абсциссы к ординате.

Достаточно часто при решении задач возникает необходимость в нахождении значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов указанных углов. Для некоторых углов, например в 0, 30, 45, 60, 90, … градусов, есть возможность найти точные значения тригонометрических функций, для других углов нахождение точных значений оказывается проблематичным и приходится довольствоваться приближенными значениями.

В этой статье мы разберемся, какими принципами следует руководствоваться при вычислении значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Перечислим их по порядку.

Теперь рассмотрим каждый из перечисленных принципов вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов подробно.

Навигация по странице.

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению. Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов. Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций. Нахождение значений с помощью тригонометрических формул. Что делать в остальных случаях?

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению

Отталкиваясь от определения синуса и косинуса, можно найти значения синуса и косинуса данного угла . Для этого нужно взять единичную окружность, повернуть начальную точку А(1, 0) на угол , после чего она перейдет в точку А1. Тогда координаты точки А1 дадут соответственно косинус и синус данного угла . После этого можно вычислить тангенс и котангенс угла , вычислив отношения ординаты к абсциссе и абсциссы к ординате соответственно.

По определению мы можем вычислить точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов (0, ±р/2, ±р, ±3р/2, ±2р, …радиан). Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2р·z радиан),90+360·z градусов (р/2+2р·z радиан), 180+360·z градусов (р+2р·z радиан) и270+360·z градусов (3р/2+2р·z радиан), где z – любое целое число. Изобразим на рисунках, где будет располагаться точка А1, получающаяся при повороте начальной точки А на эти углы (при необходимости изучите материал статьи угол поворота).

Для каждой из этих групп углов найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, используя определения.

Что касается остальных углов, отличных от 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов, то по определению мы можем найти лишь приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Для примера найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла−52 градуса.

Выполним построения.

По чертежу находим, что абсцисса точки А1 приближенно равна 0,62, а ордината приближенно равна −0,78. Таким образом, и . Остается вычислить значения тангенса и котангенса, имеем и .

Понятно, что чем точнее будут выполнены построения, тем точнее будут найдены приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла. Также понятно, что нахождение значений тригонометрических функций по определению не удобно на практике, так как неудобно выполнять описанные построения.

К началу страницы

Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Вкратце стоит остановиться на так называемых линиях синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Линиями синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов называют линии, изображаемые совместно с единичной окружностью, имеющие начало отсчета и , равную единицы во введенной прямоугольной системе координат, на них наглядно представляются все возможные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Изобразим их на чертеже ниже.

К началу страницы

Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов

Для углов 30, 45 и 60 градусов известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они могут быть получены по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике с использованием теоремы Пифагора.

Чтобы получить значения тригонометрических функций для углов 30 и 60 градусов рассмотрим прямоугольный треугольник с этими углами, причем его возьмем таким, чтобы длина гипотенузы равнялась единице. Известно, что катет, лежащий напротив угла 30 градусов вдвое меньше гипотенузы, следовательно, его длина равна 1/2. Длину другого катета находим по теореме Пифагора: .

Так как синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то и . В свою очередь косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тогда и . Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему, следовательно, и , а также и .

Осталось получить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла 45градусов. Обратимся к прямоугольному треугольнику с углами 45 градусов (он будет равнобедренным) и гипотенузой, равной единице. Тогда по теореме Пифагора несложно проверить, что длины катетов равны . Теперь мы можем вычислить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса как отношение длин соответствующих сторон рассматриваемого прямоугольного треугольника. Имеем и .

Полученные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60градусов будут очень часто использоваться при решении различных геометрических и тригонометрических задач, так что рекомендуем их запомнить. Для удобства занесем их в таблицу основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого пункта приведем иллюстрацию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 с использованием единичной окружности и линий синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

К началу страницы

Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов

Сразу заметим, что удобно находить значения тригонометрических функций, когда угол находится в интервале от 0 до 90 градусов (от нуля до пи пополам радиан). Если же аргумент тригонометрической функции, значение которой нам нужно найти, выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то мы всегда при помощи формул приведения можем перейти к нахождению значения тригонометрической функции, аргумента которой будет в указанных пределах.

Для примера найдем значение синуса 210 градусов. Представив 210 как 180+30 или как 270−60, соответствующие формулы приведения сводят нашу задачу от нахождения синуса 210 градусов к нахождению значения синуса 30 градусов , или косинуса 60 градусов .

Давайте на будущее условимся при нахождении значений тригонометрических функций всегда с помощью формул приведения переходить к углам из интервала от0 до 90 градусов, если конечно угол уже не находится в этих пределах.

К началу страницы

Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций

Основные тригонометрические тождества устанавливают связи между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Таким образом, с их помощью мы можем по известному значению одной из тригонометрических функций найти значение любой другой функции этого же угла.

Рассмотрим решение примера.

Определите, чему равен синус угла пи на восемь, если .

Сначала найдем чему равен котангенс этого угла:

Теперь, используя формулу , мы можем вычислить, чему равен квадрат синуса угла пи на восемь, а следовательно, и искомое значение синуса. Имеем

Осталось лишь найти значение синуса. Так как угол пи на восемь является углом первой координатной четверти, то синус этого угла положителен (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, .

К началу страницы

Нахождение значений с помощью тригонометрических формул

В двух предыдущих пунктах мы уже начали освещение вопроса по нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием формул тригонометрии. Здесь мы лишь хотим сказать, что иногда возможно вычислить требуемое значение тригонометрической функции, используя тригонометрические формулы и известные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса (например, для углов 30, 45 и 60 градусов).

Для примера, используя тригонометрические формулы, вычислим значение тангенса угла пи на восемь, которое мы использовали в предыдущем пункте для нахождения значения синуса.

Найдите значение .

Воспользовавшись формулой тангенса половинного угла, мы можем записать следующее равенство . Значения косинуса угла пи на четыре нам известны, поэтому мы можем сразу вычислить значение квадрата искомого тангенса: .

Угол пи на восемь является углом первой координатной четверти, поэтому тангенс этого угла положителен. Следовательно, .

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.

. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z …. 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом.

В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

tg до 900 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен. Перейдите по ссылке настенные отбойники бескаркасные (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) и узнайте подробнее.

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/».

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т. д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи — это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи — это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах (через число пи)	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)	sec (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	—	1	—
15	π/12			2 — √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 — √3
90	π/2	1	0	—	0	—	1
105	7π/12		—	— 2 — √3	√3 — 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	—	-1	—
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	—	0	—	-1
360	2π	0	1	0	—	1	—

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет — клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов

0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов
(цифровые значения «как по таблицам Брадиса»)

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321

	7π/18

«Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов»

Урок: №55. Тема: «Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов».

Школа: Аксенгирская сш

Дата: 24.01.2018г

ФИО учителя: Саламатова Куралай Мархабатовна

Класс: 9Б Алгебра

Количество присутствующих: 8

Количество отсутствующих: —

Цели обучения, которые будут достигнуты с помощью данного урока

* систематизировать и обобщить знания учащихся по теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов».

· * способствовать формированию умений и навыков использования основных формул тригонометрии для выполнения преобразований тригонометрических выражений;

· * содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться

Цели обучения

Все учащиеся смогут: решать примеры, задачи, уравнения

Большинство учащихся будут уметь: самостоятельно осуществлять поиск информации ( в т.ч.Intenet), обрабатывать ее, строить аргументированный рассказ, отбирать главное в изучаемом материале

Некоторые учащиеся смогут: развить речь ч/з подготовку сообщений, развитие коммуникативных свойств личности в результате работы в парах и группах, индивидуальных способностей и интересов.

Предыдущее обучение

Повторение изученного материала: Радианная и градусная мера угла

План урока

Планируемые сроки

Планируемые действия

Ресурсы

Действия учителя

Действия ученика

Начало урока /3 мин/

Приветствует учащихся с целью создания благоприятной атмосферы урока

Для создания обстановки психологического комфорта на уроке, снятие напряжения, включения учащихся в урок после шумной перемены, предлагаю тренинг «Улыбка».

Проверка дом.задания: № 277

Активизация опорных знаний.

Математический диктант.

Вариант 1. Вариант 2

1. Углом какой четверти является угол a, если:

a = 185⁰
a = –185⁰
a = 102⁰
a = –102⁰
a = 250⁰
a = –250⁰
a = 375⁰

a = 145⁰
a = –145⁰
a = 225⁰
a = –315⁰
a = 210⁰
a = 590⁰
a = –15⁰

Вычислите:

cos 180⁰ + 5sin 90⁰
sin 180⁰ – 3 cos 0⁰
5ctg 90⁰ – 7tg 180⁰
sin 60⁰ + cos 30⁰

cos 0⁰ + 3sin 90⁰
sin 270⁰ – 2cos 180⁰
6tg 180⁰ + 2ctg 90⁰
1 + ctg 270⁰ – 5 tg 360⁰

Приветствуют учителя.

Слушают, наблюдают, настраиваются на восприятие материала урока

Улыбаются и приветствуют друг друга участвуют в тренинге

Ответы:

1.
III
II
II
III
III
II
I

2.
4
–3
0

1.
II
III
III
I
III
III
IV

2.
4
1
0
1

Середина урока

/33 мин/ (осмысление)

Изучение нового материала

Деятельность учащихся. Выполняют свою задачу (индивидуально или в паре): подбирают материал для проекта в Internet, библиотеке; решают тесты.

Оформляют результаты работы в группах.

Компетентностно-ориентированные задания (КОЗ)

Информационная компетентность.

Аспект – планирование и поиск информации (уровень2)

Аспект – извлечение первичной информации (уровень 2)

4.Решение задач

Тест Вариант 1. Часть А.

А1. Найдите значение выражения: –3 cos 60⁰ + 1/3 tg 45⁰

A2. Какое из значений может принимать sin a?

A3. Углом какой четверти является угол a, сos a0, tg a

1) I

2) II

3) III

4) IV

A4. Вычислите значение выражения 2 sin² 45⁰ + v3 ctg (–30⁰).

A5. Какое из данных выражений имеет отрицательное значение?

sin 170⁰
cos 152⁰
sin 252⁰
ctg 300⁰
tg 108⁰ctg 108⁰

Часть В.

В1. Найдите значение выражения 2cos 2a – 3 sin 3a при а = 30⁰

Ответ:________________________________

В2. Найдите наибольшее значение выражения 4 – 2 cos a.

Ответ:________________________________

В3. Найдите значение выражения tg (–495⁰)

Ответ:________________________________

Часть С.

С1. Углы треугольника пропорциональны числам 1, 2, 3.

Найдите их градусные меры.

Запишите ход решения на отдельном листе.

Вариант 2. Часть А.

А1. Найдите значение выражения:

1/5 sin 30⁰ – 4 ctg 45⁰

A2. Какое из значений может принимать cos a ?

A3. Углом какой четверти является угол a, sin aa 0?

1) I

2) II

3) III

4) IV

A4. Вычислите значение выражения

v3 tg (–30⁰) – 5 cos² 45⁰

A5. Какое из данных выражений имеет положительное значение?

Часть В.

В1. Найдите значение выражения cos 3a – 2 sin 2a при а = 30⁰

Ответ: ________________________________

В2. Найдите наибольшее значение выражения 5 – 3 sin a.

Ответ: ________________________________

В3. Найдите значение выражения ctg (–675⁰)

Ответ: ________________________________

Часть С.

С1. Углы треугольника пропорциональны числам 2, 2, 5.

Найдите их градусные меры.

Запишите ход решения на отдельном листе.

Ученики отвечают на вопросы и решают задания

Учащиеся определили свои роли и группируются в соответствии с ними в малые команды.

Определяют долю участия каждого в подборе информации, в соответствии со своими интересами, определяют этапы разработки проекта, даты получения первых результатов.

Ответы:

Вариант 1 Часть А

№ задания	А1	А2	А3	А4	А5
Номер ответа	2	1	4	2	3

Часть В

№ задания	В1	В2	В3
Ответ	-2	6	1

Часть С

Ответ: 30⁰, 60⁰, 90⁰

Вариант 2 Часть А

№ задания	А1	А2	А3	А4	А5
Номер ответа	2	3	3	4	1

Часть В

№ задания	В1	В2	В3
Ответ	–3	2	1

Часть С

Ответ: 40⁰, 40⁰, 100⁰

ИД,

учебник, ручки, тетрадь, карточки с заданием

Конец урока /4мин/

Завершение урока. Общая оценка работы класса, групп, отдельных учащихся.

Рефлексия Домашнее задание: §23 №278, №282

Дополнительная информация

Дифференциация. Как вы планируете поддерживать учащихся? Как вы планируете стимулировать способных учащихся?

Оценивание. Как вы планируете увидеть приобретенные знания учащихся?

Межпредметные связи.
Соблюдение СанПиН.
ИКТ компетентность.
Связи с ценностями (воспит. элемент)

На уроке предусмотрено дифференцированное задание в групповой работе. Более способные учащиеся смогут проявить свои лидерские качества, проявить свои знания и умения

Оценивание пронизывает весь урок, предусмотрено оценивание индивидуальное, групповой работы и парной работы, а также взаимооценивание

В ходе раскрытия темы урока воспитание таких качеств личности как любознательность, порядочность

Рефлексия

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Что учащиеся сегодня изучили?

На что направлено обучение

Хорошо ли сработала запланированная дифференциация?

Выдерживалось ли время обучения?

Какие изменения из данного плана я реализовал и почему

Используйте пространство ниже, чтобы подвести итоги урока. (Ответьте на самые актуальные вопросы об уроке из блока слева. )

Цели урока были реалистичными, достижимыми, измеримыми.

Учащиеся на уроке решали примеры, задачи, уравнения

Атмосфера творческая, взаимопомощи, внимания и ответственности

Нехватка времени на решение задач

Было мало времени на обдумывания вопросов

Итоговая оценка

Какие два аспекта в обучении прошли хорошо (с учетом преподавания и учения)?

1: Деление на группы, оценивание индивидуальных ответов учащихся

2: Учатся друг у друга добывать и использовать полученные знания для реализации их в своей умственной деятельности

Какие два обстоятельства могли бы улучшить урок (с учетом преподавания и учения)?

1: На рефлексию желательно отвести больше времени, чтобы учащиеся могли высказать побольше по обобщению темы урока

2: Размышляют вслух, выдвигают гипотезы и рассуждают

Что я узнал(а) об учениках в целом или отдельных лицах? Класс активный, с положительной учебной мотивацией, учащиеся доброжелательные, организованные. Есть несколько учащихся, намного опережающих большинство класса по уровню интеллектуального развития, которые всегда первыми поднимают руку, быстро мыслят и обладают самостоятельным критическим мышлением. Для этих учащихся следует ежеурочно продумывать индивидуальные виды заданий, более усложненные.

Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах

Синус, косинус и тангенс

Три основные функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс.

Их легко вычислить:

Разделить длину одной стороны прямоугольного треугольника
на другую сторону

… но надо знать с каких сторон!

Для угла θ функции вычисляются следующим образом:

Синусоидальная функция:	sin( θ ) = Противоположность / Гипотенуза
Функция косинуса:	cos( θ ) = Смежный / Гипотенуза
Функция касания:	tan( θ ) = Противоположный / Смежный

Пример: чему равен синус 35°?

Используя этот треугольник (длина только до одного десятичного знака):

sin(35°) = противоположность / гипотенуза = 2,8/4,9 = 0,57. ..

Декартовы координаты

Используя декартовы координаты, мы отмечаем точку на графике , как далеко вдоль и , как далеко вверх по :

Точка (12,5) находится на 12 ед. вдоль и на 5 ед. вверх.

Четыре квадранта

Когда мы включаем отрицательных значений , оси x и y делят пространство на 4 части:

Квадранты I, II, III и IV

(Нумерация против часовой стрелки)

В квадранте I и x, и y положительны,
в квадранте II x отрицательное (y все еще положительное),
в квадранте III и x, и y отрицательны, а
в квадранте IV x снова положительный, а y отрицательный.

Вот так:

Квадрант	X (по горизонтали)	Y (вертикальный)	Пример
я	Положительный	Положительный	(3,2)
II	Отрицательный	Положительный	(−5,4)
III	Отрицательный	Отрицательный	(-2,-1)
IV	Положительный	Отрицательный	(4,−3)

Пример: Точка «C» (−2,−1) находится на 2 единицы вперед в отрицательном направлении и на 1 единицу вниз (т. е. в отрицательном направлении).

И x, и y отрицательны, так что точка находится в «Квадранте III»

Контрольный угол

Углы могут быть больше 90º

Но мы можем вернуть их ниже 90º, используя ось X в качестве точки отсчета.

Думайте, что «ссылка» означает «ссылка x»

Самый простой способ — сделать набросок!

Пример: 160º

Начните с положительной оси x и поверните на 160º

Затем найдите угол к ближайшей части оси x,
в данном случае 20º

Базовый угол для 160º равен 20°

Здесь мы видим четыре примера с опорным углом 30º:

Вместо эскиза можно использовать следующие правила:

Квадрант	Контрольный угол
я	θ
II	180º − θ
III	θ − 180º
IV	360º − θ

Синус, косинус и тангенс в Четыре квадранта

Теперь давайте посмотрим на детали прямоугольного треугольника с углом 30° в каждом из 4 квадрантов.

В квадранте I все в норме, а синус, косинус и тангенс положительны:

Пример: синус, косинус и тангенс угла 30°

Синус	sin(30°) = 1 / 2 = 0,5
Косинус	cos(30°) = 1,732 / 2 = 0,866
Касательная	тангенс (30°) = 1 / 1,732 = 0,577

Но в квадранте II направление x отрицательно , а косинус и тангенс становятся отрицательными:

Пример: синус, косинус и тангенс угла 150°

Синус	sin(150°) = 1/2 = 0,5
Косинус	cos(150°) = −1,732 / 2 = −0,866
Касательная	тангенс (150°) = 1 / -1,732 = -0,577

В квадранте III синус и косинус отрицательны:

Пример: синус, косинус и тангенс 210°

Синус	sin(210°) = −1 / 2 = −0,5
Косинус	cos(210°) = −1,732 / 2 = −0,866
Касательная	тангенс (210°) = −1 / −1,732 = 0,577

Примечание. Тангенс равен положительному числу , потому что деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное значение.

В квадранте IV синус и тангенс отрицательны:

Пример: синус, косинус и тангенс 330°

Синус	sin(330°) = −1 / 2 = −0,5
Косинус	cos(330°) = 1,732 / 2 = 0,866
Касательная	тангенс (330°) = −1 / 1,732 = −0,577

Выкройка есть! Посмотрите, когда синус, косинус и тангенс положительны …

Все три из них положительные в квадранте I
Синус положительный только в Квадранте II
Только тангенс положителен в квадранте III
Косинус положителен только в Квадранте IV

Это можно показать еще проще:

На этом графике также отображается «ASTC».

Некоторым людям нравится запоминать четыре буквы ASTC по одному из следующих:

Все студенты сдают химию
Все учащиеся сдают математический анализ
Все глупые коты Том
Все станции к центральному
A dd S сахар T o C офис

Может быть, вы могли бы придумать свой собственный. Или же просто помните ASTC.

Инверсия Sin, Cos и Tan

Что такое арксинус 0,5?

грех ^-1 (0,5) = ?

Другими словами, когда на графике ниже у равно 0,5, чему равен угол?

Существует много углов где y=0,5

Проблема в следующем: калькулятор выдаст вам только одно из этих значений …

… но всегда есть два значения между 0º и 360º
(и бесконечно много дальше):

	Первое значение	Второе значение
Синус	θ	180º − θ
Косинус	θ	360º − θ
Касательная	θ	θ + 180º

Теперь мы можем решить уравнения для под любым углом!

Пример: Решаем sin θ = 0,5

Получаем первое решение из калькулятора = sin ^-1 (0,5) = 30º (это в квадранте I)

Следующее решение: 180º − 30º = 150º (квадрант II)

Пример: вычислить cos θ = −0,85

Получаем первое решение из калькулятора = cos ^-1 (−0,85) = 148,2º (квадрант II)

Другое решение: 360º − 148,2º = 211,8º (квадрант III)

Возможно, нам потребуется изменить угол между 0º и 360º, прибавив или вычитая 360º

Пример.

Решите тангенс θ = -1,3

Получаем первое решение из калькулятора = tan ^-1 (−1,3) = −52,4º

Это меньше 0º, поэтому прибавляем 360º: −52,4º + 360º = 307,6º (квадрант IV)

Другое решение: −52,4º + 180º = 127,6º (квадрант II)

3914, 3915, 3916, 3917, 3918, 3919, 3920, 3921, 3922, 3923

Упражнение: Прогулка по пустыне 2

Как вычисляются синус, косинус и тангенс?

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий соотношение сторон и углов в треугольнике. С помощью тригонометрии возможно определение высоты больших гор или башен, а также в астрономии, она используется для определения расстояния между звездами или планетами и широко используется в физике, архитектуре и системах GPS-навигации. Тригонометрия основана на принципе, что «Если два треугольника имеют одинаковое множество углов, то их стороны находятся в одинаковом отношении» . Длина сторон может быть разной, но соотношение сторон одинаковое.

Прямоугольный треугольник

Тригонометрические отношения определены только для прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике есть угол 90 °, а два других угла меньше 90 °, относительно этих углов каждая сторона называется перпендикулярным основанием и гипотенузой. Давайте посмотрим, что такое перпендикуляр, основание и гипотенуза прямоугольного треугольника,

Гипотенуза: Сторона, противоположная 90°. это самая большая сторона.
Перпендикуляр: Сторона перед углом или напротив угла перпендикулярна.
Основание: Основание — это одна из сторон, которая касается угла,

Примечание Гипотенуза никогда не может рассматриваться как основание или перпендикуляр.

В прямоугольном треугольнике угол, отличный от 90°, образован двумя сторонами, одна из которых является гипотенузой. другая сторона, которая содержит угол или касается угла, является основанием, а сторона, которая не касается угла, перпендикулярна.

Как показано на диаграмме выше, для того же треугольника, если рассматривать угол 30°, перпендикуляром является сторона PQ, но если рассматривать угол 60°, перпендикуляром является сторона QR.

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции также называются круговыми функциями или тригонометрическими отношениями. являются отношениями сторон прямоугольного треугольника, Они показывают отношения между углом и сторонами, и они являются основой тригонометрии . Существует шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс, котангенс. Представления сторон для шести соотношений:

sin A = Перпендикуляр / Гипотенуза
cos A = Основание / Гипотенуза
tan A = Перпендикуляр / Основание
cot A = Основание / Перпендикуляр
sec A = Гипотенуза / Основание
cosec.

Как рассчитываются синус, косинус и тангенс?

Синус, косинус и тангенс, также называемые sin, cos и tan соответственно, являются наиболее часто используемыми тригонометрическими отношениями, остальные 3 являются обратными им.

Sin – Синус угла A – это отношение длин перпендикуляра к гипотенузе.

sin A = Перпендикуляр / Гипотенуза

Cos – Cos угла A – это отношение длины основания к гипотенузе.

cos A = Основание / Гипотенуза

Тангенс – Тангенс угла А представляет собой отношение длин перпендикуляров к основанию.

желтовато-коричневый A = перпендикулярно / основание

Чтобы рассчитать эти отношения, найдите длину сторон треугольника и затем возьмите соответствующие отношения. Чтобы найти длину, если известна одна из сторон и угол, можно легко найти остальные стороны через синус, косинус и тангенс угла. Ниже приведены тригонометрические значения некоторых важных углов.

углов (в градусах)	0 °	30 °	45°	60°	90°

Sin θ	0	1/2	1/√2	√3/2	1
Cos θ	1	√3/2	1/√2	1/2	0
Tan θ	0	1/√3	1	√3	∞
Cot θ	∞	√3	1	1/√3	0
Sec θ	1	2/√3	√2	2	∞
Cosec θ	∞	2	√2	√ 3/2	1

Примеры задач

Вопрос 1: Рассмотрите следующий треугольник и ответьте на вопрос ниже?

Найдите значение SIN, COS и TAN для углы 30 °

Решение:

для угла 30 °
Perpendicular = 1CM, Base = √3cm, гипотенера = 2 CM.
Sin(30°) = (п/ч) = 1/2.
Cos(30°) = (ч/ч) = √3/2.
tan(30°) = (p/b) = 1/2.

Вопрос 2. Для той же фигуры в вопросе 1 найдите значение sin, cos и tan для угла 60°

Решение:

Для угла 60°
перпендикуляр = √3см, основание = 1см , гипотенуза = 2 см.
Sin(60°) = (п/ч) = √3/2.
Cos(60°) = (ч/ч) = 1/2.
тангенс (60°) = (p/b) = √3/1.

Вопрос 3: В прямоугольном треугольнике основание угла 30° равно 18 м. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Дано: Основание = 18 м
Cos = √3/2
B/H = √3/2
18/H = √3/2
) / √3
H = 12√3м

Вопрос 4. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная углу 30°, равна 14 м. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Дано: Перпендикуляр = 14 м
Sin 30 = 1/2
P/H = 1/2
14/H = 9 1/20005
Н = 14 × 2
Н = 28м.

Линейные значения тригонометрических функций. Темы по тригонометрии

Темы | Дом

Полный период sin θ

Полный период cos θ

Полный период загара θ

Проекции

ЗНАЧЕНИЕ ЛИНИИ тригонометрической функции — это прямая линия, длина которой представляет значение функции. Поскольку при изменении центрального угла значение линии становится своеобразным «графиком» функции. Это отличный способ для учащегося визуализировать и запомнить значения каждой функции, в частности синуса, косинуса и тангенса.

Строка значений

Пусть A — центр единичной окружности с радиусами AB, AD.

Из В опустить перпендикуляр ВС на AD.

Начертить радиус AF перпендикулярно DA; провести касательные DE, FG к окружности; то есть нарисуйте их под прямым углом к радиусам; (теорема 13)

и продлите AB до пересечения с этими касательными в точках E, G соответственно.

Тогда, поскольку AG — прямая, пересекающая параллельные прямые FG, AD, противоположные углы FGA, GAD равны. (теорема 8)

Следовательно, прямоугольные треугольники ACB, ADE, GFA подобны.

Теперь линейные значения функций угла θ выглядят следующим образом; чтобы избежать прокрутки, цифра ниже такая же:

sin θ

СВ
БА

ЦБ
1

= CB.

, потому что θ

АС
ВА

АС
1

= AC.

желтовато-коричневый θ

Германия
AD

Германия
1

= Герм.

csc θ

АГ
ФА

АГ
1

= АГ.

сек θ

AE
DA

АЕ
1

= AE.

кроватка θ

ФГ
ФЗ

ФГ
1

= ФГ.

Теперь мы понимаем, почему функция тангенса (DE) так называется: На самом деле это тангенс. Функция секанса (AE) является секансом. Он разрезает круг; от латинского secare резать.

Полный период sin θ

Теперь учащийся должен попытаться визуализировать, что происходит с CB, линейным значением sin θ, когда AB совершает полный оборот вокруг единичной окружности.

При θ = 0° точка B совпадает с D, так что CB обращается в нуль. sin 0° = 0,

По мере увеличения θ в первом квадранте CB также увеличивается, пока не достигнет своего максимального значения при 90°. CB совпадает там с единичным радиусом AF, так что CB = AF. sin 90° = 1,

Когда θ, угол DAB, входит во второй квадрант (рис. 2), значение CB начинает уменьшаться. При 180° B совпадает с K, и CB снова обращается в нуль. sin 180° = 0,

В третьем квадранте (рис. 3) CB увеличивается, но синус в этом квадранте алгебраически отрицателен. При 270° CB совпадает с единичным радиусом AL. sin 270° имеет свой алгебраический минимум. sin 270° = −1.

Наконец, в четвертом квадранте (рис. 4) CB уменьшается до тех пор, пока B снова не совпадет с D. sin 360° = sin 0° = 0,

Пройдя один полный круг, sin θ прошел все возможные значения. Мы говорим, что sin θ завершил один период. Принято использовать меру в радианах и говорить, что период sin θ равен 2π.

Это означает, что каждые 2π радиан sin θ возвращается к тому же значению линии CB.

Для любого угла θ sin (θ + 2π) = sin θ.

Мы вернемся к этому в следующем разделе.

Кроме того, мы видим, что sin θ — значение линии CB — никогда не имеет значения больше 1, которое он имеет при 90°; или меньше -1, который он имеет при 270 °.

−1 ≤ sin θ ≤ 1,

Полный период cos θ

Строковое значение cos θ равно переменному току. Когда крайняя сторона AB вращается, конечная точка C перемещается вперед и назад по диаметру KD. При 0° AC совпадает с единичным радиусом AD, так что cos 0° = 1,

При θ = 90° C совпадает с A, так что AC обращается в нуль. cos 90° = 0,

При θ = 180° C достигает K. AC = AK. cos 180 ° = -1.

При θ = 270° C возвращается в A. cos 270° = 0,

Наконец, при θ = 360° AC снова совпадает с единичным радиусом AD. cos 360° = 1,

Период cos θ также равен 2π.

cos θ (AC) также имеет максимальное значение 1 при 0° и минимальное –1 при 180°.

−1 ≤ cos θ ≤ 1,

Полный период загара θ

Значения тангенса θ, как и значения всех тригонометрических функций, регулярно повторяются.

Поскольку θ принимает значения от 0 до − или от 0 до , длина касательной DE не ограничена. Он всегда параллелен и -ось. В квадранте IV тангенс отрицательный; в квадранте I положительный. Между − и tan θ принимает все возможные значения.

−∞

Интервал от − до составляет один полный период tan θ. Период — это расстояние между этими двумя точками: π.

График тригонометрической функции представляет собой ее линейное значение, построенное как координата y в зависимости от радианного угла x . См. следующую тему: Графики тригонометрических функций.

Проблема. Что из следующего возможно?

а) sin θ = .

Невозможно. Значения sin θ никогда не превышают 1,

См. здесь.

б) cos θ = 2,058

Невозможно. Значения cos θ никогда не превышают 1,

в) тангенс θ = 2,058

Возможно. Значения тангенса θ не ограничены.

См. здесь.

г) кроватка θ = 0,003

Возможно. Поскольку нет предела значениям тангенса θ, нет предела и значениям его обратной величины.

д) csc θ = ½

Невозможно. Поскольку значения sin θ должны быть меньше или равны 1, значения его обратной величины должны быть больше.

е) сек θ = 5

Возможно. Поскольку значения cos θ должны быть меньше или равны 1, значения его обратной величины должны быть больше.

Проекции

Прямая CD называется вертикальной проекцией прямой AB. (Прямые BD, AC проведены перпендикулярно CD. Это как если бы свет падал на AB, а CD — это тень.)

EF называется горизонтальной проекцией AB.

Теперь, если AB — единичный радиус, гипотенуза прямоугольного треугольника,

, то sin θ — его вертикальная проекция; cos θ, горизонтальная проекция.

Следующая тема: Графики тригонометрических функций

Темы | Дом

Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]

How to Calculate Values for the Six Trigonometric Functions

By: Mary Jane Sterling and

Updated: 07-09-2021

From The Book: Pre-Calculus Workbook For Dummies

Pre- Учебное пособие по исчислению для чайников

Исследовать книгу Купить на Amazon

В предварительном исчислении вам необходимо оценить шесть триггерных функций — синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс — для одного угла на единичной окружности. Для каждого угла на единичной окружности три других угла имеют аналогичные значения триггерной функции. Единственная разница в том, что знаки этих величин противоположны, в зависимости от того, в каком квадранте находится угол.

Иногда угол не будет лежать на единичной окружности, и вам придется использовать свой калькулятор.

Если в вашем распоряжении нет единичного круга (например, если вы проходите тест), вы можете нарисовать картинку и найти нужные вам значения долгим путем.

Синус и косинус

Определение точки на плоскости косинуса в прямоугольном треугольнике

Поскольку гипотенуза r всегда равна 1 в единичной окружности, значение x равно значению косинуса. И если вы вспомните альтернативное определение синуса,

, вы поймете, что y 9Значение 0021 — это значение синуса. Таким образом, любая точка на единичном круге всегда равна

. Разговор о том, чтобы сложить все части воедино!

В алфавитном порядке x предшествует y , а c предшествует s (другими словами, косинус предшествует синусу). Этот факт должен помочь вам вспомнить, какой из них есть какой.

Тангенс, котангенс, секанс и косеканс

Тангенс, котангенс, секанс и косеканс требуют немного больше усилий, чем синус и косинус. Для многих углов единичной окружности вычисление этих функций требует осторожной работы с дробями и квадратными корнями.
Не забывайте всегда рационализировать знаменатель любой дроби в своем окончательном ответе. Кроме того, помните, что любое число, деленное на 0, не определено. Функции тангенса и секанса, например, не определены, когда значение косинуса равно 0. Точно так же значения котангенса и косеканса не определены, когда значение синуса равно 0.
Время для примера. Чтобы вычислить шесть тригонометрических функций 225 градусов с помощью единичного круга, выполните следующие действия:

Нарисуй картинку.
Когда вас просят найти триггерную функцию угла, вам не нужно каждый раз рисовать единичный круг. Вместо этого используйте свой ум, чтобы понять картину. Для этого примера 225 градусов на 45 градусов больше, чем 180 градусов. Нарисуйте треугольник 45-45-90 градусов только в третьем квадранте.
Введите длины катетов и гипотенуз.
Треугольник 45er, украшенный как рождественская елка
Используйте правила треугольника 45er. Координата точки в 225 градусов равна
На рисунке показан треугольник, а также вся информация для оценки шести триггерных функций.
Будьте осторожны! Используйте то, что вы знаете о положительных и отрицательных осях на координатной плоскости, чтобы помочь вам. Поскольку треугольник находится в третьем квадранте, оба значения x и y должны быть отрицательными.
Найдите синус угла.
Синус угла представляет собой значение y или вертикальную линию, которая проходит от точки на единичной окружности до x- ось. Для 225 градусов значение y равно
.
Найдите косинус угла.
Значение косинуса равно x , поэтому оно должно быть
.

Найдите тангенс угла.
Чтобы найти тангенс угла на единичной окружности, вы используете альтернативное определение тангенса:
С другой стороны,
, потому что в единичном круге значение y представляет собой синус, а 9Значение 0020 x — это косинус. Итак, если вы знаете синус и косинус любого угла, вы также знаете тангенс. (Спасибо, единичный круг!) Синус и косинус 225 градусов равны
.
Следовательно, вы можете разделить синус на косинус, чтобы получить тангенс 225 градусов, который равен 1.
Найдите косеканс угла.
Косеканс любого угла равен
или r / y , используя определение точки в плоскости. Используя то, что вы определили на шагах 1,
Теперь вы можете делить 1 на
.
Найдите секанс угла.
секанс любого угла равен
Потому что косинус 225 градусов тоже равен
найдено на шаге 4, секанс 225 градусов равен
Найдите котангенс угла.
Котангенс угла равен
Из шага 5 тангенс (225 градусов) = 1. Сокот (225 градусов) = 1/1 = 1. Легко как пирог (но не пи, что является совершенно другой темой).

Об этой статье

Эта статья взята из книги:

Предварительное исчисление для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг преподавала алгебру, деловое исчисление, геометрию и конечную математику в Брэдли Университет в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет. Она является автором книг «Тригонометрия для чайников», и «Конечная математика для чайников».

Этот артикул находится в категории:

Предварительное вычисление ,

Единица окружности: функции синуса и косинуса | Предварительный расчет II |

Чтобы определить наши тригонометрические функции, мы начнем с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на рисунке 2. Угол (в радианах), который пересекает

ttt

, образует дугу длины

сс

. Используя формулу

s=rts=rts=rt

и зная, что

r=1r=1r=1

, мы видим, что для единичного круга ,

s=ts=ts=t

Напомним, что оси x- и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемые квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление положительного угла. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла

ttt

мы можем обозначить пересечение конечной стороны и единичного круга его координатами,

(х,у)\влево(х,у\вправо)(х,у)

. Координаты

xxx

yyy

будут выходами тригонометрических функций

f(t)=cos⁡tf\left(t\right)=\cos tf(t)=cost

f(t)=sin⁡tf\left(t\right)=\sin tf(t)=sint

соответственно. Это означает

x=cos⁡tx=\cos tx=cost

y=sin⁡ty=\sin ty=sint

Рис. 2. Единичная окружность с центральным углом

ttt

радианы

A Общее примечание: единица окружности

Единичная окружность имеет центр в точке

(0,0)\left(0,0\right)(0,0)

и радиус

111

. В единичном круге длина пересекаемой дуги равна радианной мере центрального угла

111

Пусть

(x,y)\left(x,y\right)(x,y)

будет концом на единичной окружности дуги длины дуги

ссс

. Координаты

(x,y)\left(x,y\right)(x,y)

этой точки можно описать как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса

Теперь, когда мы пометили нашу единичную окружность, мы можем узнать, как координаты

(x,y)\left(x,y\right)(x,y)

относятся к длине дуги и углу . Функция синуса связывает действительное число

ttt

с y -координата точки пересечения соответствующего угла с единичной окружностью. Точнее, синус угла

ttt

равен y -значению конечной точки на единичной окружности дуги длиной

ttt

. На рисунке 2 синус равен

гггг

. Как и все функции, синусоидальная функция имеет вход и выход. Его вход является мерой угла; его вывод — y -координата соответствующей точки на единичной окружности.

Функция косинуса угла

ttt

равна x -значению конечной точки на единичной окружности дуги длиной

ttt

. На рисунке 3 косинус равен

xxx

Рисунок 3

Поскольку синус и косинус являются функциями, нам не всегда нужно записывать их в круглых скобках:

sin⁡t\sin tsint

равно 9{2}(cos(t))2

. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают стенографию. Если вы сомневаетесь, используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

A Общее примечание: функции синуса и косинуса

Если

ttt

является вещественным числом и точка

(x,y)\left(x,y\right)(x,y)

на единичной окружности соответствует углу

ttt

, тогда

cos⁡t=x\cos t=xcost=x

sin⁡t=y\sin t=ysint=y

Как: Дана точка

(x,y)\left(x,y\right)(x,y)

на единичной окружности соответствующему углу

ttt

, найти синус и косинус.

Синус
ttt
равен y -координате точки
P:sin⁡t=yP:\sin t=yP:sint=y
.
Косинус
ttt
равен x -координате точки
P:cost=xP: \text{cos}t=xP:cost=x
.

Пример 1. Нахождение значений функции для синуса и косинуса

Точка

PPP

— это точка на единичной окружности, соответствующая углу

ttt

, как показано на рисунке 4. Найдите

cos⁡(t)\cos \left(t\right)\\cos (t)

sin(t)\text{sin}\left(t\right)\\sin(t)

Рисунок 4

Решение

Мы знаем, что

cos⁡t\cos tcost

— это x — координата соответствующей точки на единичной окружности, а

sin⁡t\sin tsint

— это y — координата соответствующей точки на единичной окружности. Итак:

x=cos⁡t=12y=sin⁡t=32\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ x=\cos t=\frac{1}{2}\ end{array}\qquad \\ y=\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad \end{array}\\x=cost=21y=sint=23

Попробуйте 1

Определенный угол

ttt

соответствует точке на единичной окружности

(−22,22)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\ \(−22

,22

)

, как показано на рисунке 5. Найдите

cos⁡t\cos tcost

sin⁡t\sin tsint

9

09.
Рисунок 5
Решение
Нахождение синусов и косинусов углов на оси
Для квадрантных углов соответствующая точка на единичной окружности приходится на 9\circ \right)=1\end{массив}\\x=cost=cos(90∘)=0y=sint=sin(90∘)=1
Косинус 90° равен 0; синус 90° равен 1.
Попробуйте 2
Найдите косинус и синус угла
π\pi π
.
Раствор
Тождество Пифагора
Рисунок 7
Теперь, когда мы можем определить синус и косинус, мы узнаем, как они соотносятся друг с другом и с единичным кругом. Напомним, что уравнение для единичного круга имеет вид
9{2}t=1cos2t+sin2t=1
, известное как Пифагорейская идентичность .
Мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти косинус угла, если мы знаем синус, или наоборот. Однако, поскольку уравнение дает два решения, нам нужно дополнительное знание угла, чтобы выбрать решение с правильным знаком. Если мы знаем квадрант, в котором находится угол, мы можем легко выбрать правильное решение.
Общее примечание: Пифагорейская идентичность
9{2}t=1cos2t+sin2t=1
Как: Зная синус некоторого угла
ttt
и его положение в квадранте, найдите косинус
ttt
.
Подставьте известное значение
sin⁡(t)\sin \left(t\right)sin(t)
в тождество Пифагора.
Найдите
cos⁡(t)\cos \left(t\right)cos(t)
.
Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится
ttt
.
Пример 3. Нахождение косинуса по синусу или синуса по косинусу
Если
sin⁡(t)=37\sin \left(t\right)=\frac{3}{7}\\sin(t)=73
и
ttt
находится во втором квадранте , найдите
cos⁡(t)\cos\left(t\right)\\cos(t)
.
Решение
Если мы опустим вертикальную линию из точки на единичной окружности, соответствующей
ttt
, мы создадим прямоугольный треугольник, из которого мы можем увидеть, что тождество Пифагора — это просто один из случаев теоремы Пифагора. 9{2}\left(t\right)=\frac{40}{49}\qquad \\ \text{cos}\left(t\right)=\pm \sqrt{\frac{40}{49}} =\pm \frac{\sqrt{40}}{7}=\pm \frac{2\sqrt{10}}{7}\qquad \end{array}\\cos2(t)+sin2(t)= 1cos2(t)+499=1cos2(t)=4940cos(t)=±4940
=±740
=±7210

Поскольку угол находится во втором квадранте, мы знаем, что значение x- является отрицательным действительным числом, поэтому косинус также отрицателен. Итак,
cos(t)=−2107\text{cos}\left(t\right)=-\frac{2\sqrt{10}}{7}\\cos(t)=−7210
Попробуйте 3
Если
cos⁡(t)=2425\cos \left(t\right)=\frac{24}{25}\\cos(t)=2524
и
ttt
находится в четвертом квадранте , найдите
sin(t)\text{sin}\left(t\right)\\sin(t)
.
Раствор
Нахождение синусов и косинусов специальных углов
Мы уже изучили некоторые свойства специальных углов, например преобразование радианов в градусы. Мы также можем вычислить синусы и косинусы специальных углов, используя 9Треугольник \circ 45∘−45∘−90∘
является равнобедренным, поэтому координаты x- и y соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.
Рисунок 9
В точке
t=π4t=\frac{\pi }{4}t=4π
, что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам первый квадрантный угол . Это означает, что радиус лежит вдоль линии 9{2}=\frac{1}{2}\\ \text{ }x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\\x2=21 x=±2
1
В квадранте I
x=12x=\frac{1}{\sqrt{2}}\\x=2
1
.
At
t=π4t=\frac{\pi }{4}t=4π
или 45 градусов,
(x,y)=(x,x)=(12,12)x=12 ,y=12cos⁡t=12,sin⁡t=12\begin{array}{l}\left(x,y\right)=\left(x,x\right)=\left(\frac{1} {\ sqrt {2}}, \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) \ qquad \\ x = \ frac {1} {\ sqrt {2}}, y = \ frac {1} { \sqrt{2}}\qquad \\ \cos t=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin t=\frac{1}{\sqrt{2}}\qquad \end{array} \\(х,у)=(х,х)=(2
1,2
1)x=2
1,y=2
1cost=2
1,sint=2
1
Если мы затем рационализируем знаменатели, мы получим
cos⁡t=1222=22sin⁡t=1222=22\begin{array}{l}\cos t=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} \ qquad \\ = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ qquad \\ \ sin t = \ frac {1} {\ sqrt {2} }\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\qquad \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad \end{массив}\\cost=2
1 2
2
= 22
\circ 60∘
, как показано на рисунке 12.
Рисунок 11
Рисунок 12
Так как все углы равны, то и стороны равны. Вертикальная линия имеет длину
2y2y2y
, и поскольку все стороны равны, мы также можем заключить, что
r=2yr=2yr=2y
или
y=12ry=\frac{1}{2} ry=21r
. Поскольку
sin⁡t=y\sin t=ysint=y
,
sin⁡(π6)=12r\sin\left(\frac{\pi} {6}\right)=\frac{1} {2}r\\sin(6π)=21r
И так как
r=1r=1r=1
в нашем единичном круге ,
sin⁡(π6)=12(1) =12\begin{array}{l}\sin \left(\frac{ \pi }{6}\right)=\frac{1}{2}\left(1\right)\qquad \\ \text{ }=\frac{1}{2}\qquad \end{array}\ \sin(6π)=21(1) =21
Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса. {2}\left (\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{4}\qquad & \text{Использовать свойство квадратного корня}.\qquad \\ \text{ }\cos \left(\frac {\pi} {6}\right)=\frac{\pm \sqrt{3}}{\pm \sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad & \text{ Поскольку }y\text{ положителен, выберем положительный корень}.\qquad \end{array}\\cos26π+sin2(6π)=1 cos2(6π)+(21)2=1 cos2(6π )=43 cos(6π)=±4 9\circ 60∘
. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника
ABCABCABC
имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона равна радиусу единичной окружности, все стороны должны иметь длину 1.
Рисунок 13
Угол
ABDABDABD
равен 30°. Итак, если он двойной, угол
ABCABCABC
равен 60°.
BDBDBD
— серединный перпендикуляр к
ACACAC
, поэтому
ACACAC
разрезается пополам. Это означает, что
ADADAD
равно
12\frac{1}{2}21
радиусу или
12\frac{1}{2}21
. Обратите внимание, что
ADADAD
— это координата x точки
BBB
, которая находится на пересечении угла 60° и единичной окружности. Это дает нам треугольник
BADBADBAD
с гипотенузой 1 и стороной 9.{2}=\frac{3}{4}\\ \text{ }y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\end{массив}\\41+y2=1 y2=1 −41 y2=43 y=±23

Поскольку
t=π3t=\frac{\pi }{3}t=3π
имеет конечную сторону в квадранте I, где координата y- положительна, мы выбираем
y=32y=\frac{ \sqrt{3}}{2}\\y=23
, положительное значение.
At
t=π3t=\frac{\pi }{3}\\t=3π
(60°),
(x,y)\left(x,y\right)(x ,у) 9\circ 60∘
равно
(12,32)\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\(21,23
)
, поэтому мы можем найти синус и косинус.
(x,y)=(12,32)x=12,y=32cos⁡t=12,sin⁡t=32\begin{массив}{l}\left(x,y\right)=\left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ qquad \\ x = \ frac {1} {2}, y = \ frac {\ sqrt {3} {2}\qquad \\ \cos t=\frac{1}{2},\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad \end{array}\\(x,y )=(21,23
)x=21,y=23
стоимость=21,sint=23

Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. В таблице ниже приведены эти значения.
Уголок 0
π6\frac{\pi }{6}\\6π
, или 30
π4\frac{\pi }{4}\\4π
, или 45°
π3\frac{\pi }{3}\\3π
, или 60°
π2\frac{\pi }{2}\\2π
, или 90°
Косинус 1
32\frac{\sqrt{3}}{2}\\23
22\frac{\sqrt{2}}{2}\\22
12\frac{1}{2}\\21
0
Синус 0
12\frac{1}{2}\\21
22\frac{\sqrt{2}}{2}\\22
32\frac{\sqrt{3}}{2}\\23
1
На рисунке 14 показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности.
Рисунок 14
Использование калькулятора для нахождения синуса и косинуса
Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов , обратимся к компьютеру или калькулятору. Имейте в виду : Большинство калькуляторов могут быть установлены в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы измерения для входного значения. Когда мы оцениваем
cos⁡(30)\cos \left(30\right)cos(30)
на нашем калькуляторе, он оценит это как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или как косинус 30 радиан если калькулятор находится в радианном режиме.
Как: Зная угол в радианах, используйте графический калькулятор, чтобы найти косинус.

Если в калькуляторе есть режимы в градусах и в радианах, установите его в режим в радианах.
Нажмите клавишу COS.
Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу закрытия скобок «)».
Нажмите ВВОД.
Пример 4. Использование графического калькулятора для нахождения синуса и косинуса
Вычислите
cos⁡(5π3)\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)\\cos(35π)
с помощью графического калькулятора или компьютера.
Решение
Введите следующие нажатия клавиш:
COS (5 × π ÷ 3 ) ВВОД
cos⁡(5π3)=0,5\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)=0,5\\cos(35π )=0,5
Анализ решения
Мы можем найти косинус или синус угла в градусах прямо на калькуляторе с режимом градусов. Для калькуляторов или программного обеспечения, использующего только режим радиан, мы можем найти знак 9\circ 20∘
, например, включив коэффициент преобразования в радианы как часть ввода:
SIN( 20 × π ÷ 180 ) ENTER
Попробуйте 4
Вычислите
sin⁡(π3)\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\\sin(3π)
.
Раствор

Определение области значений и диапазона функций синуса и косинуса
Теперь, когда мы можем найти синус и косинус угла, нам нужно обсудить их области определения и диапазоны. Каковы области определения функций синуса и косинуса? То есть, каковы наименьшее и наибольшее числа, которые могут быть входными данными функций? Поскольку углы меньше 0 и углы больше
2π2\pi 2π
по-прежнему можно изобразить на единичной окружности и иметь действительные значения
x,yx,yx,y
и
rrr
, для углов нет нижнего или верхнего предела которые могут быть входными данными для функций синуса и косинуса. Входными данными для функций синуса и косинуса является поворот от положительной оси x , и это может быть любое действительное число.
Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшее и максимальное возможные значения их выхода? Мы можем увидеть ответы, изучив единичный круг , как показано на рисунке 15. Границы координаты x равны
[−1,1]\left[-1,1\right][−1,1]
. Границы координаты y также равны
[−1,1]\left[-1,1\right][−1,1]
. Следовательно, диапазон функций синуса и косинуса составляет
[−1,1]\left[-1,1\right][−1,1]
.
Рисунок 15
Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с таким же значением синуса. Поскольку значение синуса равно y -координата на единичной окружности, другой угол с тем же синусом будет иметь такое же значение y , но противоположное x -значение. Следовательно, его значение косинуса будет противоположно значению косинуса первого угла.
Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с тем же косинусом, что и исходный угол. Угол с тем же косинусом будет иметь то же значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположно значению синуса исходного угла.
Как показано на рисунке 16, угол
α\alpha α
имеет то же значение синуса, что и угол
ttt
; значения косинуса противоположны. Угол
β\beta β
имеет то же значение косинуса, что и угол
ttt
; значения синуса противоположны.
sin⁡(t)=sin⁡(α)andcos⁡(t)=−cos⁡(α)sin⁡(t)=−sin⁡(β)andcos⁡(t)=cos⁡(β)\begin {массив}{lll}\sin\left(t\right)=\sin\left(\alpha\right)\qquad & \text{and}\qquad & \cos \left(t\right)=-\cos \left(\alpha \right)\qquad \\ \sin \left(t\right)=-\sin \left(\beta \right)\qquad & \text{and}\qquad & \cos \left(t \right)=\cos \left(\beta \right)\qquad \end{array}sin(t)=sin(α)sin(t)=-sin(β)andandcos(t)=-cos (α)cos(t)=cos(β) 9\circ 90∘
, или
000
и
π2\frac{\pi }{2}2π
радиан. Как видно из рисунка 17, для любого угла в квадрантах II, III или IV существует исходный угол в квадрантах I.
Рисунок 17
Как: Зная угол между
000
и
2π2\pi 2π
, найдите его опорный угол.
Угол в первом квадранте является собственным опорным углом.
Для угла во втором или третьем квадранте опорный угол равен 9\circ ∣(180∘−225∘)∣=∣−45∘∣=45∘
Попробуйте 5
Найдите опорный угол
5π3\frac{5\pi }{3}35π
.
Раствор
Использование опорных углов
Теперь давайте еще раз рассмотрим колесо обозрения, представленное в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись в двадцати футах над уровнем земли. Затем всадник вращается на три четверти круга. Какова новая высота всадника? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах, превышающих 90 градусов или под отрицательным углом . Опорные углы позволяют вычислять тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для нахождения
(x,y)\left(x,y\right)(x,y)
координат для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором лежит конечная сторона угла.
Использование опорных углов для оценки тригонометрических функций
Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если знаем косинус или синус его опорного угла. Абсолютные значения косинуса и синуса угла такие же, как у опорного угла. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака числа 9.1446 x -значения в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений и в этом квадранте.
Общее примечание: использование опорных углов для нахождения косинуса и синуса
Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы. Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.
Как: по заданному углу в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
Определите значения косинуса и синуса опорного угла.
Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.
Присвойте синусу тот же знак, что и y -значения в квадранте исходного угла.
Пример 5. Использование опорных углов для нахождения синуса и косинуса 9\circ \right)sin(150∘)
.
Используя опорный угол, найдите
cos⁡5π4\cos \frac{5\pi }{4}cos45π
и
sin⁡5π4\sin \frac{5\pi }{4}sin45π
.
Решение

150° находится во втором квадранте. Угол, который он образует с осью x , равен 180° − 150° = 30°, поэтому опорный угол равен 30°. \circ \right)=\frac{1}{2}cos(30∘)=23 9\circ \right)=\frac{1}{2}cos(150∘)=−23
andsin(150∘)=21

5π4\frac{5\pi }{4}45π
находится в третьем квадранте. Его исходный угол равен
5π4−π=π4\frac{5\pi }{4}-\pi =\frac{\pi }{4}45π−π=4π
. Косинус и синус числа
π4\frac{\pi }{4}4π
равны
22\frac{\sqrt{2}}{2}22
. В третьем квадранте оба числа
xxx
и
yyy
отрицательны, поэтому: 2}}{2}\text{and}\sin\frac{5\pi}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}cos45π=−22 9\circ \right)sin(315∘)
.
б. Используйте опорный угол
−π6-\frac{\pi }{6}−6π
, чтобы найти
cos⁡(−π6)\cos \left(-\frac{\pi }{6}\ right)cos(−6π)
и
sin⁡(−π6)\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)sin(−6π)
.
Решение
Использование опорных углов для определения координат
Теперь, когда мы научились находить значения косинуса и синуса для специальных углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы, чтобы заполнить значения косинуса и синуса для остальных специальных углов на единичной окружности. Они показаны на рисунке 19.. Найдите время, чтобы узнать
(x,y)\left(x,y\right)(x,y)
координаты всех основных углов в первом квадранте.
В дополнение к изучению значений специальных углов, мы можем использовать эталонные углы, чтобы найти
(x, y)\left(x,y\right)(x,y)
координаты любой точки на единичной окружности, используя что мы знаем об опорных углах вместе с тождествами
x=cos⁡ty=sin⁡t\begin{array}{l}x=\cos t\qquad \\ y=\sin t\qquad \end{ массив}x=costy=sint
Сначала находим опорный угол, соответствующий данному углу. Затем мы берем значения синуса и косинуса опорного угла и присваиваем им знаки, соответствующие значениям y и x квадранта.
Как сделать: Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите
(x, y)\left(x,y\right)(x,y)
координат точки.
Найдите опорный угол, измерив наименьший угол к x -ось.
Найдите косинус и синус опорного угла.
Определите соответствующие знаки для
xxx
и
yyy
в данном квадранте.
Пример 6. Использование единичного круга для поиска координат
Найдите координаты точки на единичной окружности под углом
7π6\frac{7\pi }{6}67π
.
Решение
Мы знаем, что угол
7π6\frac{7\pi }{6}67π
находится в третьем квадранте.
Сначала найдем опорный угол, измерив угол относительно оси x . Чтобы найти исходный угол угла, крайняя сторона которого находится в квадранте III, находим разность угла и
π\pi π
.
7π6−π=π6\frac{7\pi }{6}-\pi =\frac{\pi }{6}67π−π=6π
Далее найдем косинус и синус опорного угла:
cos⁡(π6)=32sin⁡(π6)=12\cos\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{ \sqrt{3}}{2}\sin\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}cos(6π)=23
грех(6π)=21
Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте. Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где
xxx
и
yyy
отрицательны, то и косинус, и синус отрицательны.
cos⁡(7π6)=−32sin⁡(7π6)=−12\begin{array}{l}\cos\left(\frac{7\pi}}{6}\right)=-\frac{\sqrt {3}}{2}\qquad \\ \sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}\qquad \end{array}cos(67π )=−23
sin(67π)=−21
Теперь мы можем вычислить координаты
(x,y)\left(x,y\right)(x,y)
, используя тождества
x=cos⁡θx=\cos \theta x=cosθ
и
y=sin⁡θy=\sin \theta y=sinθ
.
Координаты точки:
(−32,−12)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)(−23
,−21)
на единичной окружности.
Попробуйте 7
Найдите координаты точки на единичной окружности под углом 9{2}t=1cos2t+sin2t=1
Ключевые понятия
Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом в 1 единицу.
Используя единичную окружность, синус угла
ttt
равен y -значению конечной точки на единичной окружности дуги длиной
ttt
, тогда как косинус угла
ttt
равен x -значение конечной точки.
Значения синуса и косинуса наиболее непосредственно определяются, когда соответствующая точка на единичной окружности попадает на ось.
Когда известен синус или косинус, мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти другой. Тождество Пифагора также полезно для определения синусов и косинусов специальных углов.
Калькуляторы и программы для построения графиков полезны для нахождения синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
Областью определения функций синуса и косинуса являются все действительные числа.
Диапазон функции синуса и косинуса равен
[−1,1]\left[-1,1\right][−1,1]
.
Синус и косинус угла имеют то же абсолютное значение, что и синус и косинус исходного угла.
Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
Опорный угол угла — это угол размера,
ttt
,
образованы концевой стороной угла
ttt
и горизонтальной осью.
Опорные углы можно использовать для нахождения синуса и косинуса исходного угла.
Опорные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.
Глоссарий
Функция косинуса
x -значение точки на единичной окружности, соответствующей заданному углу
Пифагорейская идентичность
следствие теоремы Пифагора о том, что квадрат косинуса данного угла плюс квадрат синуса этого угла равен 1
функция синуса
y -значение точки на единичной окружности, соответствующей заданному углу
единичный круг
круг с центром в точке
(0,0)\влево(0,0\вправо)(0,0)
и радиусом
Раздел Упражнения
1. Опишите единичный круг.
2. Что представляют собой координаты x- и y- точек на единичной окружности?
3. Обсудите разницу между котерминальным углом и опорным углом.
4. Объясните, чем косинус угла во втором квадранте отличается от косинуса его опорного угла в единичной окружности.
5. Объясните, чем синус угла во втором квадранте отличается от синуса его исходного угла в единичной окружности.
В следующих упражнениях используйте заданный знак функций синуса и косинуса, чтобы найти квадрант, в котором находится конечная точка, определяемая
ttt
.
6.
sin(t)<0\text{sin}\left(t\right)<0sin(t)<0
и
cos(t)<0\text{cos}\left(t\right) )<0cos(t)<0
7.
sin(t)>0\text{sin}\left(t\right)>0sin(t)>0
и
cos⁡(t)>0\ cos \left(t\right)>0cos(t)>0
8.
sin⁡(t)>0\sin\left(t\right)>0sin(t)>0
и
cos⁡(t)<0\cos \left(t\right)<0cos(t)<0
9.
sin⁡(t)<0\sin\left(t\right)<0sin(t)<0
и
cos⁡(t)>0\cos \left(t\right)>0cos (t)>0
В следующих упражнениях найдите точное значение каждой тригонометрической функции.
10.
sin⁡π2\sin \frac{\pi }{2}sin2π
11.
sin⁡π3\sin \frac{\pi }{3}sin3π
12.
cos⁡π2\cos \frac{\pi }{2}cos2π
13.
cos⁡π3\cos \frac{\pi }{3}cos3π
14.
sin⁡π4\ sin \frac{\pi }{4}sin4π
15.
cos⁡π4\cos \frac{\pi }{4}cos4π
16.
sin⁡π6\sin \frac{\pi } ⁡π\cos \pi cosπ
20.
cos⁡0\cos 0cos0 9\circ 135∘
28.
5π4\frac{5\pi }{4}45π
29.
2π3\frac{2\pi }{3}32π
30. 90\ frac{5\pi }{6}65π
31.
−11π3\frac{-11\pi }{3}3−11π
32.
−7π4\frac{-7\pi } {4}4−7π
33.
−π8\frac{-\pi }{8}8−π
Для следующих упражнений найдите исходный угол, квадрант конечной стороны и синус и косинус каждого угла. Если угол не является одним из углов единичной окружности, воспользуйтесь калькулятором и округлите его до трех знаков после запятой. 9\circ 150∘
42.
5π4\frac{5\pi }{4}45π
43.
7π6\frac{7\pi }{6}67π
44. 90\
frac{5\pi }{3}35π
45.
3π4\frac{3\pi }{4}43π
46.
4π3\frac{4\pi }{3}34π
47.
2π3\frac{2\pi }{3}32π
48.
5π6\frac{5\pi }{6}65π
49.
7π4\frac{7\pi {4}47π
В следующих упражнениях найдите требуемое значение.
50. Если
cos(t)=17\text{cos}\left(t\right)=\frac{1}{7}cos(t)=71
и
ttt
находится в 4 ^-й квадрант, найдите
sin(t)\text{sin}\left(t\right)sin(t)
.
51. Если
cos(t)=29\text{cos}\left(t\right)=\frac{2}{9}cos(t)=92
и
ttt
находится в 1 ^st квадрант, найдите
sin(t)\text{sin}\left(t\right)sin(t)
.
52. Если
sin(t)=38\text{sin}\left(t\right)=\frac{3}{8}sin(t)=83 9\circ 120∘
.
56. Найдите координаты точки на окружности радиусом 8, соответствующей углу
7π4\frac{7\pi }{4}47π
.
57. Найдите координаты точки на окружности радиусом 16, соответствующей углу
5π9\frac{5\pi }{9}95π
.
58. Укажите область определения функций синуса и косинуса.
59. Укажите диапазон функций синуса и косинуса.
В следующих упражнениях используйте заданную точку на единичной окружности, чтобы найти значение синуса и косинуса числа 9.0005
ттт
.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
В следующих упражнениях используйте для оценки графический калькулятор.
80.
sin⁡5π9\sin \frac{5\pi }{9\circ sin310∘
90.
sin⁡(11π3)cos⁡(−5π6)\sin\left(\frac{11\pi}}{3}\right)\cos\left(\frac{-5\ pi }{6}\right)sin(311π)cos(6−5π)
91.
sin⁡(3π4)cos⁡(5π3)\sin \left(\frac{3\pi }{4 }\right)\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)sin(43π)cos(35π)
92.
sin⁡(−4π3)cos⁡(π2)\ sin \left(-\frac{4\pi }{3}\right)\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)sin(-34π)cos(2π)
93.
sin⁡(−9π4)cos⁡(−π6)\sin\left(\frac{-9\pi }{4}\right)\cos \left(\frac{-\pi }{6}\right )грех(4−9π)cos(6−π)
94.
sin⁡(π6)cos⁡(−π3)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\ frac{-\pi }{3}\right)sin(6π)cos(3−π)
95.
sin⁡(7π4)cos⁡(−2π3)\sin \left(\frac{7 \pi }{4}\right)\cos \left(\frac{-2\pi }{3}\right)sin(47π)cos(3−2π)
96.
cos⁡(5π6 )cos⁡(2π3)\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)cos(65π)cos(32π )
97.
cos⁡(−π3)cos⁡(π4)\cos \left(\frac{-\pi }{3}\right)\cos \left(\frac{\pi }{4 }\right)cos(3−π)cos(4π)
98.
sin⁡(−5π4)sin⁡(11π6)\sin \left(\frac{-5\pi }{4}\right)\sin \left(\frac{11\pi }{6 }\right)sin(4−5π)sin(611π)
99.
sin⁡(π)sin⁡(π6)\sin \left(\pi \right)\sin \left(\frac{ \pi }{6}\right)sin(π)sin(6π)
Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Ребенок садится в карусель, один оборот которой занимает одну минуту. Ребенок входит в точку
(0,1)\влево(0,1\вправо)(0,1)
, то есть строго на север. Предположим, что карусель вращается против часовой стрелки.
100. Каковы координаты ребенка через 45 секунд?
101. Каковы координаты ребенка через 90 секунд?
102. Каковы координаты ребенка через 125 секунд?
103. Когда у ребенка появятся координаты
(0,707,−0,707)\влево(0,707,-0,707\вправо)(0,707,−0,707)
, если поездка длится 6 минут? (Ответов несколько.)
104. Когда у ребенка появятся координаты
(−0,866, −0,5)\влево (-0,866, –0,5\вправо)(−0,866, −0,5)
если поездка длилась 6 минут?
Лицензии и атрибуты
Контент по лицензии CC, совместно используемый ранее
Unit Circle Image. Автор : CK-12. Расположен по адресу : https://www.ck12.org/trigonometry/trigonometry-and-the-unit-circle/lesson/Trigonometric-Ratios-on-the-Unit-Circle-ALG-II/. Лицензия : CC BY-NC: Attribution-NonCommercial
Лицензионный контент CC, конкретное указание авторства
Предварительный расчет. Автор : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Атрибуция
Все права защищены. Содержание
Введение в тригонометрические функции с использованием углов. Автор : Mathispower4u. Лицензия : Все права защищены . Условия лицензии : Стандартная лицензия YouTube
Понимание синуса, косинуса и тангенса
Статью, объясняющую тригонометрические функции с использованием единичной окружности, можно найти здесь
Использование единичной окружности является стандартным способом определения и понимания тригонометрических функций в математике.
Я рекомендую сначала прочитать и понять эту статью. Позже, если вы захотите понять, как определяются тригонометрические функции для значений больше 90° или меньше 0°, прочтите другую статью.
Синус часто вводится следующим образом:
Что верно, но у большинства людей глаза стекленеют.
Проблема в том, что со времени, когда люди начали изучать треугольники, до того момента, когда люди разработали концепцию тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс и котангенс), прошло более 3000 лет.
Древние изучали треугольники. Одной из вещей, которые они сделали, было сравнение длин сторон треугольников:
Треугольник имеет три стороны, поэтому есть 6 различных способов сравнения сторон:
от А до В, от А до С, от В до С, от В до А, от С до А и от С до В
Обычно мы записываем их в виде дробей:
А А В В С С -, -, -, -, -, - Б В С А А Б
Они обнаружили, что если два треугольника имеют одинаковые отношения трех сторон, то треугольники имеют одинаковую форму — у них одинаковые внутренние углы, даже если размеры треугольников могут быть разными.
Это оказалось очень, очень полезным, потому что это означало, что если бы вы могли найти меньший треугольник, который имел бы ту же форму, что и большой треугольник, то вы могли бы изучить меньший треугольник и узнать что-то о большом треугольнике. Это работает и наоборот: если у вас есть очень маленький треугольник и вы можете найти больший треугольник, с которым легче работать, тогда вы можете изучить больший треугольник и узнать что-то о меньшем треугольнике. Эти типы треугольников называются подобных треугольников .
Одним из первых применений этого было расчёт теней — использование теней для измерения вещей.
Предположим, вы хотите измерить высоту дерева, как бы вы это сделали?
Вы можете взобраться на дерево, неся веревку. Вы опускали веревку до тех пор, пока она не достигала земли, отмечали длину веревки, а затем измеряли длину веревки (после того, как вы спустились). К сожалению, это (1) медленно, (2) опасно (всегда есть риск падения) и (3) возможно неточно, так как не всегда есть возможность забраться на самую вершину дерева (стволы и ветки деревьев истончаются). близко к вершине, и они могут быть недостаточно прочными, чтобы поддержать вас на всем пути к вершине).
Вы можете срубить дерево и измерить его. Но если вы хотите сохранить дерево, срубить его не вариант (к тому же это довольно медленно).
Что делать, если вы хотите измерить высоту здания или скалы? Использование веревки сработает (при условии, что веревка достаточно длинная), но перерезать ее не получится.
Однако древние заметили, что дерево (или здание, или скала) образует одну сторону прямоугольного треугольника (будем считать, что дерево растет вертикально, а не под углом), его тень образует основание прямоугольного треугольника. треугольник и солнечные лучи образуют гипотенузу.
Если мы можем построить меньший прямоугольный треугольник с гипотенузой под тем же углом, что и солнечные лучи, то мы получим аналогичный треугольник. Затем мы можем измерить меньший (и подобный) треугольник и применить то, что мы знаем о нем, к большему треугольнику:
Поскольку большой и малый треугольник подобны, это означает, что отношения сторон одинаковы. Если у нас есть палка известной длины и мы поместим ее перпендикулярно земле (это сторона a маленького треугольника), она отбросит тень, и мы сможем измерить длину этой тени (это сторона b маленького треугольника). . Мы можем легко измерить длину тени, отбрасываемой деревом (это сторона B большого треугольника). Поскольку эти два треугольника подобны, мы знаем, что отношение a/b должно быть таким же, как отношение A/B.
ПРИМЕЧАНИЕ: не имеет значения, как рассчитывается соотношение: a/b или b/a, если оно рассчитывается одинаково для обоих треугольников.
Если наша измерительная линейка имеет высоту 2 м и отбрасывает тень длиной 1,25 м, отношение a/b равно 1,6. Поскольку треугольники подобны, мы знаем, что отношение A/B должно быть 1,6. Если дерево отбрасывает тень длиной 15 м, мы можем подставить это число в уравнение и записать A/15 = 1,6. Умножение обеих сторон на 15 дает нам: (A/15)*15 = 1,6*15. Умножая получаем А = 24, значит высота дерева 24м.
Обязательно попробуйте дома. Рассчитайте высоту вашего дома, измерив длину его тени и соотнеся ее с длиной известной меры (критерий (или измерительная линейка) подойдет — если у вас нет линейки или измерительной линейки, вы всегда можете использовать 12-дюймовая (30 см) линейка). Или измерьте высоту деревьев в вашем районе.
Фалес из Милета использовал этот метод для измерения высоты Великой пирамиды (которой было уже около 2000 лет к тому времени, когда Фалес измерил ее высоту):
Фалес подождал, пока тень окажется на одной линии с одной гранью пирамиды, а затем измерил длину тени плюс половину длины основания, чтобы получить длину стороны B подобного треугольника. Очевидно, у него была мерная линейка, тень которой он также измерял.
В конце концов, кто-то понял, что вместо того, чтобы постоянно измерять стороны треугольника и вычислять отношения, можно создать справочную таблицу, в которой будут отношения для прямоугольных треугольников с разными углами.
Мы знаем, что треугольники подобны, если:
отношения трех сторон одинаковы или
все углы одинаковые или
две стороны имеют одинаковое соотношение и один угол одинаковый (пока он не находится между двумя сторонами)
Мы можем сказать, подобны ли два прямоугольных треугольника, просто измерив один угол, если он не является квадратным (90°) углом. Поскольку сумма всех углов треугольника должна составлять 180°, мы можем легко найти 3 ^rd угол (180° – 90° – измеренный угол = оставшийся угол)
Любая другая справочная таблица требует, чтобы мы измеряли как минимум две стороны и вычисляли их отношение.
Самым ранним свидетельством того, что кто-то делал это, является Гиппарх из Никеи, который во 2 ^– веках до н. э. составил таблицу тригонометрических отношений (это были хорды, и они связаны с нашими тригонометрическими отношениями, но не совпадают с ними). Математика греков попала в Индию и была разработана индийскими математиками, затем их работы были переняты и развиты арабами, которые (к 9 в.^-й-й век) разработал современное представление о шести тригонометрических функциях, которые мы используем, и имел справочные таблицы для прямоугольных треугольников с разными углами. Около 12 ^го или 13 ^го века работа арабов вернулась в Европу и была переведена с арабского языка на латынь, термин sinus (из которого мы получаем sine ) был переводом, используемым для арабского языка. слово джиба — оба из которых означают раза . Если бы ученые не перевели это слово, мы могли бы использовать джиба или джиб или что-то подобное вместо него.
Подробнее об истории тригонометрических функций можно прочитать здесь, здесь и здесь. [ ПРИМЕЧАНИЕ. это внешние ссылки, которые на момент написания этой статьи считались рабочими, безопасными и актуальными. Хотя время от времени я дважды проверяю ссылки, я не даю никаких гарантий относительно них. Я также ценю, когда мне сообщают, если ссылки не работают или больше недействительны.]
Когда мы спрашиваем, «Чему равен синус 30°?» ответ на самом деле не имеет ничего общего с углом. Угол описывает , о каком прямоугольном треугольнике идет речь, и , какие две стороны интересующего нас треугольника, но ответом является отношение длин этих двух сторон.
Лучше задать вопрос так:
«В прямоугольном треугольнике с углом 30° какое число получится, если разделить длину стороны, наиболее удаленной от угла, на длину гипотенузы?»
Сказать sin(30) , это более короткий способ выразить предыдущее (длинное) предложение:
Что нужно помнить:
значение синуса всегда между 0 и 1 (точнее между -1 и 1)
одна из сторон всегда гипотенуза (самая длинная сторона) и всегда знаменатель
противоположная сторона может быть разрезана линией от рассматриваемого угла ( S ine и S liced оба начинаются с буквы С )
Когда мы спрашиваем, «Каков косинус 30°?» ответ на самом деле не имеет ничего общего с углом. Угол описывает , о каком прямоугольном треугольнике идет речь, и , какие две стороны интересующего нас треугольника – и ответом является отношение длин этих двух сторон.
Лучше задать вопрос так:
«В прямоугольном треугольнике с углом 30° какое число получится, если разделить длину стороны, ближайшей к углу, на длину гипотенузы?»
Сказать cos(30) , это более короткий способ выразить предыдущее (длинное) предложение:
Что нужно помнить:
значение косинуса всегда между 0 и 1 (точнее между -1 и 1)
одна из сторон всегда гипотенуза (самая длинная сторона) и всегда знаменатель
соседней стороной является та, которая co соединена с углом ( Co синус и Co соединены, обе начинаются с Ко )
Когда мы спрашиваем «Какова тангенс 30°?» ответ на самом деле не имеет ничего общего с углом. Угол описывает , о каком прямоугольном треугольнике идет речь, и , какие две стороны интересующего нас треугольника – и ответом является отношение длин этих двух сторон.
Лучше задать вопрос так:
«В прямоугольном треугольнике с углом 30° какое число получится, если разделить длину стороны, наиболее удаленной от угла, на длину стороны, ближайшей к углу?»
Сказать tan(30) , это более короткий способ выразить предыдущее (длинное) предложение:
ПРИМЕЧАНИЕ: тангенс совпадает с наклоном гипотенузы.
Это важно знать / помнить при изучении исчисления, и вы слышите о касательной к точке на кривой. На самом деле, каждый раз, когда вы слышите «касательная линия», это означает «наклон линии»
.
Что нужно помнить:
значение тангенса всегда между 0 и undefined (иногда, неточно, называют бесконечным ∞ – точнее сказать «наклон стремится к бесконечности»). Что касается синуса и косинуса, то он может быть положительным или отрицательным.
гипотенуза не используется при вычислении тангенса
тангенс совпадает с наклоном гипотенузы
уклон всегда равен подъему, деленному на прогон (высота, деленная на длину)
пробег (длина) — это сторона, соединенная с углом (если бы вы стояли там, где был угол, вы бы стояли сбоку)
подъем (высота) — это сторона, наиболее удаленная от угла (если бы вы стояли там, где был угол, и смотрели в сторону, вы бы увидели, что она поднимается вверх)
Секанс, косеканс и котангенс — три другие тригонометрические функции, обратные первым трем тригонометрическим функциям.
Котангенс
Это легко, это обратная тангенс. Вместо того, чтобы вычислять наклон гипотенузы, мы вычисляем обратную сторону наклона.
кроватка α = рядом/противоположно (или по ходу/подъему)
Секанс
Секанс равен , а НЕ обратному синусу . Секанс является обратным косинусом .
Мы инвертируем и , как мы вычисляем, и как мы называем функцию.
сек α = гипотенуза / соседнее
Косеканс
Косеканс равен , а НЕ обратному косинусу. Косеканс обратен синусу.
инвертируем оба как мы вычисляем и как мы называем функцию.
Часто прямоугольный треугольник рисуют так:
Однако треугольник и заданный угол можно нарисовать как угодно, поэтому важно правильно определить, какие стороны какие:
Гипотенуза зеленого цвета.
Соседняя сторона синего цвета.
Противоположная сторона красная.
В настоящее время математика, похоже, сосредоточена на обучении «математическим словам» — аббревиатурам или мнемоникам, помогающим запоминать понятия. Для тригонометрических функций используется следующее: SOH-CAH-TOA (произносится «сох ках ту ах»). Предполагается, что это поможет запомнить тригонометрическую функцию и какие стороны дают какой ответ.
SOH – S ine = O pposite ÷ H ypotenuse.
CAH – C осин = A djacent ÷ H ypotenuse.
TOA – T угол = O pposite ÷ A djacent.
Чтобы облегчить запоминание, буквы используются в качестве первых букв в причудливом предложении. Я создал эти два, потому что они используют омонимы (похожие по звучанию слова) для тригонометрических функций:
Представьте, что вы только что что-то купили и вам нужно заполнить некоторые документы:

S ign O ver H здесь.
No related posts.

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов

2. Цели урока

3. Содержание

4. Проверка домашнего задания

5. Проверка домашнего задания

6. Устная работа

7. Устная работа

8. Решение задачи

9. Устная работа

10. Решение задачи

11.

12. Решение задачи №1

13. Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450 и 600 в ходе решения задач

14. Решение задачи №2

15.

16. Решение задач

17. Решение задачи №3

18. Решение задач

19. Решение задачи №4

20. Итоги урока

21. Итоги урока

22. Домашнее задание

Синус косинус тангенс 30 45 60 градусов. Нахождение значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению

Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов

Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов

Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций

Нахождение значений с помощью тригонометрических формул

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов

«Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла.

Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах

Синус, косинус и тангенс

Пример: чему равен синус 35°?

Декартовы координаты

Четыре квадранта

Контрольный угол

Пример: 160º

Синус, косинус и тангенс в Четыре квадранта

Пример: синус, косинус и тангенс угла 30°

Пример: синус, косинус и тангенс угла 150°

Пример: синус, косинус и тангенс 210°

Пример: синус, косинус и тангенс 330°

Инверсия Sin, Cos и Tan

Пример: Решаем sin θ = 0,5

Пример: вычислить cos θ = −0,85

Пример.

Как вычисляются синус, косинус и тангенс?

Прямоугольный треугольник

Тригонометрические функции

Как рассчитываются синус, косинус и тангенс?

Примеры задач

) / √3

Линейные значения тригонометрических функций. Темы по тригонометрии

How to Calculate Values ​​for the Six Trigonometric Functions

Pre- Учебное пособие по исчислению для чайников

Синус и косинус

Тангенс, котангенс, секанс и косеканс

Об этой статье

Эта статья взята из книги:

Об авторе книги:

Этот артикул находится в категории:

Единица окружности: функции синуса и косинуса | Предварительный расчет II |

A Общее примечание: единица окружности

Определение функций синуса и косинуса

A Общее примечание: функции синуса и косинуса

Как: Дана точка

Пример 1. Нахождение значений функции для синуса и косинуса

Решение

Попробуйте 1

9

Нахождение синусов и косинусов углов на оси

Попробуйте 2

Тождество Пифагора

Общее примечание: Пифагорейская идентичность

Как: Зная синус некоторого угла

Пример 3. Нахождение косинуса по синусу или синуса по косинусу

How to Calculate Values for the Six Trigonometric Functions